Математичні формули 9. Основні математичні формули

Голова йде довкола від безлічі математичних формул, які необхідно знати. Зубрежка та шпаргалки - доля слабких. А ось тим, хто хоче стати в математиці сильнішим, ми підкажемо кілька порад, як запам'ятовувати формули з математики так, щоб вони не вивітрилися з голови до контрольної, іспиту чи ЦТ.

Розумій формулу

Якщо ти заучуватимеш лише послідовність змінних, ризикуєш «втратити» всю формулу, коли забудеш символ або знак.

Задіяй усі види пам'яті

Читай формули вголос, прописуй на листку кілька разів, поки не запам'ятаєш. Задіяй всі види пам'яті, спираючись на ведучу. Візуальна та рухова пам'ять разом дають більший ефект. Звісно, ​​потенціал для запам'ятовування у кожного різний. Є спеціальні методики, які допомагають .

Обов'язково роби формули наочними: обводь формулу в рамку, пиши її іншим кольором. Так буде легше знайти у конспекті та запам'ятати. А краще виписуй формули до окремого блокнота, структуруючи їх за темами. Позначай, у яких завданнях та чи інша формула знадобиться, у чому її особливість. Заведи звичку поповнювати список формул. Подібний «щоденник спостережень за формулами» допоможе освіжити у пам'яті важливу інформацію перед контрольною, іспитом чи ЦТ з математики.

Багато школярів ще ось що роблять: коли роздають проштамповані чернетки, ти береш і одразу записуєш на них важливі формули, які тобі важко даються. За півгодини до ЦТ ці формули зорово запам'ятав, а потім швиденько написав. Це заощаджує час. Особливо такий лайфхак добрий у тригонометрії. Чим більше знаєш формул, тим краще.

Перевіряй себе

Потрібно постійно повертатися до вивченого матеріалу, щоб не забути його. Спробуй метод "Дві картки", він підійде для запам'ятовування формул приведення, скороченого множення, тригонометричних формул. Візьми дві стопки карток різного кольору, на одній напиши ліву частину формули, а на іншій праву. Розділи таким чином усі формули, що тобі потрібно запам'ятати, потім перемішай обидві стоси. Тягни по порядку картку з лівою частиною формули і підбирай її продовження серед «правих» і навпаки.

Картки хороші і в геометрії

Щоб запам'ятати формули з геометрії, заведи собі картки за темами («Формули площі», «Фомули для трикутника», «Фомули для квадрата» тощо) і записуй інформацію таким чином.

Будь на позитиві

Якщо ти вчиш щось з-під палиці, мозок сам хоче позбавитися від вантажу знань. Сприймай заучування формул як хорошу вправу для тренування пам'яті. Та й настрій піднімається, коли згадуєш потрібну формулу для вирішення.І звичайно ж, вирішуй якомога більше тестів та завдань для підготовки до контрольної, екзамену чи ЦТ!

ЦТ з математики — це типові завдання: що більше тестів вирішуєш, то вище шанс зустріти щось схоже на ЦТ. Неможливо підготуватися до ЦТ за одним завданням. Але коли ти вирішував 100 завдань, то 101 завдання не викликає труднощів.

Дмитро Судник, викладач математики у

Якщо матеріал був тобі корисний, не забудь поставити «мені подобається» у наших соцмережах

На даній сторінці Ви можете подивитися або безкоштовно скачати математичні формули, таблиціа також довідкові матеріали з вищої математики. Усі математичні таблиці складені особисто мною і мають додаткові коментарі. Зроблено це з метою подолання труднощів, із якими часто стикаються студенти-заочники під час вирішення завдань. Я не претендую на всеосяжну повноту матеріалів, але те, що дуже часто зустрічається, Ви знайдете.

Розглянемо, наприклад, таблицю тригонометричних формул. Тригонометричних формул досить багато, вони давно відомі, і немає жодного сенсу переписувати довідники. А ось ті формули, які часто використовуються для вирішення завдань курсу вищої математики, зібрані воєдино, і можуть бути дуже корисні при виконанні практичних завдань. При цьому в коментарях я вказую, у якому розділі вищої математики (межі, похідні, інтеграли тощо) практично завжди фігурує та чи інша формула.

Отже, прямо зараз у Вас є безкоштовний доступ до цінних довідкових матеріалів, можливий як онлайн перегляд, так і скачування. Найзручніше відразу роздрукувати математичні таблиці та довідкові матеріали, які Вас зацікавлять. Як показує практика, інформація на екрані монітора засвоюється гірше, ніж на папері, та читати з монітора важче.

Майже всі файли розміщені прямо на сайті, а значить можуть бути отримані в максимально короткий термін, обмежений тільки швидкістю Вашого Інтернет-підключення.

! У разі некоректного відображення PDF використовуйте наступні рекомендації

Рекомендую переглянути всім. Дані формули зустрічаються в ході вирішення задач з вищої математики буквально на кожному кроці. Без знання цих формул – нікуди. З чого розпочати вивчення вищої математики? З цього повторення. Незалежно від рівня Вашої математичної підготовки на даний момент, вкрай бажано ВІДРАЗУ БАЧИТИ можливість виконання елементарних дій, застосування найпростіших формул у ході розв'язання меж, інтегралів, диференціальних рівнянь тощо.

У довіднику є коротка інформація про модуль, формули скороченого множення, алгоритм розв'язання квадратного рівняння, правила спрощення багатоповерхових дробів, а також найважливіші властивості ступенів та логарифмів.

Наведені «ходові» тригонометричні формули, які застосовуються в ході вирішення завдань з вищої математики. Насправді таких формул ТРОХИ, і збирати десятки інших за різними математичними довідниками – марна трата часу. Все (або майже все), що може знадобитися – тут.

При виконанні завдань з математики нерідко виникає потреба заглянути до тригонометричних таблиць. У цьому довідковому матеріалі представлена ​​таблиця значень тригонометричних функцій (синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу) при значеннях аргументу від нуля до 360 градусів. Тримати в пам'яті цю інформацію немає сенсу, але деякі значення тригонометричних функцій добре б знати. Також представлені формули приведення для вищезгаданих тригонометричних функцій, іноді(найчастіше при вирішенні меж) потрібні. На прохання відвідувачів сайту до pdf-файлу додано таблицю значень зворотних тригонометричних функцій та дві формули: формулу переведення градусів у радіани, формулу переведення радіанів у градуси.

Методичний матеріал є огляд графіків основних елементарних функцій та його властивостей. Буде корисний для вивчення практично всіх розділів вищої математики, більше того, довідковий посібник допоможе вам набагато краще та якіснішерозібратися у деяких темах. Також ви зможете дізнатися, які значення функцій слід знати напам'ятьщоб не отримати «два автоматом» при відповіді на найпростіше питання екзаменатора. Довідка виконана у формі веб-сторінки та містить багато графіків функцій, які також бажано пам'ятати. З розвитком проекту методичка стала грати роль вступного уроку на тему «Функції та графіки».

На практиці у студентів-заочників практично завжди виникає необхідність використовувати перший і другий чудові межі, про які йдеться в даній довідці. Також розглянуто ще три чудові межі, які зустрічаються значно рідше. Всі чудові межі мають додаткові важливі коментарі. Крім того, файл доповнений інформацією про чудові еквівалентності.

У довідці наведено правила диференціювання та таблицю похідних від основних елементарних функцій. Таблиця має дуже важливі примітки.

Ваш гід за розділом «Функції та графіки». У pdf-ці систематизована та законспектована інформація про основні етапи дослідження функції однієї змінної. Керівництво супроводжується посиланнями, а отже, заощаджує багато часу. Мануал корисний як чайнику, і підготовленому читачеві.

Загалом, майже те саме, що в диференціальному обчисленні. Правила інтегрування та таблиця інтегралів із моїми коментарями.

Довідковий матеріал незамінний щодо статечних рядів. У таблиці представлені розкладання в статечному ряду наступних функцій: експоненти, синуса, косинуса, логарифма, арктангенса та арксинусу. Також наведено біномне розкладання та найпоширеніші окремі випадки біномного розкладання. Розкладання функції ряд є самостійним завданням, використовується для наближених обчислень, наближених обчислень певного інтеграла й у деяких інших завданнях.

Основною складністю при вирішенні неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку з постійними коефіцієнтами є правильний вибір приватного рішення за видом правої частини. Дана методичка відноситься, перш за все, до уроку Як розв'язати неоднорідне рівняння другого порядку?та допоможе вам легко розібратися у доборі приватного рішення. Довідка не претендує на ґрунтовну наукову повноту, вона написана простою та зрозумілою мовою, однак у 99,99% випадків у ній знайдеться саме той випадок, який ви шукаєте.

Довідка незамінна під час вирішення прикладних завдань комплексного аналізу – знаходження приватного рішення ДК операційним методомта знаходження приватного рішення системи ДУ цим же способом. Таблиця відрізняється від аналогів тим, що «заточена» саме під зазначені завдання, дана особливість дозволяє легко освоїти алгоритми рішення. Наведено як пряме, і зворотне перетворення Лапласа для найпоширеніших функцій. Якщо інформації виявиться недостатньо, рекомендую звернутися до солідного математичного довідника - повна версія містить більше сотні пунктів.

У довідковому матеріалі наведені формули факторіалу, кількості перестановок, поєднань, розміщень (з повтореннями та без повторень), а також змістовні коментарі до кожної формули, що дозволяють зрозуміти їхню суть. + Правила складання та множення комбінацій. Крім того, у pdf-ці є коротка інформація про біном Ньютона і трикутник Паскаля з прикладами їх практичного використання.

Файл містить перелік формул з короткими коментарями з обох глав тервера – Випадкові подіїі Випадкові величини, у тому числі наведені формули та числові характеристики поширених дискретних та безперервних розподілів. Довідка систематизує матеріал і дуже зручна для виконання практичних завдань, зазираємо та одразу знаходимо те, що потрібно!

Спеціальні розрахункові програми:

У цьому розділі ви можете знайти допоміжні програми для вирішення широких та вузьколокальних математичних завдань. Вони допоможуть вам швидко виконати розрахунки та оформити рішення.

Універсальний калькуляторреалізований у робочій книзі MS Excel, що містить три аркуші. Програма може замінити звичайний калькулятор із безліччю функцій. Будь-які ступеня, коріння, логарифми, тригонометричні функції, арки – без проблем! Крім того, калькулятор в автоматичному режимі виконує основні дії з матрицями , вважає визначники (до визначника 5 на 5 включно), миттєво знаходить мінори і додатки алгебри матриць. За лічені секунди можна вирішити систему лінійних рівнянь за допомогою зворотної матриці та за формулами Крамера, переглянути основні етапи рішення. Все це дуже зручно для самоперевірки. Просто введіть свої числа та отримайте готовий результат!

Дана напівавтоматична програмавідноситься до уроку Формула трапецій, формула Сімпсонаі допомагає розрахувати наближене значення певного інтеграла на 2, 4, 8, 10 та 20 відрізках розбиття. Додається відеоурок роботи з калькулятором. Обчисліть ваш певний інтеграл за лічені хвилини, і навіть секунди!

На даний момент поки що все.

Розділ поступово поповнюється додатковими матеріалами та корисними програмами. Кожен довідковий посібник неодноразово редагувався та покращувався, в тому числі, з урахуванням ваших побажань та зауважень! Якщо Ви вважаєте, що втрачено щось важливе, знайшли якісь неточності, а можливо, щось роз'яснено недостатньо зрозуміло, обов'язково пишіть !

З повагою, Ємелін Олександр

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

На цій сторінці зібрані всі формули, необхідні для складання контрольних та самостійних робіт, іспитів з алгебри, геометрії, тригонометрії, стереометрії та інших розділів математики.

Тут ви можете завантажити або подивитися онлайн всі основні тригонометричні формули, формулу площі кола, формули скороченого множення, формула довжини кола, формули приведення та багато інших.

Можна також роздрукувати необхідні збірки математичних формул.

Успіхів в навчанні!

Формули Арифметики:

Формули Алгебри:

Геометричні Формули:

Арифметичні формули:

Закони дій над числами

Переміщувальний закон складання: a + b = b + a.

Сполучний закон складання: (a + b) + c = a + (b + c).

Переміщувальний закон множення: ab = ba.

Сполучний закон множення: (ab) з = a (bc).

Розподільний закон множення щодо складання: (a + b) с = aс + bс.

Розподільний закон множення щодо віднімання: (a - b) с = aс - bс.

Деякі математичні позначення та скорочення:

Ознаки подільності

Ознаки подільності на «2»

Число, що ділиться на «2» без залишку називається парним, що не ділиться - непарним. Число ділиться на «2» без залишку, якщо його остання цифра парна (2, 4, 6, 8) або нуль

Ознаки подільності на «4»

Число ділиться на «4» без залишку, якщо дві останні його цифри нулі або у сумі утворюють число, що ділиться без залишку на «4»

Ознаки подільності на «8»

Число ділиться на «8» без залишку, якщо три останні його цифри нулі або у сумі утворюють число, що ділиться без залишку на «8» (приклад: 1000 - три останні цифри «00», а при розподілі 1000 на 8 виходить 125; 104 - дві останні цифри "12" діляться на 4, а при розподілі 112 на 4 виходить 28; і т.д.)

Ознаки подільності на «3» та на «9»

Без залишку на «3» діляться лише ті числа, які мають суму цифр ділиться без залишку на «3»; на «9» — лише ті, у яких сума цифр ділиться без залишку на «9»

Ознаки подільності на «5»

Без залишку на "5" діляться числа, остання цифра яких "0" або "5"

Ознаки подільності на «25»

Без залишку на «25» діляться числа, дві останні цифри яких нулі або у сумі утворюють число, що ділиться без залишку на «25» (тобто числа, що закінчуються на «00», «25», «50», «75») »

Ознаки подільності на «10», «100» та «1 000»

Без залишку на «10» діляться лише ті числа, остання цифра яких нуль, на «100» — лише ті числа, які мають дві останні цифри нулі, на «1000» — лише ті числа, у яких три останні цифри нулі

Ознаки подільності на «11»

Без залишку на «11» діляться лише ті числа, у яких сума цифр, що займають непарні місця, або дорівнює сумі цифр, що займають парні місця, або відрізняється від неї на число, що ділиться на «11»

Абсолютна величина - формули (модуль)

|a| ? 0, причому | a | = 0, тільки якщо a = 0; |-a|=|a| |a2|=|a|2=a2 | ab | = | a | * | b | |a/b|=|a|/|b|, причому b? 0; |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|-|b|

Формули Дії з дробами

Формула обігу кінцевого десяткового дробу в раціональний дріб:

Пропорції

Два рівні відносини утворюють пропорцію:

Основна властивість пропорції

Знаходження членів пропорції

Пропорції, рівносильні пропорції : Похідна пропорція- Наслідок даної пропорціїу вигляді

Середні величини

Середнє арифметичне

Двох величин: nвеличин:

Середнє геометричне (середнє пропорційне)

Двох величин: nвеличин:

Середнє квадратичне

Двох величин: nвеличин:

Середнє гармонійне

Двох величин: nвеличин:

Деякі кінцеві числові ряди

Властивості числових нерівностей

1) Якщо a< b , то за будь-якого c: a + с< b + с .

2) Якщо a< b і з > 0, то aс< bс .

3) Якщо a< b і c< 0 , то aс > bс.

4) Якщо a< b , aі bодного знака, то 1/a > 1/b.

5) Якщо a< b і c< d , то a + с< b + d , a - d< b — c .

6) Якщо a< b , c< d , a > 0, b > 0, з > 0, d > 0, то ac< bd .

7) Якщо a< b , a > 0, b > 0, то

8) Якщо , то

• Формули Прогресії:

• 

• Похідна

• Логарифми:
• Координати та вектори

  1. Відстань між точками A1(x1;y1) та A2(x2;y2) знаходиться за формулою:

  2. Координати (x; y) середини відрізка з кінцями A1 (x1; y1) і A2 (x2; y2) знаходиться за формулами:

  

  3. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом та початковою ординатою має вигляд:

  Кутовий коефіцієнт k являє собою значення тангенса кута, утвореного прямою з позитивним напрямом осі Ox, а початкова ордината q – значення ординати точки перетину прямої з віссю Oy.

  4. Загальне рівняння прямої має вигляд: ax + by + c = 0.

  5. Рівняння прямих, паралельних відповідно до осей Oy і Ox, мають вигляд:

  Ax+by+c=0.

  6. Умови паралельності та перпендикулярності прямих y1=kx1+q1 та y2=kx2+q2 відповідно мають вигляд:

  

  7. Рівняння кіл з радіусом R і з центром відповідно в точках O(0;0) і C(xo;yo) мають вигляд:

  8. Рівняння:

  являє собою рівняння параболи з вершиною в точці, абсцис якої

• Прямокутна декартова система координат у просторі

  1. Відстань між точками A1(x1;y1;z1) та A2(x2;y2;z2) знаходиться за формулою:

  2. Координати (x;y;z) середини відрізка з кінцями A1(x1;y1;z1) і A2(x2;y2;z2) знаходяться за формулами:

  3. Модуль вектора, заданого своїми координатами, знаходиться за формулою:

  

  4. При складанні векторів їх відповідні координати складаються, а при множенні вектора число всі його координати множаться цього число, тобто. справедливі формули:

  5. Одиничний вектор, спрямований з вектором, знаходиться за формулою:

  6. Скалярним твором векторів називається число:

  

  де - Кут між векторами.

  7. Скалярне твір векторів

  

  8. Косинус кута між векторами і знаходиться за формулою:

  9. Необхідна та достатня умова перпендикулярності векторів і має вигляд:

  10. Загальне рівняння площини, перпендикулярної вектору має вигляд:

  Ax+by+cz+d=0.

  11. Рівняння площини, перпендикулярної вектору і проходить через точку (xo; yo; zo), має вигляд:

  A(x - xo) + b (y - yo) + c (z - zo) = 0.

  12. Рівняння сфери із центром O(0;0;0) записується у вигляді.

Освіта - те, що залишається після того, як забуто все, чого навчали у школі.

Ігор Хмелінський, новосибірський вчений, що нині працює в Португалії, доводить, що без прямого запам'ятовування текстів та формул розвиток абстрактної пам'яті у дітей важко. Наведу витяг з його статті "Уроки освітніх реформ у Європі та країнах колишнього СРСР"

Заучування напам'ять та довготривала пам'ять

Незнання таблиці множення має більш серйозні наслідки, ніж нездатність виявити помилки у розрахунках на калькуляторі. Наша довготривала пам'ять працює за принципом асоціативної бази даних, тобто одні елементи інформації при запам'ятовуванні виявляються пов'язаними з іншими на основі асоціацій, встановлених в момент знайомства з ними. Тому, щоб у голові утворилася база знань у будь-якій предметній галузі, наприклад, в арифметиці, потрібно спочатку вивчити хоч щось напам'ять. Далі, інформація, що надходить, потрапить з короткочасної пам'яті в довготривалу, якщо протягом короткого проміжку часу (кілька днів) ми зіткнемося з нею багаторазово, і, бажано, в різних обставинах (що сприяє створенню корисних асоціацій). Однак за відсутності в постійній пам'яті знань з арифметики, елементи інформації, що знову надходять, пов'язуються з елементами, які до арифметики жодного відношення не мають – наприклад, особистістю викладача, погодою на вулиці тощо. Очевидно, таке запам'ятовування ніякої реальної користі учню не принесе – оскільки асоціації виводять із даної предметної галузі, то ніяких знань, що стосуються арифметики, учень згадати не зможе, крім невиразних ідей про те, що він начебто щось колись про це мав чути. Для таких учнів роль асоціацій, що бракують, зазвичай виконують різного роду підказки – списати у колеги, скористатися навідними питаннями в самій контрольній, формулами зі списку формул, яким користуватися дозволено, і т.п. У реальному житті, без підказок, така людина виявляється абсолютно безпорадною і нездатною застосувати знання, що є в неї в голові.

Формування математичного апарату, у якому формули не заучуються, відбувається повільніше, ніж інакше. Чому? По-перше, нові властивості, теореми, взаємозв'язки між математичними об'єктами майже завжди використовують якісь особливості раніше вивчених формул та понять. Концентрувати увагу учня на новому матеріалі буде складніше, якщо ці особливості не зможуть отримувати з пам'яті за короткий проміжок часу. По-друге, незнання формул напам'ять перешкоджає пошуку вирішення змістовних завдань із великою кількістю дрібних операцій, у яких потрібно як провести певні перетворення, а й виявити послідовність цих ходів, аналізуючи застосування кількох формул на два-три кроки вперед.

Практика показує, що інтелектуальний і математичний розвиток дитини, формування її бази знань і навичок, відбувається значно швидше, якщо більшість використовуваної інформації (властивості та формули) бути в голові. І чим міцніше і довше вона там утримується, тим краще.