Absoliučios ir santykinės klaidos

Skaičiuodami kai kurių funkcijų reikšmes arba matuodami ir apdorojant fizinius dydžius, gautus eksperimentų metu, turime susidurti su apytiksliais skaičiais. Abiem atvejais turite mokėti teisingai užrašyti apytikslių skaičių reikšmes ir jų paklaidą.

Apytikslis skaičius A yra skaičius, kuris šiek tiek skiriasi nuo tikslaus skaičiaus A ir pakeičia pastarąjį skaičiavimuose. Jei žinoma, kad A< А , Tai A vadinama apytiksle skaičiaus reikšme A dėl trūkumo; Jeigu a > A, – tada perteklius. Jeigu A yra apytikslė skaičiaus reikšmė A, tada jie rašo a ≈ A.

Klaida arba klaida A apytikslis skaičius A paprastai nurodo skirtumą tarp atitinkamo tikslaus skaičiaus A ir artimieji, t.y.

Norėdami gauti tikslų skaičių A, prie apytikslės skaičiaus reikšmės reikia pridėti jo paklaidą, t.y.

Daugeliu atvejų klaidos ženklas nežinomas. Tada patartina naudoti absoliučią apytikslio skaičiaus paklaidą

Iš aukščiau pateikto įrašo matyti, kad apytikslio skaičiaus absoliuti paklaida A vadinamas skirtumo tarp atitinkamo tikslaus skaičiaus moduliu A ir jo apytikslė vertė A, t.y.

Tikslus skaičius A dažniausiai ji nežinoma, todėl neįmanoma rasti klaidos ar absoliučios klaidos. Šiuo atveju vietoj nežinomos teorinės paklaidos naudinga įvesti įvertinimą iš viršaus, vadinamąją maksimalią absoliučią paklaidą.

Pagal apytikslio skaičiaus maksimalią absoliučią paklaidą A suprantamas bet koks skaičius, kuris yra ne mažesnis už absoliučią šio skaičiaus paklaidą, t.y.

Jei paskutiniame įraše vietoj jo naudojame formulę (1.1), tada galime rašyti

(1.2)

Iš to išplaukia, kad tikslus skaičius A esančios ribose

Vadinasi, skirtumas yra apytikslis skaičiaus A dėl jo trūkumo ir – skaičių aproksimacija A pertekliumi. Šiuo atveju, siekiant trumpumo, naudokite žymėjimą

Akivaizdu, kad maksimali absoliuti paklaida nustatoma dviprasmiškai: jei tam tikras skaičius yra didžiausia absoliuti paklaida, tai bet koks didesnis už teigiamą skaičių yra ir didžiausia absoliuti paklaida. Praktikoje jie stengiasi parinkti kuo mažesnį ir paprasčiausią skaičių, tenkinantį nelygybę (1,2).

Pavyzdžiui, jei dėl matavimo gautume atkarpos ilgį l= 210 cm ± 0,5 cm, tada čia yra didžiausia absoliuti paklaida = 0,5 cm ir tikslią vertę l atkarpa yra 209,5 cm ribose ≤l≤ 210,5 cm.

Absoliučios paklaidos nepakanka matavimo ar skaičiavimo tikslumui apibūdinti. Taigi, pavyzdžiui, jei matuojant dviejų strypų ilgius gaunami rezultatai l 1= 95,6 cm ± 0,1 cm ir l 2=8,3 ± 0,1 cm, tada, nepaisant didžiausių absoliučių paklaidų sutapimo, pirmojo matavimo tikslumas yra didesnis nei antrojo. Tai rodo, kad matavimo tikslumui svarbiau ne absoliuti, o santykinė paklaida, kuri priklauso nuo išmatuotų dydžių verčių.

Santykinė klaida δ apytikslis skaičius A yra šio skaičiaus absoliučios paklaidos ir atitinkamo tikslaus skaičiaus modulio santykis A, tie.

Panašiai kaip ir maksimali absoliuti paklaida, taip pat naudojamas didžiausios santykinės paklaidos apibrėžimas. Didžiausia šio apytikslio skaičiaus santykinė paklaida A vadinamas bet koks skaičius, kuris nėra mažesnis už santykinę šio skaičiaus paklaidą

tie. iš kur seka

Taigi, viršijant maksimalią absoliučią skaičiaus paklaidą A galima priimti

Kadangi praktiškai A≈a, tada vietoj formulės (1.3) jie dažnai naudoja formulę

1.2 Apytikslių skaičių dešimtainis žymėjimas

Bet koks teigiamas dešimtainis skaičius a gali būti pavaizduotas kaip baigtinė arba begalinė trupmena

kur yra skaičiaus dešimtainiai skaitmenys A( = 0,1,2,...,9), su didžiausiu skaitmeniu a m– skaitmenų skaičius registruojant sveikąją skaičiaus dalį A, A n– skaitmenų skaičius, įrašytas trupmeninėje skaičiaus dalyje A. Pavyzdžiui:

5214,73... = 5 10 3 + 2 10 2 + 1 10 1 + 4 10 0 +7 10 -1 + 3 10 -2 ... (1,5)

Kiekvienas skaitmuo yra tam tikroje skaičiaus vietoje A, parašyta forma (1.4), turi savo svorį. Taigi, pirmas skaičius (t. y.) sveria 10 m, antroje – 10 m-1 ir kt.

Praktikoje dažniausiai nenaudojame žymėjimo forma (1.4), o naudojame sutrumpintą skaičių žymėjimą koeficientų sekos forma atitinkamomis 10 laipsnėmis. Taigi, pavyzdžiui, žymėjime (1.5) naudojame forma, esanti kairėje nuo lygybės ženklo, o ne dešinėje, reiškianti šio skaičiaus išplėtimą 10 laipsniais.

Praktikoje pirmiausia tenka susidurti su apytiksliais skaičiais baigtinių dešimtainių trupmenų pavidalu. Norint teisingai palyginti įvairius skaičiavimo ir eksperimentinius rezultatus, koncepcija reikšminga figūra rezultatų rekorde. Visi išsaugotas dešimtainės reikšmės ( i = m,m- 1,…, m-n+ 1), išskyrus nulį, ir nulis, jei jis yra tarp reikšminių skaitmenų arba yra išsaugoto dešimtainio skaičiaus simbolis skaičiaus pabaigoje, vadinami apytikslio skaičiaus reikšminiais skaitmenimis. A. Šiuo atveju nuliai, susieti su koeficientu 10 n nėra laikomi reikšmingais.

Kai nurodomas skaičius A Dešimtainių skaičių sistemoje kartais reikia įvesti papildomų nulių skaičiaus pradžioje arba pabaigoje. Pavyzdžiui,

A= 7,10 -3 + 0,10 -4 + 1,10 -5 + 0,10 -6 = 0,00 7010

b= 2,10 9 + 0,10 8 + 0,10 7 + 3,10 6 + 0,10 5 = 2003000000.

Tokie nuliai (jie pabraukti pateiktuose pavyzdžiuose) nelaikomi reikšmingais skaičiais.

Reikšmingas apytikslio skaičiaus skaitmuo yra bet koks dešimtainės dalies skaitmuo, kuris skiriasi nuo nulio,taip pat nulis, jei jis yra tarp reikšminių skaitmenų arba yra įrašyto po kablelio simbolis. Visi kiti nuliai, kurie yra apytikslio skaičiaus dalis ir naudojami tik jo kablelio skaičiams žymėti, nėra skaičiuojami kaip reikšmingi skaičiai.

Pavyzdžiui, skaičiuje 0,002080 pirmieji trys nuliai nėra reikšmingi skaitmenys, nes jie naudojami tik kitų skaitmenų po kablelio skaičiams nustatyti. Likę du nuliai yra reikšminiai skaitmenys, nes pirmasis iš jų yra tarp reikšminių skaitmenų 2 ir 8, o antrasis rodo, kad apytikriame skaičiuje išsaugomas dešimtainis skaičius 10 -6. Jei duotame skaičiuje 0,002080 paskutinis skaitmuo nėra reikšmingas, šis skaičius turėtų būti parašytas kaip 0,00208. Šiuo požiūriu skaičiai 0,002080 ir 0,00208 nėra lygiaverčiai, nes pirmame iš jų yra keturi reikšmingi skaičiai, o antrame - tik trys.

Be reikšmingos figūros sąvokos, svarbi sąvoka yra teisingas skaičius. Reikėtų pažymėti, kad ši sąvoka egzistuoja dviem apibrėžimais - in siauras Ir plačiąja prasme.

Apibrėžimas(plačiąja prasme) . Jie taip sako n Pirmieji reikšmingi skaičiaus skaitmenys (skaičiuojant iš kairės į dešinę) yra ištikimas plačiai prasme, jei šio skaičiaus absoliuti paklaida neviršija vieneto (svoris) n- didelis iškrovimas. (Paaiškinimas: 1 10 1 - čia 1 svoris yra 10; 1 10 0 - čia 1 svoris yra 1; 1 10 -1 - čia 1 svoris yra 0,1; 1 10 -2 - čia 1 svoris yra 0,01 ir tt .d.).

Apibrėžimas(siaurąja prasme). Jie taip sako n pirmieji apytikslio skaičiaus reikšminiai skaitmenys yra teisingi, jei šio skaičiaus absoliuti paklaida neviršija pusė vienetai (svoris) n- didelis iškrovimas. (Paaiškinimas: 1 10 1 – čia pusės 1 svoris yra 5; 1 10 0 – čia pusės 1 svoris yra 0,5; 1 10 -1 – yra 0,05 ir pan.).

Pavyzdžiui, apytiksliu skaičiumi Remiantis pirmuoju apibrėžimu, reikšmingi skaičiai 3, 4 ir 5 yra teisingi plačiąja prasme, tačiau skaičius 6 kelia abejonių. Remiantis antruoju apibrėžimu, reikšminiai skaičiai 3 ir 4 yra teisingi siaurąja prasme, o 5 ir 6 reikšminiai skaičiai yra abejotini. Svarbu pabrėžti, kad apytikslio skaičiaus tikslumas priklauso ne nuo reikšminių skaitmenų skaičiaus, o nuo skaičiaus teisingi reikšmingi skaičiai.

Tiek teoriniuose samprotavimuose, tiek praktiniuose pritaikymuose plačiau vartojamas teisingos figūros apibrėžimas siaurąja prasme.

Taigi, jei apytikriam skaičiui a pakeičiamas skaičius A, žinoma, kad

(1.6)

tada pagal apibrėžimą pirmasis n numeriai šie skaičiai yra teisingi.

Pavyzdžiui, dėl tikslaus skaičiaus A= 35,97 skaičius A= 36,00 yra aproksimacija su trimis teisingais ženklais. Toks samprotavimas veda prie tokio rezultato. Kadangi mūsų apytikslio skaičiaus absoliuti paklaida yra 0,03, tai pagal apibrėžimą jis turi atitikti sąlygą

(1.7)

Mūsų apytiksliai 36,00 skaitmuo 3 yra pirmasis reikšmingas skaitmuo (t. y.), taigi m= 1. Iš čia akivaizdu, kad sąlyga (1.7) bus įvykdyta už n = 3.

Paprastai priimamas rašant apytikslį skaičių po kablelio rašyti tik teisingus skaičius. Jei žinoma, kad nurodytas apytikslis skaičius parašytas teisingai, tada iš įrašo galima nustatyti maksimalią absoliučią paklaidą. Teisingai įrašius, absoliuti paklaida neviršija pusės mažiausiai reikšmingo skaitmens, einančio po paskutinio teisingo skaitmens (arba pusės paskutinio teisingo skaitmens vieneto, kuris yra tas pats)

Pavyzdžiui, pateikiami apytiksliai teisingai parašyti skaičiai: a = 3,8; b= 0,0283; c = 4260. Pagal apibrėžimą didžiausios šių skaičių absoliučios paklaidos bus: = 0,05; = 0,00005; = 0,5.

Dėl matavimo priemonei būdingų klaidų, pasirinkto matavimo metodo ir procedūros, išorinių sąlygų, kuriomis atliekamas matavimas, skirtumų nuo nustatytų ir kitų priežasčių, beveik kiekvieno matavimo rezultatas yra apkrautas paklaida. Ši paklaida apskaičiuojama arba įvertinama ir priskiriama gautam rezultatui.

Matavimo rezultato klaida(trumpiau – matavimo paklaida) – matavimo rezultato nuokrypis nuo tikrosios išmatuotos vertės reikšmės.

Tikroji kiekio vertė lieka nežinoma dėl klaidų. Jis naudojamas sprendžiant teorines metrologijos problemas. Praktikoje naudojama tikroji kiekio vertė, kuri pakeičia tikrąją vertę.

Matavimo paklaida (Δx) randama pagal formulę:

x = x matas. - x galioja (1.3)

kur x reiškia. - pagal matavimus gauto kiekio vertė; x galioja — realia laikomo kiekio vertė.

Atliekant pavienius matavimus, faktinė vertė dažnai laikoma verte, gauta naudojant standartinį matavimo prietaisą; atliekant kelis matavimus – atskirų matavimų, įtrauktų į tam tikrą seriją, verčių aritmetinis vidurkis.

Matavimo paklaidos gali būti klasifikuojamos pagal šiuos kriterijus:

Pagal apraiškų pobūdį - sistemingas ir atsitiktinis;

Pagal raiškos būdą – absoliutus ir santykinis;

Pagal išmatuotos vertės kitimo sąlygas – statinis ir dinaminis;

Pagal apdorojimo metodą daugybė matavimų - aritmetiniai vidurkiai ir kvadratiniai vidurkiai;

Pagal matavimo užduoties aprėpties išsamumą – dalinis ir pilnas;

Kalbant apie fizinio dydžio vienetą – klaidos atkuriant vienetą, saugant vienetą ir perduodant vieneto dydį.

Sisteminė matavimo klaida(trumpiau – sisteminė paklaida) – matavimo rezultato paklaidos komponentas, kuris išlieka pastovus tam tikrą matavimų seriją arba natūraliai kinta pakartotinai matuojant tą patį fizikinį dydį.

Pagal pasireiškimo pobūdį sisteminės klaidos skirstomos į nuolatines, progresines ir periodines. Nuolatinės sisteminės klaidos(trumpiau – nuolatinės paklaidos) – paklaidos, kurios ilgą laiką išlaiko savo vertę (pavyzdžiui, per visą matavimų seriją). Tai dažniausiai pasitaikanti klaidų rūšis.

Progresuojančios sisteminės klaidos(trumpiau - progresinės paklaidos) - nuolat didėjančios arba mažėjančios paklaidos (pvz., paklaidos dėl matavimo antgalių nusidėvėjimo, kurie šlifavimo proceso metu susiliečia su detale, stebint ją aktyviu valdymo įtaisu).

Periodinė sisteminė klaida(trumpai - periodinė klaida) - klaida, kurios reikšmė yra laiko funkcija arba matavimo prietaiso rodyklės judėjimo funkcija (pavyzdžiui, ekscentriškumo buvimas goniometro prietaisuose su apskrita skale sukelia sistemingą klaida, kuri kinta pagal periodinį dėsnį).

Remiantis sisteminių klaidų atsiradimo priežastimis, skiriamos instrumentinės klaidos, metodų klaidos, subjektyvios paklaidos ir paklaidos dėl išorinių matavimo sąlygų nukrypimų nuo nustatytų metodais.

Instrumentinio matavimo paklaida(trumpiau - instrumentinė klaida) yra daugelio priežasčių pasekmė: prietaiso dalių susidėvėjimas, per didelė įrenginio mechanizmo trintis, netikslus smūgių žymėjimas skalėje, matavimo faktinių ir vardinių verčių neatitikimas ir kt. .

Matavimo metodo klaida(trumpiau – metodo klaida) gali atsirasti dėl matavimo metodo netobulumo ar matavimo metodikoje nustatytų jo supaprastinimų. Pavyzdžiui, tokia paklaida gali atsirasti dėl nepakankamo matavimo priemonių, naudojamų matuojant greitų procesų parametrus, veikimo arba neapskaičiuotos priemaišos nustatant medžiagos tankį pagal jos masės ir tūrio matavimo rezultatus.

Subjektyvi matavimo klaida(trumpiau – subjektyvi klaida) atsiranda dėl individualių operatoriaus klaidų. Ši klaida kartais vadinama asmeniniu skirtumu. Tai sukelia, pavyzdžiui, delsimas arba operatoriaus paankstinimas priimant signalą.

Klaida dėl nukrypimo(viena kryptimi) išorinės matavimo sąlygos nuo nustatytų matavimo metodu lemia sisteminės matavimo paklaidos komponento atsiradimą.

Sisteminės klaidos iškraipo matavimo rezultatą, todėl jas reikia kuo labiau pašalinti, taikant pataisymus arba koreguojant įrenginį, kad sisteminės paklaidos būtų iki priimtino minimumo.

Neišskirta sisteminė klaida(trumpiau – neišskiriama paklaida) – matavimo rezultato paklaida, atsiradusi dėl apskaičiavimo klaidos ir sisteminės klaidos veiksmo pataisos įvedimo, arba nedidelė sisteminė klaida, dėl kurios pataisymas neįvedamas iki jo mažumo.

Kartais tokio tipo klaida vadinama neatskiriami sisteminės klaidos likučiai(trumpiau – neišskirti likučiai). Pavyzdžiui, matuojant linijinio matuoklio ilgį etaloninės spinduliuotės bangų ilgiais, buvo nustatytos kelios neatskiriamos sisteminės paklaidos (i): dėl netikslaus temperatūros matavimo - 1; dėl netikslaus oro lūžio rodiklio nustatymo - 2, dėl netikslaus bangos ilgio - 3.

Dažniausiai atsižvelgiama į neatskiriamų sisteminių klaidų sumą (nustatomos jų ribos). Kai terminų skaičius yra N ≤ 3, neišskiriamų sisteminių klaidų ribos apskaičiuojamos naudojant formulę

Kai terminų skaičius yra N ≥ 4, skaičiavimams naudojama formulė

(1.5)

čia k – neatskiriamų sisteminių klaidų priklausomybės nuo pasirinktos pasikliovimo tikimybės P koeficientas, kai jos pasiskirsto tolygiai. Kai P = 0,99, k = 1,4, kai P = 0,95, k = 1,1.

Atsitiktinė matavimo klaida(trumpiau - atsitiktinė paklaida) - matavimo rezultato paklaidos dedamoji, kuri atsitiktinai (ženklu ir reikšme) kinta atliekant tokio paties dydžio fizikinio dydžio matavimus. Atsitiktinių klaidų priežastys: apvalinimo klaidos imant rodmenis, rodmenų kitimas, atsitiktinių matavimo sąlygų pasikeitimai ir kt.

Atsitiktinės paklaidos sukelia matavimo rezultatų išsibarstymą serijoje.

Klaidų teorija remiasi dviem principais, patvirtintais praktika:

1. Atliekant didelį matavimų skaičių, atsitiktinės tos pačios skaitinės reikšmės, bet skirtingų ženklų paklaidos atsiranda vienodai dažnai;

2. Didelės (absoliučia verte) klaidos yra retesnės nei mažos.

Iš pirmos pozicijos seka praktikai svarbi išvada: didėjant matavimų skaičiui, atsitiktinė rezultato, gauto iš matavimų serijos, paklaida mažėja, nes tam tikros serijos atskirų matavimų paklaidų suma linkusi į nulį, t.y.

(1.6)

Pavyzdžiui, atlikus matavimus buvo gauta keletas elektrinių varžų verčių (pataisyta pagal sisteminių klaidų poveikį): R 1 = 15,5 Ohm, R 2 = 15,6 Ohm, R 3 = 15,4 Ohm, R 4 = 15, 6 omų ir R 5 = 15,4 omų. Taigi R = 15,5 Ohm. Nukrypimai nuo R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ohm, R 3 = -0,1 Ohm, R 4 = +0,1 Ohm ir R 5 = -0,1 Ohm) yra atsitiktinės atskirų šios serijos matavimų paklaidos. Nesunku patikrinti, ar suma R i = 0,0. Tai rodo, kad atskirų šios serijos matavimų paklaidos buvo apskaičiuotos teisingai.

Nepaisant to, kad didėjant matavimų skaičiui atsitiktinių paklaidų suma linkusi į nulį (šiame pavyzdyje netyčia pasirodė lygi nuliui), reikia įvertinti matavimo rezultato atsitiktinę paklaidą. Atsitiktinių dydžių teorijoje dispersija o2 yra atsitiktinio dydžio reikšmių sklaidos charakteristika. "|/o2 = a vadinamas vidutiniu kvadratiniu visumos nuokrypiu arba standartiniu nuokrypiu.

Tai patogiau nei dispersija, nes jo matmuo sutampa su išmatuoto dydžio matmeniu (pavyzdžiui, kiekio vertė gaunama voltais, standartinis nuokrypis taip pat bus voltais). Kadangi matavimo praktikoje kalbama apie terminą „klaida“, išvestinis terminas „vidutinė kvadratinė paklaida“ turėtų būti naudojamas daugeliui matavimų apibūdinti. Matavimų serijos charakteristika gali būti vidutinė aritmetinė paklaida arba matavimo rezultatų diapazonas.

Matavimo rezultatų diapazonas (trumpiau – intervalas) yra algebrinis skirtumas tarp didžiausių ir mažiausių atskirų matavimų rezultatų, sudarydamas n matavimų seriją (arba imtį):

R n = X max – X min (1,7)

kur R n yra diapazonas; X max ir X min yra didžiausios ir mažiausios dydžio reikšmės tam tikroje matavimų serijoje.

Pavyzdžiui, iš penkių skylės skersmens d matavimų vertės R 5 = 25,56 mm ir R 1 = 25,51 mm pasirodė esančios didžiausios ir minimalios. Šiuo atveju R n = d 5 - d 1 = 25,56 mm - 25,51 mm = 0,05 mm. Tai reiškia, kad likusios šios serijos paklaidos yra mažesnės nei 0,05 mm.

Atskiro matavimo serijoje aritmetinė vidutinė paklaida(trumpai - aritmetinio vidurkio paklaida) - apibendrinta atskirų matavimo rezultatų (to paties kiekio) sklaidos (dėl atsitiktinių priežasčių) charakteristika, įtraukta į n vienodo tikslumo nepriklausomų matavimų seriją, apskaičiuota pagal formulę

(1.8)

čia X i yra i-ojo matavimo, įtraukto į seriją, rezultatas; x yra n reikšmių aritmetinis vidurkis: |Х і - X| — absoliuti i-ojo matavimo paklaidos vertė; r yra aritmetinio vidurkio paklaida.

Iš santykio nustatoma tikroji vidutinės aritmetinės paklaidos p reikšmė

p = lim r, (1,9)

Kai matavimų skaičius n > 30 tarp aritmetinio vidurkio (r) ir kvadratinio vidurkio (s) tarp klaidų yra koreliacijų

s = 1,25 r; r ir = 0,80 s. (1.10)

Aritmetinio vidurkio paklaidos pranašumas yra jos skaičiavimo paprastumas. Tačiau vis tiek dažniau nustatoma vidutinė kvadratinė paklaida.

Vidutinė kvadrato paklaida individualus matavimas serijoje (trumpiau - vidutinė kvadratinė paklaida) - apibendrinta atskirų matavimo rezultatų (to paties dydžio), įtrauktų į seriją, sklaidos charakteristika (dėl atsitiktinių priežasčių). P vienodo tikslumo nepriklausomi matavimai, apskaičiuoti pagal formulę

(1.11)

Bendrosios imties o vidutinė kvadratinė paklaida, kuri yra statistinė riba S, gali būti apskaičiuota ties /i-mx > naudojant formulę:

Σ = lim S (1.12)

Realiai matavimų skaičius visada yra ribotas, todėl jis nėra σ , ir jo apytikslė vertė (arba sąmata), kuri yra s. Daugiau P, tuo s arčiau jo ribos σ .

Taikant normalaus skirstinio dėsnį, tikimybė, kad atskiro matavimo serijoje paklaida neviršys apskaičiuotos vidutinės kvadratinės paklaidos, yra maža: 0,68. Todėl 32 atvejais iš 100 arba 3 atvejais iš 10 tikroji paklaida gali būti didesnė už apskaičiuotąją.

1.2 pav. Kelių matavimų rezultato atsitiktinės paklaidos vertės sumažėjimas padidėjus matavimų skaičiui serijoje

Matavimų serijoje yra ryšys tarp atskiro matavimo s vidutinės kvadratinės paklaidos ir aritmetinio vidurkio S x vidutinės kvadratinės paklaidos:

kuri dažnai vadinama „U n taisykle“. Iš šios taisyklės išplaukia, kad matavimo paklaida dėl atsitiktinių priežasčių gali būti sumažinta n kartų, jei atliekama n vienodo dydžio bet kokio dydžio matavimų, o galutiniu rezultatu imamas aritmetinis vidurkis (1.2 pav.).

Atlikus bent 5 matavimus iš eilės, atsitiktinių paklaidų įtaką galima sumažinti daugiau nei 2 kartus. Atlikus 10 matavimų, atsitiktinės paklaidos įtaka sumažėja 3 kartus. Tolesnis matavimų skaičiaus didinimas ne visada yra ekonomiškai pagrįstas ir paprastai atliekamas tik kritiniams matavimams, kuriems reikalingas didelis tikslumas.

Vidutinė kvadratinė vieno matavimo paklaida iš kelių homogeninių dvigubų matavimų S α apskaičiuojama pagal formulę

(1.14)

čia x" i ir x"" i yra i-tieji to paties dydžio matavimų pirmyn ir atgal viena matavimo priemone rezultatai.

Esant nevienodiems matavimams, aritmetinio vidurkio vidutinė kvadratinė paklaida eilutėje nustatoma pagal formulę

(1.15)

čia p i yra i-ojo matavimo svoris nevienodų matavimų serijoje.

Vertės Y netiesioginių matavimų rezultato, kuris yra Y = F (X 1, X 2, X n) funkcija, vidutinė kvadratinė paklaida apskaičiuojama pagal formulę

(1.16)

čia S 1, S 2, S n – dydžių X 1, X 2, X n matavimo rezultatų vidutinės kvadratinės paklaidos.

Jei, siekiant didesnio patikimumo norint gauti patenkinamą rezultatą, atliekamos kelios matavimų serijos, atskiro matavimo vidutinė kvadratinė paklaida iš m serijos (S m) randama pagal formulę

(1.17)

kur n yra matavimų skaičius serijoje; N – bendras visų serijų matavimų skaičius; m yra serijų skaičius.

Atliekant ribotą skaičių matavimų, dažnai reikia žinoti vidutinę kvadratinę paklaidą. Norėdami nustatyti klaidą S, apskaičiuotą pagal (2.7) formulę, ir paklaidą S m, apskaičiuotą pagal formulę (2.12), galite naudoti šias išraiškas

(1.18)

(1.19)

kur S ir S m yra atitinkamai S ir S m vidutinės kvadratinės paklaidos.

Pavyzdžiui, apdorojant daugelio x ilgio matavimų rezultatus, gauname

= 86 mm 2, kai n = 10,

= 3,1 mm

= 0,7 mm arba S = ± 0,7 mm

Reikšmė S = ±0,7 mm reiškia, kad dėl skaičiavimo paklaidos s yra intervale nuo 2,4 iki 3,8 mm, todėl dešimtosios milimetro dalys čia yra nepatikimos. Nagrinėjamu atveju turime rašyti: S = ±3 mm.

Norėdami geriau įvertinti matavimo rezultato paklaidą, apskaičiuokite paklaidą arba paklaidos pasikliovimo ribas. Pagal normalaus skirstinio dėsnį paklaidos pasikliovimo ribos apskaičiuojamos kaip ±t-s arba ±t-s x, kur s ir s x yra atitinkamai atskiro matavimo eilutėje vidutinės kvadratinės paklaidos ir aritmetinis vidurkis; t yra skaičius, priklausantis nuo pasikliovimo tikimybės P ir matavimų skaičiaus n.

Svarbi sąvoka yra matavimo rezultato patikimumas (α), t.y. tikimybė, kad norima išmatuoto dydžio vertė pateks į nurodytą pasikliautinąjį intervalą.

Pavyzdžiui, apdorojant detales staklėse stabiliu technologiniu režimu, klaidų pasiskirstymas atitinka įprastą dėsnį. Tarkime, kad dalies ilgio tolerancija nustatyta į 2a. Šiuo atveju pasikliautinasis intervalas, kuriame yra norima dalies a ilgio reikšmė, bus (a - a, a + a).

Jei 2a = ±3s, tai rezultato patikimumas yra a = 0,68, t.y. 32 atvejais iš 100 reikia tikėtis, kad detalės dydis viršys leistiną nuokrypį 2a. Vertinant detalės kokybę pagal leistiną nuokrypį 2a = ±3s, rezultato patikimumas bus 0,997. Tokiu atveju galime tikėtis, kad tik trys dalys iš 1000 viršys nustatytą toleranciją.Tačiau patikimumo padidėjimas įmanomas tik sumažinus detalės ilgio paklaidą. Taigi, norint padidinti patikimumą nuo a = 0,68 iki a = 0,997, detalės ilgio paklaida turi būti sumažinta tris kartus.

Pastaruoju metu plačiai paplito terminas „matavimo patikimumas“. Kai kuriais atvejais jis nepagrįstai vartojamas vietoj termino „matavimo tikslumas“. Pavyzdžiui, kai kuriuose šaltiniuose galite rasti posakį „sukurti matavimų vienybę ir patikimumą šalyje“. Tuo tarpu teisingiau būtų sakyti „nustatant matavimų vienovę ir reikalaujamą tikslumą“. Patikimumą laikome kokybine charakteristika, atspindinčia atsitiktinių klaidų artumą iki nulio. Jį galima kiekybiškai nustatyti dėl matavimų nepatikimumo.

Matavimų nepatikimumas(trumpiau - nepatikimumas) - matavimų serijos rezultatų neatitikimo įvertinimas dėl bendros atsitiktinių klaidų įtakos įtakos (nustatomas statistiniais ir nestatistiniais metodais), apibūdinamas verčių diapazonu. kurioje yra tikroji išmatuotos vertės reikšmė.

Remiantis Tarptautinio svorių ir matų biuro rekomendacijomis, nepatikimumas išreiškiamas suminės vidutinės kvadratinės matavimo paklaidos - Su forma, įskaitant vidutinę kvadratinę paklaidą S (nustatoma statistiniais metodais) ir vidutinę kvadratinę paklaidą u (nustatyta nestatistiniais metodais), t.y.

(1.20)

Didžiausia matavimo paklaida(trumpai - maksimali paklaida) - didžiausia matavimo paklaida (pliusas, minusas), kurios tikimybė neviršija reikšmės P, o skirtumas 1 - P yra nereikšmingas.

Pavyzdžiui, esant normaliojo skirstinio dėsniui, atsitiktinės paklaidos, lygios ±3s, tikimybė yra 0,997, o skirtumas 1-P = 0,003 yra nereikšmingas. Todėl daugeliu atvejų ±3s pasikliovimo paklaida imama maksimalia, t.y. pr = ±3s. Jei reikia, pr gali turėti kitų ryšių su s esant pakankamai dideliam P (2s, 2,5s, 4s ir tt).

Atsižvelgiant į tai, kad GSI standartuose vietoj termino „vidutinė kvadratinė paklaida“ vartojamas terminas „vidutinis kvadratinis nuokrypis“, tolimesnėse diskusijose laikysimės būtent šio termino.

Absoliuti matavimo paklaida(trumpiau – absoliuti paklaida) – matavimo paklaida, išreikšta išmatuotos vertės vienetais. Taigi, paklaida X matuojant X dalies ilgį, išreikšta mikrometrais, reiškia absoliučią paklaidą.

Nereikėtų painioti sąvokų „absoliuti paklaida“ ir „absoliuti paklaidos vertė“, kuri suprantama kaip klaidos reikšmė, neatsižvelgiant į ženklą. Taigi, jei absoliuti matavimo paklaida yra ±2 μV, tai absoliuti paklaidos vertė bus 0,2 μV.

Santykinė matavimo paklaida(trumpiau – santykinė paklaida) – matavimo paklaida, išreiškiama išmatuotos vertės vertės trupmenomis arba procentais. Santykinė paklaida δ randama iš ryšių:

(1.21)

Pavyzdžiui, yra tikroji detalės ilgio x = 10,00 mm reikšmė ir absoliuti paklaidos reikšmė x = 0,01 mm. Santykinė klaida bus

Statinė klaida— matavimo rezultato paklaida dėl statinio matavimo sąlygų.

Dinaminė klaida— matavimo rezultato paklaida dėl dinaminio matavimo sąlygų.

Vieneto atkūrimo klaida— matavimų, atliktų atkuriant fizinio dydžio vienetą, rezultato paklaida. Taigi klaida atkuriant vienetą naudojant būsenos standartą nurodoma jo komponentų forma: neatskiriama sisteminė klaida, apibūdinama jos riba; atsitiktinė paklaida, kuriai būdingas standartinis nuokrypis s ir nestabilumas per metus ν.

Vieneto dydžio perdavimo klaida— matavimų, atliktų perduodant vieneto dydį, rezultato klaida. Vieneto dydžio perdavimo klaida apima neatskiriamas sistemines klaidas ir atsitiktines vieneto dydžio perdavimo būdo ir priemonių (pavyzdžiui, lygintuvo) klaidas.

Tegul koks nors atsitiktinis kintamasis a išmatuotas n kartų tomis pačiomis sąlygomis. Matavimo rezultatai davė aibę n skirtingi skaičiai

Absoliuti klaida- matmenų vertė. Tarp n Absoliučios paklaidos vertės būtinai yra teigiamos ir neigiamos.

Dėl labiausiai tikėtinos kiekio vertės A paprastai imamasi vidutinis matavimo rezultatų vertė

.

Kuo didesnis matavimų skaičius, tuo vidutinė vertė yra arčiau tikrosios vertės.

Absoliuti klaidai

.

Santykinė klaidai-tas matavimas vadinamas kiekiu

Santykinė paklaida yra bematis dydis. Paprastai santykinė paklaida išreiškiama procentais e i padauginkite iš 100%. Santykinės paklaidos dydis apibūdina matavimo tikslumą.

Vidutinė absoliuti paklaida apibrėžiamas taip:

.

Pabrėžiame, kad reikia susumuoti dydžių D absoliučias reikšmes (modulius). ir aš. Priešingu atveju rezultatas bus lygus nuliui.

Vidutinė santykinė paklaida vadinamas kiekiu

.

Daugybei matavimų.

Santykinė paklaida gali būti laikoma paklaidos verte, tenkančia išmatuotos vertės vienetui.

Apie matavimų tikslumą sprendžiama lyginant matavimo rezultatų paklaidas. Todėl matavimo paklaidos išreiškiamos tokia forma, kad tikslumui įvertinti pakanka lyginti tik rezultatų paklaidas, nelyginant matuojamų objektų dydžių ar labai apytiksliai žinant šiuos dydžius. Iš praktikos žinoma, kad absoliuti paklaida matuojant kampą nepriklauso nuo kampo reikšmės, o absoliuti ilgio matavimo paklaida priklauso nuo ilgio reikšmės. Kuo didesnis ilgis, tuo didesnė tam tikro metodo ir matavimo sąlygų absoliuti paklaida. Vadinasi, pagal absoliučią rezultato paklaidą galima spręsti apie kampo matavimo tikslumą, tačiau negalima spręsti apie ilgio matavimo tikslumą. Klaidos išreiškimas santykine forma leidžia palyginti kampinių ir tiesinių matavimų tikslumą žinomais atvejais.

Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos. Atsitiktinė klaida.

Atsitiktinė klaida vadinamas matavimo paklaidos komponentu, kuris atsitiktinai kinta pakartotinai matuojant tą patį kiekį.

Atliekant pakartotinius to paties pastovaus, nekintančio dydžio matavimus vienodai atsargiai ir tomis pačiomis sąlygomis, gauname matavimo rezultatus – kai kurie skiriasi vienas nuo kito, o kai kurie sutampa. Tokie matavimo rezultatų neatitikimai rodo, kad juose yra atsitiktinių klaidų komponentų.

Atsitiktinė paklaida atsiranda vienu metu veikiant daugeliui šaltinių, kurių kiekvienas pats savaime turi nepastebimą poveikį matavimo rezultatui, tačiau bendra visų šaltinių įtaka gali būti gana stipri.

Atsitiktinės paklaidos yra neišvengiama bet kokių matavimų pasekmė ir jas sukelia:

a) prietaisų ir prietaisų skalės rodmenų netikslumas;

b) pakartotinių matavimų sąlygų netapatumas;

c) atsitiktiniai išorinių sąlygų (temperatūros, slėgio, jėgos lauko ir kt.) pokyčiai, kurių negalima kontroliuoti;

d) visos kitos įtakos matavimams, kurių priežastys mums nežinomos. Atsitiktinės paklaidos dydį galima sumažinti kartojant eksperimentą daug kartų ir atitinkamai matematiškai apdorojant gautus rezultatus.

Atsitiktinė paklaida gali įgyti skirtingas absoliučias reikšmes, kurių neįmanoma numatyti tam tikram matavimui. Ši klaida gali būti vienodai teigiama arba neigiama. Eksperimente visada yra atsitiktinių klaidų. Jei nėra sisteminių klaidų, jie sukelia pakartotinių matavimų sklaidą, palyginti su tikrąja verte.

Tarkime, kad švytuoklės svyravimo periodas matuojamas chronometru, o matavimas kartojamas daug kartų. Klaidos paleidžiant ir sustabdant chronometrą, skaitymo vertės paklaida, nedidelis švytuoklės judėjimo netolygumas – visa tai sukelia pakartotinių matavimų rezultatų išsibarstymą, todėl gali būti klasifikuojami kaip atsitiktinės klaidos.

Jei nėra kitų klaidų, kai kurie rezultatai bus šiek tiek pervertinti, o kiti - šiek tiek neįvertinti. Bet jei, be to, laikrodis atsilieka, tada visi rezultatai bus neįvertinti. Tai jau sisteminė klaida.

Kai kurie veiksniai gali sukelti ir sistemines, ir atsitiktines klaidas tuo pačiu metu. Taigi, įjungdami ir išjungdami chronometrą, galime sukurti nedidelį netaisyklingą laikrodžio pradžios ir sustabdymo laiko skirtumą švytuoklės judėjimo atžvilgiu ir taip įvesti atsitiktinę klaidą. Bet jei, be to, kiekvieną kartą skubame įjungti chronometrą ir šiek tiek vėluojame jį išjungti, tai sukels sistemingą klaidą.

Atsitiktinės paklaidos atsiranda dėl paralakso paklaidos skaičiuojant instrumentų skalių padalijas, pastato pamatų drebėjimą, nežymaus oro judėjimo įtaka ir kt.

Nors atskirų matavimų atsitiktinių paklaidų pašalinti neįmanoma, tačiau matematinė atsitiktinių reiškinių teorija leidžia sumažinti šių paklaidų įtaką galutiniam matavimo rezultatui. Žemiau bus parodyta, kad tam reikia atlikti ne vieną, o kelis matavimus ir kuo mažesnę paklaidos reikšmę norime gauti, tuo daugiau matavimų reikia atlikti.

Atsižvelgiant į tai, kad atsitiktinių klaidų atsiradimas yra neišvengiamas ir neišvengiamas, pagrindinis bet kurio matavimo proceso uždavinys yra sumažinti paklaidas iki minimumo.

Klaidų teorija remiasi dviem pagrindinėmis prielaidomis, patvirtintomis patirtimi:

1. Atliekant daug matavimų, gana dažnai pasitaiko vienodo dydžio, bet skirtingų ženklų atsitiktinės paklaidos, tai yra paklaidos rezultato didėjimo ir mažėjimo kryptimi.

2. Klaidos, kurių absoliuti reikšmė yra didelė, pasitaiko rečiau nei mažos, todėl jos dydžiui didėjant klaidos atsiradimo tikimybė mažėja.

Atsitiktinių dydžių elgsena apibūdinama statistiniais modeliais, kurie yra tikimybių teorijos objektas. Statistinis tikimybės apibrėžimas w iįvykius i yra požiūris

Kur n- bendras eksperimentų skaičius, n i– eksperimentų, kurių metu įvyko įvykis, skaičius iįvyko. Šiuo atveju bendras eksperimentų skaičius turėtų būti labai didelis ( n®¥). Atliekant daug matavimų, atsitiktinės paklaidos paklūsta normaliam pasiskirstymui (Gauso skirstiniui), kurio pagrindinės ypatybės yra šios:

1. Kuo didesnis išmatuotos vertės nuokrypis nuo tikrosios vertės, tuo mažesnė tokio rezultato tikimybė.

2. Nukrypimai į abi puses nuo tikrosios vertės yra vienodai tikėtini.

Iš aukščiau pateiktų prielaidų išplaukia, kad norint sumažinti atsitiktinių paklaidų įtaką, šią reikšmę reikia išmatuoti kelis kartus. Tarkime, kad matuojame kokį nors kiekį x. Tegul jis gaminamas n išmatavimai: x 1 , x 2 , ... x n- naudojant tą patį metodą ir taip pat atsargiai. Galima tikėtis, kad skaičius dn gautus rezultatus, kurie slypi gana siaurame intervale nuo x prieš x + dx, turi būti proporcinga:

Paimto intervalo dydis dx;

Bendras matavimų skaičius n.

Tikimybė dw(x), kad tam tikra vertė x yra diapazone nuo x prieš x + dx, apibrėžiamas taip :

(su matavimų skaičiumi n ®¥).

Funkcija f(X) vadinama pasiskirstymo funkcija arba tikimybės tankiu.

Kaip klaidų teorijos postulatas priimta, kad tiesioginių matavimų rezultatai ir jų atsitiktinės paklaidos, kai jų yra daug, paklūsta normaliojo skirstinio dėsniui.

Gauso rasta nuolatinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija x turi tokią formą:

, kur mis - paskirstymo parametrai .

Normaliojo skirstinio parametras m lygus vidutinei reikšmei b xñ atsitiktinis dydis, kuris savavališkai žinomai skirstinio funkcijai nustatomas integralu

.

Taigi, reikšmė m yra labiausiai tikėtina išmatuoto dydžio x reikšmė, t.y. jos geriausias įvertinimas.

Normaliojo skirstinio parametras s 2 yra lygus atsitiktinio dydžio dispersijai D, kurią bendruoju atveju lemia šis integralas

.

Kvadratinė dispersijos šaknis vadinama atsitiktinio dydžio standartiniu nuokrypiu.

Atsitiktinio dydžio ásñ vidutinis nuokrypis (paklaida) nustatomas naudojant pasiskirstymo funkciją taip

Vidutinė matavimo paklaida ásñ, apskaičiuota pagal Gauso skirstinio funkciją, yra susieta su standartinio nuokrypio reikšme taip:

< s > = 0,8 s.

Parametrai s ir m yra susiję vienas su kitu taip:

.

Ši išraiška leidžia rasti standartinį nuokrypį s, jei yra normalaus pasiskirstymo kreivė.

Gauso funkcijos grafikas pateiktas paveiksluose. Funkcija f(x) yra simetriška taške nubrėžtai ordinatai x = m; taške praeina per maksimumą x = m ir turi vingį taškuose m ±s. Taigi, dispersija apibūdina pasiskirstymo funkcijos plotį arba parodo, kaip plačiai atsitiktinio dydžio reikšmės yra išsibarsčiusios, palyginti su jo tikra verte. Kuo tikslesni matavimai, tuo arčiau tikrosios vertės atskirų matavimų rezultatai, t.y. s reikšmė yra mažesnė. A paveiksle parodyta funkcija f(x) trims s reikšmėms .

Figūros plotas, aptvertas kreive f(x) ir vertikalios linijos, nubrėžtos iš taškų x 1 ir x 2 (B pav.) , skaitine prasme lygus tikimybei, kad matavimo rezultatas pateks į intervalą D x = x 1 -x 2, kuri vadinama pasitikėjimo tikimybe. Plotas po visa kreive f(x) yra lygi tikimybei, kad atsitiktinis dydis pateks į intervalą nuo 0 iki ¥, t.y.

,

kadangi patikimo įvykio tikimybė lygi vienetui.

Naudojant normalųjį skirstinį, klaidų teorija kelia ir išsprendžia dvi pagrindines problemas. Pirmasis yra atliktų matavimų tikslumo įvertinimas. Antrasis – matavimo rezultatų aritmetinio vidurkio vertės tikslumo įvertinimas.5. Pasitikėjimo intervalas. Studento koeficientas.

Tikimybių teorija leidžia mums nustatyti intervalo, kuriame esant žinoma tikimybei, dydį w randami atskirų matavimų rezultatai. Ši tikimybė vadinama pasitikėjimo tikimybė, ir atitinkamas intervalas (<x>±D x)w paskambino pasitikėjimo intervalas. Pasitikėjimo tikimybė taip pat yra lygi rezultatų, patenkančių į pasikliautinąjį intervalą, santykinei proporcijai.

Jei matavimų skaičius n yra pakankamai didelis, tada pasitikėjimo tikimybė išreiškia viso skaičiaus dalį n tuos matavimus, kurių metu išmatuota vertė buvo pasikliautinojo intervalo ribose. Kiekviena pasitikėjimo tikimybė w atitinka jo pasikliautinąjį intervalą w 2 80%. Kuo platesnis pasikliautinasis intervalas, tuo didesnė tikimybė gauti rezultatą per tą intervalą. Tikimybių teorijoje nustatomas kiekybinis ryšys tarp pasikliautinojo intervalo reikšmės, pasikliautinumo tikimybės ir matavimų skaičiaus.

Jei pasikliautinuoju intervalu pasirinksime intervalą, atitinkantį vidutinę paklaidą, tai yra, D a = Reklama Añ, tada pakankamai dideliam matavimų skaičiui atitinka pasitikėjimo tikimybę w 60 proc. Matavimų skaičiui mažėjant, tokį pasikliautinąjį intervalą atitinkanti pasikliovimo tikimybė (á Añ ± Reklama Añ), mažėja.

Taigi, norint įvertinti atsitiktinio dydžio pasikliovimo intervalą, galima naudoti vidutinės paklaidos áD reikšmę Añ .

Atsitiktinės paklaidos dydžiui apibūdinti reikia nurodyti du skaičius, būtent pasikliautinojo intervalo reikšmę ir pasikliautinosios tikimybės reikšmę . Nurodyti tik klaidos dydį be atitinkamos pasikliovimo tikimybės iš esmės beprasmiška.

Jei vidutinė matavimo paklaida ásñ yra žinoma, pasikliautinasis intervalas parašytas kaip (<x> ± ásñ) w, nustatyta su patikimumo tikimybe w= 0,57.

Jei žinomas standartinis nuokrypis s matavimo rezultatų pasiskirstymas, nurodytas intervalas turi formą (<x>± t w s) w, Kur t w- koeficientas, priklausantis nuo pasikliovimo tikimybės vertės ir apskaičiuojamas naudojant Gauso skirstinį.

Dažniausiai naudojami kiekiai D x yra pateiktos 1 lentelėje.

Absoliuti ir santykinė skaičių paklaida.

Kaip bet kokios kilmės apytikslių dydžių tikslumo charakteristikos įvedamos šių dydžių absoliučios ir santykinės paklaidos sąvokos.

Tikslaus skaičiaus A aproksimaciją pažymėkime a.

Apibrėžkite. Dydis vadinamas apytikslio skaičiaus paklaida.

Apibrėžimas. Absoliuti klaida apytikslis skaičius a vadinamas kiekiu
.

Praktiškai tikslus skaičius A dažniausiai nežinomas, bet visada galime nurodyti ribas, kuriose kinta absoliuti paklaida.

Apibrėžimas. Didžiausia absoliuti paklaida apytikslis skaičius a vadinamas mažiausia iš viršutinių kiekio ribų , kurį galima rasti naudojant šį skaičių gavimo būdą.

Praktikoje, kaip pasirinkite vieną iš viršutinių ribų , visai arti mažiausio.

Nes
, Tai
. Kartais jie rašo:
.

Absoliuti klaida yra matavimo rezultato skirtumas

ir tikroji (tikra) vertė išmatuotas kiekis.

Absoliučios paklaidos ir didžiausios absoliučios paklaidos nepakanka matavimo ar skaičiavimo tikslumui apibūdinti. Kokybiškai santykinės paklaidos dydis yra reikšmingesnis.

Apibrėžimas. Santykinė klaida Apytikslį skaičių vadiname kiekiu:

Apibrėžimas. Didžiausia santykinė klaida apytikslis skaičius, vadinkime kiekiu

Nes
.

Taigi santykinė paklaida iš tikrųjų nustato absoliučios paklaidos dydį, tenkantį išmatuoto ar apskaičiuoto apytikslio skaičiaus a vienetui.

Pavyzdys. Suapvalinus tikslius skaičius A iki trijų reikšminių skaičių, nustatykite

gauto apytikslio absoliučios D ir santykinės δ paklaidos

Duota:

Rasti:

∆-absoliuti paklaida

δ – santykinė paklaida

Sprendimas:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,a 0

*100%=0.203%

Atsakymas:=0,027; δ=0,203 %

2. Dešimtainis apytikslio skaičiaus žymėjimas. Reikšminga figūra. Teisingi skaičių skaitmenys (teisingo ir reikšminio skaitmenų apibrėžimas, pavyzdžiai; santykinės paklaidos ir teisingų skaitmenų skaičiaus ryšio teorija).

Teisingi skaičių ženklai.

Apibrėžimas. Apytikslio skaičiaus a reikšminis skaitmuo yra bet kuris skaitmuo, išskyrus nulį, ir nulis, jei jis yra tarp reikšmingųjų skaitmenų arba yra įrašyto po kablelio simbolis.

Pavyzdžiui, skaičiuje 0,00507 =
turime 3 reikšminius skaičius, o skaičiuje 0,005070=
reikšmingi skaičiai, t.y. nulis dešinėje, išsaugant dešimtainį skaičių, yra reikšmingas.

Nuo šiol sutikime dešinėje rašyti nulius, jei tik jie reikšmingi. Tada, kitaip tariant,

Visi a skaitmenys yra reikšmingi, išskyrus kairėje esančius nulius.

Dešimtainėje skaičių sistemoje bet koks skaičius a gali būti pateikiamas kaip baigtinė arba begalinė suma (dešimtainė trupmena):

Kur
,
- pirmasis reikšmingas skaitmuo, m - sveikas skaičius, vadinamas reikšmingiausia skaičiaus a dešimtaine dalimi.

Pavyzdžiui, 518,3 =, m = 2.

Naudodamiesi žymėjimu, apytiksliai pristatome teisingų po kablelio skaičių (reikšminiais skaičiais) sąvoką -

1 dieną.

Apibrėžimas. Sakoma, kad apytiksliame n formos skaičiuje a yra pirmieji reikšminiai skaitmenys ,

kur i= m, m-1,..., m-n+1 yra teisingi, jei šio skaičiaus absoliuti paklaida neviršija pusės skaitmens vieneto, išreikšto n-tuoju reikšminiu skaitmeniu:

Kitu atveju paskutinis skaitmuo
vadinamas abejotinu.

Rašant apytikslį skaičių, nenurodant jo klaidos, reikalaujama, kad visi įrašyti skaičiai

buvo ištikimi. Šis reikalavimas įvykdytas visose matematinėse lentelėse.

Sąvoka „n teisingų skaitmenų“ apibūdina tik apytikslio skaičiaus tikslumo laipsnį ir neturėtų būti suprantama taip, kad pirmieji n reikšmingų apytikslio skaičiaus a skaitmenų sutampa su atitinkamais tikslaus skaičiaus A skaitmenimis. Pavyzdžiui, skaičiai A = 10, a = 9,997, visi reikšminiai skaitmenys yra skirtingi , tačiau skaičius a turi 3 galiojančius reikšminius skaitmenis. Iš tiesų, čia m=0 ir n=3 (jį randame pasirinkdami).

Esė

Absoliuti ir santykinė klaida

Įvadas

Absoliuti klaida - yra absoliučios matavimo paklaidos įvertinimas. Skaičiuojama įvairiais būdais. Skaičiavimo būdas nustatomas pagal atsitiktinio dydžio skirstinį. Atitinkamai absoliučios paklaidos dydis, priklausantis nuo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo gali būti kitoks. Jeigu yra išmatuota vertė ir yra tikroji vertė, tada nelygybė turi būti įvykdyta su tam tikra tikimybe, artima 1. Jei atsitiktinis dydis pasiskirsto pagal normalųjį dėsnį, tada jo standartinis nuokrypis paprastai laikomas absoliučia paklaida. Absoliuti paklaida matuojama tais pačiais vienetais kaip ir pats kiekis.

Yra keletas būdų, kaip parašyti kiekį kartu su jo absoliučia klaida.

· Paprastai naudojamas užrašas ± . Pavyzdžiui, 100 metrų rekordas, pasiektas 1983 m., yra 9,930±0,005 s.

· Norint įrašyti labai tiksliai išmatuotus kiekius, naudojamas kitas žymėjimas: skliausteliuose pridedami skaičiai, atitinkantys paskutinių mantisos skaitmenų paklaidą. Pavyzdžiui, išmatuota Boltzmanno konstantos vertė yra 1,380 6488 (13) × 10?23 J/C, kuris taip pat gali būti parašytas daug ilgiau kaip 1 380 6488 × 10?23 ± 0,000 0013 × 10?23 J/C.

Santykinė klaida- matavimo paklaida, išreikšta absoliučios matavimo paklaidos ir išmatuotos vertės faktinės arba vidutinės vertės santykiu (RMG 29-99):.

Santykinė paklaida yra dydis be matmenų arba matuojamas procentais.

1. Kas yra apytikslė vertė?

Su pertekliumi ir nepakankamu? Skaičiuojant dažnai tenka susidurti su apytiksliais skaičiais. Leisti A- tiksli tam tikro kiekio vertė, toliau vadinama tikslus skaičius A.Pagal apytikslę vertę A,arba apytiksliai skaičiaiskambino numeriu A, pakeičiant tikslią kiekio vertę A.Jeigu A< A,Tai Avadinama apytiksle skaičiaus reikšme Ir dėl trūkumo.Jeigu A> A,- Tai pertekliumi.Pavyzdžiui, 3,14 yra apytikslis skaičiaus ? pagal trūkumą, o 3,15 - pertekliumi. Šio aproksimavimo tikslumo laipsniui apibūdinti naudojama sąvoka klaidų arba klaidų.

Klaida ?Aapytikslis skaičius Avadinamas formos skirtumu

?a = A - a,

Kur A- atitinkamas tikslus skaičius.

Iš paveikslo matyti, kad atkarpos AB ilgis yra nuo 6 cm iki 7 cm.

Tai reiškia, kad 6 yra apytikslė atkarpos AB ilgio reikšmė (centimetrais) > su trūkumu, o 7 su pertekliumi.

Atkarpos ilgį pažymėdami raide y, gauname: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmentasAB (žr. 149 pav.) yra arčiau 6 cm nei 7 cm. Apytiksliai lygu 6 cm Sakoma, kad skaičius 6 gautas suapvalinus atkarpos ilgį iki sveikųjų skaičių.

. Kas yra aproksimacijos klaida?

A) Absoliutus?

B) giminaitis?

A) Absoliuti aproksimacijos paklaida yra skirtumo tarp tikrosios dydžio vertės ir jo apytikslės reikšmės dydis. |x - x_n|, kur x yra tikroji reikšmė, x_n yra apytikslė reikšmė. Pavyzdžiui: A4 formato popieriaus lapo ilgis yra (29,7 ± 0,1) cm, o atstumas nuo Sankt Peterburgo iki Maskvos yra (650 ± 1) km. Absoliuti paklaida pirmuoju atveju neviršija vieno milimetro, o antruoju - vieno kilometro. Klausimas yra palyginti šių matavimų tikslumą.

Jei manote, kad lapo ilgis matuojamas tiksliau, nes absoliuti paklaida neviršija 1 mm. Tada tu klysti. Šių verčių negalima tiesiogiai palyginti. Pamąstykime.

Matuojant lapo ilgį, absoliuti paklaida neviršija 0,1 cm 29,7 cm, tai yra procentais, ji yra 0,1/29,7 * 100% = 0,33% išmatuotos vertės.

Kai matuojame atstumą nuo Sankt Peterburgo iki Maskvos, absoliuti paklaida neviršija 1 km 650 km, o tai procentais yra 1/650 * 100% = 0,15% išmatuotos vertės. Matome, kad atstumas tarp miestų matuojamas tiksliau nei A4 formato lapo ilgis.

B) Santykinė aproksimacijos paklaida yra absoliučios paklaidos ir dydžio apytikslės reikšmės absoliučios vertės santykis.

matematinės klaidos trupmena

kur x yra tikroji reikšmė, x_n yra apytikslė vertė.

Santykinė paklaida paprastai išreiškiama procentais.

Pavyzdys. Suapvalinus skaičių 24,3 iki vienetų gaunamas skaičius 24.

Santykinė paklaida yra lygi. Jie sako, kad santykinė paklaida šiuo atveju yra 12,5%.

) Koks apvalinimas vadinamas apvalinimu?

A) Su trūkumu?

B) Perteklius?

A) Apvalinimas žemyn

Suapvalinant skaičių, išreikštą dešimtaine trupmena iki artimiausio 10^(-n), pirmieji n skaitmenų po kablelio išsaugomi, o vėlesni atmetami.

Pavyzdžiui, suapvalinus 12,4587 iki artimiausio tūkstančio, gauname 12,458.

B) Apvalinimas

Suapvalinant skaičių, išreikštą dešimtaine trupmena iki artimiausio 10^(-n), pirmieji n skaitmenų po kablelio išlaikomi pertekliai, o vėlesni atmetami.

Pavyzdžiui, suapvalinus 12,4587 iki artimiausio tūkstančio, gauname 12,459.

) Dešimtainių skaičių apvalinimo taisyklė.

Taisyklė. Norint suapvalinti dešimtainę trupmeną iki tam tikro sveikojo skaičiaus ar trupmeninės dalies skaitmens, visi smulkesni skaitmenys pakeičiami nuliais arba atmetami, o prieš apvalinimo metu išmestą skaitmenį esantis skaitmuo nekeičia jo reikšmės, jei po jo rašomi skaičiai 0, 1 , 2, 3, 4 ir padidinamas 1 (vienu), jei skaičiai yra 5, 6, 7, 8, 9.

Pavyzdys. Suapvalinkite trupmeną 93,70584 iki:

dešimt tūkstančių dalių: 93,7058

tūkstantosios dalys: 93,706

šimtosios dalys: 93,71

dešimtinės: 93,7

sveikas skaičius: 94

dešimtys: 90

Nepaisant absoliučių klaidų lygybės, nes išmatuoti dydžiai skiriasi. Kuo didesnis išmatuotas dydis, tuo mažesnė santykinė paklaida, o absoliuti paklaida išlieka pastovi.

Mokymas

Reikia pagalbos studijuojant temą?

Mūsų specialistai patars arba teiks kuravimo paslaugas jus dominančiomis temomis.
Pateikite savo paraišką nurodydami temą dabar, kad sužinotumėte apie galimybę gauti konsultaciją.