Урок „Двустенен ъгъл. Двустенни ъгли и формула за изчисляването им. Двустенен ъгъл в основата на четириъгълна правилна пирамида

Целта на урока: въвеждане на понятието двустенен ъгъл и неговия линеен ъгъл.

Задачи:

Образователни: разглеждат задачи за прилагането на тези понятия, развиват конструктивното умение за намиране на ъгъла между равнините;

Развитие: развитие на творческото мислене на учениците, личностно саморазвитие на учениците, развитие на речта на учениците;

Образователни: възпитаване на култура на умствения труд, комуникативна култура, рефлексивна култура.

Тип урок: урок за усвояване на нови знания

Методи на обучение: обяснителни и илюстративни

Оборудване: компютър, интерактивна дъска.

Литература:

Геометрия. 10-11 клас: учебник. за 10-11 клас. общо образование институции: основни и профилни. нива / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.] - 18 изд. – М.: Образование, 2009. – 255 с.

План на урока:

Организационен момент (2 мин.)

Актуализиране на знанията (5 мин.)

Научаване на нов материал (12 минути)

Затвърдяване на научения материал (21 мин.)

Домашна работа (2 мин.)

Обобщаване (3 мин.)

По време на часовете:

1. Организационен момент.

Включва поздрав от учителя към класа, подготовка на стаята за урока и проверка на отсъстващите.

2. Актуализиране на основни знания.

Учител: В последния урок написахте самостоятелна работа. Като цяло работата е написана добре. Сега нека го повторим малко. Как се нарича ъгъл в равнина?

Студент: Ъгъл в равнина е фигура, образувана от два лъча, излизащи от една точка.

Учител: Как се нарича ъгълът между правите в пространството?

Студент: Ъгълът между две пресичащи се прави в пространството е най-малкият от ъглите, образувани от лъчите на тези прави с върха в точката на тяхното пресичане.

Студент: Ъгълът между пресичащите се линии е ъгълът между пресичащите се линии, съответно успоредни на данните.

Учител: Как се нарича ъгълът между права и равнина?

Студент: Ъгълът между права и равнинаВсеки ъгъл между права линия и нейната проекция върху тази равнина се нарича.

3. Изучаване на нов материал.

Учител: В стереометрията, наред с такива ъгли, се разглежда и друг вид ъгли - двустенни ъгли. Вероятно вече се досещате каква е темата на днешния урок, така че отворете тетрадките си, запишете днешната дата и темата на урока.

Напишете на дъската и в тетрадките:

10.12.14.

Двустенен ъгъл.

Учител : За да се въведе концепцията за двустенен ъгъл, трябва да се припомни, че всяка права линия, начертана в дадена равнина, разделя тази равнина на две полуравнини(фиг. 1, а)

Учител : Да си представим, че сме огънали равнината по права линия, така че две полуравнини с граница вече не лежат в една и съща равнина (фиг. 1, b). Получената фигура е двустенният ъгъл. Двустенният ъгъл е фигура, образувана от права линия и две полуравнини с обща граница, които не принадлежат на една и съща равнина. Полуравнините, образуващи двустенен ъгъл, се наричат ​​негови лица. Двустенният ъгъл има две страни, откъдето идва и името двустенен ъгъл. Правата - общата граница на полуравнините - се нарича ръб на двустенния ъгъл. Запишете определението в тетрадката си.

Двустенният ъгъл е фигура, образувана от права линия и две полуравнини с обща граница, които не принадлежат на една и съща равнина.

Учител : В ежедневието често срещаме предмети, които имат формата на двустенен ъгъл. Дай примери.

Студент : Полуотворена папка.

Студент : Стената на стаята е заедно с пода.

Студент : Двускатни покриви на сгради.

Учител : Точно така. И има огромен брой такива примери.

Учител : Както знаете, ъглите в равнината се измерват в градуси. Вероятно имате въпрос, как се измерват двустенните ъгли? Това става по следния начин.Нека отбележим някаква точка на ръба на двустенния ъгъл и да начертаем лъч, перпендикулярен на ръба от тази точка на всяко лице. Ъгълът, образуван от тези лъчи, се нарича линеен ъгъл на двустенния ъгъл. Начертайте в тетрадките си.

Пишете на дъската и в тетрадките.

ОТНОСНО ∈ а, АД ⊥ a, VO ⊥ а, SABD– двустенен ъгъл,∠ AOB– линеен ъгъл на двустенния ъгъл.

Учител : Всички линейни ъгли на двустенния ъгъл са равни. Направете си още една подобна рисунка.

Учител : Нека го докажем. Помислете за два линейни ъгъла AOB иPQR. Лъчи OA иQPлежат на едно лице и са перпендикулярниOQ, което означава, че са съвместно режисирани. По същия начин лъчите OB иQRсъвместно режисиран. означава,∠ AOB= ∠ PQR(като ъгли с подравнени страни).

Учител : Е, сега отговорът на нашия въпрос е как се измерва двустенният ъгъл.Градусната мярка на двустенния ъгъл е градусната мярка на неговия линеен ъгъл. Пречертайте изображенията на остър, прав и тъп двустенен ъгъл от учебника на стр. 48.

4. Затвърдяване на изучения материал.

Учител : Направете рисунки към задачите.

№ 1 . Дадено: ΔABC, AC = BC, AB лежи в равнинатаα, CD ⊥ α, C∉ α. Построете линеен ъгъл на двустенен ъгълCABD.

Студент : Решение:СМ. ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ CMD - търсен.

№ 2. Дадено: ΔABC, ∠ ° С= 90°, BC лежи на равнинатаα, АД⊥ α, А∈ α.

Построете линеен ъгъл на двустенен ъгълABCO.

Студент : Решение:AB ⊥ пр.н.е., АД⊥ BC означава OS⊥ слънце∠ ACO - търсен.

№ 3 . Дадено: ΔABC, ∠ C = 90°, AB лежи в равнинатаα, CD⊥ α, C∉ α. Изгражданелинеен двустенен ъгълDABC.

Студент : Решение: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ АБ означава∠ DKC - търсен.

№ 4 . дадени:DABC- тетраедър,НАПРАВЕТЕ⊥ ABC.Построете линейния ъгъл на двустенния ъгълABCD.

Студент : Решение:DM ⊥ слънце,НАПРАВЕТЕ ⊥ VS означава OM⊥ слънце;∠ OMD - търсен.

5. Обобщаване.

Учител: Какво ново научихте в клас днес?

Ученици : Какво се нарича двустенен ъгъл, линеен ъгъл, как се измерва двустенният ъгъл.

Учител : Какво повториха?

Ученици : Какво се нарича ъгъл на равнина; ъгъл между прави линии.

6.Домашна работа.

Напишете на дъската и в дневниците си: параграф 22, № 167, № 170.

ТЕКСТОВ ПРЕПИС НА УРОКА:

В планиметрията основните обекти са линии, отсечки, лъчи и точки. Лъчите, излизащи от една точка, образуват една от техните геометрични фигури - ъгъл.

Знаем, че линейният ъгъл се измерва в градуси и радиани.

В стереометрията към обектите се добавя равнина. Фигура, образувана от права линия a и две полуравнини с обща граница a, които не принадлежат на една и съща равнина в геометрията, се нарича двустенен ъгъл. Полуравнините са лицата на двустенния ъгъл. Правата a е ребро на двустенен ъгъл.

Двустенният ъгъл, подобно на линейния ъгъл, може да бъде наименуван, измерен и конструиран. Това е, което трябва да разберем в този урок.

Нека намерим двустенния ъгъл върху модела на тетраедър ABCD.

Двустенен ъгъл с ръб AB се нарича CABD, където точките C и D принадлежат на различни лица на ъгъла, а ръбът AB се нарича в средата

Около нас има доста обекти с елементи под формата на двустенен ъгъл.

В много градове в парковете са монтирани специални пейки за помирение. Пейката е направена под формата на две наклонени равнини, събиращи се към центъра.

При изграждането на къщи често се използва така нареченият двускатен покрив. На тази къща покривът е направен под формата на двустенен ъгъл от 90 градуса.

Двустенният ъгъл също се измерва в градуси или радиани, но как да го измерим.

Интересно е да се отбележи, че покривите на къщите лежат на гредите. А обшивката на гредите образува два покривни наклона под определен ъгъл.

Нека прехвърлим изображението върху чертежа. На чертежа, за да се намери двустенен ъгъл, на ръба му се отбелязва точка B. От тази точка се изтеглят два лъча BA и BC, перпендикулярни на ръба на ъгъла. Ъгълът ABC, образуван от тези лъчи, се нарича линеен двустенен ъгъл.

Градусната мярка на двустенния ъгъл е равна на градусната мярка на неговия линеен ъгъл.

Нека измерим ъгъла AOB.

Градусната мярка на даден двустенен ъгъл е шестдесет градуса.

Безкраен брой линейни ъгли могат да бъдат начертани за двустенен ъгъл; важно е да знаете, че всички те са равни.

Нека разгледаме два линейни ъгъла AOB и A1O1B1. Лъчите OA и O1A1 лежат на едно и също лице и са перпендикулярни на правата OO1, така че са еднакви посоки. Лъчите OB и O1B1 също са съвместно насочени. Следователно ъгъл AOB е равен на ъгъл A1O1B1 като ъгли със съпосочни страни.

Така че двустенният ъгъл се характеризира с линеен ъгъл, а линейните ъгли са остри, тъпи и прави. Нека разгледаме модели на двустенни ъгли.

Тъп ъгъл е, ако неговият линеен ъгъл е между 90 и 180 градуса.

Прав ъгъл, ако неговият линеен ъгъл е 90 градуса.

Остър ъгъл, ако неговият линеен ъгъл е от 0 до 90 градуса.

Нека докажем едно от важните свойства на линейния ъгъл.

Равнината на линейния ъгъл е перпендикулярна на ръба на двустенния ъгъл.

Нека ъгъл AOB е линейният ъгъл на даден двустенен ъгъл. По построение лъчите AO и OB са перпендикулярни на права a.

Равнината AOB минава през две пресичащи се прави AO и OB съгласно теоремата: Равнина минава през две пресичащи се прави и само една.

Правата a е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в тази равнина, което означава, че въз основа на перпендикулярността на правата и равнината правата a е перпендикулярна на равнината AOB.

За решаване на задачи е важно да можете да построите линеен ъгъл на даден двустенен ъгъл. Построете линеен ъгъл на двустенен ъгъл с ръб AB за тетраедър ABCD.

Говорим за двустенен ъгъл, който е образуван първо от ръб AB, едно лице ABD и второ лице ABC.

Ето един начин да го изградите.

Нека начертаем перпендикуляр от точка D към равнината ABC.Отбележете точка M като основа на перпендикуляра. Припомнете си, че в тетраедър основата на перпендикуляра съвпада с центъра на вписаната окръжност в основата на тетраедъра.

Нека начертаем наклонена линия от точка D, перпендикулярна на ръба AB, маркираме точка N като основа на наклонената линия.

В триъгълника DMN отсечката NM ще бъде проекцията на наклонената DN върху равнината ABC. Според теоремата за трите перпендикуляра ръбът AB ще бъде перпендикулярен на проекцията NM.

Това означава, че страните на ъгъла DNM са перпендикулярни на ръба AB, което означава, че построеният ъгъл DNM е търсеният линеен ъгъл.

Нека разгледаме пример за решаване на задача за изчисляване на двустенен ъгъл.

Равнобедреният триъгълник ABC и правилният триъгълник ADB не лежат в една равнина. Отсечката CD е перпендикулярна на равнината ADB. Намерете двустенния ъгъл DABC, ако AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.

Двустенният ъгъл на DABC е равен на неговия линеен ъгъл. Нека изградим този ъгъл.

Нека начертаем наклонената CM перпендикулярна на ръба AB, тъй като триъгълникът ACB е равнобедрен, тогава точка M ще съвпадне със средата на ръба AB.

Правата CD е перпендикулярна на равнината ADB, което означава, че е перпендикулярна на правата DM, лежаща в тази равнина. А отсечката MD е проекция на наклонената CM върху равнината ADV.

По построение правата AB е перпендикулярна на наклонената CM, което означава, че по теоремата за трите перпендикуляра е перпендикулярна на проекцията MD.

И така, два перпендикуляра CM и DM са открити към ръба AB. Това означава, че те образуват линеен ъгъл CMD на двустенния ъгъл DABC. И всичко, което трябва да направим, е да го намерим от правоъгълния триъгълник CDM.

Така че отсечката SM е медианата и височината на равнобедрения триъгълник ACB, тогава според Питагоровата теорема катетът SM е равен на 4 cm.

От правоъгълния триъгълник DMB според Питагоровата теорема катетът DM е равен на два корена от три.

Косинусът на ъгъл от правоъгълен триъгълник е равен на отношението на съседния катет MD към хипотенузата CM и е равен на три корена от три по две. Това означава, че ъгълът CMD е 30 градуса.

Големината на ъгъла между две различни равнини може да се определи за всяка относителна позиция на равнините.

Тривиален случай, ако равнините са успоредни. Тогава ъгълът между тях се счита за равен на нула.

Нетривиален случай, ако равнините се пресичат. Този случай е обект на по-нататъшно обсъждане. Първо се нуждаем от понятието двустенен ъгъл.

9.1 Двустенен ъгъл

Двустенният ъгъл е две полуравнини с обща права линия (която се нарича ръб на двустенния ъгъл). На фиг. 50 показва двустенен ъгъл, образуван от полуравнини и; ръбът на този двустенен ъгъл е правата a, обща за тези полуравнини.

Ориз. 50. Двустенен ъгъл

Двустенният ъгъл може да бъде измерен в градуси или радиани с една дума, въведете ъгловата стойност на двустенния ъгъл. Това става по следния начин.

На ръба на двустенния ъгъл, образуван от полуравнините и, вземаме произволна точка M. Нека начертаем лъчи MA и MB, съответно лежащи в тези полуравнини и перпендикулярни на ръба (фиг. 51).

Ориз. 51. Линеен двустенен ъгъл

Полученият ъгъл AMB е линейният ъгъл на двустенния ъгъл. Ъгълът " = \AMB е точно ъгловата стойност на нашия двустенен ъгъл.

Определение. Ъгловата величина на двустенния ъгъл е големината на линейния ъгъл на даден двустенен ъгъл.

Всички линейни ъгли на двустенен ъгъл са равни един на друг (в крайна сметка те се получават един от друг чрез паралелно изместване). Следователно това определение е правилно: стойността " не зависи от конкретния избор на точка M на ръба на двустенния ъгъл.

9.2 Определяне на ъгъла между равнините

При пресичане на две равнини се получават четири двустенни ъгъла. Ако всички те имат еднакъв размер (по 90), тогава равнините се наричат ​​перпендикулярни; Тогава ъгълът между равнините е 90.

Ако не всички двустенни ъгли са еднакви (т.е. има два остри и два тъпи), тогава ъгълът между равнините е стойността на острия двустенен ъгъл (фиг. 52).

Ориз. 52. Ъгъл между равнините

9.3 Примери за решаване на проблеми

Нека разгледаме три проблема. Първият е прост, вторият и третият са приблизително на ниво C2 на Единния държавен изпит по математика.

Задача 1. Намерете ъгъла между две страни на правилен тетраедър.

Решение. Нека ABCD е правилен тетраедър. Нека начертаем медианите AM и DM на съответните лица, както и височината на тетраедъра DH (фиг. 53).

Ориз. 53. Към задача 1

Като медиани AM и DM са и височини на равностранни триъгълници ABC и DBC. Следователно ъгълът " = \AMD е линейният ъгъл на двустенния ъгъл, образуван от лицата ABC и DBC. Намираме го от триъгълника DHM:

Отговор: arccos 1 3 .

Задача 2. В правилна четириъгълна пирамида SABCD (с връх S) страничният ръб е равен на страната на основата. Точка K е средата на ръба SA. Намерете ъгъла между равнините

Решение. Правата BC е успоредна на AD и следователно е успоредна на равнината ADS. Следователно равнината KBC пресича равнината ADS по правата KL, успоредна на BC (фиг. 54).

Ориз. 54. Към задача 2

В този случай KL също ще бъде успореден на права AD; следователно KL е средната линия на триъгълник ADS, а точката L е средната точка на DS.

Нека намерим височината на пирамидата SO. Нека N е средата на DO. Тогава LN е средната линия на триъгълник DOS и следователно LN k SO. Това означава, че LN е перпендикулярна на равнината ABC.

От точка N спускаме перпендикуляра NM към правата BC. Правата NM ще бъде проекцията на наклонената LM върху равнината ABC. От теоремата за трите перпендикуляра следва, че LM също е перпендикулярна на BC.

Така ъгълът " = \LMN е линейният ъгъл на двустенния ъгъл, образуван от полуравнините KBC и ABC. Ще търсим този ъгъл от правоъгълния триъгълник LMN.

Нека ръбът на пирамидата е равен на a. Първо намираме височината на пирамидата:

Решение. Нека L е пресечната точка на правите A1 K и AB. Тогава равнина A1 KC пресича равнина ABC по права CL (фиг.55).

А ° С

Ориз. 55. Към задача 3

Триъгълниците A1 B1 K и KBL са равни по катет и остър ъгъл. Следователно другите катети са равни: A1 B1 = BL.

Помислете за триъгълник ACL. В него BA = BC = BL. Ъгъл CBL е 120; следователно \BCL = 30 . Също така \BCA = 60 . Следователно \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

И така, LC? AC. Но правата AC служи като проекция на правата A1 C върху равнината ABC. По теоремата за трите перпендикуляра тогава заключаваме, че LC ? A1 C.

Така ъгъл A1 CA е линейният ъгъл на двустенния ъгъл, образуван от полуравнините A1 KC и ABC. Това е желаният ъгъл. От равнобедрения правоъгълен триъгълник A1 AC виждаме, че той е равен на 45.

Този урок е предназначен за самостоятелно изучаване на темата „Двустенен ъгъл“. В този урок учениците ще се запознаят с една от най-важните геометрични форми, двустенния ъгъл. Също така в урока ще научим как да определим линейния ъгъл на въпросната геометрична фигура и какъв е двустенният ъгъл в основата на фигурата.

Нека повторим какво е ъгъл върху равнина и как се измерва.

Ориз. 1. Самолет

Да разгледаме равнината α (фиг. 1). От точка ОТНОСНОдва лъча излизат - ОВИ ОА.

Определение. Фигура, образувана от два лъча, излизащи от една точка, се нарича ъгъл.

Ъгълът се измерва в градуси и радиани.

Нека си спомним какво е радиан.

Ориз. 2. Радиан

Ако имаме централен ъгъл, чиято дължина на дъгата е равна на радиуса, тогава такъв централен ъгъл се нарича ъгъл от 1 радиан. ,∠ AOB= 1 рад (фиг. 2).

Връзка между радиани и градуси.

радвам се.

Разбрахме, радвам се. (). Тогава,

Определение. Двустенен ъгълсе нарича фигура, образувана от права линия Аи две полуравнини с обща граница А, които не принадлежат на същата равнина.

Ориз. 3. Полуравнини

Да разгледаме две полуравнини α и β (фиг. 3). Общата им граница е А. Тази фигура се нарича двустенен ъгъл.

Терминология

Полуравнините α и β са лица на двустенен ъгъл.

Направо Ае ръб на двустенен ъгъл.

На общ ръб Адвустенен ъгъл, изберете произволна точка ОТНОСНО(фиг. 4). В полуравнината α от точката ОТНОСНОвъзстановете перпендикуляра ОАкъм права линия А. От същата точка ОТНОСНОвъв втората полуравнина β построяваме перпендикуляр ОВдо ръба А. Имам ъгъл AOB, който се нарича линеен ъгъл на двустенния ъгъл.

Ориз. 4. Измерване на двустенен ъгъл

Нека докажем равенството на всички линейни ъгли за даден двустенен ъгъл.

Нека имаме двустенен ъгъл (фиг. 5). Да изберем точка ОТНОСНОи точка О 1на права линия А. Нека построим линеен ъгъл, съответстващ на точката ОТНОСНО, т.е. начертаваме два перпендикуляра ОАИ ОВв равнини α и β съответно до ръба А. Получаваме ъгъла AOB- линеен ъгъл на двустенния ъгъл.

Ориз. 5. Илюстрация на доказателство

От точка О 1нека начертаем два перпендикуляра ОА 1И OB 1до ръба Асъответно в равнини α и β и получаваме втория линеен ъгъл A 1 O 1 B 1.

Лъчи O 1 A 1И ОАсъпосочни, тъй като лежат в една и съща полуравнина и са успоредни един на друг като два перпендикуляра на една и съща права А.

По същия начин лъчите Около 1 в 1И ОВса съвместно режисирани, което означава ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1като ъгли със съпосочни страни, което трябваше да се докаже.

Равнината на линейния ъгъл е перпендикулярна на ръба на двустенния ъгъл.

Докажи: А ⊥ AOB.

Ориз. 6. Илюстрация на доказателство

Доказателство:

ОА ⊥ Апо конструкция, ОВ ⊥ Апо конструкция (фиг. 6).

Откриваме, че линията Аперпендикулярно на две пресичащи се прави ОАИ ОВизвън самолета AOB, което означава, че е прав Аперпендикулярна на равнината OAV, което трябваше да се докаже.

Двустенният ъгъл се измерва чрез неговия линеен ъгъл. Това означава, че колкото градуса радиани се съдържат в линеен ъгъл, толкова и градуси радиани се съдържат в неговия двустенен ъгъл. В съответствие с това се разграничават следните видове двустенни ъгли.

Остър (фиг. 6)

Двустенният ъгъл е остър, ако линейният му ъгъл е остър, т.е. .

Прав (фиг. 7)

Двустенният ъгъл е прав, когато неговият линеен ъгъл е 90° - тъп (фиг. 8)

Двустенният ъгъл е тъп, когато линейният му ъгъл е тъп, т.е. .

Ориз. 7. Прав ъгъл

Ориз. 8. Тъп ъгъл

Примери за конструиране на линейни ъгли в реални фигури

ABCд- тетраедър.

1. Построяване на линеен ъгъл на двустенен ъгъл с ръб AB.

Ориз. 9. Илюстрация към задачата

Строителство:

Говорим за двустенен ъгъл, образуван от ръб ABи ръбове ABдИ ABC(фиг. 9).

Да направим директен днперпендикулярна на равнината ABC, н- основата на перпендикуляра. Нека начертаем наклонена дМперпендикулярно на права линия AB,М- наклонена основа. По теоремата за трите перпендикуляра заключаваме, че проекцията на наклонена NMсъщо перпендикулярно на правата AB.

Тоест от точката Мвъзстановени са два перпендикуляра към ръба ABот две страни ABдИ ABC. Получихме линейния ъгъл дMN.

забележи това AB, ръб на двустенен ъгъл, перпендикулярен на равнината на линейния ъгъл, т.е. равнината дMN. Проблемът е решен.

Коментирайте. Двустенният ъгъл може да бъде обозначен по следния начин: дABC, Където

AB- ръб и точки дИ СЪСлежат на различни страни на ъгъла.

2. Построяване на линеен ъгъл на двустенен ъгъл с ребро AC.

Нека начертаем перпендикуляр дндо самолета ABCи наклонен днперпендикулярно на права линия AC.Използвайки теоремата за трите перпендикуляра, намираме това НN- наклонена проекция дндо самолета ABC,също перпендикулярно на правата AC.дNH- линеен ъгъл на двустенен ъгъл с ръб AC.

В тетраедър дABCвсички ръбове са равни. Точка М- средата на реброто AC. Докажете, че ъгълът дMV- линеен двустенен ъгъл ВИЕд, т.е. двустенен ъгъл с ръб AC. Едно от лицата му е ACд, второ - DIA(фиг. 10).

Ориз. 10. Илюстрация към задачата

Решение:

Триъгълник ADC- равностранен, DM- медиана и следователно височина. означава, дМ ⊥ AC.По същия начин, триъгълник АIN° С- равностранен, INМ- медиана и следователно височина. означава, VM ⊥ AC.

Така, от точката Мребра ACдвустенен ъгъл възстанови два перпендикуляра DMИ VMкъм този ръб в лицата на двустенния ъгъл.

И така, ∠ DMINе линейният ъгъл на двустенния ъгъл, което трябваше да се докаже.

Така дефинирахме двустенния ъгъл, линейния ъгъл на двустенния ъгъл.

В следващия урок ще разгледаме перпендикулярността на прави и равнини, след което ще научим какво е двустенният ъгъл при основата на фигурите.

Списък с литература по темата "Двустенен ъгъл", "Двустенен ъгъл в основата на геометрични фигури"

1. Геометрия. 10-11 клас: учебник за общообразователни институции / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 с.: ил.
2. Геометрия. 10. клас: учебник за общообразователните институции със задълбочено и профилирано изучаване на математика /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то издание, стереотип. - М.: Дропла, 2008. - 233 с.: ил.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

Домашна работа по темата "Двустенен ъгъл", определяне на двустенния ъгъл в основата на фигури

Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от общообразователни институции (основни и специализирани нива) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-то издание, коригирано и разширено - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задачи 2, 3 стр. 67.

Какво е линеен двустенен ъгъл? Как да го изградим?

ABCд- тетраедър. Построете линеен ъгъл на двустенен ъгъл с ръб:

а) INдб) дСЪС.

ABCД.А. 1 б 1 ° С 1 д 1 - куб Построяване на линеен ъгъл на двустенен ъгъл A 1 ABCс ребро AB. Определете степенната му мярка.

Големината на ъгъла между две различни равнини може да се определи за всяка относителна позиция на равнините.

Тривиален случай, ако равнините са успоредни. Тогава ъгълът между тях се счита за равен на нула.

Нетривиален случай, ако равнините се пресичат. Този случай е обект на по-нататъшно обсъждане. Първо се нуждаем от понятието двустенен ъгъл.

9.1 Двустенен ъгъл

Двустенният ъгъл е две полуравнини с обща права линия (която се нарича ръб на двустенния ъгъл). На фиг. 50 показва двустенен ъгъл, образуван от полуравнини и; ръбът на този двустенен ъгъл е правата a, обща за тези полуравнини.

Ориз. 50. Двустенен ъгъл

Двустенният ъгъл може да бъде измерен в градуси или радиани с една дума, въведете ъгловата стойност на двустенния ъгъл. Това става по следния начин.

На ръба на двустенния ъгъл, образуван от полуравнините и, вземаме произволна точка M. Нека начертаем лъчи MA и MB, съответно лежащи в тези полуравнини и перпендикулярни на ръба (фиг. 51).

Ориз. 51. Линеен двустенен ъгъл

Полученият ъгъл AMB е линейният ъгъл на двустенния ъгъл. Ъгълът " = \AMB е точно ъгловата стойност на нашия двустенен ъгъл.

Определение. Ъгловата величина на двустенния ъгъл е големината на линейния ъгъл на даден двустенен ъгъл.

Всички линейни ъгли на двустенен ъгъл са равни един на друг (в крайна сметка те се получават един от друг чрез паралелно изместване). Следователно това определение е правилно: стойността " не зависи от конкретния избор на точка M на ръба на двустенния ъгъл.

9.2 Определяне на ъгъла между равнините

При пресичане на две равнини се получават четири двустенни ъгъла. Ако всички те имат еднакъв размер (по 90), тогава равнините се наричат ​​перпендикулярни; Тогава ъгълът между равнините е 90.

Ако не всички двустенни ъгли са еднакви (т.е. има два остри и два тъпи), тогава ъгълът между равнините е стойността на острия двустенен ъгъл (фиг. 52).

Ориз. 52. Ъгъл между равнините

9.3 Примери за решаване на проблеми

Нека разгледаме три проблема. Първият е прост, вторият и третият са приблизително на ниво C2 на Единния държавен изпит по математика.

Задача 1. Намерете ъгъла между две страни на правилен тетраедър.

Решение. Нека ABCD е правилен тетраедър. Нека начертаем медианите AM и DM на съответните лица, както и височината на тетраедъра DH (фиг. 53).

Ориз. 53. Към задача 1

Като медиани AM и DM са и височини на равностранни триъгълници ABC и DBC. Следователно ъгълът " = \AMD е линейният ъгъл на двустенния ъгъл, образуван от лицата ABC и DBC. Намираме го от триъгълника DHM:

Отговор: arccos 1 3 .

Задача 2. В правилна четириъгълна пирамида SABCD (с връх S) страничният ръб е равен на страната на основата. Точка K е средата на ръба SA. Намерете ъгъла между равнините

Решение. Правата BC е успоредна на AD и следователно е успоредна на равнината ADS. Следователно равнината KBC пресича равнината ADS по правата KL, успоредна на BC (фиг. 54).

Ориз. 54. Към задача 2

В този случай KL също ще бъде успореден на права AD; следователно KL е средната линия на триъгълник ADS, а точката L е средната точка на DS.

Нека намерим височината на пирамидата SO. Нека N е средата на DO. Тогава LN е средната линия на триъгълник DOS и следователно LN k SO. Това означава, че LN е перпендикулярна на равнината ABC.

От точка N спускаме перпендикуляра NM към правата BC. Правата NM ще бъде проекцията на наклонената LM върху равнината ABC. От теоремата за трите перпендикуляра следва, че LM също е перпендикулярна на BC.

Така ъгълът " = \LMN е линейният ъгъл на двустенния ъгъл, образуван от полуравнините KBC и ABC. Ще търсим този ъгъл от правоъгълния триъгълник LMN.

Нека ръбът на пирамидата е равен на a. Първо намираме височината на пирамидата:

Решение. Нека L е пресечната точка на правите A1 K и AB. Тогава равнина A1 KC пресича равнина ABC по права CL (фиг.55).

А ° С

Ориз. 55. Към задача 3

Триъгълниците A1 B1 K и KBL са равни по катет и остър ъгъл. Следователно другите катети са равни: A1 B1 = BL.

Помислете за триъгълник ACL. В него BA = BC = BL. Ъгъл CBL е 120; следователно \BCL = 30 . Също така \BCA = 60 . Следователно \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

И така, LC? AC. Но правата AC служи като проекция на правата A1 C върху равнината ABC. По теоремата за трите перпендикуляра тогава заключаваме, че LC ? A1 C.

Така ъгъл A1 CA е линейният ъгъл на двустенния ъгъл, образуван от полуравнините A1 KC и ABC. Това е желаният ъгъл. От равнобедрения правоъгълен триъгълник A1 AC виждаме, че той е равен на 45.