Soluções de exemplos de logaritmos decimais. Logaritmos: exemplos e soluções

Nada mal, certo? Enquanto os matemáticos procuram palavras para lhe dar uma definição longa e confusa, vamos dar uma olhada nesta definição simples e clara.

O número e significa crescimento

O número e significa crescimento contínuo. Como vimos no exemplo anterior, e x permite-nos vincular juros e tempo: 3 anos a 100% de crescimento é o mesmo que 1 ano a 300%, assumindo “juros compostos”.

Você pode substituir qualquer porcentagem e valores de tempo (50% por 4 anos), mas é melhor definir a porcentagem como 100% por conveniência (resulta 100% por 2 anos). Ao passar para 100%, podemos focar apenas no componente de tempo:

e x = e por cento * tempo = e 1,0 * tempo = e tempo

Obviamente e x significa:

• quanto minha contribuição crescerá após x unidades de tempo (assumindo 100% de crescimento contínuo).
• por exemplo, após 3 intervalos de tempo receberei e 3 = 20,08 vezes mais “coisas”.

e x é um fator de escala que mostra até que nível cresceremos em x período de tempo.

Logaritmo natural significa tempo

O logaritmo natural é o inverso de e, um termo sofisticado para oposto. Falando em peculiaridades; em latim é chamado logarithmus naturali, daí a abreviatura ln.

E o que significa esta inversão ou oposto?

• e x nos permite substituir o tempo e obter crescimento.
• ln(x) nos permite pegar o crescimento ou a receita e descobrir o tempo necessário para gerá-lo.

Por exemplo:

• e 3 é igual a 20,08. Após três períodos de tempo, teremos 20,08 vezes mais do que começamos.
• ln(20/08) seria aproximadamente 3. Se você estiver interessado em um crescimento de 20,08 vezes, precisará de 3 períodos de tempo (novamente, assumindo 100% de crescimento contínuo).

Ainda está lendo? O logaritmo natural mostra o tempo necessário para atingir o nível desejado.

Esta contagem logarítmica não padrão

Você já examinou logaritmos - eles são criaturas estranhas. Como eles conseguiram transformar a multiplicação em adição? E quanto à divisão em subtração? Vamos dar uma olhada.

A que ln(1) é igual? Intuitivamente, a questão é: quanto tempo devo esperar para conseguir 1x mais do que tenho?

Zero. Zero. De jeito nenhum. Você já o tem uma vez. Não demora muito para passar do nível 1 ao nível 1.

• ln(1) = 0

Ok, e o valor fracionário? Quanto tempo levará para termos metade da quantidade disponível? Sabemos que com 100% de crescimento contínuo, ln(2) significa o tempo que leva para dobrar. Se nós vamos voltar no tempo(ou seja, esperar um período de tempo negativo), obteremos metade do que temos.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Lógico, certo? Se voltarmos (no tempo) a 0,693 segundos, encontraremos metade do valor disponível. Em geral, você pode virar a fração e obter um valor negativo: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Isso significa que se voltarmos no tempo até 1,09 vezes, encontraremos apenas um terço do número atual.

Ok, e quanto ao logaritmo de um número negativo? Quanto tempo leva para “crescer” uma colônia de bactérias de 1 a -3?

Isto é impossível! Você não pode obter uma contagem negativa de bactérias, pode? Você pode obter um máximo (er...mínimo) de zero, mas não há como obter um número negativo dessas criaturinhas. Uma contagem negativa de bactérias simplesmente não faz sentido.

• ln(número negativo) = indefinido

"Indefinido" significa que não há tempo que seria necessário esperar para obter um valor negativo.

A multiplicação logarítmica é simplesmente hilária

Quanto tempo levará para crescer quatro vezes? Claro, você pode simplesmente pegar ln(4). Mas isso é muito simples, iremos por outro caminho.

Você pode pensar no crescimento quádruplo como duplicação (exigindo ln(2) unidades de tempo) e depois duplicando novamente (exigindo outras ln(2) unidades de tempo):

• Hora de crescer 4 vezes = ln(4) = Hora de dobrar e depois dobrar novamente = ln(2) + ln(2)

Interessante. Qualquer taxa de crescimento, digamos 20, pode ser considerada uma duplicação logo após um aumento de 10x. Ou crescimento de 4 vezes e depois de 5 vezes. Ou triplicando e depois aumentando 6.666 vezes. Veja o padrão?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

O logaritmo de A vezes B é log(A) + log(B). Esta relação faz sentido imediatamente quando vista em termos de crescimento.

Se você estiver interessado em um crescimento de 30x, pode esperar ln(30) de uma só vez ou esperar ln(3) para triplicar e depois outro ln(10) para 10x. O resultado final é o mesmo, então é claro que o tempo deve permanecer constante (e permanece).

E quanto à divisão? Especificamente, ln(5/3) significa: quanto tempo levará para crescer 5 vezes e depois obter 1/3 disso?

Ótimo, o crescimento de 5 vezes é ln(5). Um aumento de 1/3 vezes levará -ln(3) unidades de tempo. Então,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Isso significa: deixe crescer 5 vezes e depois “volte no tempo” até o ponto em que resta apenas um terço dessa quantidade, para obter 5/3 de crescimento. Em geral acontece

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Espero que a estranha aritmética dos logaritmos esteja começando a fazer sentido para você: multiplicar taxas de crescimento torna-se adicionar unidades de tempo de crescimento, e dividir torna-se subtrair unidades de tempo. Não há necessidade de memorizar as regras, tente entendê-las.

Usando o logaritmo natural para crescimento arbitrário

Bem, é claro”, você diz, “tudo isso é bom se o crescimento for de 100%, mas e os 5% que eu recebo?”

Sem problemas. O “tempo” que calculamos com ln() é na verdade uma combinação de taxa de juros e tempo, o mesmo X da equação e x. Decidimos apenas definir a porcentagem como 100% para simplificar, mas podemos usar qualquer número.

Digamos que queremos alcançar um crescimento de 30x: pegue ln(30) e obtenha 3,4. Isso significa:

• e x = altura
• e 3,4 = 30

Obviamente, esta equação significa que “100% de retorno em 3,4 anos proporciona um crescimento de 30x”. Podemos escrever esta equação da seguinte forma:

• e x = taxa e*tempo
• e 100% * 3,4 anos = 30

Podemos alterar os valores de “aposta” e “tempo”, desde que a aposta*tempo permaneça 3,4. Por exemplo, se estamos interessados ​​num crescimento de 30x, quanto tempo teremos de esperar a uma taxa de juro de 5%?

• ln(30) = 3,4
• taxa * tempo = 3,4
• 0,05 * tempo = 3,4
• tempo = 3,4 / 0,05 = 68 anos

Eu raciocino assim: "ln(30) = 3,4, então com 100% de crescimento serão necessários 3,4 anos. Se eu dobrar a taxa de crescimento, o tempo necessário será reduzido pela metade."

• 100% por 3,4 anos = 1,0 * 3,4 = 3,4
• 200% em 1,7 anos = 2,0 * 1,7 = 3,4
• 50% por 6,8 anos = 0,5 * 6,8 = 3,4
• 5% acima de 68 anos = 0,05 * 68 = 3,4.

Ótimo, certo? O logaritmo natural pode ser usado com qualquer taxa de juros e tempo porque seu produto permanece constante. Você pode mover os valores das variáveis ​​​​quanto quiser.

Exemplo legal: Regra dos setenta e dois

A Regra dos Setenta e Dois é uma técnica matemática que permite estimar quanto tempo levará para o seu dinheiro dobrar. Agora vamos deduzi-lo (sim!), e além disso, tentaremos compreender a sua essência.

Quanto tempo levará para dobrar seu dinheiro com juros de 100% compostos anualmente?

Ops. Usamos o logaritmo natural para o caso de crescimento contínuo, e agora você está falando de capitalização anual? Esta fórmula não se tornaria inadequada para tal caso? Sim, será, mas para taxas de juro reais como 5%, 6% ou mesmo 15%, a diferença entre a capitalização anual e o crescimento contínuo será pequena. Portanto, a estimativa aproximada funciona, aproximadamente, então vamos fingir que temos uma acumulação completamente contínua.

Agora a questão é simples: com que rapidez você pode dobrar com um crescimento de 100%? ln(2) = 0,693. São necessárias 0,693 unidades de tempo (anos no nosso caso) para duplicar o nosso valor com um aumento contínuo de 100%.

Então, e se a taxa de juros não for 100%, mas digamos 5% ou 10%?

Facilmente! Como aposta * tempo = 0,693, duplicaremos o valor:

• taxa * tempo = 0,693
• tempo = 0,693 / aposta

Acontece que se o crescimento for de 10%, serão necessários 0,693 / 0,10 = 6,93 anos para dobrar.

Para simplificar os cálculos, vamos multiplicar ambos os lados por 100, então podemos dizer “10” em vez de “0,10”:

• tempo para dobrar = 69,3/aposta, onde a aposta é expressa em percentagem.

Agora é hora de dobrar a uma taxa de 5%, 69,3/5 = 13,86 anos. No entanto, 69,3 não é o dividendo mais conveniente. Vamos escolher um número próximo, 72, que seja conveniente para dividir por 2, 3, 4, 6, 8 e outros números.

• hora de dobrar = 72/aposta

que é a regra dos setenta e dois. Tudo está coberto.

Se você precisar encontrar o tempo para triplicar, você pode usar ln(3) ~ 109,8 e obter

• tempo para triplicar = 110/aposta

Qual é outra regra útil. A “Regra dos 72” aplica-se ao crescimento das taxas de juro, ao crescimento populacional, às culturas bacterianas e a tudo o que cresce exponencialmente.

Qual é o próximo?

Esperamos que o logaritmo natural agora faça sentido para você – ele mostra o tempo que leva para qualquer número crescer exponencialmente. Acho que é chamado de natural porque e é uma medida universal de crescimento, então ln pode ser considerado uma forma universal de determinar quanto tempo leva para crescer.

Cada vez que você vir ln(x), lembre-se “do tempo que leva para crescer X vezes”. Num próximo artigo descreverei e e ln em conjunto para que o cheiro fresco da matemática preencha o ar.

Adendo: Logaritmo natural de e

Teste rápido: o que é ln(e)?

• um robô matemático dirá: como eles são definidos como o inverso um do outro, é óbvio que ln(e) = 1.
• pessoa compreensiva: ln(e) é o número de vezes que leva para crescer "e" vezes (cerca de 2,718). No entanto, o próprio número e é uma medida de crescimento por um fator de 1, então ln(e) = 1.

Pensar claramente.

Instruções

Escreva a expressão logarítmica dada. Se a expressão usar o logaritmo de 10, então sua notação será abreviada e terá a seguinte aparência: lg b é o logaritmo decimal. Se o logaritmo tiver o número e como base, escreva a expressão: ln b – logaritmo natural. Entende-se que o resultado de qualquer é a potência à qual o número base deve ser elevado para obter o número b.

Ao encontrar a soma de duas funções, basta diferenciá-las uma por uma e somar os resultados: (u+v)" = u"+v";

Ao encontrar a derivada do produto de duas funções, é necessário multiplicar a derivada da primeira função pela segunda e somar a derivada da segunda função multiplicada pela primeira função: (u*v)" = u"*v +v"*você;

Para encontrar a derivada do quociente de duas funções, é necessário subtrair do produto da derivada do dividendo multiplicado pela função divisora ​​o produto da derivada do divisor multiplicado pela função do dividendo, e dividir tudo isso pela função divisora ​​ao quadrado. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Se for dada uma função complexa, então é necessário multiplicar a derivada da função interna e a derivada da externa. Seja y=u(v(x)), então y"(x)=y"(u)*v"(x).

Usando os resultados obtidos acima, você pode diferenciar quase qualquer função. Então vejamos alguns exemplos:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Existem também problemas envolvendo o cálculo da derivada em um ponto. Deixe a função y=e^(x^2+6x+5) ser dada, você precisa encontrar o valor da função no ponto x=1.
1) Encontre a derivada da função: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calcule o valor da função em um determinado ponto y"(1)=8*e^0=8

Vídeo sobre o tema

Conselho util

Aprenda a tabela de derivadas elementares. Isso economizará significativamente tempo.

Fontes:

• derivada de uma constante

Então, qual é a diferença entre uma equação irracional e uma racional? Se a variável desconhecida estiver sob o sinal de raiz quadrada, a equação é considerada irracional.

Instruções

O principal método para resolver tais equações é o método de construção de ambos os lados equações em um quadrado. No entanto. isso é natural, a primeira coisa que você precisa fazer é se livrar da placa. Este método não é tecnicamente difícil, mas às vezes pode causar problemas. Por exemplo, a equação é v(2x-5)=v(4x-7). Ao elevar ambos os lados ao quadrado você obtém 2x-5=4x-7. Resolver tal equação não é difícil; x=1. Mas o número 1 não será dado equações. Por que? Substitua um na equação em vez do valor de x E os lados direito e esquerdo conterão expressões que não fazem sentido. Este valor não é válido para uma raiz quadrada. Portanto, 1 é uma raiz estranha e, portanto, esta equação não tem raízes.

Portanto, uma equação irracional é resolvida usando o método da quadratura de ambos os lados. E resolvida a equação, é necessário cortar raízes estranhas. Para fazer isso, substitua as raízes encontradas na equação original.

Considere outro.
2х+vх-3=0
Claro, esta equação pode ser resolvida usando a mesma equação da anterior. Mover compostos equações, que não possuem raiz quadrada, para o lado direito e depois usar o método de quadratura. resolva a equação racional resultante e as raízes. Mas também outro, mais elegante. Insira uma nova variável; vх=y. Conseqüentemente, você receberá uma equação da forma 2y2+y-3=0. Ou seja, uma equação quadrática ordinária. Encontre suas raízes; y1=1 e y2=-3/2. A seguir, resolva dois equações vх=1; vх=-3/2. A segunda equação não tem raízes; da primeira descobrimos que x=1. Não se esqueça de verificar as raízes.

Resolver identidades é bastante simples. Para isso, é necessário realizar transformações idênticas até que o objetivo traçado seja alcançado. Assim, com a ajuda de operações aritméticas simples, o problema proposto será resolvido.

Você vai precisar

• - papel;
• - caneta.

Instruções

A mais simples dessas transformações são multiplicações algébricas abreviadas (como o quadrado da soma (diferença), diferença de quadrados, soma (diferença), cubo da soma (diferença)). Além disso, existem muitas fórmulas trigonométricas, que são essencialmente as mesmas identidades.

Na verdade, o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo e mais o quadrado do segundo, ou seja, (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Simplifique ambos

Princípios gerais da solução

Método de Substituição de Variável

Resolvendo integrais de segundo tipo

Substituição de limites de integração

O que é um logaritmo?

Atenção!
Existem adicionais
materiais na Seção Especial 555.
Para quem é muito "não muito..."
E para quem “muito…”)

O que é um logaritmo? Como resolver logaritmos? Essas questões confundem muitos graduados. Tradicionalmente, o tema dos logaritmos é considerado complexo, incompreensível e assustador. Principalmente equações com logaritmos.

Isto não é absolutamente verdade. Absolutamente! Não acredite em mim? Multar. Agora, em apenas 10 a 20 minutos você:

1. Você vai entender o que é um logaritmo.

2. Aprenda a resolver toda uma classe de equações exponenciais. Mesmo que você não tenha ouvido nada sobre eles.

3. Aprenda a calcular logaritmos simples.

Além disso, para isso você só precisará conhecer a tabuada e como elevar um número a uma potência...

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Primeiro, resolva esta equação mentalmente:

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Vamos aprender - com interesse!)

Você pode se familiarizar com funções e derivadas.

À medida que a sociedade se desenvolveu e a produção se tornou mais complexa, a matemática também se desenvolveu. Movimento do simples ao complexo. Da contabilidade comum pelo método de adição e subtração, com sua repetida repetição, chegamos ao conceito de multiplicação e divisão. Reduzir a operação repetida de multiplicação tornou-se o conceito de exponenciação. As primeiras tabelas da dependência dos números na base e no número de exponenciação foram compiladas no século VIII pelo matemático indiano Varasena. A partir deles você pode contar o tempo de ocorrência dos logaritmos.

Esboço histórico

O renascimento da Europa no século XVI também estimulou o desenvolvimento da mecânica. T exigiu uma grande quantidade de computação relacionado à multiplicação e divisão de números com vários dígitos. As mesas antigas eram de grande utilidade. Eles possibilitaram substituir operações complexas por outras mais simples - adição e subtração. Um grande avanço foi o trabalho do matemático Michael Stiefel, publicado em 1544, no qual concretizou a ideia de muitos matemáticos. Isso possibilitou o uso de tabelas não apenas para potências na forma de números primos, mas também para potências racionais arbitrárias.

Em 1614, o escocês John Napier, desenvolvendo estas ideias, introduziu pela primeira vez o novo termo “logaritmo de um número”. Novas tabelas complexas foram compiladas para cálculo de logaritmos de senos e cossenos, bem como de tangentes. Isso reduziu muito o trabalho dos astrônomos.

Novas tabelas começaram a aparecer, que foram utilizadas com sucesso pelos cientistas durante três séculos. Muito tempo se passou antes que a nova operação em álgebra adquirisse sua forma finalizada. Foi dada a definição do logaritmo e estudadas suas propriedades.

Somente no século XX, com o advento da calculadora e do computador, a humanidade abandonou as antigas tabelas que funcionaram com sucesso ao longo do século XIII.

Hoje chamamos o logaritmo de b de base a de o número x que é a potência de a para formar b. Isso é escrito como uma fórmula: x = log a(b).

Por exemplo, log 3(9) seria igual a 2. Isto é óbvio se você seguir a definição. Se elevarmos 3 à potência de 2, obtemos 9.

Assim, a definição formulada estabelece apenas uma restrição: os números a e b devem ser reais.

Tipos de logaritmos

A definição clássica é chamada de logaritmo real e é na verdade a solução da equação a x = b. A opção a = 1 é limítrofe e não tem interesse. Atenção: 1 elevado a qualquer potência é igual a 1.

Valor real do logaritmo definido apenas quando a base e o argumento são maiores que 0, e a base não deve ser igual a 1.

Lugar especial no campo da matemática reproduzem logaritmos, que serão nomeados dependendo do tamanho de sua base:

Regras e restrições

A propriedade fundamental dos logaritmos é a regra: o logaritmo de um produto é igual à soma logarítmica. log abp = log a(b) + log a(p).

Como variante desta afirmação haverá: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), a função quociente é igual à diferença das funções.

A partir das duas regras anteriores é fácil ver que: log a(b p) = p * log a(b).

Outras propriedades incluem:

Comente. Não há necessidade de cometer um erro comum – o logaritmo de uma soma não é igual à soma dos logaritmos.

Durante muitos séculos, a operação de encontrar um logaritmo foi uma tarefa bastante demorada. Os matemáticos usaram a conhecida fórmula da teoria logarítmica da expansão polinomial:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 +… + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), onde n é um número natural maior que 1, que determina a precisão do cálculo.

Os logaritmos com outras bases foram calculados utilizando o teorema da transição de uma base para outra e a propriedade do logaritmo do produto.

Como este método é muito trabalhoso e ao resolver problemas práticos de difícil implementação, utilizamos tabelas de logaritmos pré-compiladas, o que agilizou significativamente todo o trabalho.

Em alguns casos, foram utilizados gráficos de logaritmos especialmente compilados, o que deu menos precisão, mas acelerou significativamente a busca pelo valor desejado. A curva da função y = log a(x), construída em vários pontos, permite usar uma régua regular para encontrar o valor da função em qualquer outro ponto. Por muito tempo, os engenheiros usaram o chamado papel milimetrado para esses fins.

No século XVII surgiram as primeiras condições auxiliares de computação analógica, que no século XIX adquiriram forma completa. O dispositivo de maior sucesso foi chamado de régua de cálculo. Apesar da simplicidade do dispositivo, sua aparência acelerou significativamente o processo de todos os cálculos de engenharia, e isso é difícil de superestimar. Atualmente, poucas pessoas estão familiarizadas com este dispositivo.

O advento das calculadoras e dos computadores tornou inútil o uso de quaisquer outros dispositivos.

Equações e desigualdades

Para resolver várias equações e desigualdades usando logaritmos, são utilizadas as seguintes fórmulas:

• Passando de uma base para outra: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Como consequência da opção anterior: log a(b) = 1 / log b(a).

Para resolver desigualdades é útil saber:

• O valor do logaritmo será positivo somente se a base e o argumento forem maiores ou menores que um; se pelo menos uma condição for violada, o valor do logaritmo será negativo.
• Se a função logaritmo for aplicada aos lados direito e esquerdo de uma desigualdade, e a base do logaritmo for maior que um, então o sinal da desigualdade é preservado; caso contrário, isso muda.

Exemplos de problemas

Consideremos várias opções para usar logaritmos e suas propriedades. Exemplos com resolução de equações:

Considere a opção de colocar o logaritmo em uma potência:

• Problema 3. Calcule 25^log 5(3). Solução: nas condições do problema, a entrada é semelhante à seguinte (5^2)^log5(3) ou 5^(2 * log 5(3)). Vamos escrever de forma diferente: 5^log 5(3*2), ou o quadrado de um número como argumento de função pode ser escrito como o quadrado da própria função (5^log 5(3))^2. Usando as propriedades dos logaritmos, esta expressão é igual a 3^2. Resposta: como resultado do cálculo obtemos 9.

Uso pratico

Sendo uma ferramenta puramente matemática, parece longe da vida real que o logaritmo de repente adquiriu grande importância para descrever objetos no mundo real. É difícil encontrar uma ciência onde não seja utilizada. Isto se aplica plenamente não apenas aos campos do conhecimento natural, mas também aos humanitários.

Dependências logarítmicas

Aqui estão alguns exemplos de dependências numéricas:

Mecânica e física

Historicamente, a mecânica e a física sempre se desenvolveram utilizando métodos de pesquisa matemática e ao mesmo tempo serviram de incentivo para o desenvolvimento da matemática, incluindo os logaritmos. A teoria da maioria das leis da física está escrita na linguagem da matemática. Daremos apenas dois exemplos de descrição de leis físicas usando o logaritmo.

O problema de calcular uma quantidade tão complexa como a velocidade de um foguete pode ser resolvido usando a fórmula de Tsiolkovsky, que lançou as bases para a teoria da exploração espacial:

V = I * ln (M1/M2), onde

• V é a velocidade final da aeronave.
• I – impulso específico do motor.
• M 1 – massa inicial do foguete.
• M 2 – massa final.

Outro exemplo importante- é usado na fórmula de outro grande cientista Max Planck, que serve para avaliar o estado de equilíbrio na termodinâmica.

S = k * ln (Ω), onde

• S – propriedade termodinâmica.
• k – Constante de Boltzmann.
• Ω é o peso estatístico dos diferentes estados.

Química

Menos óbvio é o uso de fórmulas em química contendo a proporção de logaritmos. Vamos dar apenas dois exemplos:

• Equação de Nernst, a condição do potencial redox do meio em relação à atividade das substâncias e à constante de equilíbrio.
• O cálculo de constantes como o índice de autólise e a acidez da solução também não pode ser feito sem a nossa função.

Psicologia e biologia

E não está nada claro o que a psicologia tem a ver com isso. Acontece que a força da sensação é bem descrita por esta função como a razão inversa entre o valor da intensidade do estímulo e o valor da intensidade mais baixa.

Após os exemplos acima, não é mais surpreendente que o tema logaritmos seja amplamente utilizado na biologia. Volumes inteiros poderiam ser escritos sobre formas biológicas correspondentes a espirais logarítmicas.

Outras áreas

Parece que a existência do mundo é impossível sem ligação com esta função, e ela rege todas as leis. Principalmente quando as leis da natureza estão associadas à progressão geométrica. Vale a pena consultar o site MatProfi, e existem muitos exemplos nas seguintes áreas de atividade:

A lista pode ser interminável. Tendo dominado os princípios básicos desta função, você pode mergulhar no mundo da sabedoria infinita.

Logaritmo com base aé uma função de y (x) = log a x, inversa à função exponencial com base a: x (y) = ay.

Logaritmo decimalé o logaritmo da base de um número 10 : log x ≡ log 10 x.

Logaritmo naturalé o logaritmo da base de e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

O gráfico do logaritmo é obtido a partir do gráfico da função exponencial espelhando-a em relação à reta y = x. À esquerda estão os gráficos da função y (x) = log a x para quatro valores bases logarítmicas: uma = 2 , uma = 8 , uma = 1/2 e um = 1/8 . O gráfico mostra que quando um > 1 o logaritmo aumenta monotonicamente. À medida que x aumenta, o crescimento desacelera significativamente. No 0 < a < 1 o logaritmo diminui monotonicamente.

Propriedades do logaritmo

Domínio, conjunto de valores, crescente, decrescente

O logaritmo é uma função monotônica, portanto não possui extremos. As principais propriedades do logaritmo são apresentadas na tabela.

Valores privados

O logaritmo de base 10 é chamado logaritmo decimal e é denotado da seguinte forma:

Logaritmo para base e chamado Logaritmo natural:

Fórmulas básicas para logaritmos

Propriedades do logaritmo decorrentes da definição da função inversa:

A principal propriedade dos logaritmos e suas consequências

Fórmula de substituição de base

Logaritmoé a operação matemática de obter um logaritmo. Ao tomar logaritmos, os produtos dos fatores são convertidos em somas de termos.

Potenciaçãoé a operação matemática inversa do logaritmo. Durante a potenciação, uma determinada base é elevada ao grau de expressão sobre o qual a potenciação é realizada. Neste caso, as somas dos termos são transformadas em produtos de fatores.

Prova de fórmulas básicas para logaritmos

As fórmulas relacionadas aos logaritmos decorrem das fórmulas para funções exponenciais e da definição de uma função inversa.

Considere a propriedade da função exponencial
.
Então
.
Vamos aplicar a propriedade da função exponencial
:
.

Vamos provar a fórmula de substituição de base.
;
.
Supondo que c = b, temos:

Função inversa

O inverso de um logaritmo para base a é uma função exponencial com expoente a.

Se então

Se então

Derivada do logaritmo

Derivada do logaritmo do módulo x:
.
Derivada de enésima ordem:
.
Derivando fórmulas >>>

Para encontrar a derivada de um logaritmo, ela deve ser reduzida à base e.
;
.

Integrante

A integral do logaritmo é calculada integrando por partes: .
Então,

Expressões usando números complexos

Considere a função de número complexo z:
.
Vamos expressar um número complexo z através do módulo R e argumento φ :
.
Então, usando as propriedades do logaritmo, temos:
.
Ou

No entanto, o argumento φ não definido de forma única. Se você colocar
, onde n é um número inteiro,
então será o mesmo número para diferentes n.

Portanto, o logaritmo, como função de uma variável complexa, não é uma função de valor único.

Expansão da série de potências

Quando a expansão ocorre:

Referências:
EM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemática para engenheiros e estudantes universitários, “Lan”, 2009.