МЕТА:1) Познайомити учнів із поняттям «рівняння із двома змінними»;

2) Навчити визначати ступінь рівняння із двома змінними;

3) Навчити визначати за заданою функцією, яка фігура є графіком

даного рівняння;

4) Розглянути перетворення графіків із двома змінними;

заданому рівнянню з двома змінними, використовуючи програму Agrapher;

6) Розвивати логічне мислення учнів.

I.Новий матеріал – пояснювальна лекція з елементами бесіди.

(лекція проводиться з використанням авторських слайдів; побудова графіків виконано у програмі Agrapher)

У: Під час вивчення ліній виникають дві задачи:

По геометричним властивостям цієї лінії визначити її рівняння;

Зворотне завдання: за заданим рівнянням лінії дослідити її геометричні властивості.

Перше завдання ми розглядали в курсі геометрії стосовно кола та прямої.

Сьогодні ми розглядатимемо зворотне завдання.

Розглянемо рівняння виду:

а) х(х-у) = 4;б) 2у-х 2 =-2 ; в) х(х+у 2 ) = х +1.

– це приклади рівнянь із двома змінними.

Рівняння з двома змінними хі у має вигляд f(x,y)=(x,y), де fі - Вирази зі змінними хі у.

Якщо у рівнянні х(х-у) = 4підставити замість змінної хїї значення -1, а замість у- Значення 3, то вийде правильна рівність: 1 * (-1-3) = 4,

Пара (-1; 3) значень змінних хі ує рішенням рівняння х(х-у) = 4.

Тобто рішенням рівняння з двома змінними називають безліч упорядкованих пар значень змінних, що утворюють це рівняння у правильну рівність.

Рівняння з двома змінними має, як правило, безліч рішень. Виняткистановлять, наприклад, такі рівняння, як х 2 +(у 2 - 4) 2 = 0 або

2х 2 + у 2 = 0 .

Перше має два рішення (0; -2) і (0; 2), друге – одне рішення (0;0).

Рівняння х 4 + у 4 +3 = 0 взагалі немає рішень. Цікавим є, коли значеннями змінних у рівнянні служать цілі числа. Вирішуючи такі рівняння із двома змінними, знаходять пари цілих чисел. У таких випадках говорять, що рівняння вирішено цілими числами.

Два рівняння, що мають одне й теж безліч рішень, називають рівносильними рівняннями. Наприклад, рівняння х(х + у 2) = х + 1 є рівняння третього ступеня, оскільки його можна перетворити на рівняння ху 2 + х 2 - х-1 = 0, права частина якого - багаточлен стандартного виду третього ступеня.

Ступенем рівняння з двома змінними, представленого у вигляді F(х, у) = 0, де F(х,у)-багаточлен стандартного виду називають ступінь багаточлена F(х, у).

Якщо всі рішення рівняння з двома змінними зобразити точками координатної площині, то вийде графік рівняння з двома змінними.

Графікомрівняння з двома змінними називається безліч точок, координати яких є рішеннями цього рівняння.

Так, графік рівняння ax + by + c = 0є прямою, якщо хоча б один з коефіцієнтів aабо b не дорівнює нулю (рис.1). Якщо a = b = c = 0, то графіком цього рівняння є координатна площина (рис.2), якщо ж a = b = 0, а c0, то графіком є порожня множина (рис.3).

Графік рівняння y = a х 2 + by + cє параболою (рис.4), графік рівняння xy = k (k0) – гіперболу (рис.5). Графіком рівняння х 2 + у 2 = r, де x та y – змінні, r – позитивне число, є колоз центром на початку координат і радіусом рівним r(Рис.6). Графіком рівняння є еліпс, де aі b- Велика і мала півосі еліпса (рис.7).

Побудова графіків деяких рівнянь полегшується використанням їх перетворень. Розглянемо перетворення графіків рівнянь із двома зміннимита сформулюємо правила, за якими виконуються найпростіші перетворення графіків рівнянь

1) Графік рівняння F(-x, y) = 0 виходить із графіка рівняння F(x, y) = 0 за допомогою симетрії щодо осі у.

2) Графік рівняння F(x, -y) = 0 виходить із графіка рівняння F(x, y) = 0 за допомогою симетрії щодо осі х.

3) Графік рівняння F(-x, -y) = 0 виходить із графіка рівняння F(x, y) = 0 за допомогою центральної симетрії щодо початку координат.

4) Графік рівняння F(x-а, y) = 0 виходить із графіка рівняння F(x, y) = 0 за допомогою переміщення паралельно осі х на |a| одиниць (вправо, якщо a> 0, і вліво, якщо а < 0).

5) Графік рівняння F (x, y-b) = 0 виходить із графіка рівняння F (x, y) = 0 за допомогою переміщення на | b | одиниць паралельно осі у(вгору, якщо b> 0 і вниз, якщо b < 0).

6) Графік рівняння F(аx, y) = 0 виходить із графіка рівняння F(x, y) = 0 за допомогою стиснення до осі у і а раз, якщо а> 1, і за допомогою розтягування від осі у раз, якщо 0< а < 1.

7) Графік рівняння F(x, by) = 0 виходить із графіка рівняння F(x, y) = 0 за допомогою за допомогою стиснення до осі х в bраз, якщо b> 1 і за допомогою розтягування від осі x в раз, якщо 0 < b < 1.

Якщо графік деякого рівняння повернути деякий кут біля початку координат, то новий графік буде графіком іншого рівняння. Важливими є окремі випадки повороту на кути 90 0 і 45 0 .

8) Графік рівняння F (x, y) = 0 в результаті повороту біля початку координат на кут 90 0 за годинниковою стрілкою переходить до графіка рівняння F (-y, x) = 0, а проти годинникової стрілки – до графіка рівняння F (y , -x) = 0.

9) Графік рівняння F (x, y) = 0 в результаті повороту біля початку координат на кут 45 0 за годинниковою стрілкою переходить до графіка рівняння F = 0, а проти годинникової стрілки – до графіка рівняння F = 0.

З розглянутих нами правил перетворення графіків рівнянь із двома змінними легко виходять правила перетворення графіків функцій.

Приклад 1. Покажемо, що графік рівняння х 2 + у 2 + 2х - 8у + 8 = 0є коло (рис.17).

Перетворимо рівняння так:

1) згрупуємо доданки, що містять змінну хі містять змінну у, і представимо кожну групу доданків у вигляді повного квадрата тричлена: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 -2 * 4 * у + 16) + 8 - 1 - 16 = 0;

2) запишемо у вигляді квадрата суми (різниці) двох виразів отримані тричлени: (х + 1) 2 + (у - 4) 2 - 9 = 0;

3) проаналізуємо, згідно з правилами перетворення графіків рівнянь з двома змінними, рівняння (х + 1) 2 + (у – 4) 2 = 3 2: графіком даного рівняння є коло з центром у точці (-1; 4) та радіусом 3 одиниці .

Приклад 2. Побудуємо графік рівняння х 2 + 4у 2 = 9 .

Представимо 4у 2 у вигляді (2у) 2 отримаємо рівняння х 2 + (2у) 2 = 9, графік якого можна отримати з кола х 2 + у 2 = 9 стисненням до осі х в 2 рази.

Накреслимо коло з центром на початку координат та радіусом 3 одиниці.

Зменшимо у 2 рази відстань кожної її точки від осі Х, отримаємо графік рівняння

х 2 + (2у) 2 = 9.

Ми отримали фігуру за допомогою стиснення кола до одного з її діаметрів (до діаметра, що лежить на осі Х). Таку фігуру називають еліпсом (рис.18).

Приклад 3. З'ясуємо, що є графік рівняння х 2 - у 2 = 8.

Скористаємося формулою F=0.

Підставимо на дане рівняння замість Х і замість У, отримаємо:

У: Що таке графік рівняння у = ?

Д: Графік рівняння у = є гіпербола.

У: Ми перетворили рівняння виду х 2 - у 2 = 8 на рівняння у = .

Яка лінія буде графіком цього рівняння?

Д: Значить, і графік рівняння х 2 - у 2 = 8 є гіпербола.

Які прямі є асимптотами гіперболи у = .

Д: Асимптотами гіпербол у = є прямі у = 0 і х = 0.

У: При виконаному повороті ці прямі перейдуть у прямі = 0 = 0, тобто в прямі у = х і у = - х. (Рис.19).

Приклад 4: З'ясуємо, який вид набуде рівняння у = х 2 параболи при повороті біля початку координат на кут 900 за годинниковою стрілкою.

Використовуючи формулу F (-у; х) = 0, замінимо в рівнянні у = х 2 змінну х на - у, а змінну у на х. Отримаємо рівняння х = (-у) 2, тобто х = у 2 (рис.20).

Ми розглянули приклади графіків рівнянь другого ступеня з двома змінними та з'ясували, що графіками таких рівнянь можуть бути парабола, гіпербола, еліпс (зокрема коло). Крім того, графіком рівняння другого ступеня може бути пара прямих (пересічних або паралельних). Це так званий вироджений випадок. Так графіком рівняння х 2 - у 2 = 0 є пара прямих, що перетинаються (рис.21а), а графіком рівняння х 2 - 5х + 6 + 0у = 0- паралельних прямих.

II Закріплення.

(учням видаються «Картки-інструкції» щодо виконання побудов графіків рівнянь із двома змінними у програмі Agrapher (Додаток 2) та картки «Практичне завдання» (Додаток 3) із формулюванням завдань 1-8 Графіки рівнянь до завдань 4-5 вчитель демонструє на слайдах ).

Завдання 1. Які з пар (5; 4), (1; 0), (-5; -4) і (-1; -) є рішеннями рівняння:

а) х 2 - у 2 = 0, б) х 3 - 1 = х 2 у + 6у?

Рішення:

Підставивши в задане рівняння, по черзі координати даних точок переконуємося, що жодна дана пара не є рішенням рівняння х 2 - у 2 = 0, а рішеннями рівняння х 3 - 1 = х 2 у + 6у є пари (5; 4), ( 1; 0) та (-1; -).

125 - 1 = 100 + 24 (І)

1 - 1 = 0 + 0 (І)

125 - 1 = -100 - 24 (Л)

1 - 1 = - - (І)

Відповідь:а); б) (5; 4), (1; 0), (-1; -).

Завдання 2. Знайдіть такі рішення рівняння ху 2 - х 2 у = 12, у яких значення ходно 3.

Рішення: 1) Підставимо замість Х у задане рівняння значення 3.

2) Отримаємо квадратне рівняння щодо змінної У, що має вигляд:

3у 2 – 9у = 12.

4) Вирішимо це рівняння:

3у 2 - 9у - 12 = 0

Д = 81 + 144 = 225

Відповідь: пари (3; 4) і (3; -1) є рішеннями рівняння ху 2 - х 2 у = 12

Завдання3. Визначте ступінь рівняння:

а) 2у 2 - 3х3 + 4х = 2; в) (3 х 2 + х) (4х - у 2) = х;

б) 5у 2 - 3у 2 х 2 + 2х 3 = 0; г) (2у - х 2) 2 = х (х 2 + 4ху + 1).

Відповідь: а) 3; б) 5; в 4; г) 4.

Завдання4. Яка фігура є графіком рівняння:

а) 2х = 5 + 3у; б) 6 х 2 - 5х = у - 1; в) 2(х + 1) = х 2 - у;

г) (х - 1,5) (х - 4) = 0; д) ху – 1,2 = 0; е) х 2 + у 2 = 9.

Завдання5. Напишіть рівняння, графік якого симетричний графіку рівняння х 2 - ху + 3 = 0 (рис.24) щодо: а) осі х; б) осі у; в)прямий у = х; г) прямий у = -х.

Завдання6. Складіть рівняння, графік якого виходить розтягуванням графіка рівняння у = х 2 -3 (рис.25):

а) від осі х у 2 рази; б) від осі у 3 рази.

Перевірте правильність виконання завдання за допомогою програми Agrapher.

Відповідь: а) у - х 2 + 3 = 0 (рис.25а); б) у (x) 2 + 3 = 0 (рис.25б).

б) прямі паралельні, переміщення паралельно осі х на 1 одиницю вправо і паралельно осі у на 3 одиниці вниз (рис.26б);

в) прямі перетинаються, симетричне відображення щодо осі х (рис.26в);

г) прямі перетинаються, симетричне відображення щодо осі (рис.26г);

д) прямі паралельні, симетричне відображення щодо початку координат (рис.26д);

е) прямі перетинаються, поворот біля початку координат на 90 за годинниковою стрілкою та симетричне відображення щодо осі х (рис.26е).

ІІІ. Самостійна робота навчального характеру.

(Учням видаються картки «Самостійна робота» та «Звітна таблиця результатів самостійної роботи», в яку учні записують свої відповіді та після самоперевірки, за запропонованою схемою оцінюють роботу) Додаток 4 .

I. варіант.

а) 5х3-3х2 у 2 + 8 = 0; б) (х + у + 1) 2 - (х-у) 2 = 2 (х + у).

а) х 3 + у 3 -5 х 2 = 0; б) х 4 +4х 3 у +6х 2 у 2 + 4ху 3 + у 4 = 1.

х 4 + у 4 -8 х 2 + 16 = 0.

а) (х + 1) 2 + (у-1) 2 = 4;

б) х 2 -у 2 = 1;

в) х – у 2 = 9.

х 2 – 2х + у 2 – 4у = 20.

Вкажіть координати центру кола та його радіус.

6. Як слід на координатній площині перемістити гіперболу у =, щоб її рівняння набуло вигляду х 2 - у 2 = 16?

Перевірте свою відповідь, виконавши графічну побудову за допомогою програми Agrapher.

7.Як слід на координатній площині перемістити параболу у = х 2, щоб її рівняння набуло вигляду х = у 2 - 1

ІІ варіант.

1.Визначте ступінь рівняння:

а) 3ху = (у-х 3) (х 2 + у); б) 2у 3+5х2 у 2 – 7 = 0.

2. Чи є пара чисел (-2;3) рішенням рівняння:

а) х 2 -у 2 -3х = 1; б) 8х 3 + 12х 2 у + 6ху 2 + у 3 = -1.

3. Знайдіть безліч розв'язків рівняння:

х 2 + у 2 -2х - 8у + 17 = 0.

4. Якою кривою (гіперболою, колом, параболою) є безліч точок, якщо рівняння цієї кривої має вигляд:

а) (х-2) 2 + (у + 2) 2 = 9

б) у 2 - х 2 = 1

в) х = у 2 – 1.

(перевірте за допомогою програми Agrapher правильність виконання завдання)

5. Побудуйте, використовуючи програму Agrapher, графік рівняння:

х 2 + у 2 – 6х + 10у = 2.

6.Як слід на координатній площині перемістити гіперболу у =, щоб її рівняння набуло вигляду х 2 - у 2 = 28?

7. Як слід на координатній площині перемістити параболу у = х 2 щоб її рівняння набуло вигляду х = у 2 + 9.

Ви знаєте, що кожній упорядкованій парі чисел відповідає певна точка на координатній площині. Оскільки кожне рішення рівняння з двома змінними х і у - це впорядкована пара чисел, то всі його рішення можна зобразити крапками па координатній площині. У цих точок абсцис - це значення змінної х, а ордината - відповідне значення змінної у. Отже, отримаємо графік рівняння із двома змінними.

Запам'ятайте!

Графіком рівняння з двома змінними називається зображення координатної площині всіх точок, координати яких задовольняють дане рівняння.

Подивіться на малюнки 64 та 65. Ви бачите графік рівняння 0,5 x - у = 2, де х - парне одноцифрове число (рис. 64), та графік рівняння х 2 + у 2 = 4 (рис. 65). Перший графік містить всього чотири точки, оскільки змінні х і у можуть приймати лише чотири значення. Другий графік є лінією на координатній площині. Він містить безліч точок, оскільки змінна х може набувати будь-яких значень від -2 до 2 і таких чисел - безліч. Відповідних значень теж безліч. Вони змінюються від 2 до 2.

На малюнку 66 показаний графік рівняння х + у = 4. На відміну від графіка рівняння х 2 + у 2 = 4 (див. рис. 65), кожній абсцисі точок даного графіка відповідає єдина ордината. І це означає, що у малюнку 66 зображено графік функції. Переконайтеся, що графік рівняння на малюнку 64 також є графіком функції.

Зверніть увагу

не у кожного рівняння його графік є графіком функції, проте кожен графік функції є графіком певного рівняння.

Рівняння x + y = 4 є лінійним рівнянням із двома змінними. Вирішивши його щодо у, отримаємо: у = -х + 4. Отриману рівність можна розуміти як формулу, яка задає лінійну функцію у = -х + 4. Графіком такої функції є пряма. Отже, графіком лінійного рівняння х + у = 4, який зображено малюнку 66, є пряма.

Чи можна стверджувати, що графік будь-якого лінійного рівняння із двома змінними є прямою? Ні. Наприклад, лінійне рівняння 0 х + 0 ∙ у = 0 задовольняє будь-яка пара чисел, а тому графік цього рівняння містить усі точки координатної площини.

З'ясуємо, що є графіком лінійного рівняння із двома змінними ах + bу + с = 0 залежно від значень коефіцієнтів а, b та с. Можливі такі випадки.

Нехай a ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0. Тоді рівняння ах + by + с = 0 можна подати у вигляді:

Набули рівність, що задає лінійну функцію у(х). Її графіку, отже, і графіком даного рівняння є пряма, яка проходить через початок координат (рис. 67).

2. Нехай а ≠ 0, b ≠ 0, с = 0. Тоді рівняння ах + by + с = 0 набуває вигляду ах + by + 0 = 0, або у = х.

Набули рівності, що задає пряму пропорційність у(х). Її графіку, отже, і графіком даного рівняння є пряма, яка проходить через початок координат (рис. 68).

3. Нехай a ≠ 0, b = 0, с ≠ 0. Тоді рівняння ах + by + с = 0 набуває вигляду ах + 0 ∙ у + с = 0, або х = -.

Отримали рівність не задає функції y(). Цю рівність задовольняють такі пари чисел (х; у), у яких х = , а у – будь-яке число. На координатній площині ці точки лежать прямої, паралельної осі OY. Отже, графіком даного рівняння є пряма, паралельна до осі ординат (рис. 69).

4. Нехай a ≠ 0, b = 0, с = 0. Тоді рівняння ах + by + с = 0 набуває вигляду ах + 0 ∙ у + 0 = 0, або х = 0.

Цю рівність задовольняють такі пари чисел (x; у), у яких х = 0, а у – будь-яке число. На координатній площині ці точки лежать осі OY. Отже, графіком даного рівняння є пряма, що збігається з віссю ординат.

5. Нехай а ≠ 0, b ≠ 0, з ≠0. Тоді рівняння ах + bу + с = 0 набуває вигляду 0 ∙ х + by + с = 0, або у = -. Ця рівність задає функцію y(x), що набуває тих же значень для будь-яких значень x, тобто є постійною. Її графіку, отже, і графіком даного рівняння є пряма, паралельна осі абсцис (рис. 70).

6. Нехай а = 0, b ≠ 0, с = 0. Тоді рівняння ах + by + с = 0 набуває вигляду 0 ∙ х + by + 0 = 0, або в = 0. Отримали постійну функцію у(х), в якою кожна точка графіки лежить на осі ОХ. Отже, графіком даного рівняння є пряма, яка збігається з віссю абсцис.

7. Нехай a = 0, b = 0, с ≠ 0. Тоді рівняння ах + by + с = 0 набуває вигляду 0 ∙ х + 0 ∙ у + с = 0, або 0 ∙ х + 0 ∙ в = с. А таке лінійне рівняння немає рішень, тому його графік не містить жодної точки координатної площини.

8. Нехай а = 0, b = 0, с = 0. Тоді рівняння ах + by + с = 0 набуває вигляду 0 ∙ х + 0 ∙ y + 0 = 0, або 0 ∙ х + 0 ∙ у = 0. А таке лінійне рівняння має безліч рішень, тому його з графіком-вся координатна площина.

Можемо підсумувати отримані результати.

Графік лінійного рівняння із двома змінними ах + bу +с = 0:

Є прямою, якщо а ≠ 0 або b ≠ 0;

Є всією площиною, якщо а = 0, b = 0 та с = 0;

Не містить жодної точки координатної площини, якщо а = 0, b = 0 і ≠ 0.

Завдання. Побудуйте графік рівняння 2х - у - 3 = 0

Рішення. Рівняння 2х – у – 3 = 0 є лінійним. Тому його графіком є ​​пряма у = 2х - 3. Для її побудови достатньо задати дві точки, що належать цій прямій. Складемо таблицю значень у двох довільних значень х, наприклад, для х = 0 і х = 2(табл. 27).

Таблиця 27

На координатній площині позначимо точки з координатами (0; -3) та (2; 1) та проведемо через них пряму (рис. 70). Ця пряма – шуканий графік рівняння 2х – у – 3 = 0.

Чи можна ототожнювати графік лінійного рівняння з двома змінними та графік рівняння першого ступеня з двома змінними? Ні, оскільки існують лінійні рівняння є рівняннями першого ступеня. Наприклад, такими є рівняння 0 х + 0 ∙ у + с = 0, 0 х + 0 ∙ у + 0 = 0.

Зверніть увагу:

Графік лінійного рівняння з двома змінними може бути прямою, усією площиною або не містити жодної точки координатної площини;

Графік рівняння першого ступеня із двома змінними завжди є прямою.

Дізнайтесь більше

1. Нехай а ≠ 0. Тоді загальне рішення рівняння можна уявити ще й у такому вигляді: Х = - у -. Отримали лінійну функцію х(у). Її графіком є ​​пряма. Для побудови такого графіка треба по-іншому з'їсти осі координат: першою координатною віссю (незалежною змінною) вважати вісь ОУ, а другою (залежною змінною)

Вісь ОХ. Тоді вісь ОУ зручно розташувати горизонтально, а вісь ОХ

Вертикально (рис. 72). Графік рівняння у разі теж буде по-різному розміщуватися на координатної площині залежно відзначень коефіцієнтів b і с. Досліджуйте це самостійно.

2. Микола Миколайович Боголюбов (1909-1992) – видатний вітчизняний математик та механік, фізик-теоретик, засновник наукових шкіл з нелінійної механіки та теоретичної фізики, академік АН УРСР (1948) та АН СРСР (з 1953). Народився м. Нижній Новгород Російської імперії. 1921 р. родина переїхала до Києва. Після закінчення семирічної школи Боголюбов самостійно вивчав фізику та математику та з 14 років вже брав участь у семінарі кафедри математичної фізики Київського університету під керівництвом академіка Д. А. Граве. У 1924 р. у 15-річному віці Боголюбов написав першу наукову працю, а наступного року був прийнятий до аспірантури АНУРСР до академіків. М. Крилова, яку закінчив 1929 р., отримавши у 20 років ступінь доктора математичних наук.

У 1929 p. М.М. Боголюбов став науковим співробітником Української академії наук, у 1934 р. почав викладати у Київському університеті (з 1936 р. – професор). З кінця 40-х років XX ст. одночасно працював у Росії. Був директором Об'єднаного інституту ядерних досліджень, а згодом – директором Математичного інституту імені. А. Стеклова у Москві, викладав у Московському державному університеті імені Михайла Ломоносова. У 1966 р. став першим директором створеного ним Інституту теоретичної фізики АН УРСР у Києві, одночасно (1963–1988) він – академік – секретар Відділу математики АН СРСР.

М.М. Боголюбов двічі Герой Соціалістичної Праці (1969,1979), нагороджений Ленінською премією (1958), Державною премією СРСР (1947.1953,1984), Золотою медаллю ім. М. У. Ломоносова АН СРСР (1985).

21 вересня 2009 р. на фасаді Червоного корпусу Київського національного університету імені Тараса Шевченка було відкрито меморіальну дошку геніальному вченому-академіку Миколі Боголюбову на честь століття від дня його народження.

У 1992 р. Національною академією наук України було започатковано Премію НАН України імені М. М. Боголюбова, яка вручається Відділенням математики НАН України за видатні наукові роботи в галузі математики та теоретичної фізики. На честь вченого було названо малу планету «22616 Боголюбов».

Згадайте головне

1. Що є графіком лінійного рівняння із двома змінними?

2. У будь-якому випадку графіком рівняння із двома змінними є пряма; площину?

3. У якому разі графік лінійного рівняння із двома змінними проходить через початок координат?

ВИРІШИТЕ ЗАВДАННЯ

1078 . На якому малюнку 73-74 зображено графік лінійного рівняння з двома змінними? Відповідь поясніть.

1079 . За яких значень коефіцієнтів а, b і с пряма ах + bу + с =0.

1) проходить через початок координат;

2) паралельна осі абсцис;

3) паралельна осі ординат;

4) збігається з віссю абсцис;

5) збігається з віссю ординат?

1080 . Не виконуючи побудови, визначте, чи належить графіку лінійного рівняння з двома змінними 6х - 2у + 1 = 0 точка:

1) А (-1; 2,5); 2) В (0; 3,5); 3) С(-2; 5,5); 4) D (1,5; 5).

1081 . Не виконуючи побудови, визначте, чи належить графіку лінійного рівняння з двома змінними 3х + 3у - 5 = 0 точка:

1) A (-1; ); 2) B(0; 1).

1082

1) 2х + у – 4 = 0, якщо х = 0; 3) 3х + 3у – 1 = 0, якщо х = 2;

2) 4х – 2y + 5 = 0, якщо х = 0; 4)-5х – у + 6 = 0, якщо х = 2.

1083 . Для даного лінійного рівняння з двома змінними знайдіть значення у, яке відповідає заданому значенню х:

1) 3х - у + 2 = 0, якщо х = 0; 2) 6х – 5y – 7 = 0, якщо х = 2.

1084

1) 2х + у - 4 = 0; 4) -х + 2у + 8 = 0; 7) 5х – 10 = 0;

2) 6х – 2y + 12 = 0; 5) -х - 2у + 4 = 0; 8)-2у + 4 = 0;

3) 5х – 10y = 0; 6) х - у = 0; 9) х – у = 0.

1085 . Побудуйте графік лінійного рівняння із двома змінними:

1) 4х + у - 3 = 0; 4) 10х - 5у - 1 = 0;

2) 9х – 3у + 12 = 0; 5) 2х + 6 = 0;

3)-4х - 8у = 0; 6) у - 3 = 0.

1086 . Знайдіть координати точки перетину графіка лінійного рівняння з двома змінними 2х - 3у - 18 = 0 з віссю:

1) осі; 2) осі.

1087 . Знайдіть координати точки перетину графіка лінійного рівняння з двома змінними 5х + 4у - 20 = 0 з віссю:

1) осі; 2) осі.

1088 . На прямій, яка є графіком рівняння 0,5 х + 2у – 4 = 0, позначено точку. Знайдіть ординату цієї точки, якщо її абсцис дорівнює:

5) 4(х - у) = 4 - 4у;

6) 7х - 2у = 2 (1 + 3,5 х).

1094 . Графік лінійного рівняння із двома змінними проходить через точку А(3; -2). Знайдіть невідомий коефіцієнт рівняння:

1) ах + 3у – 3 = 0;

2) 2х – by + 8 = 0;

3)-х + 3у – с = 0.

1095 . Визначте вигляд чотирикутника, вершинами якого є точки перетину графіків рівнянь:

х - y + 4 = 0, х - у - 4 = 0, -х - у + 4 = 0, -х - у - 4 = 0

1096 . Побудуйте графік рівняння:

1) а – 4b + 1 = 0; 3) 3a + 0 ∙ b - 12 = 0;

2) 0 ∙ а + 2b + 6 = 0; 4) 0 ∙ a + 0 ∙ b + 5 = 0.

ЗАСТОСУВАЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

1097 . Складіть лінійне рівняння із двома змінними за такими даними: 1) 3 кг цукерок та 2 кг печива коштують 120 грн; 2) 2 ручки дорожчі за 5 олівців на 20 грн. Побудуйте графік складеного рівняння.

1098 . Побудуйте графік рівняння до задачі про: 1) кількість дівчат та хлопців у вашому класі; 2) купівлю зошитів у лінійку та в клітинку.

ЗАВДАННЯ НА ПОВТОРЕННЯ

1099. Турист пройшов 12 км за годину. За скільки годин турист подолає відстань 20 км із такою самою швидкістю руху?

1100. Якою має бути швидкість поїзда за новим розкладом, щоб він міг проїхати відстань між двома станціями за 2,5 год, якщо згідно старого розкладу, рухаючись зі швидкістю 100 км/год, він долав її за 3 год?

§ 1 Відбір коренів рівняння за реальних ситуацій

Розглянемо таку реальну ситуацію:

Майстер та учень разом виготовили на замовлення 400 деталей. До того ж майстер працював 3 дні, а учень 2 дні. Скільки деталей виготовив кожен?

Складемо алгебраїчну модель цієї ситуації. Нехай майстер виготовляє за 1 день деталей. А учень у деталей. Тоді майстер за 3 дні виготовить 3 деталей, а учень виготовить за 2 дні 2 деталей. Разом вони виготовлять 3х + 2удеталей. Так як за умовою виготовлено 400 деталей, то отримаємо рівняння:

Отримане рівняння називають лінійним рівнянням із двома змінними. Тут нам треба знайти пару чисел х і у, при яких рівняння набуде вигляду вірної числової рівності. Зауважимо, що х = 90, у = 65, то отримаємо рівність:

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

Оскільки отримано правильну числову рівність, то пара чисел 90 і 65 буде рішенням цього рівняння. Але знайдене рішення не єдине. Якщо х = 96 та у = 56, то отримуємо рівність:

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

Це також вірна числова рівність, отже, пара чисел 96 і 56 як і є рішенням цього рівняння. А ось пара чисел х = 73і у = 23 не буде рішенням цього рівняння. Справді, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 дасть нам неправильну числову рівність 265 = 400. Необхідно відзначити, що якщо розглядати рівняння стосовно даної реальної ситуації, то існуватимуть пари чисел, які, будучи розв'язанням даного рівняння, не будуть бути розв'язком задачі. Наприклад, пара чисел:

х = 200 та y = -100

є рішенням рівняння, але учень неспроможна зробити -100 деталей, тому така пара чисел відповіддю питанням завдання бути може. Таким чином, у кожній конкретній реальній ситуації необхідно розумно підходити до відбору коренів рівняння.

Підіб'ємо перші підсумки:

Рівняння виду ах + bу + с = 0 де а, b, с - будь-які числа, називають лінійним рівнянням з двома змінними.

Рішенням лінійного рівняння з двома змінними називають пару чисел відповідних х і у, за яких рівняння звертається у правильну числову рівність.

§ 2 Графік лінійного рівняння

Сам запис пари (х;у) наштовхує нас на думку про можливість зображення її у вигляді точки з координатами хі у на площині. Отже, ми можемо отримати геометричну модель конкретної ситуації. Наприклад, розглянемо рівняння:

2х + у - 4 = 0

Підберемо кілька пар чисел, які будуть рішеннями цього рівняння та побудуємо точки зі знайденими координатами. Нехай це будуть точки:

А(0; 4), В(2; 0), С(1; 2), D(-2; 8), Е(- 1; 6).

Зауважимо, що всі крапки лежать на одній прямій. Таку пряму називають графіком лінійного рівняння із двома змінними. Вона є графічною (або геометричною) моделлю цього рівняння.

Якщо пара чисел (х;у) є розв'язком рівняння

ах + ву + с = 0, точка М (х; у) належить графіку рівняння. Можна сказати і навпаки: якщо точка М (х; у) належать графіку рівняння ах + ву + с = 0, то пара чисел (х; у) є рішенням цього рівняння.

З курсу геометрії ми знаємо:

Для побудови прямої необхідно 2 точки, тому для побудови графіка лінійного рівняння з двома змінними достатньо знати лише 2 пари рішень. Але вгадування коріння процедура далеко не завжди зручна, не раціональна. Можна діяти і за іншим правилом. Оскільки абсцис точки (змінна х) це незалежна змінна, то можна надати їй будь-яке зручне значення. Підставивши це число рівняння, ми знайдемо значення змінної у.

Наприклад, нехай дано рівняння:

Нехай х = 0, тоді отримаємо 0 - у + 1 = 0 або у = 1. Отже, якщо х = 0, то у = 1. Пара чисел (0; 1) - розв'язання цього рівняння. Задамо для змінної х ще одне значення х = 2. Тоді отримаємо 2 - у + 1 = 0 або у = 3. Пара чисел (2; 3) також є розв'язком цього рівняння. За двома знайденими точками можна побудувати графік рівняння х - у + 1 =0.

Можна зробити і так: спочатку надати деяке конкретне значення змінної у, а потім обчислити значення х.

§ 3 Система рівнянь

Знайдіть два натуральні числа, сума яких 11, а різниця 1.

Для вирішення цього завдання спочатку складемо математичну модель (а саме алгебраїчну). Нехай перше число х, а друге – у. Тоді сума чисел х + у = 11 і різницю чисел х - у = 1. Так як в обох рівняннях йдеться про одних і тих же числах, то ці умови повинні виконатися одночасно. Зазвичай у разі використовують спеціальну запис. Рівняння записують одне під одним і поєднують фігурною дужкою.

Такий запис називають системою рівнянь.

Тепер побудуємо безліч рішень кожного рівняння, тобто. графіки кожного із рівнянь. Візьмемо перше рівняння:

Якщо х = 4, то у = 7. Якщо х = 9, то у = 2.

Через точки (4; 7) і (9; 2) проведемо пряму.

Візьмемо друге рівняння х - у = 1. Якщо х = 5, то у = 4. Якщо х = 7, то у = 6. Через точки (5; 4) і (7; 6) так само проведемо пряму. Здобули геометричну модель завдання. Цікава для нас пара чисел (х;у) повинна бути рішенням обох рівнянь. На малюнку бачимо єдину точку, що лежить обох прямих, це - точка перетину прямих.

Її координати (6; 5). Тому розв'язанням задачі буде: перше шукане число 6, друге 5.

Список використаної литературы:

1. Мордкович А.Г, Алгебра 7 клас у 2 частинах, Частина 1, Підручник для загальноосвітніх закладів/А.Г. Мордкович. – 10 – е вид., перероблене – Москва, «Мнемозина», 2007
2. Мордкович А.Г., Алгебра 7 клас у 2 частинах, Частина 2, Задачник для загальноосвітніх установ/[А.Г. Мордкович та ін.]; за редакцією А.Г. Мордковича – 10-те видання, перероблене – Москва, «Мнемозина», 2007
3. Є.Є. Тульчинська, Алгебра 7 клас. Бліц опитування: посібник для учнів загальноосвітніх установ, 4-е видання, виправлене та доповнене, Москва, «Мнемозина», 2008
4. Александрова Л.А., Алгебра 7 клас. Тематичні перевірочні роботи у новій формі для учнів загальноосвітніх установ, за редакцією О.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
5. Александрова Л.А. Алгебра 7 клас. Самостійні роботи для учнів загальноосвітніх установ, за редакцією О.Г. Мордковича – 6-те видання, стереотипне, Москва, «Мнемозина», 2010

Тема:Лінійна функція

Урок:Лінійне рівняння з двома змінними та його графік

Ми познайомилися з поняттями координатної осі та координатної площини. Ми знаємо, що кожна точка площини однозначно задає пару чисел (х; у), причому перше число є абсцисом точки, а друге - ордината.

Ми дуже часто зустрічатимемося з лінійним рівнянням з двома змінними, рішенням якого і є пара чисел, яку можна уявити на координатній площині.

Рівняння виду:

Де a, b, з - числа, причому

Називається лінійним рівнянням з двома змінними х та у. Рішенням такого рівняння буде будь-яка така пара чисел х і у, підставивши яку в рівняння ми отримаємо правильну числову рівність.

Пара чисел зображуватиметься на координатній площині у вигляді точки.

У таких рівнянь ми побачимо багато рішень, тобто багато пар чисел і всі відповідні точки лежатимуть на одній прямій.

Розглянемо приклад:

Щоб знайти рішення даного рівняння, потрібно підібрати відповідні пари чисел х і у:

Нехай тоді вихідне рівняння перетворюється на рівняння з однією невідомою:

,

Тобто перша пара чисел, що є рішенням заданого рівняння (0; 3). Отримали точку А(0; 3)

Нехай. Отримаємо вихідне рівняння з однією змінною: , звідси отримали точку В(3; 0)

Занесемо пари чисел до таблиці:

Побудуємо на графіку точки та проведемо пряму:

Зазначимо, що будь-яка точка на даній прямій буде вирішенням заданого рівняння. Перевіримо – візьмемо точку з координатою та за графіком знайдемо її другу координату. Очевидно, що в цій точці . Підставимо цю пару чисел до рівняння. Отримаємо 0=0 - правильна числова рівність, отже точка, що лежить на прямій, є рішенням.

Поки довести, що будь-яка точка, що лежить на побудованій прямій, є рішенням рівняння, ми не можемо, тому приймаємо це за правду і доведемо пізніше.

Приклад 2 - побудувати графік рівняння:

Складемо таблицю, нам достатньо для побудови прямої двох точок, але візьмемо третю для контролю:

У першій колонці ми взяли зручний, знайдемо у:

, ,

У другому стовпчику ми взяли зручний, знайдемо х:

, , ,

Візьмемо для перевірки та знайдемо у:

, ,

Побудуємо графік:

Помножимо задане рівняння на два:

Від такого перетворення безліч рішень не зміниться і графік залишиться таким самим.

Висновок: ми навчилися вирішувати рівняння з двома змінними та будувати їх графіки, дізналися, що графіком подібного рівняння є пряма і будь-яка точка цієї прямої є рішенням рівняння

1. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 7. 6 видання. М: Просвітництво. 2010 р.

2. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7. М: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягін Ю.М., Ткачова М.В., Федорова Н.Є. та ін Алгебра 7. М.: Просвітництво. 2006 р.

2. Портал для перегляду ().

Завдання 1: Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7 № 960, ст.210;

Завдання 2: Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7 № 961, ст.210;

Завдання 3: Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7 № 962, ст.210;

«Лінійне рівняння з двома змінними та його графік».

Цілі уроку:

виробити в учнів уміння будувати графіки лінійного рівняння з двома змінними, вирішувати завдання, використовуючи під час складання математичної моделі дві змінні;

розвивати пізнавальні навички учнів, критичне та творче мислення; виховання пізнавального інтересу до математики, наполегливості, цілеспрямованості у навчанні.

Завдання:

запровадити поняття лінійного рівняння як математичну модель реальної ситуації;

навчити з вигляду визначати лінійне рівняння та його коефіцієнти;

навчити за заданим значенням х знаходити відповідне значення у, і навпаки;

запровадити алгоритм побудови графіка лінійного рівняння та навчити застосовувати його на практиці;

навчити складати лінійне рівняння як математичну модель завдання.

На уроці крім ІКТ технологій використовуються проблемне навчання, елементи навчання, технологія групового взаємодії.

Тип уроку: урок формування умінь та навичок.

I. Організаційний етап. Слайд 1.

Перевірка готовності учнів до уроку, повідомлення теми уроку, цілей та завдань.

II. Усна робота.

1. Слайд 2 Із запропонованих рівнянь вибрати лінійне рівняння із двома змінними:

А) 3х - у = 14

Б) 5у + х² = 16

В) 7ху - 5у = ​​12

Г) 5х + 2у = 16

Відповідь: а, р.

Яке рівняння з двома змінними називається лінійним? Слайд 3.

Відповідь: ах+ву+с=0.

Слайд 4. Відпрацювання поняття лінійного рівняння з прикладів (усна робота).

Слайд 5-6. Назвати коефіцієнти лінійного рівняння.

2. Слайд 7. Вибрати точку, що належить графіку рівняння 2х + 5у = ​​12

А(-1; -2), В(2; 1), С(4; -4), D (11; -2).

Відповідь: D (11; -2).

Додаткове питання: Що є графіком рівняння із двома змінними? Слайд 8.

Відповідь: пряма.

3. Слайд 9. Знайдіть абсцис точки М(х; -2), що належить графіку рівняння 12х - 9у = 30.

Відповідь: х = 1.

Додаткове питання: Що називається рішенням рівняння із двома змінними? Слайд 10.

Відповідь: рішенням рівняння із двома змінними називається пара значень змінних, що обертає це рівняння у правильну рівність.

4.Слайд 11.

1. На якому малюнку у графіка лінійної функції позитивний кутовий коефіцієнт
2. На якому малюнку у графіка лінійної функції негативний кутовий коефіцієнт
3. Графік якої функції ми вивчали?

5. Слайд 12. Назвіть числовий проміжок, який відповідає геометричній моделі:

а). (-6; 8) Б). (-6; 8] У).[- 6; 8) Г). [-6; 8]

X

-6 8

III. Постановка мети уроку.

Сьогодні на уроці ми закріплюватимемо вміння будувати графіки лінійного рівняння з двома змінними, вирішувати задачі, використовуючи при складанні математичної моделі дві змінні (необхідність складання лінійного рівняння для вирішення задачі з двома невідомими).

Постарайтеся бути наполегливими та цілеспрямованими під час виконання завдань.

IV. Закріплення. Слайд 13.

Завдання. З міст А та В, відстань між якими 500 км, назустріч один одному вийшли два потяги, кожен зі своєю постійною швидкістю. Відомо, що перший поїзд вийшов на 2 год раніше за другий. Через 3 години після виходу другого поїзда вони зустрілися. Чому рівні швидкості поїздів?Скласти математичну модель до завдання та знайти два рішення.

Слайд 14. (Складання математичної моделі до завдання). Демонстрація складання математичної моделі .

Що є рішенням лінійного рівняння із двома змінними?

Вчитель порушує питання: скільки рішень має лінійне рівняння з двома змінними? Відповідь: нескінченно багато.

Вчитель: як знайти рішення лінійного рівняння з двома змінними? Відповідь: підібрати.

Вчитель: як легше підібрати рішення рівняння?

Відповідь: підібрати одну змінну, наприклад х, і з рівняння знайти іншу – у.

Слайд 15.

- Перевірте, чи є пари наступних значень рішенням рівняння.

Завдання.

Слайд 16.

Два трактористи зорали разом 678 га. Перший тракторист працював 8 днів, а другий 11 днів. Скільки гектарів за день орав кожен тракторист? Складіть лінійне рівняння з двома змінними до задачі та знайдіть 2 рішення.

Слайд 17-18.

Що називають графіком рівняння із двома змінними? Розглянути різні випадки.

Солодощі 19. Алгоритм побудови графіка лінійної функції.

Слайд 20. (усно) Розглянути приклад побудови графіка лінійного рівняння із двома змінними.

V. Робота з підручника.

Слайд 21. Побудувати графік рівняння:

стор 269

І варіант № 1206 (б)

ІІ варіант № 1206 (в)

VI. Самостійна робота. Слайд 22.

Варіант 1.

1. Які з пар чисел (1; 1), (6; 5), (9; 11) є розв'язком рівняння 5х - 4у - 1 = 0?

2. Побудуйте графік функції 2х+у=4.

Варіант 2.

Які з пар чисел (1; 1), (1; 2), (3; 7) є розв'язком рівняння 7х - 3у - 1 = 0?

Збудуйте графік функції 5х + у – 4 = 0.

(З наступною перевіркою, перевірка Слайд 23-25)

VII. Закріплення. Слайд 26.

Побудуйте правильно.(Завдання всім учнів класу). Побудувати за допомогою ліній квітка, про яку йдеться:

Відомо близько 120 видів цих квітів, поширених, головним чином у Середній, Східній та Південній Азії та Південній Європі.

Ботаніки вважають, що ця культура виникла в Туреччині в ХII столітті Світову славу рослина набула далеко від своєї батьківщини, в Голландії, по праву названої Країною цих квітів.

На різних художньо-оформлених виробах (і ювелірних) часто трапляються мотиви цих кольорів.

Ось легенда про цю квітку.

У золотистому бутоні жовтої квітки було укладено щастя. До цього щастя ніхто не міг дістатися, бо не було такої сили, яка б змогла відкрити його бутон.

Але одного разу лугом йшла жінка з дитиною. Хлопчик вирвався з рук матері, з дзвінким сміхом підбіг до квітки, і золотистий бутон розкрився. Безтурботний дитячий сміх зробив те, чого не змогла зробити жодна сила. З того часу і повелося дарувати ці квіти тільки тим, хто відчуває щастя.

Необхідно побудувати графіки функцій та виділити ту її частину, для точок якої виконується відповідна нерівність:

у = х + 6,

4 < х < 6;

у = -х + 6,

6 < х < -4;

у = - 1/3 х + 10,

6 < х < -3;

у = 1/3 х +10,

3 < х < 6;

у = -х + 14,

0 < х < 3;

у = х + 14,

3 < х < 0;

у = 5 х – 10 ,

2 < х < 4;

у = - 5 х – 10 ,

4 < х < -2;

у = 0,

2 < х < 2.

У нас вийшов малюнок – ТЮЛЬПАН. Слайд 27.

VIII. Рефлексія. Слайд 28.

IX. Домашнє завдання. Слайд 29.

П.43, №1206 (р-н), 1208 (р-н), 1214