Reikalingiausios trigonometrinės formulės. Trigonometrija – pasiruošimas vieningam valstybiniam egzaminui

Atgal į priekį

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

1. Įvadas.

Artėjant prie mokyklos išgirstu vaikinų balsus iš sporto salės, einu toliau - jie dainuoja, piešia... visur emocijos ir jausmai. Mano kabinetas, algebros pamoka, dešimtokai. Čia yra mūsų vadovėlis, kuriame trigonometrijos kursas sudaro pusę jo apimties, o jame yra dvi žymės - tai yra vietos, kur radau žodžių, nesusijusių su trigonometrijos teorija.

Tarp nedaugelio yra mokinių, kurie myli matematiką, jaučia jos grožį ir neklausia, kodėl reikia mokytis trigonometrijos, kur pritaikoma išmokta medžiaga? Dauguma yra tų, kurie tiesiog atlieka užduotis, kad negautų blogo pažymio. Ir mes tvirtai tikime, kad matematikos taikomoji vertė yra įgyti žinių, kurių pakaktų sėkmingai išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą ir įstoti į universitetą (įstoti ir pamiršti).

Pagrindinis pristatomos pamokos tikslas – parodyti trigonometrijos taikomąją vertę įvairiose žmogaus veiklos srityse. Pateikti pavyzdžiai padės mokiniams įžvelgti ryšį tarp šios matematikos dalies ir kitų mokykloje mokytų dalykų. Šios pamokos turinys yra mokinių profesinio rengimo elementas.

Papasakokite ką nors naujo apie iš pažiūros seniai žinomą faktą. Parodykite loginį ryšį tarp to, ką jau žinome, ir to, ko dar reikia išmokti. Šiek tiek atidarykite duris ir pažvelkite ne tik į mokyklos programą. Neįprastos užduotys, ryšiai su šiandienos įvykiais – tokias technikas naudoju siekdamas užsibrėžtų tikslų. Juk mokyklinė matematika kaip dalykas prisideda ne tiek prie mokymosi, kiek prie individo, jo mąstymo, kultūros ugdymo.

2. Pamokos santrauka apie algebrą ir analizės principus (10 kl.).

Organizavimo laikas: Puslankiu išdėliokite šešias lenteles (planštuvo modelis), ant stalų – mokiniams skirtus darbalapius (1 priedas).

Pamokos temos paskelbimas: „Trigonometrija paprasta ir aiški“.

Algebros ir elementarios analizės metu pradedame studijuoti trigonometriją. Norėčiau pakalbėti apie šios matematikos dalies taikomąją reikšmę.

Pamokos baigiamasis darbas:

„Didžiąją gamtos knygą gali skaityti tik tie, kurie moka kalbą, kuria ji parašyta, ir ta kalba yra matematika.
(G. Galilėjus).

Pamokos pabaigoje kartu galvosime, ar sugebėjome pažvelgti į šią knygą ir suprasti, kokia kalba ji parašyta.

Smailiojo kampo trigonometrija.

Trigonometrija yra graikų kalbos žodis ir išvertus reiškia „trikampių matavimas“. Trigonometrijos atsiradimas siejamas su matavimais žemėje, statybomis ir astronomija. Ir jūsų pirmoji pažintis su juo įvyko, kai paėmėte į rankas matuoklį. Ar pastebėjote, kaip išdėstyti stalai? Pagalvokite apie tai mintyse: jei vieną lentelę laikysime styga, tai koks yra lanko, kurį ji nubrėžia, laipsnio matas?

Prisiminkime kampų matą: 1 ° = 1/360 apskritimo dalis („laipsnis“ – iš lot. grad – žingsnis). Ar žinote, kodėl apskritimas buvo padalintas į 360 dalių, kodėl gi ne į 10, 100 ar 1000 dalių, kaip nutinka, pavyzdžiui, matuojant ilgius? Aš jums pasakysiu vieną iš versijų.

Anksčiau žmonės tikėjo, kad Žemė yra Visatos centras ir ji nejuda, o Saulė per dieną vieną kartą apsisuka aplink Žemę, geocentrinę pasaulio sistemą, „geo“ - Žemę ( 1 pav). Babilono žyniai, atlikę astronominius stebėjimus, išsiaiškino, kad lygiadienio dieną Saulė nuo saulėtekio iki saulėlydžio dangaus skliaute nusako puslankį, kuriame matomas Saulės skersmuo (skersmuo) atitinka lygiai 180 kartų, 1 ° - Saulės pėdsakas. ( Pav. Nr. 2).

Ilgą laiką trigonometrija buvo grynai geometrinė. Toliau tęsite įvadą į trigonometriją spręsdami stačiuosius trikampius. Sužinosite, kad stačiojo trikampio smailiojo kampo sinusas yra priešingos kraštinės santykis su hipotenuze, kosinusas yra gretimos kraštinės santykis su hipotenuze, tangentas yra priešingos kraštinės ir gretimos kraštinės santykis ir kotangentas yra gretimos pusės ir priešingos pusės santykis. Ir atminkite, kad stačiakampiame trikampyje, turinčiame nurodytą kampą, kraštinių santykis nepriklauso nuo trikampio dydžio. Išmokite sinuso ir kosinuso teoremas sprendžiant savavališkus trikampius.

2010 metais Maskvos metro sukako 75 metai. Kasdien leidžiamės į metro ir to nepastebime...

Užduotis Nr.1. Visų eskalatorių pasvirimo kampas Maskvos metro yra 30 laipsnių. Žinodami tai, eskalatoriaus lempų skaičių ir apytikslį atstumą tarp lempų, galite apskaičiuoti apytikslį stoties gylį. Tsvetnoy Boulevard stotyje eskalatoriuje yra 15 lempų, o Prazhskaya stotyje - 2 lempos. Apskaičiuokite šių stočių gylį, jei atstumai tarp žibintų nuo eskalatoriaus įėjimo iki pirmo žibinto ir nuo paskutinio žibinto iki eskalatoriaus išėjimo yra 6 m ( 3 pav). Atsakymas: 48 m ir 9 m

Namų darbai. Giliausia Maskvos metro stotis yra Pergalės parkas. Koks jo gylis? Siūlau savarankiškai rasti trūkstamus duomenis, kad išspręstumėte namų darbų problemą.

Rankose turiu lazerinį žymeklį, kuris taip pat yra nuotolio ieškiklis. Išmatuokime, pavyzdžiui, atstumą iki lentos.

Kinų dizaineris Huanas Qiaokunas atspėjo sujungti du lazerinius tolimačius ir transporterį į vieną įrenginį ir gavo įrankį, leidžiantį nustatyti atstumą tarp dviejų plokštumos taškų ( 4 pav). Kaip manote, kokia teorema išsprendžia šią problemą? Prisiminkite kosinuso teoremos formuluotę. Ar sutinkate su manimi, kad jūsų žinių jau pakanka tokiam išradimui sukurti? Išspręskite geometrijos uždavinius ir kasdien atlikite nedidelius atradimus!

Sferinė trigonometrija.

Be plokščios Euklido geometrijos (planimetrijos), gali būti ir kitų geometrijų, kuriose figūrų savybės nagrinėjamos ne plokštumoje, o kituose paviršiuose, pavyzdžiui, rutulio paviršiuje ( 5 pav). Pirmasis matematikas, padėjęs pamatus neeuklido geometrijų raidai, buvo N.I. Lobačevskis - „Geometrijos Kopernikas“. Nuo 1827 m. 19 metų buvo Kazanės universiteto rektorius.

Sferinė trigonometrija, kuri yra sferinės geometrijos dalis, nagrinėja ryšius tarp trikampių kraštinių ir kampų sferoje, kurią sudaro didžiųjų apskritimų lankai ant sferos ( 6 pav).

Istoriškai sferinė trigonometrija ir geometrija atsirado dėl astronomijos, geodezijos, navigacijos ir kartografijos poreikių. Pagalvokite, kuri iš šių sričių pastaraisiais metais taip sparčiai vystėsi, kad jos rezultatai jau naudojami šiuolaikiniuose komunikatoriuose. ... Šiuolaikinė navigacijos taikymas – palydovinė navigacijos sistema, leidžianti iš jo imtuvo signalo nustatyti objekto vietą ir greitį.

Pasaulinė navigacijos sistema (GPS). Norint nustatyti imtuvo platumą ir ilgumą, būtina priimti signalus iš mažiausiai trijų palydovų. Signalo priėmimas iš ketvirtojo palydovo leidžia nustatyti objekto aukštį virš paviršiaus ( 7 pav).

Imtuvo kompiuteris išsprendžia keturias lygtis keturiuose nežinomuose, kol randamas sprendimas, nubrėžiantis visus apskritimus per vieną tašką ( 8 pav).

Paaiškėjo, kad ūmaus kampo trigonometrijos žinių nepakako sudėtingesniems praktiniams uždaviniams spręsti. Tiriant sukimosi ir apskritimo judesius, kampo ir apskritimo lanko reikšmė neribojama. Iškilo poreikis pereiti prie apibendrinto argumento trigonometrijos.

Apibendrinto argumento trigonometrija.

Apskritimas ( 9 pav). Teigiami kampai brėžiami prieš laikrodžio rodyklę, neigiami – pagal laikrodžio rodyklę. Ar esate susipažinęs su tokio susitarimo istorija?

Kaip žinia, mechaniniai ir saulės laikrodžiai sukurti taip, kad jų rodyklės sukasi „palei saulę“, t.y. ta pačia kryptimi, kuria matome tariamą Saulės judėjimą aplink Žemę. (Prisiminkite pamokos pradžią – geocentrinę pasaulio sistemą). Tačiau Kopernikui atradus tikrąjį (teigiamą) Žemės judėjimą aplink Saulę, Saulės judėjimas aplink Žemę, kurį matome (t. y. akivaizdus), yra fiktyvus (neigiamas). Heliocentrinė pasaulio sistema (helio - Saulė) ( 10 pav).

Apšilimas.

1. Ištieskite dešinę ranką priešais save lygiagrečiai stalo paviršiui ir atlikite 720 laipsnių apvalų apsisukimą.
2. Ištieskite kairę ranką priešais save lygiagrečiai stalo paviršiui ir atlikite apskrito (–1080) laipsnių pasukimą.
3. Padėkite rankas ant pečių ir atlikite 4 sukamuosius judesius pirmyn ir atgal. Kokia yra sukimosi kampų suma?

2010 m. žiemos olimpinės žaidynės vyko Vankuveryje, mes mokomės čiuožėjo pratybų vertinimo kriterijų, sprendžiant problemą.

2 užduotis. Jei čiuožėjas, atlikdamas „sraigtinio“ pratimą per 12 sekundžių, apsisuka 10 800 laipsnių kampu, jis gauna įvertinimą „puikiai“. Nustatykite, kiek apsisukimų čiuožėjas padarys per šį laiką ir jo sukimosi greitį (apsukimų per sekundę). Atsakymas: 2,5 apsisukimų/sek.

Namų darbai. Kokiu kampu sukasi čiuožėjas, gavęs „nepatenkinamą“ įvertinimą, jei tuo pačiu sukimosi metu jo greitis buvo 2 apsisukimai per sekundę.

Patogiausias lankų ir kampų, susijusių su sukimosi judesiais, matas pasirodė esąs radianas (spindulys), kaip didesnis kampo ar lanko matavimo vienetas ( 11 pav). Šis kampų matavimo matas į mokslą pateko per nuostabius Leonhardo Eulerio darbus. Šveicaras, gimęs, 30 metų gyveno Rusijoje, buvo Sankt Peterburgo mokslų akademijos narys. Būtent jam mes skolingi už „analitinį“ visos trigonometrijos aiškinimą, jis išvedė formules, kurias dabar studijuojate, įvedė vienodus ženklus: nuodėmė x, cos x, tg x,ctg x.

Jei iki XVII amžiaus trigonometrinių funkcijų doktrinos raida buvo statoma geometriniu pagrindu, tai nuo XVII amžiaus trigonometrinės funkcijos pradėtos taikyti mechanikos, optikos, elektros uždaviniams spręsti, svyravimo procesams ir bangoms aprašyti. paplitimas. Visur, kur turime susidurti su periodiniais procesais ir svyravimais, trigonometrinės funkcijos rado pritaikymą. Funkcijos, išreiškiančios periodinių procesų dėsnius, turi ypatingą savybę, būdingą tik joms: jos pakartoja savo reikšmes po to paties argumento pasikeitimo intervalo. Bet kurios funkcijos pokyčiai aiškiausiai perteikiami jos grafike ( 12 pav).

Jau kreipėmės į savo kūną pagalbos spręsdami su sukimu susijusias problemas. Įsiklausykime į savo širdies plakimą. Širdis yra nepriklausomas organas. Smegenys kontroliuoja visus mūsų raumenis, išskyrus širdį. Jis turi savo valdymo centrą – sinusinį mazgą. Su kiekvienu širdies susitraukimu elektros srovė pasklinda po visą kūną – pradedant nuo sinusinio mazgo (soros grūdelio dydžio). Jį galima įrašyti naudojant elektrokardiografą. Jis nubraižo elektrokardiogramą (sinusoidą) ( 13 pav).

Dabar pakalbėkime apie muziką. Matematika yra muzika, tai intelekto ir grožio sąjunga.
Muzika yra matematika skaičiavime, algebra – abstrakcija, trigonometrija – grožiu. Harmoninis svyravimas (harmoninis) yra sinusinis svyravimas. Grafike matyti, kaip kinta oro slėgis klausytojo ausies būgnelyje: aukštyn ir žemyn lanku, periodiškai. Oras spaudžia, dabar stipresnis, dabar silpnesnis. Smūgio jėga labai maža, o vibracijos atsiranda labai greitai: šimtai ir tūkstančiai smūgių kas sekundę. Tokius periodinius virpesius suvokiame kaip garsą. Dviejų skirtingų harmonikų pridėjimas suteikia sudėtingesnės formos vibraciją. Trijų harmonikų suma yra dar sudėtingesnė, o natūralūs garsai ir muzikos instrumentų garsai susideda iš daugybės harmonikų. ( 14 pav.)

Kiekviena harmonika apibūdinama trimis parametrais: amplitudė, dažnis ir fazė. Virpesių dažnis parodo, kiek oro slėgio smūgių įvyksta per vieną sekundę. Aukšti dažniai suvokiami kaip „aukšti“, „ploni“ garsai. Virš 10 KHz – girgždėjimas, švilpimas. Maži dažniai suvokiami kaip „žemi“, „bosiniai“ garsai, ūžesys. Amplitudė yra virpesių diapazonas. Kuo didesnė apimtis, tuo didesnis poveikis ausies būgneliui ir tuo garsesnis girdimas ( 15 pav). Fazė – svyravimų poslinkis laike. Fazė gali būti matuojama laipsniais arba radianais. Priklausomai nuo fazės, nulinis taškas diagramoje pasislenka. Norint nustatyti harmoniką, pakanka nurodyti fazę nuo –180 iki +180 laipsnių, nes esant didelėms vertėms, virpesiai kartojasi. Du sinusiniai signalai, kurių amplitudė ir dažnis yra vienodi, bet skirtingos fazės, pridedami algebriškai ( 16 pav).

Pamokos santrauka. Kaip manote, ar mums pavyko perskaityti kelis puslapius iš Didžiosios gamtos knygos? Sužinojus apie taikomąją trigonometrijos reikšmę, ar supratote pateiktą medžiagą jos vaidmuo įvairiose žmogaus veiklos srityse? Tada prisiminkite ir išvardinkite trigonometrijos taikymo sritis, kurias sutikote šiandien arba žinojote anksčiau. Tikiuosi, kad kiekvienas iš jūsų šios dienos pamokoje rado kažką naujo ir įdomaus. Galbūt šis naujas dalykas parodys kelią renkantis būsimą profesiją, bet kad ir kuo taptum, matematinis išsilavinimas padės tapti profesionalu ir intelektualiai išsivysčiusiu žmogumi.

Namų darbai. Perskaitykite pamokos santrauką (

Šioje pamokoje išmoksime apibrėžimus trigonometrinės funkcijos ir pagrindinės jų savybės, išmokite dirbti su trigonometrinis ratas, išsiaiškinkime, kas tai yra funkcijos laikotarpis ir prisiminti įvairius kampų matavimo būdai. Be to, mes suprasime naudojimą redukcijos formules.

Ši pamoka padės jums pasiruošti atlikti vieną iš užduočių tipų 7 val.

Pasirengimas vieningam valstybiniam matematikos egzaminui

Eksperimentuokite

7 pamoka.Įvadas į trigonometriją.

teorija

Pamokos santrauka

Šiandien pradedame skyrių, kuris daugeliui turi baisų pavadinimą „Trigonometrija“. Iš karto paaiškinkime, kad tai nėra atskiras dalykas, panašus į geometriją, kaip kai kurie žmonės galvoja. Nors išvertus iš graikų kalbos, žodis „trigonometrija“ reiškia „trikampių matavimas“ ir yra tiesiogiai susijęs su geometrija. Be to, trigonometriniai skaičiavimai plačiai naudojami fizikoje ir technikoje. Bet pradėsime nuo svarstymo, kaip pagrindinės trigonometrinės funkcijos įvedamos geometrijoje naudojant stačiąjį trikampį.

Ką tik panaudojome terminą „trigonometrinė funkcija“ – tai reiškia, kad pristatysime visą klasę tam tikrų vieno ir kito kintamojo atitikimo dėsnių.

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačiakampį trikampį, kuriame patogumui naudojami standartiniai kraštinių ir kampų žymėjimai, kuriuos galite pamatyti paveikslėlyje:

Apsvarstykite, pavyzdžiui, kampąir įveskite šiuos veiksmus:

Pavadinkime priešingos pusės santykį su hipotenuzės sinusu, t.y.

Pavadinkime gretimos kojos santykį su hipotenuzės kosinusu, t.y. ;

Priešingos pusės ir gretimos pusės santykis bus vadinamas tangentiniu, t.y. ;

Gretimos pusės ir priešingos pusės santykis bus vadinamas kotangentiniu, t.y. .

Visi šie veiksmai su kampu vadinami trigonometrinės funkcijos. Pats kampas paprastai vadinamas trigonometrinės funkcijos argumentas ir jis gali būti žymimas, pavyzdžiui, X, kaip paprastai įprasta algebroje.

Svarbu iš karto suprasti, kad trigonometrinės funkcijos konkrečiai priklauso nuo stačiakampio kampo, o ne nuo jo kraštinių. Tai nesunku įrodyti, jei laikysime panašų į šį trikampį, kuriame kraštinių ilgiai skirsis, bet visi kampai ir kraštinių santykiai nesikeis, t.y. Kampų trigonometrinės funkcijos taip pat išliks nepakitusios.

Po šio trigonometrinių funkcijų apibrėžimo gali kilti klausimas: „Ar yra pvz.? Juk kampelisnegali būti stačiakampiame trikampyje» . Kaip bebūtų keista, atsakymas į šį klausimą yra teigiamas, o šios išraiškos reikšmė lygi , o tai dar labiau stebina, nes visos trigonometrinės funkcijos yra stačiojo trikampio kraštinių santykis, o kraštinių ilgiai yra teigiami skaičiai.

Tačiau tame nėra paradokso. Faktas yra tas, kad, pavyzdžiui, fizikoje, aprašant kai kuriuos procesus, reikia naudoti ne tik didelių, bet ir didelių bei lygių kampų trigonometrines funkcijas. Tam reikia įvesti bendresnę trigonometrinių funkcijų skaičiavimo taisyklę naudojant vadinamąjį. "vieneto trigonometrinis apskritimas".

Tai vienetinio spindulio apskritimas, nubrėžtas taip, kad jo centras būtų Dekarto plokštumos pradžioje.

Norėdami pavaizduoti kampus šiame apskritime, turite susitarti, iš kur juos įdėti. Priimta kampo atskaitos spinduliu imti teigiamą abscisių ašies kryptį, t.y. x ašis. Kampų nusodinimo kryptis laikoma prieš laikrodžio rodyklę. Remdamiesi šiais susitarimais, pirmiausia atidėkime smailiąjį kampą. Būtent tokiems aštriems kampams mes jau žinome, kaip apskaičiuoti trigonometrinių funkcijų reikšmes stačiakampyje. Pasirodo, naudojant pavaizduotą apskritimą galima apskaičiuoti ir trigonometrines funkcijas, tik patogiau.

Smagiojo kampo sinuso ir kosinuso reikšmės yra šio kampo kraštinės susikirtimo su vienetiniu apskritimu taško koordinatės:

Tai galima parašyti taip:

:

Remiantis tuo, koordinatės išilgai x ašies rodo kosinuso reikšmę, o koordinatės išilgai y ašies rodo kampo sinuso reikšmę, patogu pervardyti ašių pavadinimus koordinačių sistemoje su vienetiniu apskritimu, kaip matote paveikslėlyje:

Abscisių ašis pervadinama į kosinuso ašį, o ordinačių ašis - sinuso ašį.

Nurodyta sinuso ir kosinuso nustatymo taisyklė apibendrinta ir bukiesiems kampams, ir kampams, esantiems diapazone nuo iki. Šiuo atveju sinusai ir kosinusai gali įgyti ir teigiamas, ir neigiamas reikšmes. Įvairūs šių trigonometrinių funkcijų reikšmių ženklai priklausomai nuo to, į kurį ketvirtį patenka atitinkamas kampas, įprasta jį pavaizduoti taip:

Kaip matote, trigonometrinių funkcijų ženklus lemia jų atitinkamų ašių teigiamos ir neigiamos kryptys.

Be to, verta atkreipti dėmesį į tai, kad kadangi didžiausia vienetinio apskritimo taško koordinatė tiek išilgai abscisių, tiek iš ordinačių ašies yra lygi vienetui, o mažiausia yra minus vienas, tada sinuso ir kosinuso reikšmės apsiriboja šiais skaičiais:

Šie įrašai taip pat paprastai rašomi tokia forma:

Norint įvesti trigonometrinio apskritimo liestinės ir kotangento funkcijas, reikia nubrėžti papildomus elementus: apskritimo liestinę taške A - iš jo nustatoma kampo liestinės reikšmė, o liestinę taške A. taškas B - iš jo nustatoma kampo kotangento reikšmė.

Tačiau mes nesigilinsime į trigonometrinio apskritimo liestinių ir kotangentų apibrėžimą, nes juos galima lengvai apskaičiuoti žinant tam tikro kampo sinuso ir kosinuso reikšmes, kurias jau žinome. Jei norite sužinoti, kaip apskaičiuoti trigonometrinio apskritimo liestinę ir kotangentą, peržiūrėkite 10 klasės algebros kurso programą.

Ant apskritimo nurodome tik vaizdą liestinių ir kotangentų ženklai priklausomai nuo kampo:

Atminkite, kad, panašiai kaip sinuso ir kosinuso reikšmių diapazonus, galite nurodyti liestinės ir kotangentinės verčių diapazonus. Remiantis jų apibrėžimu trigonometriniame apskritime, šių funkcijų reikšmės neribojamos:

Ką dar galima parašyti taip:

Be kampų diapazone nuo iki, trigonometrinis apskritimas leidžia dirbti su kampais, kurie yra didesni ir lygūs su neigiamais kampais. Tokios kampo reikšmės, nors ir atrodo beprasmės geometrijai, naudojamos kai kuriems fiziniams procesams apibūdinti. Pavyzdžiui, kaip atsakyti į klausimą: „Kokiu kampu pasisuks laikrodžio rodyklė per dieną? Per tiek laiko jis atliks du pilnus apsisukimus, o per vieną apsisukimą praeis, t.y. per dieną jis pavirs į . Kaip matote, tokios vertybės turi labai praktinę reikšmę. Sukimosi krypčiai nurodyti naudojami kampiniai ženklai – vieną iš krypčių susitariama matuoti teigiamais kampais, o kitą – neigiamais. Kaip į tai galima atsižvelgti trigonometriniame apskritime?

Apskritime su tokiais kampais jie veikia taip:

1) Kampai, kurie yra didesni už , brėžiami prieš laikrodžio rodyklę, eidami per pradžią tiek kartų, kiek reikia. Pavyzdžiui, norint sukurti kampą, reikia atlikti du pilnus apsisukimus ir dar vieną. Visos trigonometrinės funkcijos apskaičiuojamos galutinei padėčiai. Nesunku pastebėti, kad visų trigonometrinių funkcijų reikšmės ir už bus vienodos.

2) Neigiami kampai išdėstomi tiksliai pagal tą patį principą kaip ir teigiami, tik pagal laikrodžio rodyklę.

Vien didelių kampų konstravimo metodu galime daryti išvadą, kad skirtingų kampų sinusų ir kosinusų reikšmės yra vienodos. Jei analizuosime liestinių ir kotangentų reikšmes, jos bus vienodos kampams, kurie skiriasi .

Tokie minimalūs nuliniai skaičiai, pridedami prie argumento, nekeičia funkcijos reikšmės, yra iškviečiami laikotarpįšią funkciją.

Taigi, laikotarpįsinusas ir kosinusas yra lygūs, tangentas ir kotangentas. Tai reiškia, kad nesvarbu, kiek pridėsite ar atimsite šiuos laikotarpius iš nagrinėjamų kampų, trigonometrinių funkcijų reikšmės nepasikeis.

Pavyzdžiui, , ir kt.

Prie šios trigonometrinių funkcijų savybės detalesnio paaiškinimo ir taikymo grįšime vėliau.

Yra tam tikri ryšiai tarp to paties argumento trigonometrinių funkcijų, kurios labai dažnai naudojamos ir vadinamos pagrindinės trigonometrinės tapatybės.

Jie atrodo taip:

1) , vadinamasis „trigonometrinis vienetas“

3)

4)

5)

Atkreipkite dėmesį, kad, pavyzdžiui, žymėjimas reiškia, kad visa trigonometrinė funkcija yra kvadratinė. Tie. jis gali būti pavaizduotas tokia forma: . Svarbu suprasti, kad tai nėra lygu tokiam žymėjimui kaip , šiuo atveju kvadratu rašomas tik argumentas, o ne visa funkcija, be to, tokio tipo išraiškos yra itin retos.

Yra dvi labai naudingos pirmosios tapatybės pasekmės, kurios gali būti naudingos sprendžiant daugelio tipų problemas. Po paprastų transformacijų sinusą galite išreikšti to paties kampo kosinusu ir atvirkščiai:

Pasirodo du galimi išraiškos ženklai, nes imant aritmetinę kvadratinę šaknį gaunamos tik neneigiamos reikšmės, o sinusas ir kosinusas, kaip jau matėme, gali turėti neigiamas reikšmes. Be to, šių funkcijų ženklus patogiausia nustatyti naudojant trigonometrinį apskritimą, atsižvelgiant į tai, kokie kampai juose yra.

Dabar prisiminkime, kad kampus galima išmatuoti dviem būdais: laipsniais ir radianais. Nurodykime vieno laipsnio ir vieno radiano apibrėžimus.

Vienas laipsnis- tai kampas, sudarytas iš dviejų spindulių, kurie sudaro apskritimui lygų lanką.

Vienas radianas- tai kampas, sudarytas iš dviejų spindulių, kuriuos sudaro lankas, lygus spinduliams.

Tie. tai tiesiog du skirtingi kampų matavimo būdai, kurie yra visiškai vienodi. Apibūdinant fizikinius procesus, kuriems būdingos trigonometrinės funkcijos, įprasta naudoti radianinį kampų matą, todėl ir mums teks prie jo priprasti.

Įprasta matuoti kampus radianais pi dalimis, pavyzdžiui, arba. Šiuo atveju skaičių „pi“, kuris yra lygus 3,14, galima pakeisti, tačiau tai daroma retai.

Kampų laipsnio matą paversti radianais pasinaudokite tuo, kad kampas yra , iš kurio nesunku gauti bendrą vertimo formulę:

Pavyzdžiui, konvertuokime į radianus: .

Yra ir priešingai formulęperskaičiavimas iš radianų į laipsnius:

Pavyzdžiui, konvertuokime į laipsnius: .

Šioje temoje gana dažnai naudosime radianinį kampo matą.

Dabar pats laikas prisiminti, kokias konkrečias reikšmes gali suteikti įvairių kampų trigonometrinės funkcijos. Kai kuriems kampams, kurie yra kartotiniai , yra trigonometrinių funkcijų verčių lentelė. Kad būtų patogiau, kampai pateikiami laipsniais ir radianais.

Su šiais kampais dažnai susiduriama daugelyje problemų, todėl šioje lentelėje patartina naršyti užtikrintai. Kai kurių kampų liestinės ir kotangentinės reikšmės neturi prasmės, o tai lentelėje nurodoma brūkšneliais. Patys pagalvokite, kodėl taip yra, arba skaitykite apie tai išsamiau pamokos įdėkle.

Paskutinis dalykas, su kuriuo turime susipažinti pirmoje trigonometrijos pamokoje, yra trigonometrinių funkcijų transformacija naudojant vadinamąsias redukcijos formules.

Pasirodo, yra tam tikras trigonometrinių funkcijų išraiškos tipas, kuris yra gana įprastas ir patogiai supaprastintas. Pavyzdžiui, tai yra posakiai: etc.

Tie. Kalbėsime apie funkcijas, kurios kaip argumentą priima savavališką kampą, pakeistą į visą arba pusę. Tokios funkcijos supaprastinamos iki argumento, kuris yra lygus savavališkam dalių pridėjimo arba atėmimo kampui. Pavyzdžiui, , A . Kaip matote, rezultatas gali būti priešinga funkcija, o funkcija gali pakeisti ženklą.

Todėl tokių funkcijų transformavimo taisykles galima suskirstyti į du etapus. Pirmiausia turite nustatyti, kokią funkciją gausite po transformacijos:

1) Jei savavališkas argumentas pakeičiamas į sveikąjį skaičių, funkcija nepasikeičia. Tai galioja funkcijoms tipo , kur bet koks sveikasis skaičius;

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Pateikiami ryšiai tarp pagrindinių trigonometrinių funkcijų – sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. trigonometrines formules. O kadangi sąsajų tarp trigonometrinių funkcijų yra gana daug, tai paaiškina trigonometrinių formulių gausą. Vienos formulės jungia to paties kampo trigonometrines funkcijas, kitos – kelių kampų funkcijas, kitos – leidžia sumažinti laipsnį, ketvirtos – visas funkcijas išreikšti per pusės kampo liestinę ir pan.

Šiame straipsnyje iš eilės išvardinsime visas pagrindines trigonometrines formules, kurių pakanka daugeliui trigonometrijos problemų išspręsti. Kad būtų lengviau įsiminti ir naudoti, sugrupuosime juos pagal paskirtį ir surašysime į lenteles.

Puslapio naršymas.

Pagrindinės trigonometrinės tapatybės

Pagrindinės trigonometrinės tapatybės apibrėžti ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. Jie išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo, taip pat vieneto apskritimo sąvokos. Jie leidžia išreikšti vieną trigonometrinę funkciją bet kuria kita.

Išsamų šių trigonometrinių formulių aprašymą, jų išvedimą ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje.

Sumažinimo formulės

Sumažinimo formulės išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento savybių, tai yra, jos atspindi trigonometrinių funkcijų periodiškumo savybę, simetrijos savybę, taip pat poslinkio tam tikru kampu savybę. Šios trigonometrinės formulės leidžia pereiti nuo darbo su savavališkais kampais prie darbo su kampais nuo nulio iki 90 laipsnių.

Straipsnyje galima išnagrinėti šių formulių pagrindimą, jų įsiminimo mnemoninę taisyklę ir jų taikymo pavyzdžius.

Sudėjimo formulės

Trigonometrinės sudėties formulės parodykite, kaip dviejų kampų sumos arba skirtumo trigonometrinės funkcijos išreiškiamos tų kampų trigonometrinėmis funkcijomis. Šios formulės yra pagrindas išvesti šias trigonometrines formules.

Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampu

Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampas (jos dar vadinamos kelių kampų formulėmis) parodo, kaip trigonometrinės funkcijos veikia dvigubai, trigubai ir kt. kampai () išreiškiami vieno kampo trigonometrinėmis funkcijomis. Jų išvedimas pagrįstas sudėjimo formulėmis.

Išsamesnė informacija surinkta straipsnių formulėse, skirtose dvigubai, trigubai ir kt. kampu

Pusės kampo formulės

Pusės kampo formulės parodykite, kaip trigonometrinės pusės kampo funkcijos išreiškiamos viso kampo kosinusu. Šios trigonometrinės formulės kyla iš dvigubo kampo formulių.

Jų išvadas ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje.

Laipsnio mažinimo formulės

Trigonometrinės laipsnių mažinimo formulės yra skirti palengvinti perėjimą nuo natūralių trigonometrinių funkcijų galių prie sinusų ir kosinusų pirmojo laipsnio, bet kelių kampų. Kitaip tariant, jie leidžia sumažinti trigonometrinių funkcijų galias iki pirmosios.

Trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės

Pagrindinis tikslas trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės yra eiti į funkcijų sandaugą, o tai labai naudinga supaprastinant trigonometrines išraiškas. Šios formulės taip pat plačiai naudojamos sprendžiant trigonometrines lygtis, nes leidžia apskaičiuoti sinusų ir kosinusų sumą ir skirtumą.

Sinusų, kosinusų ir sinusų sandauga pagal kosinusą formulės

Perėjimas nuo trigonometrinių funkcijų sandaugos prie sumos arba skirtumo atliekamas naudojant sinusų, kosinusų ir sinusų sandaugos formules.

Autorių teisės priklauso protingiems studentams

Visos teisės saugomos.
Saugoma autorių teisių įstatymo. Jokia www.svetainės dalis, įskaitant vidinę medžiagą ir išvaizdą, negali būti atgaminta jokia forma arba naudojama be išankstinio raštiško autorių teisių savininko leidimo.

Sinusas, kosinusas, tangentas – tardami šiuos žodžius gimnazistų akivaizdoje, galite būti tikri, kad du trečdaliai jų praras susidomėjimą tolesniu pokalbiu. Priežastis slypi tame, kad trigonometrijos pagrindai mokykloje mokomi visiškai atsiribojant nuo realybės, todėl mokiniai nemato prasmės studijuoti formules ir teoremas.

Tiesą sakant, atidžiau panagrinėjus, ši žinių sritis pasirodo labai įdomi, taip pat pritaikoma – trigonometrija naudojama astronomijoje, statybose, fizikoje, muzikoje ir daugelyje kitų sričių.

Susipažinkime su pagrindinėmis sąvokomis ir įvardinkime keletą priežasčių, kodėl verta studijuoti šią matematikos mokslo šaką.

Istorija

Nežinoma, kuriuo metu žmonija nuo nulio pradėjo kurti būsimą trigonometriją. Tačiau dokumentuota, kad jau antrajame tūkstantmetyje prieš Kristų egiptiečiai buvo susipažinę su šio mokslo pagrindais: archeologai rado papirusą su užduotimi, kurioje reikėjo rasti piramidės pasvirimo kampą iš dviejų žinomų pusių.

Senovės Babilono mokslininkai pasiekė rimtesnių pasisekimų. Per šimtmečius, studijuodami astronomiją, jie įsisavino daugybę teoremų, įdiegė specialius kampų matavimo metodus, kuriuos, beje, naudojame ir šiandien: laipsnius, minutes ir sekundes Europos mokslas pasiskolino graikų-romėnų kultūroje, į kurią šie vienetai atkeliavo iš babiloniečių.

Daroma prielaida, kad garsioji Pitagoro teorema, susijusi su trigonometrijos pagrindais, babiloniečiams buvo žinoma beveik prieš keturis tūkstančius metų.

vardas

Žodžiu, terminas „trigonometrija“ gali būti išverstas kaip „trikampių matavimas“. Pagrindinis šios mokslo dalies tyrimo objektas daugelį amžių buvo stačiakampis trikampis, tiksliau, santykis tarp kampų dydžių ir jo kraštinių ilgių (šiandien trigonometrijos tyrimas nuo nulio prasideda nuo šio skyriaus). . Dažnai gyvenime pasitaiko situacijų, kai praktiškai neįmanoma išmatuoti visų reikiamų objekto parametrų (ar atstumo iki objekto), o tada atsiranda būtinybė skaičiavimais gauti trūkstamus duomenis.

Pavyzdžiui, anksčiau žmonės negalėjo išmatuoti atstumo iki kosminių objektų, tačiau bandymai apskaičiuoti šiuos atstumus įvyko dar gerokai prieš mūsų eros atėjimą. Trigonometrija taip pat vaidino lemiamą vaidmenį navigacijoje: turėdamas tam tikrų žinių, kapitonas visada galėjo naviguoti pagal žvaigždes naktį ir koreguoti kursą.

Pagrindinės sąvokos

Norint įvaldyti trigonometriją nuo nulio, reikia suprasti ir atsiminti keletą pagrindinių terminų.

Tam tikro kampo sinusas yra priešingos pusės ir hipotenuzės santykis. Paaiškinkime, kad priešinga koja yra pusė, esanti priešinga kampui, kurį mes svarstome. Taigi, jei kampas yra 30 laipsnių, šio kampo sinusas, esant bet kokiam trikampio dydžiui, visada bus lygus ½. Kampo kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.

Tangentas yra priešingos kraštinės ir gretimos pusės santykis (arba, kuris yra tas pats, sinuso ir kosinuso santykis). Kotangentas yra vienetas, padalintas iš liestinės.

Verta paminėti garsųjį skaičių Pi (3,14...), kuris yra pusė vieno vieneto spindulio apskritimo ilgio.

Populiarios klaidos

Žmonės, besimokantys trigonometrijos nuo nulio, daro nemažai klaidų – dažniausiai dėl neatidumo.

Pirma, spręsdami geometrijos uždavinius, turite atsiminti, kad sinusus ir kosinusus galima naudoti tik stačiakampiame trikampyje. Pasitaiko, kad studentas „automatiškai“ paima ilgiausią trikampio kraštinę kaip hipotenuzą ir gauna neteisingus skaičiavimo rezultatus.

Antra, iš pradžių lengva supainioti pasirinkto kampo sinuso ir kosinuso reikšmes: atminkite, kad 30 laipsnių sinusas skaitine prasme yra lygus 60 kosinusui ir atvirkščiai. Jei pakeisite neteisingą skaičių, visi tolesni skaičiavimai bus neteisingi.

Trečia, kol problema nebus visiškai išspręsta, neturėtumėte apvalinti jokių reikšmių, išskirti šaknų ar rašyti bendrosios trupmenos dešimtainio skaičiaus. Dažnai mokiniai trigonometrijos uždavinyje siekia gauti „gražų“ skaičių ir iš karto ištraukti trijų šaknį, nors lygiai po vieno veiksmo šią šaknį galima sumažinti.

Žodžio "sine" etimologija

Žodžio „sine“ istorija išties neįprasta. Faktas yra tas, kad pažodinis šio žodžio vertimas iš lotynų kalbos reiškia „tuščiaviduris“. Taip yra todėl, kad verčiant iš vienos kalbos į kitą prarastas teisingas žodžio supratimas.

Pagrindinių trigonometrinių funkcijų pavadinimai kilę iš Indijos, kur sinuso sąvoka sanskrito kalba buvo pažymėta žodžiu „styga“ - faktas yra tas, kad atkarpa kartu su apskritimo lanku, ant kurio ji buvo, atrodė kaip lankas. . Arabų civilizacijos klestėjimo laikais Indijos pasiekimai trigonometrijos srityje buvo pasiskolinti, o terminas perėjo į arabų kalbą kaip transkripcija. Taip atsitiko, kad ši kalba jau turėjo panašų žodį, reiškiantį depresiją, ir jei arabai suprato fonetinį skirtumą tarp gimtojo ir skolinto žodžio, tai europiečiai, versdami mokslinius traktatus į lotynų kalbą, klaidingai pažodžiui išvertė arabišką žodį, kuris neturėjo nieko. susiję su sinuso sąvoka . Ją naudojame iki šiol.

Vertybių lentelės

Yra lentelių, kuriose yra visų galimų kampų sinusų, kosinusų ir liestinių skaitinės reikšmės. Žemiau pateikiame duomenis apie 0, 30, 45, 60 ir 90 laipsnių kampus, kuriuos reikia išmokti kaip privalomą „manekenų“ trigonometrijos skyrių, laimei, juos gana lengva įsiminti.

Jei nutinka taip, kad kampo sinuso ar kosinuso skaitinė reikšmė „iškrito iš galvos“, yra būdas ją išvesti patiems.

Geometrinis vaizdavimas

Nubraižykime apskritimą ir per jo centrą nubrėžkime abscisę bei ordinačių ašis. Abscisių ašis yra horizontali, ordinačių ašis yra vertikali. Paprastai jie žymimi atitinkamai „X“ ir „Y“. Dabar nubrėžsime tiesią liniją nuo apskritimo centro, kad tarp jo ir X ašies gautume reikiamą kampą. Galiausiai nuo taško, kur tiesė kerta apskritimą, nuleidžiame statmeną X ašiai. Gautos atkarpos ilgis bus lygus mūsų kampo sinuso skaitinei vertei.

Šis metodas labai aktualus, jei pamiršote reikiamą reikšmę, pavyzdžiui, per egzaminą, o po ranka neturite trigonometrijos vadovėlio. Taip negausite tikslaus skaičiaus, bet tikrai pamatysite skirtumą tarp ½ ir 1,73/2 (30 laipsnių kampo sinusas ir kosinusas).

Taikymas

Kai kurie pirmieji trigonometriją naudoję ekspertai buvo jūreiviai, kurie atviroje jūroje neturėjo jokio kito atskaitos taško, išskyrus dangų virš galvų. Šiandien laivų (lėktuvų ir kitų transporto rūšių) kapitonai neieško trumpiausio kelio naudodamiesi žvaigždėmis, o aktyviai griebiasi GPS navigacijos, o tai būtų neįmanoma be trigonometrijos.

Beveik kiekviename fizikos skyriuje rasite skaičiavimus naudojant sinusus ir kosinusus: ar tai būtų jėgos taikymas mechanikoje, objektų kelio skaičiavimai kinematikoje, virpesiai, bangų sklidimas, šviesos lūžis - tiesiog neapsieisite be pagrindinės trigonometrijos formules.

Kita profesija, kuri neįsivaizduojama be trigonometrijos – matininko. Naudodami teodolitą ir nivelyrą arba sudėtingesnį prietaisą – tachometrą, šie žmonės matuoja aukščio skirtumą tarp skirtingų žemės paviršiaus taškų.

Pakartojamumas

Trigonometrija nagrinėja ne tik trikampio kampus ir kraštines, nors čia ji ir pradėjo savo egzistavimą. Visose srityse, kuriose yra cikliškumas (biologija, medicina, fizika, muzika ir t. t.) susidursite su grafiku, kurio pavadinimas tikriausiai jums žinomas – tai sinusinė banga.

Toks grafikas yra apskritimas, išsiskleidęs išilgai laiko ašies ir atrodo kaip banga. Jei kada nors dirbote su osciloskopu fizikos pamokose, žinote, apie ką mes kalbame. Tiek muzikos ekvalaizeris, tiek pulsometras savo darbe naudoja trigonometrijos formules.

Pagaliau

Galvodami apie tai, kaip išmokti trigonometriją, dauguma vidurinių ir aukštųjų mokyklų moksleivių pradeda tai laikyti sunkiu ir nepraktišku mokslu, nes su nuobodžia informacija susipažįsta tik iš vadovėlio.

Kalbant apie nepraktiškumą, mes jau matėme, kad vienu ar kitu laipsniu gebėjimas valdyti sinusus ir liestinę yra būtinas beveik bet kurioje veiklos srityje. Kalbant apie sudėtingumą... Pagalvokite: jei žmonės šiomis žiniomis naudojosi daugiau nei prieš du tūkstančius metų, kai suaugęs žmogus turėjo mažiau žinių nei šiandieninis gimnazistas, ar jums asmeniškai realu studijuoti šią mokslo sritį baziniame lygmenyje? Kelios valandos apgalvotos praktikos sprendžiant problemas – ir pasieksite savo tikslą studijuodami pagrindinį kursą, vadinamąją trigonometriją manekenams.