Що має циліндр. Циліндр як геометрична фігура

Нескінченне тіло, обмежене замкненою нескінченною циліндричною поверхнею, називається нескінченним циліндром, обмежене замкнутим циліндричним променем та його основою, називається відкритим циліндром. Основу та утворюють циліндричного променя називають відповідно основою та утворюючими відкритого циліндра.

Кінцеве тіло, обмежене замкненою кінцевою циліндричною поверхнею і двома перерізами, що виділили її, називається кінцевим циліндром, або власне циліндром. Перерізи називаються основами циліндра. За визначенням кінцевої циліндричної поверхні, підстави циліндра рівні.

Очевидно, що утворюють бічній поверхні циліндра - рівні по довжині (званої заввишкициліндра) відрізки, що лежать на паралельних прямих, а кінцями лежать на підставах циліндра. До математичних курйозів відносять визначення будь-якої кінцевої тривимірної поверхні без самоперетинів як циліндра нульової висоти (цю поверхню вважають одночасно обома основами кінцевого циліндра). Основи циліндра якісно впливають на циліндр.

Якщо основи циліндра плоскі (і, отже, площини, що їх містять, паралельні), то циліндр називають стоять на площині. Якщо підстави циліндра, що стоїть на площині, перпендикулярні до утворюючої, то циліндр називається прямим.

Зокрема, якщо основа циліндра, що стоїть на площині - коло, то говорять про круговий (круглий) циліндр; якщо еліпс - то еліптичний.

Об'єм кінцевого циліндра дорівнює інтегралу площі основи утворює. Зокрема, об'єм прямого кругового циліндра дорівнює

(де – радіус основи, – висота).

Площа бічної поверхні циліндра вважається за такою формулою:

Площа повної поверхні циліндра складається з площі бічної поверхні та площі основ. Для прямого кругового циліндра:

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Циліндр (геометрія)" в інших словниках:

Розділ математики, що займається вивченням властивостей різних фігур (крапок, ліній, кутів, двовимірних та тривимірних об'єктів), їх розмірів та взаємного розташування. Для зручності викладання геометрію поділяють на планіметрію та стереометрію. У… … Енциклопедія Кольєра

- (γήμετρώ земля, μετρώ мірю). Поняття про простір, становище і формі належать до первісних, з якими людина була знайома вже в давнину. Перші кроки в Р. були зроблені єгиптянами та халдеями. У Греції Р. була введена… Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

ГЕОМЕТРІЯ ВІЛЬНОЇ ПОВЕРХНІ- форма вільної поверхні, що утворюється під дією сили тяжіння та відцентрової сили при обертанні рідкого металу навколо осі обертання. При горизонтальній осі обертання вільна поверхня є круговим циліндром, при вертикальній … Металургійний словник

Розділ геометрії, у якому геометричні образи вивчаються методами математичного аналізу. Головними об'єктами Д. г. є довільні досить гладкі криві (лінії) та поверхні евклідового простору, а також сімейства ліній та …

Цей термін має й інші значення, див. Пірамідацу (значення). Достовірність цього розділу статті поставлена ​​під сумнів. Необхідно перевірити точність фактів, викладених у цьому розділі. На сторінці обговорення можуть бути … Вікіпедія

Теорія, що вивчає зовнішню геометрію та зв'язок між зовнішньою та внутрішньою. геометрією підбагаток евклідова або риманова простору. П. м. р. є узагальненням класич. диференціальної геометрії поверхонь в евклідовому просторі. Математична енциклопедія

Декартова система координат Аналітична геометрія розділ геометрії, в якому … Вікіпедія

Розділ геометрії, в якому вивчаються геометрич. образи, насамперед криві та поверхні, методами математич. аналізу. Зазвичай у Д. р. вивчаються властивості кривих і поверхонь у малому, тобто властивості як завгодно малих їх шматків. Крім того, у … Математична енциклопедія

Цей термін має й інші значення, див. Обсяг (значення). Обсяг це адитивна функція від множини (заходу), що характеризує місткість області простору, яку вона займає. Спочатку виникло і застосовувалося без строгого ... Вікіпедія

Частина геометрії, що входить до елементарної математики (Див. елементарна математика). Кордони Е. р., як і взагалі елементарної математики, не є строго окресленими. Кажуть, що Е. р. є та частина геометрії, яка вивчається в… Велика Радянська Енциклопедія

Книги

• Геометрія. 10-11 класи. Технологічні карти уроків (CD). ФГОС, Гілярова Марина Геннадіївна. Інтерактивна дошка на уроках у старших класах - електронний сучасний інструмент, що значно прискорює доступ до необхідної інформації, полегшує її сприйняття та сприяє…

Циліндр є геометричним тілом, обмеженим двома паралельними площинами і циліндричною поверхнею. У статті поговоримо про те, як знайти площу циліндра і, застосувавши формулу, вирішимо для прикладу кілька завдань.

У циліндра є три поверхні: вершина, основа, та бічна поверхня.

Вершина та основа циліндра є колами, їх легко визначити.

Відомо, що площа кола дорівнює πr 2 . Тому формула площі двох кіл (вершини і основи циліндра) матиме вигляд πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Третя, бічна поверхня циліндра є вигнутою стінкою циліндра. Для того щоб краще уявити цю поверхню, спробуємо перетворити її, щоб отримати впізнавану форму. Уявіть собі, що циліндр, це звичайна консервна банка, яка не має верхньої кришки і дна. Зробимо вертикальний надріз на бічній стінці від вершини до основи банки (Крок 1 на малюнку) і спробуємо максимально розкрити (випрямити) отриману фігуру (Крок 2).

Після повного розкриття отриманої банки побачимо вже знайому фігуру (Крок 3), це прямокутник. Площа прямокутника легко обчислити. Але перед цим повернемося на мить до початкового циліндра. Вершина вихідного циліндра є коло, а ми знаємо, що довжина кола обчислюється за формулою: L = 2πr. На малюнку вона позначена червоним кольором.

Коли бічна стінка циліндра повністю розкрита, бачимо, що довжина кола стає довжиною отриманого прямокутника. Сторонами цього прямокутника будуть довжина кола (L = 2πr) та висота циліндра (h). Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін – S = довжина x ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результаті ми отримали формулу для розрахунку площі бічної поверхні циліндра.

Формула площі бічної поверхні циліндра
S бік. = 2πrh

Площа повної поверхні циліндра

Зрештою, якщо ми складемо площу всіх трьох поверхонь, ми отримаємо формулу площі повної поверхні циліндра. Площі поверхні циліндра дорівнює площа вершини циліндра + площа основи циліндра + площа бічної поверхні циліндра або S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Іноді цей вираз записується ідентичною формулою 2πr (r + h).

Формула площі повної поверхні циліндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радіус циліндра, h – висота циліндра

Приклади розрахунку площі поверхні циліндра

Для розуміння наведених формул спробуємо порахувати площу поверхні циліндра на прикладах.

1. Радіус основи циліндра дорівнює 2, висота дорівнює 3. Визначте площу бічної поверхні циліндра.

Площа повної поверхні розраховується за формулою: S бік. = 2πrh

S бік. = 2*3,14*2*3

S бік. = 6,28*6

S бік. = 37,68

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 37,68.

2. Як знайти площу поверхні циліндра, якщо висота дорівнює 4, а радіус 6?

Площа повної поверхні розраховується за формулою: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

S = 226,08 + 150,72

Площа поверхні циліндра дорівнює 376,8.

Циліндр (круговий циліндр) – тіло, яке складається з двох кіл, що поєднуються паралельним переносом, та всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл. Кола називаються основами циліндра, а відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл колів, - утворюють циліндра.

Основи циліндра рівні й лежать у паралельних площинах, а утворюють циліндри паралельні й рівні. Поверхня циліндра складається з основ та бічної поверхні. Бокову поверхню складають утворюючі.

Циліндр називається прямим, якщо його утворюють перпендикулярні площинам основи. Циліндр можна як тіло, отримане при обертанні прямокутника навколо однієї зі сторін як осі. Існують інші види циліндра – еліптичний, гіперболічний, параболічний. Призму так само розглядають як різновид циліндра.

На малюнку 2 зображено похилий циліндр. Кола з центрами Про і Про є його основами.

Радіус циліндра – радіус його основи. Висота циліндра – відстань між площинами основ. Оссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ. Вона паралельна утворюючим. Перетин циліндра площиною, що проходить через вісь циліндра, називається осьовим перетином. Площина, що проходить через утворює прямого циліндра і перпендикулярна до осьового перерізу, проведеного через цю утворювальну, називається дотичною площиною циліндра.

Площина, перпендикулярна осі циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, рівному колу основи.

Призмою, вписаною в циліндр, називається така призма, основи якої рівні багатокутники, вписані в основи циліндра. Її бічні ребра є утворюючими циліндрами. Призма називається описаною біля циліндра, якщо її основи - рівні багатокутники, описані біля основ циліндра. Площини її граней стосуються бічної поверхні циліндра.

Площу бічної поверхні циліндра можна обчислити, помноживши довжину утворюючої на периметр перерізу циліндра площиною, що утворює перпендикулярною.

Площу бічної поверхні прямого циліндра можна знайти по його розгортці. Розгортка циліндра є прямокутником з висотою h і довжиною P, яка дорівнює периметру основи. Отже, площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі розгортки і обчислюється за формулою:

Зокрема, для прямого кругового циліндра:

P = 2πR, і S b = 2πRh.

Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі площ його бічної поверхні та її основ.

Для прямого кругового циліндра:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Для знаходження об'єму похилого циліндра є дві формули.

Можна знайти об'єм, помноживши довжину утворюючої на площу перерізу циліндра площиною, що утворює перпендикулярною.

Об'єм похилого циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту (відстань між площинами, в яких лежать основи):

V = Sh = S l sin α,

де l – довжина утворюючої, а α – кут між утворюючою та площиною основи. Для прямого циліндра h = l.

Формула для знаходження об'єму кругового циліндра виглядає так:

V = π R 2 h = π (d 2 / 4)h,

де d – Діаметр основи.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Назва науки "геометрія" перекладається як "вимір землі". Зародилася стараннями найперших древніх землевпорядників. А було так: під час розливів священного Нілу потоки води іноді змивали межі ділянок землеробів, а нові кордони могли не збігтися зі старими. Податки ж селянами сплачувалися до скарбниці фараона пропорційно до величини земельного наділу. Вимірюванням площ ріллі у нових кордонах після розливу займалися спеціальні люди. Саме внаслідок їхньої діяльності і виникла нова наука, що отримала розвиток у Стародавній Греції. Там вона і назву отримала, і набула практично сучасного вигляду. Надалі термін став міжнародною назвою науки про плоскі та об'ємні фігури.

Планіметрія – розділ геометрії, що займається вивченням плоских фігур. Іншим розділом науки є стереометрія, що розглядає властивості просторових (об'ємних) фігур. До таких фігур відноситься і описується в цій статті – циліндр.

Прикладів присутності предметів циліндричної форми у повсякденному житті достатньо. Циліндричну (набагато рідше – конічну) форму мають майже всі деталі обертання – вали, втулки, шийки, осі тощо. Циліндр широко використовується в будівництві: вежі, опорні, декоративні колони. Крім того посуд, деякі види упаковки, труби різних діаметрів. І нарешті - знамениті капелюхи, які надовго стали символом чоловічої елегантності. Список можна продовжувати нескінченно.

Визначення циліндра як геометричної фігури

Циліндром (круговим циліндром) прийнято називати фігуру, що складається з двох кіл, які при бажанні поєднуються за допомогою паралельного перенесення. Саме ці кола є підставами циліндра. А ось лінії (прямі відрізки), що зв'язують відповідні точки, одержали назву «утворюючі».

Важливо, що підстави циліндра завжди рівні (якщо ця умова не виконується, то перед нами - усічений конус, щось інше, але тільки не циліндр) і знаходяться в паралельних площинах. А відрізки, що з'єднують відповідні точки на колах, паралельні і рівні.

Сукупність нескінченної множини утворюючих - не що інше, як бічна поверхня циліндра - один з елементів даної геометричної фігури. Інша її важлива складова – розглянуті вище кола. Називаються вони основами.

Види циліндрів

Найпростіший і найпоширеніший вид циліндра - круговий. Його утворюють два правильні кола, які у ролі підстав. Але замість них можуть бути інші фігури.

Основи циліндрів можуть утворювати (крім кіл) еліпси, інші замкнуті фігури. Але циліндр може мати обов'язково замкнуту форму. Наприклад, основою циліндра може служити парабола, гіпербола, інша відкрита функція. Такий циліндр буде відкритим чи розгорнутим.

По куту нахилу утворюють до основ циліндри можуть бути прямими або похилими. У прямого циліндра утворюють строго перпендикулярні площині основи. Якщо цей кут відрізняється від 90°, циліндр – похилий.

Що таке поверхня обертання

Прямий круговий циліндр, без сумніву, - найпоширеніша поверхня обертання, яка використовується в техніці. Іноді за технічними показаннями застосовується конічна, куляста, деякі інші типи поверхонь, але 99% всіх валів, осей, що обертаються, і т.д. виконані саме у формі циліндрів. Для того, щоб краще усвідомити, що таке поверхня обертання, можна розглянути, як утворений сам циліндр.

Припустимо, є якась пряма a, розташований вертикально. ABCD - прямокутник, одна із сторін якого (відрізок АВ) лежить на прямій a. Якщо обертати прямокутник навколо прямої, як показано на малюнку, обсяг, який він займе, обертаючись, і буде нашим тілом обертання - прямим круговим циліндром з висотою H = AB = DC і радіусом R = AD = BC.

В даному випадку, в результаті обертання фігури – прямокутника – виходить циліндр. Обертаючи трикутник, можна отримати конус, обертаючи півколо - кулю і т.д.

Площа поверхні циліндра

Для того щоб обчислити площу поверхні прямого звичайного кругового циліндра, необхідно підрахувати площі основ і бічної поверхні.

Спочатку розглянемо, як обчислюють площу бічної поверхні. Це твір довжини кола на висоту циліндра. Довжина кола, своєю чергою, дорівнює подвоєному твору універсального числа Пна радіус кола.

Площа кола, як відомо, дорівнює добутку Пна квадрат радіусу. Отже, склавши формули для площі визначення бічної поверхні з подвоєним виразом площі підстави (адже їх два) і зробивши нехитрі алгебраїчні перетворення, отримуємо остаточне вираз для визначення площі поверхні циліндра.

Визначення обсягу фігури

Об'єм циліндра визначається за стандартною схемою: площа поверхні основи множиться на висоту.

Таким чином, кінцева формула виглядає наступним чином: шукане визначається як добуток висоти тіла на універсальне число Пі квадрат радіуса основи.

Отримана формула, треба сказати, застосовна для вирішення найнесподіваніших завдань. Так само, як обсяг циліндра, визначається, наприклад, обсяг електропроводки. Це необхідно для обчислення маси проводів.

Відмінності у формулі тільки в тому, що замість радіуса одного циліндра стоїть ділений надвоє діаметр жили проводки і у виразі з'являється кількість жил у проводі N. Також замість висоти використовується довжина дроту. Таким чином розраховується об'єм «циліндра» не одного, а за кількістю проводків обплітання.

Такі розрахунки часто потрібні практично. Адже значна частина ємностей для води виготовлена ​​у формі труби. І обчислити об'єм циліндра часто потрібно навіть у домашньому господарстві.

Проте, як говорилося, форма циліндра може бути різною. І в деяких випадках потрібно розрахувати, чому дорівнює об'єм похилого циліндра.

Відмінність у тому, що площу поверхні основи множать не так на довжину утворює, як у разі прямому циліндром, але в відстань між площинами - перпендикулярний відрізок, побудований з-поміж них.

Як видно з малюнка, такий відрізок дорівнює добутку довжини утворює синус кута нахилу утворює до площини.

Як побудувати розгортку циліндра

У деяких випадках потрібно викроїти розгортку циліндра. На наведеному малюнку показані правила, якими будується заготівля виготовлення циліндра із заданими висотою і діаметром.

Слід враховувати, що малюнок наведений без урахування швів.

Відмінності скошеного циліндра

Уявімо собі якийсь прямий циліндр, обмежений з одного боку площиною, перпендикулярною утворюючим. А ось площина, що обмежує циліндр з іншого боку, не перпендикулярна до утворює і не паралельна першій площині.

На малюнку представлено скошений циліндр. Площина апід деяким кутом, відмінним від 90° до утворюючим, перетинає фігуру.

Така геометрична форма найчастіше зустрічається на практиці у вигляді з'єднань трубопроводів (коліни). Але бувають навіть будівлі, збудовані у вигляді скошеного циліндра.

Геометричні характеристики скошеного циліндра

Нахил однієї з площин скошеного циліндра трохи змінює порядок розрахунку як площі поверхні такої фігури, так і її об'єму.

Циліндр (геометрична фігура)

Правильний круглий циліндр

Еліптичний циліндр

Циліндр(грец. kýlindros, валик, ковзанка) - геометричне тіло, обмежене циліндричною поверхнею (називається бічною поверхнею циліндра) і не більше ніж двома поверхнями (підставами циліндра); причому якщо підстав два, то одне отримано з іншого паралельним перенесенням вздовж утворюючої бічної поверхні циліндра; і основа перетинає кожну утворюючу бічній поверхні рівно один раз.

Нескінченне тіло, обмежене замкненою нескінченною циліндричною поверхнею, називається нескінченним циліндром, обмежене замкнутим циліндричним променем та його основою, називається відкритим циліндром. Основу та утворюють циліндричного променя називають відповідно основою та утворюючими відкритого циліндра.

Кінцеве тіло, обмежене замкненою кінцевою циліндричною поверхнею і двома перерізами, що виділили її, називається кінцевим циліндром, або власне циліндром. Перерізи називаються основами циліндра. За визначенням кінцевої циліндричної поверхні, підстави циліндра рівні.

Очевидно, що утворюють бічній поверхні циліндра - рівні по довжині (званої заввишкициліндра) відрізки, що лежать на паралельних прямих, а кінцями лежать на підставах циліндра. До математичних курйозів відносять визначення будь-якої кінцевої тривимірної поверхні без самоперетинів як циліндра нульової висоти (цю поверхню вважають одночасно обома основами кінцевого циліндра). Основи циліндра якісно впливають на циліндр.

Якщо основи циліндра плоскі (і, отже, площини, що їх містять, паралельні), то циліндр називають стоять на площині. Якщо підстави циліндра, що стоїть на площині, перпендикулярні до утворюючої, то циліндр називається прямим.

Зокрема, якщо основа циліндра, що стоїть на площині - коло, то говорять про круговий (круглий) циліндр; якщо еліпс - то еліптичний.

Об'єм кінцевого циліндра дорівнює інтегралу площі основи утворює. Зокрема, об'єм прямого кругового циліндра дорівнює

(де – радіус основи, – висота).

Площа бічної поверхні циліндра вважається за такою формулою:

Площа повної поверхні циліндра складається з площі бічної поверхні та площі основ. Для прямого кругового циліндра:

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Циліндр (геометрична фігура)" в інших словниках:

Кільце термін в геометрії, що використовується для опису схожих на кільце об'єктів. Відкрите кільце є топологічним еквівалентом циліндра та проколотої площини. Площа такого кільця визначається як різниця площ кіл.

ФІГУРА ГЕОМЕТРИЧНА- безліч точок на площині млн. у просторі. Ф. р. може містити як кінцеве, так і безліч точок. Напр. точка, три точки, відрізок, промінь, пряма, трикутник, коло, піраміда, циліндр та ін. являють собою Ф. г. Велика політехнічна енциклопедія

Геометрія розділу математики, тісно пов'язаний з поняттям простору; Залежно від форм опису цього поняття з'являються різні види геометрії. Передбачається, що читач, приступаючи до читання цієї статті, має деякі… Енциклопедія Кольєра

Цей термін має й інші значення, див. 1 (значення). 1 один 2 · 1 · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 Факторизація: одиниця Римський запис: I Двійковий: 1 Восьмеричний: 1 Шістнадцяткове … Вікіпедія

Готфрід Вільгельм Лейбніц Gottfried Wilhelm Leibniz … Вікіпедія