Tipos de números. Natural, inteiro, racional e real. Números: naturais, inteiros, racionais, reais. Frações comuns e decimais

Número- um importante conceito matemático que mudou ao longo dos séculos.

As primeiras ideias sobre números surgiram a partir da contagem de pessoas, animais, frutas, produtos diversos, etc. O resultado são números naturais: 1, 2, 3, 4, ...

Historicamente, a primeira extensão do conceito de número é a adição de números fracionários ao número natural.

Fraçãoé chamada uma parte (parte) de uma unidade ou várias partes iguais.

Designado por: , onde m, n- números inteiros;

Frações com denominador 10 n, Onde n- um número inteiro, chamado decimal: .

Entre as frações decimais, um lugar especial é ocupado por frações periódicas: - fração periódica pura, - fração periódica mista.

A expansão adicional do conceito de número é causada pelo desenvolvimento da própria matemática (álgebra). Descartes no século XVII. apresenta o conceito número negativo.

Os números inteiros (positivos e negativos), frações (positivos e negativos) e zero são chamados números racionais. Qualquer número racional pode ser escrito como uma fração finita e periódica.

Para estudar quantidades variáveis ​​​​em constante mudança, descobriu-se que era necessária uma nova expansão do conceito de número - a introdução de números reais (reais) - adicionando números irracionais a números racionais: números irracionais são frações decimais não periódicas infinitas.

Os números irracionais apareceram ao medir segmentos incomensuráveis ​​​​(o lado e a diagonal de um quadrado), na álgebra - ao extrair raízes, um exemplo de número irracional transcendental é π, e .

Números natural(1, 2, 3,...), todo(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), racional(representado como uma fração) e irracional(não representável como uma fração ) formar um conjunto verdadeiro (real) números.

Os números complexos são diferenciados separadamente em matemática.

Números complexos surgem em conexão com o problema de resolver quadrados para o caso D< 0 (здесь D– discriminante de uma equação quadrática). Por muito tempo, esses números não encontraram aplicação física, por isso foram chamados de números “imaginários”. No entanto, agora eles são amplamente utilizados em vários campos da física e da tecnologia: engenharia elétrica, hidro e aerodinâmica, teoria da elasticidade, etc.

Números complexos são escritos na forma: z= a+ bi. Aqui a E b – numeros reais, A eu – unidade imaginária, ou seja,e. eu 2 = -1. Número a chamado abscissa, a b-ordenar número complexo a+ bi. Dois números complexos a+ bi E a-bi são chamados conjugado números complexos.

Propriedades:

1. Número real A também pode ser escrito na forma de número complexo: a+ 0eu ou a - 0eu. Por exemplo 5 + 0 eu e 5 – 0 eu significa o mesmo número 5.

2. Número complexo 0 + bi chamado puramente imaginário número. Registro bi significa o mesmo que 0 + bi.

3. Dois números complexos a+ bi E c+ di são considerados iguais se a= c E b= d. Caso contrário, os números complexos não são iguais.

Ações:

Adição. Soma de números complexos a+ bi E c+ dié chamado de número complexo ( a+ c) + (b+ d)eu. Por isso, Ao adicionar números complexos, suas abcissas e ordenadas são adicionadas separadamente.

Subtração. A diferença de dois números complexos a+ bi(diminuído) e c+ di(subtraendo) é chamado de número complexo ( a-c) + (b-d)eu. Por isso, Ao subtrair dois números complexos, suas abcissas e ordenadas são subtraídas separadamente.

Multiplicação. Produto de números complexos a+ bi E c+ dié chamado de número complexo:

(ac–bd) + (de Anúncios+ a.C.)eu. Esta definição decorre de dois requisitos:

1) números a+ bi E c+ di deve ser multiplicado como binômios algébricos,

2) número eu tem a propriedade principal: eu 2 = –1.

EXEMPLO ( a+bi)(a-bi)=uma 2 +b 2 . Por isso, trabalharde dois números complexos conjugados é igual a um número real positivo.

Divisão. Divida um número complexo a+ bi(divisível) por outro c+ di (divisor) - significa encontrar o terceiro número e+ e eu(chat), que quando multiplicado por um divisor c+ di, resulta no dividendo a+ bi. Se o divisor não for zero, a divisão é sempre possível.

EXEMPLO Encontre (8 + eu) : (2 – 3eu) .

Solução. Vamos reescrever esta proporção como uma fração:

Multiplicando seu numerador e denominador por 2 + 3 eu e depois de realizar todas as transformações, obtemos:

Tarefa 1: Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir z 1 em z 2

Extraindo a raiz quadrada: Resolva a equação x 2 = -a. Para resolver esta equação somos forçados a usar números de um novo tipo - números imaginários . Por isso, imaginário o número é chamado cuja segunda potência é um número negativo. De acordo com esta definição de números imaginários podemos definir e imaginário unidade:

Então para a equação x 2 = – 25 temos dois imaginário raiz:

Tarefa 2: Resolva a equação:

1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Representação geométrica de números complexos. Os números reais são representados por pontos na reta numérica:

Aqui está o ponto A significa o número –3, ponto B–número 2, e Ó-zero. Em contraste, os números complexos são representados por pontos no plano coordenado. Para tanto, escolhemos coordenadas retangulares (cartesianas) com as mesmas escalas em ambos os eixos. Então o número complexo a+ bi será representado por um ponto P com abscissaA e ordenarb. Este sistema de coordenadas é chamado plano complexo .

Módulo número complexo é o comprimento do vetor OP, representando um número complexo na coordenada ( compreensivo) avião. Módulo de um número complexo a+ bi denotado | a+ bi| ou) carta R e é igual a:

Os números complexos conjugados têm o mesmo módulo.

As regras para traçar um desenho são quase as mesmas que para um desenho em sistema de coordenadas cartesianas... Ao longo dos eixos você precisa definir a dimensão, observe:

e
unidade ao longo do eixo real; Rez

unidade imaginária ao longo do eixo imaginário. Eu sou z

Tarefa 3. Construa os seguintes números complexos no plano complexo: , , , , , , ,

1. Os números são exatos e aproximados. Os números que encontramos na prática são de dois tipos. Alguns fornecem o valor verdadeiro da quantidade, outros apenas aproximados. Os primeiros são chamados de exatos, os segundos são chamados de aproximados. Na maioria das vezes é conveniente usar um número aproximado em vez de um número exato, especialmente porque em muitos casos é impossível encontrar um número exato.

Então, se disserem que há 29 alunos numa turma, então o número 29 está correto. Se dizem que a distância de Moscou a Kiev é de 960 km, então aqui o número 960 é aproximado, pois, por um lado, nossos instrumentos de medição não são absolutamente precisos, por outro lado, as próprias cidades têm uma certa extensão.

O resultado das ações com números aproximados também é um número aproximado. Ao realizar algumas operações em números exatos (divisão, extração de raiz), você também pode obter números aproximados.

A teoria dos cálculos aproximados permite:

1) conhecendo o grau de precisão dos dados, avaliar o grau de precisão dos resultados;

2) obter dados com um grau adequado de precisão suficiente para garantir a precisão necessária do resultado;

3) racionalizar o processo de cálculo, libertando-o daqueles cálculos que não afetarão a precisão do resultado.

2. Arredondamento. Uma fonte de obtenção de números aproximados é o arredondamento. Os números aproximados e exatos são arredondados.

O arredondamento de um determinado número para um determinado dígito é chamado de substituição por um novo número, que é obtido a partir do dado descartando todos os seus dígitos escritos à direita do dígito deste dígito, ou substituindo-os por zeros. Esses zeros geralmente são sublinhados ou escritos em tamanho menor. Para garantir que o número arredondado seja o mais próximo possível daquele que está sendo arredondado, você deve usar as seguintes regras: para arredondar um número para um de um determinado dígito, você deve descartar todos os dígitos após o dígito deste dígito e substituir eles com zeros no número inteiro. São levados em consideração:

1) se o primeiro (à esquerda) dos dígitos descartados for menor que 5, o último dígito restante não é alterado (arredondado para baixo);

2) se o primeiro dígito a ser descartado for maior que 5 ou igual a 5, então o último dígito restante é aumentado em um (arredondamento com excesso).

Vamos mostrar isso com exemplos. Redondo:

a) até décimos 12,34;

b) até centésimos 3,2465; 1038.785;

c) até milésimos 3,4335.

d) até mil 12.375; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1.038,785 ≈ 1.038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12.375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.

3. Erros absolutos e relativos. A diferença entre o número exato e seu valor aproximado é chamada de erro absoluto do número aproximado. Por exemplo, se o número exato 1,214 for arredondado para o décimo mais próximo, obteremos um número aproximado de 1,2. Neste caso, o erro absoluto do número aproximado 1,2 é 1,214 - 1,2, ou seja, 0,014.

Mas na maioria dos casos, o valor exato do valor em consideração é desconhecido, mas apenas aproximado. Então o erro absoluto é desconhecido. Nestes casos, indique o limite que não ultrapassa. Este número é chamado de erro absoluto limitante. Dizem que o valor exato de um número é igual ao seu valor aproximado com um erro menor que o erro marginal. Por exemplo, o número 23,71 é um valor aproximado do número 23,7125 com precisão de 0,01, pois o erro absoluto da aproximação é 0,0025 e menor que 0,01. Aqui o erro absoluto limitante é 0,01 *.

Erro absoluto limite do número aproximado A denotado pelo símbolo Δ a. Registro

x≈a(±Δ a)

deve ser entendido da seguinte forma: o valor exato da quantidade x está entre os números A– Δ a E A+ Δ A, que são chamados de limites inferior e superior, respectivamente X e denotar NG x VG X.

Por exemplo, se x≈ 2,3 (±0,1), então 2,2<x< 2,4.

Vice-versa, se 7,3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). O erro absoluto ou marginal absoluto não caracteriza a qualidade da medição realizada. O mesmo erro absoluto pode ser considerado significativo e insignificante dependendo do número com que o valor medido é expresso. Por exemplo, se medirmos a distância entre duas cidades com precisão de um quilômetro, então essa precisão é suficiente para essa mudança, mas ao mesmo tempo, ao medir a distância entre duas casas na mesma rua, tal precisão será inaceitável. Consequentemente, a precisão do valor aproximado de uma grandeza depende não apenas da magnitude do erro absoluto, mas também do valor da grandeza medida. Portanto, o erro relativo é uma medida de precisão.

O erro relativo é a razão entre o erro absoluto e o valor do número aproximado. A razão entre o erro absoluto limitante e o número aproximado é chamada de erro relativo limitante; eles designam assim: . Erros relativos e relativos marginais são geralmente expressos como porcentagens. Por exemplo, se as medições mostrassem que a distância X entre dois pontos é superior a 12,3 km, mas inferior a 12,7 km, então a média aritmética desses dois números é tomada como seu valor aproximado, ou seja, sua meia soma, então o erro absoluto marginal é igual à meia diferença desses números. Nesse caso X≈ 12,5 (±0,2). Aqui o erro absoluto limite é de 0,2 km, e o erro relativo limite

Um monte deé um conjunto de quaisquer objetos chamados elementos desse conjunto.

Por exemplo: muitos alunos, muitos carros, muitos números .

Em matemática, o conjunto é considerado de forma muito mais ampla. Não nos aprofundaremos muito neste tema, pois se refere à matemática superior e a princípio pode criar dificuldades de aprendizagem. Consideraremos apenas a parte do tópico que já tratamos.

Designações

Um conjunto é mais frequentemente denotado por letras maiúsculas do alfabeto latino e seus elementos por letras minúsculas. Nesse caso, os elementos são colocados entre chaves.

Por exemplo, se o nome do nosso amigo for Tom, John e Leo , então podemos definir um conjunto de amigos cujos elementos serão Tom, João e Leão.

Vamos denotar muitos de nossos amigos usando uma letra latina maiúscula F(amigos), em seguida, coloque um sinal de igual e liste nossos amigos entre chaves:

F = (Tom, John, Leo)

Exemplo 2. Vamos anotar o conjunto de divisores do número 6.

Vamos denotar este conjunto por qualquer letra latina maiúscula, por exemplo, pela letra D

então colocamos um sinal de igual e listamos os elementos desse conjunto entre chaves, ou seja, listamos os divisores do número 6

D = (1, 2, 3, 6)

Se algum elemento pertence a um determinado conjunto, então esta pertinência é indicada usando o sinal de pertinência ∈. Por exemplo, o divisor 2 pertence ao conjunto de divisores do número 6 (o conjunto D). Está escrito assim:

Lê como: “2 pertence ao conjunto dos divisores do número 6”

Se algum elemento não pertence a um determinado conjunto, então esta não pertinência é indicada por meio de um sinal de pertinência riscado ∉. Por exemplo, o divisor 5 não pertence ao conjunto D. Está escrito assim:

Lê como: "5 Não pertence conjunto de divisores do número 6″

Além disso, um conjunto pode ser escrito listando diretamente os elementos, sem letras maiúsculas. Isto pode ser conveniente se o conjunto consistir em um pequeno número de elementos. Por exemplo, vamos definir um conjunto de um elemento. Deixe este elemento ser nosso amigo Volume:

(Volume)

Vamos definir um conjunto que consiste em um número 2

{ 2 }

Vamos definir um conjunto que consiste em dois números: 2 e 5

{ 2, 5 }

Conjunto de números naturais

Este é o primeiro conjunto com o qual começamos a trabalhar. Os números naturais são os números 1, 2, 3, etc.

Os números naturais surgiram devido à necessidade das pessoas de contar esses outros objetos. Por exemplo, conte o número de galinhas, vacas, cavalos. Os números naturais surgem naturalmente durante a contagem.

Nas lições anteriores, quando usamos a palavra "número", na maioria das vezes o que se pretendia era um número natural.

Em matemática, o conjunto dos números naturais é denotado por uma letra maiúscula N.

Por exemplo, observemos que o número 1 pertence ao conjunto dos números naturais. Para fazer isso, anotamos o número 1 e, em seguida, usando o sinal de pertinência ∈ indicamos que a unidade pertence ao conjunto N

1 ∈ N

Lê como: “um pertence ao conjunto dos números naturais”

Conjunto de inteiros

O conjunto de inteiros inclui todos os positivos e, bem como o número 0.

Um conjunto de inteiros é denotado por uma letra maiúscula Z .

Destaquemos, por exemplo, que o número −5 pertence ao conjunto dos inteiros:

−5 ∈ Z

Ressaltemos que 10 pertence ao conjunto dos inteiros:

10 ∈ Z

Ressaltemos que 0 pertence ao conjunto dos inteiros:

No futuro, chamaremos todos os números positivos e negativos de uma frase - números inteiros.

Conjunto de números racionais

Os números racionais são as mesmas frações ordinárias que estudamos até hoje.

Um número racional é um número que pode ser representado como uma fração, onde a- numerador da fração, b- denominador.

O numerador e o denominador podem ser quaisquer números, inclusive inteiros (com exceção de zero, pois não é possível dividir por zero).

Por exemplo, imagine que em vez de aé o número 10, mas em vez disso b- número 2

10 dividido por 2 é igual a 5. Vemos que o número 5 pode ser representado como uma fração, o que significa que o número 5 está incluído no conjunto dos números racionais.

É fácil ver que o número 5 também se aplica ao conjunto dos inteiros. Portanto, o conjunto dos inteiros está incluído no conjunto dos números racionais. Isso significa que o conjunto de números racionais inclui não apenas frações ordinárias, mas também inteiros da forma −2, −1, 0, 1, 2.

Agora vamos imaginar que em vez de a o número é 12, mas em vez disso b- número 5.

12 dividido por 5 é igual a 2,4. Vemos que a fração decimal 2,4 pode ser representada como uma fração, o que significa que está incluída no conjunto dos números racionais. Disto concluímos que o conjunto dos números racionais inclui não apenas frações ordinárias e inteiros, mas também frações decimais.

Calculamos a fração e obtivemos a resposta 2,4. Mas poderíamos isolar toda a parte desta fração:

Ao isolar a parte inteira de uma fração, obtém-se um número misto. Vemos que um número misto também pode ser representado como uma fração. Isso significa que o conjunto dos números racionais também inclui números mistos.

Como resultado, chegamos à conclusão de que o conjunto dos números racionais contém:

• números inteiros
• frações comuns
• decimais
• números mistos

O conjunto dos números racionais é denotado por uma letra maiúscula P.

Por exemplo, destacamos que uma fração pertence ao conjunto dos números racionais. Para fazer isso, escrevemos a própria fração e, em seguida, usando o sinal de pertinência ∈ indicamos que a fração pertence ao conjunto dos números racionais:

∈ P

Ressaltamos que a fração decimal 4,5 pertence ao conjunto dos números racionais:

4,5 ∈ P

Ressaltemos que um número misto pertence ao conjunto dos números racionais:

∈ P

A lição introdutória sobre conjuntos está completa. Veremos os conjuntos muito melhor no futuro, mas por enquanto o que é abordado nesta lição será suficiente.

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O conjunto dos números naturais é composto pelos números 1, 2, 3, 4, ..., utilizados para contar objetos. O conjunto de todos os números naturais é geralmente denotado pela letra N :

N = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .

Leis de adição de números naturais

1. Para quaisquer números naturais a E b igualdade é verdade a + b = b + a . Essa propriedade é chamada de lei comutativa da adição.

2. Para quaisquer números naturais a, b, c igualdade é verdade (a + b) + c = a + (b + c) . Esta propriedade é chamada de lei combinada (associativa) da adição.

Leis de multiplicação de números naturais

3. Para quaisquer números naturais a E b igualdade é verdade ab = BA. Esta propriedade é chamada lei comutativa da multiplicação.

4. Para quaisquer números naturais a, b, c igualdade é verdade (ab)c = a(bc) . Esta propriedade é chamada de lei combinada (associativa) da multiplicação.

5. Para quaisquer valores a, b, c igualdade é verdade (a + b)c = ac + a.C. . Esta propriedade é chamada de lei distributiva da multiplicação (em relação à adição).

6. Para quaisquer valores a igualdade é verdade a*1 = a. Esta propriedade é chamada de lei da multiplicação por um.

O resultado da adição ou multiplicação de dois números naturais é sempre um número natural. Ou, dito de outra forma, essas operações podem ser realizadas permanecendo no conjunto dos números naturais. O mesmo não se pode dizer da subtração e da divisão: por exemplo, do número 3 é impossível, permanecendo no conjunto dos números naturais, subtrair o número 7; O número 15 não pode ser dividido completamente por 4.

Sinais de divisibilidade de números naturais

Divisibilidade de uma soma. Se cada termo for divisível por um número, então a soma será divisível por esse número.

Divisibilidade de um produto. Se em um produto pelo menos um dos fatores for divisível por um determinado número, então o produto também será divisível por esse número.

Estas condições, tanto para a soma como para o produto, são suficientes mas não necessárias. Por exemplo, o produto 12*18 é divisível por 36, embora nem 12 nem 18 sejam divisíveis por 36.

Teste de divisibilidade por 2. Para que um número natural seja divisível por 2 é necessário e suficiente que seu último algarismo seja par.

Teste a divisibilidade por 5. Para que um número natural seja divisível por 5 é necessário e suficiente que seu último algarismo seja 0 ou 5.

Teste a divisibilidade por 10. Para que um número natural seja divisível por 10 é necessário e suficiente que o algarismo das unidades seja 0.

Teste a divisibilidade por 4. Para que um número natural contendo pelo menos três algarismos seja divisível por 4, é necessário e suficiente que os últimos algarismos sejam 00, 04, 08 ou que o número de dois algarismos formado pelos dois últimos algarismos deste número seja divisível por 4.

Teste a divisibilidade por 2 (por 9). Para que um número natural seja divisível por 3 (por 9), é necessário e suficiente que a soma dos seus algarismos seja divisível por 3 (por 9).

Conjunto de inteiros

Considere uma reta numérica com origem no ponto Ó. A coordenada do número zero será um ponto Ó. Os números localizados na reta numérica em uma determinada direção são chamados de números positivos. Deixe um ponto ser dado na reta numérica A com coordenada 3. Corresponde ao número positivo 3. Agora vamos traçar o segmento unitário do ponto três vezes Ó, na direção oposta à dada. Então entendemos o ponto A", simétrico ao ponto A em relação à origem Ó. Coordenada de ponto A" haverá um número - 3. Este número é o oposto do número 3. Os números localizados na reta numérica na direção oposta àquela dada são chamados de números negativos.

Números opostos aos números naturais formam um conjunto de números N" :

N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

Se combinarmos os conjuntos N , N" e conjunto singleton {0} , então obtemos um conjunto Z todos os números inteiros:

Z = {0} ∪ N ∪ N" .

Para números inteiros, todas as leis de adição e multiplicação acima são verdadeiras, o que é verdadeiro para números naturais. Além disso, são adicionadas as seguintes leis de subtração:

a - b = a + (- b) ;

a + (- a) = 0 .

Conjunto de números racionais

Para tornar viável a operação de divisão de inteiros por qualquer número diferente de zero, são introduzidas frações:

Onde a E b- inteiros e b não é igual a zero.

Se somarmos o conjunto de todas as frações positivas e negativas ao conjunto dos inteiros, obteremos o conjunto dos números racionais P :

.

Além disso, cada número inteiro também é um número racional, pois, por exemplo, o número 5 pode ser representado na forma , onde o numerador e o denominador são inteiros. Isto é importante ao realizar operações com números racionais, um dos quais pode ser um número inteiro.

Leis das operações aritméticas em números racionais

A propriedade principal de uma fração. Se o numerador e o denominador de uma determinada fração forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número natural, obtém-se uma fração igual ao dado:

Esta propriedade é usada ao reduzir frações.

Adicionando frações. A adição de frações ordinárias é definida da seguinte forma:

.

Ou seja, para somar frações com denominadores diferentes, as frações são reduzidas a um denominador comum. Na prática, ao somar (subtrair) frações com denominadores diferentes, as frações são reduzidas ao menor denominador comum. Por exemplo, assim:

Para somar frações com numeradores iguais, basta somar os numeradores e deixar o denominador igual.

Multiplicando frações. A multiplicação de frações ordinárias é definida da seguinte forma:

Ou seja, para multiplicar uma fração por uma fração, é necessário multiplicar o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e escrever o produto no numerador da nova fração, e multiplicar o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração e escreva o produto no denominador da nova fração.

Dividindo frações. A divisão de frações ordinárias é definida da seguinte forma:

Ou seja, para dividir uma fração por uma fração, é necessário multiplicar o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda fração e escrever o produto no numerador da nova fração, e multiplicar o denominador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e escreva o produto no denominador da nova fração.

Elevando uma fração a uma potência com um expoente natural. Esta operação é definida da seguinte forma:

Ou seja, para elevar uma fração a uma potência, o numerador é elevado a essa potência e o denominador é elevado a essa potência.

Decimais periódicos

Teorema. Qualquer número racional pode ser representado como uma fração periódica finita ou infinita.

Por exemplo,

.

Um grupo de dígitos que se repete sequencialmente após o ponto decimal na notação decimal de um número é chamado de ponto, e uma fração decimal finita ou infinita que possui tal ponto em sua notação é chamada de periódica.

Neste caso, qualquer fração decimal finita é considerada uma fração periódica infinita com zero no período, por exemplo:

O resultado da adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto divisão por zero) de dois números racionais também é um número racional.

Conjunto de números reais

Na reta numérica, que consideramos em conexão com o conjunto dos inteiros, podem existir pontos que não possuem coordenadas na forma de um número racional. Assim, não existe um número racional cujo quadrado seja 2. Portanto, o número não é um número racional. Também não existem números racionais cujos quadrados sejam 5, 7, 9. Portanto, os números , , são irracionais. O número também é irracional.

Nenhum número irracional pode ser representado como uma fração periódica. Eles são representados como frações não periódicas.

A união dos conjuntos dos números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais R .

Compreender os números, especialmente os números naturais, é uma das "habilidades" matemáticas mais antigas. Muitas civilizações, mesmo as modernas, atribuíram certas propriedades místicas aos números devido à sua enorme importância na descrição da natureza. Embora a ciência e a matemática modernas não confirmem estas propriedades “mágicas”, a importância da teoria dos números é inegável.

Historicamente, uma variedade de números naturais apareceu primeiro, depois rapidamente frações e números irracionais positivos foram adicionados a eles. Números zero e negativos foram introduzidos após esses subconjuntos do conjunto de números reais. O último conjunto, o conjunto dos números complexos, apareceu apenas com o desenvolvimento da ciência moderna.

Na matemática moderna, os números não são introduzidos em ordem histórica, embora bastante próximos dela.

Números naturais $\mathbb(N)$

O conjunto de números naturais é frequentemente denotado como $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, e muitas vezes é preenchido com zero para denotar $\mathbb(N)_0$.

$\mathbb(N)$ define as operações de adição (+) e multiplicação ($\cdot$) com as seguintes propriedades para qualquer $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ o conjunto $\mathbb(N)$ é fechado pelas operações de adição e multiplicação
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ comutatividade
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ associatividade
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributividade
5. $a\cdot 1=a$ é um elemento neutro para multiplicação

Como o conjunto $\mathbb(N)$ contém um elemento neutro para multiplicação, mas não para adição, adicionar um zero a este conjunto garante que ele inclua um elemento neutro para adição.

Além dessas duas operações, as relações “menos que” ($

1. Tricotomia $a b$
2. se $a\leq b$ e $b\leq a$, então $a=b$ antissimetria
3. se $a\leq b$ e $b\leq c$, então $a\leq c$ é transitivo
4. se $a\leq b$ então $a+c\leq b+c$
5. se $a\leq b$ então $a\cdot c\leq b\cdot c$

Inteiros $\mathbb(Z)$

Exemplos de inteiros:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Resolver a equação $a+x=b$, onde $a$ e $b$ são números naturais conhecidos, e $x$ é um número natural desconhecido, requer a introdução de uma nova operação - subtração(-). Se houver um número natural $x$ que satisfaça esta equação, então $x=b-a$. No entanto, esta equação específica não tem necessariamente uma solução no conjunto $\mathbb(N)$, portanto, considerações práticas requerem a expansão do conjunto de números naturais para incluir soluções para tal equação. Isso leva à introdução de um conjunto de inteiros: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Como $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, é lógico assumir que as operações introduzidas anteriormente $+$ e $\cdot$ e as relações $ 1. $0+a=a+0=a$ existe um elemento neutro para adição
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ existe um número oposto $-a$ para $a$

Propriedade 5.:
5. se $0\leq a$ e $0\leq b$, então $0\leq a\cdot b$

O conjunto $\mathbb(Z)$ também é fechado na operação de subtração, ou seja, $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Números racionais $\mathbb(Q)$

Exemplos de números racionais:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Agora considere equações da forma $a\cdot x=b$, onde $a$ e $b$ são números inteiros conhecidos e $x$ é uma incógnita. Para que a solução seja possível é necessário introduzir a operação de divisão ($:$), e a solução assume a forma $x=b:a$, ou seja, $x=\frac(b)(a)$ . Novamente surge o problema de que $x$ nem sempre pertence a $\mathbb(Z)$, então o conjunto de inteiros precisa ser expandido. Isso introduz o conjunto de números racionais $\mathbb(Q)$ com elementos $\frac(p)(q)$, onde $p\in \mathbb(Z)$ e $q\in \mathbb(N)$. O conjunto $\mathbb(Z)$ é um subconjunto em que cada elemento $q=1$, portanto $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ e as operações de adição e multiplicação se estendem a este conjunto de acordo com as seguintes regras, que preservam todas as propriedades acima no conjunto $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

A divisão é introduzida da seguinte forma:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

No conjunto $\mathbb(Q)$, a equação $a\cdot x=b$ tem uma solução única para cada $a\neq 0$ (a divisão por zero é indefinida). Isso significa que existe um elemento inverso $\frac(1)(a)$ ou $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cponto a=a)$

A ordem do conjunto $\mathbb(Q)$ pode ser expandida da seguinte forma:
$\frac(p_1)(q_1)

O conjunto $\mathbb(Q)$ tem uma propriedade importante: entre quaisquer dois números racionais existem infinitos outros números racionais, portanto, não existem dois números racionais adjacentes, ao contrário dos conjuntos de números naturais e inteiros.

Números irracionais $\mathbb(I)$

Exemplos de números irracionais:
$\sqrt(2) \aproximadamente 1,41422135...$
$\pi\aproximadamente 3,1415926535...$

Como entre quaisquer dois números racionais existem infinitos outros números racionais, é fácil concluir erroneamente que o conjunto dos números racionais é tão denso que não há necessidade de expandi-lo ainda mais. Até Pitágoras cometeu tal erro em sua época. No entanto, seus contemporâneos já refutaram esta conclusão ao estudar soluções para a equação $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) no conjunto dos números racionais. Para resolver tal equação, é necessário introduzir o conceito de raiz quadrada, e então a solução desta equação tem a forma $x=\sqrt(2)$. Uma equação como $x^2=a$, onde $a$ é um número racional conhecido e $x$ é um número desconhecido, nem sempre tem solução no conjunto dos números racionais, e novamente surge a necessidade de expandir o definir. Surge um conjunto de números irracionais, e números como $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... pertencem a este conjunto.

Números reais $\mathbb(R)$

A união dos conjuntos dos números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais. Como $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, é novamente lógico assumir que as operações e relações aritméticas introduzidas mantêm suas propriedades no novo conjunto. A prova formal disso é muito difícil, então as propriedades acima mencionadas das operações aritméticas e das relações no conjunto dos números reais são introduzidas como axiomas. Em álgebra, tal objeto é chamado de corpo, portanto o conjunto dos números reais é considerado um corpo ordenado.

Para que a definição do conjunto dos números reais seja completa, é necessário introduzir um axioma adicional que distingue os conjuntos $\mathbb(Q)$ e $\mathbb(R)$. Suponha que $S$ seja um subconjunto não vazio do conjunto dos números reais. Um elemento $b\in \mathbb(R)$ é chamado de limite superior de um conjunto $S$ se $\forall x\in S$ contém $x\leq b$. Então dizemos que o conjunto $S$ é limitado acima. O menor limite superior do conjunto $S$ é chamado de supremo e é denotado por $\sup S$. Os conceitos de limite inferior, conjunto limitado abaixo e infinum $\inf S$ são introduzidos de forma semelhante. Agora o axioma que falta é formulado da seguinte forma:

Qualquer subconjunto não vazio e com limite superior do conjunto de números reais tem um supremo.
Também pode ser provado que o corpo dos números reais definido da forma acima é único.

Números complexos$\mathbb(C)$

Exemplos de números complexos:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ onde $i = \sqrt(-1)$ ou $i^2 = -1$

O conjunto de números complexos representa todos os pares ordenados de números reais, ou seja, $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, nos quais as operações de adição e multiplicação são definidas da seguinte maneira:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Existem diversas formas de escrever números complexos, das quais a mais comum é $z=a+ib$, onde $(a,b)$ é um par de números reais, e o número $i=(0,1)$ é chamada de unidade imaginária.

É fácil mostrar que $i^2=-1$. Estender o conjunto $\mathbb(R)$ ao conjunto $\mathbb(C)$ permite-nos determinar a raiz quadrada dos números negativos, razão pela qual se introduziu o conjunto dos números complexos. Também é fácil mostrar que um subconjunto do conjunto $\mathbb(C)$, dado por $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, satisfaz todos os axiomas para números reais, portanto $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, ou $R\subset\mathbb(C)$.

A estrutura algébrica do conjunto $\mathbb(C)$ em relação às operações de adição e multiplicação possui as seguintes propriedades:
1. comutatividade de adição e multiplicação
2. associatividade de adição e multiplicação
3. $0+i0$ – elemento neutro para adição
4. $1+i0$ – elemento neutro para multiplicação
5. A multiplicação é distributiva em relação à adição
6. Existe um único inverso para adição e multiplicação.

A frase " conjuntos de números"é bastante comum em livros didáticos de matemática. Lá você pode encontrar frases como esta:

“Blá, blá, blá, onde pertence ao conjunto dos números naturais.”

Muitas vezes, em vez do final de uma frase, você pode ver algo assim. Significa o mesmo que o texto um pouco acima - um número pertence ao conjunto dos números naturais. Muitas vezes, muitas pessoas não prestam atenção em qual conjunto esta ou aquela variável está definida. Como resultado, métodos completamente incorretos são usados ​​para resolver um problema ou provar um teorema. Isso ocorre porque as propriedades dos números pertencentes a conjuntos diferentes podem ser diferentes.

Não existem tantos conjuntos numéricos. Abaixo você pode ver as definições de vários conjuntos de números.

O conjunto dos números naturais inclui todos os inteiros maiores que zero – inteiros positivos.

Por exemplo: 1, 3, 20, 3057. O conjunto não inclui o número 0.

Este conjunto de números inclui todos os inteiros maiores e menores que zero, e também zero.

Por exemplo: -15, 0, 139.

Os números racionais, em geral, são um conjunto de frações que não podem ser cancelados (se uma fração for cancelada, então já será um número inteiro, e para este caso não há necessidade de introduzir outro conjunto numérico).

Um exemplo de números incluídos no conjunto racional: 3/5, 9/7, 1/2.

,

onde é uma sequência finita de dígitos da parte inteira de um número pertencente ao conjunto dos números reais. Essa sequência é finita, ou seja, o número de dígitos da parte inteira de um número real é finito.

– uma sequência infinita de números que estão na parte fracionária de um número real. Acontece que a parte fracionária contém um número infinito de números.

Esses números não podem ser representados como uma fração. Caso contrário, tal número poderia ser classificado como um conjunto de números racionais.

Exemplos de números reais:

Vamos dar uma olhada mais de perto no significado da raiz de dois. A parte inteira contém apenas um dígito - 1, então podemos escrever:

Na parte fracionária (após o ponto), os números 4, 1, 4, 2 e assim por diante aparecem sequencialmente. Portanto, para os primeiros quatro dígitos podemos escrever:

Ouso esperar que agora a definição do conjunto dos números reais tenha ficado mais clara.

Conclusão

Deve-se lembrar que a mesma função pode apresentar propriedades completamente diferentes dependendo do conjunto ao qual a variável pertence. Portanto, lembre-se do básico: eles serão úteis.

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