Tų šaknis. n-asis šaknies skaičiuotuvas. Pagrindinių verčių radimo principai ir jų išgavimo būdai

Inžinerinis skaičiuotuvas internete

Džiaugiamės galėdami visiems padovanoti nemokamą inžinerinį skaičiuotuvą. Su jo pagalba bet kuris studentas gali greitai ir, svarbiausia, lengvai atlikti įvairaus tipo matematinius skaičiavimus internete.

Paprastas ir lengvai naudojamas inžinerinis skaičiuotuvas su nepastebima ir intuityvia sąsaja tikrai bus naudingas daugeliui interneto vartotojų. Dabar, kai jums reikia skaičiuotuvo, eikite į mūsų svetainę ir naudokite nemokamą inžinerinį skaičiuotuvą.

Inžinerinis skaičiuotuvas gali atlikti tiek paprastas aritmetines operacijas, tiek gana sudėtingus matematinius skaičiavimus.

Web20calc yra inžinerinis skaičiuotuvas, turintis daugybę funkcijų, pavyzdžiui, kaip apskaičiuoti visas elementarias funkcijas. Skaičiuoklė taip pat palaiko trigonometrines funkcijas, matricas, logaritmus ir net grafiką.

Neabejotinai Web20calc sudomins ta grupė žmonių, kurie ieškodami paprastų sprendimų paieškos sistemose įveda užklausą: internetinė matematinė skaičiuoklė. Nemokama žiniatinklio programa padės akimirksniu apskaičiuoti kai kurios matematinės išraiškos rezultatą, pavyzdžiui, atimti, sudėti, padalyti, ištraukti šaknį, padidinti iki laipsnio ir pan.

Išraiškoje galite naudoti didinimo, sudėties, atimties, daugybos, dalybos, procentų ir PI konstantos operacijas. Atliekant sudėtingus skaičiavimus, reikia įtraukti skliaustus.

Inžinerinio skaičiuotuvo ypatybės:

1. pagrindinės aritmetinės operacijos;
2. darbas su skaičiais standartine forma;
3. trigonometrinių šaknų, funkcijų, logaritmų, eksponencijos skaičiavimas;
4. statistiniai skaičiavimai: sudėjimas, aritmetinis vidurkis arba standartinis nuokrypis;
5. atminties langelių ir pasirinktinių 2 kintamųjų funkcijų naudojimas;
6. dirbti su kampais radianais ir laipsniais.

Inžinerinis skaičiuotuvas leidžia naudoti įvairias matematines funkcijas:

Šaknų ištraukimas (kvadratinė, kubinė ir n-oji šaknis);
ex (e iki x laipsnio), eksponentinis;
trigonometrinės funkcijos: sinusas – sin, kosinusas – cos, tangentas – tan;
atvirkštinės trigonometrinės funkcijos: arcsinusas - sin-1, arkosinas - cos-1, arctangentas - tan-1;
hiperbolinės funkcijos: sinusas - sinh, kosinusas - cosh, tangentas - tanh;
logaritmai: dvejetainis logaritmas iki dviejų bazių - log2x, dešimtainis logaritmas iki dešimties pagrindo - log, natūralusis logaritmas - ln.

Šioje inžinerinėje skaičiuoklėje taip pat yra kiekio skaičiuoklė su galimybe konvertuoti fizinius dydžius įvairioms matavimo sistemoms – kompiuterinius vienetus, atstumą, svorį, laiką ir kt. Naudodami šią funkciją galite akimirksniu konvertuoti mylias į kilometrus, svarus į kilogramus, sekundes į valandas ir kt.

Norėdami atlikti matematinius skaičiavimus, pirmiausia įveskite matematinių reiškinių seką į atitinkamą lauką, tada spustelėkite lygybės ženklą ir pamatysite rezultatą. Galite įvesti reikšmes tiesiai iš klaviatūros (tam skaičiuotuvo sritis turi būti aktyvi, todėl būtų naudinga įdėti žymeklį į įvesties lauką). Be kita ko, duomenis galima įvesti naudojant pačios skaičiuoklės mygtukus.

Norėdami sudaryti grafikus, į įvesties lauką turėtumėte įrašyti funkciją, kaip nurodyta lauke su pavyzdžiais arba naudoti specialiai tam skirtą įrankių juostą (norėdami patekti į ją, spustelėkite mygtuką su grafiko piktograma). Norėdami konvertuoti reikšmes, spustelėkite Vienetas, kad galėtumėte dirbti su matricomis, spustelėkite Matrica.

Paskelbta mūsų svetainėje. Skaičiaus šaknis dažnai naudojama atliekant įvairius skaičiavimus, o mūsų skaičiuotuvas yra puiki priemonė tokiems matematiniams skaičiavimams atlikti.

Internetinis skaičiuotuvas su šaknimis leis greitai ir lengvai atlikti visus skaičiavimus, susijusius su šaknų ištraukimu. Trečiąją šaknį galima apskaičiuoti taip pat lengvai kaip skaičiaus kvadratinę šaknį, neigiamo skaičiaus šaknį, kompleksinio skaičiaus šaknį, pi šaknį ir kt.

Skaičiaus šaknį galima apskaičiuoti rankiniu būdu. Jei įmanoma apskaičiuoti visą skaičiaus šaknį, tada radikalios išraiškos reikšmę tiesiog randame naudodami šaknų lentelę. Kitais atvejais apytikslis šaknų apskaičiavimas susiveda į radikaliosios išraiškos skaidymą į paprastesnių veiksnių sandaugą, kuri yra galios ir gali būti pašalinta šaknies ženklu, kiek įmanoma supaprastinant išraišką po šaknimi.

Bet jūs neturėtumėte naudoti šio šaknies sprendimo. Ir štai kodėl. Pirma, tokiems skaičiavimams teks praleisti daug laiko. Skaičiai šaknyje, tiksliau, išraiškos gali būti gana sudėtingos, o laipsnis nebūtinai yra kvadratinis arba kubinis. Antra, tokių skaičiavimų tikslumas ne visada yra patenkinamas. Ir trečia, yra internetinis šaknies skaičiuotuvas, kuris per kelias sekundes atliks bet kokią šaknies ištraukimą.

Išskirti šaknį iš skaičiaus reiškia rasti skaičių, kuris, padidintas iki laipsnio n, bus lygus radikalios išraiškos reikšmei, kur n yra šaknies laipsnis, o pats skaičius yra laipsnio pagrindas. šaknis. 2-ojo laipsnio šaknis vadinama paprasta arba kvadratine, o trečiojo laipsnio šaknis vadinama kubine, abiem atvejais laipsnio nuoroda nenurodyta.

Šaknų sprendimas internetinėje skaičiuoklėje reiškia tiesiog matematinės išraiškos įrašymą įvesties eilutėje. Šaknies ištraukimas skaičiuoklėje yra pažymėtas kaip sqrt ir atliekamas naudojant tris klavišus – kvadratinę šaknį sqrt(x), kubo šaknį sqrt3(x) ir n-ąją šaknį sqrt(x,y). Išsamesnė informacija apie valdymo pultą pateikta puslapyje.

Kvadratinė šaknis

Spustelėjus šį mygtuką į įvesties eilutę įterpiamas kvadratinės šaknies įrašas: sqrt(x), tereikia įvesti radikaliąją išraišką ir uždaryti skliaustą.

Kvadratinių šaknų sprendimo skaičiuoklėje pavyzdys:

Jei šaknis yra neigiamas skaičius, o šaknies laipsnis lyginis, tada atsakymas bus pavaizduotas kaip kompleksinis skaičius su įsivaizduojamu vienetu i.

Kvadratinė šaknis iš neigiamo skaičiaus:

Trečia šaknis

Naudokite šį klavišą, kai reikia paimti kubo šaknį. Jis įterpia įrašą sqrt3 (x) į įvesties eilutę.

3 laipsnio šaknis:

n laipsnio šaknis

Natūralu, kad internetinė šaknų skaičiuoklė leidžia išgauti ne tik skaičiaus kvadratines ir kubines šaknis, bet ir n laipsnio šaknį. Spustelėjus šį mygtuką bus rodomas toks įrašas kaip sqrt(x x,y).

4 šaknis:

Tiksli n-oji skaičiaus šaknis gali būti išskirta tik tuo atveju, jei pats skaičius yra tiksli n-oji šaknis. Priešingu atveju skaičiavimas pasirodys apytikslis, nors ir labai artimas idealui, nes internetinio skaičiuotuvo skaičiavimų tikslumas siekia 14 skaičių po kablelio.

5 šaknis su apytiksliu rezultatu:

Trupmenos šaknis

Skaičiuoklė gali apskaičiuoti šaknį iš įvairių skaičių ir išraiškų. Norint rasti trupmenos šaknį, reikia atskirai išgauti skaitiklio ir vardiklio šaknį.

Kvadratinė trupmenos šaknis:

Šaknis nuo šaknies

Tais atvejais, kai išraiškos šaknis yra po šaknimi, pagal šaknų savybes jas galima pakeisti viena šaknimi, kurios laipsnis bus lygus abiejų laipsnių sandaugai. Paprasčiau tariant, norint išgauti šaknį iš šaknies, pakanka padauginti šaknų rodiklius. Paveiksle pavaizduotame pavyzdyje išraiška antrojo laipsnio šaknies trečiojo laipsnio šaknis gali būti pakeista viena 6-ojo laipsnio šaknimi. Nurodykite išraišką, kaip norite. Bet kokiu atveju skaičiuotuvas viską apskaičiuos teisingai.

Laipsnio formulės naudojamas mažinant ir supaprastinant sudėtingas išraiškas, sprendžiant lygtis ir nelygybes.

Skaičius c yra n- skaičiaus laipsnis a Kada:

Operacijos su laipsniais.

1. Padauginus laipsnius iš tos pačios bazės, pridedami jų rodikliai:

a m·a n = a m + n .

2. Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų eksponentai atimami:

3. 2 ar daugiau veiksnių sandaugos laipsnis yra lygus šių veiksnių laipsnių sandaugai:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Trupmenos laipsnis lygus dividendo ir daliklio laipsnių santykiui:

(a/b) n = a n/b n .

5. Padidinus laipsnį į laipsnį, rodikliai dauginami:

(a m) n = a m n .

Kiekviena aukščiau pateikta formulė yra teisinga kryptimis iš kairės į dešinę ir atvirkščiai.

Pavyzdžiui. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacijos su šaknimis.

1. Kelių veiksnių sandaugos šaknis yra lygi šių veiksnių šaknų sandaugai:

2. Santykio šaknis lygi dividendo ir šaknų daliklio santykiui:

3. Keliant šaknį į laipsnį, iki šios laipsnio pakanka pakelti radikalųjį skaičių:

4. Jei padidinsite šaknies laipsnį n vieną kartą ir tuo pačiu metu integruoti į n laipsnis yra radikalus skaičius, tada šaknies reikšmė nepasikeis:

5. Jei sumažinsite šaknies laipsnį n tuo pačiu metu ištraukite šaknį n- radikalaus skaičiaus laipsnis, tada šaknies reikšmė nepasikeis:

Laipsnis su neigiamu rodikliu. Tam tikro skaičiaus, turinčio neteigiamą (sveikąjį) rodiklį, laipsnis apibrėžiamas kaip laipsnis, padalytas iš to paties skaičiaus laipsnio, kurio rodiklis lygus absoliučiai neteigiamojo eksponento vertei:

Formulė a m:a n =a m - n gali būti naudojamas ne tik m> n, bet ir su m< n.

Pavyzdžiui. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Į formulę a m:a n =a m - n tapo teisinga, kai m=n, būtinas nulinis laipsnis.

Laipsnis su nuliniu indeksu. Bet kurio skaičiaus, nelygaus nuliui, su nuliniu rodikliu, laipsnis yra lygus vienetui.

Pavyzdžiui. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Laipsnis su trupmeniniu rodikliu. Norėdami padidinti tikrąjį skaičių A iki laipsnio m/n, reikia ištraukti šaknį n laipsnis m-šio skaičiaus laipsnis A.

Skaičiaus x n-oji šaknis yra neneigiamas skaičius z, kuris, pakeltas į n-ąją laipsnį, tampa x. Šaknies nustatymas įtrauktas į pagrindinių aritmetinių operacijų, su kuriomis susipažinome vaikystėje, sąrašą.

Matematinis žymėjimas

„Šaknis“ kilęs iš lotyniško žodžio radix, o šiandien žodis „radikalas“ vartojamas kaip šio matematinio termino sinonimas. Nuo XIII amžiaus matematikai šaknies operaciją žymėjo raide r su horizontalia juosta virš radikalios išraiškos. XVI amžiuje buvo įvestas V žymėjimas, kuris palaipsniui pakeitė ženklą r, tačiau horizontali linija išliko. Lengva spausdinti spaustuvėje ar rašyti ranka, tačiau elektroninėje leidyboje ir programavime paplito šaknies raidinis žymėjimas - sqrt. Taip šiame straipsnyje pažymėsime kvadratines šaknis.

Kvadratinė šaknis

Skaičiaus x kvadratinis radikalas yra skaičius z, kuris, padaugintas iš savęs, tampa x. Pavyzdžiui, padauginus 2 iš 2, gauname 4. Du šiuo atveju yra kvadratinė šaknis iš keturių. Padauginus 5 iš 5, gauname 25 ir dabar jau žinome išraiškos sqrt(25) reikšmę. Mes galime padauginti ir –12 iš –12, kad gautume 144, o 144 radikalas yra ir 12, ir –12. Akivaizdu, kad kvadratinės šaknys gali būti tiek teigiami, tiek neigiami skaičiai.

Savotiškas tokių šaknų dualizmas svarbus sprendžiant kvadratines lygtis, todėl ieškant atsakymų į tokius uždavinius, būtina nurodyti abi šaknis. Sprendžiant algebrines išraiškas, naudojamos aritmetinės kvadratinės šaknys, tai yra tik jų teigiamos reikšmės.

Skaičiai, kurių kvadratinės šaknys yra sveikieji skaičiai, vadinami tobulaisiais kvadratais. Yra visa tokių skaičių seka, kurios pradžia atrodo taip:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Kitų skaičių kvadratinės šaknys yra neracionalieji skaičiai. Pavyzdžiui, sqrt(3) = 1.73205080757... ir taip toliau. Šis skaičius yra begalinis ir neperiodinis, todėl apskaičiuojant tokius radikalus kyla tam tikrų sunkumų.

Mokyklos matematikos kurse teigiama, kad negalima imti kvadratinių šaknų iš neigiamų skaičių. Kaip mes mokomės universiteto kurse apie matematinę analizę, tai galima ir reikia daryti – štai kodėl reikalingi sudėtingi skaičiai. Tačiau mūsų programa skirta išgauti realias šaknies reikšmes, todėl iš neigiamų skaičių neskaičiuoja net radikalų.

Kubo šaknis

Skaičiaus x kubinis radikalas yra skaičius z, kurį padauginus iš savęs tris kartus, gaunamas skaičius x. Pavyzdžiui, padauginus iš 2 × 2 × 2, gauname 8. Todėl du yra aštuonių kubinė šaknis. Padauginkite keturis iš savęs tris kartus ir gaukite 4 × 4 × 4 = 64. Akivaizdu, kad keturi yra skaičiaus 64 kubinė šaknis. Yra begalinė skaičių seka, kurios kubiniai radikalai yra sveikieji skaičiai. Jo pradžia atrodo taip:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Kitų skaičių atveju kubo šaknys yra neracionalūs skaičiai. Skirtingai nuo kvadratinių radikalų, kubo šaknis, kaip ir bet kokias nelygines šaknis, galima išvesti iš neigiamų skaičių. Viskas priklauso nuo skaičių, mažesnių už nulį, sandauga. Minusas už minusą duoda pliusą – iš mokyklos žinoma taisyklė. O minusas už pliusą duoda minusą. Jei neigiamus skaičius padauginsime nelyginį skaičių, rezultatas taip pat bus neigiamas, todėl niekas netrukdo iš neigiamo skaičiaus išskirti nelyginio radikalo.

Tačiau skaičiuoklės programa veikia kitaip. Iš esmės šaknies ištraukimas reiškia jos pakėlimą į atvirkštinę galią. Kvadratinė šaknis laikoma pakelta 1/2 laipsnio, o kubinė šaknis – 1/3 laipsnio. Padidinimo iki 1/3 laipsnio formulę galima pertvarkyti ir išreikšti 2/6. Rezultatas yra tas pats, bet jūs negalite išskirti tokios šaknies iš neigiamo skaičiaus. Taigi, mūsų skaičiuotuvas skaičiuoja aritmetines šaknis tik iš teigiamų skaičių.

n-oji šaknis

Toks puošnus radikalų skaičiavimo metodas leidžia iš bet kokios išraiškos nustatyti bet kokio laipsnio šaknis. Penktąją skaičiaus kubo šaknį arba 19-ąjį skaičiaus radikalą galite paimti į 12 laipsnį. Visa tai elegantiškai įgyvendinama atitinkamai pakeliant iki 3/5 arba 12/19 galios.

Pažiūrėkime į pavyzdį

Kvadrato įstrižainė

Apie kvadrato įstrižainės neracionalumą žinojo senovės graikai. Jie susidūrė su plokščio kvadrato įstrižainės skaičiavimo problema, nes jo ilgis visada yra proporcingas dviejų šaknims. Įstrižainės ilgio nustatymo formulė gaunama iš ir galiausiai yra tokia:

d = a × sqrt(2).

Naudodami skaičiuotuvą nustatykime dviejų kvadratinį radikalą. Įveskime reikšmę 2 langelyje „Skaičius (x)“, o taip pat 2 langelyje „Laipsnis (n)“ Gausime išraišką sqrt (2) = 1,4142. Taigi, norint apytiksliai įvertinti kvadrato įstrižainę, pakanka jo kraštinę padauginti iš 1,4142.

Išvada

Radikalo radimas yra standartinis aritmetinis veiksmas, be kurio moksliniai ar projektiniai skaičiavimai yra būtini. Žinoma, mums nereikia nustatyti šaknų, kad išspręstume kasdienes problemas, tačiau mūsų internetinė skaičiuoklė tikrai pravers moksleiviams ar studentams tikrinant namų darbus algebroje ar skaičiuojant.

Atėjo laikas tai sutvarkyti šaknų ištraukimo metodai. Jie pagrįsti šaknų savybėmis, visų pirma lygybe, kuri galioja bet kuriam neneigiamam skaičiui b.

Žemiau apžvelgsime pagrindinius šaknų išgavimo būdus po vieną.

Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo – šaknų ištraukimas iš natūraliųjų skaičių naudojant kvadratų lentelę, kubelių lentelę ir kt.

Jei lentelės iš kvadratų, kubelių ir kt. Jei jo neturite po ranka, logiška naudoti šaknies išskyrimo metodą, kuris apima radikalaus skaičiaus skaidymą į pirminius veiksnius.

Atskirai verta paminėti, kas įmanoma šaknims su nelyginiais rodikliais.

Galiausiai apsvarstykime metodą, leidžiantį nuosekliai rasti šaknies reikšmės skaitmenis.

Pradėkime.

Naudojant kvadratų lentelę, kubelių lentelę ir kt.

Paprasčiausiais atvejais šaknis leidžia išgauti kvadratų, kubelių ir pan. Kas yra šios lentelės?

Sveikųjų skaičių nuo 0 iki 99 imtinai kvadratų lentelė (parodyta žemiau) susideda iš dviejų zonų. Pirmoji lentelės zona yra pilkame fone, pasirinkus konkrečią eilutę ir stulpelį, ji leidžia sudaryti skaičių nuo 0 iki 99. Pavyzdžiui, pasirinkime 8 dešimčių eilutę ir 3 vienetų stulpelį, taip pataisydami skaičių 83. Antroji zona užima likusią stalo dalį. Kiekvienas langelis yra tam tikros eilutės ir tam tikro stulpelio sankirtoje ir yra atitinkamo skaičiaus kvadratas nuo 0 iki 99. Mūsų pasirinktos 8 dešimčių eilutės ir 3 vienetų stulpelio sankirtoje yra langelis su skaičiumi 6889, kuris yra skaičiaus 83 kvadratas.

Kubų lentelės, skaičių nuo 0 iki 99 ketvirtųjų laipsnių lentelės ir pan., panašios į kvadratų lentelę, tik jose antroje zonoje yra kubelių, ketvirtųjų laipsnių ir pan. atitinkamus skaičius.

Kvadratų, kubelių, ketvirtųjų laipsnių lentelės ir kt. leidžia išgauti kvadratines šaknis, kubines šaknis, ketvirtąsias šaknis ir kt. atitinkamai iš šiose lentelėse pateiktų skaičių. Paaiškinkime jų naudojimo principą išgaunant šaknis.

Tarkime, kad reikia išgauti n-ąją skaičiaus a šaknį, o skaičius a yra n-ųjų laipsnių lentelėje. Naudodami šią lentelę randame skaičių b, kad a=b n. Tada , todėl skaičius b bus norima n-ojo laipsnio šaknis.

Kaip pavyzdį parodykime, kaip naudoti kubo lentelę, norint išgauti 19 683 kubo šaknį. Kubų lentelėje randame skaičių 19 683, iš jo randame, kad šis skaičius yra skaičiaus 27 kubas, todėl .

Aišku, kad n-ųjų galių lentelės labai patogios šaknims išgauti. Tačiau jų dažnai nėra po ranka, o jų sudarymas reikalauja šiek tiek laiko. Be to, dažnai reikia išgauti šaknis iš skaičių, kurių nėra atitinkamose lentelėse. Tokiais atvejais turite naudoti kitus šaknų ištraukimo būdus.

Radikalaus skaičiaus faktorinavimas į pirminius veiksnius

Gana patogus būdas išgauti natūraliojo skaičiaus šaknį (jei, žinoma, šaknis išskirta) yra radikalųjį skaičių išskaidyti į pirminius veiksnius. Jo esmė tokia: po to gana paprasta jį pavaizduoti kaip laipsnį su norimu rodikliu, kuris leidžia gauti šaknies reikšmę. Paaiškinkime šį dalyką.

Tegu paimama n-oji natūraliojo skaičiaus a šaknis ir jos reikšmė lygi b. Šiuo atveju lygybė a=b n yra teisinga. Skaičius b, kaip ir bet kuris natūralusis skaičius, gali būti pavaizduotas kaip visų jo pirminių faktorių p 1 , p 2 , …, p m sandauga forma p 1 ·p 2 ·…·p m , o radikalinis skaičius a šiuo atveju vaizduojamas kaip (p 1 · p 2 ·… · p m) n . Kadangi skaičiaus išskaidymas į pirminius veiksnius yra unikalus, radikalinio skaičiaus a išskaidymas į pirminius veiksnius turės formą (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, todėl bus galima apskaičiuoti šaknies reikšmę. kaip .

Atkreipkite dėmesį, kad jei radikalinio skaičiaus a išskaidymas į pirminius veiksnius negali būti pavaizduotas forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, tada tokio skaičiaus a n-oji šaknis nėra visiškai išskirta.

Išsiaiškinkime tai spręsdami pavyzdžius.

Pavyzdys.

Paimkite kvadratinę šaknį iš 144.

Sprendimas.

Jei pažvelgsite į ankstesnėje pastraipoje pateiktą kvadratų lentelę, aiškiai pamatysite, kad 144 = 12 2, iš kurios aišku, kad 144 kvadratinė šaknis yra 12.

Tačiau atsižvelgiant į tai, mus domina, kaip šaknis išgaunama išskaidžius radikalųjį skaičių 144 į pirminius veiksnius. Pažvelkime į šį sprendimą.

Išskaidykime 144 prie pagrindinių veiksnių:

Tai yra, 144=2·2·2·2·3·3. Remiantis gautu skaidymu, gali būti atliekamos šios transformacijos: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = (2 · 2) 2 · 3 2 = (2 · 2 · 3) 2 = 12 2. Vadinasi, .

Naudojant laipsnio savybes ir šaknų savybes, tirpalą būtų galima suformuluoti kiek kitaip: .

Atsakymas:

Norėdami konsoliduoti medžiagą, apsvarstykite dar dviejų pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite šaknies vertę.

Sprendimas.

Radikalio skaičiaus 243 pirminis faktorius turi formą 243=3 5 . Taigi, .

Atsakymas:

Pavyzdys.

Ar šaknies reikšmė yra sveikasis skaičius?

Sprendimas.

Norėdami atsakyti į šį klausimą, suskirstykime radikalųjį skaičių į pirminius veiksnius ir pažiūrėkime, ar jį galima pavaizduoti kaip sveikojo skaičiaus kubą.

Turime 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2. Gauta plėtra negali būti pavaizduota kaip sveikojo skaičiaus kubas, nes pirminio koeficiento 7 laipsnis nėra trijų kartotinis. Todėl negalima visiškai išgauti 285 768 kubo šaknies.

Atsakymas:

Nr.

Šaknų ištraukimas iš trupmeninių skaičių

Atėjo laikas išsiaiškinti, kaip išgauti trupmeninio skaičiaus šaknį. Tegul trupmeninis radikalinis skaičius užrašomas kaip p/q. Pagal koeficiento šaknies savybę teisinga tokia lygybė. Iš šios lygybės išplaukia trupmenos šaknies ištraukimo taisyklė: trupmenos šaknis yra lygi skaitiklio šaknies daliniui, padalytam iš vardiklio šaknies.

Pažvelkime į šaknies ištraukimo iš trupmenos pavyzdį.

Pavyzdys.

Kokia yra bendrosios trupmenos 25/169 kvadratinė šaknis?

Sprendimas.

Naudodamiesi kvadratų lentele, nustatome, kad pradinės trupmenos skaitiklio kvadratinė šaknis yra lygi 5, o vardiklio kvadratinė šaknis lygi 13. Tada . Tai užbaigia paprastosios frakcijos 25/169 šaknies išgavimą.

Atsakymas:

Dešimtainės trupmenos arba mišraus skaičiaus šaknis išgaunama radikalius skaičius pakeitus paprastosiomis trupmenomis.

Pavyzdys.

Paimkite dešimtainės trupmenos 474.552 kubinę šaknį.

Sprendimas.

Įsivaizduokime pradinę dešimtainę trupmeną kaip paprastąją trupmeną: 474.552=474552/1000. Tada . Belieka išskirti kubo šaknis, kurios yra gautos trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje. Nes 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 = 78 3 ir 1 000 = 10 3, tada Ir . Belieka tik užbaigti skaičiavimus .

Atsakymas:

.

Neigiamojo skaičiaus šaknies paėmimas

Verta pasilikti ties šaknų ištraukimu iš neigiamų skaičių. Tirdami šaknis sakėme, kad kai šaknies rodiklis yra nelyginis skaičius, tada po šaknies ženklu gali būti neigiamas skaičius. Šiems įrašams suteikėme tokią reikšmę: neigiamam skaičiui −a ir nelyginiam šaknies 2 n−1 rodikliui, . Ši lygybė suteikia nelyginių šaknų ištraukimo iš neigiamų skaičių taisyklė: norėdami išgauti neigiamo skaičiaus šaknį, turite paimti priešingo teigiamo skaičiaus šaknį ir prieš rezultatą įdėti minuso ženklą.

Pažvelkime į sprendimo pavyzdį.

Pavyzdys.

Raskite šaknies vertę.

Sprendimas.

Transformuokime pradinę išraišką taip, kad po šaknies ženklu būtų teigiamas skaičius: . Dabar pakeiskite mišrų skaičių paprastąja trupmena: . Taikome paprastosios trupmenos šaknies ištraukimo taisyklę: . Belieka apskaičiuoti gautos trupmenos skaitiklio ir vardiklio šaknis: .

Štai trumpa sprendimo santrauka: .

Atsakymas:

.

Šakninės vertės nustatymas bitais

Paprastai po šaknimi yra skaičius, kuris, naudojant aukščiau aptartus metodus, negali būti vaizduojamas kaip bet kurio skaičiaus n-asis laipsnis. Tačiau šiuo atveju reikia žinoti tam tikros šaknies reikšmę, bent jau iki tam tikro ženklo. Tokiu atveju, norėdami išgauti šaknį, galite naudoti algoritmą, leidžiantį nuosekliai gauti pakankamą norimo skaičiaus skaitmenų skaičių.

Pirmasis šio algoritmo žingsnis yra išsiaiškinti, koks yra svarbiausias šakninės reikšmės bitas. Tam skaičiai 0, 10, 100, ... paeiliui keliami iki laipsnio n, kol gaunamas momentas, kai skaičius viršija radikalųjį skaičių. Tada skaičius, kurį ankstesniame etape padidinome iki laipsnio n, parodys atitinkamą reikšmingiausią skaitmenį.

Pavyzdžiui, apsvarstykite šį algoritmo veiksmą, kai ištraukite kvadratinę šaknį iš penkių. Mes paimame skaičius 0, 10, 100, ... ir padėkite juos kvadratu, kol gausime skaičių, didesnį už 5. Turime 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, o tai reiškia, kad svarbiausias skaitmuo bus vienas. Šio bito, kaip ir žemesniųjų, reikšmė bus rasta kituose šaknies ištraukimo algoritmo žingsniuose.

Visais sekančiais algoritmo žingsniais siekiama nuosekliai išsiaiškinti šaknies reikšmę, surandant norimos šaknies reikšmės kitų bitų reikšmes, pradedant nuo didžiausio ir pereinant prie mažiausių. Pavyzdžiui, šaknies reikšmė pirmame žingsnyje pasirodo esanti 2, antrajame – 2,2, trečiame – 2,23 ir tt 2,236067977…. Apibūdinkime, kaip randamos bitų reikšmės.

Skaičiai randami ieškant pagal galimas jų reikšmes 0, 1, 2, ..., 9. Tokiu atveju lygiagrečiai apskaičiuojamos atitinkamų skaičių n-osios laipsniai ir lyginami su radikaliuoju skaičiumi. Jei tam tikru etapu laipsnio reikšmė viršija radikalų skaičių, tada skaitmens, atitinkančio ankstesnę reikšmę, reikšmė laikoma rasta ir pereinama prie kito šaknies ištraukimo algoritmo žingsnio, jei tai neįvyksta; tada šio skaitmens reikšmė lygi 9.

Paaiškinkime šiuos taškus naudodami tą patį penkių kvadratinės šaknies ištraukimo pavyzdį.

Pirmiausia randame vienetų skaitmens reikšmę. Mes eisime per reikšmes 0, 1, 2, ..., 9, atitinkamai apskaičiuodami 0 2, 1 2, ..., 9 2, kol gausime reikšmę, didesnę už radikalų skaičių 5. Visus šiuos skaičiavimus patogu pateikti lentelės pavidalu:

Taigi vienetų skaitmens reikšmė yra 2 (nuo 2 2<5 , а 2 3 >5). Pereikime prie dešimtosios vietos vertės nustatymo. Tokiu atveju skaičius 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 padalinsime kvadratu, gautas reikšmes lygindami su radikaliu skaičiumi 5:

Nuo 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, tada dešimtosios vietos reikšmė yra 2. Galite pradėti ieškoti šimtosios vietos vertės:

Taip buvo rasta kita penkių šaknies reikšmė, ji lygi 2,23. Taigi galite ir toliau ieškoti vertybių: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Norėdami konsoliduoti medžiagą, mes analizuosime šaknies ištraukimą šimtųjų dalių tikslumu, naudodami nagrinėjamą algoritmą.

Pirmiausia nustatome reikšmingiausią skaitmenį. Norėdami tai padaryti, supjaustome skaičius 0, 10, 100 ir kt. kol gausime skaičių, didesnį už 2 151 186. Turime 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , todėl reikšmingiausias skaitmuo yra dešimties skaitmuo.

Nustatykime jo vertę.

Nuo 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, tada dešimties vietos reikšmė yra 1. Pereikime prie vienetų.

Taigi vienetų skaitmenų reikšmė yra 2. Pereikime prie dešimtųjų.

Kadangi net 12,9 3 yra mažesnis už radikalųjį skaičių 2 151,186, tai dešimtosios vietos reikšmė yra 9. Belieka atlikti paskutinį algoritmo žingsnį, jis duos mums šaknies reikšmę reikiamu tikslumu.

Šiame etape šaknies reikšmė nustatoma šimtųjų dalių tikslumu: .

Baigdamas šį straipsnį norėčiau pasakyti, kad yra daug kitų būdų išgauti šaknis. Tačiau daugeliui užduočių užtenka aukščiau išnagrinėtų užduočių.

Nuorodos.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 8 klasei. švietimo įstaigų.
• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt. Algebra ir analizės pradžia: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų 10 - 11 klasėms.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas).