Що таке протилежна пропорція. Пряма та зворотна пропорційні залежності

Дві величини називаються прямо пропорційнимиякщо при збільшенні однієї з них у кілька разів інша збільшується в стільки ж разів. Відповідно, при зменшенні однієї з них у кілька разів, інша зменшується у стільки ж разів.

Залежність між такими величинами – пряма пропорційна залежність. Приклади прямої пропорційної залежності:

1) при постійній швидкості пройдений шлях прямо пропорційно залежить від часу;

2) периметр квадрата та його сторона - прямо пропорційні величини;

3) вартість товару, купленого за однією ціною, прямо пропорційно залежить від кількості.

Щоб відрізнити пряму пропорційну залежність від зворотного можна використовувати прислів'я: «Що далі лісом, то більше дров».

Завдання прямо пропорційні величини зручно вирішувати за допомогою пропорції.

1) Для виготовлення 10 деталей потрібно 3,5 кг металу. Скільки металу піде на виготовлення 12 таких деталей?

(Міркуємо так:

1. У заповненому стовпці стрілку ставимо у напрямку від більшого числа до меншого.

2. Чим більше деталей, тим більше металу потрібно їх виготовлення. Отже, це прямо пропорційна залежність.

Нехай х кг металу потрібно виготовлення 12 деталей. Складаємо пропорцію (в напрямку від початку стрілки до її кінця):

12:10 = х: 3,5

Щоб знайти , треба твір крайніх членів поділити на відомий середній член:

Отже, знадобиться 4,2 кг металу.

Відповідь: 4,2 кг.

2) За 15 метрів тканини заплатили 1680 рублів. Скільки коштує 12 метрів такої тканини?

(1. У заповненому стовпці стрілку ставимо у напрямку від більшого числа до меншого.

2. Що менше тканини купують, то менше за неї треба заплатити. Отже, це прямо пропорційна залежність.

3. Тому друга стрілка однаково спрямована першою).

Нехай х рублів коштують 12 метрів тканини. Складаємо пропорцію (від початку стрілки до її кінця):

15:12 = 1680:х

Щоб знайти невідомий крайній член пропорції, добуток середніх членів ділимо на відомий крайній член пропорції:

Значить, 12 метрів коштують 1344 рублі.

Відповідь: 1344 рублі.

Типи залежностей

Розглянемо заряджання батареї. Як перша величина візьмемо час, який вона заряджається. Друга величина – час, який вона працюватиме після заряджання. Чим довше заряджається батарея, тим довше вона працюватиме. Процес триватиме, доки батарея не повністю зарядиться.

Залежність часу роботи батареї від часу, що вона заряджається

Зауваження 1

Така залежність називається прямий:

Зі збільшенням однієї величини збільшується і друга. Зі зменшенням однієї величини зменшується і друга величина.

Розглянемо інший приклад.

Чим більше книг прочитає учень, тим менше помилок зробить у диктанті. Або що вище піднятися в гори, то нижче буде атмосферний тиск.

Примітка 2

Така залежність називається зворотній:

Зі збільшенням однієї величини зменшується друга. Зі зменшенням однієї величини збільшується друга величина.

Таким чином, у випадку прямої залежностіобидві величини змінюються однаково (обидві або збільшуються, або зменшуються), а у випадку зворотної залежності- Протилежно (одна збільшується, а інша зменшується або навпаки).

Визначення залежностей між величинами

Приклад 1

Час, витрачений для походу в гості до друга, становить $20$ хвилин. При збільшенні швидкості (першої величини) у $2$ рази знайдемо, як зміниться час (друга величина), який буде витрачено на шлях до друга.

Очевидно, що час зменшиться у $2$ рази.

Примітка 3

Таку залежність називають пропорційною:

Скільки разів зміниться одна величина, стільки разів зміниться і друга.

Приклад 2

За $ 2 $ булки хліба в магазині потрібно заплатити 80 рублів. Якщо потрібно купити $4$ булки хліба (кількість хліба збільшується в $2$ рази), скільки разів доведеться більше заплатити?

Очевидно, що вартість також збільшиться у $2$ рази. Маємо приклад пропорційної залежності.

В обох прикладах було розглянуто пропорційні залежності. Але в прикладі з булками хліба величини змінюються в один бік, отже, залежність прямий. А в прикладі з походом до друга залежність між швидкістю та часом – зворотна. Таким чином, існує прямо пропорційна залежністьі назад пропорційна залежність.

Пряма пропорційність

Розглянемо $2$ пропорційні величини: кількість булок хліба та його вартість. Нехай $2$ булки хліба коштують $80$ рублів. При збільшенні кількості булок $4$ рази ($8$ булок) їх загальна вартість становитиме $320$ рублів.

Відношення кількості булок: $ frac (8) (2) = 4 $.

Відношення вартості булок: $ frac (320) (80) = 4 $.

Як видно, ці відносини рівні між собою:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Визначення 1

Рівність двох відносин називається пропорцією.

При прямо пропорційної залежності виходить відношення, коли зміна першої та другої величини збігається:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Визначення 2

Дві величини називаються прямо пропорційнимиякщо при зміні (збільшенні або зменшенні) однієї з них у стільки ж разів змінюється (збільшується або зменшується відповідно) та інша величина.

Приклад 3

Автомобіль проїхав $180$ км за $2$ години. Знайти час, за який він з тією ж швидкістю проїде у $2$ рази більшу відстань.

Рішення.

Час прямо пропорційний відстані:

$t=\frac(S)(v)$.

У скільки разів збільшиться відстань, при постійній швидкості, у стільки ж разів збільшиться час:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Автомобіль проїхав $180$ км - за час $2$ години

Автомобіль проїде $180 \cdot 2=360$ км - за час $x$ годин

Чим більше відстань проїде автомобіль, тим більше йому знадобиться. Отже, залежність між величинами прямо пропорційна.

Складемо пропорцію:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$ x = \ frac (360 \ cdot 2) (180) $;

Відповідь: автомобілю знадобиться $4$ години.

Зворотня пропорційність

Визначення 3

Рішення.

Час назад пропорційно швидкості:

$t=\frac(S)(v)$.

У скільки разів збільшується швидкість, при тому ж шляху, у стільки ж разів зменшується час:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Запишемо умову завдання у вигляді таблиці:

Автомобіль проїхав $60$ км - за час $6$ годин

Автомобіль проїде $120$ км – за час $x$ годин

Чим більша швидкість автомобіля, тим менше часу йому знадобиться. Отже, залежність між величинами обернено пропорційна.

Складемо пропорцію.

Т.к. пропорційність зворотна, друге відношення у пропорції перевертаємо:

$ frac (60) (120) = frac (x) (6) $;

$ x = \ frac (60 \ cdot 6) (120) $;

Відповідь: автомобілю знадобиться $3$ години.

приклад

4/5 = 0,8;

5,6/7 = 0,8 і т.д. Коефіцієнт пропорційностіПостійне відношення пропорційних величин називається

коефіцієнтом пропорційності

коефіцієнтом пропорційності. Коефіцієнт пропорційності показує, скільки одиниць однієї величини посідає одиницю інший . Пряма пропорційність, у рівних частках, тобто, якщо аргумент змінився вдвічі у якомусь напрямі, те й функція змінюється також удвічі у тому напрямі.

Математично пряма пропорційність записується у вигляді формули:

f(x) = ax,a = const

Зворотня пропорційність

Зворотня пропорційність- це функціональна залежність, при якій збільшення незалежної величини (аргументу) викликає пропорційне зменшення залежної величини (функції).

Математично зворотна пропорційність записується у вигляді формули:

Властивості функції:

Джерела

Wikimedia Foundation.

2010 .

Дивитись що таке "Пряма пропорційність" в інших словниках:пряма пропорційність - - [А.С.Гольдберг. Англо-російський енергетичний словник. 2006 р.] Тематики енергетика загалом EN direct ratio …

Дивитись що таке "Пряма пропорційність" в інших словниках:Довідник технічного перекладача

- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. direct proportionality vok. direkte Proportionalität, f rus. пряма пропорційність f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas - (Від латів. proportionalis пропорційний, пропорційний). Пропорційність. Словник іншомовних слів, що увійшли до складу російської мови. Чудінов А.Н., 1910. ПРОПОРЦІОНАЛЬНІСТЬ відлат. proportionalis, пропорційний. Пропорційність. Пояснення 25000… …

Словник іноземних слів російської мови ПРОПОРЦІЙНІСТЬ, пропорційності, мн. ні, дружин. (Книжковий.). 1. відволікати. сущ. до пропорційний. Пропорційність елементів. Пропорційність статури. 2. Така залежність між величинами, коли вони є пропорційною (див. пропорційний …).

Тлумачний словник Ушакова

Пропорційними називаються дві взаємно залежні величини, якщо відношення їх значень залишається незмінним. Зміст 1 Приклад 2 Коефіцієнт пропорційності … ПРОПОРЦІОНАЛЬНІСТЬ, та, дружин. 1. див. пропорційний. 2. У математиці: така залежність між величинами, при якій збільшення однієї з них тягне за собою зміну іншої в стільки ж разів. Пряма п. (при якій зі збільшенням однієї величини… …

Тлумачний словник Ожегова І; ж. 1. до Пропорційний (1 зн.); пропорційність. П. частин. П. статури. П. представництва у парламенті. 2. Матем. Залежність між величинами, що пропорційно змінюються. Коефіцієнт пропорційності. Пряма п. (при якій з ...

Енциклопедичний словник

• Головні цілі:
• запровадити поняття прямої та зворотної пропорційної залежності величин;
• сприяти розвитку вміння вирішувати завдання;
• закріпити навичку розв'язання рівнянь за допомогою пропорції;
• повторити події зі звичайними та десятковими дробами;
• розвивати логічне мислення учнів.

ХІД УРОКУ

I. Самовизначення до діяльності(Організаційний момент)

- Хлопці! Сьогодні на уроці ми познайомимося із завданнями, які вирішуються за допомогою пропорції.

ІІ. Актуалізація знань та фіксація утруднення в діяльності

2.1. Усна робота (3 хв)

– Знайдіть значення виразів та дізнайтесь слово, зашифроване у відповідях.

14 - с; 0,1 - і; 7 – л; 0,2 – а; 17 - в; 25 – до

– Вийшло слово – сила. Молодці!
– Девіз нашого уроку сьогодні: Сила – у знаннях! Я шукаю – значить навчаюсь!
– Складіть пропорцію з чисел, що виходять. (14: 7 = 0,2: 0,1 і т.д.)

2.2. Розглянемо залежність між відомими нам величинами (7 хв)

– шляхом, пройденим автомашиною з постійною швидкістю, та часом її руху: S = v · t (зі збільшенням швидкості (часу) збільшується шлях);
- Швидкістю автомашини і витраченим на шлях часом: v = S: t(Зі збільшенням часу на проходження шляху, швидкість зменшується);
– вартістю товару, купленого за однією ціною та його кількістю: С = а · n (зі збільшенням (зменшенням) ціни, збільшується (зменшується) вартість покупки);
– ціни товару та його кількістю: а = С: n (зі збільшенням кількості, зменшується ціна)
– площі прямокутника та його довжини (ширини): S = a · b (зі збільшенням довжини (ширини) збільшується площа;
– довжини прямокутника та ширини: a = S: b (зі збільшенням довжини зменшується ширина;
- Числом робітників, що виконують з однаковою продуктивністю праці деяку роботу, і часом виконання цієї роботи: t = А: n (зі збільшенням числа робочих час, витрачене на виконання роботи зменшується) і т.д.

Ми отримали залежності, в яких зі збільшенням однієї величини в кілька разів, тут же в стільки ж разів збільшується інша (приклади показати стрілками) і залежності, в яких із збільшенням однієї величини в кілька разів, друга величина зменшується в цю кількість разів.
Такі залежності називаються прямими та зворотними пропорційностями.
Прямо-пропорційна залежність- Залежність, в якій зі збільшенням (зменшенням) однієї величини в кілька разів, збільшується (зменшується) друга величина в стільки ж разів.
Зворотно-пропорційна залежність- Залежність, в якій зі збільшенням (зменшенням) однієї величини в кілька разів, зменшується (збільшується) друга величина в стільки ж разів.

ІІІ. Постановка навчальної задачі

– Яка проблема постала перед нами? (Навчитися розрізняти прямі та зворотні залежності)
– Це – метанашого уроку. А тепер сформулюйте темууроку. (Пряма та зворотна пропорційна залежність).
– Молодці! Запишіть тему уроку у зошитах. (Учитель записує тему на дошці.)

IV. «Відкриття» нового знання(10 хв)

Розберемо завдання №199.

1. Принтер друкує 27 сторінок за 4,5 хв. За скільки часу він друкує 300 сторінок?

27 стор. – 4,5 хв.
300 стор - х?

2. У коробці 48 пачок чаю по 250 г у кожній. Скільки вийде з цього чаю пачок по 150г?

48 пачок – 250 г.
х? - 150 р.

3. Автомобіль проїхав 310 км, витративши 25 л бензину. Яка відстань може проїхати автомобіль на повному баку, що вміщує 40л?

310 км – 25 л
х? - 40 л

4. На одній із зчеплювальних шестерень 32 зубці, а на іншій – 40. Скільки обертів зробить друга шестерня, тоді як перша зробить 215 обертів?

32 зубці - 315 про.
40 зубців – х?

Для складання пропорції необхідний один напрямок стрілок, для цього у зворотній пропорційності одне відношення замінюють зворотним.

У дошки учні знаходять значення величин, на місцях учні вирішують одну на вибір завдання.

– Сформулюйте правило вирішення завдань із прямою та зворотною пропорційною залежністю.

На дошці з'являється таблиця:

V. Первинне закріплення у зовнішній промові(10 хв)

Завдання на аркушах:

1. З 21 кг бавовняного насіння одержали 5,1 кг олії.
2. Скільки олії вийде з 7 кг бавовняного насіння?

Для будівництва стадіону 5 бульдозерів розчистили майданчик за 210 хв. За який час 7 бульдозерів розчистили цей майданчик?VI. Самостійна робота із самоперевіркою за зразком

(5 хв)
Два учні виконують завдання № 225 самостійно на прихованих дошках, а решта – у зошитах. Потім вони перевіряють роботу з алгоритму та зіставляють із рішенням на дошці. Помилки виправляються, з'ясовуються причини. Якщо завдання виконано, вірно, то поруч учні ставлять знак «+».

Учні, які припустилися помилок у самостійній роботі можуть використовувати консультантів.№ 271, № 270.

VII. Включення в систему знань та повторення

Шестеро людей працюють біля дошки. Через 3–4 хвилини учні, які працювали біля дошки, представляють свої рішення, а інші – перевіряють завдання та беруть участь у їх обговоренні.

VIII. Рефлексія діяльності (підсумок уроку)
- Що нового ви дізналися на уроці?
– Що повторили?
– Який алгоритм розв'язання задач на пропорцію?
– Ми досягли поставленої мети?