Kad viena plokštuma būtų nubrėžta per bet kuriuos tris erdvės taškus, būtina, kad šie taškai nebūtų vienoje tiesėje.

Apsvarstykite bendrosios Dekarto koordinačių sistemos taškus M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3).

Tam, kad savavališkas taškas M(x, y, z) būtų vienoje plokštumoje su taškais M 1, M 2, M 3, vektoriai turi būti lygiaverčiai.

(
) = 0

Taigi,

Plokštumos, kertančios tris taškus, lygtis:

Plokštumos lygtis su dviem taškais ir vektoriaus, esančio kolineje su plokštuma, lygtis.

Tegul taškai M 1 (x 1,y 1,z 1), M 2 (x 2,y 2,z 2) ir vektorius
.

Sukurkime lygtį plokštumai, einančia per duotus taškus M 1 ir M 2 ir savavališką tašką M (x, y, z), lygiagretų vektoriui .

Vektoriai
ir vektorius
turi būti lygiagreti, t.y.

(
) = 0

Plokštumos lygtis:

Plokštumos lygtis naudojant vieną tašką ir du vektorius,

kolineariai su plokštuma.

Tegu pateikiami du vektoriai
Ir
, kolinearinės plokštumos. Tada savavališkam taškui M(x, y, z), priklausančiam plokštumai, vektoriai
turi būti lygiagrečiai.

Plokštumos lygtis:

Plokštumos pagal tašką ir normaliojo vektoriaus lygtis .

Teorema. Jeigu erdvėje duotas taškas M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), tada plokštumos, einančios per tašką M, lygtis 0 statmenai normaliajam vektoriui (A, B, C) turi tokią formą:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Įrodymas. Savavališkam taškui M(x, y, z), priklausančiam plokštumai, sudarome vektorių. Nes vektorius yra normalus vektorius, tada jis yra statmenas plokštumai ir todėl statmenas vektoriui
. Tada skaliarinė sandauga

= 0

Taigi gauname plokštumos lygtį

Teorema įrodyta.

Plokštumos atkarpomis lygtis.

Jei bendrojoje lygtyje Ax + Bi + Cz + D = 0 abi puses padalinsime iš (-D)

,

pakeičiant
, gauname plokštumos lygtį atkarpomis:

Skaičiai a, b, c yra atitinkamai plokštumos susikirtimo taškai su x, y, z ašimis.

Vektorinės formos plokštumos lygtis.

Kur

- dabartinio taško spindulio vektorius M(x, y, z),

Vienetinis vektorius, kurio statmena kryptis nukrenta į plokštumą nuo pradžios.

,  ir  yra šio vektoriaus suformuoti kampai su x, y, z ašimis.

p yra šio statmens ilgis.

Koordinatėse ši lygtis atrodo taip:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Atstumas nuo taško iki plokštumos.

Atstumas nuo savavališko taško M 0 (x 0, y 0, z 0) iki plokštumos Ax+By+Cz+D=0 yra:

Pavyzdys. Raskite plokštumos lygtį, žinant, kad taškas P(4; -3; 12) yra statmeno, nuleisto nuo pradžios iki šios plokštumos, pagrindas.

Taigi A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, naudojame formulę:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Pavyzdys. Raskite plokštumos, einančios per du taškus P(2; 0; -1) lygtį ir

Q(1; -1; 3) statmena plokštumai 3x + 2y – z + 5 = 0.

Normalus vektorius plokštumai 3x + 2y – z + 5 = 0
lygiagrečiai norimai plokštumai.

Mes gauname:

Pavyzdys. Raskite plokštumos, einančios per taškus A(2, -1, 4) lygtį ir

B(3, 2, -1) statmena plokštumai X + adresu + 2z – 3 = 0.

Reikiama plokštumos lygtis yra tokia: A x+B y+C z+ D = 0, normalusis vektorius šiai plokštumai (A, B, C). Vektorius
(1, 3, -5) priklauso plokštumai. Mums duota plokštuma, statmena norimai, turi normalųjį vektorių (1, 1, 2). Nes taškai A ir B priklauso abiem plokštumoms, o plokštumos yra viena kitai statmenos, tada

Taigi normalus vektorius (11, -7, -2). Nes taškas A priklauso norimai plokštumai, tada jo koordinatės turi tenkinti šios plokštumos lygtį, t.y. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Iš viso gauname plokštumos lygtį: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Pavyzdys. Raskite plokštumos lygtį, žinant, kad taškas P(4, -3, 12) yra statmeno, nuleisto nuo pradžios iki šios plokštumos, pagrindas.

Normaliojo vektoriaus koordinačių radimas
= (4, -3, 12). Reikiama plokštumos lygtis yra tokia: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Norėdami rasti koeficientą D, į lygtį pakeičiame taško P koordinates:

16 + 9 + 144 + D = 0

Iš viso gauname reikiamą lygtį: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Pavyzdys. Duotos piramidės viršūnių koordinatės A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Raskite kraštinės A 1 A 2 ilgį.

Raskite kampą tarp kraštinių A 1 A 2 ir A 1 A 4.

Raskite kampą tarp briaunos A 1 A 4 ir paviršiaus A 1 A 2 A 3.

Pirmiausia randame veido A 1 A 2 A 3 normalųjį vektorių kaip vektorių kryžminė sandauga
Ir
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Raskime kampą tarp normalaus vektoriaus ir vektoriaus
.

-4 – 4 = -8.

Norimas kampas  tarp vektoriaus ir plokštumos bus lygus  = 90 0 - .

Raskite veido plotą A 1 A 2 A 3.

Raskite piramidės tūrį.

Raskite plokštumos A 1 A 2 A 3 lygtį.

Naudokime plokštumos, einančios per tris taškus, lygties formulę.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Kai naudojate kompiuterio versiją " Aukštosios matematikos kursas“ galite paleisti programą, kuri išspręs aukščiau pateiktą pavyzdį bet kurioms piramidės viršūnių koordinatėms.

Norėdami paleisti programą, dukart spustelėkite piktogramą:

Atsidariusiame programos lange įveskite piramidės viršūnių koordinates ir paspauskite Enter. Tokiu būdu visus sprendimo taškus galima gauti po vieną.

Pastaba: norint paleisti programą, jūsų kompiuteryje turi būti įdiegta bet kurios versijos Maple programa ( Waterloo Maple Inc.), pradedant nuo MapleV Release 4.

Plokštumos lygtis. Kaip parašyti plokštumos lygtį?
Abipusis plokštumų išdėstymas. Užduotys

Erdvinė geometrija nėra daug sudėtingesnė nei „plokščia“ geometrija, o mūsų skrydžiai erdvėje prasideda šiuo straipsniu. Norėdami įvaldyti temą, turite gerai ją suprasti vektoriai, be to, patartina išmanyti plokštumos geometriją – bus daug panašumų, daug analogijų, todėl informacija bus daug geriau įsisavinama. Mano pamokų serijoje 2D pasaulis atidaromas straipsniu Tiesės lygtis plokštumoje. Bet dabar Betmenas paliko plokščią televizorių ir paleidžia iš Baikonūro kosmodromo.

Pradėkime nuo piešinių ir simbolių. Schematiškai plokštuma gali būti nubrėžta lygiagretainio pavidalu, kuris sukuria erdvės įspūdį:

Plokštuma begalinė, bet turime galimybę pavaizduoti tik jos dalelę. Praktikoje, be lygiagretainio, dar brėžiamas ovalas ar net debesis. Dėl techninių priežasčių man patogiau lėktuvą pavaizduoti būtent taip ir būtent tokioje padėtyje. Tikros plokštumos, kurias nagrinėsime praktiniais pavyzdžiais, gali būti išdėstytos bet kaip - mintyse paimkite piešinį į rankas ir pasukite jį erdvėje, suteikdami plokštumai bet kokį nuolydį, bet kokį kampą.

Pavadinimai: plokštumos dažniausiai žymimos mažomis graikiškomis raidėmis, matyt, kad jų nesupainiotų tiesi linija plokštumoje arba su tiesi linija erdvėje. Aš įpratau naudoti raidę. Piešinyje tai raidė „sigma“, o ne skylė. Nors skylėtas lėktuvas tikrai yra gana juokingas.

Kai kuriais atvejais patogu naudoti tas pačias graikiškas raides su apatiniais indeksais plokštumoms žymėti, pavyzdžiui, .

Akivaizdu, kad plokštumą vienareikšmiškai apibrėžia trys skirtingi taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje. Todėl trijų raidžių lėktuvų žymėjimai yra gana populiarūs - pavyzdžiui, pagal jiems priklausančius taškus ir pan. Dažnai raidės rašomos skliausteliuose: , kad nesupainiotumėte plokštumos su kita geometrine figūra.

Patyrusiems skaitytojams duosiu greitos prieigos meniu:

• Kaip sukurti plokštumos lygtį naudojant tašką ir du vektorius?
• Kaip sukurti plokštumos lygtį naudojant tašką ir normalųjį vektorių?

ir mes ilgai lauksime:

Bendroji plokštumos lygtis

Bendroji plokštumos lygtis turi formą , kur koeficientai tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui.

Nemažai teorinių skaičiavimų ir praktinių uždavinių galioja tiek įprastiniam ortonormaliniam, tiek afininiam erdvės pagrindui (jei aliejus yra aliejus, grįžkite į pamoką Tiesinė (ne) vektorių priklausomybė. Vektorių pagrindas). Paprastumo dėlei darysime prielaidą, kad visi įvykiai vyksta ortonormaliu pagrindu ir Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje.

Dabar šiek tiek lavinkime savo erdvinę vaizduotę. Gerai, jei jūsų blogas, dabar mes jį šiek tiek patobulinsime. Net žaidžiant ant nervų reikia treniruotis.

Bendriausiu atveju, kai skaičiai nėra lygūs nuliui, plokštuma kerta visas tris koordinačių ašis. Pavyzdžiui, taip:

Dar kartą kartoju, kad lėktuvas tęsiasi neribotą laiką visomis kryptimis, o mes turime galimybę pavaizduoti tik dalį jo.

Panagrinėkime paprasčiausias plokštumų lygtis:

Kaip suprasti šią lygtį? Pagalvokite apie tai: „Z“ VISADA yra lygus nuliui, esant bet kurioms „X“ ir „Y“ reikšmėms. Tai yra „gimtosios“ koordinačių plokštumos lygtis. Iš tiesų formaliai lygtį galima perrašyti taip: , iš kur aiškiai matote, kad mums nesvarbu, kokios reikšmės yra „x“ ir „y“, svarbu, kad „z“ būtų lygus nuliui.

Taip pat:
– koordinačių plokštumos lygtis;
– koordinačių plokštumos lygtis.

Šiek tiek apsunkinkime problemą, apsvarstykime plokštumą (čia ir toliau pastraipoje darome prielaidą, kad skaitiniai koeficientai nėra lygūs nuliui). Perrašykime lygtį į formą: . Kaip tai suprasti? „X“ yra VISADA, esant bet kurioms „Y“ ir „Z“ reikšmėms, yra lygus tam tikram skaičiui. Ši plokštuma lygiagreti koordinačių plokštumai. Pavyzdžiui, plokštuma yra lygiagreti plokštumai ir eina per tašką.

Taip pat:
– plokštumos, lygiagrečios koordinačių plokštumai, lygtis;
– plokštumos, lygiagrečios koordinačių plokštumai, lygtis.

Pridėkime narius: . Lygtį galima perrašyti taip: ty „zet“ gali būti bet kas. Ką tai reiškia? „X“ ir „Y“ yra sujungti ryšiu, kuris plokštumoje nubrėžia tam tikrą tiesę (sužinosite tiesės lygtis plokštumoje?). Kadangi „z“ gali būti bet kas, ši tiesi linija „atkartojama“ bet kuriame aukštyje. Taigi lygtis apibrėžia plokštumą, lygiagrečią koordinačių ašiai

Taip pat:
– plokštumos, lygiagrečios koordinačių ašiai, lygtis;
– plokštumos, lygiagrečios koordinačių ašiai, lygtis.

Jei laisvieji nariai lygūs nuliui, plokštumos tiesiogiai eis per atitinkamas ašis. Pavyzdžiui, klasikinis „tiesioginis proporcingumas“: . Nubrėžkite tiesią liniją plokštumoje ir mintyse padauginkite ją aukštyn ir žemyn (nes „Z“ yra bet koks). Išvada: lygtimi apibrėžta plokštuma eina per koordinačių ašį.

Baigiame peržiūrą: plokštumos lygtis eina per kilmę. Na, čia visiškai akivaizdu, kad taškas atitinka šią lygtį.

Ir pabaigai brėžinyje parodytas atvejis: – plokštuma draugiška visoms koordinačių ašims, tuo tarpu visada „nukerta“ trikampį, kuris gali būti bet kurioje iš aštuonių oktantų.

Tiesinės nelygybės erdvėje

Norėdami suprasti informaciją, turite gerai mokytis tiesinės nelygybės plokštumoje, nes daug kas bus panašiai. Pastraipa bus trumpos apžvalgos su keliais pavyzdžiais, nes medžiaga praktikoje yra gana reta.

Jei lygtis apibrėžia plokštumą, tai nelygybės
paklausti pustarpiai. Jei nelygybė nėra griežta (paskutiniai du sąraše), tai nelygybės sprendinys, be pustarpės, apima ir pačią plokštumą.

5 pavyzdys

Raskite plokštumos vienetinį normalųjį vektorių .

Sprendimas: Vieneto vektorius yra vektorius, kurio ilgis yra vienas. Pažymėkime šį vektorių . Visiškai aišku, kad vektoriai yra kolineariniai:

Pirmiausia iš plokštumos lygties pašaliname normalųjį vektorių: .

Kaip rasti vieneto vektorių? Norint rasti vieneto vektorių, reikia kas vektoriaus koordinatę padalinkite iš vektoriaus ilgio.

Perrašykime normalųjį vektorių į formą ir raskime jo ilgį:

Pagal tai, kas išdėstyta aukščiau:

Atsakymas:

Patikrinimas: ką reikėjo patikrinti.

Skaitytojai, atidžiai išstudijavę paskutinę pamokos pastraipą, tikriausiai tai pastebėjo vieneto vektoriaus koordinatės yra būtent vektoriaus krypties kosinusai:

Pailsėkime nuo šios problemos: kai jums duotas savavališkas nulinis vektorius, o pagal sąlygą reikia rasti jo krypties kosinusus (žr. paskutines pamokos problemas Taškinė vektorių sandauga), tada jūs iš tikrųjų rasite vienetinį vektorių, kuris yra kolinerinis šiam vektoriui. Tiesą sakant, dvi užduotys viename butelyje.

Poreikis rasti vienetinį normalųjį vektorių iškyla kai kuriose matematinės analizės problemose.

Mes supratome, kaip išgauti įprastą vektorių, dabar atsakykime į priešingą klausimą:

Kaip sukurti plokštumos lygtį naudojant tašką ir normalųjį vektorių?

Ši standi normalaus vektoriaus ir taško konstrukcija yra gerai žinoma smiginio lentai. Ištieskite ranką į priekį ir mintyse pasirinkite savavališką erdvės tašką, pavyzdžiui, mažą katę bufetėje. Akivaizdu, kad per šį tašką galite nubrėžti vieną plokštumą, statmeną jūsų rankai.

Plokštumos, einančios per vektoriui statmeną tašką, lygtis išreiškiama formule:

Galima nurodyti įvairiais būdais (vienas taškas ir vektorius, du taškai ir vektorius, trys taškai ir tt). Atsižvelgiant į tai, plokštumos lygtis gali turėti skirtingas formas. Taip pat, esant tam tikroms sąlygoms, plokštumos gali būti lygiagrečios, statmenos, susikertančios ir pan. Apie tai kalbėsime šiame straipsnyje. Išmoksime sukurti bendrąją plokštumos lygtį ir dar daugiau.

Normali lygties forma

Tarkime, kad yra erdvė R 3, kuri turi stačiakampę XYZ koordinačių sistemą. Apibrėžkime vektorių α, kuris bus atleistas nuo pradinio taško O. Per vektoriaus α galą nubrėžiame plokštumą P, kuri bus jam statmena.

Savavališką tašką P pažymėkime kaip Q = (x, y, z). Taško Q spindulio vektorių pažymėkime raide p. Šiuo atveju vektoriaus α ilgis lygus р=IαI ir Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Tai vienetinis vektorius, nukreiptas į šoną, kaip ir vektorius α. α, β ir γ yra kampai, kurie susidaro atitinkamai tarp vektoriaus Ʋ ir erdvės ašių x, y, z teigiamų krypčių. Bet kurio taško QϵП projekcija į vektorių Ʋ yra pastovi reikšmė, lygi p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Aukščiau pateikta lygtis turi prasmę, kai p=0. Vienintelis dalykas yra tai, kad plokštuma P šiuo atveju susikirs su tašku O (α=0), kuris yra koordinačių pradžia, o vieneto vektorius Ʋ, išleistas iš taško O, bus statmenas P, nepaisant jo krypties, kuri reiškia, kad vektorius Ʋ yra nustatytas ženklo tikslumu. Ankstesnė lygtis yra mūsų plokštumos P lygtis, išreikšta vektorine forma. Bet koordinatėmis tai atrodys taip:

P čia yra didesnis arba lygus 0. Mes radome lygtį erdvės plokštumos normaliąja forma.

Bendroji lygtis

Jei lygtį padauginsime iš koordinačių iš bet kurio skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui, gausime lygtį, lygiavertę šiai, apibrėžiančią tą pačią plokštumą. Tai atrodys taip:

Čia A, B, C yra skaičiai, kurie tuo pačiu metu skiriasi nuo nulio. Ši lygtis vadinama bendrosios plokštumos lygtimi.

Plokštumų lygtys. Ypatingi atvejai

Bendrosios formos lygtis gali būti modifikuojama esant papildomoms sąlygoms. Pažvelkime į kai kuriuos iš jų.

Tarkime, kad koeficientas A lygus 0. Tai reiškia, kad ši plokštuma lygiagreti duotai Ox ašiai. Tokiu atveju pasikeis lygties forma: Ву+Cz+D=0.

Panašiai lygties forma pasikeis tokiomis sąlygomis:

• Pirma, jei B = 0, tada lygtis pasikeis į Ax + Cz + D = 0, o tai parodys lygiagretumą Oy ašiai.
• Antra, jei C=0, tai lygtis bus transformuota į Ax+By+D=0, o tai parodys lygiagretumą nurodytai Ozo ašiai.
• Trečia, jei D=0, lygtis atrodys taip: Ax+By+Cz=0, o tai reikš, kad plokštuma kerta O (kilmę).
• Ketvirta, jei A = B = 0, tada lygtis pasikeis į Cz + D = 0, o tai bus lygiagreti su Oxy.
• Penkta, jei B=C=0, tai lygtis tampa Ax+D=0, o tai reiškia, kad plokštuma su Oyz yra lygiagreti.
• Šešta, jei A=C=0, tada lygtis bus Ву+D=0, tai yra, ji praneš apie lygiagretumą Oxz.

Lygties tipas segmentais

Tuo atveju, kai skaičiai A, B, C, D skiriasi nuo nulio, (0) lygties forma gali būti tokia:

x/a + y/b + z/c = 1,

kurioje a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Gauname rezultatą Verta pažymėti, kad ši plokštuma susikirs su Ox ašimi taške, kurio koordinatės (a,0,0), Oy - (0,b,0), o Oz - (0,0,c) ).

Atsižvelgiant į lygtį x/a + y/b + z/c = 1, nesunku vizualiai įsivaizduoti plokštumos išsidėstymą tam tikros koordinačių sistemos atžvilgiu.

Normaliosios vektoriaus koordinatės

Normalus vektorius n plokštumai P turi koordinates, kurios yra šios plokštumos bendrosios lygties koeficientai, tai yra n (A, B, C).

Norint nustatyti normaliosios n koordinates, pakanka žinoti bendrąją tam tikros plokštumos lygtį.

Naudodami atkarpose lygtį, kurios forma yra x/a + y/b + z/c = 1, kaip ir naudojant bendrąją lygtį, galite parašyti bet kurio nurodytos plokštumos normaliojo vektoriaus koordinates: (1/a + 1/b + 1/ Su).

Verta paminėti, kad normalus vektorius padeda išspręsti įvairias problemas. Dažniausiai pasitaikančios problemos apima plokštumų statmenumo ar lygiagretumo įrodymą, kampų tarp plokštumų arba kampų tarp plokštumų ir tiesių nustatymo problemas.

Plokštumos lygties tipas pagal taško ir normaliojo vektoriaus koordinates

Nulinis vektorius n, statmenas duotai plokštumai, vadinamas normaliuoju tam tikrai plokštumai.

Tarkime, kad koordinačių erdvėje (stačiakampėje koordinačių sistemoje) Oxyz yra pateikti:

• taškas Mₒ su koordinatėmis (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulinis vektorius n=A*i+B*j+C*k.

Būtina sudaryti lygtį plokštumai, kuri eis per tašką Mₒ, statmeną normaliajai n.

Mes pasirenkame bet kurį savavališką erdvės tašką ir pažymime jį M (x y, z). Tegul bet kurio taško M (x,y,z) spindulio vektorius yra r=x*i+y*j+z*k, o taško Mₒ spindulio vektorius (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Taškas M priklausys duotai plokštumai, jei vektorius MₒM yra statmenas vektoriui n. Parašykime ortogonalumo sąlygą naudodami skaliarinį sandaugą:

[MₒM, n] = 0.

Kadangi MₒM = r-rₒ, plokštumos vektorinė lygtis atrodys taip:

Ši lygtis gali turėti kitą formą. Tam naudojamos skaliarinės sandaugos savybės ir transformuojama kairioji lygties pusė. = -. Jei pažymime jį kaip c, gauname tokią lygtį: - c = 0 arba = c, kuri išreiškia projekcijų pastovumą į plokštumai priklausančių duotų taškų spindulio vektorių normalųjį vektorių.

Dabar galime gauti mūsų plokštumos vektorinės lygties rašymo koordinačių formą = 0. Kadangi r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, o n = A*i+B *j+С*k, turime:

Pasirodo, turime lygtį plokštumai, einančia per tašką, statmeną normaliajai n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Plokštumos lygties tipas pagal dviejų taškų koordinates ir vektoriaus, esančio kolinerėje su plokštuma

Apibrėžkime du savavališkus taškus M′ (x′,y′,z′) ir M″ (x″,y″,z″), taip pat vektorių a (a′,a″,a‴).

Dabar galime sukurti lygtį duotai plokštumai, kuri eis per esamus taškus M′ ir M″, taip pat bet kurį tašką M, kurio koordinatės (x, y, z) yra lygiagrečios duotam vektoriui a.

Šiuo atveju vektoriai M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) ir M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) turi būti vienodi su vektoriumi a=(a′,a″,a‴), o tai reiškia, kad (M′M, M″M, a)=0.

Taigi, mūsų plokštumos lygtis erdvėje atrodys taip:

Plokštumos, kertančios tris taškus, lygties tipas

Tarkime, kad turime tris taškus: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), kurie nepriklauso tai pačiai linijai. Būtina parašyti plokštumos, einančios per duotus tris taškus, lygtį. Geometrijos teorija teigia, kad tokia plokštuma tikrai egzistuoja, tačiau ji yra vienintelė ir unikali. Kadangi ši plokštuma kerta tašką (x′,y′,z′), jos lygties forma bus tokia:

Čia A, B, C skiriasi nuo nulio tuo pačiu metu. Taip pat duotoji plokštuma kerta dar du taškus: (x″,y″,z″) ir (x‴,y‴,z‴). Šiuo atžvilgiu turi būti įvykdytos šios sąlygos:

Dabar galime sukurti vienalytę sistemą su nežinomaisiais u, v, w:

Mūsų atveju x, y arba z yra savavališkas taškas, atitinkantis (1) lygtį. Atsižvelgiant į (1) lygtį ir (2) bei (3) lygčių sistemą, aukščiau esančiame paveikslėlyje nurodytą lygčių sistemą tenkina vektorius N (A,B,C), kuris nėra trivialus. Štai kodėl šios sistemos determinantas yra lygus nuliui.

Gauta (1) lygtis yra plokštumos lygtis. Jis tiksliai praeina per 3 taškus ir tai lengva patikrinti. Norėdami tai padaryti, turime išplėsti savo determinantą į pirmosios eilutės elementus. Iš esamų determinanto savybių matyti, kad mūsų plokštuma vienu metu kerta tris iš pradžių duotus taškus (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Tai yra, mes išsprendėme mums skirtą užduotį.

Dvikampis kampas tarp plokštumų

Dvikampis kampas yra erdvinė geometrinė figūra, sudaryta iš dviejų pusiau plokštumų, kylančių iš vienos tiesios linijos. Kitaip tariant, tai yra erdvės dalis, kurią riboja šios pusiau plokštumos.

Tarkime, kad turime dvi plokštumas su tokiomis lygtimis:

Žinome, kad vektoriai N=(A,B,C) ir N¹=(A¹,B¹,C¹) yra statmeni nurodytoms plokštumoms. Šiuo atžvilgiu kampas φ tarp vektorių N ir N¹ yra lygus kampui (diedraliui), kuris yra tarp šių plokštumų. Taškinis produktas turi tokią formą:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

būtent todėl

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Pakanka atsižvelgti į tai, kad 0≤φ≤π.

Tiesą sakant, dvi plokštumos, kurios susikerta, sudaro du kampus (dihedral): φ 1 ir φ 2. Jų suma lygi π (φ 1 + φ 2 = π). Kalbant apie jų kosinusus, jų absoliučios vertės yra lygios, tačiau skiriasi ženklu, ty cos φ 1 = -cos φ 2. Jei (0) lygtyje A, B ir C pakeisime atitinkamai skaičiais -A, -B ir -C, tada gauta lygtis nustatys tą pačią plokštumą, vienintelę, kampą φ lygtyje cos. φ= NN 1 /| N||N 1 | bus pakeistas π-φ.

Statmenos plokštumos lygtis

Plokštumos, tarp kurių kampas yra 90 laipsnių, vadinamos statmenomis. Naudodami aukščiau pateiktą medžiagą galime rasti plokštumos, statmenos kitai, lygtį. Tarkime, kad turime dvi plokštumas: Ax+By+Cz+D=0 ir A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Galime sakyti, kad jie bus statmeni, jei cosφ=0. Tai reiškia, kad NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Lygiagrečios plokštumos lygtis

Dvi plokštumos, kuriose nėra bendrų taškų, vadinamos lygiagrečiomis.

Sąlyga (jų lygtys tokios pat kaip ir ankstesnėje pastraipoje) yra ta, kad vektoriai N ir N¹, kurie yra statmeni jiems, yra kolinearūs. Tai reiškia, kad tenkinamos šios proporcingumo sąlygos:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Jei proporcingumo sąlygos yra išplėstos - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

tai rodo, kad šios plokštumos sutampa. Tai reiškia, kad lygtys Ax+By+Cz+D=0 ir A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 apibūdina vieną plokštumą.

Atstumas iki plokštumos nuo taško

Tarkime, kad turime plokštumą P, kuri pateikiama pagal (0) lygtį. Reikia rasti atstumą iki jo nuo taško, kurio koordinatės (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Norėdami tai padaryti, turite paversti plokštumos P lygtį į normalią formą:

(ρ,v)=р (р≥0).

Šiuo atveju ρ (x,y,z) yra mūsų taško Q spindulio vektorius, esantis P, p yra statmeno P, kuris buvo atleistas nuo nulinio taško, ilgis, v yra vieneto vektorius, esantis kryptis a.

Kai kurio taško Q = (x, y, z), priklausančio P, skirtumo ρ-ρº spindulio vektorius, taip pat tam tikro taško spindulio vektorius Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) yra toks vektorius, projekcijos, kurios į v absoliuti vertė yra lygi atstumui d, kurį reikia rasti nuo Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) iki P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, bet

(ρ-ρ 0,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v).

Taigi pasirodo

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Taigi rasime gautos išraiškos absoliučią reikšmę, tai yra norimą d.

Naudodami parametrų kalbą gauname akivaizdų:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Jei duotasis taškas Q 0 yra kitoje plokštumos P pusėje, kaip ir koordinačių pradžia, tai tarp vektoriaus ρ-ρ 0 ir v yra:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Tuo atveju, kai taškas Q 0 kartu su koordinačių pradžia yra toje pačioje P pusėje, tada sukurtas kampas yra smailus, tai yra:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Dėl to išeina, kad pirmuoju atveju (ρ 0 ,v)>р, antruoju (ρ 0 ,v)<р.

Liestinės plokštuma ir jos lygtis

Paviršiaus liestinės plokštuma sąlyčio taške Mº yra plokštuma, kurioje yra visos galimos kreivių, nubrėžtų per šį paviršiaus tašką, liestinės.

Naudojant tokio tipo paviršiaus lygtį F(x,y,z)=0, liestinės plokštumos lygtis liestinės taške Mº(xº,yº,zº) atrodys taip:

F x (xº,yº,zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Jei paviršių nurodysite aiškia forma z=f (x,y), tada liestinės plokštuma bus aprašyta lygtimi:

z-zº =f(xº, yº)(x-xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Dviejų plokštumų sankirta

Koordinačių sistemoje (stačiakampėje) yra Oxyz, pateiktos dvi plokštumos П′ ir П″, kurios susikerta ir nesutampa. Kadangi bet kuri plokštuma, esanti stačiakampėje koordinačių sistemoje, yra nustatoma pagal bendrąją lygtį, manysime, kad P′ ir P″ yra pateiktos lygtimis A′x+B′y+C′z+D′=0 ir A″x +B″y+ С″z+D″=0. Šiuo atveju turime plokštumos P′ normaliąją n′ (A′,B′,C′) ir plokštumos P″ normaliąją n″ (A″,B″,C'). Kadangi mūsų plokštumos nėra lygiagrečios ir nesutampa, šie vektoriai nėra kolineariniai. Naudodamiesi matematikos kalba, šią sąlygą galime užrašyti taip: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Tegul tiesė, esanti P′ ir P″ sankirtoje, yra pažymėta raide a, šiuo atveju a = P′ ∩ P″.

a yra tiesi linija, susidedanti iš visų (bendrų) plokštumų P′ ir P″ taškų aibės. Tai reiškia, kad bet kurio taško, priklausančio tiesei a, koordinatės turi vienu metu tenkinti lygtis A′x+B′y+C′z+D′=0 ir A″x+B″y+C″z+D″=0 . Tai reiškia, kad taško koordinatės bus dalinis šios lygčių sistemos sprendimas:

Dėl to paaiškėja, kad šios lygčių sistemos (bendrasis) sprendimas nustatys kiekvieno tiesės taško, kuris veiks kaip P′ ir P″ susikirtimo taškas, koordinates ir nustatys tiesę. a Oxyz (stačiakampėje) koordinačių sistemoje erdvėje.

Šioje pamokoje apžvelgsime, kaip naudoti determinantą kuriant plokštumos lygtis. Jei nežinote, kas yra determinantas, eikite į pirmąją pamokos dalį - „Matricos ir determinantai“. Priešingu atveju rizikuojate nieko nesuprasti šiandieninėje medžiagoje.

Plokštumos lygtis naudojant tris taškus

Kodėl mums apskritai reikia plokštumos lygties? Tai paprasta: žinodami tai, galime nesunkiai apskaičiuoti kampus, atstumus ir kitus niekšiškus uždavinius C2. Apskritai, jūs negalite išsiversti be šios lygties. Todėl mes formuluojame problemą:

Užduotis. Erdvėje pateikiami trys taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje. Jų koordinatės:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Turite sukurti plokštumos, einančios per šiuos tris taškus, lygtį. Be to, lygtis turėtų atrodyti taip:

Ax + By + Cz + D = 0

kur skaičiai A, B, C ir D yra koeficientai, kuriuos iš tikrųjų reikia rasti.

Na, kaip gauti plokštumos lygtį, jei žinomos tik taškų koordinatės? Lengviausias būdas yra pakeisti koordinates į lygtį Ax + By + Cz + D = 0. Gaunate trijų lygčių sistemą, kurią galima lengvai išspręsti.

Daugelis studentų mano, kad šis sprendimas yra labai varginantis ir nepatikimas. Praėjusių metų vieningas valstybinis matematikos egzaminas parodė, kad tikimybė padaryti skaičiavimo klaidą yra tikrai didelė.

Todėl pažangiausi mokytojai ėmė ieškoti paprastesnių ir elegantiškesnių sprendimų. Ir jie tai rado! Tiesa, gauta technika veikiau susijusi su aukštąja matematika. Asmeniškai man teko iškrapštyti visą federalinį vadovėlių sąrašą, kad įsitikintume, jog turime teisę naudoti šią techniką be jokio pagrindimo ar įrodymų.

Plokštumos per determinantą lygtis

Užteks dainų žodžių, kimbame prie reikalo. Pirmiausia – teorema apie tai, kaip yra susiję matricos determinantas ir plokštumos lygtis.

Teorema. Pateikiame trijų taškų, per kuriuos turi būti nubrėžta plokštuma, koordinates: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Tada šios plokštumos lygtį galima parašyti per determinantą:

Pavyzdžiui, pabandykime rasti porą plokštumų, kurios iš tikrųjų atsiranda C2 uždaviniuose. Pažiūrėkite, kaip greitai viskas apskaičiuojama:

A1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Sudarome determinantą ir prilygstame nuliui:

Išplečiame determinantą:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = -x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Kaip matote, skaičiuodamas skaičių d, lygtį šiek tiek „iššukavau“, kad kintamieji x, y ir z būtų teisinga seka. Tai viskas! Plokštumos lygtis paruošta!

Užduotis. Parašykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Iš karto pakeičiame taškų koordinates į determinantą:

Dar kartą išplečiame determinantą:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Taigi, vėl gaunama plokštumos lygtis! Vėlgi, paskutiniame žingsnyje turėjome pakeisti jame esančius ženklus, kad gautume „gražesnę“ formulę. Šiame sprendime to daryti visai nebūtina, tačiau vis tiek rekomenduojama – supaprastinti tolesnį problemos sprendimą.

Kaip matote, dabar daug lengviau sudaryti plokštumos lygtį. Pakeičiame taškus į matricą, apskaičiuojame determinantą - ir viskas, lygtis paruošta.

Tai gali baigti pamoką. Tačiau daugelis studentų nuolat pamiršta, kas yra determinanto viduje. Pavyzdžiui, kurioje eilutėje yra x 2 arba x 3, o kurioje tik x. Kad tai tikrai pašalintų, pažiūrėkime, iš kur gaunamas kiekvienas skaičius.

Iš kur atsiranda formulė su determinantu?

Taigi, išsiaiškinkime, iš kur kyla tokia griežta lygtis su determinantu. Tai padės jums tai atsiminti ir sėkmingai pritaikyti.

Visos užduotyje C2 esančios plokštumos yra apibrėžtos trimis taškais. Šie taškai visada pažymėti brėžinyje arba netgi nurodyti tiesiogiai problemos tekste. Bet kokiu atveju, norėdami sukurti lygtį, turėsime užrašyti jų koordinates:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).

Panagrinėkime kitą mūsų plokštumos tašką su savavališkomis koordinatėmis:

T = (x, y, z)

Paimkite bet kurį tašką iš pirmųjų trijų (pavyzdžiui, tašką M) ir nubrėžkite vektorius iš jo į kiekvieną iš trijų likusių taškų. Mes gauname tris vektorius:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y 1, z - z 1).

Dabar iš šių vektorių sudarykime kvadratinę matricą ir prilyginkime jos determinantą nuliui. Vektorių koordinatės taps matricos eilutėmis - ir mes gausime patį determinantą, kuris nurodytas teoremoje:

Ši formulė reiškia, kad gretasienio, pastatyto ant vektorių MN, MK ir MT, tūris yra lygus nuliui. Todėl visi trys vektoriai yra toje pačioje plokštumoje. Visų pirma, savavališkas taškas T = (x, y, z) yra būtent tai, ko mes ieškojome.

Determinanto taškų ir linijų pakeitimas

Determinantai turi keletą puikių savybių, kurios dar labiau palengvina C2 problemos sprendimas. Pavyzdžiui, mums nesvarbu, iš kurio taško brėžiame vektorius. Todėl šie determinantai suteikia tą pačią plokštumos lygtį kaip ir aukščiau:

Taip pat galite sukeisti determinanto eilutes. Lygtis išliks nepakitusi. Pavyzdžiui, daugelis žmonių mėgsta rašyti tiesę su taško T = (x; y; z) koordinatėmis pačiame viršuje. Prašome, jei jums patogu:

Kai kuriuos žmones glumina tai, kad vienoje iš eilučių yra kintamieji x, y ir z, kurie neišnyksta pakeičiant taškus. Bet jie neturėtų išnykti! Pakeitę skaičius į determinantą, turėtumėte gauti tokią konstrukciją:

Tada determinantas išplečiamas pagal pamokos pradžioje pateiktą schemą ir gaunama standartinė plokštumos lygtis:

Ax + By + Cz + D = 0

Pažvelkite į pavyzdį. Tai paskutinė šios dienos pamoka. Aš sąmoningai sukeisiu eilutes, kad įsitikinčiau, jog atsakymas duos tą pačią plokštumos lygtį.

Užduotis. Parašykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Taigi, mes atsižvelgiame į 4 taškus:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Pirmiausia sukurkime standartinį determinantą ir prilyginkime jį nuliui:

Išplečiame determinantą:

a = 0 1 (z - 1) + 1 0 (x - 1) + (-1) (-1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Štai ir gavome atsakymą: x + y + z − 2 = 0.

Dabar pertvarkykime kelias determinanto eilutes ir pažiūrėkime, kas atsitiks. Pavyzdžiui, parašykime eilutę su kintamaisiais x, y, z ne apačioje, o viršuje:

Dar kartą išplečiame gautą determinantą:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Gavome lygiai tokią pat plokštuminę lygtį: x + y + z − 2 = 0. Tai reiškia, kad ji tikrai nepriklauso nuo eilučių eilės. Belieka tik užsirašyti atsakymą.

Taigi, esame įsitikinę, kad plokštumos lygtis nepriklauso nuo eilučių sekos. Galime atlikti panašius skaičiavimus ir įrodyti, kad plokštumos lygtis nepriklauso nuo taško, kurio koordinates atimame iš kitų taškų.

Aukščiau nagrinėtoje užduotyje naudojome tašką B 1 = (1, 0, 1), tačiau buvo visiškai įmanoma paimti C = (1, 1, 0) arba D 1 = (0, 1, 1). Apskritai, bet kuris taškas su žinomomis koordinatėmis, esantis norimoje plokštumoje.