ЦЕЛ:1) Да запознае учениците с понятието „уравнение с две променливи”;

2) Научете се да определяте степента на уравнение с две променливи;

3) Научете се да определяте от дадена функция коя фигура е графика

дадено уравнение;

4) Разглеждане на трансформации на графики с две променливи;

дадено уравнение с две променливи с помощта на програмата Agrapher;

6) Развийте логическото мислене на учениците.

I. Нов материал – пояснителна лекция с елементи на разговор.

(лекцията се провежда с помощта на слайдовете на автора; графиките се изчертават в програмата Agrapher)

T: Когато изучаваме линии, възникват два проблема:

Използвайки геометричните свойства на дадена права, намерете нейното уравнение;

Обратна задача: като се има предвид уравнението на права, изучете нейните геометрични свойства.

Разгледахме първата задача в курса по геометрия във връзка с окръжности и прави линии.

Днес ще разгледаме обратната задача.

Разгледайте уравнения от формата:

а) x(x-y)=4;б) 2u-x 2 =-2 ; V) x(x+y 2 ) = x +1.

са примери за уравнения с две променливи.

Уравнения с две променливи хИ при изглежда като f(x,y)=(x,y), Където fИ – изрази с променливи хИ u.

Ако в ур. x(x-y)=4заместител на мястото на променлива хстойността му е -1, а вместо това при– стойност 3, тогава ще се получи правилното равенство: 1*(-1-3)=4,

Двойка (-1; 3) стойности на променливи хИ прие решение на уравнението x(x-y)=4.

Това е решаване на уравнението с две променливи се нарича наборът от подредени двойки стойности на променливи, които образуват това уравнение в истинско равенство.

Уравненията с две променливи обикновено имат безкрайно много решения. Изключенияобразуват например уравнения като х 2 +(г 2 - 4) 2 = 0 или

2x 2 + при 2 = 0 .

Първият от тях има две решения (0; -2) и (0; 2), вторият има едно решение (0; 0).

Уравнението x 4 + y 4 +3 = 0 изобщо няма решения. Интересно е, когато стойностите на променливите в уравнението са цели числа. Чрез решаване на такива уравнения с две променливи се намират двойки цели числа. В такива случаи се казва, че уравнението е решено в цели числа.

Извикват се две уравнения, които имат еднакъв набор от решения еквивалентни уравнения. Например уравнението x(x + y 2) = x + 1 е уравнение от трета степен, тъй като може да се трансформира в уравнението xy 2 + x 2 - x-1 = 0, дясната страна на което е полином от стандартна форма от трета степен.

Степента на уравнение с две променливи, представена във формата F(x, y) = 0, където F(x, y) е полином от стандартна форма, се нарича степен на полинома F(x, y).

Ако всички решения на уравнение с две променливи се изобразят като точки в координатната равнина, ще получите графика на уравнение с две променливи.

Графикуравнение с две променливи е набор от точки, чиито координати служат като решения на това уравнение.

И така, графиката на уравнението ax + by + c = 0е права линия, ако поне един от коефициентите аили b не е равно на нула (фиг. 1). Ако a = b = c = 0, тогава графиката на това уравнение е координатна равнина (фиг. 2), ако a = b = 0, А c0, тогава графиката е празен комплект (фиг. 3).

Графика на уравнение y = a x 2 + от + cе парабола (фиг. 4), графика на уравнението xy=k (k0) – хипербола (фиг. 5). Графика на уравнение х 2 + y 2 = r, където x и y са променливи, r е положително число, е кръгс център в началото и радиус равен на r(фиг. 6). Графиката на уравнението е елипса, Където аИ b– голяма и малка полуос на елипсата (фиг. 7).

Изграждането на графики на някои уравнения се улеснява от използването на техните трансформации. Нека помислим конвертиране на графики на уравнения в две променливии формулирайте правилата, по които се извършват най-простите трансформации на графики на уравнения

1) Графиката на уравнението F (-x, y) = 0 се получава от графиката на уравнението F (x, y) = 0, като се използва симетрия спрямо оста u.

2) Графиката на уравнението F (x, -y) = 0 се получава от графиката на уравнението F (x, y) = 0 с помощта на симетрия спрямо оста х.

3) Графиката на уравнението F (-x, -y) = 0 се получава от графиката на уравнението F (x, y) = 0, като се използва централна симетрия спрямо началото.

4) Графиката на уравнението F (x-a, y) = 0 се получава от графиката на уравнението F (x, y) = 0 чрез преместване успоредно на оста x с |a| единици (вдясно, ако а> 0 и наляво ако А < 0).

5) Графиката на уравнението F (x, y-b) = 0 се получава от графиката на уравнението F (x, y) = 0 чрез преместване на |b| единици, успоредни на оста при(нагоре, ако b> 0 и надолу ако b < 0).

6) Графиката на уравнението F (ax, y) = 0 се получава от графиката на уравнението F (x, y) = 0 чрез компресиране към оста y и a пъти, ако А> 1 и чрез разтягане от оста y по пъти, ако е 0< А < 1.

7) Графиката на уравнението F (x, by) = 0 се получава от графиката на уравнението F (x, y) = 0, като се използва компресия към оста x в bпъти ако b> 1 и чрез разтягане от оста x по пъти, ако е 0 < b < 1.

Ако графиката на някое уравнение се завърти на определен ъгъл близо до началото, тогава новата графика ще бъде графиката на друго уравнение. Важни са частните случаи на завъртане под ъгли 90 0 и 45 0.

8) Графиката на уравнението F (x, y) = 0 в резултат на въртене по посока на часовниковата стрелка близо до началото на координатите под ъгъл от 90 0 се превръща в графиката на уравнението F (-y, x) = 0, и обратно на часовниковата стрелка в графиката на уравнението F (y, -x) = 0.

9) Графиката на уравнението F (x, y) = 0 в резултат на завъртане по посока на часовниковата стрелка близо до началото на координатите под ъгъл от 45 0 се превръща в графиката на уравнението F = 0 и обратно на часовниковата стрелка в графиката на уравнението F = 0.

От правилата, които разгледахме за трансформиране на графики на уравнения с две променливи, лесно се получават правила за трансформиране на графики на функции.

Пример 1. Нека покажем, че като начертаем графика на уравнението х 2 + y 2 + 2x – 8y + 8 = 0е кръг (фиг. 17).

Нека трансформираме уравнението, както следва:

1) групирайте термините, съдържащи променливата хи съдържаща променлива прии си представете всяка група членове под формата на пълен квадратен тричлен: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2*4*y + 16) + 8 – 1 – 16 = 0;

2) запишете получените тричлени като квадрат на сумата (разликата) на два израза: (x + 1) 2 + (y – 4) 2 - 9 = 0;

3) нека анализираме, съгласно правилата за трансформиране на графики на уравнения с две променливи, уравнението (x + 1) 2 + (y – 4) 2 = 3 2: графиката на това уравнение е кръг с център в точка (-1; 4) и радиус от 3 единици.

Пример 2: Нека начертаем графика на уравнението х 2 + 4у 2 = 9 .

Нека си представим 4y 2 във формата (2y) 2, получаваме уравнението x 2 + (2y) 2 = 9, чиято графика може да бъде получена от окръжността x 2 + y 2 = 9 чрез компресиране на оста x с a коефициент 2.

Начертайте окръжност с център в началото и радиус 3 единици.

Нека намалим разстоянието на всяка точка от оста X с 2 пъти и да получим графика на уравнението

x 2 + (2y) 2 = 9.

Получихме фигурата чрез компресиране на кръга до един от неговите диаметри (до диаметъра, който лежи на оста X). Тази фигура се нарича елипса (фиг. 18).

Пример 3. Нека разберем каква е графиката на уравнението x 2 - y 2 = 8.

Нека използваме формулата F= 0.

Замествайки в това уравнение вместо X и вместо Y, получаваме:

T: Каква е графиката на уравнението y = ?

D: Графиката на уравнението y = е хипербола.

U: Преобразувахме уравнението от вида x 2 - y 2 = 8 в уравнението y =.

Коя линия ще бъде графиката на това уравнение?

D: И така, графиката на уравнението x 2 - y 2 = 8 е хипербола.

U: Кои прави са асимптоти на хиперболата y = .

D: Асимптотите на хиперболата y = са правите линии y = 0 и x = 0.

U: Когато въртенето приключи, тези прави линии ще се превърнат в прави линии = 0 и = 0, тоест в прави линии y = x и y = - x. (фиг. 19).

Пример 4: Нека разберем каква форма ще приеме уравнението y = x 2 на параболата, когато се завърти около началото на координатната система на ъгъл 90 0 по часовниковата стрелка.

Използвайки формулата F (-y; x) = 0, в уравнението y = x 2 заменяме променливата x с – y, а променливата y с x. Получаваме уравнението x = (-y) 2, т.е. x = y 2 (фиг. 20).

Разгледахме примери за графики на уравнения от втора степен с две променливи и открихме, че графиките на такива уравнения могат да бъдат парабола, хипербола, елипса (по-специално кръг). Освен това графиката на уравнение от втора степен може да бъде двойка прави (пресичащи се или успоредни).Това е така нареченият изроден случай. Така че графиката на уравнението x 2 - y 2 = 0 е двойка пресичащи се прави (фиг. 21a), а графиката на уравнението x 2 - 5x + 6 + 0y = 0 е успоредни прави.

II Консолидация.

(на учениците се раздават „Инструкционни карти“ за построяване на графики на уравнения с две променливи в програмата Agrapher (Приложение 2) и карти „Практическа задача“ (Приложение 3) с формулирането на задачи 1-8. Учителят демонстрира графики на уравнения за задачи 4-5 на слайдове ).

Упражнение 1. Кои от двойките (5;4), (1;0), (-5;-4) и (-1; -) са решения на уравнението:

а) x 2 - y 2 = 0, б) x 3 - 1 = x 2 y + 6y?

Решение:

Замествайки координатите на тези точки в даденото уравнение, се убеждаваме, че нито една дадена двойка не е решение на уравнението x 2 - y 2 = 0, а решенията на уравнението x 3 - 1 = x 2 y + 6y са двойките (5;4), (1;0) и (-1; -).

125 - 1 = 100 + 24 (I)

1 - 1= 0 + 0 (I)

125 – 1 = -100 – 24 (L)

1 – 1 = - - (I)

Отговор:А); б) (5; 4), (1; 0), (-1; -).

Задача 2. Намерете решения на уравнението xy 2 - x 2 y = 12, в което стойността хе равно на 3.

Решение: 1) Заместете стойността 3 вместо X в даденото уравнение.

2) Получаваме квадратно уравнение за променливата Y, имащо формата:

3y 2 - 9y = 12.

4) Нека решим това уравнение:

3y 2 - 9y – 12 = 0

D = 81 + 144 = 225

Отговор: двойките (3;4) и (3;-1) са решения на уравнението xy 2 - x 2 y = 12

Задача 3. Определете степента на уравнението:

а) 2y 2 - 3x 3 + 4x = 2; в) (3 x 2 + x)(4x - y 2) = x;

б) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 = 0; г) (2y - x 2) 2 = x(x 2 + 4xy + 1).

Отговор: а) 3; б) 5; на 4; г) 4.

Задача 4. Коя фигура е графиката на уравнението:

а) 2x = 5 + 3y; б) 6 x 2 - 5x = y – 1; в) 2(x + 1) = x 2 - y;

г) (x - 1,5)(x - 4) = 0; д) xy – 1,2 = 0; д) x 2 + y 2 = 9.

Задача 5. Напишете уравнение, чиято графика е симетрична на графиката на уравнението x 2 - xy + 3 = 0 (фиг. 24) по отношение на: а) ос х; б) оси при; в) права y = x; г) права линия y = -x.

Задача 6. Съставете уравнение, чиято графика се получава чрез разтягане на графиката на уравнението y = x 2 -3 (фиг. 25):

а) от оста x 2 пъти; б) от оста y 3 пъти.

Проверете с програмата Agrapher дали задачата е изпълнена правилно.

Отговор: а)y - x 2 + 3 = 0 (фиг. 25а); b) y-(x) 2 + 3 = 0 (фиг. 25b).

б) линиите са успоредни, движещи се успоредно на оста x 1 единица надясно и успоредно на оста y 3 единици надолу (фиг. 26b);

в) прави линии се пресичат, симетрично показване спрямо оста x (фиг. 26в);

г) прави линии се пресичат, симетрично показване спрямо оста y (фиг. 26d);

д) линиите са успоредни, симетрично показване спрямо началото (фиг. 26д);

д) пресичане на прави линии, завъртане около началото на 90 по часовниковата стрелка и симетрично показване спрямо оста x (фиг. 26f).

III. Самостоятелна възпитателна работа.

(на учениците се дават карти „Самостоятелна работа“ и „Таблица за отчитане на резултатите от самостоятелната работа“, в която учениците записват отговорите си и след самопроверка оценяват работата според предложената схема) Приложение 4 ..

I. вариант.

а) 5x 3 -3x 2 y 2 + 8 = 0; б) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 = 2 (x + y).

а) x 3 + y 3 -5x 2 = 0; б) x 4 +4x 3 y +6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 = 1.

x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0.

а) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;

б) x 2 -y 2 = 1;

в) х - у 2 = 9.

x 2 - 2x + y 2 - 4y = 20.

Посочете координатите на центъра на кръга и неговия радиус.

6. Как трябва да се премести хиперболата y = в координатната равнина, така че нейното уравнение да приеме вида x 2 - y 2 = 16?

Проверете отговора си, като начертаете графика с помощта на Agrapher.

7. Как трябва да се премести параболата y = x 2 в координатната равнина, така че нейното уравнение да приеме формата x = y 2 - 1

Вариант II.

1. Определете степента на уравнението:

а)3xy = (y-x 3)(x 2 +y); б) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 = 0.

2. Двойката числа (-2;3) решение ли е на уравнението:

а) x 2 -y 2 -3x = 1; б) 8x 3 + 12x 2 y + 6xy 2 + y 3 = -1.

3. Намерете множеството решения на уравнението:

x 2 + y 2 -2x – 8y + 17 = 0.

4. Какъв вид крива (хипербола, кръг, парабола) е набор от точки, ако уравнението на тази крива има формата:

а) (x-2) 2 + (y + 2) 2 =9

б) у 2 - х 2 =1

в) x = y 2 - 1.

(проверете с програмата Agrapher дали задачата е изпълнена правилно)

5. С помощта на програмата Agrapher начертайте уравнението:

x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.

6. Как трябва да се премести хиперболата y = в координатната равнина, така че нейното уравнение да приеме вида x 2 - y 2 = 28?

7. Как трябва да се премести параболата y = x 2 в координатната равнина, така че нейното уравнение да приеме вида x = y 2 + 9.

Знаете, че всяка подредена двойка числа отговаря на определена точка от координатната равнина. Тъй като всяко решение на уравнение с две променливи x и y е подредена двойка числа, всички негови решения могат да бъдат представени чрез точки в координатната равнина. В тези точки абсцисата е стойността на променливата x, а ординатата е съответната стойност на променливата y. Следователно получаваме графика на уравнение с две променливи.

Помня!

Графиката на уравнение с две променливи е изображението в координатната равнина на всички точки, чиито координати удовлетворяват даденото уравнение.

Погледнете Фигури 64 и 65. Виждате графика на уравнението 0,5 x - y = 2, където x е четно едноцифрено число (Фигура 64), и графика на уравнението x 2 + y 2 = 4 (Фигура 65). Първата графика съдържа само четири точки, тъй като променливите x и y могат да приемат само четири стойности. Втората графика е права в координатната равнина. Той съдържа много точки, тъй като променливата x може да приеме произволна стойност от -2 до 2 и има много такива числа. Има и много съответстващи стойности. Те варират от 2 до 2.

Фигура 66 показва графиката на уравнението x + y = 4. За разлика от графиката на уравнението x 2 + y 2 = 4 (вижте фиг. 65), всяка абсцисна точка на тази графика съответства на една ордината. Това означава, че фигура 66 показва графиката на функцията. Убедете се, че графиката на уравнението на Фигура 64 също е графика на функция.

Забележка

Не всяко уравнение има графика на функция, но всяка графика на функция е графика на някакво уравнение.

Уравнението x + y = 4 е линейно уравнение с две променливи. След като го решим за y, получаваме: y = -x + 4. Полученото равенство може да се разбира като формула, която определя линейната функция y = -x + 4. Графиката на такава функция е права линия. И така, графиката на линейното уравнение x + y = 4, което е показано на фигура 66, е права линия.

Можем ли да кажем, че графиката на всяко линейно уравнение с две променливи е права линия? Не. Например линейното уравнение 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 е изпълнено от всяка двойка числа и следователно графиката на това уравнение съдържа всички точки от координатната равнина.

Нека да разберем каква е графиката на линейно уравнение с две променливи ax + bу + c = 0 в зависимост от стойностите на коефициентите a, b и c. Такива случаи са възможни.

Нека a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0. Тогава уравнението ax + by + c = 0 може да бъде представено като:

Получихме равенство, определящо линейната функция y(x). Неговата графика, а следователно и графиката на това уравнение, е права линия, която не минава през началото на координатите (фиг. 67).

2. Нека a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0. Тогава уравнението ax + by + c = 0 приема формата ax + by + 0 = 0 или y = x.

Получихме равенство, което определя пряка пропорционалност на y(x). Неговата графика, а следователно и графиката на това уравнение, е права линия, минаваща през началото на координатите (фиг. 68).

3. Нека a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0. Тогава уравнението ax + by + c = 0 приема формата ax + 0 ∙ y + c = 0 или x = -.

Полученото равенство не посочва функцията y(). Това равенство се изпълнява от такива двойки числа (x; y), в които x = , а y е произволно число. В координатната равнина тези точки лежат на права линия, успоредна на оста OY. И така, графиката на това уравнение е права линия, успоредна на ординатната ос (фиг. 69).

4. Нека a ≠ 0, b = 0, c = 0. Тогава уравнението ax + by + c = 0 приема формата ax + 0 ∙ y + 0 = 0 или x = 0.

Това равенство се изпълнява от такива двойки числа (x; y), в които x = 0, а y е произволно число. В координатната равнина тези точки лежат на оста OY. И така, графиката на това уравнение е права линия, съвпадаща с ординатната ос.

5. Нека a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠0. Тогава уравнението ax + bу + c = 0 приема формата 0 ∙ x + by + c = 0, или y = -. Това равенство дефинира функция y(x), която приема едни и същи стойности за всякакви стойности на x, тоест тя е постоянна. Неговата графика, а следователно и графиката на това уравнение, е права линия, успоредна на абсцисната ос (фиг. 70).

6. Нека a = 0, b ≠ 0, c = 0. Тогава уравнението ax + by + c = 0 приема формата 0 ∙ x + by + 0 = 0 или b = 0. Получихме постоянна функция y( x), в който всяка точка от графиката лежи на оста OX. И така, графиката на това уравнение е права линия, съвпадаща с абсцисната ос.

7. Нека a = 0, b = 0, c ≠ 0. Тогава уравнението ax + by + c = 0 приема формата 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0 или 0 ∙ x + 0 ∙ b = c . И такова линейно уравнение няма решения, така че неговата графика не съдържа нито една точка в координатната равнина.

8. Нека a = 0, b = 0, c = 0. Тогава уравнението ax + by + c = 0 приема формата 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0 или 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 Такова линейно уравнение има много решения, така че неговата графика е цялата координатна равнина.

Можем да обобщим получените резултати.

Графика на линейно уравнение с две променливи ax + bу + с = 0:

Права е, ако a ≠ 0 или b ≠ 0;

Е цялата равнина, ако a = 0, b = 0 и c = 0;

Не съдържа нито една точка от координатната равнина, ако a = 0, b = 0 и c ≠ 0.

Задача. Начертайте графика на уравнението 2x - y - 3 = 0

Решения. Уравнението 2x - y - 3 = 0 е линейно. Следователно нейната графика е линията y = 2x - 3. За да я построите, е достатъчно да посочите две точки, принадлежащи на тази линия. Нека направим таблица с y стойности за две произволни стойности на x, например за x = 0 и x = 2 (Таблица 27).

Таблица 27

На координатната равнина обозначаваме точки с координати (0; -3) и (2; 1) и начертаваме права линия през тях (фиг. 70). Тази права линия е желаната графика на уравнението 2x - y - 3 = 0.

Възможно ли е да се идентифицира графиката на линейно уравнение с две променливи и графиката на уравнение от първа степен с две променливи? Не, защото има линейни уравнения, които не са уравнения от първа степен. Например това са уравненията 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0, 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0.

Забележка:

Графиката на линейно уравнение с две променливи може да бъде права линия, цялата равнина или да не съдържа нито една точка в координатната равнина;

Графиката на уравнение от първа степен с две променливи винаги е права.

Открийте повече

1. Нека a ≠ 0. Тогава общото решение на уравнението може да се представи и в следния вид: X = - y -. Получихме линейна функция x(y). Графиката му е права линия. За да се изгради такава графика, е необходимо да се комбинират координатните оси по различен начин: първата координатна ос (независима променлива) се счита за оста на операционния усилвател, а втората (зависима променлива)

OX ос. Тогава е удобно да позиционирате оста OU хоризонтално, а оста OX

Вертикално (фиг. 72). Графиката на уравнението в този случай също ще бъде разположена различно върху координатната равнина в зависимост от означенията на коефициентите b и c. Разгледайте го сами.

2. Николай Николаевич Боголюбов (1909-1992) - изключителен местен математик и механик, теоретичен физик, основател на научни школи по нелинейна механика и теоретична физика, академик на Академията на науките на Украинската ССР (1948) и Академията на науките на СССР (от 1953 г.). Роден в Нижни Новгород, Руската империя. През 1921 г. семейството се премества в Киев. След като завършва седемгодишно училище, Боголюбов самостоятелно изучава физика и математика и от 14-годишна възраст вече участва в семинар в катедрата по математическа физика на Киевския университет под ръководството на академик Д. А. Граве. През 1924 г., на 15-годишна възраст, Боголюбов пише първата си научна работа, а на следващата година е приет в аспирантурата на ANURSR от академици. М. Крилов, който завършва през 1929 г., като получава докторска степен по математически науки на 20-годишна възраст.

През 1929 p. ММ. Боголюбов става научен сътрудник в Украинската академия на науките, а през 1934 г. започва да преподава в Киевския университет (от 1936 г. - професор). От края на 40-те години на ХХ век. В същото време работи в Русия. Бил е директор на Обединения институт за ядрени изследвания, а по-късно - директор на Математическия институт на името на. А. Стеклов в Москва, преподава в Московския държавен университет на името на Михаил Ломоносов. През 1966 г. той става първият директор на създадения от него Институт по теоретична физика на Украинската академия на науките в Киев и същевременно (1963-1988 г.) е академик и секретар на отдела по математика на Академия на науките на СССР.

ММ. Боголюбов - два пъти Герой на социалистическия труд (1969,1979), лауреат на Ленинска награда (1958), Държавна награда на СССР (1947,1953,1984), златен медал. М. В. Ломоносов Академия на науките на СССР (1985).

На 21 септември 2009 г. на фасадата на Червената сграда на Киевския национален университет „Тарас Шевченко“ беше открита паметна плоча на брилянтния академик Николай Боголюбов в чест на стогодишнината от рождението му.

През 1992 г. Националната академия на науките на Украйна учреди наградата Н. М. Боголюбов на НАН на Украйна, която се присъжда от Департамента по математика на НАН на Украйна за изключителна научна работа в областта на математиката и теоретичната физика. Малката планета "22616 Боголюбов" е кръстена в чест на учения.

ЗАПОМНЕТЕ ВАЖНОТО

1. Каква е графиката на линейно уравнение с две променливи?

2. Във всеки случай графиката на уравнение с две променливи е права линия; самолет?

3. В какъв случай графиката на линейно уравнение с две променливи минава през началото?

РЕШАВАМ ПРОБЛЕМИ

1078 . Коя от фигури 73-74 показва графиката на линейно уравнение с две променливи? Обяснете отговора си.

1079 . При какви стойности на коефициентите a, b и c е правата ax + bу + c = 0.

1) преминава през произхода;

2) успоредна на оста x;

3) успоредна на ординатната ос;

4) съвпада с абсцисната ос;

5) съвпада с ординатната ос?

1080 . Без да извършвате конструкция, определете дали точката принадлежи на графиката на линейно уравнение с две променливи 6x - 2y + 1 = 0:

1)A(-1;2,5); 2)B(0;3,5); 3) С(-2; 5,5); 4)D(1,5;5).

1081 . Без да извършвате конструкция, определете дали точката принадлежи на графиката на линейно уравнение с две променливи 3x + 3y - 5 = 0:

1) A (-1; ); 2) B (0; 1).

1082

1) 2x + y - 4 = 0, ако x = 0; 3) 3x + 3y - 1 = 0, ако x = 2;

2) 4x - 2y + 5 = 0, ако x = 0; 4) -5x - y + 6 = 0, ако x = 2.

1083 . Дадено е линейно уравнение с две променливи, намерете стойността на y, съответстваща на дадената стойност на x:

1)3x - y + 2 = 0, ако x = 0; 2) 6x - 5y - 7 = 0, ако x = 2.

1084

1) 2x + y - 4 = 0; 4) -x + 2y + 8 = 0; 7) 5x - 10 = 0;

2) 6x - 2y + 12 = 0; 5)-x - 2y + 4 = 0; 8)-2у + 4 = 0;

3) 5x - 10y = 0; 6)x - y = 0; 9) x - y = 0.

1085 . Начертайте графика на линейно уравнение с две променливи:

1) 4x + y - 3 = 0; 4) 10x - 5y - 1 = 0;

2) 9x - 3y + 12 = 0; 5) 2x + 6 = 0;

3) -4x - 8y = 0; 6) y - 3 = 0.

1086 . Намерете координатите на пресечната точка на графиката на линейно уравнение с две променливи 2x - 3y - 18 = 0 с оста:

1) оси; 2) оси.

1087 . Намерете координатите на пресечната точка на графиката на линейно уравнение с две променливи 5x + 4y - 20 = 0 с оста:

1) оси; 2) оси.

1088 . На правата линия, която е графиката на уравнението 0,5 x + 2y - 4 = 0, е отбелязана точка. Намерете ординатата на тази точка, ако нейната абциса е:

5) 4(x - y) = 4 - 4y;

6) 7x - 2y = 2(1 + 3,5 x).

1094 . Графиката на линейно уравнение с две променливи минава през точка A(3; -2). Намерете неизвестния коефициент на уравнението:

1) ax + 3y - 3 = 0;

2) 2x - с + 8 = 0;

3)-x + 3y - c = 0.

1095 . Определете вида на четириъгълника, чиито върхове са пресечните точки на графиките на уравненията:

x - y + 4 = 0, x - y - 4 = 0, -x - y + 4 = 0, -x - y - 4 = 0

1096 . Начертайте уравнението:

1) a - 4b + 1 = 0; 3) 3a + 0 ∙ b - 12 = 0;

2) 0 ∙ a + 2b + 6 = 0; 4) 0 ∙ a + 0 ∙ b + 5 = 0.

ПРИЛОЖЕТЕ ГО НА ПРАКТИКА

1097 . Създайте линейно уравнение с две променливи въз основа на следните данни: 1) 3 кг сладки и 2 кг бисквитки струват 120 UAH; 2) 2 химикалки са с 20 UAH по-скъпи от 5 молива. Начертайте графика на уравнението, което сте създали.

1098 . Постройте графика на уравнението за задачата за: 1) броя на момичетата и момчетата във вашия клас; 2) закупуване на тетрадки с линии и каре.

ПРОБЛЕМИ С ПРЕГЛЕД

1099. Турист изминал 12 км за час. За колко часа един турист ще измине разстояние от 20 км със същата скорост?

1100. Каква трябва да бъде скоростта на влака по новото разписание, за да може да измине разстоянието между две гари за 2,5 часа, ако по старото разписание, движейки се със скорост 100 км/ч, го е изминал за 3 часа. часа?

§ 1 Избор на корени на уравнение в реални ситуации

Нека разгледаме тази реална ситуация:

Майсторът и чиракът заедно направиха 400 части по поръчка. Освен това майсторът е работил 3 дни, а ученикът 2 дни. Колко части е направил всеки човек?

Нека създадем алгебричен модел на тази ситуация. Оставете майстора да произвежда части за 1 ден. И ученикът е в детайлите. Тогава майсторът ще направи 3 части за 3 дни, а ученикът ще направи 2 части за 2 дни. Заедно те ще произведат 3 + 2 части. Тъй като според условието са произведени общо 400 части, получаваме уравнението:

Полученото уравнение се нарича линейно уравнение с две променливи. Тук трябва да намерим двойка числа x и y, за които уравнението ще приеме формата на истинско числово равенство. Обърнете внимание, че ако x = 90, y = 65, тогава получаваме равенството:

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

Тъй като е получено правилното числово равенство, двойката числа 90 и 65 ще бъде решение на това уравнение. Но намереното решение не е единственото. Ако x = 96 и y = 56, тогава получаваме равенството:

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

Това също е истинско числово равенство, което означава, че двойката числа 96 и 56 също е решение на това уравнение. Но двойка числа x = 73 и y = 23 няма да бъде решение на това уравнение. Всъщност 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 ще ни даде неправилното числено равенство 265 = 400. Трябва да се отбележи, че ако разгледаме уравнението във връзка с тази реална ситуация, тогава ще има двойки числа, които, бидейки решение на това уравнение, няма да бъде решение на проблема. Например няколко числа:

x = 200 и y = -100

е решение на уравнението, но ученикът не може да направи -100 части и следователно такава двойка числа не може да бъде отговорът на въпроса на задачата. По този начин във всяка конкретна реална ситуация е необходимо да се подходи разумно към избора на корените на уравнението.

Нека обобщим първите резултати:

Уравнение от вида ax + bу + c = 0, където a, b, c са произволни числа, се нарича линейно уравнение с две променливи.

Решението на линейно уравнение с две променливи е двойка числа, съответстващи на x и y, за които уравнението се превръща в истинско числово равенство.

§ 2 Графика на линейно уравнение

Самото записване на двойката (x;y) ни навежда на мисълта за възможността да я изобразим като точка с координати xy y върху равнина. Това означава, че можем да получим геометричен модел на конкретна ситуация. Например, разгледайте уравнението:

2x + y - 4 = 0

Нека изберем няколко двойки числа, които ще бъдат решения на това уравнение и построим точки с намерените координати. Нека това са точки:

A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).

Обърнете внимание, че всички точки лежат на една права. Тази линия се нарича графика на линейно уравнение с две променливи. Това е графичен (или геометричен) модел на дадено уравнение.

Ако двойка числа (x;y) е решение на уравнението

ax + vy + c = 0, тогава точката M(x;y) принадлежи на графиката на уравнението. Можем да кажем обратното: ако точката M(x;y) принадлежи на графиката на уравнението ax + y + c = 0, тогава двойката числа (x;y) е решение на това уравнение.

От курса по геометрия знаем:

За да построите права линия, имате нужда от 2 точки, така че за да начертаете графика на линейно уравнение с две променливи, е достатъчно да знаете само 2 двойки решения. Но отгатването на корените не винаги е удобна или рационална процедура. Можете да действате според друго правило. Тъй като абсцисата на точка (променлива x) е независима променлива, можете да й дадете всяка удобна стойност. Замествайки това число в уравнението, намираме стойността на променливата y.

Например, нека е дадено уравнението:

Нека x = 0, тогава получаваме 0 - y + 1 = 0 или y = 1. Това означава, че ако x = 0, тогава y = 1. Двойка числа (0;1) е решението на това уравнение. Нека зададем друга стойност за променливата x: x = 2. Тогава получаваме 2 - y + 1 = 0 или y = 3. Двойката числа (2;3) също е решение на това уравнение. Използвайки двете намерени точки, вече е възможно да се построи графика на уравнението x - y + 1 = 0.

Можете да направите това: първо присвоете някаква конкретна стойност на променливата y и едва след това изчислете стойността на x.

§ 3 Система от уравнения

Намерете две естествени числа, чиято сума е 11, а разликата е 1.

За да разрешим този проблем, първо създаваме математически модел (а именно алгебричен). Нека първото число е x, а второто число y. Тогава сборът на числата x + y = 11 и разликата на числата x - y = 1. Тъй като и двете уравнения се занимават с едни и същи числа, тези условия трябва да бъдат изпълнени едновременно. Обикновено в такива случаи се използва специален запис. Уравненията са написани едно под друго и са комбинирани с къдрава скоба.

Такъв запис се нарича система от уравнения.

Сега нека конструираме набори от решения на всяко уравнение, т.е. графики на всяко от уравненията. Нека вземем първото уравнение:

Ако x = 4, тогава y = 7. Ако x = 9, тогава y = 2.

Нека начертаем права линия през точки (4;7) и (9;2).

Нека вземем второто уравнение x - y = 1. Ако x = 5, тогава y = 4. Ако x = 7, тогава y = 6. Начертаваме също права линия през точките (5;4) и (7;6 ). Получихме геометричен модел на проблема. Двойката числа, която ни интересува (x;y), трябва да бъде решение и на двете уравнения. На фигурата виждаме една точка, която лежи на двете прави; това е пресечната точка на линиите.

Координатите му са (6;5). Следователно решението на проблема ще бъде: първото изисквано число е 6, второто е 5.

Списък на използваната литература:

1. Мордкович А.Г., Алгебра 7 клас в 2 части, Част 1, Учебник за общообразователните институции / А.Г. Мордкович. – 10 изд., преработено – Москва, „Мнемозина”, 2007 г
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 клас в 2 части, Част 2, Проблемник за учебни заведения / [А.Г. Мордкович и др.]; редактиран от A.G. Мордкович - 10 издание, преработено - Москва, “Мнемозина”, 2007 г.
3. НЕЯ. Тулчинская, Алгебра 7 клас. Блиц анкета: наръчник за ученици от общообразователни институции, 4-то издание, преработено и разширено, Москва, "Мнемозина", 2008 г.
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 клас. Тематични тестове в нова форма за ученици от общообразователни институции, редактирани от A.G. Мордкович, Москва, "Мнемозина", 2011 г
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 клас. Самостоятелни работи за ученици от общообразователни институции, под редакцията на A.G. Мордкович - 6-то издание, стереотипно, Москва, "Мнемозина", 2010 г.

Предмет:Линейна функция

Урок:Линейно уравнение с две променливи и неговата графика

Запознахме се с понятията координатна ос и координатна равнина. Знаем, че всяка точка на равнината еднозначно определя двойка числа (x; y), като първото число е абсцисата на точката, а второто е ординатата.

Много често ще срещнем линейно уравнение с две променливи, чието решение е двойка числа, които могат да бъдат представени в координатната равнина.

Уравнение от формата:

Където a, b, c са числа и

Нарича се линейно уравнение с две променливи x и y. Решението на такова уравнение ще бъде всяка такава двойка числа x и y, замествайки която в уравнението, ще получим правилното числово равенство.

Двойка числа ще бъде изобразена на координатната равнина като точка.

За такива уравнения ще видим много решения, тоест много двойки числа и всички съответстващи точки ще лежат на една и съща права линия.

Да разгледаме един пример:

За да намерите решения на това уравнение, трябва да изберете съответните двойки числа x и y:

Нека , тогава първоначалното уравнение се превръща в уравнение с едно неизвестно:

,

Тоест, първата двойка числа, която е решение на дадено уравнение (0; 3). Имаме точка A(0; 3)

Позволявам . Получаваме оригиналното уравнение с една променлива: , от тук получаваме точка B(3; 0)

Нека поставим двойките числа в таблицата:

Нека начертаем точки на графиката и начертаем права линия:

Обърнете внимание, че всяка точка от дадена линия ще бъде решение на даденото уравнение. Да проверим – вземете точка с координата и с помощта на графиката намерете нейната втора координата. Очевидно е, че в този момент. Нека заместим тази двойка числа в уравнението. Получаваме 0=0 - правилно числено равенство, което означава, че точка, лежаща на права, е решение.

Засега не можем да докажем, че всяка точка, лежаща на построената права, е решение на уравнението, така че приемаме това за вярно и ще го докажем по-късно.

Пример 2 - начертайте графика на уравнението:

Нека направим таблица; имаме нужда само от две точки, за да построим права линия, но ще вземем трета за контрол:

В първата колона взехме удобна, ще я намерим от:

, ,

Във втората колона взехме удобна, нека намерим x:

, , ,

Нека проверим и намерим:

, ,

Нека изградим графика:

Нека умножим даденото уравнение по две:

От такава трансформация наборът от решения няма да се промени и графиката ще остане същата.

Заключение: научихме се да решаваме уравнения с две променливи и да изграждаме техните графики, научихме, че графиката на такова уравнение е права линия и че всяка точка от тази права е решение на уравнението

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г

2. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: VENTANA-GRAF

3. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др.Алгебра 7.М.: Просвещение. 2006 г

2. Портал за семейно гледане ().

Задача 1: Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, No 960, чл.210;

Задача 2: Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, No 961, чл.210;

Задача 3: Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, No 962, чл.210;

"Линейно уравнение с две променливи и неговата графика."

Цели на урока:

да развият у учениците способността да конструират графики на линейно уравнение с две променливи, да решават задачи с помощта на две променливи при съставяне на математически модел;

развиват когнитивните умения на учениците, критичното и творческо мислене; подхранване на познавателен интерес към математиката, постоянство и решителност в ученето.

Задачи:

въведе понятието линейно уравнение като математически модел на реална ситуация;

научи как да определя линейно уравнение и неговите коефициенти по вид;

учат да използват дадена стойност x, за да намерят съответната стойност y и обратно;

въведе алгоритъм за изграждане на графика на линейно уравнение и научи как да го прилага на практика;

научите как да съставите линейно уравнение като математически модел на проблем.

В допълнение към ИКТ технологиите, урокът използва проблемно-базирано обучение, елементи на развиващото обучение и технология за групово взаимодействие.

Тип урок: урок за развитие на умения и способности.

аз Организационен етап. Слайд 1.

Проверка на готовността на учениците за урока, съобщаване на темата, целите и задачите на урока.

II. Устна работа.

1. Слайд 2. От предложените уравнения изберете линейно уравнение с две променливи:

A) 3x – y = 14

B) 5y + x² = 16

B) 7xy – 5y = 12

D) 5x + 2y = 16

Отговор: a, d.

Допълнителен въпрос: Кое уравнение с две променливи се нарича линейно? Слайд 3.

Отговор: ah + wu + c = 0.

Слайд 4. Работа върху понятието линейно уравнение с примери (устна работа).

Слайд 5-6. Назовете коефициентите на линейно уравнение.

2. Слайд 7. Изберете точка, която принадлежи на графиката на уравнението 2x + 5y = 12

A(-1; -2), B(2; 1), C(4; -4), D (11; -2).

Отговор: D (11; -2).

Бонус въпрос: Каква е графиката на уравнение с две променливи? Слайд 8.

Отговор: директен.

3. Слайд 9. Намерете абсцисата на точката M(x; -2), принадлежаща на графиката на уравнението 12x – 9y = 30.

Отговор: x = 1.

Допълнителен въпрос: Какво се нарича решаване на уравнение с две променливи? Слайд 10.

Отговор: Решение на уравнение с две променливи е двойка стойности на променливите, която превръща уравнението в истинско равенство.

4.Слайд 11.

1. На коя фигура графиката на линейна функция има положителен наклон?
2. На коя картинка графиката на линейна функция има отрицателен наклон?
3. Коя графика на функция не сме изучавали?

5. Слайд 12. Назовете цифровия интервал, съответстващ на геометричния модел:

А). (-6; 8) B). (-6; 8] V).[- 6; 8) G).[-6;8]

х

-6 8

III. Поставяне на целта на урока.

Днес в урока ще консолидираме способността да изграждаме графики на линейно уравнение с две променливи, да решаваме задачи с помощта на две променливи при изготвяне на математически модел (необходимостта да се състави линейно уравнение за решаване на задача с две неизвестни).

Опитайте се да бъдете постоянни и целеустремени при изпълнението на задачите.

IV. Консолидация. Слайд 13.

Задача. От градовете A и B, разстоянието между които е 500 km, са тръгнали два влака един към друг, всеки със своя постоянна скорост. Известно е, че първият влак е тръгнал 2 часа по-рано от втория. 3 часа след тръгването на втория влак те се срещнаха. Какви са скоростите на влаковете?Създайте математически модел за проблема и намерете две решения.

Слайд 14. (Изготвяне на математически модел на задачата). Демонстрация на съставяне на математически модел .

Какво е решението на линейно уравнение с две променливи?

Учителят задава въпроса: колко решения има линейно уравнение с две променливи? Отговор: безкрайно много.

Учител: как можете да намерите решения на линейно уравнение с две променливи? Отговор: изберете.

Учител: Кой е най-лесният начин за намиране на решения на уравнението?

Отговор: изберете една променлива, например x, и намерете друга от уравнението - y.

Слайд 15.

- Проверете дали следните двойки стойности решават уравнението.

Задача.

Слайд 16.

Двама трактористи изораха заедно 678 хектара. Първият тракторист е работил 8 дни, а вторият 11 дни. Колко хектара е изоравал всеки тракторист на ден? Напишете линейно уравнение с две променливи за задачата и намерете 2 решения.

Слайд 17-18.

Какво се нарича графика на уравнение с две променливи? Разгледайте различни случаи.

Слад 19. Алгоритъм за начертаване на линейна функция.

Слайд 20. (устен) Разгледайте пример за начертаване на линейно уравнение с две променливи.

V. Работа по учебника.

Слайд 21. Графика на уравнението:

страница 269

I вариант № 1206 (б)

II вариант № 1206 (c)

VI. Самостоятелна работа. Слайд 22.

Опция 1.

1. Кои от двойките числа (1;1), (6;5), (9;11) са решението на уравнението 5x – 4y - 1 =0?

2. Начертайте графика на функцията 2x + y = 4.

Вариант 2.

Кои от двойките числа (1;1), (1;2), (3;7) са решението на уравнението 7x – 3y - 1 =0?

Начертайте графика на функцията 5x + y – 4 = 0.

(Последван от проверка, проверете слайд 23-25)

VII. Консолидация. Слайд 26.

Изградете го правилно.(Задача за всички ученици от класа). Конструирайте въпросното цвете с помощта на линии:

Известни са около 120 вида от тези цветя, разпространени предимно в Централна, Източна и Южна Азия и Южна Европа.

Ботаниците смятат, че тази култура произхожда от Турция през 12 в. Растението придоби световна слава далеч от родината си, в Холандия, с право наречена Страната на тези цветя.

Мотиви от тези цветове често се срещат върху различни художествено изработени продукти (и бижута).

Ето и легендата за това цвете.

Щастието се съдържаше в златната пъпка на жълто цвете. Никой не можеше да достигне това щастие, защото нямаше такава сила, която да отвори пъпката му.

Но един ден през поляната вървяла жена с дете. Момчето избяга от ръцете на майка си, изтича до цветето със звънлив смях и златната пъпка се отвори. Безгрижният детски смях постигна това, което никаква сила не можеше да направи. Оттогава стана обичай тези цветя да се дават само на онези, които се чувстват щастливи.

Необходимо е да се построят графики на функции и да се избере тази част от тях, за точките на които е валидно съответното неравенство:

y = x + 6,

4 < х < 6;

y = -x + 6,

6 < х < -4;

y = - 1/3 x + 10,

6 < х < -3;

y = 1/3 x +10,

3 < х < 6;

y = -x + 14,

0 < х < 3;

y = x + 14,

3 < х < 0;

y = 5 х – 10,

2 < х < 4;

y = - 5 х – 10,

4 < х < -2;

y = 0,

2 < х < 2.

Получихме рисунка - ЛАЛЕ. Слайд 27.

VIII. Отражение. Слайд 28.

IX. Домашна работа. Слайд 29.

С.43, № 1206 (g-f), 1208 (g-f), 1214