Pamoka „Dvikampis kampas. Dvikampiai kampai ir jų skaičiavimo formulė. Dvikampis kampas keturkampės taisyklingos piramidės pagrindu

Pamokos tikslas: dvikampio kampo ir jo tiesinio kampo sampratos supažindinimas.

Užduotys:

Švietimas: svarstyti šių sąvokų taikymo užduotis, ugdyti konstruktyvų kampo tarp plokštumų nustatymo įgūdžius;

Vystomasis: mokinių kūrybinio mąstymo ugdymas, asmeninis mokinių saviugda, mokinių kalbos ugdymas;

Švietimas: protinio darbo kultūros, bendravimo kultūros, reflektyviosios kultūros puoselėjimas.

Pamokos tipas: naujų žinių mokymosi pamoka

Mokymo metodai: aiškinamoji ir iliustracinė

Įranga: kompiuteris, interaktyvi lenta.

Literatūra:

Geometrija. 10-11 klasės: vadovėlis. 10-11 klasėms. bendrojo išsilavinimo institucijos: pagrindinės ir profilio. lygiai / [L. S. Atanasjanas, V. F. Butuzovas, S. B. Kadomcevas ir kt.] – 18-asis leid. – M.: Švietimas, 2009. – 255 p.

Pamokos planas:

Organizacinis momentas (2 min.)

Žinių atnaujinimas (5 min.)

Naujos medžiagos mokymasis (12 min.)

Išmoktos medžiagos sutvirtinimas (21 min.)

Namų darbai (2 min.)

Apibendrinimas (3 min.)

Užsiėmimų metu:

1. Organizacinis momentas.

Apima mokytojo pasisveikinimą su klase, kambario paruošimą pamokai ir neatvykimo tikrinimą.

2. Bazinių žinių atnaujinimas.

Mokytojas: Paskutinėje pamokoje rašėte savarankišką darbą. Apskritai darbas buvo parašytas gerai. Dabar šiek tiek pakartokime. Kaip vadinamas kampas plokštumoje?

Studentas: Kampas plokštumoje yra figūra, sudaryta iš dviejų spindulių, sklindančių iš vieno taško.

Mokytojas: Kaip vadinamas kampas tarp linijų erdvėje?

Studentas: Kampas tarp dviejų erdvėje susikertančių tiesių yra mažiausias iš kampų, kuriuos sudaro šių tiesių spinduliai su viršūne jų susikirtimo taške.

Studentas: Kampas tarp susikertančių linijų yra kampas tarp susikertančių linijų, lygiagrečių duomenims.

Mokytojas: Kaip vadinamas kampas tarp tiesės ir plokštumos?

Studentas: Kampas tarp tiesės ir plokštumosBet koks kampas tarp tiesės ir jos projekcijos į šią plokštumą vadinamas.

3. Naujos medžiagos studijavimas.

Mokytojas: Stereometrijoje kartu su tokiais kampais atsižvelgiama į kitą kampų tipą - dvikampius. Tikriausiai jau atspėjote, kokia šiandienos pamokos tema, tad atsiverskite sąsiuvinius, užsirašykite šios dienos datą ir pamokos temą.

Užrašykite lentoje ir sąsiuviniuose:

10.12.14.

Dvikampis kampas.

Mokytojas : Norėdami pristatyti dvikampio kampo sąvoką, reikia prisiminti, kad bet kuri tiesi linija, nubrėžta tam tikroje plokštumoje, padalija šią plokštumą į dvi pusiau plokštumas(1 pav., a)

Mokytojas : Įsivaizduokime, kad plokštumą išlenkėme išilgai tiesės, kad dvi pusės plokštumos su riba nebegulėtų toje pačioje plokštumoje (1 pav., b). Gauta figūra yra dvikampis kampas. Dvikampis kampas yra figūra, sudaryta iš tiesės ir dviejų pusiau plokštumų, turinčių bendrą ribą, nepriklausančių tai pačiai plokštumai. Pusplokštumos, sudarančios dvikampį kampą, vadinamos jo veidais. Dvikampis kampas turi dvi puses, todėl vadinamas dvikampis kampas. Tiesi linija – bendra pusplokštumų riba – vadinama dvišakio kampo briauna. Užsirašykite apibrėžimą savo užrašų knygelėje.

Dvikampis kampas yra figūra, sudaryta iš tiesės ir dviejų pusiau plokštumų, turinčių bendrą ribą, nepriklausančių tai pačiai plokštumai.

Mokytojas : Kasdieniame gyvenime dažnai susiduriame su objektais, kurie turi dvikampio kampo formą. Pateikite pavyzdžių.

Studentas : Pusiau atidarytas aplankas.

Studentas : Kambario siena yra kartu su grindimis.

Studentas : Pastatų dvišlaičiai stogai.

Mokytojas : Teisingai. Ir tokių pavyzdžių yra labai daug.

Mokytojas : Kaip žinote, kampai plokštumoje matuojami laipsniais. Tikriausiai turite klausimą, kaip matuojami dvikampiai kampai? Tai daroma taip.Pažymėkime kurį nors tašką dvikampio kampo briaunoje ir nubrėžkime kraštinei statmeną spindulį iš šio taško kiekviename paviršiuje. Šių spindulių suformuotas kampas vadinamas dvisienio kampo tiesiniu kampu. Padarykite piešinį savo sąsiuviniuose.

Rašykite lentoje ir sąsiuviniuose.

APIE ∈ a, UAB ⊥ a, VO ⊥ a, SABD- dvikampis kampas,∠ AOB– dvikampio kampo tiesinis kampas.

Mokytojas : Visi dvikampio kampo tiesiniai kampai yra lygūs. Padarykite sau dar vieną tokį piešinį.

Mokytojas : Įrodykime tai. Apsvarstykite du tiesinius kampus AOB irPQR. Spinduliai OA irQPguli ant to paties veido ir yra statmenosOQ, o tai reiškia, kad jie yra kartu nukreipti. Panašiai spinduliai OB irQRbendrai režisavo. Reiškia,∠ AOB= ∠ PQR(kaip kampai su išlygintomis kraštinėmis).

Mokytojas : Na, dabar atsakymas į mūsų klausimą yra toks, kaip matuojamas dvikampis kampas.Dvikampio kampo laipsnio matas yra jo tiesinio kampo laipsnio matas. Iš vadovėlio 48 puslapyje perbraižykite smailaus, stačiojo ir bukojo dvikampio atvaizdus.

4. Studijuotos medžiagos konsolidavimas.

Mokytojas : Padarykite užduočių brėžinius.

№ 1 . Duota: ΔABC, AC = BC, AB yra plokštumojeα, CD ⊥ α, C∉ α. Sukurkite dvisienio kampo tiesinį kampąCABD.

Studentas : Sprendimas:CM. ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ CMD – ieškojo.

№ 2. Duota: ΔABC, ∠ C= 90°, BC guli plokštumojeα, UAB⊥ α, A∈ α.

Sukurkite dvisienio kampo tiesinį kampąABCO.

Studentas : Sprendimas:AB ⊥ B.C., UAB⊥ BC reiškia OS⊥ Saulė.∠ ACO – ieškojo.

№ 3 . Duota: ΔABC, ∠ C = 90°, AB yra plokštumojeα, CD⊥ α, C∉ α. Sukurtitiesinis dvikampis kampasDABC.

Studentas : Sprendimas: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB reiškia∠ DKC – ieškojo.

№ 4 . Duota:DABC- tetraedras,DARYK⊥ ABC.Sukonstruoti dvisienio kampo tiesinį kampąABCD.

Studentas : Sprendimas:DM ⊥ saulė,DARYK ⊥ VS reiškia OM⊥ Saulė;∠ OMD – ieškojo.

5. Apibendrinant.

Mokytojas: Ką naujo išmokote šiandien klasėje?

Studentai : Kas vadinama dvisieniu kampu, tiesiniu kampu, kaip matuojamas dvikampis kampas.

Mokytojas : Ką jie kartojo?

Studentai : Kas vadinama kampu plokštumoje; kampas tarp tiesių linijų.

6.Namų darbai.

Užrašykite lentoje ir savo dienoraščiuose: 22 punktas, Nr.167, Nr.170.

PAMOKOS TEKSTAS:

Planimetrijoje pagrindiniai objektai yra linijos, atkarpos, spinduliai ir taškai. Iš vieno taško sklindantys spinduliai sudaro vieną iš savo geometrinių formų – kampą.

Žinome, kad tiesinis kampas matuojamas laipsniais ir radianais.

Stereometrijoje prie objektų pridedama plokštuma. Figūra, sudaryta iš tiesės a ir dviejų pusiau plokštumų su bendra riba a, kurios geometrijoje nepriklauso tai pačiai plokštumai, vadinama dvikampiu kampu. Pusinės plokštumos yra dvikampio kampo paviršiai. Tiesi linija a yra dvikampio kampo briauna.

Dvikampis kampas, kaip ir tiesinis kampas, gali būti pavadintas, išmatuotas ir sudarytas. Tai turime išsiaiškinti šioje pamokoje.

Raskime dvikampį ABCD tetraedro modelyje.

Dvikampis kampas su briauna AB vadinamas CABD, kur taškai C ir D priklauso skirtingiems kampo paviršiams, o briauna AB vadinama viduriu.

Aplink mus yra gana daug objektų, kurių elementai yra dvikampio kampo formos.

Daugelyje miestų parkuose įrengti specialūs suoliukai susitaikymui. Suoliukas pagamintas iš dviejų pasvirusių plokštumų, susiliejančių link centro.

Statant namus dažnai naudojamas vadinamasis dvišlaitis stogas. Šiame name stogas pagamintas 90 laipsnių dvikampio formos.

Dvikampis kampas taip pat matuojamas laipsniais arba radianais, bet kaip jį išmatuoti.

Įdomu tai, kad namų stogai remiasi į gegnes. O gegnių apvalkalas tam tikru kampu sudaro du stogo šlaitus.

Perkelkime vaizdą į piešinį. Brėžinyje, norint rasti dvikampį kampą, jo briaunoje pažymimas taškas B. Iš šio taško statmenai kampo briaunai nubrėžiami du spinduliai BA ir BC. Šių spindulių suformuotas kampas ABC vadinamas tiesiniu dvisieniu kampu.

Dvikampio kampo laipsnio matas yra lygus jo tiesinio kampo laipsnio mastui.

Išmatuokime kampą AOB.

Tam tikro dvikampio kampo laipsnio matas yra šešiasdešimt laipsnių.

Dvikampio kampui galima nubrėžti begalinį linijinių kampų skaičių; svarbu žinoti, kad jie visi yra lygūs.

Panagrinėkime du tiesinius kampus AOB ir A1O1B1. Spinduliai OA ir O1A1 yra tame pačiame paviršiuje ir yra statmeni tiesei OO1, todėl yra bendros krypties. Sijos OB ir O1B1 taip pat nukreipiamos kartu. Todėl kampas AOB yra lygus kampui A1O1B1 kaip kampai su bendros krypties kraštinėmis.

Taigi dvikampis kampas apibūdinamas tiesiniu kampu, o tiesiniai kampai yra smailūs, buki ir dešinieji. Panagrinėkime dvikampių kampų modelius.

Bukus kampas yra tada, kai jo tiesinis kampas yra nuo 90 iki 180 laipsnių.

Status kampas, jei jo tiesinis kampas yra 90 laipsnių.

Smailusis kampas, jei jo tiesinis kampas yra nuo 0 iki 90 laipsnių.

Įrodykime vieną iš svarbių tiesinio kampo savybių.

Linijinio kampo plokštuma yra statmena dvikampio kampo kraštinei.

Tegul kampas AOB yra tam tikro dvikampio kampo tiesinis kampas. Pagal konstrukciją spinduliai AO ir OB yra statmeni tiesei a.

Plokštuma AOB eina per dvi susikertančias tieses AO ir OB pagal teoremą: Plokštuma eina per dvi susikertančias tieses, ir tik vieną.

Tiesė a yra statmena dviem šioje plokštumoje esančioms susikertančioms tiesėms, o tai reiškia, kad, remiantis tiesės ir plokštumos statmenumu, tiesė a yra statmena plokštumai AOB.

Norint išspręsti problemas, svarbu mokėti sukonstruoti tam tikro dvikampio kampo tiesinį kampą. Sukurkite tetraedro ABCD dvikampio kampo su briauna AB tiesinį kampą.

Kalbame apie dvikampį kampą, kurį pirmiausia sudaro briauna AB, vienas paviršius ABD ir antrasis paviršius ABC.

Štai vienas iš būdų jį sukurti.

Nubrėžkime statmeną iš taško D į plokštumą ABC. Statmens pagrindą pažymime tašką M. Prisiminkite, kad tetraedre statmens pagrindas sutampa su įbrėžto apskritimo centru tetraedro pagrindu.

Iš taško D nubrėžkime nuožulnią liniją statmenai kraštinei AB, tašką N pažymime kaip pasvirosios linijos pagrindą.

Trikampyje DMN atkarpa NM bus pasvirusio DN projekcija į plokštumą ABC. Pagal trijų statmenų teoremą kraštinė AB bus statmena projekcijai NM.

Tai reiškia, kad kampo DNM kraštinės yra statmenos kraštinei AB, o tai reiškia, kad sudarytas kampas DNM yra norimas tiesinis kampas.

Panagrinėkime dvikampio kampo skaičiavimo problemos sprendimo pavyzdį.

Lygiašonis trikampis ABC ir taisyklingasis trikampis ADB nėra vienoje plokštumoje. Atkarpa CD yra statmena plokštumai ADB. Raskite dvikampį kampą DABC, jei AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.

DABC dvikampis kampas yra lygus jo tiesiniam kampui. Sukurkime šį kampą.

Pasvirąją CM nubrėžkime statmenai kraštinei AB, kadangi trikampis ACB yra lygiašonis, tai taškas M sutaps su kraštinės AB viduriu.

Tiesi linija CD yra statmena plokštumai ADB, o tai reiškia, kad ji yra statmena tiesei DM, esančiai šioje plokštumoje. O atkarpa MD yra pasvirusio CM projekcija į plokštumą ADV.

Tiesė AB yra statmena pasvirusiajai CM pagal konstrukciją, o tai reiškia, kad pagal trijų statmenų teoremą ji yra statmena projekcijai MD.

Taigi, briaunai AB randami du statmenai CM ir DM. Tai reiškia, kad jie sudaro dvikampio kampo DABC tiesinį kampą CMD. Ir viskas, ką turime padaryti, tai rasti jį iš dešiniojo trikampio CDM.

Taigi atkarpa SM yra lygiašonio trikampio ACB mediana ir aukštis, tada pagal Pitagoro teoremą kojelė SM lygi 4 cm.

Iš stačiojo trikampio DMB, pagal Pitagoro teoremą, kojelė DM lygi dviem šaknims iš trijų.

Stačiojo trikampio kampo kosinusas yra lygus gretimos kojos MD ir hipotenuzės CM santykiui ir yra lygus trims šaknims iš trijų kartų dviejų. Tai reiškia, kad kampas CMD yra 30 laipsnių.

Kampo tarp dviejų skirtingų plokštumų dydį galima nustatyti bet kuriai santykinei plokštumų padėčiai.

Trivialus atvejis, jei plokštumos lygiagrečios. Tada kampas tarp jų laikomas lygiu nuliui.

Nebanalus atvejis, jei plokštumos susikerta. Šis atvejis yra tolesnių diskusijų objektas. Pirmiausia mums reikia dvikampio kampo sąvokos.

9.1 Dvikampis kampas

Dvikampis kampas yra dvi pusiau plokštumos, turinčios bendrą tiesę (kuri vadinama dvikampio kampo briauna). Fig. 50 parodytas dvikampis kampas, sudarytas iš pusplokštumų ir; šio dvikampio kampo briauna yra tiesi linija a, bendra šioms pusplokštumoms.

Ryžiai. 50. Dvikampis kampas

Dvikampis kampas gali būti matuojamas laipsniais arba radianais vienu žodžiu, įveskite dvikampio kampo vertę. Tai daroma taip.

Dvikampio kampo, kurį sudaro pusiau plokštumai ir briauna, paimame savavališką tašką M. Nubrėžkime spindulius MA ir MB, atitinkamai gulinčius šiose pusplokštumose ir statmenus kraštui (51 pav.).

Ryžiai. 51. Tiesinis dvikampis kampas

Gautas kampas AMB yra dvikampio kampo tiesinis kampas. Kampas " = \AMB yra būtent mūsų dvikampio kampo vertė.

Apibrėžimas. Dvikampio kampo kampinis dydis yra tam tikro dvikampio kampo tiesinio kampo dydis.

Visi dvikampio kampo tiesiniai kampai yra lygūs vienas kitam (juk jie gaunami vienas nuo kito lygiagrečiu poslinkiu). Todėl šis apibrėžimas yra teisingas: reikšmė " nepriklauso nuo konkretaus taško M pasirinkimo dvikampio kampo krašte.

9.2 Kampo tarp plokštumų nustatymas

Kai susikerta dvi plokštumos, gaunami keturi dvikampiai kampai. Jei jie visi yra vienodo dydžio (po 90), tada plokštumos vadinamos statmenomis; Tada kampas tarp plokštumų yra 90 laipsnių.

Jei ne visi dvikampiai kampai yra vienodi (tai yra du smailieji ir du bukieji), tai kampas tarp plokštumų yra smailaus dvibriaunio kampo reikšmė (52 pav.).

Ryžiai. 52. Kampas tarp plokštumų

9.3 Problemų sprendimo pavyzdžiai

Pažvelkime į tris problemas. Pirmasis yra paprastas, antrasis ir trečiasis yra maždaug C2 lygio vieningo valstybinio matematikos egzamino.

1 uždavinys. Raskite kampą tarp dviejų taisyklingo tetraedro paviršių.

Sprendimas. Tegul ABCD yra taisyklingas tetraedras. Nubrėžkime atitinkamų paviršių medianas AM ir DM bei tetraedro DH aukštį (53 pav.).

Ryžiai. 53. Į 1 užduotį

Būdami medianos, AM ir DM taip pat yra lygiakraščių trikampių ABC ir DBC aukščiai. Todėl kampas " = \AMD yra dvikampio kampo, sudaryto iš paviršių ABC ir DBC, tiesinis kampas. Randame jį iš trikampio DHM:

Atsakymas: arccos 1 3 .

2 uždavinys. Taisyklingos keturkampės piramidės SABCD (su viršūne S) šoninė briauna lygi pagrindo kraštinei. Taškas K yra krašto SA vidurys. Raskite kampą tarp plokštumų

Sprendimas. Tiesė BC lygiagreti AD, taigi lygiagreti plokštumai ADS. Todėl plokštuma KBC kerta plokštumą ADS išilgai tiesės KL, lygiagrečią BC (54 pav.).

Ryžiai. 54. Į 2 užduotį

Šiuo atveju KL taip pat bus lygiagreti linijai AD; todėl KL yra trikampio ADS vidurio linija, o taškas L yra DS vidurio taškas.

Raskime piramidės aukštį SO. Tegul N yra DO vidurys. Tada LN yra vidurinė trikampio DOS linija, taigi LN k SO. Tai reiškia, kad LN yra statmena plokštumai ABC.

Nuo taško N statmeną NM nuleidžiame iki tiesės BC. Tiesi linija NM bus pasvirusios LM projekcija į ABC plokštumą. Iš trijų statmenų teoremos išplaukia, kad LM taip pat yra statmena BC.

Taigi kampas " = \LMN yra dvikampio kampo, sudaryto iš pusplokštumų KBC ir ABC, tiesinis kampas. Šio kampo ieškosime iš stačiojo trikampio LMN.

Tegu piramidės briauna lygi a. Pirmiausia randame piramidės aukštį:

Sprendimas. Tegul L yra tiesių A1 K ir AB susikirtimo taškas. Tada plokštuma A1 KC kerta plokštumą ABC išilgai tiesės CL (55 pav.).

A C

Ryžiai. 55. Prie 3 uždavinio

Trikampiai A1 B1 K ir KBL yra lygūs kojos ir smailiu kampu. Todėl kitos kojos yra lygios: A1 B1 = BL.

Apsvarstykite trikampį ACL. Jame BA = BC = BL. Kampas CBL yra 120; todėl \BCL = 30 . Be to, \BCA = 60 . Todėl \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Taigi, LC? AC. Bet linija AC tarnauja kaip linijos A1 C projekcija į plokštumą ABC. Pagal trijų statmenų teoremą darome išvadą, kad LC ? A1 C.

Taigi kampas A1 CA yra dvikampio kampo, sudaryto iš pusplokštumų A1 KC ir ABC, tiesinis kampas. Tai yra norimas kampas. Iš lygiašonio stačiojo trikampio A1 AC matome, kad jis lygus 45.

Ši pamoka skirta savarankiškai studijuoti temą „Dvikampis kampas“. Šioje pamokoje mokiniai susipažins su viena iš svarbiausių geometrinių formų – dvikampio kampo. Taip pat pamokoje sužinosime, kaip nustatyti nagrinėjamos geometrinės figūros tiesinį kampą ir koks dvikampis yra figūros pagrindu.

Pakartokime, kas yra kampas plokštumoje ir kaip jis matuojamas.

Ryžiai. 1. Lėktuvas

Panagrinėkime plokštumą α (1 pav.). Iš taško APIE sklinda du spinduliai - OB Ir OA.

Apibrėžimas. Figūra, sudaryta iš dviejų spindulių, sklindančių iš vieno taško, vadinama kampu.

Kampas matuojamas laipsniais ir radianais.

Prisiminkime, kas yra radianas.

Ryžiai. 2. Radianas

Jeigu turime centrinį kampą, kurio lanko ilgis lygus spinduliui, tai toks centrinis kampas vadinamas 1 radiano kampu. ,∠ AOB= 1 rad (2 pav.).

Radianų ir laipsnių santykis.

džiaugiuosi.

Supratome, džiaugiuosi. (). Tada

Apibrėžimas. Dvikampis kampas vadinama tiese suformuota figūra A ir dvi pusiau plokštumos su bendra riba A, nepriklausantis tai pačiai plokštumai.

Ryžiai. 3. Puslėktuvai

Panagrinėkime dvi pusplokštumas α ir β (3 pav.). Jų bendra siena yra A. Ši figūra vadinama dvikampiu kampu.

Terminologija

Pusinės plokštumos α ir β yra dvikampio kampo paviršiai.

Tiesiai A yra dvikampio kampo briauna.

Ant bendro krašto A dvikampis kampas, pasirinkite savavališką tašką APIE(4 pav.). Pusplokštumoje α nuo taško APIE atstatyti statmeną OAį tiesią liniją A. Iš to paties taško APIE antroje pusplokštumoje β statome statmeną OB iki krašto A. Gavo kampą AOB, kuris vadinamas dvikampio kampo tiesiniu kampu.

Ryžiai. 4. Dvikampio kampo matavimas

Įrodykime visų tiesinių kampų lygybę tam tikram dvikampiui.

Turėkime dvikampį kampą (5 pav.). Išsirinkime tašką APIE ir laikotarpis O 1 tiesioje linijoje A. Sukonstruokime tašką atitinkantį tiesinį kampą APIE, ty nubrėžiame du statmenus OA Ir OB plokštumose α ir β atitinkamai iki krašto A. Mes gauname kampą AOB- dvikampio kampo tiesinis kampas.

Ryžiai. 5. Įrodinėjimo iliustracija

Iš taško O 1 nubrėžkime du statmenus OA 1 Ir OB 1 iki krašto A plokštumose α ir β atitinkamai ir gauname antrą tiesinį kampą A 1 O 1 B 1.

Spinduliai O 1 A 1 Ir OA bendrakrypčiai, nes jie yra toje pačioje pusplokštumoje ir yra lygiagrečiai vienas kitam kaip du statmenai tai pačiai tiesei A.

Taip pat ir spinduliai Maždaug 1 iš 1 Ir OB yra bendrai režisuojami, o tai reiškia ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 kaip kampai su bendros krypties kraštinėmis, ką ir reikėjo įrodyti.

Linijinio kampo plokštuma yra statmena dvikampio kampo kraštinei.

Įrodyk: A ⊥ AOB.

Ryžiai. 6. Įrodinėjimo iliustracija

Įrodymas:

OA ⊥ A pagal konstrukciją, OB ⊥ A pagal konstrukciją (6 pav.).

Mes matome, kad linija A statmena dviem susikertančioms tiesėms OA Ir OB iš lėktuvo AOB, tai reiškia, kad jis tiesus A statmenai plokštumai OAV, ką ir reikėjo įrodyti.

Dvikampis kampas matuojamas jo tiesiniu kampu. Tai reiškia, kad kiek laipsnių radianų yra tiesiniame kampe, tiek pat laipsnių radianų yra jo dvikampyje. Atsižvelgiant į tai, išskiriami šie dvikampių kampų tipai.

Ūmus (6 pav.)

Dvikampis kampas yra smailusis, jeigu jo tiesinis kampas yra smailusis, t.y. .

Tiesi (7 pav.)

Dvikampis kampas yra teisingas, kai jo tiesinis kampas yra 90° – bukas (8 pav.)

Dvikampis kampas yra bukas, kai jo tiesinis kampas yra bukas, t.y. .

Ryžiai. 7. Status kampas

Ryžiai. 8. Bukas kampas

Tiesinių kampų konstravimo realiose figūrose pavyzdžiai

ABCD- tetraedras.

1. Sukonstruokite dvisienio kampo su briauna tiesinį kampą AB.

Ryžiai. 9. Problemos iliustracija

Statyba:

Mes kalbame apie dvikampį kampą, kurį sudaro briauna AB ir kraštai ABD Ir ABC(9 pav.).

Padarykime tiesioginį DN statmenai plokštumai ABC, N- statmens pagrindas. Nubraižykime pasvirusią DM statmena tiesei linijai AB,M- pasvirusi bazė. Pagal trijų statmenų teoremą darome išvadą, kad įstrižainės projekcija NM taip pat statmenai linijai AB.

Tai yra, iš taško M atstatomi du statmenai į kraštą AB iš dviejų pusių ABD Ir ABC. Gavome linijinį kampą DMN.

pastebėti, kad AB, dvikampio kampo briauna, statmena tiesinio kampo plokštumai, ty plokštumai DMN. Problema išspręsta.

komentuoti. Dvikampis kampas gali būti žymimas taip: DABC, Kur

AB- kraštas ir taškai D Ir SU gulėti skirtingose ​​kampo pusėse.

2. Sukonstruoti dvisienio kampo su briauna tiesinį kampą AC.

Nubrėžkime statmeną DNį lėktuvą ABC ir linkęs DN statmena tiesei linijai AC. Naudodamiesi trijų statmenų teorema, mes nustatome, kad НN- įstriža projekcija DNį lėktuvą ABC, taip pat statmenai linijai AC.DNH- dvikampio kampo su briauna linijinis kampas AC.

Tetraedre DABC visos briaunos lygios. Taškas M- šonkaulio vidurys AC. Įrodykite, kad kampas DMV- tiesinis dvikampis kampas TUD, ty dvikampis kampas su briauna AC. Vienas iš jo veidų yra ACD, antras - DIA(10 pav.).

Ryžiai. 10. Problemos iliustracija

Sprendimas:

Trikampis ADC- lygiakraštis, DM- mediana, taigi ir aukštis. Reiškia, DM ⊥ AC. Taip pat trikampis AINC- lygiakraštis, INM- mediana, taigi ir aukštis. Reiškia, VM ⊥ AC.

Taigi, iš taško Mšonkauliai AC dvibriaunis kampas atstatyti du statmenai DM Ir VM iki šios briaunos dvisienio kampo paviršiuose.

Taigi, ∠ DMIN yra dvikampio kampo tiesinis kampas, kurį reikėjo įrodyti.

Taigi mes apibrėžėme dvisienį kampą, tiesinį dvikampio kampą.

Kitoje pamokoje pažvelgsime į linijų ir plokštumų statmenumą, tada sužinosime, kas yra dvikampis figūrų pagrindu.

Literatūros sąrašas temomis "Diedrinis kampas", "Diedras kampas geometrinių figūrų pagrindu"

1. Geometrija. 10-11 klasės: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: iliustr.
2. Geometrija. 10 klasė: vadovėlis bendrojo lavinimo įstaigoms su giluminiu ir specializuotu matematikos mokymu /E. V. Potoskujevas, L. I. Zvalichas. - 6-asis leidimas, stereotipas. - M.: Bustard, 2008. - 233 p.: iliustr.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru ().
3. Webmath.expponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

Namų darbas tema „Dvikampis kampas“, nustatant dvibriaunį kampą prie figūrų pagrindo

Geometrija. 10-11 klasės: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų (pagrindinio ir specializuoto lygio) mokiniams / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-asis leidimas, taisytas ir papildytas - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: iliustr.

2 užduotys, 3 67 psl.

Kas yra linijinis dvikampis kampas? Kaip jį pastatyti?

ABCD- tetraedras. Sukurkite dvikampio kampo tiesinį kampą su briauna:

A) IND b) DSU.

ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - kubas Sukurkite dvikampio kampo tiesinį kampą A 1 ABC su šonkauliu AB. Nustatykite jo laipsnio matą.

Kampo tarp dviejų skirtingų plokštumų dydį galima nustatyti bet kuriai santykinei plokštumų padėčiai.

Trivialus atvejis, jei plokštumos lygiagrečios. Tada kampas tarp jų laikomas lygiu nuliui.

Nebanalus atvejis, jei plokštumos susikerta. Šis atvejis yra tolesnių diskusijų objektas. Pirmiausia mums reikia dvikampio kampo sąvokos.

9.1 Dvikampis kampas

Dvikampis kampas yra dvi pusiau plokštumos, turinčios bendrą tiesę (kuri vadinama dvikampio kampo briauna). Fig. 50 parodytas dvikampis kampas, sudarytas iš pusplokštumų ir; šio dvikampio kampo briauna yra tiesi linija a, bendra šioms pusplokštumoms.

Ryžiai. 50. Dvikampis kampas

Dvikampis kampas gali būti matuojamas laipsniais arba radianais vienu žodžiu, įveskite dvikampio kampo vertę. Tai daroma taip.

Dvikampio kampo, kurį sudaro pusiau plokštumai ir briauna, paimame savavališką tašką M. Nubrėžkime spindulius MA ir MB, atitinkamai gulinčius šiose pusplokštumose ir statmenus kraštui (51 pav.).

Ryžiai. 51. Tiesinis dvikampis kampas

Gautas kampas AMB yra dvikampio kampo tiesinis kampas. Kampas " = \AMB yra būtent mūsų dvikampio kampo vertė.

Apibrėžimas. Dvikampio kampo kampinis dydis yra tam tikro dvikampio kampo tiesinio kampo dydis.

Visi dvikampio kampo tiesiniai kampai yra lygūs vienas kitam (juk jie gaunami vienas nuo kito lygiagrečiu poslinkiu). Todėl šis apibrėžimas yra teisingas: reikšmė " nepriklauso nuo konkretaus taško M pasirinkimo dvikampio kampo krašte.

9.2 Kampo tarp plokštumų nustatymas

Kai susikerta dvi plokštumos, gaunami keturi dvikampiai kampai. Jei jie visi yra vienodo dydžio (po 90), tada plokštumos vadinamos statmenomis; Tada kampas tarp plokštumų yra 90 laipsnių.

Jei ne visi dvikampiai kampai yra vienodi (tai yra du smailieji ir du bukieji), tai kampas tarp plokštumų yra smailaus dvibriaunio kampo reikšmė (52 pav.).

Ryžiai. 52. Kampas tarp plokštumų

9.3 Problemų sprendimo pavyzdžiai

Pažvelkime į tris problemas. Pirmasis yra paprastas, antrasis ir trečiasis yra maždaug C2 lygio vieningo valstybinio matematikos egzamino.

1 uždavinys. Raskite kampą tarp dviejų taisyklingo tetraedro paviršių.

Sprendimas. Tegul ABCD yra taisyklingas tetraedras. Nubrėžkime atitinkamų paviršių medianas AM ir DM bei tetraedro DH aukštį (53 pav.).

Ryžiai. 53. Į 1 užduotį

Būdami medianos, AM ir DM taip pat yra lygiakraščių trikampių ABC ir DBC aukščiai. Todėl kampas " = \AMD yra dvikampio kampo, sudaryto iš paviršių ABC ir DBC, tiesinis kampas. Randame jį iš trikampio DHM:

Atsakymas: arccos 1 3 .

2 uždavinys. Taisyklingos keturkampės piramidės SABCD (su viršūne S) šoninė briauna lygi pagrindo kraštinei. Taškas K yra krašto SA vidurys. Raskite kampą tarp plokštumų

Sprendimas. Tiesė BC lygiagreti AD, taigi lygiagreti plokštumai ADS. Todėl plokštuma KBC kerta plokštumą ADS išilgai tiesės KL, lygiagrečią BC (54 pav.).

Ryžiai. 54. Į 2 užduotį

Šiuo atveju KL taip pat bus lygiagreti linijai AD; todėl KL yra trikampio ADS vidurio linija, o taškas L yra DS vidurio taškas.

Raskime piramidės aukštį SO. Tegul N yra DO vidurys. Tada LN yra vidurinė trikampio DOS linija, taigi LN k SO. Tai reiškia, kad LN yra statmena plokštumai ABC.

Nuo taško N statmeną NM nuleidžiame iki tiesės BC. Tiesi linija NM bus pasvirusios LM projekcija į ABC plokštumą. Iš trijų statmenų teoremos išplaukia, kad LM taip pat yra statmena BC.

Taigi kampas " = \LMN yra dvikampio kampo, sudaryto iš pusplokštumų KBC ir ABC, tiesinis kampas. Šio kampo ieškosime iš stačiojo trikampio LMN.

Tegu piramidės briauna lygi a. Pirmiausia randame piramidės aukštį:

Sprendimas. Tegul L yra tiesių A1 K ir AB susikirtimo taškas. Tada plokštuma A1 KC kerta plokštumą ABC išilgai tiesės CL (55 pav.).

A C

Ryžiai. 55. Prie 3 uždavinio

Trikampiai A1 B1 K ir KBL yra lygūs kojos ir smailiu kampu. Todėl kitos kojos yra lygios: A1 B1 = BL.

Apsvarstykite trikampį ACL. Jame BA = BC = BL. Kampas CBL yra 120; todėl \BCL = 30 . Be to, \BCA = 60 . Todėl \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Taigi, LC? AC. Bet linija AC tarnauja kaip linijos A1 C projekcija į plokštumą ABC. Pagal trijų statmenų teoremą darome išvadą, kad LC ? A1 C.

Taigi kampas A1 CA yra dvikampio kampo, sudaryto iš pusplokštumų A1 KC ir ABC, tiesinis kampas. Tai yra norimas kampas. Iš lygiašonio stačiojo trikampio A1 AC matome, kad jis lygus 45.