Lição “Ângulo diédrico. Ângulos diédricos e fórmula para calculá-los. Ângulo diédrico na base de uma pirâmide regular quadrangular

O objetivo da lição: introdução do conceito de ângulo diédrico e seu ângulo linear.

Tarefas:

Educacional: considerar tarefas de aplicação destes conceitos, desenvolver a habilidade construtiva de encontrar o ângulo entre planos;

Desenvolvimento: desenvolvimento do pensamento criativo dos alunos, autodesenvolvimento pessoal dos alunos, desenvolvimento da fala dos alunos;

Educacional: nutrir uma cultura de trabalho mental, cultura comunicativa, cultura reflexiva.

Tipo de aula: lição sobre como aprender novos conhecimentos

Métodos de ensino: explicativo e ilustrativo

Equipamento: computador, quadro interativo.

Literatura:

Geometria. 10ª a 11ª séries: livro didático. para as séries 10-11. Educação geral instituições: básicas e especializadas. níveis / [L. S. Atanasyan, VF Butuzov, SB Kadomtsev, etc.] - 18ª ed. – M.: Educação, 2009. – 255 p.

Plano de aula:

Momento organizacional (2 min)

Atualizando conhecimentos (5 min)

Aprendendo novo material (12 min)

Reforço do material aprendido (21 min)

Lição de casa (2 minutos)

Resumindo (3 minutos)

Durante as aulas:

1. Momento organizacional.

Inclui o professor cumprimentando a turma, preparando a sala para a aula e verificando os ausentes.

2. Atualização de conhecimentos básicos.

Professor: Na última lição você escreveu um trabalho independente. Em geral, o trabalho foi bem escrito. Agora vamos repetir um pouco. Como é chamado um ângulo em um plano?

Estudante: Um ângulo em um plano é uma figura formada por dois raios que emanam de um ponto.

Professor: Como é chamado o ângulo entre as linhas no espaço?

Estudante: O ângulo entre duas linhas que se cruzam no espaço é o menor dos ângulos formados pelos raios dessas linhas com o vértice no ponto de sua intersecção.

Estudante: O ângulo entre as linhas que se cruzam é ​​o ângulo entre as linhas que se cruzam, respectivamente, paralelas aos dados.

Professor: Como é chamado o ângulo entre uma linha reta e um plano?

Estudante: O ângulo entre uma linha reta e um planoQualquer ângulo entre uma linha reta e sua projeção neste plano é chamado.

3. Estudando novos materiais.

Professor: Na estereometria, junto com esses ângulos, é considerado outro tipo de ângulo - os ângulos diédricos. Você provavelmente já adivinhou qual é o tema da aula de hoje, então abra seu caderno, anote a data de hoje e o tema da aula.

Escreva no quadro e em cadernos:

10.12.14.

Ângulo diédrico.

Professor : Para introduzir o conceito de ângulo diédrico, deve-se lembrar que qualquer linha reta traçada em um determinado plano divide este plano em dois semiplanos(Fig. 1, a)

Professor : Vamos imaginar que dobramos o plano ao longo de uma linha reta de modo que dois semiplanos com limite não fiquem mais no mesmo plano (Fig. 1, b). A figura resultante é o ângulo diédrico. Um ângulo diédrico é uma figura formada por uma linha reta e dois semiplanos com um limite comum que não pertencem ao mesmo plano. Os semiplanos que formam um ângulo diédrico são chamados de faces. Um ângulo diédrico tem dois lados, daí o nome ângulo diédrico. A linha reta - o limite comum dos semiplanos - é chamada de aresta do ângulo diédrico. Escreva a definição em seu caderno.

Um ângulo diédrico é uma figura formada por uma linha reta e dois semiplanos com um limite comum que não pertencem ao mesmo plano.

Professor : Na vida cotidiana, frequentemente encontramos objetos que têm a forma de um ângulo diédrico. Dar exemplos.

Estudante : Pasta entreaberta.

Estudante : A parede da sala fica junto com o chão.

Estudante : Telhados de duas águas de edifícios.

Professor : Certo. E há um grande número desses exemplos.

Professor : Como você sabe, os ângulos em um plano são medidos em graus. Você provavelmente tem uma pergunta: como os ângulos diédricos são medidos? Isto se faz do seguinte modo.Vamos marcar algum ponto na aresta do ângulo diédrico e desenhar um raio perpendicular à aresta deste ponto em cada face. O ângulo formado por esses raios é chamado de ângulo linear do ângulo diédrico. Faça um desenho em seus cadernos.

Escreva no quadro e em cadernos.

SOBRE ∈ uma, JSC ⊥ uma, VO ⊥ a, SABD– ângulo diédrico,∠ AOB– ângulo linear do ângulo diédrico.

Professor : Todos os ângulos lineares de um ângulo diédrico são iguais. Faça você mesmo outro desenho como este.

Professor : Vamos provar isso. Considere dois ângulos lineares AOB ePQR. Raios OA eQPficam na mesma face e são perpendicularesQO, o que significa que eles são codirigidos. Da mesma forma, os raios OB eQRcodirigido. Significa,∠ AOB= ∠ PQR(como ângulos com lados alinhados).

Professor : Bem, agora a resposta à nossa pergunta é como o ângulo diédrico é medido.A medida de grau de um ângulo diédrico é a medida de grau de seu ângulo linear. Redesenhe as imagens de um ângulo diédrico agudo, reto e obtuso do livro na página 48.

4. Consolidação do material estudado.

Professor : Faça desenhos para as tarefas.

№ 1 . Dado: Δabc, AC = BC, AB está no planoα, CD ⊥ α, C∉ α. Construir ângulo linear do ângulo diédricoCABD.

Estudante : Solução:CM. ⊥ AB, CC ⊥ AB.∠ DMC - procurados.

№ 2. Dado: Δabc, ∠ C= 90°, BC está no planoa, JSC⊥ α, A∈ α.

Construir ângulo linear do ângulo diédricoABCO.

Estudante : Solução:AB ⊥ a.C., JSC⊥ BC significa SO⊥ Sol.∠ ACO - procurados.

№ 3 . Dado: Δabc, ∠ C = 90°, AB está no planoα, CD⊥ α, C∉ α. Construirângulo diédrico linearDABC.

Estudante : Solução: CK ⊥ AB, CC ⊥ AB,DK ⊥ AB significa∠ DKC - procurados.

№ 4 . Dado:DABC- tetraedro,FAZER⊥ abc.Construa o ângulo linear do ângulo diédricoABCD.

Estudante : Solução:DM ⊥ sol,FAZER ⊥ VS significa OM⊥ Sol;∠ OMD - procurados.

5. Resumindo.

Professor: Que novidades você aprendeu na aula hoje?

Alunos : O que é chamado de ângulo diédrico, ângulo linear, como o ângulo diédrico é medido.

Professor : O que eles repetiram?

Alunos : O que é chamado de ângulo em um plano; ângulo entre linhas retas.

6. Lição de casa.

Escreva no quadro e em sua agenda: parágrafo 22, nº 167, nº 170.

TRANSCRIÇÃO DE TEXTO DA LIÇÃO:

Na planimetria, os principais objetos são retas, segmentos, raios e pontos. Os raios que emanam de um ponto formam uma de suas formas geométricas - um ângulo.

Sabemos que o ângulo linear é medido em graus e radianos.

Na estereometria, um plano é adicionado aos objetos. Uma figura formada por uma linha reta a e dois semiplanos com um limite comum a que não pertencem ao mesmo plano na geometria é chamada de ângulo diédrico. Meios planos são as faces de um ângulo diédrico. A linha reta a é uma aresta de um ângulo diédrico.

Um ângulo diédrico, como um ângulo linear, pode ser nomeado, medido e construído. Isso é o que devemos descobrir nesta lição.

Vamos encontrar o ângulo diédrico no modelo de tetraedro ABCD.

Um ângulo diédrico com aresta AB é chamado CABD, onde os pontos C e D pertencem a faces diferentes do ângulo e a aresta AB é chamada no meio

Existem muitos objetos ao nosso redor com elementos na forma de um ângulo diédrico.

Em muitas cidades, bancos especiais para reconciliação são instalados nos parques. A bancada é constituída por dois planos inclinados convergindo para o centro.

Na construção de casas, costuma-se usar o chamado telhado de duas águas. Nesta casa o telhado é feito em forma de ângulo diédrico de 90 graus.

O ângulo diédrico também é medido em graus ou radianos, mas como medi-lo.

É interessante notar que os telhados das casas repousam sobre vigas. E o revestimento da viga forma duas inclinações do telhado em um determinado ângulo.

Vamos transferir a imagem para o desenho. No desenho, para encontrar um ângulo diédrico, marca-se em sua aresta o ponto B. A partir deste ponto, traçam-se dois raios BA e BC perpendiculares à aresta do ângulo. O ângulo ABC formado por esses raios é chamado de ângulo diédrico linear.

A medida em grau de um ângulo diédrico é igual à medida em grau de seu ângulo linear.

Vamos medir o ângulo AOB.

A medida de grau de um determinado ângulo diédrico é sessenta graus.

Um número infinito de ângulos lineares pode ser traçado para um ângulo diédrico; é importante saber que todos eles são iguais.

Vamos considerar dois ângulos lineares AOB e A1O1B1. Os raios OA e O1A1 estão na mesma face e são perpendiculares à linha reta OO1, portanto são codirecionais. Os feixes OB e O1B1 também são codirigidos. Portanto, o ângulo AOB é igual ao ângulo A1O1B1 como ângulos com lados codirecionais.

Portanto, um ângulo diédrico é caracterizado por um ângulo linear, e os ângulos lineares são agudos, obtusos e retos. Consideremos modelos de ângulos diédricos.

Um ângulo obtuso é quando seu ângulo linear está entre 90 e 180 graus.

Um ângulo reto se seu ângulo linear for 90 graus.

Um ângulo agudo, se seu ângulo linear for de 0 a 90 graus.

Vamos provar uma das propriedades importantes de um ângulo linear.

O plano do ângulo linear é perpendicular à borda do ângulo diédrico.

Seja o ângulo AOB o ângulo linear de um determinado ângulo diédrico. Por construção, os raios AO e OB são perpendiculares à reta a.

O plano AOB passa por duas retas que se cruzam AO e OB de acordo com o teorema: Um plano passa por duas retas que se cruzam, e apenas uma.

A linha a é perpendicular a duas linhas que se cruzam neste plano, o que significa, com base na perpendicularidade da linha e do plano, a linha reta a é perpendicular ao plano AOB.

Para resolver problemas, é importante ser capaz de construir um ângulo linear de um determinado ângulo diédrico. Construa um ângulo linear de um ângulo diédrico com aresta AB para o tetraedro ABCD.

Estamos falando de um ângulo diédrico, que é formado, primeiramente, pela aresta AB, uma face ABD e a segunda face ABC.

Aqui está uma maneira de construí-lo.

Vamos traçar uma perpendicular do ponto D ao plano ABC. Marque o ponto M como a base da perpendicular. Lembre-se de que num tetraedro a base da perpendicular coincide com o centro do círculo inscrito na base do tetraedro.

Vamos traçar uma linha inclinada do ponto D perpendicular à aresta AB, marcar o ponto N como base da linha inclinada.

No triângulo DMN, o segmento NM será a projeção do DN inclinado no plano ABC. De acordo com o teorema das três perpendiculares, a aresta AB será perpendicular à projeção NM.

Isso significa que os lados do ângulo DNM são perpendiculares à aresta AB, o que significa que o ângulo construído DNM é o ângulo linear desejado.

Consideremos um exemplo de solução de um problema de cálculo de um ângulo diédrico.

O triângulo isósceles ABC e o triângulo regular ADB não estão no mesmo plano. O segmento CD é perpendicular ao plano ADB. Encontre o ângulo diédrico DABC se AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.

O ângulo diédrico do DABC é igual ao seu ângulo linear. Vamos construir esse ângulo.

Vamos desenhar o CM inclinado perpendicular à aresta AB, já que o triângulo ACB é isósceles, então o ponto M coincidirá com o meio da aresta AB.

A reta CD é perpendicular ao plano ADB, o que significa que é perpendicular à reta DM situada neste plano. E o segmento MD é uma projeção do CM inclinado no plano ADV.

A reta AB é perpendicular ao CM inclinado por construção, ou seja, pelo teorema das três perpendiculares, é perpendicular à projeção MD.

Assim, duas perpendiculares CM e DM são encontradas à aresta AB. Isso significa que eles formam um ângulo linear CMD do ângulo diédrico DABC. E tudo o que temos de fazer é determiná-lo a partir do triângulo retângulo CDM.

Então o segmento SM é a mediana e a altura do triângulo isósceles ACB, então de acordo com o teorema de Pitágoras, a perna SM é igual a 4 cm.

Do triângulo retângulo DMB, de acordo com o teorema de Pitágoras, a perna DM é igual a duas raízes de três.

O cosseno de um ângulo de um triângulo retângulo é igual à razão entre o cateto adjacente MD e a hipotenusa CM e é igual a três raízes de três vezes dois. Isso significa que o ângulo CMD é de 30 graus.

A magnitude do ângulo entre dois planos diferentes pode ser determinada para qualquer posição relativa dos planos.

Um caso trivial se os planos forem paralelos. Então o ângulo entre eles é considerado igual a zero.

Um caso não trivial se os planos se cruzarem. Este caso é objeto de discussão adicional. Primeiro precisamos do conceito de ângulo diédrico.

9.1 Ângulo diédrico

Um ângulo diédrico são dois semiplanos com uma linha reta comum (que é chamada de aresta do ângulo diédrico). Na Fig. 50 mostra um ângulo diédrico formado por semiplanos e; a aresta deste ângulo diédrico é a reta a, comum a esses semiplanos.

Arroz. 50. Ângulo diédrico

O ângulo diédrico pode ser medido em graus ou radianos em uma palavra, insira o valor angular do ângulo diédrico. Isto se faz do seguinte modo.

Na aresta do ângulo diédrico formado pelos semiplanos e, tomamos um ponto arbitrário M. Desenhemos os raios MA e MB, respectivamente situados nesses semiplanos e perpendiculares à aresta (Fig. 51).

Arroz. 51. Ângulo diédrico linear

O ângulo resultante AMB é o ângulo linear do ângulo diédrico. O ângulo " = \AMB é precisamente o valor angular do nosso ângulo diédrico.

Definição. A magnitude angular de um ângulo diédrico é a magnitude do ângulo linear de um determinado ângulo diédrico.

Todos os ângulos lineares de um ângulo diédrico são iguais entre si (afinal, eles são obtidos um do outro por um deslocamento paralelo). Portanto, esta definição está correta: o valor " não depende da escolha específica do ponto M na aresta do ângulo diédrico.

9.2 Determinando o ângulo entre os planos

Quando dois planos se cruzam, são obtidos quatro ângulos diédricos. Se todos tiverem o mesmo tamanho (90 cada), então os planos são chamados perpendiculares; O ângulo entre os planos é então 90.

Se nem todos os ângulos diédricos forem iguais (ou seja, existem dois agudos e dois obtusos), então o ângulo entre os planos é o valor do ângulo diédrico agudo (Fig. 52).

Arroz. 52. Ângulo entre planos

9.3 Exemplos de resolução de problemas

Vejamos três problemas. O primeiro é simples, o segundo e o terceiro estão aproximadamente no nível C2 do Exame Estadual Unificado em matemática.

Problema 1. Encontre o ângulo entre duas faces de um tetraedro regular.

Solução. Seja ABCD um tetraedro regular. Desenhemos as medianas AM e DM das faces correspondentes, bem como a altura do tetraedro DH (Fig. 53).

Arroz. 53. Para a tarefa 1

Sendo medianas, AM e DM também são altitudes dos triângulos equiláteros ABC e DBC. Portanto, o ângulo " = \AMD é o ângulo linear do ângulo diédrico formado pelas faces ABC e DBC. Nós o encontramos no triângulo DHM:

Resposta: arcos 1 3 .

Problema 2. Em uma pirâmide quadrangular regular SABCD (com vértice S), a aresta lateral é igual ao lado da base. O ponto K é o meio da aresta SA. Encontre o ângulo entre os planos

Solução. A linha BC é paralela a AD e, portanto, paralela ao plano ADS. Portanto, o plano KBC cruza o plano ADS ao longo da linha reta KL paralela a BC (Fig. 54).

Arroz. 54. Para a tarefa 2

Neste caso, KL também será paralelo à linha AD; portanto, KL é a linha média do triângulo ADS e o ponto L é o ponto médio de DS.

Vamos encontrar a altura da pirâmide SO. Seja N o meio de DO. Então LN é a linha média do triângulo DOS e, portanto, LN k SO. Isso significa que LN é perpendicular ao plano ABC.

Do ponto N baixamos a perpendicular NM até a linha reta BC. A linha reta NM será a projeção do LM inclinado no plano ABC. Do teorema das três perpendiculares segue-se que LM também é perpendicular a BC.

Assim, o ângulo " = \LMN é o ângulo linear do ângulo diédrico formado pelos semiplanos KBC e ABC. Procuraremos esse ângulo no triângulo retângulo LMN.

Deixe a borda da pirâmide ser igual a a. Primeiro encontramos a altura da pirâmide:

Solução. Seja L o ponto de intersecção das linhas A1 K e AB. Então o plano A1 KC cruza o plano ABC ao longo da linha reta CL (Fig.55).

A C

Arroz. 55. Para o problema 3

Os triângulos A1 B1 K e KBL são iguais em perna e ângulo agudo. Portanto, as demais pernas são iguais: A1 B1 = BL.

Considere o triângulo ACL. Nele BA = BC = BL. O ângulo CBL é 120; portanto, \BCL = 30 . Além disso, \BCA = 60 . Portanto \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Então, LC? AC. Mas a linha AC serve como uma projeção da linha A1 C no plano ABC. Pelo teorema das três perpendiculares concluímos então que LC ? A1 C.

Assim, o ângulo A1 CA é o ângulo linear do ângulo diédrico formado pelos semiplanos A1 KC e ABC. Este é o ângulo desejado. Do triângulo retângulo isósceles A1 AC vemos que é igual a 45.

Esta lição destina-se ao estudo independente do tópico “Ângulo Diédrico”. Nesta lição, os alunos se familiarizarão com uma das formas geométricas mais importantes, o ângulo diédrico. Também na lição aprenderemos como determinar o ângulo linear da figura geométrica em questão e qual é o ângulo diédrico na base da figura.

Vamos repetir o que é um ângulo em um plano e como ele é medido.

Arroz. 1. Avião

Consideremos o plano α (Fig. 1). Do ponto SOBRE emanam dois raios - obstetra E OA.

Definição. Uma figura formada por dois raios que emanam de um ponto é chamada de ângulo.

O ângulo é medido em graus e radianos.

Vamos lembrar o que é um radiano.

Arroz. 2. Radiano

Se tivermos um ângulo central cujo comprimento do arco é igual ao raio, então esse ângulo central é chamado de ângulo de 1 radiano. ,∠ AOB= 1 rad (Fig. 2).

Relação entre radianos e graus.

alegre.

Nós entendemos, estou feliz. (). Então,

Definição. Ângulo diédrico uma figura formada por uma linha reta é chamada A e dois semiplanos com um limite comum A, não pertencendo ao mesmo plano.

Arroz. 3. Meio-planos

Consideremos dois semiplanos α e β (Fig. 3). A sua fronteira comum é A. Esta figura é chamada de ângulo diédrico.

Terminologia

Os semiplanos α e β são as faces de um ângulo diédrico.

Direto Aé uma aresta de um ângulo diédrico.

Em uma borda comum Aângulo diédrico, escolha um ponto arbitrário SOBRE(Fig. 4). No semiplano α do ponto SOBRE restaurar a perpendicular OA para uma linha reta A. Do mesmo ponto SOBRE no segundo semiplano β construímos uma perpendicular obstetra até a borda A. Tenho um ângulo AOB, que é chamado de ângulo linear do ângulo diédrico.

Arroz. 4. Medição do ângulo diédrico

Vamos provar a igualdade de todos os ângulos lineares para um determinado ângulo diédrico.

Tenhamos um ângulo diédrico (Fig. 5). Vamos escolher um ponto SOBRE e período Ó 1 em linha reta A. Vamos construir um ângulo linear correspondente ao ponto SOBRE, ou seja, desenhamos duas perpendiculares OA E obstetra nos planos α e β respectivamente até a borda A. Nós pegamos o ângulo AOB- ângulo linear do ângulo diédrico.

Arroz. 5. Ilustração da prova

Do ponto Ó 1 vamos desenhar duas perpendiculares OA 1 E OB 1 até a borda A nos planos α e β respectivamente e obtemos o segundo ângulo linear A 1 O 1 B 1.

Raios O 1 A 1 E OA codirecionais, uma vez que estão no mesmo semiplano e são paralelos entre si como duas perpendiculares à mesma linha A.

Da mesma forma, os raios Cerca de 1 em 1 E obstetra são codirigidos, o que significa ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 como ângulos com lados codirecionais, que era o que precisava ser comprovado.

O plano do ângulo linear é perpendicular à borda do ângulo diédrico.

Provar: A ⊥ AOB.

Arroz. 6. Ilustração da prova

Prova:

OA ⊥ A por construção, obstetra ⊥ A por construção (Fig. 6).

Descobrimos que a linha A perpendicular a duas linhas que se cruzam OA E obstetra fora do avião AOB, o que significa que é direto A perpendicular ao plano OAV, que era o que precisava ser comprovado.

Um ângulo diédrico é medido por seu ângulo linear. Isso significa que quantos graus radianos estão contidos em um ângulo linear, o mesmo número de graus radianos está contido em seu ângulo diédrico. De acordo com isso, os seguintes tipos de ângulos diédricos são diferenciados.

Aguda (Fig. 6)

Um ângulo diédrico é agudo se seu ângulo linear for agudo, ou seja, .

Reto (Fig. 7)

Um ângulo diédrico é correto quando seu ângulo linear é 90° - Obtuso (Fig. 8)

Um ângulo diédrico é obtuso quando seu ângulo linear é obtuso, ou seja, .

Arroz. 7. Ângulo reto

Arroz. 8. Ângulo obtuso

Exemplos de construção de ângulos lineares em figuras reais

abcD- tetraedro.

1. Construa um ângulo linear de um ângulo diédrico com uma aresta AB.

Arroz. 9. Ilustração para o problema

Construção:

Estamos falando de um ângulo diédrico formado por uma aresta AB e bordas ABD E abc(Fig. 9).

Vamos fazer um direto DN perpendicular ao plano abc, N- a base da perpendicular. Vamos desenhar uma inclinação DM perpendicular a uma linha reta AB,M- base inclinada. Pelo teorema das três perpendiculares concluímos que a projeção de uma oblíqua Novo México também perpendicular à linha AB.

Ou seja, do ponto M duas perpendiculares à borda foram restauradas AB em dois lados ABD E abc. Temos o ângulo linear DMinnesota.

notar que AB, uma aresta de um ângulo diédrico, perpendicular ao plano do ângulo linear, ou seja, o plano DMinnesota. O problema está resolvido.

Comente. O ângulo diédrico pode ser denotado da seguinte forma: Dabc, Onde

AB- borda e pontos D E COM ficam em lados diferentes do ângulo.

2. Construa um ângulo linear de um ângulo diédrico com uma aresta AC.

Vamos desenhar uma perpendicular DN para o avião abc e inclinado DN perpendicular a uma linha reta AC. Usando o teorema das três perpendiculares, descobrimos que НN- projeção oblíqua DN para o avião ABC, também perpendicular à linha AC.DNH- ângulo linear de um ângulo diédrico com uma aresta AC.

Em um tetraedro Dabc todas as arestas são iguais. Ponto M- meio da costela AC. Prove que o ângulo DVM- ângulo diédrico linear VOCÊD, ou seja, um ângulo diédrico com uma aresta AC. Uma de suas faces é ACD, segundo - DIA(Fig. 10).

Arroz. 10. Ilustração do problema

Solução:

Triângulo ADC- equilátero, DM- mediana e, portanto, altura. Significa, DM ⊥ AC. Da mesma forma, triângulo AEMC- equilátero, EMM- mediana e, portanto, altura. Significa, VM ⊥ AC.

Assim, do ponto M costelas ACângulo diédrico restaurou duas perpendiculares DM E VM a esta aresta nas faces do ângulo diédrico.

Então, ∠ DMEMé o ângulo linear do ângulo diédrico, que é o que precisava ser provado.

Então definimos o ângulo diédrico, o ângulo linear do ângulo diédrico.

Na próxima lição veremos a perpendicularidade de retas e planos, depois aprenderemos o que é um ângulo diédrico na base das figuras.

Lista de referências sobre o tema "Ângulo diédrico", "Ângulo diédrico na base de figuras geométricas"

1. Geometria. 10ª a 11ª séries: livro didático para instituições de ensino geral / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 pp.: Il.
2. Geometria. 10º ano: livro didático para instituições de ensino geral com estudo aprofundado e especializado de matemática /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6ª edição, estereótipo. - M.: Abetarda, 2008. - 233 p.: il.

1. Yaklass.ru().
2. E-science.ru().
3. Webmath.exponeta.ru().
4. Tutoronline.ru().

Trabalho de casa sobre o tema "Ângulo diédrico", determinando o ângulo diédrico na base das figuras

Geometria. 10ª a 11ª séries: livro didático para alunos de instituições de ensino geral (níveis básico e especializado) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5ª edição, corrigida e ampliada - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 pp.: il.

Tarefas 2, 3, página 67.

O que é ângulo diédrico linear? Como construí-lo?

abcD- tetraedro. Construa um ângulo linear de um ângulo diédrico com uma aresta:

A) EMD b) DCOM.

abcDA. 1 B 1 C 1 D 1 - cubo Construir ângulo linear do ângulo diédrico Um 1 ABC com costela AB. Determine sua medida de grau.

A magnitude do ângulo entre dois planos diferentes pode ser determinada para qualquer posição relativa dos planos.

Um caso trivial se os planos forem paralelos. Então o ângulo entre eles é considerado igual a zero.

Um caso não trivial se os planos se cruzarem. Este caso é objeto de discussão adicional. Primeiro precisamos do conceito de ângulo diédrico.

9.1 Ângulo diédrico

Um ângulo diédrico são dois semiplanos com uma linha reta comum (que é chamada de aresta do ângulo diédrico). Na Fig. 50 mostra um ângulo diédrico formado por semiplanos e; a aresta deste ângulo diédrico é a reta a, comum a esses semiplanos.

Arroz. 50. Ângulo diédrico

O ângulo diédrico pode ser medido em graus ou radianos em uma palavra, insira o valor angular do ângulo diédrico. Isto se faz do seguinte modo.

Na aresta do ângulo diédrico formado pelos semiplanos e, tomamos um ponto arbitrário M. Desenhemos os raios MA e MB, respectivamente situados nesses semiplanos e perpendiculares à aresta (Fig. 51).

Arroz. 51. Ângulo diédrico linear

O ângulo resultante AMB é o ângulo linear do ângulo diédrico. O ângulo " = \AMB é precisamente o valor angular do nosso ângulo diédrico.

Definição. A magnitude angular de um ângulo diédrico é a magnitude do ângulo linear de um determinado ângulo diédrico.

Todos os ângulos lineares de um ângulo diédrico são iguais entre si (afinal, eles são obtidos um do outro por um deslocamento paralelo). Portanto, esta definição está correta: o valor " não depende da escolha específica do ponto M na aresta do ângulo diédrico.

9.2 Determinando o ângulo entre os planos

Quando dois planos se cruzam, são obtidos quatro ângulos diédricos. Se todos tiverem o mesmo tamanho (90 cada), então os planos são chamados perpendiculares; O ângulo entre os planos é então 90.

Se nem todos os ângulos diédricos forem iguais (ou seja, existem dois agudos e dois obtusos), então o ângulo entre os planos é o valor do ângulo diédrico agudo (Fig. 52).

Arroz. 52. Ângulo entre planos

9.3 Exemplos de resolução de problemas

Vejamos três problemas. O primeiro é simples, o segundo e o terceiro estão aproximadamente no nível C2 do Exame Estadual Unificado em matemática.

Problema 1. Encontre o ângulo entre duas faces de um tetraedro regular.

Solução. Seja ABCD um tetraedro regular. Desenhemos as medianas AM e DM das faces correspondentes, bem como a altura do tetraedro DH (Fig. 53).

Arroz. 53. Para a tarefa 1

Sendo medianas, AM e DM também são altitudes dos triângulos equiláteros ABC e DBC. Portanto, o ângulo " = \AMD é o ângulo linear do ângulo diédrico formado pelas faces ABC e DBC. Nós o encontramos no triângulo DHM:

Resposta: arcos 1 3 .

Problema 2. Em uma pirâmide quadrangular regular SABCD (com vértice S), a aresta lateral é igual ao lado da base. O ponto K é o meio da aresta SA. Encontre o ângulo entre os planos

Solução. A linha BC é paralela a AD e, portanto, paralela ao plano ADS. Portanto, o plano KBC cruza o plano ADS ao longo da linha reta KL paralela a BC (Fig. 54).

Arroz. 54. Para a tarefa 2

Neste caso, KL também será paralelo à linha AD; portanto, KL é a linha média do triângulo ADS e o ponto L é o ponto médio de DS.

Vamos encontrar a altura da pirâmide SO. Seja N o meio de DO. Então LN é a linha média do triângulo DOS e, portanto, LN k SO. Isso significa que LN é perpendicular ao plano ABC.

Do ponto N baixamos a perpendicular NM até a linha reta BC. A linha reta NM será a projeção do LM inclinado no plano ABC. Do teorema das três perpendiculares segue-se que LM também é perpendicular a BC.

Assim, o ângulo " = \LMN é o ângulo linear do ângulo diédrico formado pelos semiplanos KBC e ABC. Procuraremos esse ângulo no triângulo retângulo LMN.

Deixe a borda da pirâmide ser igual a a. Primeiro encontramos a altura da pirâmide:

Solução. Seja L o ponto de intersecção das linhas A1 K e AB. Então o plano A1 KC cruza o plano ABC ao longo da linha reta CL (Fig.55).

A C

Arroz. 55. Para o problema 3

Os triângulos A1 B1 K e KBL são iguais em perna e ângulo agudo. Portanto, as demais pernas são iguais: A1 B1 = BL.

Considere o triângulo ACL. Nele BA = BC = BL. O ângulo CBL é 120; portanto, \BCL = 30 . Além disso, \BCA = 60 . Portanto \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Então, LC? AC. Mas a linha AC serve como uma projeção da linha A1 C no plano ABC. Pelo teorema das três perpendiculares concluímos então que LC ? A1 C.

Assim, o ângulo A1 CA é o ângulo linear do ângulo diédrico formado pelos semiplanos A1 KC e ABC. Este é o ângulo desejado. Do triângulo retângulo isósceles A1 AC vemos que é igual a 45.