Paslaptingas sutrikimas: fraktalų istorija ir jų taikymo sritys. Kas yra fraktalas? Fraktalai gamtoje

Šį fraktalą atradau, kai žiūrėjau į bangų trukdžius upės paviršiuje. Banga juda kranto link, atsispindi ir užsideda ant savęs. Ar bangų kuriamuose raštuose yra tvarka? Pabandykime jį surasti. Nagrinėkime ne visą bangą, o tik jos judėjimo vektorių. Kad eksperimentas būtų supaprastintas, padarykime „krantus“ lygius.

Eksperimentą galima atlikti ant įprasto popieriaus lapo iš mokyklinio sąsiuvinio.

Arba naudojant „JavaScript“ algoritmo įgyvendinimą.

Paimkite stačiakampį su kraštinėmis q ir p. Siųskime spindulį (vektorių) iš kampo į kampą. Spindulys pasislenka į vieną stačiakampio pusę, atsispindi ir toliau juda į kitą pusę. Tai tęsiasi tol, kol sija pasiekia vieną iš likusių kampų. Jei kraštinės q ir p dydis yra santykinai pirminiai skaičiai, tai gaunamas raštas (kaip matysime vėliau – fraktalas).

Nuotraukoje aiškiai matome, kaip veikia šis algoritmas.

Gif animacija:

Nuostabiausia, kad su skirtingomis stačiakampio kraštinėmis gauname skirtingus raštus.

Kodėl aš vadinu šiuos modelius fraktalais? Kaip žinote, „fraktalas“ yra geometrinė figūra, turinti panašių savybių. Dalis paveikslo pakartoja visą vaizdą. Jei žymiai padidinsite kraštų Q ir P matmenis, akivaizdu, kad šie modeliai turi savito panašumo savybių.

Pabandykime jį padidinti. Padidinsime jį gudriu būdu. Paimkime, pavyzdžiui, 17x29 šabloną. Šie modeliai bus: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Viena pusė: F(n);
Antroji pusė: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Kaip ir Fibonačio skaičiai, tik su skirtingais pirmuoju ir antruoju sekos nariais: F(0)=17, F(1)=29.

Jei didesnė pusė yra lygi, rezultatas yra toks:

Jei trumpesnė pusė yra lygi:

Jei abi pusės yra nelyginės, gauname simetrišką modelį:

Priklausomai nuo to, kaip spindulys prasideda:

arba

Pabandysiu paaiškinti, kas vyksta šiuose stačiakampiuose.

Atskirkime kvadratą nuo stačiakampio ir pažiūrėkime, kas atsitiks pasienyje.

Spindulys išeina tame pačiame taške, iš kurio jis įėjo.

Tuo pačiu metu kvadratų, per kuriuos spindulys praeina, skaičius visada yra lyginis.

Todėl, jei iš stačiakampio nupjausite kvadratą, liks nepakitusi fraktalo dalis.

Jei kuo daugiau kartų atskirsite kvadratus nuo fraktalo, galite patekti į fraktalo „pradžią“.

Ar tai atrodo kaip Fibonačio spiralė?

Fraktalus taip pat galima gauti iš Fibonačio skaičių.

Matematikoje Fibonačio skaičiai (Fibonačio serija, Fibonačio seka) yra skaičiai:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
Pagal apibrėžimą pirmieji du skaitmenys Fibonačio sekoje yra 0 ir 1, o kiekvienas paskesnis skaičius yra lygus ankstesnių dviejų sumai.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

Eiti:

Kaip matome, kuo arčiau kraštinių santykis artėja prie auksinio pjūvio, tuo didesnė fraktalo detalė.

Šiuo atveju fraktalas pakartoja dalį fraktalo, padidintą .

Vietoj Fibonačio skaičių galite naudoti neracionalius kraštinių dydžius:

Gauname tą patį fraktalą.

Tuos pačius fraktalus galima gauti kvadrate, jei spindulį šaudysite kitu kampu:

Ką galite pasakyti pabaigai?
Chaosas taip pat yra tvarka. Su savais įstatymais. Ši tvarka nebuvo ištirta, bet yra gana tinkama studijuoti. Ir visas mokslo troškimas yra atrasti šiuos modelius. Ir galiausiai sujunkite dėlionės dalis, kad pamatytumėte bendrą vaizdą.
Pažiūrėkime į upės paviršių. Jei mesti į jį akmenį, kils bangos. Būreliai, kurie yra gana tinkami studijuoti. Greitis, periodas, bangos ilgis – visa tai galima apskaičiuoti. Bet kol banga nepasiekia kranto, ji neatsispindi ir ima pati persidengti. Gauname chaosą (interferenciją), kurį jau sunku ištirti.
O jei judėsime iš priešingos krypties? Kiek įmanoma supaprastinkite bangos elgesį. Supaprastinkite, suraskite modelį ir pabandykite apibūdinti visą vaizdą, kas vyksta.
Ką galima supaprastinti? Akivaizdu, kad atspindintis paviršius turi būti tiesus, be lenkimų. Tada vietoj pačios bangos naudokite tik bangos judėjimo vektorių. Iš esmės to pakanka sukurti paprastą algoritmą ir imituoti procesą kompiuteryje. Ir netgi visiškai pakanka sukurti bangų elgesio „modelį“ ant paprasto languoto popieriaus lapo.
Ką mes turime kaip rezultatą? Dėl to matome, kad bangų procesuose (tos pačios bangelės upės paviršiuje) turime ne chaosą, o fraktalų (savaime panašių struktūrų) perdangą vienas ant kito.

Panagrinėkime kitą bangų rūšį. Kaip žinoma, elektromagnetinė banga susideda iš trijų vektorių – bangos vektoriaus ir elektrinio bei magnetinio lauko stiprumo vektoriaus. Kaip matome, jei tokią bangą „pagautume“ uždarame regione, kur šie vektoriai susikerta, gauname gana aiškias uždaras struktūras. Galbūt elementariosios dalelės yra tie patys fraktalai?

Visi fraktalai stačiakampiuose nuo 1 iki 80 (6723x6723 px):

Uždaros sritys fraktalais (6723 x 6723 px):

Tiesiog gražus fraktalas (4078 x 2518 px):

Chaosas yra tvarka, kurią reikia iššifruoti.

Jose Saramago, „Dvigubas“

„Ateities kartoms dvidešimtasis amžius bus prisimintas tik dėl reliatyvumo teorijų, kvantinės mechanikos ir chaoso kūrimo... reliatyvumo teorija panaikino Niutono iliuzijas apie absoliutų erdvėlaikį, kvantinė mechanika išsklaidė svajonę apie fizinių įvykių determinizmas ir galiausiai chaosas sugriovė Laplaso fantaziją apie visišką iš anksto nulemtą sistemų vystymąsi. Šie garsaus amerikiečių istoriko ir mokslo populiarintojo Jameso Gleicko žodžiai atspindi didžiulę šio klausimo svarbą, apie kurią tik trumpai kalbama skaitytojo dėmesiui skirtame straipsnyje. Mūsų pasaulis atsirado iš chaoso. Tačiau jei chaosas nepaklustų savo dėsniams, jei jame nebūtų ypatingos logikos, jis nieko negalėtų sugeneruoti.

Nauja yra gerai pamiršta sena

Leiskite pacituoti dar vieną iš Gleicko:

Mintis apie vidinį panašumą, kad didį galima įterpti į mažą, jau seniai glosto žmogaus sielą... Pasak Leibnizo, vandens laše yra visas spalvomis putojantis pasaulis, kuriame žaižaruoja vandens purslai ir gyvena kitos nežinomos visatos. . „Pamatykite pasaulį smėlio grūdelyje“, - paragino Blake'as, o kai kurie mokslininkai bandė vykdyti jo įsakymą. Pirmieji sėklinio skysčio tyrinėtojai kiekviename spermatozoide buvo linkę įžvelgti savotišką homunkulą, tai yra mažytį, bet visiškai susiformavusį žmogų.

Tokių požiūrių retrospektyvą galima daug toliau paversti istorija. Vienas pagrindinių magijos principų – neatsiejama bet kurios visuomenės raidos stadija – yra postulatas: dalis yra panaši į visumą. Tai pasireiškė tokiais veiksmais kaip gyvulio kaukolės užkasimas, o ne viso gyvūnas, vežimo modelis vietoj paties vežimo ir pan. Išsaugodami protėvio kaukolę, artimieji tikėjo, kad jis ir toliau gyvena šalia jų. ir dalyvauti jų reikaluose.

Net senovės graikų filosofas Anaksagoras pirminius visatos elementus laikė dalelėmis, panašiomis į kitas visumos ir pačios visumos daleles, „begalinėmis tiek daugybe, tiek mažumu“. Aristotelis Anaksagoro elementus apibūdino būdvardžiu „panašus į dalis“.

O mūsų amžininkas, amerikietis kibernetikas Ronas Eglašas, tyrinėdamas Afrikos genčių ir Pietų Amerikos indėnų kultūrą, padarė atradimą: kai kurie iš jų nuo senų senovės taikė fraktalų konstrukcijos principus ornamentuose, drabužių ir namų apyvokos daiktų raštuose, papuošaluose. , ritualinėse ceremonijose ir net architektūroje. Taigi kai kurių Afrikos genčių kaimų struktūra yra apskritimas, kuriame yra nedideli apskritimai - namai, kurių viduje yra dar mažesni apskritimai - dvasių namai. Kitoms gentims vietoj apskritimų kitos figūros tarnauja kaip architektūriniai elementai, tačiau jos taip pat kartojasi įvairiais masteliais, pajungtos vienai struktūrai. Be to, šie statybos principai nebuvo paprasta gamtos imitacija, o atitiko esamą pasaulėžiūrą ir visuomeninę organizaciją.

Atrodytų, mūsų civilizacija nutolusi nuo primityvios egzistencijos. Tačiau mes ir toliau gyvename tame pačiame pasaulyje, vis dar esame apsupti gamtos, gyvename pagal jos dėsnius, nepaisant visų žmonių pastangų pritaikyti ją savo poreikiams. Ir pats žmogus (nepamirškime apie tai) lieka šios prigimties dalimi.

Gertas Eilenbergeris, vokiečių fizikas, pradėjęs tyrinėti netiesiškumą, kartą pastebėjo:

Kodėl audros vėjo spaudžiamas nuogo medžio siluetas niūraus žiemos dangaus fone suvokiamas kaip gražus, o modernaus daugiafunkcio pastato kontūrai, nepaisant visų architekto pastangų, taip neatrodo. visi? Man atrodo, kad... mūsų grožio jausmą „pakursto“ darnus tvarkos ir netvarkos derinys, kurį galima pastebėti gamtos reiškiniuose: debesyse, medžiuose, kalnų grandinėse ar snaigių kristaluose. Visi tokie kontūrai yra dinamiški procesai, sustingę fizinėse formose, jiems būdingas stabilumo ir chaoso derinys.

Chaoso teorijos ištakose

Ką turime omenyje sakydami chaosas? Nesugebėjimas numatyti sistemos elgesio, atsitiktiniai šuoliai įvairiomis kryptimis, kurie niekada nevirs tvarkinga seka.

Pirmasis chaoso tyrinėtojas yra prancūzų matematikas, fizikas ir filosofas Henri Poincaré. Dar XIX amžiaus pabaigoje. Tyrinėdamas sistemos su trimis gravitaciškai sąveikaujančių kūnų elgesį, jis pastebėjo, kad gali būti neperiodinių orbitų, kurios nuolat nei tolsta nuo konkretaus taško, nei prie jo artėja.

Tradiciniai geometrijos metodai, plačiai naudojami gamtos moksluose, yra pagrįsti tiriamo objekto struktūros aproksimavimu geometrinėmis figūromis, pavyzdžiui, linijomis, plokštumomis, sferomis, kurių metriniai ir topologiniai matmenys yra lygūs vienas kitam. Daugeliu atvejų tiriamo objekto savybės ir jo sąveika su aplinka apibūdinamos integraliomis termodinaminėmis charakteristikomis, dėl kurių prarandama nemaža dalis informacijos apie sistemą ir ji pakeičiama daugiau ar mažiau adekvačiu modeliu. Dažniausiai toks supaprastinimas yra visiškai pagrįstas, tačiau yra daugybė situacijų, kai topologiškai netinkamų modelių naudojimas yra nepriimtinas. Tokio neatitikimo pavyzdį kandidato darbe (dabar – chemijos mokslų daktaras) pateikė Vladimiras Konstantinovičius Ivanovas: jis aptinkamas matuojant išsivysčiusio (pavyzdžiui, porėto) kietųjų kūnų paviršiaus plotą naudojant sorbciją. metodai, registruojantys adsorbcijos izotermas. Paaiškėjo, kad ploto dydis nuo linijinio „matuojamųjų“ molekulių dydžio priklauso ne kvadratiškai, ko būtų galima tikėtis iš paprasčiausių geometrinių sumetimų, o su eksponentu, kartais labai artimu trims.

Orų prognozavimas yra viena iš problemų, su kuria žmonija kovoja nuo seno. Šia tema yra žinomas pokštas, kur orų prognozė grandine perduodama nuo šamano – šiaurės elnių ganytojui, paskui geologui, radijo programos redaktoriui ir galiausiai ratas užsidaro, nes pasirodo, kad šamanas prognozę sužinojo iš radijo. Sudėtingos sistemos, tokios kaip oras, su daugybe kintamųjų, aprašymas negali būti sumažintas iki paprastų modelių. Ši problema pradėjo naudoti kompiuterius netiesinėms dinaminėms sistemoms modeliuoti. Vienas chaoso teorijos įkūrėjų, amerikiečių meteorologas ir matematikas Edwardas Nortonas Lorenzas daug metų paskyrė orų prognozavimo problemai. Praėjusio amžiaus septintajame dešimtmetyje, bandydamas suprasti orų prognozių nepatikimumo priežastis, jis parodė, kad sudėtingos dinaminės sistemos būklė gali labai priklausyti nuo pradinių sąlygų: nedidelis vieno iš daugelio parametrų pasikeitimas gali radikaliai pasikeisti. laukiamas rezultatas. Lorencas šią priklausomybę pavadino drugelio efektu: „Šiandien Pekine plazdantis drugys gali sukelti uraganą Niujorke. Jo darbas dėl bendros atmosferos cirkuliacijos atnešė jam šlovę. Tyrinėdamas lygčių sistemą su trimis procesą apibūdinančiais kintamaisiais, Lorencas grafiškai atvaizdavo savo analizės rezultatus: grafiko linijos vaizduoja sprendiniais nustatytų taškų koordinates šių kintamųjų erdvėje (1 pav.). Gauta dviguba spiralė, vadinama Lorentzo atraktorius(arba „keistas pritraukėjas“), atrodė kaip kažkas be galo painus, bet visada esantis tam tikrose ribose ir niekada nesikartojantis. Judėjimas atraktoriuje yra abstraktus (kintamieji gali būti greitis, tankis, temperatūra ir kt.), tačiau jis perteikia realių fizikinių reiškinių, tokių kaip vandens rato judėjimas, konvekcija uždarame kontūre, spinduliuotė iš vienmodis lazeris, išsklaidymo harmoniniai virpesiai (kurių parametrai atlieka atitinkamų kintamųjų vaidmenį).

Iš tūkstančių publikacijų, sudarančių specializuotą literatūrą apie chaoso problemą, vargu ar kuri nors buvo cituojama dažniau nei Lorentzo straipsnis „Deterministinis neperiodinis srautas“, parašytas 1963 m. Nors šio darbo metu kompiuterinis modeliavimas orų prognozes jau pavertė iš „meno į mokslą“, ilgalaikės prognozės vis dar buvo nepatikimos ir nepatikimos. To priežastis buvo tas pats drugelio efektas.

Tais pačiais 60-aisiais matematikas Stephenas Smailas iš Kalifornijos universiteto Berklyje subūrė jaunų bendraminčių tyrimų grupę. Jis anksčiau buvo apdovanotas Fieldso medaliu už išskirtinius topologijos tyrimus. Smale tyrinėjo dinamines sistemas, ypač netiesinius chaotiškus osciliatorius. Siekdamas atkurti visą van der Polo osciliatoriaus netvarką fazinėje erdvėje, jis sukūrė struktūrą, žinomą kaip „pasaga“ – dinaminės sistemos, pasižyminčios chaotiška dinamika, pavyzdį.

„Pasaga“ (2 pav.) – tai tikslus ir matomas stiprios priklausomybės nuo pradinių sąlygų vaizdas: po kelių pakartojimų niekada neatspėsite, kur bus pradžios taškas. Šis pavyzdys buvo impulsas rusų matematikui, dinaminių sistemų ir diferencialinių lygčių teorijos, diferencialinės geometrijos ir topologijos specialistui Dmitrijui Viktorovičiui Anosovui išrasti „Anosovo difeomorfizmus“. Vėliau iš šių dviejų darbų išaugo hiperbolinių dinaminių sistemų teorija. Praėjo dešimtmetis, kol Smale kūryba pateko į kitų disciplinų dėmesį. „Kai tai atsitiko, fizikai suprato, kad Smailas ištisą matematikos šaką pavertė veidu į realų pasaulį.

1972 m. Merilendo universiteto matematikas Jamesas Yorkas perskaitė minėtą Lorentzo straipsnį ir jis jį nustebino. Jorkas straipsnyje įžvelgė gyvą fizinį modelį ir laikė savo šventa pareiga perteikti fizikams tai, ko jie nebuvo matę Lorentzo ir Smailo darbuose. Jis persiuntė Lorenzo straipsnio kopiją Smailui. Jis nustebo sužinojęs, kad nežinomas meteorologas (Lorentzas) prieš dešimt metų atrado sutrikimą, kurį jis pats kažkada laikė matematiškai neįtikėtinu, ir nusiuntė kopijas visiems savo kolegoms.

Biologas Robertas May, Jorko draugas, tyrinėjo gyvūnų populiacijų pokyčius. May pasekė Pierre'o Verchlusto pėdomis, kuris dar 1845 metais atkreipė dėmesį į gyvūnų skaičiaus pokyčių nenuspėjamumą ir padarė išvadą, kad populiacijos augimo tempas nėra pastovi vertė. Kitaip tariant, procesas pasirodo netiesinis. May bandė užfiksuoti, kas nutinka populiacijai, kai augimo koeficiento svyravimai artėja prie tam tikro kritinio taško (bifurkacijos taško). Keisdamas šio netiesinio parametro reikšmes, jis atrado, kad galimi esminiai pokyčiai pačioje sistemos esmėje: parametro padidėjimas reiškia netiesiškumo laipsnio padidėjimą, o tai savo ruožtu pakeitė ne tik kiekybinį. , bet ir kokybines rezultato charakteristikas. Tokia operacija turėjo įtakos ir galutinei pusiausvyros populiacijos dydžio vertei, ir jos gebėjimui apskritai pasiekti pastarąją. Tam tikromis sąlygomis periodiškumas užleido vietą chaosui, svyravimams, kurie niekada neužgeso.

Jorkas matematiškai išanalizavo aprašytus reiškinius savo darbe, įrodydamas, kad bet kurioje vienmatėje sistemoje atsitinka taip: jei atsiranda reguliarus ciklas su trimis bangomis (tolygiai kyla ir mažėja bet kurio parametro reikšmės), tai ateityje sistema pradės demonstruoti, kaip reguliarūs bet kokios kitos trukmės ciklai ir visiškai chaotiški. (Kaip paaiškėjo praėjus keleriems metams po straipsnio paskelbimo tarptautinėje konferencijoje Rytų Berlyne, sovietų (ukrainiečių) matematikas Aleksandras Nikolajevičius Šarkovskis savo tyrimuose šiek tiek lenkė Jorką). Jorkas parašė straipsnį į garsųjį mokslinį leidinį American Mathematical Monthly. Tačiau Jorkas pasiekė ne tik matematinį rezultatą: jis fizikai pademonstravo, kad chaosas yra visur, stabilus ir struktūrizuotas. Jis davė pagrindo manyti, kad sudėtingos sistemos, tradiciškai apibūdinamos sunkiai išsprendžiamomis diferencialinėmis lygtimis, gali būti pavaizduotos naudojant vaizdinius grafikus.

May bandė atkreipti biologų dėmesį į tai, kad gyvūnų populiacijos patiria ne tik sutvarkytus ciklus. Pakeliui į chaosą kyla ištisa periodo padvigubėjimo kaskada. Būtent bifurkacijos taškuose šiek tiek padidėjus individų vaisingumui, pavyzdžiui, čigonų kandžių populiacijos ketverių metų ciklas gali būti pakeistas aštuonerių metų ciklu. Amerikietis Mitchellas Feigenbaumas nusprendė pradėti nuo tikslių parametro, dėl kurio atsirado tokie pokyčiai, verčių. Jo skaičiavimai parodė, kad nesvarbu, kokia buvo pradinė populiacija – ji vis tiek nuosekliai artėjo prie pritraukėjo. Tada, pirmą kartą padvigubėjus periodams, atraktorius, kaip besidalijanti ląstelė, išsišako. Tada įvyko kitas periodų dauginimas, ir kiekvienas traukos taškas vėl pradėjo dalytis. Skaičius – Feigenbaumo gautas invariantas – leido jam tiksliai numatyti, kada tai įvyks. Mokslininkas atrado, kad gali nuspėti šį poveikį sudėtingiausiam atraktoriui – dviem, keturiems, aštuoniems taškams... Kalbant ekologijos kalba, jis galėjo nuspėti tikrąjį skaičių, kuris populiacijose pasiekiamas metinių svyravimų metu. Taigi Feigenbaumas 1976 m. atrado „laikotarpio padvigubėjimo kaskadą“, remdamasis May darbais ir jo tyrimais apie turbulenciją. Jo teorija atspindėjo prigimtinį dėsnį, kuris galioja visoms sistemoms, patiriančioms perėjimą iš sutvarkytos būsenos į chaosą. York, May ir Feigenbaum buvo pirmieji Vakaruose, kurie visiškai suprato laikotarpio dvigubinimo svarbą ir sugebėjo perteikti šią idėją visai mokslo bendruomenei. May pareiškė, kad chaoso reikia mokyti.

Sovietų matematikai ir fizikai padarė pažangą savo tyrimuose nepriklausomai nuo savo kolegų iš užsienio. Chaoso tyrimas prasidėjo nuo A. N. Kolmogorovo darbo šeštajame dešimtmetyje. Tačiau užsienio kolegų idėjos neliko nepastebėtos. Chaoso teorijos pradininkais laikomi sovietų matematikai Andrejus Nikolajevičius Kolmogorovas ir Vladimiras Igorevičius Arnoldas bei vokiečių matematikas Jurgenas Moseris, sukūrę chaoso teoriją, vadinamą KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser teorija). Kitas mūsų išskirtinis tautietis, puikus fizikas ir matematikas Jakovas Grigorjevičius Sinai, termodinamikai pritaikė samprotavimus, panašius į „Smale pasagą“. Kai tik 70-aisiais Vakarų fizikai susipažino su Lorentzo darbais, jis išgarsėjo SSRS. 1975 m., kai Jorkas ir May vis dar dėjo daug pastangų, kad atkreiptų savo kolegų dėmesį, Sinai ir jo bendražygiai subūrė Gorkyje tyrimų grupę šiai problemai tirti.

Praėjusį šimtmetį, kai siaura specializacija ir atskirtis tarp įvairių disciplinų tapo mokslo norma, matematikai, fizikai, biologai, chemikai, fiziologai ir ekonomistai kovojo su panašiomis problemomis vienas kito negirdėdami. Idėjos, reikalaujančios pakeisti įprastą pasaulėžiūrą, visada sunkiai skinasi kelią. Tačiau pamažu tapo aišku, kad tokie dalykai kaip gyvūnų populiacijų pokyčiai, rinkos kainų svyravimai, orų pokyčiai, dangaus kūnų pasiskirstymas pagal dydį ir daug, daug daugiau, priklauso nuo tų pačių dėsningumų. „Šio fakto suvokimas privertė vadovus persvarstyti savo požiūrį į draudimą, astronomus į Saulės sistemą pažvelgti kitu kampu, o politikus pakeisti nuomonę apie ginkluotų konfliktų priežastis.

Iki devintojo dešimtmečio vidurio padėtis labai pasikeitė. Fraktalinės geometrijos idėjos suvienijo mokslininkus, kurie buvo suglumę dėl savo pačių stebėjimų ir nežinojo, kaip juos interpretuoti. Chaoso tyrinėtojams matematika tapo eksperimentiniu mokslu, o kompiuteriai pakeitė laboratorijas. Grafiniai vaizdai tapo itin svarbūs. Naujasis mokslas suteikė pasauliui ypatingą kalbą, naujas sąvokas: fazinis portretas, atraktorius, bifurkacija, fazinės erdvės pjūvis, fraktalas...

Benoit Mandelbrotas, remdamasis savo pirmtakų ir amžininkų idėjomis ir darbais, parodė, kad tokius sudėtingus procesus, kaip medžio augimas, debesų susidarymas, ekonominių savybių kitimas ar gyvūnų populiacijų dydis, valdo iš esmės panašūs gamtos dėsniai. . Tai yra tam tikri modeliai, pagal kuriuos gyvena chaosas. Natūralios saviorganizacijos požiūriu jos yra daug paprastesnės nei civilizuotiems žmonėms pažįstamos dirbtinės formos. Jie gali būti laikomi sudėtingais tik Euklido geometrijos kontekste, nes fraktalai nustatomi nurodant algoritmą, todėl juos galima aprašyti naudojant nedidelį informacijos kiekį.

Fraktalinė gamtos geometrija

Pabandykime išsiaiškinti, kas yra fraktalas ir su kuo jis valgomas. Ir jūs iš tikrųjų galite valgyti kai kuriuos iš jų, pavyzdžiui, tipišką atstovą, parodytą nuotraukoje.

Žodis fraktalas kilęs iš lotynų kalbos fraktas - susmulkinti, sulaužyti, suskaldyti į gabalus. Fraktalas yra matematinė aibė, turinti savitumo savybę, t.y. mastelio nekintamumą.

Terminą „fraktalas“ sugalvojo Mandelbrotas 1975 m. ir jis plačiai išpopuliarėjo 1977 m. išleidęs savo knygą „Gamtos fraktalų geometrija“. „Suteik pabaisai jaukų, jaukų vardą ir nustebsi, kaip bus lengviau jį prisijaukinti! - pasakė Mandelbrotas. Šis noras tiriamus objektus (matematines aibes) paversti artimais ir suprantamais paskatino naujų matematinių terminų gimimą, pvz. dulkės, varškės, serumas, aiškiai parodantis jų gilų ryšį su gamtos procesais.

Matematinė fraktalo samprata identifikuoja objektus, turinčius įvairaus mastelio – tiek didelių, tiek mažų – struktūras, taigi atspindi hierarchinį organizavimo principą. Žinoma, pavyzdžiui, skirtingos medžio šakos negali būti tiksliai sulygiuotos viena su kita, tačiau jas galima laikyti panašiomis statistine prasme. Lygiai taip pat panašiai atrodo debesų formos, kalnų kontūrai, jūros pakrantės linija, liepsnų raštas, kraujagyslių sistema, daubos, žaibai, žiūrint skirtingais masteliais. Nors šis idealizavimas gali būti tikrovės supaprastinimas, jis žymiai padidina matematinio gamtos aprašymo gylį.

Mandelbrotas įvedė „natūralaus fraktalo“ sąvoką, kad apibūdintų natūralias struktūras, kurias galima apibūdinti naudojant fraktalų rinkinius. Šie gamtos objektai apima atsitiktinumo elementą. Mandelbroto sukurta teorija leidžia kiekybiškai ir kokybiškai apibūdinti visas tas formas, kurios anksčiau buvo vadinamos susivėlusiomis, banguotomis, grublėtomis ir kt.

Aukščiau aptarti dinaminiai procesai, vadinamieji grįžtamojo ryšio procesai, atsiranda įvairiose fizikinėse ir matematinėse problemose. Jie visi turi vieną bendrą bruožą – konkurencija tarp kelių centrų (vadinamų „atraktoriais“) dėl dominavimo lėktuve. Būsena, kurioje sistema atsiduria po tam tikro iteracijų skaičiaus, priklauso nuo jos „pradžios vietos“. Todėl kiekvienas pritraukėjas atitinka tam tikrą pradinių būsenų sritį, iš kurios sistema būtinai pateks į nagrinėjamą galutinę būseną. Taigi sistemos fazių erdvė (abstrakčioji parametrų, susijusių su konkrečia dinamine sistema, taškai, kuriuose vienareikšmiškai apibūdina visas galimas jos būsenas) erdvė, yra padalinta į traukos sritis pritraukėjai. Savotiškai grįžtama prie Aristotelio dinamikos, pagal kurią kiekvienas kūnas linksta į jam skirtą vietą. Paprastos ribos tarp „gretimų teritorijų“ retai atsiranda dėl tokios konkurencijos. Būtent šioje pasienio zonoje vyksta perėjimas iš vienos egzistencijos formos į kitą: nuo tvarkos prie chaoso. Bendroji dinaminio dėsnio išraiškos forma labai paprasta: x n+1 → f x n C . Visas sunkumas yra netiesinis ryšys tarp pradinės vertės ir rezultato. Jei pradėsite kartotinį nurodyto tipo procesą nuo kokios nors savavališkos reikšmės \(x_0\), tada jo rezultatas bus seka \(x_1\), \(x_2\), ..., kuri arba susilies į tam tikrą ribą reikšmę \(X\) , siekdamas ramybės būsenos, jis arba ateis į tam tikrą verčių ciklą, kuris kartosis vėl ir vėl, arba visą laiką elgsis netvarkingai ir nenuspėjamai. Būtent tokius procesus Pirmojo pasaulinio karo metais tyrinėjo prancūzų matematikai Gastonas Julia ir Pierre'as Fateau.

Tyrinėdamas jų atrastus rinkinius, Mandelbrotas 1979 m. pradėjo pavaizduoti vaizdą sudėtingoje plokštumoje, o tai, kaip bus aišku iš to, yra tam tikras turinys visai formų klasei, vadinamai Julijos rinkiniais. Julijos aibė yra taškų rinkinys, atsirandantis dėl kvadratinės transformacijos iteracijos: x n → x n−1 2 + C, kurių dinamika yra nestabili mažų pradinės padėties perturbacijų atžvilgiu. Kiekviena nuosekli \(x\) reikšmė gaunama iš ankstesnės; iškviečiamas kompleksinis skaičius \(C\). valdymo parametras. Skaičių sekos elgsena priklauso nuo parametro \(C\) ir pradžios taško \(x_0\). Jei kompleksinių skaičių lauke pataisysime \(C\) ir pakeisime \(x_0\), gausime Julijos rinkinį. Jei pataisysime \(x_0\) = 0 ir pakeisime \(C\), gausime Mandelbroto rinkinį (\(M\)). Jame nurodoma, kokio Julijos rinkinio turėtume tikėtis pasirinkę \(C\). Kiekvienas kompleksinis skaičius \(C\) arba priklauso sričiai \(M\) (juodas 3 pav.), arba nepriklauso. \(C\) priklauso \(M\) tada ir tik tada, kai „kritinis taškas“ \(x_0\) = 0 nėra linkęs į begalybę. Aibė \(M\) susideda iš visų taškų \(C\), kurie yra susieti su sujungtomis Julijos aibėmis, bet jei taškas \(C\) yra už aibės \(M\), su juo susieta Julijos aibė yra atjungtas. Aibės \(M\) riba nustato Julijos aibių x n → x n−1 2 + C matematinio fazinio perėjimo momentą. Kai parametras \(C\) palieka \(M\), Julia rinkiniai praranda ryšį, vaizdžiai tariant, sprogsta ir virsta dulkėmis. Kokybinis šuolis, atsirandantis ties riba \(M\), taip pat turi įtakos regionui, esančiam greta ribos. Sudėtinga dinaminė ribinės srities struktūra gali būti apytiksliai parodyta nudažant (sąlygiškai) skirtingomis spalvomis zonas su tuo pačiu „bėgimo į pradinio taško begalybę \(x_0\) = 0“ laiku. Tos \(C\) (vieno atspalvio) reikšmės, kurioms kritinis taškas reikalauja tam tikro iteracijų skaičiaus, kad jis būtų už spindulio \(N\) apskritimo, užpildo tarpą tarp dviejų eilučių. Artėjant prie ribos \(M\), reikiamas iteracijų skaičius didėja. Taškas vis labiau priverstas klaidžioti vingiuotais takais prie Julijos rinkinio. Mandelbroto rinkinys įkūnija perėjimo iš tvarkos į chaosą procesą.

Įdomu atsekti Mandelbroto kelią iki savo atradimų. Benoit gimė 1924 m. Varšuvoje, o 1936 m. šeima emigravo į Paryžių. Baigęs Ecole Polytechnique ir vėliau Paryžiaus universitetą, Mandelbrotas persikėlė į JAV, kur taip pat studijavo Kalifornijos technologijos institute. 1958 m. jis įsidarbino IBM Yorktown tyrimų centre. Nepaisant grynai taikomosios įmonės veiklos, jo pareigos leido atlikti įvairių sričių tyrimus. Ekonomikos srityje dirbantis jaunas specialistas per ilgą laiką (daugiau nei 100 metų) pradėjo studijuoti medvilnės kainų statistiką. Analizuodamas ilgalaikių ir trumpalaikių kainų svyravimų simetriją, jis pastebėjo, kad šie svyravimai per dieną atrodė atsitiktiniai ir nenuspėjami, tačiau tokių pokyčių seka nepriklausė nuo masto. Norėdami išspręsti šią problemą, jis pirmą kartą panaudojo būsimos fraktalų teorijos plėtrą ir grafinį tiriamų procesų atvaizdavimą.

Susidomėjęs įvairiomis mokslo sritimis, Mandelbrotas pasuko į matematinę lingvistiką, tada atėjo eilė žaidimų teorijai. Jis taip pat pasiūlė savo požiūrį į ekonomiką, nurodydamas mažų ir didelių miestų plitimo masto tvarkingumą. Studijuodamas mažai žinomą anglų mokslininko Lewiso Richardsono darbą, paskelbtą po autoriaus mirties, Mandelbrotas susidūrė su pakrantės fenomenu. Straipsnyje "Kokio ilgio yra JK pakrantė?" jis išsamiai išnagrinėja šį klausimą, apie kurį anksčiau buvo susimąstęs nedaugelis, ir daro netikėtas išvadas: pakrantės ilgis yra... begalybė! Kuo tiksliau bandysite jį išmatuoti, tuo didesnė jo vertė!

Norėdamas apibūdinti tokius reiškinius, Mandelbrotas sugalvojo dimensijos idėją. Fraktalinis objekto matmuo yra kiekybinė vieno iš jo savybių, būtent erdvės užpildymo, charakteristika.

Fraktalinės dimensijos sąvokos apibrėžimas atsirado 1919 m. paskelbtame Felikso Hausdorffo darbe, kurį galiausiai suformulavo Abramas Samoilovičius Besikovichas. Fraktalinis matmuo yra fraktalinio objekto detalumo, lūžio ir nelygumo matas. Euklido erdvėje topologinis matmuo visada nustatomas sveikuoju skaičiumi (taško matmuo yra 0, tiesės - 1, plokštumos - 2, tūrinio kūno - 3). Jei atseksite, pavyzdžiui, Brauno dalelės projekciją į judėjimo plokštumą, kuri, atrodo, susideda iš tiesių atkarpų, t.y. turi 1 matmenį, labai greitai paaiškės, kad jos pėdsakas užpildo beveik visą plokštumą. Bet plokštumos matmuo yra 2. Neatitikimas tarp šių dydžių suteikia mums teisę priskirti šią "kreivę" prie fraktalų, o jos tarpinį (trupmeninį) matmenį vadinti fraktalu. Jei svarstysime chaotišką dalelės judėjimą tūryje, trajektorijos fraktalinis matmuo bus didesnis nei 2, bet mažesnis nei 3. Pavyzdžiui, žmogaus arterijų fraktalinis matmuo yra maždaug 2,7. Straipsnio pradžioje paminėti Ivanovo rezultatai, susiję su silikagelio porų ploto matavimu, kurių negalima interpretuoti pagal įprastines Euklido sąvokas, randa pagrįstą paaiškinimą naudojant fraktalų teoriją.

Taigi, matematiniu požiūriu, fraktalas yra aibė, kurios Hausdorff-Besicovich matmuo yra griežtai didesnis už jo topologinį matmenį ir gali būti (ir dažniausiai yra) trupmeninis.

Ypač reikia pabrėžti, kad objekto fraktalinis matmuo nenusako jo formos, o vienodą matmenį turintys, bet skirtingų formavimosi mechanizmų generuojami objektai dažnai visiškai skiriasi vienas nuo kito. Fiziniai fraktalai statistiškai gana panašūs į save.

Dalinis matavimas leidžia apskaičiuoti charakteristikas, kurių kitaip negalima aiškiai nustatyti: objekto nelygumo, nenuoseklumo, šiurkštumo ar nestabilumo laipsnį. Pavyzdžiui, vingiuota pakrantė, nepaisant jos neišmatuojamo ilgio, turi tik jai būdingą nelygumą. Mandelbrotas nurodė būdus, kaip apskaičiuoti dalinius objektų matavimus supančioje realybėje. Kurdamas savo geometriją, jis pateikė dėsnį apie gamtoje pasitaikančias netvarkingas formas. Įstatymas pareiškė: nestabilumo laipsnis yra pastovus įvairiais masteliais.

Ypatinga fraktalų rūšis yra laiko fraktalai. 1962 m. Mandelbrotas susidūrė su užduotimi pašalinti telefono linijų triukšmą, kuris kėlė problemų kompiuterių modemams. Signalo perdavimo kokybė priklauso nuo klaidų tikimybės. Inžinieriai kovojo su triukšmo mažinimo problema, sugalvojo mįslingų ir brangių technikų, tačiau įspūdingų rezultatų nepasiekė. Remdamasis aibių teorijos pradininko Georgo Cantoro darbais, Mandelbrotas parodė, kad triukšmo – chaoso produkto – atsiradimo iš esmės nepavyks išvengti, todėl siūlomi kovos su jais metodai rezultatų neduos. Ieškodamas triukšmo atsiradimo modelio, jis gauna „Cantor dulkes“ - fraktalinę įvykių seką. Įdomu tai, kad žvaigždžių pasiskirstymas galaktikoje yra toks pat:

„Medžiaga“, tolygiai paskirstyta palei iniciatorių (vienas laiko ašies segmentas), yra veikiamas išcentrinio sūkurio, kuris „nubraukia“ ją iki kraštutinių intervalo trečdalių... Varškėtis gali būti vadinama bet kokia nestabilių būsenų kaskada, galiausiai sukeliančia materijos sutirštėjimą, o terminas varškės gali nustatyti tūrį, kuriame tam tikra fizinė savybė dėl sutraukimo tampa itin koncentruota.

Chaotiški reiškiniai, tokie kaip atmosferos turbulencija, plutos judrumas ir kt., pasižymi panašiu elgesiu skirtingais laiko intervalais, kaip ir masto nekintami objektai turi panašius struktūrinius modelius skirtinguose erdviniuose masteliuose.

Kaip pavyzdį pateiksime keletą tipiškų situacijų, kai naudinga pasinaudoti fraktalų struktūros idėjomis. Kolumbijos universiteto profesorius Christopheris Scholzas specializavosi tirdamas Žemės kietosios medžiagos formą ir struktūrą bei tyrinėjo žemės drebėjimus. 1978 m. jis perskaitė Mandelbroto knygą Fractals: Shape, Randomness and Dimension » ir bandė pritaikyti teoriją geofizinių objektų aprašymui, klasifikavimui ir matavimui. Scholzas išsiaiškino, kad fraktalinė geometrija suteikė mokslui veiksmingą metodą, leidžiantį apibūdinti savotišką Žemės kraštovaizdį. Fraktalinis planetos kraštovaizdžio matmuo atveria duris suprasti svarbiausias jos savybes. Metalurgai tą patį atrado kitu mastu – ant skirtingų plieno rūšių paviršių. Visų pirma, metalo paviršiaus fraktalinis matmuo dažnai leidžia spręsti apie jo stiprumą. Daugybė fraktalinių objektų sukelia kristalizacijos reiškinį. Labiausiai paplitęs fraktalų tipas, atsirandantis kristalams augant, yra dendritai, jie itin plačiai paplitę gyvojoje gamtoje. Nanodalelių ansambliai dažnai demonstruoja „Lewy dulkių“ įgyvendinimą. Šie agregatai derinami su absorbuotu tirpikliu, kad sudarytų skaidrius kompaktinius sluoksnius - Lewy stiklus, potencialiai svarbias fotonines medžiagas.

Kadangi fraktalai išreiškiami ne pirminėmis geometrinėmis formomis, o algoritmais, matematinių procedūrų rinkiniais, akivaizdu, kad ši matematikos sritis pradėjo vystytis šuoliais kartu su galingų kompiuterių atsiradimu ir plėtra. Dėl chaoso savo ruožtu atsirado naujų kompiuterinių technologijų, specialios grafikos technologijos, galinčios atkurti nuostabias neįtikėtino sudėtingumo struktūras, kurias sukuria tam tikri sutrikimai. Interneto ir asmeninių kompiuterių amžiuje tai, kas Mandelbroto laikais buvo gana sunku, tapo lengvai prieinama bet kam. Tačiau svarbiausia jo teorijoje, žinoma, buvo ne gražių paveikslų kūrimas, o išvada, kad šis matematinis aparatas tinka sudėtingiems gamtos reiškiniams ir procesams, kurie iki tol moksle nebuvo svarstomi, aprašyti. Algoritminių elementų repertuaras yra neišsemiamas.

Įvaldę fraktalų kalbą, debesies formą galite apibūdinti taip aiškiai ir paprastai, kaip architektas apibūdina pastatą naudodamas brėžinius, kuriuose naudojama tradicinės geometrijos kalba.<...>Praėjo tik keli dešimtmečiai po to, kai Benoit Mandelbrot pareiškė: „Gamtos geometrija yra fraktalinė!“ Šiandien jau galime manyti, kad fraktalumas yra pagrindinis visų be išimties gamtos objektų kūrimo principas.

Baigdamas norėčiau pateikti jūsų dėmesiui nuotraukų rinkinį, iliustruojančią šią išvadą, ir fraktalus, sukurtus naudojant kompiuterinę programą. Fraktalų tyrinėtojas. Kitas mūsų straipsnis bus skirtas fraktalų panaudojimo kristalų fizikoje problemai.

Post Scriptum

1994–2013 m. penkiais tomais buvo išleistas unikalus vietinių mokslininkų darbas „Natūralių antropogeninių ir socialinių procesų laiko variacijų atlasas“ – neprilygstamas medžiagos šaltinis, apimantis kosmoso, biosferos, litosferos, atmosferos, hidrosferos stebėjimo duomenis. , socialinė ir technogeninė sferos bei sferos, susijusios su žmogaus sveikata ir gyvenimo kokybe. Tekste detalizuojami duomenys ir jų apdorojimo rezultatai, lyginami laiko eilučių ir jų fragmentų dinamikos ypatumai. Vieningas rezultatų pateikimas leidžia gauti palyginamus rezultatus, kad būtų galima nustatyti bendrus ir individualius procesų dinamikos ypatumus bei jų priežasties-pasekmės ryšius. Eksperimentinė medžiaga rodo, kad procesai skirtingose ​​srityse, pirma, yra panašūs, antra, daugiau ar mažiau tarpusavyje susiję.

Taigi atlasas apibendrino tarpdalykinių tyrimų rezultatus ir pateikė lyginamąją visiškai skirtingų duomenų analizę plačiame laiko ir erdvės diapazone. Knyga rodo, kad „sausumos sferose vykstančius procesus sukelia daugybė sąveikaujančių veiksnių, kurie skirtingose ​​srityse (ir skirtingu metu) sukelia skirtingas reakcijas“, o tai rodo „būtiną integruoto požiūrio į geodinaminiai, kosminiai, socialiniai, ekonominiai ir medicininiai stebėjimai “ Belieka išreikšti viltį, kad šis iš esmės svarbus darbas bus tęsiamas.

Sveiki visi! Mano vardas yra, Ribenek Valerija, Uljanovskas ir šiandien aš paskelbsiu keletą savo mokslinių straipsnių LCI svetainėje.

Mano pirmasis mokslinis straipsnis šiame tinklaraštyje bus skirtas fraktalai. Iš karto pasakysiu, kad mano straipsniai yra skirti beveik bet kuriai auditorijai. Tie. Tikiuosi, kad jos bus įdomios ir moksleiviams, ir studentams.

Neseniai sužinojau apie tokius įdomius matematinio pasaulio objektus kaip fraktalai. Tačiau jie egzistuoja ne tik matematikoje. Jie mus supa visur. Fraktalai yra natūralūs. Apie tai, kas yra fraktalai, apie fraktalų rūšis, apie šių objektų pavyzdžius ir jų pritaikymą, pakalbėsiu šiame straipsnyje. Pirmiausia trumpai papasakosiu, kas yra fraktalas.

Fraktalas(lot. fractus - susmulkinta, sulaužyta, sulaužyta) yra sudėtinga geometrinė figūra, turinti panašumo savybę, tai yra, susidedanti iš kelių dalių, kurių kiekviena yra panaši į visą figūrą. Platesne prasme fraktalai suprantami kaip Euklido erdvės taškų rinkiniai, turintys trupmeninį metrinį matmenį (Minkowskio ar Hausdorffo prasme) arba metrinį matmenį, kuris skiriasi nuo topologinio. Kaip pavyzdį įterpsiu paveikslėlį, kuriame pavaizduoti keturi skirtingi fraktalai.

Truputį papasakosiu apie fraktalų istoriją. Fraktalų ir fraktalų geometrijos sąvokos, atsiradusios 70-ųjų pabaigoje, nuo devintojo dešimtmečio vidurio tvirtai įsitvirtino tarp matematikų ir programuotojų. Žodį „fraktalas“ sugalvojo Benoit Mandelbrot 1975 m., turėdamas omenyje netaisyklingas, bet į save panašias struktūras, su kuriomis jis rūpėjo. Fraktalinės geometrijos gimimas dažniausiai siejamas su Mandelbroto knygos „Gamtos fraktalų geometrija“ paskelbimu 1977 m. Jo darbuose buvo panaudoti kitų 1875–1925 m. toje pačioje srityje dirbusių mokslininkų (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff) moksliniai rezultatai. Tačiau tik mūsų laikais buvo įmanoma sujungti jų darbą į vieną sistemą.

Fraktalų pavyzdžių yra labai daug, nes, kaip sakiau, jie mus supa visur. Mano nuomone, net visa mūsų Visata yra vienas didžiulis fraktalas. Juk viskas jame, nuo atomo sandaros iki pačios Visatos sandaros, tiksliai kartojasi. Tačiau, žinoma, yra ir konkretesnių įvairių sričių fraktalų pavyzdžių. Pavyzdžiui, fraktalai yra sudėtingoje dinamikoje. Ten jie natūraliai atsiranda tiriant netiesinį dinamines sistemas. Labiausiai ištirtas atvejis, kai dinaminė sistema nurodoma iteracijomis daugianario arba holomorfinis kintamųjų komplekso funkcija ant paviršiaus. Vieni žinomiausių šio tipo fraktalų yra Julijos rinkinys, Mandelbroto rinkinys ir Niutono baseinai. Žemiau pateiktose nuotraukose pavaizduotas kiekvienas iš aukščiau paminėtų fraktalų.

Kitas fraktalų pavyzdys yra fraktalų kreivės. Geriausia paaiškinti, kaip sudaryti fraktalą, naudojant fraktalų kreivių pavyzdį. Viena iš tokių kreivių yra vadinamoji Kocho snaigė. Yra paprasta procedūra, kaip gauti fraktalines kreives plokštumoje. Apibrėžkime savavališką trūkinę liniją su baigtiniu skaičiumi nuorodų, vadinamą generatoriumi. Toliau kiekvieną jame esantį segmentą pakeičiame generatoriumi (tiksliau nutrūkusia linija, panašia į generatorių). Gautoje nutrūkusioje linijoje kiekvieną segmentą vėl pakeičiame generatoriumi. Tęsdami iki begalybės, riboje gauname fraktalų kreivę. Žemiau yra Kocho snaigė (arba kreivė).

Taip pat yra didžiulė fraktalų kreivių įvairovė. Garsiausios iš jų – jau minėta Kocho snaigė, taip pat Levy kreivė, Minkovskio kreivė, Drakono laužta linija, Piano kreivė ir Pitagoro medis. Manau, kad jei norite, galite nesunkiai rasti šių fraktalų vaizdą ir jų istoriją Vikipedijoje.

Trečiasis fraktalų pavyzdys arba tipas yra stochastiniai fraktalai. Tokie fraktalai apima Brauno judėjimo trajektoriją plokštumoje ir erdvėje, Schramm-Löwner evoliuciją, įvairius atsitiktinių imčių fraktalus, tai yra fraktalus, gautus naudojant rekursinę procedūrą, į kurią kiekviename žingsnyje įvedamas atsitiktinis parametras.

Taip pat yra grynai matematinių fraktalų. Tai, pavyzdžiui, Cantor rinkinys, Menger kempinė, Sierpinskio trikampis ir kt.

Tačiau bene įdomiausi fraktalai yra natūralūs. Natūralūs fraktalai yra gamtos objektai, turintys fraktalų savybių. O štai sąrašas jau didelis. Neišvardinsiu visko, nes visų išvardinti turbūt neįmanoma, bet apie kai kuriuos papasakosiu. Pavyzdžiui, gyvojoje gamtoje tokie fraktalai apima mūsų kraujotakos sistemą ir plaučius. Taip pat medžių vainikas ir lapai. Tai taip pat apima jūrų žvaigždes, jūrų ežius, koralus, jūros kriaukles ir kai kuriuos augalus, tokius kaip kopūstai ar brokoliai. Žemiau aiškiai parodyta keletas tokių natūralių fraktalų iš gyvos gamtos.

Jei laikytume negyvąją gamtą, tai ten yra daug įdomesnių pavyzdžių nei gyvojoje gamtoje. Žaibai, snaigės, debesys, gerai žinomi visiems, raštai ant langų šaltomis dienomis, kristalai, kalnų grandinės – visa tai natūralių fraktalų iš negyvosios gamtos pavyzdžiai.

Mes pažvelgėme į fraktalų pavyzdžius ir tipus. Kalbant apie fraktalų naudojimą, jie naudojami įvairiose žinių srityse. Fizikoje fraktalai natūraliai atsiranda modeliuojant netiesinius procesus, tokius kaip turbulentinis skysčio srautas, sudėtingi difuzijos-adsorbcijos procesai, liepsnos, debesys ir kt. Fraktalai naudojami modeliuojant akytas medžiagas, pavyzdžiui, naftos chemijoje. Biologijoje jie naudojami populiacijoms modeliuoti ir vidaus organų sistemoms (kraujagyslių sistemai) apibūdinti. Sukūrus Kocho kreivę, buvo pasiūlyta ją naudoti skaičiuojant pakrantės ilgį. Fraktalai taip pat aktyviai naudojami radijo inžinerijoje, informacijos moksle ir kompiuterinėse technologijose, telekomunikacijose ir net ekonomikoje. Ir, žinoma, fraktalinis matymas aktyviai naudojamas šiuolaikiniame mene ir architektūroje. Štai vienas fraktalų modelių pavyzdys:

Taigi, manau, šiuo klausimu užbaigsiu savo istoriją apie tokį neįprastą matematinį reiškinį kaip fraktalas. Šiandien mes sužinojome apie tai, kas yra fraktalas, kaip jis atsirado, apie fraktalų rūšis ir pavyzdžius. Taip pat kalbėjau apie jų pritaikymą ir kai kuriuos fraktalus pademonstravau vaizdžiai. Tikiuosi, kad jums patiko ši maža ekskursija į nuostabių ir žavių fraktalinių objektų pasaulį.

Ką bendro turi medis, pajūris, debesis ar mūsų rankos kraujagyslės? Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad visi šie objektai neturi nieko bendro. Tačiau iš tikrųjų yra viena struktūros savybė, kuri būdinga visiems išvardytiems objektams: jie yra panašūs. Iš šakos, kaip ir iš medžio kamieno, ištįsta smulkesni ūgliai, nuo jų dar smulkesni ir pan., tai yra šaka panaši į visą medį. Panašiai struktūrizuota ir kraujotakos sistema: iš arterijų pasitraukia arteriolės, o iš jų – mažiausi kapiliarai, kuriais deguonis patenka į organus ir audinius. Pažiūrėkime į palydovines jūros pakrantės nuotraukas: pamatysime įlankas ir pusiasalius; Pažiūrėkime, bet iš paukščio skrydžio: pamatysime įlankas ir kyšulius; Dabar įsivaizduokite, kad stovime paplūdimyje ir žiūrime į savo kojas: visada bus akmenukų, kurie kyšo toliau į vandenį nei kiti. Tai yra, pakrantės linija, priartinus, išlieka panaši į save. Amerikiečių matematikas (nors ir užaugo Prancūzijoje) Benoit Mandelbrot šią objektų savybę pavadino fraktalumu, o pačius tokius objektus – fraktalais (iš lot. fractus – sulaužyti).

Ši sąvoka neturi griežto apibrėžimo. Todėl žodis „fraktalas“ nėra matematinis terminas. Paprastai fraktalas yra geometrinė figūra, atitinkanti vieną ar kelias iš šių savybių: Ji turi sudėtingą struktūrą bet kokiu mastelio padidėjimu (skirtingai nuo, pavyzdžiui, tiesės, kurios bet kuri dalis yra paprasčiausia geometrinė figūra – atkarpa ). Yra (apytiksliai) panašus į save. Jis turi trupmeninį Hausdorfo (fraktalinį) matmenį, kuris yra didesnis nei topologinis. Galima konstruoti naudojant rekursines procedūras.

Geometrija ir algebra

Fraktalų tyrimas XIX–XX amžių sandūroje buvo labiau epizodinis nei sisteminis, nes anksčiau matematikai daugiausia tyrinėjo „gerus“ objektus, kuriuos buvo galima tirti naudojant bendruosius metodus ir teorijas. 1872 m. vokiečių matematikas Karlas Weierstrassas sukūrė niekur nesiskiriančios tolydžios funkcijos pavyzdį. Tačiau jo konstrukcija buvo visiškai abstrakti ir sunkiai suprantama. Todėl 1904 metais švedas Helge von Koch sugalvojo ištisinę kreivę, kuri niekur neturi liestinės ir kurią gana lengva nubrėžti. Paaiškėjo, kad jis turi fraktalo savybių. Vienas šios kreivės variantų vadinamas „Kocho snaigė“.

Figūrų panašumo idėjas perėmė prancūzas Paulas Pierre'as Levy, būsimas Benoit Mandelbrot mentorius. 1938 m. buvo paskelbtas jo straipsnis „Plokštumos ir erdvinės kreivės ir paviršiai, susidedantys iš dalių, panašių į visumą“, kuriame buvo aprašytas kitas fraktalas - Levy C kreivė. Visus šiuos aukščiau išvardintus fraktalus sąlygiškai galima priskirti vienai konstruktyviųjų (geometrinių) fraktalų klasei.

Kita klasė yra dinaminiai (algebriniai) fraktalai, kurie apima Mandelbroto rinkinį. Pirmieji tyrimai šia kryptimi prasidėjo XX amžiaus pradžioje ir siejami su prancūzų matematikų Gastono Julia ir Pierre'o Fatou vardais. 1918 m. Julija paskelbė beveik dviejų šimtų puslapių atsiminimų knygą apie sudėtingų racionalių funkcijų iteracijas, kuriose aprašomi Julijos rinkiniai – visa fraktalų šeima, glaudžiai susijusi su Mandelbroto rinkiniu. Šis kūrinys buvo apdovanotas Prancūzų akademijos prizu, tačiau jame nebuvo nė vienos iliustracijos, todėl buvo neįmanoma įvertinti atvirų objektų grožio. Nepaisant to, kad šis darbas išgarsino Juliją tarp to meto matematikų, jis greitai buvo pamirštas. Dėmesys į tai vėl nukrypo tik po pusės amžiaus, atsiradus kompiuteriams: būtent jie padarė matomą fraktalų pasaulio turtingumą ir grožį.

Fraktalų matmenys

Kaip žinote, geometrinės figūros matmuo (matmenų skaičius) yra koordinačių skaičius, būtinas norint nustatyti taško, esančio ant šios figūros, padėtį.
Pavyzdžiui, taško padėtis kreivėje nustatoma pagal vieną koordinatę, paviršiuje (nebūtinai plokštumoje) – dvi koordinatės, o trimatėje erdvėje – trys koordinatės.
Žvelgiant bendresniu matematiniu požiūriu, matmenis galima apibrėžti taip: tiesinių matmenų padidėjimas, tarkime, du kartus, vienmačiams (topologiniu požiūriu) objektams (segmentui) lemia dydžio (ilgio) padidėjimas dvigubai, dvimačiams (kvadratas) dėl to paties linijinių matmenų padidėjimo dydis (plotas) padidėja 4 kartus, trimačių (kubo) - 8 kartus. Tai yra, „tikroji“ (vadinamoji Hausdorff) dimensija gali būti apskaičiuojama kaip objekto „dydžio“ padidėjimo logaritmo ir jo tiesinio dydžio padidėjimo logaritmo santykis. Tai yra, atkarpai D = log (2) / log (2) = 1, plokštumai D = log (4) / log (2) = 2, tūriui D = log (8) / log (2) )=3.
Dabar apskaičiuokime Kocho kreivės matmenį, kad sudarytume vienetinį segmentą, kuris padalintas į tris lygias dalis, o vidurinis intervalas pakeičiamas lygiakraščiu trikampiu be šios atkarpos. Kai minimalaus segmento tiesiniai matmenys padidėja tris kartus, Kocho kreivės ilgis padidėja log (4)/log (3) ~ 1,26. Tai reiškia, kad Kocho kreivės matmuo yra trupmeninis!

Mokslas ir menas

1982 metais buvo išleista Mandelbroto knyga „Fraktalinė gamtos geometrija“, kurioje autorius surinko ir susistemino beveik visą tuo metu turimą informaciją apie fraktalus ir ją lengvai bei prieinamai pateikė. Mandelbrotas savo pristatyme pagrindinį akcentą skyrė ne sunkioms formulėms ir matematinėms konstrukcijoms, o geometrinei skaitytojų intuicijai. Kompiuteriu gautų iliustracijų ir istorinių istorijų, kuriomis autorius sumaniai atskiedė monografijos mokslinį komponentą, dėka knyga tapo bestseleriu, o fraktalai tapo žinomi plačiajai visuomenei. Jų sėkmę tarp ne matematikų daugiausia lemia tai, kad naudojant labai paprastas konstrukcijas ir formules, kurias gali suprasti net vidurinės mokyklos mokinys, gaunami nuostabaus sudėtingumo ir grožio vaizdai. Kai asmeniniai kompiuteriai tapo pakankamai galingi, atsirado net ištisa meno kryptis – fraktalų tapyba, ir tai galėjo padaryti beveik bet kuris kompiuterio savininkas. Dabar internete galite lengvai rasti daugybę šiai temai skirtų svetainių.

Kocho kreivės gavimo schema

Karas ir taika

Kaip minėta aukščiau, vienas iš natūralių objektų, turinčių fraktalinių savybių, yra pakrantė. Įdomi istorija susijusi su ja, tiksliau, su bandymu išmatuoti jo ilgį, kuris buvo Mandelbroto mokslinio straipsnio pagrindas, taip pat aprašytas jo knygoje „Fraktalinė gamtos geometrija“. Kalbame apie Lewiso Richardsono – labai talentingo ir ekscentriško matematiko, fiziko ir meteorologo – eksperimentą. Viena iš jo tyrimų krypčių buvo bandymas rasti matematinį dviejų šalių ginkluoto konflikto priežasčių ir tikimybės aprašymą. Tarp parametrų, į kuriuos jis atsižvelgė, buvo abiejų kariaujančių šalių bendros sienos ilgis. Kai jis rinko duomenis skaitiniams eksperimentams, jis atrado, kad duomenys apie bendrą Ispanijos ir Portugalijos sieną labai skiriasi nuo skirtingų šaltinių. Tai paskatino jį padaryti tokį atradimą: šalies sienų ilgis priklauso nuo valdovo, kuriuo jas matuojame. Kuo mažesnis mastelis, tuo ilgesnė riba. Taip yra dėl to, kad esant didesniam padidinimui atsiranda galimybė atsižvelgti į vis naujus pakrantės vingius, kurie anksčiau buvo ignoruojami dėl matavimų šiurkštumo. Ir jei su kiekvienu mastelio padidėjimu atskleidžiami anksčiau neapskaityti linijų vingiai, tada paaiškėja, kad ribų ilgis yra begalinis! Tiesa, taip iš tikrųjų neįvyksta – mūsų matavimų tikslumas turi baigtinę ribą. Šis paradoksas vadinamas Ričardsono efektu.

Konstruktyvūs (geometriniai) fraktalai

Konstruktyvaus fraktalo konstravimo algoritmas bendruoju atveju yra toks. Pirmiausia reikia dviejų tinkamų geometrinių figūrų, pavadinkime jas pagrindu ir fragmentu. Pirmajame etape vaizduojamas būsimo fraktalo pagrindas. Tada kai kurios jo dalys pakeičiamos fragmentu, paimtu tinkamu masteliu - tai pirmoji konstrukcijos iteracija. Tada gauta figūra vėl pakeičia kai kurias dalis į figūras, panašias į fragmentą ir tt Jei tęsime šį procesą iki begalybės, tada riboje gausime fraktalą.

Pažvelkime į šį procesą naudodami Kocho kreivę kaip pavyzdį (žr. šoninę juostą ankstesniame puslapyje). Bet kuri kreivė gali būti laikoma Kocho kreivės pagrindu ("Kocho snaigės" atveju tai yra trikampis). Tačiau apsiribosime paprasčiausiu atveju – segmentu. Fragmentas yra laužyta linija, parodyta paveikslo viršuje. Po pirmosios algoritmo iteracijos šiuo atveju pradinis segmentas sutaps su fragmentu, tada kiekvienas jį sudarantis segmentas bus pakeistas laužta linija, panašia į fragmentą ir tt Paveikslėlyje parodyti pirmieji keturi šio žingsnio žingsniai. procesas.

Matematikos kalba: dinaminiai (algebriniai) fraktalai

Šio tipo fraktalai atsiranda tiriant netiesines dinamines sistemas (iš čia ir kilęs pavadinimas). Tokios sistemos elgesį galima apibūdinti sudėtinga netiesine funkcija (polinomu) f (z). Paimkime pradinį tašką z0 kompleksinėje plokštumoje (žr. šoninę juostą). Dabar apsvarstykite tokią begalinę skaičių seką kompleksinėje plokštumoje, kurių kiekvienas kitas gaunamas iš ankstesnės: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn) ). Priklausomai nuo pradinio taško z0, tokia seka gali elgtis skirtingai: linkusi į begalybę kaip n -> ∞; suartėti į kokį nors galinį tašką; cikliškai imkite fiksuotų verčių seriją; Galimi ir sudėtingesni variantai.

Sudėtingi skaičiai

Kompleksinis skaičius yra skaičius, susidedantis iš dviejų dalių - tikrosios ir įsivaizduojamos, tai yra formalioji suma x + iy (x ir y čia yra realieji skaičiai). aš esu vadinamasis įsivaizduojamas vienetas, tai yra skaičius, kuris tenkina lygtį aš^ 2 = -1. Apibrėžiamos pagrindinės matematinės operacijos su kompleksiniais skaičiais: sudėtis, daugyba, dalyba, atėmimas (tik palyginimo operacija neapibrėžta). Kompleksiniams skaičiams atvaizduoti dažnai naudojamas geometrinis vaizdas – plokštumoje (ji vadinama kompleksine), tikroji dalis brėžiama išilgai abscisių ašies, o įsivaizduojama dalis – išilgai ordinačių ašies, o kompleksinis skaičius atitiks taškas su Dekarto koordinatėmis x ir y.

Taigi bet kuris kompleksinės plokštumos taškas z turi savo elgseną funkcijos f (z) iteracijų metu, o visa plokštuma yra padalinta į dalis. Be to, taškai, esantys ant šių dalių ribų, turi tokią savybę: esant savavališkai mažam poslinkiui, jų elgesio pobūdis smarkiai pasikeičia (tokie taškai vadinami bifurkacijos taškais). Taigi paaiškėja, kad taškų rinkiniai, turintys vieną specifinį elgesio tipą, taip pat bifurkacijos taškų rinkiniai dažnai turi fraktalinių savybių. Tai yra funkcijos f (z) Julijos rinkiniai.

Drakonų šeima

Keičiant pagrindą ir fragmentą, galite gauti stulbinančią konstruktyvių fraktalų įvairovę.
Be to, panašias operacijas galima atlikti ir trimatėje erdvėje. Tūrinių fraktalų pavyzdžiai yra „Mengerio kempinė“, „Sierpinskio piramidė“ ir kt.
Drakonų šeima taip pat laikoma konstruktyviu fraktalu. Kartais jie vadinami atradėjų vardu „Heavey-Harter drakonai“ (savo forma jie primena Kinijos drakonus). Yra keletas būdų, kaip sudaryti šią kreivę. Paprasčiausias ir vaizdingiausias iš jų yra toks: reikia paimti gana ilgą popieriaus juostelę (kuo plonesnis popierius, tuo geriau) ir perlenkti per pusę. Tada vėl sulenkite per pusę ta pačia kryptimi, kaip ir pirmą kartą. Po kelių pakartojimų (dažniausiai po penkių ar šešių sulenkimų juostelė tampa per stora, kad ją būtų galima švelniai lenkti toliau), reikia atlenkti juostelę atgal ir pabandyti padaryti 90˚ kampus ties raukšlėmis. Tada profilyje gausite drakono kreivę. Žinoma, tai bus tik apytikslis rodiklis, kaip ir visi mūsų bandymai pavaizduoti fraktalinius objektus. Kompiuteris leidžia pavaizduoti daug daugiau šio proceso žingsnių, o rezultatas – labai graži figūra.

Mandelbroto rinkinys sukonstruotas kiek kitaip. Apsvarstykite funkciją fc (z) = z 2 +c, kur c yra kompleksinis skaičius. Sukurkime šios funkcijos seką su z0=0; priklausomai nuo parametro c, ji gali skirtis iki begalybės arba likti ribota. Be to, visos c reikšmės, kurioms ši seka yra ribota, sudaro Mandelbroto rinkinį. Ją išsamiai ištyrė pats Mandelbrotas ir kiti matematikai, atradę daug įdomių šio rinkinio savybių.

Galima pastebėti, kad Julijos ir Mandelbroto aibių apibrėžimai yra panašūs vienas į kitą. Tiesą sakant, šie du rinkiniai yra glaudžiai susiję. Būtent Mandelbroto rinkinys yra visos kompleksinio parametro c reikšmės, prie kurių yra prijungtas Julijos rinkinys fc (z) (aibė vadinama sujungta, jei jos negalima padalyti į dvi atskiras dalis, su tam tikromis papildomomis sąlygomis).

Fraktalai ir gyvenimas

Šiais laikais fraktalų teorija plačiai taikoma įvairiose žmogaus veiklos srityse. Be grynai mokslinio tyrimams skirto objekto ir jau minėtos fraktalinės tapybos, fraktalai informacijos teorijoje naudojami grafiniams duomenims suspausti (čia daugiausia naudojama fraktalų savipanašumo savybė - juk norint prisiminti nedidelį paveikslo fragmentą ir transformacijos, su kuriomis galite gauti likusias dalis, reikia daug mažiau atminties nei visam failui saugoti). Fraktalą apibrėžiančiose formulėse pridėjus atsitiktinius trikdžius, galima gauti stochastinius fraktalus, kurie labai patikimai perteikia kai kuriuos tikrus objektus – reljefo elementus, rezervuarų paviršių, kai kuriuos augalus, kurie sėkmingai naudojami fizikoje, geografijoje ir kompiuterinėje grafikoje, siekiant didesnių rezultatų. imituojamų objektų panašumas į tikrus. Radijo elektronikoje pastarąjį dešimtmetį pradėtos gaminti fraktalinės formos antenos. Užimdami mažai vietos, jie užtikrina aukštos kokybės signalo priėmimą. Ekonomistai naudoja fraktalus, kad apibūdintų valiutos svyravimų kreives (šią savybę Mandelbrotas atrado daugiau nei prieš 30 metų). Tai užbaigia šią trumpą ekskursiją į nuostabiai gražų ir įvairų fraktalų pasaulį.