Çfarë është proporcioni i kundërt? Marrëdhënie të drejtpërdrejta dhe të anasjellta proporcionale

Të dy sasitë quhen drejtpërpjesëtimore, nëse kur njëri prej tyre rritet disa herë, tjetri rritet me të njëjtën sasi. Prandaj, kur njëri prej tyre zvogëlohet disa herë, tjetri zvogëlohet me të njëjtën sasi.

Marrëdhënia midis sasive të tilla është një marrëdhënie proporcionale e drejtë. Shembuj të varësisë proporcionale të drejtë:

1) me një shpejtësi konstante, distanca e përshkuar është drejtpërdrejt proporcionale me kohën;

2) perimetri i katrorit dhe brinja e tij janë madhësi në përpjesëtim të drejtë;

3) kostoja e një produkti të blerë me një çmim është drejtpërdrejt proporcionale me sasinë e tij.

Për të dalluar një marrëdhënie proporcionale të drejtpërdrejtë nga një e kundërt, mund të përdorni fjalën e urtë: "Sa më larg në pyll, aq më shumë dru zjarri".

Është i përshtatshëm për të zgjidhur problemet që përfshijnë sasi drejtpërdrejt proporcionale duke përdorur përmasa.

1) Për të bërë 10 pjesë ju nevojiten 3,5 kg metal. Sa metal do të shkojë për të bërë 12 nga këto pjesë?

(Ne arsyetojmë kështu:

1. Në kolonën e mbushur, vendosni një shigjetë në drejtim nga numri më i madh te më i vogli.

2. Sa më shumë pjesë, aq më shumë metal nevojitet për t'i bërë ato. Kjo do të thotë se kjo është një marrëdhënie drejtpërdrejt proporcionale.

Le të nevojiten x kg metal për të bërë 12 pjesë. Ne bëjmë proporcionin (në drejtim nga fillimi i shigjetës deri në fund të saj):

12:10=x:3.5

Për të gjetur , ju duhet të ndani produktin e termave ekstremë me termin e mesëm të njohur:

Kjo do të thotë se do të kërkohen 4.2 kg metal.

Përgjigje: 4.2 kg.

2) Për 15 metra pëlhurë ata paguan 1680 rubla. Sa kushtojnë 12 metra pëlhurë e tillë?

(1. Në kolonën e mbushur, vendosni një shigjetë në drejtim nga numri më i madh te më i vogli.

2. Sa më pak pëlhurë të blini, aq më pak duhet të paguani për të. Kjo do të thotë se kjo është një marrëdhënie drejtpërdrejt proporcionale.

3. Prandaj, shigjeta e dytë është në të njëjtin drejtim me të parën).

Le të kushtojë x rubla 12 metra pëlhurë. Ne bëjmë një proporcion (nga fillimi i shigjetës deri në fund të saj):

15:12=1680:x

Për të gjetur termin ekstrem të panjohur të proporcionit, pjesëtojeni produktin e termave të mesëm me termin ekstrem të njohur të proporcionit:

Kjo do të thotë që 12 metra kushtojnë 1344 rubla.

Përgjigje: 1344 rubla.

Llojet e varësisë

Le të shohim karikimin e baterisë. Si sasi e parë, le të marrim kohën që duhet për të ngarkuar. Vlera e dytë është koha që do të funksionojë pas karikimit. Sa më gjatë të ngarkoni baterinë, aq më gjatë do të zgjasë. Procesi do të vazhdojë derisa bateria të jetë plotësisht e ngarkuar.

Varësia e kohës së funksionimit të baterisë nga koha e karikimit

Shënim 1

Kjo varësi quhet e drejtpërdrejtë:

Ndërsa një vlerë rritet, rritet edhe e dyta. Ndërsa një vlerë zvogëlohet, vlera e dytë gjithashtu zvogëlohet.

Le të shohim një shembull tjetër.

Sa më shumë libra të lexojë një student, aq më pak gabime do të bëjë në diktim. Ose sa më lart të ngriheni në male, aq më i ulët do të jetë presioni atmosferik.

Shënim 2

Kjo varësi quhet e kundërta:

Ndërsa një vlerë rritet, e dyta zvogëlohet. Ndërsa një vlerë zvogëlohet, vlera e dytë rritet.

Kështu, në rast varësia e drejtpërdrejtë të dyja sasitë ndryshojnë në mënyrë të barabartë (të dyja ose rriten ose zvogëlohen), dhe në rastin marrëdhënie e anasjelltë– e kundërta (njëra rritet dhe tjetra zvogëlohet, ose anasjelltas).

Përcaktimi i varësive ndërmjet sasive

Shembulli 1

Koha që duhet për të vizituar një mik është $20 $ minuta. Nëse shpejtësia (vlera e parë) rritet me $2 $ herë, do të gjejmë se si do të ndryshojë koha (vlera e dytë) që do të shpenzohet në rrugën drejt një shoku.

Natyrisht, koha do të ulet me $2 $ herë.

Shënim 3

Kjo varësi quhet proporcionale:

Sa herë ndryshon një sasi, sa herë ndryshon sasia e dytë.

Shembulli 2

Për 2 dollarë bukë në dyqan ju duhet të paguani 80 rubla. Nëse duhet të blini bukë 4$ (sasia e bukës rritet me 2$ herë), sa herë më shumë do të duhet të paguani?

Natyrisht, kostoja gjithashtu do të rritet $2 $ herë. Ne kemi një shembull të varësisë proporcionale.

Në të dy shembujt, u morën parasysh varësitë proporcionale. Por në shembullin me bukë, sasitë ndryshojnë në një drejtim, prandaj, varësia është e drejtpërdrejtë. Dhe në shembullin e shkuarjes në shtëpinë e një miku, lidhja midis shpejtësisë dhe kohës është e kundërta. Kështu ekziston marrëdhënie proporcionale Dhe marrëdhënie në përpjesëtim të zhdrejtë.

Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë

Le të marrim në konsideratë sasitë proporcionale prej 2$: numrin e bukës dhe koston e tyre. Le të kushtojnë bukë $2$ 80$ rubla. Nëse numri i simiteve rritet me $4 $ herë (simite $8 $), kostoja e tyre totale do të jetë $320 $ rubla.

Raporti i numrit të simiteve: $\frac(8)(2)=4$.

Raporti i kostos së simiteve: $\frac(320)(80)=4$.

Siç mund ta shihni, këto marrëdhënie janë të barabarta me njëra-tjetrën:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Përkufizimi 1

Barazia e dy raporteve quhet proporcioni.

Me një varësi drejtpërdrejt proporcionale, një marrëdhënie fitohet kur ndryshimi në sasinë e parë dhe të dytë përkon:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Përkufizimi 2

Të dy sasitë quhen drejtpërpjesëtimore, nëse kur njëri prej tyre ndryshon (rrit ose zvogëlohet), ndryshon (rritet ose zvogëlohet përkatësisht) edhe vlera tjetër me të njëjtën masë.

Shembulli 3

Makina përshkoi 180 dollarë km në 2 dollarë orë. Gjeni kohën gjatë së cilës ai do të përshkojë $2 $ herë më shumë se distanca me të njëjtën shpejtësi.

Zgjidhje.

Koha është drejtpërdrejt proporcionale me distancën:

$t=\frac(S)(v)$.

Sa herë do të rritet distanca, me një shpejtësi konstante, me të njëjtën sasi do të rritet koha:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Makina përshkoi 180 dollarë km në 2 dollarë orë

Makina do të përshkojë $180 \cdot 2=360$ km - në $x$ orë

Sa më tej të udhëtojë makina, aq më shumë do të duhet. Rrjedhimisht, marrëdhënia midis sasive është drejtpërdrejt proporcionale.

Le të bëjmë një proporcion:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Përgjigju: Makinës do t'i duhen 4$ orë.

Proporcionaliteti i anasjelltë

Përkufizimi 3

Zgjidhje.

Koha është në përpjesëtim të zhdrejtë me shpejtësinë:

$t=\frac(S)(v)$.

Sa herë rritet shpejtësia, me të njëjtën rrugë, koha zvogëlohet për të njëjtën sasi:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Le të shkruajmë kushtin e problemit në formën e një tabele:

Makina udhëtoi 60 dollarë km - në 6 dollarë orë

Makina do të udhëtojë 120 $ km - në $ x $ orë

Sa më shpejt të jetë makina, aq më pak kohë do t'i duhet. Rrjedhimisht, marrëdhënia midis sasive është në përpjesëtim të zhdrejtë.

Le të bëjmë një proporcion.

Sepse proporcionaliteti është i anasjelltë, relacioni i dytë në proporcion është i kundërt:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Përgjigju: Makinës do t'i duhen 3$ orë.

Shembull

4 / 5 = 0,8;

5.6 / 7 = 0.8, etj. Faktori i proporcionalitetit Një marrëdhënie konstante e madhësive proporcionale quhet

faktor proporcionaliteti

faktor proporcionaliteti. Koeficienti i proporcionalitetit tregon sa njësi të një sasie janë për njësi të një tjetre. Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë, në pjesë të barabarta, domethënë nëse argumenti ndryshon dy herë në çdo drejtim, atëherë edhe funksioni ndryshon dy herë në të njëjtin drejtim.

Matematikisht, proporcionaliteti i drejtpërdrejtë shkruhet si formulë:

f(x) = ax,a = const

Proporcionaliteti i anasjelltë

Proporcionaliteti i anasjelltë- kjo është një varësi funksionale, në të cilën rritja e vlerës së pavarur (argumenti) shkakton një ulje proporcionale të vlerës së varur (funksionit).

Matematikisht, proporcionaliteti i kundërt shkruhet si formulë:

Karakteristikat e funksionit:

Burimet

Fondacioni Wikimedia.

2010.

Shihni se çfarë është "proporcionaliteti i drejtpërdrejtë" në fjalorë të tjerë: proporcionaliteti i drejtpërdrejtë - - [A.S. Goldberg. Fjalori anglisht-rusisht i energjisë. 2006] Temat e energjisë në përgjithësi EN raporti i drejtpërdrejtë ...

Shihni se çfarë është "proporcionaliteti i drejtpërdrejtë" në fjalorë të tjerë: Udhëzues teknik i përkthyesit

- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. proporcionalitet i drejtë vok. direkte Proportionalität, f rus. proporcionalitet i drejtë, f pranc. proporcionale direkte, f … Fizikos terminų žodynas - (nga latinishtja proporcionale proporcionale, proporcionale). proporcionaliteti. Fjalori i fjalëve të huaja të përfshira në gjuhën ruse. Chudinov A.N., 1910. PROPORCIONALITET lat. përpjestimor, proporcional. proporcionaliteti. Shpjegimi 25000... ...

Fjalori i fjalëve të huaja të gjuhës ruse PËRPËRPOPËSIM, përpjesëtim, shumës. jo femer (libër). 1. abstrakt emër në proporcion. Proporcionaliteti i pjesëve. Proporcionaliteti i trupit. 2. Një marrëdhënie e tillë midis sasive kur ato janë proporcionale (shih proporcionale ...

Fjalori shpjegues i Ushakovit

Dy sasi të varura reciprokisht quhen proporcionale nëse raporti i vlerave të tyre mbetet i pandryshuar. Përmbajtja 1 Shembull 2 ​​Koeficienti i proporcionalitetit ... PROPORIONALITET, dhe, femra. 1. shih proporcional. 2. Në matematikë: një marrëdhënie e tillë midis sasive në të cilën një rritje në njërën prej tyre sjell një ndryshim në tjetrin me të njëjtën sasi. Vijë e drejtë (me një prerje me një rritje në një vlerë... ...

Fjalori shpjegues i Ozhegovit DHE; dhe. 1. në proporcionale (1 shifër); proporcionaliteti. P. pjesë. P. fiziku. P. përfaqësimi në parlament. 2. Matematikë. Varësia ndërmjet sasive që ndryshojnë proporcionalisht. Faktori i proporcionalitetit. Linjë direkte (në të cilën me... ...

Fjalor Enciklopedik

• Qëllimet kryesore:
• të prezantojë konceptin e varësisë proporcionale të drejtpërdrejtë dhe të anasjelltë të sasive;
• promovojnë zhvillimin e aftësive për zgjidhjen e problemeve;
• të konsolidojë aftësinë e zgjidhjes së ekuacioneve duke përdorur përmasa;
• përsëritni hapat me thyesa të zakonshme dhe dhjetore;
• zhvillojnë të menduarit logjik të nxënësve.

PËRPARIMI I ORËS MËSIMORE

I. Vetëvendosje për aktivitet(momenti organizativ)

- Djema! Sot në mësim do të njihemi me problemet e zgjidhura duke përdorur përmasa.

II. Përditësimi i njohurive dhe regjistrimi i vështirësive në aktivitete

2.1. Punë gojore (3 min)

– Gjeni kuptimin e shprehjeve dhe gjeni fjalën e koduar në përgjigje.

14 – s; 0.1 – dhe; 7 – l; 0,2 – a; 17 – në; 25 – deri në

– Fjala që rezulton është forcë. bravo!
– Motoja e mësimit tonë sot: Fuqia është në dije! Unë jam duke kërkuar - kjo do të thotë se po mësoj!
– Bëni një proporcion nga numrat që rezultojnë. (14:7 = 0.2:0.1 etj.)

2.2. Le të shqyrtojmë marrëdhënien midis sasive që njohim (7 min)

– distanca që kalon makina me shpejtësi konstante dhe koha e lëvizjes së saj: S = v t ( me rritjen e shpejtësisë (kohës), distanca rritet);
– shpejtësia e automjetit dhe koha e kaluar në udhëtim: v=S:t(me rritjen e kohës për të udhëtuar, shpejtësia zvogëlohet);
– kostoja e mallrave të blera me një çmim dhe sasia e tij: C = a · n (me një rritje (ulje) të çmimit, kostoja e blerjes rritet (zvogëlohet));
– çmimi i produktit dhe sasia e tij: a = C: n (me rritjen e sasisë, çmimi ulet)
- sipërfaqja e drejtkëndëshit dhe gjatësia e tij (gjerësia): S = a · b (me rritjen e gjatësisë (gjerësisë), sipërfaqja rritet;
– gjatësia dhe gjerësia e drejtkëndëshit: a = S: b (me rritjen e gjatësisë, gjerësia zvogëlohet;
– numri i punëtorëve që kryejnë disa punë me të njëjtin produktivitet të punës dhe koha që duhet për të përfunduar këtë punë: t = A: n (me rritjen e numrit të punëtorëve, koha e shpenzuar për kryerjen e punës zvogëlohet), etj. .

Ne kemi marrë varësi në të cilat, me një rritje të një vlere disa herë, një tjetër rritet menjëherë me të njëjtën sasi (shembuj janë treguar me shigjeta) dhe varësi në të cilat, me një rritje të një vlere disa herë, vlera e dytë zvogëlohet për të njëjtin numër herë.
Varësi të tilla quhen proporcionalitet i drejtpërdrejtë dhe i anasjelltë.
Varësia drejtpërdrejt proporcionale– një marrëdhënie në të cilën kur një vlerë rritet (zvogëlohet) disa herë, vlera e dytë rritet (zvogëlohet) me të njëjtën shumë.
Marrëdhënie në proporcion të kundërt– një marrëdhënie në të cilën kur një vlerë rritet (zvogëlohet) disa herë, vlera e dytë zvogëlohet (rritet) me të njëjtën shumë.

III. Vendosja e një detyre mësimore

– Çfarë problemi na has? (Mësoni të dalloni midis varësive të drejtpërdrejta dhe të kundërta)
- kjo - objektiv mësimi ynë. Tani formuloni temë mësim. (Marrëdhënia e drejtëpërdrejtë dhe proporcionale e zhdrejtë).
- Bravo! Shkruani temën e mësimit në fletoret tuaja. (Mësuesi/ja shkruan temën në tabelë.)

IV. "Zbulimi" i njohurive të reja(10 min)

Le të shohim problemin nr. 199.

1. Printeri printon 27 faqe në 4,5 minuta. Sa kohë do të duhet për të shtypur 300 faqe?

27 faqe – 4,5 min.
300 faqe - x?

2. Kutia përmban 48 pako çaji, 250 g secila. Sa paketa 150g të këtij çaji do të merrni?

48 pako – 250 g.
X? – 150 g.

3. Makina ka bërë 310 km, duke përdorur 25 litra benzinë. Sa larg mund të udhëtojë një makinë me një rezervuar plot 40 litra?

310 km – 25 l
X? – 40 l

4. Njëra prej marsheve të tufës ka 32 dhëmbë, dhe tjetra ka 40. Sa rrotullime do të bëjë marshi i dytë ndërsa i pari bën 215 rrotullime?

32 dhëmbë - 315 rev.
40 dhëmbë – x?

Për të përpiluar një proporcion, një drejtim i shigjetave është i nevojshëm për këtë, në proporcion të kundërt, një raport zëvendësohet nga anasjelltas.

Në tabelë nxënësit gjejnë aty për aty kuptimin e sasive, nxënësit zgjidhin një problem sipas dëshirës së tyre.

– Formuloni një rregull për zgjidhjen e problemeve me varësi proporcionale të drejtë dhe të anasjelltë.

Një tabelë shfaqet në tabelë:

V. Konsolidimi parësor në të folurit e jashtëm(10 min)

Detyrat e fletës së punës:

1. Nga 21 kg farë pambuku fitoheshin 5,1 kg vaj.
2. Sa vaj do të merret nga 7 kg farë pambuku?

Për të ndërtuar stadiumin, 5 buldozerë pastruan vendin në 210 minuta. Sa kohë do të duheshin 7 buldozerë për të pastruar këtë faqe?VI. Punë e pavarur me vetëtest sipas standardit

(5 min)
Dy nxënës kryejnë detyrën nr. 225 në mënyrë të pavarur në dërrasa të fshehura, dhe pjesa tjetër - në fletore. Më pas ata kontrollojnë punën e algoritmit dhe e krahasojnë atë me zgjidhjen në tabelë. Gabimet korrigjohen dhe përcaktohen shkaqet e tyre. Nëse detyra është kryer saktë, atëherë nxënësit vendosin një shenjë “+” pranë tyre.

Studentët që bëjnë gabime në punën e pavarur mund të përdorin konsulentët.№ 271, № 270.

VII. Përfshirja në sistemin e njohurive dhe përsëritja

Gjashtë persona punojnë në bord. Pas 3-4 minutash, studentët që punojnë në tabelë prezantojnë zgjidhjet e tyre dhe pjesa tjetër kontrollon detyrat dhe merr pjesë në diskutimin e tyre.

VIII. Reflektim mbi aktivitetin (përmbledhje e mësimit)
– Çfarë të re mësuat në mësim?
- Çfarë përsëritën?
– Cili është algoritmi për zgjidhjen e problemeve të proporcionit?
– A ia kemi arritur qëllimit?