Число d називають арифметичною прогресією. Арифметична та геометрична прогресії

Хтось до слова «прогресія» ставиться насторожено, як дуже складний термін з розділів вищої математики. А тим часом найпростіша арифметична прогресія – робота лічильника таксі (де вони ще залишилися). І зрозуміти суть (а математиці немає нічого важливіше, ніж «зрозуміти суть») арифметичної послідовності негаразд складно, розібравши кілька елементарних понять.

Математична числова послідовність

Числовою послідовністю прийнято називати якийсь ряд чисел, кожне з яких має власний номер.

а 1 - перший член послідовності;

а 2 - другий член послідовності;

а 7 – сьомий член послідовності;

а n - n-ний член послідовності;

Проте чи будь-який довільний набір цифр і чисел цікавить нас. Нашу увагу зосередимо на числової послідовності, у якій значення n-ного члена пов'язане з його порядковим номером залежністю, яку можна чітко сформулювати математично. Іншими словами: чисельне значення n-ного номера є функцією від n.

a - значення члена числової послідовності;

n – його порядковий номер;

f(n) - функція, де порядковий номер числової послідовності n є аргументом.

Визначення

Арифметичною прогресією прийнято називати числову послідовність, у якій кожен наступний член більше (менше) попереднього одне й те число. Формула n-ного члена арифметичної послідовності виглядає так:

a n – значення поточного члена арифметичної прогресії;

a n+1 - формула наступного числа;

d - різниця (певне число).

Неважко визначити, якщо різниця позитивна (d>0), кожен наступний член аналізованого ряду буде більше попереднього і така арифметична прогресія буде зростаючою.

На поданому нижче графіку неважко простежити, чому числова послідовність отримала назву "зростаюча".

У випадках, коли різниця негативна (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Значення заданого члена

Іноді буває необхідно визначити значення будь-якого довільного члена an арифметичної прогресії. Можна це шляхом розрахунку послідовно значень всіх членів арифметичної прогресії, починаючи з першого до шуканого. Однак такий шлях не завжди прийнятний, якщо, наприклад, необхідно знайти значення п'ятитисячного чи восьмимільйонного члена. Традиційний розрахунок сильно затягнеться за часом. Однак конкретна арифметична прогресія може бути вивчена за допомогою певних формул. Існує і формула n-ного члена: значення будь-якого члена арифметичної прогресії можна визначити як сума першого члена прогресії з різницею прогресії, помноженої на номер шуканого члена, зменшений на одиницю.

Формула універсальна для зростаючої та спадної прогресії.

Приклад розрахунку значення заданого члена

Розв'яжемо наступне завдання на знаходження значення n-ного члена арифметичної прогресії.

Умова: є арифметична прогресія з параметрами:

Перший член послідовності дорівнює 3;

Різниця числового ряду дорівнює 1,2.

Завдання: потрібно знайти значення 214 члена

Рішення: для визначення значення заданого члена скористаємося формулою:

а(n) = а1 + d(n-1)

Підставивши у вираз дані з умови завдання маємо:

а(214) = а1 + d(n-1)

а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Відповідь: 214 член послідовності рівні 258,6.

Переваги такого способу розрахунку очевидні - все рішення займає трохи більше 2 рядків.

Сума заданої кількості членів

Дуже часто в заданому арифметичному ряду потрібно визначити суму значень його відрізка. Для цього також не потрібно обчислювати значення кожного члена і потім підсумовувати. Такий спосіб застосовується, якщо кількість членів, суму яких необхідно знайти, невелика. В інших випадках зручніше скористатися такою формулою.

Сума членів арифметичної прогресії від 1 до n дорівнює сумі першого та n-ного членів, помноженої на номер члена n та діленої надвоє. Якщо у формулі значення n-ного члена замінити на вираз із попереднього пункту статті, отримаємо:

Приклад розрахунку

Наприклад вирішимо задачу з наступними умовами:

Перший член послідовності дорівнює нулю;

Різниця дорівнює 0,5.

У завданні потрібно визначити суму членів ряду з 56 по 101.

Рішення. Скористаємося формулою визначення суми прогресії:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Спочатку визначимо суму значень 101 члена прогресії, підставивши у формулу дані їх умови нашого завдання:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Очевидно, для того, щоб дізнатися суму членів прогресії з 56-го по 101-й, необхідно від S 101 відібрати S 55 .

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Таким чином, сума арифметичної прогресії для даного прикладу:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1 782,5

Приклад практичного застосування арифметичної прогресії

Наприкінці статті повернемося наприклад арифметичної послідовності, наведеному у першому абзаці - таксометр (лічильник автомобіля таксі). Розглянемо такий приклад.

Посадка в таксі (до якої входить 3 км пробігу) коштує 50 рублів. Кожен наступний кілометр оплачується із розрахунку 22 руб./км. Відстань подорожі 30 км. Розрахувати вартість подорожі.

1. Відкинемо перші 3 км, ціна яких включена у вартість посадки.

30 – 3 = 27 км.

2. Подальший розрахунок - не що інше як аналіз арифметичного числового ряду.

Номер члена – число км пробігу (мінус перші три).

Значення члена – сума.

Перший член у цій задачі дорівнюватиме a 1 = 50 р.

Різниця прогресії d = 22 р.

цікавить нас число - значення (27 +1)-ого ​​члена арифметичної прогресії - показання лічильника наприкінці 27-го кілометра - 27,999 ... = 28 км.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

На формулах, що описують ті чи інші числові послідовності, побудовані розрахунки календарних даних на скільки завгодно тривалий період. В астрономії у геометричній залежності від відстані небесного тіла до світила знаходиться довжина орбіти. Крім того, різні числові ряди з успіхом застосовуються у статистиці та інших прикладних розділах математики.

Інший вид числової послідовності – геометрична

Геометрична прогресія характеризується більшими, порівняно з арифметичною, темпами зміни. Не випадково в політиці, соціології, медицині найчастіше, щоб показати велику швидкість поширення того чи іншого явища, наприклад захворювання при епідемії, кажуть, що процес розвивається у геометричній прогресії.

N-ний член геометричного числового ряду відрізняється від попереднього тим, що він множиться на якесь постійне число - знаменник, наприклад перший член дорівнює 1, знаменник відповідно дорівнює 2, тоді:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n – значення поточного члена геометричної прогресії;

b n+1 - формула наступного члена геометричної прогресії;

q – знаменник геометричної прогресії (постійне число).

Якщо графік арифметичної прогресії є прямою, то геометрична малює дещо іншу картину:

Як і у випадку арифметичної, геометрична прогресія має формулу значення довільного члена. Якийсь n-ний член геометричної прогресії дорівнює добутку першого члена на знаменник прогресії в ступені n зменшеного на одиницю:

приклад. Маємо геометричну прогресію з першим членом рівним 3 і знаменником прогресії, рівним 1,5. Знайдемо 5-й член прогресії

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Сума заданого числа членів розраховується за допомогою спеціальної формули. Сума n перших членів геометричної прогресії дорівнює різниці добутку n-ного члена прогресії на його знаменник і першого члена прогресії, поділеної на зменшений на одиницю знаменник:

Якщо b n замінити користуючись розглянутою вище формулою, значення суми n перших членів розглянутого числового ряду набуде вигляду:

приклад. Геометрична прогресія починається з першого члена, що дорівнює 1. Знаменник заданий рівним 3. Знайдемо суму перших восьми членів.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Поняття числової послідовності має на увазі відповідність кожному натуральному числу деякого дійсного значення. Такий ряд чисел може бути як довільним, так і мати певні властивості - прогресія. У разі кожен наступний елемент (член) послідовності можна обчислити з допомогою попереднього.

Арифметична прогресія - послідовність числових значень, в якій її сусідні члени відрізняються між собою на однакове число (подібною властивістю мають всі елементи ряду, починаючи з другого). Це число - різниця між попереднім і наступним членом - постійно і називається різницею прогресії.

Різниця прогресії: визначення

Розглянемо послідовність, що складається з j значень A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j належить множині натуральних чисел N. Арифметична прогресія, згідно свого визначення, – послідовність , в якій a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Величина d - потрібна різниця даної прогресії.

d = a(j) – a(j-1).

Виділяють:

• Зростаючу прогресію, у разі d > 0. Приклад: 4, 8, 12, 16, 20, …
• Зменшуючу прогресію, тоді d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Різниця прогресії та її довільні елементи

Якщо відомі 2 довільних члена прогресії (i-ий, k-ий), то встановити різницю для даної послідовності можна на основі співвідношення:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, отже d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Різниця прогресії та її перший член

Цей вираз допоможе визначити невідому величину лише у випадках, коли відомий номер елемента послідовності.

Різниця прогресії та її сума

Сума прогресії – це сума її членів. Для обчислення сумарного значення її перших j елементів скористайтеся відповідною формулою:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, але т.к. a(j) = a(1) + d(j – 1), то S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(–1))/2)*j.

Якщо кожному натуральному числу n поставити у відповідність дійсне число a n , то кажуть, що поставлено числову послідовність :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Отже, числова послідовність – функція натурального аргументу.

Число a 1 називають першим членом послідовності , число a 2 — другим членом послідовності , число a 3 — третім і так далі. Число a n називають n-м членом послідовності , а натуральне число n — його номером .

Із двох сусідніх членів a n і a n +1 послідовності член a n +1 називають наступним (по відношенню до a n ), а a n — попереднім (по відношенню до a n +1 ).

Щоб встановити послідовність, потрібно вказати спосіб, що дозволяє знайти член послідовності з будь-яким номером.

Часто послідовність задають за допомогою формули n-го члена тобто формули, яка дозволяє визначити член послідовності за його номером.

Наприклад,

послідовність позитивних непарних чисел можна задати формулою

a n= 2n - 1,

а послідовність чергуються 1 і -1 формулою

b n = (-1)n +1 . ◄

Послідовність можна визначити рекурентною формулою, тобто формулою, яка виражає будь-який член послідовності, починаючи з деякого через попередні (один або кілька) члени.

Наприклад,

якщо a 1 = 1 , а a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Якщо а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , то перші сім членів числової послідовності встановлюємо так:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Послідовності можуть бути кінцевими і нескінченними .

Послідовність називається кінцевою якщо вона має кінцеве число членів. Послідовність називається нескінченною якщо вона має нескінченно багато членів.

Наприклад,

послідовність двоцифрових натуральних чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

кінцева.

Послідовність простих чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

нескінченна. ◄

Послідовність називають зростаючою якщо кожен її член, починаючи з другого, більше ніж попередній.

Послідовність називають спадаючою якщо кожен її член, починаючи з другого, менше ніж попередній.

Наприклад,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - Зростаюча послідовність;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - спадна послідовність. ◄

Послідовність, елементи якої зі збільшенням номера не зменшуються, або, навпаки, не зростають, називається монотонною послідовністю .

Монотонними послідовностями, зокрема, є зростаючі послідовності та спадні послідовності.

Арифметична прогресія

Арифметичною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається те саме число.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

є арифметичною прогресією, якщо для будь-якого натурального числа n виконується умова:

a n +1 = a n + d,

де d - Деяке число.

Таким чином, різниця між наступним та попереднім членами даної арифметичної прогресії завжди постійна:

а 2 - a 1 = а 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Число d називають різницею арифметичної прогресії.

Щоб задати арифметичну прогресію, достатньо вказати її перший член та різницю.

Наприклад,

якщо a 1 = 3, d = 4 , то перші п'ять членів послідовності знаходимо так:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Для арифметичної прогресії з першим членом a 1 і різницею d її n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Наприклад,

знайдемо тридцятий член арифметичної прогресії

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

то, очевидно,

кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному попереднього та наступного членів.

числа a, b і c є послідовними членами деякої арифметичної прогресії тоді і лише тоді, коли одне з них дорівнює середньому арифметичному двох інших.

Наприклад,

a n = 2n- 7 є арифметичною прогресією.

Скористаємося наведеним вище твердженням. Маємо:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Отже,

◄

Відмітимо, що n -й член арифметичної прогресії можна знайти не тільки через a 1 , але й будь-який попередній a k

a n = a k + (n- k)d.

Наприклад,

для a 5 можна записати

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

то, очевидно,

будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого дорівнює напівсумі рівновіддалених від нього членів цієї арифметичної прогресії.

Крім того, для будь-якої арифметичної прогресії справедлива рівність:

a m + a n = a k + a l,

m+n=k+l.

Наприклад,

в арифметичній прогресії

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 · 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, так як

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

перших n членів арифметичної прогресії дорівнює добутку напівсуми крайніх доданків на кількість доданків:

Звідси, зокрема, випливає, що якщо потрібно підсумувати члени

a k, a k +1 , . . . , a n,

то попередня формула зберігає свою структуру:

Наприклад,

в арифметичній прогресії 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Якщо дана арифметична прогресія, то величини a 1 , a n, d, nіS n пов'язані двома формулами:

Тому, якщо значення трьох цих величин дано, то відповідні їм значення двох інших величин визначаються з цих формул, об'єднаних у систему двох рівнянь з двома невідомими.

Арифметична прогресія є монотонною послідовністю. При цьому:

• якщо d > 0 , вона є зростаючою;
• якщо d < 0 , то вона є спадною;
• якщо d = 0 , то послідовність буде стаціонарною.

Геометрична прогресія

Геометричною прогресією називається послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

є геометричною прогресією, якщо для будь-якого натурального числа n виконується умова:

b n +1 = b n · q,

де q ≠ 0 - Деяке число.

Таким чином, ставлення наступного члена даної геометричної прогресії до попереднього є постійним:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Число q називають знаменником геометричної прогресії.

Щоб задати геометричну прогресію, достатньо вказати її перший член та знаменник.

Наприклад,

якщо b 1 = 1, q = -3 , то перші п'ять членів послідовності знаходимо так:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 та знаменником q її n -й член може бути знайдений за формулою:

b n = b 1 · q n -1 .

Наприклад,

знайдемо сьомий член геометричної прогресії 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 · 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

то, очевидно,

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

кожен член геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому геометричному (пропорційному) попереднього та наступного членів.

Оскільки правильне і зворотне твердження, має місце таке твердження:

числа a, b і c є послідовними членами деякої геометричної прогресії тоді й лише тоді, коли квадрат одного з них дорівнює добутку двох інших, тобто одне з чисел є середнім геометричним двом іншим.

Наприклад,

доведемо, що послідовність, яка задається формулою b n= -3 · 2 n є геометричною прогресією. Скористаємося наведеним вище твердженням. Маємо:

b n= -3 · 2 n,

b n -1 = -3 · 2 n -1 ,

b n +1 = -3 · 2 n +1 .

Отже,

b n 2 = (-3 · 2 n) 2 = (-3 · 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

як і доводить необхідне твердження. ◄

Відмітимо, що n -й член геометричної прогресії можна знайти не тільки через b 1 , але й будь-який попередній член b k , для чого достатньо скористатися формулою

b n = b k · q n - k.

Наприклад,

для b 5 можна записати

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

то, очевидно,

b n 2 = b n - k· b n + k

квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи з другого дорівнює добутку рівновіддалених від нього членів цієї прогресії.

Крім того, для будь-якої геометричної прогресії справедлива рівність:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Наприклад,

у геометричній прогресії

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , так як

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

перших n членів геометричної прогресії зі знаменником q ≠ 0 обчислюється за такою формулою:

А при q = 1 - за формулою

S n= nb 1

Зауважимо, що якщо потрібно підсумувати члени

b k, b k +1 , . . . , b n,

то використовується формула:

Наприклад,

у геометричній прогресії 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Якщо дана геометрична прогресія, то величини b 1 , b n, q, nі S n пов'язані двома формулами:

Тому, якщо значення якихось трьох із цих величин дано, то відповідні їм значення двох інших величин визначаються з цих формул, об'єднаних у систему двох рівнянь із двома невідомими.

Для геометричної прогресії з першим членом b 1 та знаменником q мають місце такі властивості монотонності :

• прогресія є зростаючою, якщо виконано одну з таких умов:

b 1 > 0 і q> 1;

b 1 < 0 і 0 < q< 1;

• прогресія є спадною, якщо виконано одну з наступних умов:

b 1 > 0 і 0 < q< 1;

b 1 < 0 і q> 1.

Якщо q< 0 , то геометрична прогресія є знакозмінною: її члени з непарними номерами мають той самий знак, що й перший член, а члени з парними номерами — протилежний йому знак. Зрозуміло, що знакозмінна геометрична прогресія не є монотонною.

Твір перших n членів геометричної прогресії можна розрахувати за такою формулою:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Наприклад,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Нескінченна спадна геометрична прогресія

Нескінченно спадаючою геометричною прогресією називають нескінченну геометричну прогресію, модуль знаменника якої менший 1 , тобто

|q| < 1 .

Зауважимо, що нескінченно спадна геометрична прогресія може не бути спадною послідовністю. Це відповідає нагоді

1 < q< 0 .

При такому знаменнику послідовність знакозмінна. Наприклад,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Сумою нескінченно спадної геометричної прогресії називають число, до якого необмежено наближається сума перших n членів прогресії при необмеженому зростанні числа n . Це число завжди звичайно і виражається формулою

Наприклад,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Зв'язок арифметичної та геометричної прогресій

Арифметична та геометрична прогресії тісно пов'язані між собою. Розглянемо лише два приклади.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , то

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Наприклад,

1, 3, 5, . . . - арифметична прогресія з різницею 2 і

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - геометрична прогресія із знаменником 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - геометрична прогресія із знаменником q , то

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - арифметична прогресія з різницею log aq .

Наприклад,

2, 12, 72, . . . - геометрична прогресія із знаменником 6 і

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - арифметична прогресія з різницею lg 6 . ◄

Завдання з арифметичної прогресії існували вже у давнину. Вони з'являлися та вимагали рішення, оскільки мали практичну необхідність.

Так, в одному з папірусів Стародавнього Єгипту, що має математичний зміст, - папірусі Райнда (XIX століття до нашої ери) - міститься таке завдання: розділи десять мір хліба на десять осіб, за умови якщо різниця між кожним з них становить одну восьму міру».

І на математичних працях древніх греків зустрічаються витончені теореми, які стосуються арифметичної прогресії. Так, Гіпсікл Олександрійський (ІІ століття склало чимало цікавих завдань і додало чотирнадцяту книгу до «Початків» Евкліда, сформулював думку: «В арифметичній прогресії, що має парне число членів, сума членів 2-ої половини більша за суму членів 1-ої на квадраті 1/ 2 числа членів».

Позначається послідовність an. Числа послідовності називаються її членами і позначаються зазвичай літерами з індексами, які вказують порядковий номер цього члена (a1, a2, a3 … читається: «a 1», «a 2», «a 3» і так далі ).

Послідовність може бути нескінченною чи кінцевою.

А що таке арифметична прогресія? Під нею розуміють одержувану додаванням попереднього члена (n) з тим самим числом d, що є різницею прогресії.

Якщо d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то така прогресія вважається зростаючою.

Арифметична прогресія називається кінцевою, якщо враховуються лише кілька її перших членів. За дуже великої кількості членів це вже нескінченна прогресія.

Задається будь-яка арифметична прогресія наступною формулою:

an =kn+b, причому b і k - деякі числа.

Абсолютно вірне твердження, яке є зворотним: якщо послідовність задається подібною формулою, то це точно арифметична прогресія, яка має властивості:

1. Кожен член прогресії - середнє арифметичне попереднього члена та наступного.
2. Назад: якщо, починаючи з другого, кожен член - середнє арифметичне попереднього члена і наступного, тобто. якщо виконується умова, то ця послідовність - арифметична прогресія. Ця рівність одночасно є ознакою прогресії, тому його, як правило, називають характеристичною властивістю прогресії.
   Так само правильна теорема, яка відбиває це властивість: послідовність - арифметична прогресія лише тому випадку, якщо це рівність правильне кожного з членів послідовності, починаючи з другого.

Характеристичне властивість чотирьох будь-яких чисел арифметичної прогресії може бути виражено формулою an + am = ak + al, якщо n + m = k + l (m, n, k - числа прогресії).

В арифметичній прогресії будь-який необхідний (N-й) член можна знайти, застосовуючи таку формулу:

Наприклад: перший член (a1) в арифметичній прогресії заданий і дорівнює трьом, а різниця (d) дорівнює чотирьом. Знайти треба сорок п'ятий член цієї прогресії. a45 = 1 +4 (45-1) = 177

Формула an = ak + d(n - k) дозволяє визначити n-й член арифметичної прогресії через будь-який її k-тий член за умови, якщо він відомий.

Сума членів арифметичної прогресії (мається на увазі перші n членів кінцевої прогресії) обчислюється так:

Sn = (a1+an) n/2.

Якщо відомий і перший член, то обчислення зручна інша формула:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Сума арифметичної прогресії, що містить n членів, підраховується таким чином:

Вибір формул для розрахунків залежить від умов завдань та вихідних даних.

Натуральний ряд будь-яких чисел, як-от 1,2,3,...,n,...- найпростіший приклад арифметичної прогресії.

Крім арифметичної прогресії існує ще й геометрична, яка має свої властивості та характеристики.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Арифметична прогресія - це ряд чисел, в якому кожне число більше (або менше) попереднього на одну й ту саму величину.

Ця тема часто представляється складною і незрозумілою. Індекси у літер, n-й член прогресії, різниця прогресії - все це якось бентежить, так ... Розберемося зі змістом арифметичної прогресії і все відразу налагодиться.)

Концепція арифметичної прогресії.

Арифметична прогресія - поняття дуже просте та чітке. Сумніваєтесь? Даремно.) Дивіться самі.

Я напишу незакінчений ряд чисел:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Чи зможете продовжити цей ряд? Які числа підуть далі, за п'ятіркою? Кожен... е-е-е..., коротше, кожен зрозуміє, що далі підуть числа 6, 7, 8, 9 тощо.

Ускладнимо завдання. Даю незакінчений ряд чисел:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Чи зможете вловити закономірність, продовжити ряд, і назвати сьомеЧисло ряду?

Якщо зрозуміли, що це число 20 – я вас вітаю! Ви не тільки відчули ключові моменти арифметичної прогресії,але й успішно вжили їх у справу! Якщо не зрозуміли – читаємо далі.

А тепер переведемо ключові моменти із відчуттів у математику.)

Перший ключовий момент.

Арифметична прогресія має справу з рядами чисел.Це і бентежить спочатку. Ми звикли рівняння вирішувати, графіки будувати і таке інше... А тут продовжити ряд, знайти число ряду...

Нічого страшного. Просто прогресії – це перше знайомство з новим розділом математики. Розділ називається "Ряди" і працює саме з рядами чисел та виразів. Звикайте.)

Другий ключовий момент.

В арифметичній прогресії будь-яке число відрізняється від попереднього на одну й ту саму величину.

У першому прикладі ця різниця – одиниця. Яке число не візьми, воно більше попереднього на один. У другому – трійка. Будь-яке число більше попереднього на трійку. Власне, саме цей момент дає нам можливість вловити закономірність і розрахувати наступні числа.

Третій ключовий момент.

Цей момент не впадає у вічі, так... Але дуже, дуже важливий. Ось він: кожне число прогресії стоїть своєму місці.Є перше число, є сьоме, є сорок п'яте і т.д. Якщо їх переплутати абияк, закономірність зникне. Зникне й арифметична прогресія. Залишиться просто ряд чисел.

Ось і вся суть.

Зрозуміло, у новій темі з'являються нові терміни та позначення. Їх треба знати. Інакше й завдання не зрозумієш. Наприклад, доведеться вирішувати, що-небудь, типу:

Випишіть перші шість членів арифметичної прогресії (a n), якщо a 2 = 5, d = -2,5.

Вселяє?) Літери, індекси якісь... А завдання, між іншим - простіше нікуди. Просто потрібно зрозуміти зміст термінів та позначень. Зараз ми цю справу опануємо і повернемося до завдання.

Терміни та позначення.

Арифметична прогресія- це ряд чисел, у якому кожне число відрізняється від попереднього на одну й ту саму величину.

Ця величина називається . Розберемося з цим поняттям детальніше.

Різниця арифметичної прогресії.

Різниця арифметичної прогресії- це величина, на яку будь-яке число прогресії більшепопереднього.

Один важливий момент. Прошу звернути увагу на слово "Більше".Математично це означає, що кожне число прогресії виходить додаткомрізниці арифметичної прогресії до попереднього числа.

Для розрахунку, скажімо, другогочисла ряду, треба до першомучислу додатицю саму різницю арифметичної прогресії. Для розрахунку п'ятого- Різниця треба додатидо четвертому,ну і т.п.

Різниця арифметичної прогресіїможе бути позитивною,тоді кожне число ряду вийде реально більше за попередній.Така прогресія називається зростаючою.Наприклад:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Тут кожне число виходить додаткомпозитивного числа +5 до попереднього.

Різниця може бути і негативною,тоді кожне число ряду вийде менше за попередній.Така прогресія називається (ви не повірите!) спадаючою.

Наприклад:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Тут кожне число виходить теж додаткомдо попереднього, але негативного числа, -5.

До речі, під час роботи з прогресією дуже корисно буває відразу визначити її характер - зростаюча вона, чи спадна. Це чудово допомагає зорієнтуватися у вирішенні, засікти свої помилки та виправити їх, поки не пізно.

Різниця арифметичної прогресіїпозначається, як правило, літерою d.

Як знайти d? Дуже просто. Треба від будь-якого числа ряду відібрати попереднєчисло. Відняти. До речі, результат віднімання називається "різниця".)

Визначимо, наприклад, dдля зростаючої арифметичної прогресії:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Беремо будь-яке число ряду, яке хочемо, наприклад, 11. Віднімаємо від нього попереднє число,тобто. 8:

Це правильна відповідь. Для цієї арифметичної прогресії різниця дорівнює трьом.

Брати можна саме будь-яке число прогресії,т.к. для конкретної прогресії d -завжди одне й те саме.Хоч десь на початку ряду, хоч у середині, хоч де завгодно. Брати не можна тільки перше число. Просто тому, що у першого числа немає попереднього.)

До речі, знаючи, що d = 3знайти сьоме число цієї прогресії дуже просто. Додамо 3 до п'ятого числа - отримаємо шосте, це буде 17. Додамо до шостого числа трійку, отримаємо сьоме - двадцять.

Визначимо dдля спадної арифметичної прогресії:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Нагадую, що, незалежно від символів, для визначення dтреба від будь-якого числа відібрати попереднє.Вибираємо будь-яку кількість прогресії, наприклад -7. Попереднє у нього – число -2. Тоді:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Різниця арифметичної прогресії може бути будь-яким числом: цілим, дрібним, ірраціональним, всяким.

Інші терміни та позначення.

Кожне число ряду називається членом арифметичної прогресії.

Кожен член прогресії має свій номер.Номери йдуть строго по порядку, без жодних фокусів. Перший, другий, третій, четвертий і т.д. Наприклад, у прогресії 2, 5, 8, 11, 14, ... двійка - це перший член, п'ятірка - другий, одинадцять - четвертий, ну, ви зрозуміли...) Прошу чітко усвідомити - самі числаможуть бути абсолютно будь-які, цілі, дробові, негативні, які завгодно, але нумерація чисел- суворо по порядку!

Як записати прогресію у загальному вигляді? Не питання! Кожне число ряду записується як букви. Для позначення арифметичної прогресії використовується, як правило, літера a. Номер члена вказується індексом внизу праворуч. Члени пишемо через кому (або крапку з комою), ось так:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- це перше число, a 3- третє, тощо. Нічого хитрого. Записати цей ряд коротко можна ось так: (a n).

Прогресії бувають кінцеві та нескінченні.

Кінцевапрогресія має обмежену кількість членів. П'ять, тридцять вісім, скільки завгодно. Але – кінцеве число.

Нескінченнапрогресія - має безліч членів, як можна здогадатися.)

Записати кінцеву прогресію через ряд можна ось так, всі члени та крапка в кінці:

a 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .

Або так, якщо членів багато:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

У короткому записі доведеться додатково вказувати кількість членів. Наприклад (для двадцяти членів), ось так:

(a n), n = 20

Нескінченну прогресію можна дізнатися по трьома крапками в кінці ряду, як у прикладах цього уроку.

Тепер можна вирішити завдання. Завдання нескладні, чисто розуміння сенсу арифметичної прогресії.

Приклади завдань з арифметичної прогресії.

Розберемо детально завдання, що наведено вище:

1. Випишіть перші шість членів арифметичної прогресії (a n), якщо a 2 = 5, d = -2,5.

Перекладаємо завдання зрозумілою мовою. Дана нескінченна арифметична прогресія. Відоме друге число цієї прогресії: a 2 = 5.Відома різниця прогресії: d = -2,5.Потрібно знайти перший, третій, четвертий, п'ятий та шостий члени цієї прогресії.

Для наочності запишу ряд за умовою завдання. Перші шість членів, де другий член – п'ятірка:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....

a 3 = a 2 + d

Підставляємо у вираз a 2 = 5і d = -2,5. Не забуваймо про мінус!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Третій член вийшов меншим за другий. Все логічно. Якщо число більше попереднього на негативнувеличину, отже, саме число вийде менше попереднього. Прогресія – спадна. Гаразд, врахуємо.) Вважаємо четвертий член нашого ряду:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Так, члени з третього до шостого вирахували. Вийшов такий ряд:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Залишається знайти перший член a 1за відомим другим. Це крок в інший бік, вліво.) Отже, різниця арифметичної прогресії dтреба не додати до a 2, а відібрати:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Ось і всі справи. Відповідь завдання:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Принагідно зауважу, що це завдання ми вирішували рекурентнимспособом. Це страшне слово означає, лише, пошук члена прогресії за попереднім (сусіднім) числом.Інші методи роботи з прогресією ми розглянемо далі.

З цього простого завдання можна зробити один важливий висновок.

Запам'ятовуємо:

Якщо нам відомий хоча б один член та різниця арифметичної прогресії, ми можемо знайти будь-який член цієї прогресії.

Запам'ятали? Цей нескладний висновок дозволяє вирішувати більшість завдань шкільного курсу на цю тему. Всі завдання крутяться навколо трьох основних параметрів: член арифметичної прогресії, різницю прогресії, номер члена прогресії.Всі.

Зрозуміло, вся попередня алгебра не скасовується.) До прогресії причіплюються і нерівності, і рівняння, та інші речі. Але по самій прогресії- все крутиться довкола трьох параметрів.

Наприклад розглянемо деякі популярні завдання з цієї теми.

2. Запишіть кінцеву арифметичну прогресію у вигляді ряду, якщо n=5, d = 0,4 та a 1 = 3,6.

Тут все просто. Все вже дано. Потрібно згадати, як вважаються члени арифметичної прогресії, порахувати та й записати. Бажано не пропустити слова за умови завдання: "кінцеву" і " n=5". Щоб не рахувати до повного посиніння.) У цій прогресії всього 5 (п'ять) членів:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Залишається записати відповідь:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Ще завдання:

3. Визначте, чи буде число 7 членом арифметичної прогресії (a n), якщо a 1 = 4,1; d = 1,2.

Хм... Хто ж його знає? Як визначити?

Як-не-як... Та записати прогресію у вигляді ряду і подивитися, буде там сімка, чи ні! Вважаємо:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Зараз чітко видно, що сімку ми просто проскочилиміж 6,5 та 7,7! Не потрапила сімка до нашого ряду чисел, і, отже, сімка не буде членом заданої прогресії.

Відповідь: ні.

А ось завдання на основі реального варіанту ГІА:

4. Виписано кілька послідовних членів арифметичної прогресії:

...; 15; х; 9; 6; ...

Тут записаний ряд без кінця та початку. Немає ні номерів членів, ні різниці d. Нічого страшного. Аби вирішити завдання досить розуміти сенс арифметичної прогресії. Дивимося і розуміємо, що можна дізнатисяіз цього ряду? Які параметри із трьох головних?

Номери членів? Немає тут жодного номера.

Зате є три числа і – увага! - Слово "послідовних"за умови. Це означає, що числа йдуть по порядку, без перепусток. А чи є в цьому ряду два сусідніхвідомі числа? Так є! Це 9 і 6. Отже, ми можемо обчислити різницю арифметичної прогресії! Від шістки віднімаємо попереднєчисло, тобто. дев'ятку:

Залишилися дрібниці. Яка кількість буде попередньою для ікса? П'ятнадцять. Отже, ікс можна легко знайти простим додаванням. До 15 додати різницю арифметичної прогресії:

От і все. Відповідь: х = 12

Наступні завдання вирішуємо самостійно. Зауваження: ці завдання - не так на формули. Чисто на розуміння сенсу арифметичної прогресії.) Просто записуємо ряд з числами-літерами, дивимось і розуміємо.

5. Знайдіть перший позитивний член арифметичної прогресії, якщо a 5 = -3; d = 1,1.

6. Відомо, що число 5,5 є членом арифметичної прогресії (a n), де a 1 = 1,6; d = 1,3. Визначте номер n цього члена.

7. Відомо, що у арифметичній прогресії a 2 = 4; a 5 = 15,1. Знайдіть a3.

8. Виписано кілька послідовних членів арифметичної прогресії:

...; 15,6; х; 3,4; ...

Знайдіть член прогресії, позначений літерою х.

9. Потяг почав рух від станції, поступово збільшуючи швидкість на 30 метрів за хвилину. Якою буде швидкість поїзда через п'ять хвилин? Відповідь дайте за км/год.

10. Відомо, що в арифметичній прогресії a 2 = 5; a 6 = -5. Знайдіть a 1.

Відповіді (безладно): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Все вийшло? Чудово! Можна освоювати арифметичну прогресію на рівні, у наступних уроках.

Чи не все вийшло? Не біда. У Особливому розділі 555 всі ці завдання розібрані по кісточках.) І, звичайно, описаний простий практичний прийом, який відразу висвічує рішення подібних завдань чітко, ясно, як на долоні!

До речі, у завданні про поїзд є дві проблемки, на яких нерідко спотикається народ. Одна – чисто за прогресією, а друга – загальна для будь-яких завдань з математики, та й фізики теж. Це переклад розмірності з однієї в іншу. В показано, як треба ці проблеми вирішувати.

У цьому вся уроці ми розглянули елементарний сенс арифметичної прогресії та її основні параметри. Цього достатньо для вирішення практично всіх завдань на цю тему. Додай dдо числа, пиши ряд, все і вирішиться.

Рішення "на пальцях" добре підходить для дуже коротких шматочків ряду, як у прикладах цього уроку. Якщо ряд довше, обчислення ускладнюються. Наприклад, якщо в задачі 9 у питанні замінити "п'ять хвилин"на "тридцять п'ять хвилин",завдання стане значно зліше.)

А ще бувають завдання прості по суті, але несусвітні за обчисленнями, наприклад:

Дана арифметична прогресія (a n). Знайти a 121 якщо a 1 =3, а d=1/6.

І що, будемо багато разів додавати по 1/6?! Це ж убитися можна!

Можна.) Якщо не знати просту формулу, за якою вирішувати подібні завдання можна за хвилину. Ця формула буде у наступному уроці. І завдання ця там вирішена. За хвилину.)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.