Математичні моделі в економіці та управлінні. Математичні методи економіки

Існує значна різноманітність видів, типів економіко-математичних моделей, необхідних для використання в управлінні економічними об'єктами та процесами. Економіко-математичні моделі поділяються на: макроекономічні та мікроекономічні залежно від рівня об'єкта управління, що моделюється, динамічні, які характеризують зміни об'єкта управління в часі, та статичні, які описують взаємозв'язки між різними параметрами, показниками об'єкта саме в той час. Дискретні моделі відображають стан об'єкта управління окремі, фіксовані моменти часу. Імітаційними називають економіко-математичні моделі, що використовуються з метою імітації керованих економічних об'єктів та процесів із застосуванням засобів інформаційної та обчислювальної техніки. За типом математичного апарату, що застосовується в моделях, виділяються економіко-статистичні, моделі лінійного та нелінійного програмування, матричні моделі, мережеві моделі.

Факторні моделі. У групу економіко-математичних факторних моделей входять моделі, які з одного боку включають економічні чинники, яких залежить стан керованого економічного об'єкта, з другого - залежні від цих чинників параметри стану об'єкта. Якщо фактори відомі, модель дозволяє визначити шукані параметри. Факторні моделі найчастіше надані простими в математичному відношенні лінійними або статичними функціями, які характеризують зв'язок між факторами та залежними від них параметрами економічного об'єкта.

Балансові моделі. Балансові моделі як статистичні, і динамічні широко застосовуються в економіко-математичному моделюванні. В основі створення цих моделей лежить балансовий метод - метод взаємного зіставлення матеріальних, трудових та фінансових ресурсів та потреб у них. Описуючи економічну систему загалом, під її балансової моделлю розуміють систему рівнянь, кожне у тому числі висловлює потреба балансу між виготовленими окремими економічними об'єктами кількості продукції і на сукупної потребою у цій продукції. За такого підходу економічна система складається з економічних об'єктів, кожен із яких випускає певний продукт. Якщо замість поняття «продукт» запровадити поняття «ресурс», то під балансовою моделлю необхідно розуміти систему рівнянь, які відповідають вимогам між певним ресурсом та його використанням.

Найбільш важливі види балансових моделей:

• · Матеріальні, трудові та фінансові баланси для економіки в цілому та окремих її галузей;
• · Міжгалузеві баланси;
• · Матричні баланси підприємств та фірм.

Оптимізаційні моделі. Великий клас економіко-математичних моделей утворює оптимізаційні моделі, які дозволяють вибрати з усіх рішень найкращий оптимальний варіант. У математичному змісті оптимальність розуміється як досягнення екстремуму критерію оптимальності, яка називається також цільовою функцією. Оптимізаційні моделі найчастіше використовуються у завданнях знаходження кращого способу використання економічних ресурсів, що дозволяє досягти максимального цільового ефекту. Математичне програмування утворилося на основі розв'язання задачі про оптимальний розкрій листів фанери, що забезпечує найповніше використання матеріалу. Поставивши таке завдання, відомий російський математик та економіст академік Л.В. Канторовича було визнано гідним Нобелівської премії в економіці.

Теорія

1.

Модель- це спрощене уявлення реального пристрою та процесів, явищ, що протікають у ньому. . Моделювання– це процес створення та дослідження моделей. Моделювання полегшує вивчення об'єкта з метою його створення, подальшого перетворення та розвитку. Воно використовується для дослідження існуючої системи, коли реальний експеримент проводити недоцільно через значні фінансові та трудові витрати, а також при необхідності проведення аналізу проектованої системи, тобто. яка ще фізично немає у цій організації.

Процес моделювання включає три елементи: 1) суб'єкт (дослідник), 2) об'єкт дослідження, 3) модель, що опосередковує відносини суб'єкта, що пізнає, і об'єкта, що пізнається.

Модель має такі функції:

1) засіб осмислення реальності 2) засіб спілкування та навчання 3) засіб планування та прогнозування 3) засіб вдосконалення (оптимізації) 4) засіб вибору (ухвалення рішення)

Під час моделювання знання про досліджуваний об'єкт розширюються та уточнюються, а вихідна модель поступово вдосконалюється. Недоліки, виявлені після першого циклу моделювання, виправляються і моделювання проводиться знову. У методології моделювання таким чином закладено великі можливості саморозвитку.

2.

Моделювання економіки- Це пояснення соціально-економічних систем знаковими математичними засобами. Практичними завданнями економіко-математичного моделювання є: аналіз економічних об'єктів та процесів, економічне прогнозування, прогноз розвитку економічних процесів, підготовка управлінських рішень на всіх рівнях господарської діяльності.

Особливостями економіки як об'єкта моделювання є:

1) економіка, як складна система, є підсистемою суспільства, але, у свою чергу, вона складається з виробничої та невиробничої сфер, що взаємодіють між собою;

2) емерджентність, що означає, що економічні об'єкти, процеси та явища мають такі властивості, якими не має жоден з елементів їх утворюючих;

3) ймовірнісний, невизначений, випадковий характер перебігу економічних процесів та явищ;

4) інерційний характер розвитку економіки, відповідно до якого закони, закономірності, тенденції, зв'язки, залежності, що мали місце у минулому періоді, продовжують діяти деякий час у майбутньому.

Всі перелічені та інші властивості економіки ускладнюють її вивчення, виявлення закономірностей, динамічних тенденцій, зв'язків і залежностей. Математичне моделювання є інструментарієм, вміле використання якого дозволяє успішно вирішувати проблеми вивчення складних систем, зокрема таких складних, як економічні об'єкти, процеси, явища.

3.

Економічна системаце складна динамічна система, що включає процеси виробництва, обміну, розподілу, перерозподілу та споживання благ (система суб'єктів економічних відносин, що взаємодіють на ринку).

Мікроекономічні системи - (корпорації та об'єднання; підприємства; організації; установи; окремі суб'єкти економічних відносин).

Макроекономічні системи - (регіон; національна економіка; світова економіка; система взаємодіючих ринків;)

Методологія:галузь знань, що досліджує умови, принципи, структуру, логічну організацію, способи та методи діяльності.

Механізм:система способів практичної спрямованості, що мають на меті забезпечення практичного використання методів та моделей для вирішення проблем управління економічними системами.

Метод:сукупність інструментів, вкладених у вирішення певної проблеми.

Математичний метод:спосіб дослідження, спрямований на аналіз, синтез, оптимізацію або прогнозування стану, структури, функцій або поведінки економічної системи, наслідків та перспектив її функціонування, управління чи розвитку, що використовує формальні методи та апарат математичних досліджень.

Математична модель:математичний опис об'єкта (процесу чи системи), що використовується у дослідженні замість об'єкта-оригіналу, з метою аналізу, визначення кількісних чи логічних зв'язків між його частинами.

Комплекс математичних моделей:сукупність математичних моделей, що спільно застосовуються, які використовують або обмінюються загальними даними і спрямовані на досягнення загальної мети або вирішення спільної проблеми.

4.

Існує два базовихпідходи до моделювання економіки: мікроекономічний та макроекономічний. Мікроекономічний підхідвідображає функціонування і структуру окремих елементів системи, що вивчається (так наприклад, при дослідженні банківського сектора таким елементом є комерційний банк) або стан і розвиток окремих соціально-економічних процесів, що відбуваються в ній, і реалізується, насамперед, шляхом розробки прикладних методик аналізу результатів діяльності. Приміром, стосовно банку - це аналіз ліквідності банку, оцінка банківських ризиків тощо. Завдання в рамках мікроекономічного підходу реалізуються шляхом розробки спеціальних економіко-математичних моделей. Макроекономічний підхідпередбачає аналіз специфіки функціонування системи, що вивчається у взаємозв'язку з основними макроекономічними показниками розвитку національної економіки. Стосовно аналізу діяльності банківського сектора такий підхід полягає у розгляді його у взаємодії з різними сегментами фінансового ринку та, відповідно, у взаємозв'язку показників банківського сектора з макроекономічними показниками господарства загалом. В даному випадку макроекономічний підхід практично може бути реалізований за допомогою побудови моделей факторного аналізу, таких як факторна модель ринку державних короткострокових зобов'язань, модель ринку позичкових капіталів, а також при побудові та оцінці прогнозних значень динаміки окремих показників банківського сектора.

Ряд напрямів у моделюванні спирається на мікроекономіку, ряд – на макроекономічний. Немає чітких граней, наприклад, можна сказати, що економіка промислового підприємства, економіка праці, економіка комунального господарства відносяться до мікроекономіки, монетарна економіка, інвестиції сфера споживання це макроекономіка, а фінансовий ринок, міжнародна торгівля, економічний розвиток це область перекриття.

5.

У найзагальнішому вигляді рівновага економіки - це збалансованість і пропорційність її основних параметрів, інакше кажучи, ситуація, коли в учасників господарської діяльності немає стимулів до зміни існуючого становища.

Ринкова рівновага - ситуація над ринком, коли попит товару дорівнює його пропозицію. Зазвичай рівновагу досягається у вигляді або обмеження потреб (на ринку вони завжди виступають у вигляді платоспроможного попиту), або збільшення та оптимізації використання ресурсів.

А. Маршалл розглядав рівновагу лише на рівні окремого господарства чи галузі. Це мікрорівень, що характеризує особливості та умови часткової рівноваги. Але загальна рівновага - це узгоджений розвиток (відповідність) всіх ринків, усіх секторів та сфер, оптимальний стан економіки загалом.

Причому рівновагу системи нац. господарства це не лише ринкова рівновага. Т.к. Порушення у сфері виробництва неминуче ведуть до нерівноважності на ринках. І насправді економіка відчуває вплив інших, неринкових чинників (війни, соціальні хвилювання, погода, демографічні зрушення).

Проблему ринкової рівноваги аналізували Дж. Робінсон, Еге. Чемберлін, Дж. Кларк. Однак піонером у дослідженні цього питання був Л. Вальрас.

Щодо стану рівноваги, то воно, за Вальрасом, передбачає наявність трьох умов:

1) попит та пропозиція факторів виробництва рівні; на них встановлюється постійна та стійка ціна;

2) попит та пропозиція товарів (і послуг) також рівні та реалізуються на основі постійних, стійких цін;

3) ціни товарів відповідають витратам виробництва.

Розрізняють три види ринкової рівноваги: ​​миттєве, короткострокове та довгострокове, через які послідовно проходить пропозиція у процесі збільшення його еластичності у відповідь на зростання попиту.

6.

ЗАКРИТА ЕКОНОМІКА- Модель замкнутої економічної системи, орієнтованої на виключне використання власних ресурсів та відмову від зовнішньоекономічних зв'язків. Ця модель реалізувалася, як правило, в умовах підготовки до війни чи війни. Зокрема до неї наближалися економіка фашистської Німеччини, довоєнна економіка СРСР.

Закрита економіка це економіка, відгороджена від світового економічного співтовариства високим рівнем мит та нетарифних бар'єрів. Дедалі більше країн, що розвиваються, переходить від закритої до відкритої економіки. Закритою залишається поки що економіка деяких країн бідного Півдня, насамперед, країни Африки на південь від Сахари. Економіка цих країн не порушена збільшенням міжнародних економічних обмінів та руху капіталів. Закритий характер економіки посилює глибоку відсталість, яка, своєю чергою, не дозволяє їм адаптуватися до структурних змін на світових ринках.

ВІДКРИТА ЕКОНОМІКА- економіка країни, тісно пов'язана зі світовим ринком, міжнародним розподілом праці. Виступає протилежністю замкнутих систем. Ступінь відкритості характеризується такими показниками, як: відношення експорту та імпорту до ВВП; рух капіталу за кордон та з-за кордону; оборотність валюти; участь у міжнародних економічних організаціях. У сучасних умовах стає фактором розвитку національної економіки, орієнтиром на найкращі світові стандарти.

Багато напрямів економічної думки Заходу (представники країн відкритої економіки) розвивали власну модель відкритої економіки. Ця тема залишається актуальною і до сьогодні т.к. моделі відкритої економіки відкривають такий спектр питань, як взаємодія між національними господарствами, поєднання макроекономічної та зовнішньоекономічної політики, а у разі її нерівноважного рівня – питання вироблення власної стабілізаційної політики.

Моделі закритої та відкритої економіки:

Принципова нерівноважність економіки (нерівномірність розвитку)

Державне втручання (протекціонізм та антидемпінгова політика) та глобалізація (боротьба за ресурси)

Імпорт та експорт – ознаки відкритої економіки

Взаємна залежність країн (міжнародний поділ праці)

Транснаціональні корпорації (перетікання капіталу)

7.

Розробка технологічних моделей – один із найпослідовніших методів у макроекономічному моделюванні.

Ці моделі безпосередньо пов'язують випуски та витрати виробництва з його технологією, дозволяють використовувати співвідношення матеріального та фінансового балансу, проводити прогнозування, оптимізацію та аналіз розвитку.

Технологічні моделі можуть бути статичними і динамічними .

-Статичні моделі оперують постійними величинами А і В, описують існуючий баланс витрат і випусків та призначені для короткострокових прогнозів чи оптимізації (наприклад, модель МОБ Леонтьєва)

- Динамічні моделі включають динаміку цін (і можливо - автономний тех.прогрес), дають можливість досліджувати економічне зростання та стійкість економіки (модель фон Неймана, Морішими та ін.)

Водночас технологічному підходу притаманний ряд недоліків: у технологічних моделях зазвичай не розглядається: -географічне положення об'єкта; -Реальний технічний прогрес; -Динаміка цін; -Обмеженість трудових ресурсів тощо.

Модель фон Неймана – це модель економіки, що розширюється , в якій всі випуски та витрати зростають в однаковій пропорції. Модель замкнута, тобто всі випуски одного періоду стають витратами наступного періоду. Також у ній не використовуються первинні чинники і споживання розглядається як витрати у технологічному процесі, тому всі витрати є відтворюваними, і немає необхідності розглядати первинні ресурси.

Допущення моделі: Реальний рівень зарплати відповідає прожитковому мінімуму та весь надлишковий дохід реінвестується; Реальний рівень зарплати заданий та доходи мають залишкову природу; Немає відмінностей між первинними факторами виробництва та обсягами виробництва; Немає “вихідних” факторів виробництва, таких як праця традиційної теорії.

Модель визначає економіку, що характеризується лінійною технологією виробничих процесів.

МПС Російської Федерації

Уральський Державний Університет Шляхів Повідомлення

Челябінський Інститут Шляхів Повідомлення

КУРСОВА РОБОТА

по курсу: "Економіко-математичне моделювання"

Тема: "Математичні моделі в економіці"

Виконав:

Шифр:

Адреса:

Перевірив:

Челябінськ 200_ р.

Вступ

Створення та збереження звітів

Розв'язання задачі на комп'ютері

Література

Вступ

Моделювання в наукових дослідженнях стало застосовуватися ще в давнину і поступово захоплювало все нові галузі наукових знань: технічне конструювання, будівництво та архітектуру, астрономію, фізику, хімію, біологію і, нарешті, суспільні науки. Великі успіхи та визнання практично у всіх галузях сучасної науки принесли методу моделювання ХХ ст. Проте методологія моделювання тривалий час розвивалася незалежно окремими науками. Відсутня єдина система понять, єдина термінологія. Лише поступово стала усвідомлюватись роль моделювання як універсального методу наукового пізнання.

Термін "модель" широко використовується в різних сферах людської діяльності та має безліч смислових значень. Розглянемо лише такі "моделі", які є інструментами здобуття знань.

Модель - це такий матеріальний або подумки об'єкт, який у процесі дослідження заміщає об'єкт-оригінал так, що його безпосереднє вивчення дає нові знання про об'єкт-оригінал.

Під моделюванням розуміється процес побудови, вивчення та застосування моделей. Воно тісно пов'язане з такими категоріями, як абстракція, аналогія, гіпотеза та ін. Процес моделювання обов'язково включає і побудову абстракцій, і висновки за аналогією, і конструювання наукових гіпотез.

Головна особливість моделювання полягає в тому, що це метод опосередкованого пізнання за допомогою об'єктів-заступників. Модель виступає як своєрідний інструмент пізнання, який дослідник ставить між собою і об'єктом і за допомогою якого вивчає об'єкт, що його цікавить. Саме ця особливість методу моделювання визначає специфічні форми використання абстракцій, аналогій, гіпотез, інших категорій та методів пізнання.

Необхідність використання методу моделювання визначається тим, що багато об'єктів (або проблеми, що стосуються цих об'єктів) безпосередньо дослідити або зовсім неможливо, або ж це дослідження потребує багато часу та коштів.

Моделювання – циклічний процес. Це означає, що за першим чотириетапним циклом може бути другий, третій і т.д. При цьому знання про об'єкт, що досліджується, розширюються і уточнюються, а вихідна модель поступово вдосконалюється. Недоліки, виявлені після першого циклу моделювання, зумовлені малим знанням об'єкта та помилками у побудові моделі, можна виправити у наступних циклах. У методології моделювання таким чином закладено великі можливості саморозвитку.

Метою математичного моделювання економічних систем є використання методів математики для найбільш ефективного вирішення завдань, що виникають у сфері економіки, з використанням, як правило, сучасної обчислювальної техніки.

Процес вирішення економічних завдань здійснюється у кілька етапів:

Змістовна (економічна) постановка задачі. Спочатку потрібно усвідомити завдання чітко сформулювати її. При цьому визначаються також об'єкти, що належать до розв'язуваного завдання, а також ситуація, яку потрібно реалізувати внаслідок її вирішення. Це етап змістовної постановки завдання. Для того, щоб завдання можна було описати кількісно і використовувати при його вирішенні обчислювальну техніку, потрібно зробити якісний та кількісний аналіз об'єктів та ситуацій, що мають до неї відношення. При цьому складні об'єкти, що розбиваються на частини (елементи), визначаються зв'язки цих елементів, їх властивості, кількісні та якісні значення властивостей, кількісні та логічні співвідношення між ними, що виражаються у вигляді рівнянь, нерівностей тощо. Це - етап системного аналізу завдання, у результаті якого об'єкт виявляється представленим у вигляді системи.

Наступним етапом є математична постановка задачі, у процесі якої здійснюється побудова математичної моделі об'єкта та визначення методів (алгоритмів) отримання розв'язання задачі. Це етап системного синтезу (математичної постановки) завдання. Слід зауважити, що на цьому етапі може виявитися, що раніше проведений системний аналіз привів до такого набору елементів, властивостей та співвідношень, для якого прийнятного методу розв'язання задачі, в результаті доводиться повертатися до етапу системного аналізу. Як правило, завдання, що вирішуються в економічній практиці, стандартизовані, системний аналіз проводиться у розрахунку на відому математичну модель і алгоритм її вирішення, проблема полягає лише у виборі відповідного методу.

Наступним етапом є розробка програми розв'язання задачі на ЕОМ. Для складних об'єктів, які з великої кількості елементів, які мають велику кількість властивостей, може знадобитися складання бази даних і засобів роботи з нею, способів вилучення даних, необхідні розрахунків. Для стандартних завдань здійснюється не розробка, а вибір відповідного пакета прикладних програм та системи управління базами даних.

На заключному етапі проводиться експлуатація моделі та отримання результатів.

Таким чином, розв'язання задачі включає наступні етапи:

2. Системний аналіз.

3. Системний синтез (математична постановка задачі)

4. Розробка чи вибір програмного забезпечення.

5. Розв'язання задачі.

Послідовне використання методів дослідження операцій та їх реалізація на сучасній інформаційно-обчислювальній техніці дозволяє подолати суб'єктивізм, виключити так звані вольові рішення, засновані не на строгому та точному обліку об'єктивних обставин, а на випадкових емоціях та особистої зацікавленості керівників різних рівнів, які до того ж не можуть узгодити свої вольові рішення.

Системний аналіз дозволяє врахувати і використовувати в управлінні всю наявну інформацію про об'єкт, що керується, узгодити прийняті рішення з точки зору об'єктивного, а не суб'єктивного, критерію ефективності. Заощаджувати на обчисленнях при управлінні те саме, що економити на прицілюванні при пострілах. Однак ЕОМ не тільки дозволяє врахувати всю інформацію, а й позбавляє управлінця від непотрібної йому інформації, а всю потрібну пускає в обхід людини, представляючи їй лише узагальнену інформацію, квінтесенцію. Системний підхід економіки ефективний і сам собою, без використання ЕОМ, як засіб дослідження, у своїй він змінює раніше відкритих економічних законів, лише вчить, як їх краще использовать.

Складність процесів в економіці вимагає від людини, яка приймає рішення, високої кваліфікації та великого досвіду. Це, однак, не гарантує помилок, дати швидку відповідь на поставлене питання, провести експериментальні дослідження, які неможливі або потребують великих витрат і часу на реальному об'єкті, дозволяє математичне моделювання.

Математичне моделювання дозволяє прийняти оптимальне, тобто найкраще рішення. Воно може трохи відрізнятися від грамотно прийнятого рішення без застосування математичного моделювання (близько 3%). Однак за великих обсягів виробництва така "незначна" помилка може призвести до величезних втрат.

Математичні методи, що застосовуються для аналізу математичної моделі та прийняття оптимального рішення, дуже складні та їх реалізація без застосування ЕОМ скрутна. У складі програм Excel і Mathcad є засоби, що дозволяють провести математичний аналіз та знайти оптимальне рішення.

Частина №1 "Дослідження математичної моделі"

Постановка задачі.

На підприємстві є можливість випуску продукції 4 видів. Для випуску одиниці виробленої продукції кожного виду необхідно витратити певну кількість трудових, фінансових, сировинних ресурсів. В наявності є обмежена кількість кожного ресурсу. Реалізація одиниці виробленої продукції приносить прибуток. Значення параметрів наведено у таблиці 1. Додаткова умова: фінансові витрати на виробництво продукцій №2 та №4 не повинні перевищувати 50р. (Кожного виду).

На основі математичного моделювання засобами Excel визначити, яку продукцію та в яких кількостях доцільно зробити з погляду отримання найбільшого прибутку, проаналізувати результати, відповісти на питання, зробити висновки.

Таблиця 1.

Складання математичної моделі

Цільова функція (ЦФ).

Цільова функція показує, у сенсі рішення завдання має бути найкращим (оптимальним). У нашому завданні ЦФ:

Прибуток → max.

Значення прибутку можна визначити за такою формулою:

Прибуток = кіл 1 ∙ пр 1 + кіл 2 ∙ пр 2 + кіл 3 ∙ пр 3 + кіл 4 ∙ пр 4,де кіль 1 ,…, кіль 4 –

кількості випущеної продукції кожного виду;

пр 1, ..., пр 4 -прибутку, одержувані від одиниці кожного виду продукції. Підставивши значення пр 1, ..., пр 4 (з табл.1) отримаємо:

ЦФ: 1,7 ∙ кіл 1 + 2,3 ∙ кіл 2 + 2 ∙ кіл 3 + 5 ∙ кіл 4 → max (1)

Обмеження (ОГР).

Обмеження встановлюють залежність між змінними. У нашій задачі обмеження накладаються використання ресурсів, кількості яких обмежені. Кількість сировини, яка потрібна для виробництва всієї продукції, можна підрахувати за формулою:

Сировина = с 1 ∙ кіл 1 + з 2 ∙ кіл 2 + з 3 ∙ кіл 3 + з 4 ∙ кіл 4,де з 1, ..., з 4 –

кількості сировини, необхідних випуску одиниці кожного виду продукції. Загальна кількість використаної сировини не може перевищувати наявного ресурсу. Підставивши значення з табл.1, отримаємо перше обмеження - за сировиною:

1,8 ∙ кіл 1 + 1,4 ∙ кіл 2 + 1 ∙ кіл 3 + 0,15 ∙ кіл 4 ≤ 800 (2)

Аналогічно запишемо обмеження щодо фінансів та трудовитрат:

0,63 ∙ кількість 1 + 0,1 ∙ кількість 2 + 1 ∙ кількість 3 + 1,7 ∙ кількість 4 ≤ 400 (3)

1,1 ∙ кіл 1 + 2,3 ∙ кіл 2 + 1,6 ∙ кіл 3 + 1,8 ∙ кіл 4 ≤ 1000 (4)

Граничні умови (ГРУ).

Граничні умови показують, у межах можуть змінюватися шукані змінні. У нашому завданні це фінансові витрати на виробництво продукцій №2 та №4 відповідно до умови:

0,1 ∙ кількість 2 ≤ 50 р.; 1,7 ∙ кіл 4 ≤ 50 р. ( 5)

З іншого боку ми повинні запровадити, що кількість продукції має бути більшою або дорівнює нулю. Це очевидна нам, але необхідна комп'ютеру умова:

кіль 1 ≥ 0; кіль 2 ≥ 0; кіль 3 ≥ 0; кіль 4 ≥ 0. ( 6)

Оскільки всі перемінні ( кіль 1 ,…, кіль 4) входять у співвідношення 1-7 у першому ступені і з них виробляються лише дії підсумовування і множення на постійні коефіцієнти, то модель є лінійної.

Розв'язання задачі на комп'ютері.

Вмикаємо комп'ютер. Перед входом до мережі задаємо ім'я користувача ZA, з паролем А. Завантажуємо програму Excel. Зберігаємо файл під ім'ям Лидовицький Кулик. х ls. у папці Ек/к 31 (2). Створюємо верхній колонтитул: ліворуч - дата, в центрі ім'я файлу, праворуч ім'я аркуша.

Створюємо та форматуємо заголовок та таблицю вихідних даних (таблиця 1). Заносимо в таблицю дані згідно з варіантом завдання.

Створюємо та форматуємо таблицю для розрахунку. У комірки "Кількість" заносимо початкові значення. Їх обираємо близькими до очікуваного результату. Ми не маємо попередньої інформації і тому виберемо їх рівними 1. Це дозволить легко проконтролювати формули, що вводяться.

У рядок "Трудовитрати" вносимо складові формули (4) - добутку кількості продукції на кількість трудовитрат, необхідних для виробництва одиниці продукції:

для продукції №1 (=С15 * С8);

продукції №2 (= D15 * D8);

продукції №3 (= E15 * E8);

продукції №4 (= F15 * F8).

У графі “РАЗОМ” знаходимо суму вмісту цих осередків за допомогою кнопки автосумування Σ. У графі "Залишок" знаходимо різницю між вмістом осередків "Ресурс-Трудовитрати" таблиці 1 і "РАЗОМ-Трудовитрати" (=G8-G17). Аналогічно заповнюємо графи "Фінанси" (=G9-G18) і "Сировина" (=G10 G19).

У осередку “Прибуток” обчислюємо прибуток з лівої частини формули (1). При цьому скористаємося функцією СУММВИРОБ (С15: F15; C11: F11).

Привласнюємо осередкам, що містять підсумкові прибуток, фінансові, трудові та сировинні витрати, а також кількості продукції, імена, відповідно: "Прибуток", "Фінанси", "Трудовитрати", "Сировина", "Пр1", "Пр2", "Пр3" , "Пр4". Excelвключить ці імена до звітів.

Викликаємо діалогове вікно Пошук рішеннякомандами Сервіс-Пошук рішення.

Призначення цільової функції.

Встановлюємо курсор у вікно Встановити цільовий осередокі клацанням миші по осередку "Прибуток" заносимо до нього її адресу. Вводимо напрямок цільової функції: Максимальне значення.

Вводимо адреси змінних, що шукають, що містять кількості продукцій 1-4, у вікно Змінюючи комірки .

Введення обмежень.

Клацаємо по кнопці Додати. З'являється діалогове вікно Додавання обмежень. Ставимо курсор у віконце Посилання на коміркуі заносимо туди адресу осередку "Трудовитрати". Відкриваємо список умов та вибираємо<=, в поле Обмеженнявводимо адресу осередку "Ресурс-Трудовитрати". Клацаємо по кнопці Додати. У нове вікно Додавання обмеженьаналогічно вводимо обмеження щодо фінансів. Клацаємо по кнопці Додати, вводимо обмеження щодо сировини. Клацаємо по ОК. введення обмежень закінчено. На екрані знову з'являється вікно Пошук рішення, в полі Обмеженнявидно список введених обмежень.

Введення граничних умов.

Введення ГРУ не відрізняється від введення обмежень. У вікні Додавання обмеженьв полі Посилання на коміркуза допомогою миші вводимо адресу осередку "Фін2". Вибираємо знак<=. В поле Обмеженнязаписуємо 50. Клацаємо по Додати. Вводимо за допомогою миші адресу комірки "Фін4". Вибираємо знак<=. В поле Обмеженнязаписуємо 50. Клацаємо по ОК. повертаємось у вікно Пошук рішення. В полі Обмеженнявидно повний список введених ОГР та ГРУ (рис.1).

Малюнок 1.

Введення параметрів.

Клацаємо по кнопці Параметри.З'являється вікно Параметри пошуку рішення. В полі Лінійна модельставимо прапорець. Інші параметри залишаємо без зміни. Клацаємо по ОК(Рис.2).

Малюнок 2.

Рішення.

У вікні Пошук рішенняклацаємо по кнопці Виконати. На екрані з'являється вікно Результати пошуку рішення. У ньому повідомляється "Рішення знайдено. Усі обмеження та умови оптимальності виконані".

Створення та збереження звітів

Для відповіді на запитання завдання нам знадобляться звіти. В полі Тип звітумишею виділяємо всі типи: "Результати", "Стійкість" та "Межі".

Ставимо крапку у полі Зберегти знайдене рішенняі клацаємо по ОК. (Рис. 3). Excelформує затребувані звіти та розміщує їх на окремих аркушах. Відкривається вихідний лист із розрахунком. У графі "Кількість" - знайдені значення для кожного виду продукції.

Малюнок 3.

Формуємо зведений звіт. Копіюємо та розташовуємо на одному аркуші отримані звіти. Редагуємо їх так, щоб все розмістити на одній сторінці.

Оформлюємо результати рішення графічно. Будуємо діаграми "Кількість продукції" та "Розподіл ресурсів".

Для побудови діаграми "Кількість продукції" відкриваємо майстер діаграм і першим кроком вибираємо об'ємний варіант звичайної гістограми. Другим кроком у вікні вихідні дані вибираємо діапазон даних =Лидовицький! $C$14: $F$15. Третім кроком у параметрах діаграми задаємо назву діаграми "Кількість продукції". Четвертим кроком розміщуємо діаграму на наявному аркуші. Натисканням кнопки Готовозакінчуємо побудову діаграми.

Для побудови діаграми "Розподіл ресурсів" відкриваємо майстер діаграм і першим кроком вибираємо тривимірну гістограму. Другим кроком у вікні вихідні дані вибираємо діапазон: Лидовицький! $A$17: $F$19; Лідовицький! $C$14: $F$14. Третім кроком у параметрах діаграми задаємо назву діаграми "Розподіл ресурсів". Четвертим кроком розміщуємо діаграму на наявному аркуші. Натисканням кнопки Готовозакінчуємо побудову діаграми (рис 4).

Малюнок 4.

Дані діаграми ілюструють найкращий, з погляду отримання найбільшого прибутку, асортимент продукції і на відповідний розподіл ресурсів.

Друкуємо аркуш із таблицями вихідних даних, з діаграмами та результатами розрахунку та аркуш зі зведеним звітом на папері.

Аналіз знайденого рішення. Відповіді на запитання

Відповідно до звіту за результатами.

Максимальний прибуток, який можна отримати за дотримання всіх умов завдання, становить 1292,95 грн.

Для цього необхідно випускати максимально можливу кількість продукції № 2 – 172,75 та № 4 – 29,41 одиниць з фінансовими витратами не перевищують 50 грн. на кожен вид, та продукції № 1 - 188,9 та № 3 - 213,72. При цьому ресурси з трудовитрат, фінансів та сировини витрачаються повністю.

Відповідно до звіту зі стійкості.

Зміна однієї з вихідних даних призведе до інший структурі знайденого рішення, тобто. до іншого асортименту продукції, необхідного для отримання максимального прибутку, якщо: прибуток від одиниці виробленої продукції №1 не збільшиться більш як на 1,45 і зменшиться лише на 0,35. Таким чином:

(1,7 - 0,35) = 1,35 < Прибыль 1 < 3,15 = (1,7 + 1,45)

прибуток від одиниці виробленої продукції №2 не збільшиться понад 0,56 і зменшиться лише на 1,61. Таким чином:

(2,3 - 1,61) = 0,69 < Прибыль 2 < 2,86 = (2,3 + 0,56)

прибуток від одиниці виробленої продукції №3 не збільшиться понад 0,56 і зменшиться лише на 0,39. Таким чином:

(2 - 0,39) = 1,61 < Прибыль 3 < 2,56 = (2 + 0,56)

прибуток від одиниці виробленої продукції №4 може зменшитися лише на 2,81, тобто. на 56,2% і збільшуватись необмежено. Отже: прибуток 4 > 2,19 = (5 - 2,81) ресурс із сировини то, можливо збільшено на 380,54, тобто. на 47,57% та зменшено на 210,46, тобто. на 26,31%. Таким чином: 589,54< С < 1180,54 ресурс по финансам может быть увеличен на 231,38, т.е. на 57,84% и уменьшен на 195,98, т.е. на 48,99%. Таким образом: 204,02 < Ф < 631,38 ресурс по трудозатратам может быть увеличен на 346,45, т.е. на 34,64% и уменьшен на 352,02, т.е. на 35, 20%. Таким образом: 647,98 < ТЗ < 1346,45

Відповідно до звіту за межами:

Кількість продукції одного з видів може змінюватися в межах від 0 до знайденого оптимального значення, це не призведе до зміни асортименту продукції, необхідного для отримання максимального прибутку. У цьому, якщо випускати продукцію №1, то прибуток становитиме 971,81 р., продукцію №2 - 895,63 р., продукцію №3 - 865,51 р., продукцію №4 - 1145,89 р.

Висновки

Проведене дослідження математичної моделі та її подальший аналіз дозволяє зробити такі висновки:

Максимально можливий прибуток, що становить 1292,95 р., при виконанні всіх заданих умов та обмежень можна отримати, якщо випустити продукції №1 – 188,9 одиниць, продукції №2 – 172,75 одиниць, продукції №3 – 213,72 одиниць, продукції №4 – 29,41 одиниці.

Після випуску продукції всі ресурси будуть витрачені повністю.

Структура знайденого рішення найбільше залежить від реалізації одиниці продукції №1 і №3, а також від зменшення чи збільшення всіх наявних ресурсів.

Частина №2 "Розрахунок економіко-математичної моделі міжгалузевого балансу

Теоретичні положення.

Балансовий метод- спосіб взаємного зіставлення фінансових, матеріальних і трудових ресурсів та потребам у них. Балансова модель економічної системи - це система рівнянь, що задовольняють вимоги відповідності наявності ресурсу та його використання.

Міжгалузевий балансвідображає виробництво та розподіл продукту в галузевому розрізі, у міжгалузеві виробничі зв'язки, використання матеріальних та трудових ресурсів, створення та розподіл національного доходу.

Схема міжгалузевого балансу.

Кожна галузь у балансі є і споживаючою та виробляючою. Виділяють 4 області балансу (квадранти), що мають економічний зміст:

таблиця міжгалузевих матеріальних зв'язків, тут X ij - величини міжгалузевих потоків продукції, тобто. вартість засобів виробництва вироблених у i галузі та потребних як матеріальних витрат у j галузі.

Кінцева продукція - це продукція, що виходить із сфери виробництва, в область споживання, накопичення, на експорт і т.д.

Умовно чиста продукція Zj – це сума амортизації Cj та чистої продукції (Uj + mj).

Відображає кінцевий розподіл та використання національного доходу. Стовпець та рядок валової продукції використовується для перевірки балансу та складання економіко-математичної моделі.

Підсумок матеріальних витрат будь-якої галузі та її умовно чистої продукції дорівнює валової продукції цієї галузі:

(1)

Валова продукція кожної галузі дорівнює сумі матеріальних витрат споживають її продукцію галузей та кінцевої продукції цієї галузі.

(2)

Підсумуємо по всіх галузях рівняння 1:

Аналогічно для рівняння 2:

Ліва частина це валовий продукт, тоді і праві частини прирівнюємо:

(3)

Постановка задачі.

Є чотирихотгалузева економічна система. Визначити коефіцієнти повних матеріальних витрат на основі даних: матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат та вектор валової продукції (табл.2).

Таблиця 2.

Упорядкування балансової моделі.

Основою економіко-математичної моделі міжгалузевого балансу є матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат:

p align="justify"> Коефіцієнт прямих матеріальних витрат показує яку кількість продукції i галузі необхідно, якщо враховувати тільки прямі витрати для виробництва одиниці продукції j галузі.

Враховуючи вираз 4, вираз 2 можна переписати:

(5)

Векторні валової продукції.

Вектор кінцевої продукції.

Матрицю коефіцієнтів прямих матеріальних витрат позначимо:

Тоді система рівнянь 5 у матричній формі:

(6)

Останній вираз це модель міжгалузевого балансу чи модель Леонтьєва. За допомогою моделі можна:

Задавши величини валової продукції Х визначити обсяги кінцевої продукції Y:

(7)

де Е – одинична матриця.

Задавши величини кінцевої продукції Y визначити значення валової продукції Х:

(8)

позначимо через величину (Е-А) - 1 , тобто.

,

то елементи матриці будуть.

Для кожної i галузі:

Це коефіцієнти повних матеріальних витрат, що показують яку кількість продукції i галузі потрібно зробити, щоб з урахуванням прямих та непрямих витрат цієї продукції отримати одиницю кінцевої продукції j галузі.

Для розрахунку економіко-математичної моделі міжгалузевого балансу з урахуванням заданих величин:

Матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат:

Вектор валової продукції:

Одиничну матрицю, що відповідає матриці А приймемо:

Для розрахунку коефіцієнтів повних матеріальних витрат скористаємося формулою:

Для визначення валової продукції по всіх галузях, формулою:

Для визначення величини міжгалузевих потоків продукції (матриця х) визначимо елементи матриці х за формулою:

,

де i = 1 ... n; j = 1 ... n;

n - кількість рядків та стовпців квадратної матриці А.

Для визначення вектора умовно чистої продукції Z елементи вектора обчислюються за такою формулою:

Розв'язання задачі на комп'ютері

Завантажуємо програму Mathcad .

Створюємо файл під ім'ям Lidovitskiy- Kulik . mcd.у папці Ек/к 31 (2).

На підставі попередніх установок (шаблону) створюємо та форматуємо заголовок.

Вводимо з відповідними коментарями ( ORIGIN=1) задані матрицю коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А і вектор валової Х продукції (всі написи та позначення вводимо латинським шрифтом, задані формули та коментарі повинні розташовуватися або на рівні, або вище значень, що розраховуються).

Розраховуємо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат В. Для цього обчислюємо одиничну матрицю, що відповідає матриці А. Для цього використовуємо функцію identiti ( cols ( A)).

Розраховуємо матрицю за формулою:

Визначаємо обсяги валової продукції по всіх галузях Y за формулою:

Визначаємо матрицю хвеличин міжгалузевих потоків продукції Для цього визначаємо елементи матриці, задаючи коментарі:

i=1. rows (A) j=1. cols (A) x i, j = A i, j · X j

Після цього знаходимо матрицю х .

Розраховуємо вектор умовно чистої продукції Z, задавши для цього формулу:

Оскільки в балансі Z - це вектор рядок, знайдемо транспонований вектор Z T .

Знайдемо підсумкові суми:

9.11.1 Умовно чистої продукції:

9.11.2 Кінцевої продукції:

9.11.3 Валова продукція:

Друкуємо результати рішення на папері.

Міжгалузевий баланс виробництва та розподілу продукції

З отриманих даних складемо міжгалузевий баланс виробництва та розподілу ресурсів.

Висновки

На основі матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат та вектора валової продукції визначили коефіцієнти повних матеріальних витрат та склали міжгалузевий баланс виробництва та розподілу ресурсів.

Визначили матеріальні зв'язки чи величини міжгалузевих потоків продукції (матриця х), тобто. вартість засобів виробництва вироблених у виробництві галузі та потрібних як матеріальних витрат у споживаючої галузі.

Визначили кінцеву продукцію (Y), тобто. продукцію що виходить із виробляючої галузі споживаючу галузь.

Визначили величину умовно чистої продукції з галузей (Zj; Z T).

Визначили кінцевий розподіл валової продукції (Х). По стовпцю та рядку валової продукції перевірили баланс (138+697+282+218) =1335.

На підставі складеного балансу можна зробити висновки:

Результат матеріальних витрат будь-якої споживаючої галузі та її умовно чистої продукції дорівнює валової продукції цієї галузі.

валова продукція кожної галузі дорівнює сумі матеріальних витрат споживають її продукцію галузей та кінцевої продукції цієї галузі.

Література

1. " Математичні моделі в економіці". Методичні вказівки щодо виконання лабораторних та контрольних робіт для студентів економічних спеціальностей заочної форми навчання. Жуковський А.А. ЧІПС УрГУПС. Челябінськ. 2001.

2. Гатаулін А.М., Гаврилов Г.В., Сорокіна Т. M. та ін. Математичне моделювання економічних процесів. - М., Агропроміздат, 1990.

3. Економіко-математичні методи та прикладні моделі: Навчальний посібник для вузів / За ред.В. В. Федосєєва. - М: ЮНІТІ, 2001.

4. Пошук оптимальних рішень засобами Excel 7.0. Курицький Б.Я. СПб: "ВНV - Санкт-Петербург", 1997.

5. Пліс А.І., Слівіна Н.А. MathCAD 2000. Математичний практикум для економістів та інженерів. Москва. Фінанси та статистика. 2000.

Модель – це, передусім, спрощене уявлення реального об'єкта чи явища, яке зберігає його основні, суттєві риси. Сам процес розробки моделі, тобто. моделювання, може бути здійснено різними способами, з яких найбільш поширене фізичне та математичне моделювання. Однак кожним із цих способів можуть бути отримані різні моделі, оскільки їхня конкретна реалізація залежить від того, які саме риси реального об'єкта творець моделі вважає основними, головними. Тому в інженерній практиці і в наукових дослідженнях можуть застосовуватися різні моделі одного і того ж об'єкта, оскільки їх різноманіття дозволяє ретельніше вивчати різні сторони реального об'єкта або явища.

В інженерній практиці та природничих науках широко поширені фізичні моделі, які відрізняються від об'єкта, що вивчається, як правило, меншими розмірами, і служать для проведення експериментів, результати яких використовуються для вивчення вихідного об'єкта і для висновків про вибір того чи іншого варіанту його розвитку або конструкції, якщо йдеться про проект інженерної споруди. Шлях фізичного моделювання виявляється малопродуктивним для аналізу економічних об'єктів та явищ. У зв'язку з цим Основним способом моделювання економіки є метод математичного моделювання , тобто. опис основних особливостей реального процесу за допомогою системи математичних формул

Як ми діємо, створюючи математичну модель? Якими бувають математичні моделі? Які особливості виникають під час моделювання економічних явищ? Спробуємо прояснити ці питання.

При створенні математичної моделі виходять із реального завдання. Спочатку усвідомлюється ситуація, виявляються важливі та другорядні характеристики, параметри, властивості, якості, зв'язку тощо. Потім вибирається одна з існуючих математичних моделей або створюється нова математична модель для опису об'єкта, що вивчається.

Вводяться позначення. Записуються обмеження, яким мають задовольняти змінні величини. Визначається ціль – вибирається цільова функція (якщо це можливо). Не завжди вибір цільової функції є однозначним. Можливі ситуації, коли хочеться і того, і цього, і багато іншого... Але різні цілі призводять до різних рішень. І тут завдання належить до класу багатокритеріальних завдань.

Економіка – одна з найскладніших галузей діяльності. Економічні об'єкти можуть описуватися сотнями, тисячами параметрів, багато з яких мають випадковий характер. З іншого боку, економіки діє людський чинник.

Складність системи будь-якої природи (технічної, біологічної, соціальної, економічної) визначається кількістю елементів, що входять до неї, зв'язками між

цими елементами, а також взаємовідносинами між системою та середовищем. Економіка має всі ознаки дуже складної системи. Вона поєднує величезну кількість елементів, відрізняється різноманіттям внутрішніх зв'язків та зв'язків з іншими системами (природним середовищем, економічною діяльністю інших суб'єктів, соціальними відносинами тощо). У народному господарстві взаємодіють природні, технологічні, соціальні процеси, об'єктивні та суб'єктивні чинники. Економіка залежить від соціального устрою суспільства, від політики та ще багатьох і багатьох чинників.

Складністю економічних відносин нерідко доводили неможливість моделювання економіки, вивчення її засобами математики. І все ж моделювання економічних явищ, об'єктів, процесів можливе. Моделювати можна об'єкт будь-якої природи та будь-якої складності. Для моделювання економіки використовують не одну модель, а систему моделей. У цій системі є моделі, що описують різні сторони економіки. Є моделі економіки країни (їх називають макроекономічними), є моделі економічних моделей на окремому підприємстві чи навіть модель однієї економічної події (їх називають мікроекономічними). При складанні моделі економіки складного об'єкта роблять так зване агрегування. При цьому ряд споріднених параметрів об'єднують в один параметр, загальна кількість параметрів зменшується. На цьому етапі важливу роль відіграють досвід та інтуїція. Як параметри можна вибрати не всі характеристики, а найважливіші.

Після того, як складено математичне завдання, вибирається спосіб її розв'язання. У цьому етапі, зазвичай, застосовують ЕОМ. Після отримання рішення відбувається його зіставлення із реальністю. Якщо отримані результати підтверджуються практикою, модель можна застосовувати і з її допомогою будувати прогнози. Якщо відповіді, отримані з урахуванням моделі, не відповідають дійсності, то модель годиться. Потрібно створювати більш складну модель, яка краще відповідає об'єкту, що вивчається.

Яка модель краща: проста чи складна? Відповідь на це питання не може бути однозначною.

Якщо модель занадто проста, вона погано відповідає реальному об'єкту. Якщо ж модель надто складна, то може виявитися так, що при існуванні хорошої моделі ми не можемо на її основі отримати відповідь. Може існувати хороша модель і бути алгоритм розв'язання відповідного завдання. Але час рішення виявиться настільки великим, що всі інші переваги моделі цим буде перекреслено. Тому при виборі моделі потрібна золота середина.

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Вступ

Моделювання в наукових дослідженнях стало застосовуватися ще в давнину і поступово захоплювало все нові галузі наукових знань: технічне конструювання, будівництво та архітектуру, астрономію, фізику, хімію, біологію і, нарешті, суспільні науки. Великі успіхи та визнання практично у всіх галузях сучасної науки принесли методу моделювання ХХ ст. Проте методологія моделювання тривалий час розвивалася незалежно окремими науками. Відсутня єдина система понять, єдина термінологія. Лише поступово стала усвідомлюватись роль моделювання як універсального методу наукового пізнання.

Термін "модель" широко використовується в різних сферах людської діяльності та має безліч смислових значень. Розглянемо лише такі "моделі", які є інструментами здобуття знань.

Модель - це такий матеріальний або подумки об'єкт, який у процесі дослідження заміщає об'єкт-оригінал так, що його безпосереднє вивчення дає нові знання про об'єкт-оригінал.

Під моделювання розуміється процес побудови, вивчення та застосування моделей. Воно тісно пов'язане з такими категоріями, як абстракція, аналогія, гіпотеза та ін. Процес моделювання обов'язково включає і побудову абстракцій, і висновки за аналогією, і конструювання наукових гіпотез.

Головна особливість моделювання полягає в тому, що це метод опосередкованого пізнання за допомогою об'єктів-заступників. Модель виступає як своєрідний інструмент пізнання, який дослідник ставить між собою і об'єктом і за допомогою якого вивчає об'єкт, що його цікавить. Саме ця особливість методу моделювання визначає специфічні форми використання абстракцій, аналогій, гіпотез, інших категорій та методів пізнання.

Необхідність використання методу моделювання визначається тим, що багато об'єктів (або проблеми, що стосуються цих об'єктів) безпосередньо дослідити або зовсім неможливо, або ж це дослідження потребує багато часу та коштів.

Процес моделювання включає три елементи: 1) суб'єкт (дослідник), 2) об'єкт дослідження, 3) модель, що опосередковує відносини суб'єкта, що пізнає, і об'єкта, що пізнається.

Нехай є або необхідно створити деякий об'єкт А. Ми конструюємо (матеріально чи подумки) або знаходимо в реальному світі інший об'єкт В – модель об'єкта А. Етап побудови моделі передбачає наявність деяких знань про об'єкт-оригінал. Пізнавальні можливості моделі обумовлюються тим, що модель відображає якісь суттєві риси об'єкта-оригіналу. Питання про необхідність і достатню міру схожості оригіналу та моделі потребує конкретного аналізу. Очевидно, модель втрачає свій сенс як у разі тотожності з оригіналом (тоді вона перестає бути оригіналом), так і у випадку надмірної у всіх суттєвих відношеннях від оригіналу.

Таким чином, вивчення одних сторін об'єкта, що моделюється, здійснюється ціною відмови від відображення інших сторін. Тому будь-яка модель замінює оригінал лише у строго обмеженому сенсі. З цього випливає, що для одного об'єкта може бути побудовано декілька "спеціалізованих" моделей, що концентрують увагу на певних сторонах досліджуваного об'єкта або характеризують об'єкт з різним ступенем деталізації.

З другого краю етапі процесу моделювання модель постає як самостійний об'єкт дослідження. Однією з форм такого дослідження є проведення "модельних" експериментів, за яких свідомо змінюються умови функціонування моделі та систематизуються дані про її "поведінку". Кінцевим результатом цього етапу є безліч знань про модель R.

На третьому етапі здійснюється перенесення знань з моделі на оригінал – формування безлічі знань S про об'єкт. Цей процес перенесення знань проводиться у разі певним правилам. Знання про модель повинні бути скориговані з урахуванням тих властивостей об'єкта-оригіналу, які не знайшли відображення або були змінені під час побудови моделі. Ми можемо з достатньою підставою переносити будь-який результат із моделі на оригінал, якщо цей результат необхідно пов'язаний з ознаками подібності оригіналу та моделі. Якщо певний результат модельного дослідження пов'язані з відмінністю моделі від оригіналу, цей результат переносити неправомірно.

Четвертий етап - практична перевірка одержуваних за допомогою моделей знань та їх використання для побудови узагальнюючої теорії об'єкта, його перетворення чи управління ним.

Для розуміння сутності моделювання важливо не брати до уваги, що моделювання - не єдине джерело знань про об'єкт. Процес моделювання "занурений" у більш загальний процес пізнання. Ця обставина враховується як на етапі побудови моделі, а й у завершальній стадії, коли відбувається об'єднання та узагальнення результатів дослідження, одержуваних з урахуванням різноманітних засобів пізнання.

Моделювання – циклічний процес. Це означає, що за першим чотириетапним циклом може бути другий, третій і т.д. При цьому знання про об'єкт, що досліджується, розширюються і уточнюються, а вихідна модель поступово вдосконалюється. Недоліки, виявлені після першого циклу моделювання, зумовлені малим знанням об'єкта та помилками у побудові моделі, можна виправити у наступних циклах. У методології моделювання таким чином закладено великі можливості саморозвитку.

1. Особливості застосування методу математикиського моделювання в економіці

Проникнення математики на економічну науку пов'язані з подоланням значних труднощів. У цьому частково була "винна" математика, що розвивається протягом кількох століть в основному у зв'язку з потребами фізики та техніки. Але головні причини лежать все ж таки в природі економічних процесів, у специфіці економічної науки.

Більшість об'єктів, що вивчаються економічною наукою, можна охарактеризувати кібернетичним поняттям складна система.

Найбільш поширене розуміння системи як сукупності елементів, що перебувають у взаємодії та утворюють певну цілісність, єдність. Важливою якістю будь-якої системи є емерджентність - наявність таких властивостей, які не притаманні жодному з елементів, що входять до системи. Тому щодо систем недостатньо користуватися методом їх розчленування на елементи з подальшим вивченням цих елементів окремо. Одна з труднощів економічних досліджень - у тому, що майже не існує економічних об'єктів, які можна розглядати як окремі (позасистемні) елементи.

Складність системи визначається кількістю елементів, що входять до неї, зв'язками між цими елементами, а також взаємовідносинами між системою і середовищем. Економіка країни має всі ознаки дуже складної системи. Вона поєднує величезну кількість елементів, відрізняється різноманіттям внутрішніх зв'язків та зв'язків з іншими системами (природне середовище, економіка інших країн тощо). У народному господарстві взаємодіють природні, технологічні, соціальні процеси, об'єктивні та суб'єктивні чинники.

Складність економіки іноді розглядалася як обґрунтування неможливості її моделювання, вивчення засобами математики. Але така думка в принципі неправильна. Моделювати можна об'єкт будь-якої природи та будь-якої складності. І саме складні об'єкти становлять найбільший інтерес для моделювання; саме тут моделювання може дати результати, які не можна отримати іншими засобами дослідження.

Потенційна можливість математичного моделювання будь-яких економічних об'єктів та процесів не означає, зрозуміло, її успішної здійсненності при цьому рівні економічних та математичних знань, наявної конкретної інформації та обчислювальної техніки. І хоча не можна вказати абсолютні межі математичної формалізованості економічних проблем, завжди існуватимуть ще неформалізовані проблеми, а також ситуації, де математичне моделювання недостатньо ефективне.

2. Класифікація економіко-математичних моделей

Математичні моделі економічних процесів та явищ коротше можна назвати економіко-математичними моделями. Для класифікації цих моделей використовуються різні підстави.

За цільовим призначенням економіко-математичні моделі поділяються на теоретико-аналітичні, що використовуються у дослідженнях загальних властивостей та закономірностей економічних процесів, та прикладні, що застосовуються у вирішенні конкретних економічних завдань (моделі економічного аналізу, прогнозування, управління).

Економіко-математичні моделі можуть призначатися на дослідження різних сторін народного господарства (зокрема, його виробничо-технологічної, соціальної, територіальної структур) та її окремих частин. При класифікації моделей з досліджуваних економічних процесів та змістовної проблематики можна виділити моделі народного господарства в цілому та його підсистем - галузей, регіонів тощо, комплекси моделей виробництва, споживання, формування та розподілу доходів, трудових ресурсів, ціноутворення, фінансових зв'язків тощо .д.

Зупинимося докладніше на характеристиці таких класів економіко-математичних моделей, з якими пов'язані найбільші особливості методології та техніки моделювання.

Відповідно до загальної класифікації математичних моделей вони поділяються на функціональні та структурні, а також включають проміжні форми (структурно-функціональні). У дослідженнях на народногосподарському рівні найчастіше застосовуються структурні моделі, оскільки для планування та управління велике значення мають взаємозв'язки підсистем. Типовими структурними моделями є моделі міжгалузевих зв'язків. Функціональні моделі широко застосовуються в економічному регулюванні, коли на поведінку об'єкта ("вихід") впливають шляхом зміни "входу". Прикладом може бути модель поведінки споживачів за умов товарно-грошових відносин. Один і той самий об'єкт може описуватися одночасно і структурою, і функціональною моделлю. Так, наприклад, для планування окремої галузевої системи використовується структурна модель, а на народногосподарському рівні кожна галузь може бути представлена ​​функціональною моделлю.

Вище вже показувалися відмінності між дескриптивними і нормативними моделями. Дискриптивні моделі відповідають питанням: як це відбувається? чи як найімовірніше може далі розвиватися?, тобто. вони лише пояснюють факти, що спостерігаються, або дають ймовірний прогноз. Нормативні моделі відповідають питання: як це має бути?, тобто. припускають цілеспрямовану діяльність. Типовим прикладом нормативних моделей є моделі оптимального планування, що формалізують тим чи іншим способом цілі економічного розвитку, можливості та засоби їх досягнення.

Застосування дескриптивного підходу в моделюванні економіки пояснюється необхідністю емпіричного виявлення різних залежностей в економіці, встановлення статистичних закономірностей економічної поведінки соціальних груп, вивчення можливих шляхів розвитку будь-яких процесів за умов, що не змінюються, або протікають без зовнішніх впливів. Прикладами дескриптивних моделей є виробничі функції та функції попиту, побудовані на основі обробки статистичних даних.

Чи є економіко-математична модель дескриптивної чи нормативної, залежить лише від її математичної структури, а й від характеру використання цієї моделі. Наприклад, модель міжгалузевого балансу є дескриптивною, якщо вона використовується для аналізу пропорцій минулого періоду. Але ця ж математична модель стає нормативною, коли вона застосовується для розрахунків збалансованих варіантів розвитку народного господарства, що задовольняють кінцеві потреби суспільства за планових нормативів виробничих витрат.

Багато економіко-математичних моделей поєднують ознаки дескриптивних і нормативних моделей. Типова ситуація, коли нормативна модель складної структури поєднує окремі блоки, що є приватними дескриптивними моделями. Наприклад, міжгалузева модель може включати функції купівельного попиту, що описують поведінку споживачів за зміни доходів. Подібні приклади характеризують тенденцію ефективного поєднання дескриптивного та нормативного підходів до моделювання економічних процесів. Дескриптивний підхід широко застосовується у імітаційному моделюванні.

За характером відображення причинно-наслідкових зв'язків розрізняють моделі жорстко детерміністські та моделі, що враховують випадковість та невизначеність. Необхідно розрізняти невизначеність, що описується ймовірнісними законами, та невизначеність, для опису якої закони теорії ймовірностей не застосовні. Другий тип невизначеності набагато складніший для моделювання.

За способами відображення фактора часу економіко-математичні моделі поділяються на статичні та динамічні. У статичних моделях всі залежності відносяться до одного моменту чи періоду часу. Динамічні моделі характеризують зміни економічних процесів у часі. По тривалості аналізованого періоду часу розрізняються моделі короткострокового (до року), середньострокового (до 5 років), довгострокового (10-15 і більше років) прогнозування та планування. Саме час економіко-математичних моделях може змінюватися або безперервно, або дискретно.

Моделі економічних процесів надзвичайно різноманітні формою математичних залежностей. Особливо важливо виділити клас лінійних моделей, найбільш зручних для аналізу і обчислень і внаслідок цього отримали велике поширення. Відмінності між лінійними і нелінійними моделями істотні як з математичної погляду, а й у теоретико-экономическом плані, оскільки багато залежність економіки носять принципово нелінійний характер: ефективність використання ресурсів зі збільшенням виробництва, зміна попиту й споживання населення зі збільшенням виробництва, зміна попиту та споживання населення при зростанні доходів тощо. Теорія " лінійної економіки " значно відрізняється від теорії " нелінійної економіки " . Від того, чи передбачаються безлічі виробничих можливостей підсистем (галузей, підприємств) опуклими або невипуклими, істотно залежать висновки про можливість поєднання централізованого планування та господарської самостійності економічних підсистем.

За співвідношенням екзогенних та ендогенних змінних, що включаються до моделі, вони можуть поділятися на відкриті та закриті. Повністю відкритих моделей немає; модель має містити хоча б одну ендогенну змінну. Цілком закриті економіко-математичні моделі, тобто. які не включають екзогенних змінних, виключно рідкісні; їхня побудова вимагає повного абстрагування від "середовища", тобто. серйозного огрублення реальних економічних систем, що завжди мають зовнішні зв'язки. Переважна більшість економіко-математичних моделей займає проміжне положення та розрізняються за ступенем відкритості (закритості).

Для моделей народногосподарського рівня важливим є розподіл на агреговані та деталізовані.

Залежно від того, чи включають народногосподарські моделі просторові фактори та умови чи не включають, розрізняють моделі просторові та точкові.

Таким чином, загальна класифікація економіко-математичних моделей включає понад десять основних ознак. З розвитком економіко-математичних досліджень проблема класифікації моделей ускладнюється. Поряд з появою нових типів моделей (особливо змішаних типів) та нових ознак їх класифікації здійснюється процес інтеграції моделей різних типів у складніші модельні конструкції.

3 . Етапи економікпро-математичного моделювання

Основні етапи процесу моделювання вже розглядалися вище. У різних галузях знань, зокрема й у економіці, вони набувають свої специфічні риси. Проаналізуємо послідовність та зміст етапів одного циклу економіко-математичного моделювання.

1. Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз. Головне тут - чітко сформулювати сутність проблеми, допущення, що приймаються, і ті питання, на які потрібно отримати відповіді. Цей етап включає виділення найважливіших рис і властивостей об'єкта, що моделюється, і абстрагування від другорядних; вивчення структури об'єкта та основних залежностей, що пов'язують його елементи; формулювання гіпотез (хоча б попередніх), що пояснюють поведінку та розвиток об'єкта.

2. Побудова математичної моделі. Це етап формалізації економічної проблеми, вираження її у вигляді конкретних математичних залежностей і відносин (функцій, рівнянь, нерівностей і т.д.). Зазвичай спочатку визначається основна конструкція (тип) математичної моделі, а потім уточнюються деталі цієї конструкції (конкретний перелік змінних та параметрів, форма зв'язків). Отже, побудова моделі підрозділяється своєю чергою кілька стадій.

Неправильно вважати, що чим більше фактів враховує модель, тим вона краще "працює" і дає найкращі результати. Те саме можна сказати про такі характеристики складності моделі, як використовувані форми математичних залежностей (лінійні та нелінійні), облік факторів випадковості та невизначеності тощо. Зайва складність та громіздкість моделі ускладнюють процес дослідження. Потрібно враховувати не тільки реальні можливості інформаційного та математичного забезпечення, але й зіставляти витрати на моделювання з ефектом, що отримується (при зростанні складності моделі приріст витрат може перевищити приріст ефекту).

Однією з важливих особливостей математичних моделей є потенційна можливість їх використання для вирішення різноякісних проблем. Тому, навіть зіштовхуючись із новим економічним завданням, не потрібно прагнути "винаходити" модель; Спочатку необхідно спробувати застосувати для вирішення цього завдання вже відомі моделі.

У процесі побудови моделі здійснюється взаємоспівставлення двох систем наукових знань – економічних та математичних. Природно прагнути отримати модель, що належить добре вивченому класу математичних завдань. Часто це вдається зробити шляхом деякого спрощення вихідних передумов моделі, що не спотворюють суттєвих рис об'єкта, що моделюється. Однак можлива і така ситуація, коли формалізація економічної проблеми призводить до невідомої раніше математичної структури. Потреби економічної науки та практики в середині ХХ ст. сприяли розвитку математичного програмування, теорії ігор, функціонального аналізу, обчислювальної математики. Цілком ймовірно, що в майбутньому розвиток економічної науки стане важливим стимулом для створення нових розділів математики.

3. Математичний аналіз моделі. Метою цього етапу є з'ясування загальних властивостей моделі. Тут застосовуються суто математичні прийоми дослідження. Найбільш важливий момент – доказ існування рішень у сформульованій моделі (теорема існування). Якщо вдасться довести, що математичне завдання немає рішення, то необхідність у наступній роботі за первісним варіантом моделі відпадає; слід скоригувати або постановку економічного завдання, або методи її математичної формалізації. При аналітичному дослідженні моделі з'ясовуються такі питання, як, наприклад, чи єдине рішення, які змінні (невідомі) можуть входити до вирішення, які співвідношення між ними, в яких межах і в залежності від яких вихідних умов вони змінюються, які тенденції їх зміни і і т.д. Аналітичне дослідження моделі в порівнянні з емпіричним (чисельним) має ту перевагу, що одержувані висновки зберігають свою силу при різних конкретних значеннях зовнішніх та внутрішніх параметрів моделі.

Знання загальних властивостей моделі має таке важливе значення, часто заради доказу подібних властивостей дослідники свідомо йдуть на ідеалізацію початкової моделі. І все-таки моделі складних економічних об'єктів з великими труднощами піддаються аналітичному дослідженню. У тих випадках, коли аналітичними методами не вдається з'ясувати загальні властивості моделі, а спрощення моделі призводять до неприпустимих результатів, переходять до чисельних методів дослідження.

4. Підготовка вихідної інформації. Моделювання висуває жорсткі вимоги до системи інформації. У той самий час реальні можливості отримання інформації обмежують вибір моделей, призначених для практичного використання. У цьому береться до уваги як принципова можливість підготовки інформації (за певні терміни), а й витрати на підготовку відповідних інформаційних масивів. Ці витрати не повинні перевищувати ефекту від використання додаткової інформації.

У процесі підготовки інформації широко використовуються методи теорії ймовірностей, теоретичної та математичної статистики. p align="justify"> При системному економіко-математичному моделюванні вихідна інформація, що використовується в одних моделях, є результатом функціонування інших моделей.

5. Чисельне рішення. Цей етап включає розробку алгоритмів для чисельного розв'язання задачі, складання програм на ЕОМ та безпосереднє проведення розрахунків. Проблеми цього етапу обумовлені насамперед великою розмірністю еконномічних завдань, необхідністю обробки значних масивів інформації.

Зазвичай розрахунки з економіко-математичної моделі мають багатоваріантний характер. Завдяки високій швидкодії сучасних ЕОМ вдається проводити численні "модельні" експерименти, вивчаючи "поведінку" моделі за різних змін деяких умов. Дослідження, проведене чисельними методами, може суттєво доповнити результати аналітичного дослідження, а багатьох моделей воно є єдино здійсненним. Клас економічних завдань, які можна вирішувати чисельними методами, значно ширший, ніж клас завдань, доступних аналітичному дослідженню.

6. Аналіз чисельних результатів та їх застосування. На цьому заключному етапі циклу постає питання про правильність і повноту результатів моделювання, про ступінь практичного застосування останніх.

Математичні методи перевірки можуть виявляти некоректні побудови моделі і цим звужувати клас потенційно правильних моделей. Неформальний аналіз теоретичних висновків та чисельних результатів, одержуваних за допомогою моделі, зіставлення їх із наявними знаннями та фактами дійсності також дозволяють виявляти недоліки постановки економічного завдання, сконструйованої математичної моделі, її інформаційного та математичного забезпечення.

Взаємозв'язки етапів. Звернімо увагу на зворотні зв'язки етапів, що виникають внаслідок того, що в процесі дослідження виявляються недоліки попередніх етапів моделювання.

Вже на етапі побудови моделі може з'ясуватися, що постановка задачі суперечлива або призводить до надто складної математичної моделі. Відповідно до цього вихідна постановка завдання коригується. p align="justify"> Далі математичний аналіз моделі (етап 3) може показати, що невелика модифікація постановки задачі або її формалізації дає цікавий аналітичний результат.

Найчастіше необхідність повернення до попередніх етапів моделювання виникає під час підготовки вихідної інфоріації (етап 4). Може виявитися, що необхідної інформації немає або витрати на її підготовку занадто великі. Тоді доводиться повертатися до постановки завдання та її формалізації, змінюючи їх так, щоб пристосуватися до наявної інформації.

Оскільки економіко-математичні завдання можуть бути складні за своєю структурою, мати велику розмірність, то часто трапляється, що відомі алгоритми та програми для ЕОМ не дозволяють вирішити завдання у первісному вигляді. Якщо неможливо в короткий термін розробити нові алгоритми та програми, вихідну постановку задачі та модель спрощують: знімають та поєднують умови, зменшують кількість факторів, нелінійні співвідношення замінюють лінійними, посилюють детермінізм моделі тощо.

Недоліки, які вдається виправити на проміжних етапах моделювання, усуваються у наступних циклах. Але результати кожного циклу мають цілком самостійне значення. Розпочавши дослідження з побудови простої моделі, можна швидко отримати корисні результати, а потім перейти до створення більш досконалої моделі, яка доповнюється новими умовами, що включає уточнені математичні залежності.

У міру розвитку та ускладнення економіко-математичного моделювання його окремі етапи відокремлюються у спеціалізованих галузях досліджень, посилюються відмінності між теоретико-аналітичними та прикладними моделями, відбувається деференціація моделей за рівнями абстракції та ідеалізації.

Теорія математичного аналізу моделей економіки розвинулася в особливу галузь сучасної математики – математичну економіку. Моделі, що вивчаються в рамках математичної економіки, втрачають безпосередній зв'язок із економічною реальністю; вони мають справу з виключно ідеалізованими економічними об'єктами та ситуаціями. При побудові таких моделей головним принципом є не стільки наближення до реальності, скільки отримання якомога більшої кількості аналітичних результатів за допомогою математичних доказів. Цінність цих моделей для економічної теорії та практики полягає в тому, що вони є теоретичною базою для моделей прикладного типу.

Досить самостійними областями досліджень стають підготовка та обробка економічної інформації та розробка математичного забезпечення економічних завдань (створення баз даних та банків інформації, програм автоматизованої побудови моделей та програмного сервісу для економістів-користувачів). На етапі практичного використання моделей провідну роль повинні грати фахівці у відповідній галузі економічного аналізу, планування, управління. Головною ділянкою роботи економістів-математиків залишається постановка та формалізація економічних завдань та синтез процесу економіко-математичного моделювання.

економічне математичне моделювання

Список використаної літератури

1.Федосєєв, Економічні методи

2. І.Л.Акулич, Математичне програмування в прикладах та завданнях, Москва, «Вища школа», 1986;

3. С.А.Абрамов, Математичні побудови та програмування, Москва, «Наука», 1978;

4. Дж.Літлвуд, Математична суміш, Москва, "Наука", 1978;

5. Известия Академії наук. Теорія та системи управління, 1999 № 5, стор 127-134.

7. http://exsolver.narod.ru/Books/Mathematic/GameTheory/c8.html

Розміщено на Allbest.ru

Подібні документи

Відкриття та історичний розвиток методів математичного моделювання, їх практичне застосування у сучасній економіці. Використання економіко-математичного моделювання на рівні управління принаймні впровадження інформаційних технологій.

контрольна робота , доданий 10.06.2009


Основні поняття та типи моделей, їх класифікація та цілі створення. Особливості економіко-математичних методів, що застосовуються. Загальна характеристика основних етапів економіко-математичного моделювання. Застосування стохастичних моделей економіки.

реферат, доданий 16.05.2012


Поняття та типи моделей. Етапи побудови математичної моделі. Основи математичного моделювання взаємозв'язку економічних змінних. Визначення параметрів лінійного однофакторного рівняння регресії. Оптимізаційні методи математики економіки.

реферат, доданий 11.02.2011


Застосування методів оптимізації для вирішення конкретних виробничих, економічних та управлінських завдань із використанням кількісного економіко-математичного моделювання. Рішення математичної моделі об'єкта, що вивчається, засобами Excel.

курсова робота , доданий 29.07.2013


Історія розвитку економіко-математичних методів Математична статистика – розділ прикладної математики, заснований на вибірці досліджуваних явищ. Аналіз етапів економіко-математичного моделювання. Вербально-інформаційний опис моделювання.

курс лекцій, доданий 12.01.2009


Застосування математичних методів у вирішенні економічних завдань. Поняття виробничої функції, ізокванти, взаємозамінність ресурсів. Визначення малоеластичних, середньоеластичних та високоеластичних товарів. Принципи раціонального управління запасами.

контрольна робота , доданий 13.03.2010


Класифікація економіко-математичних моделей. Використання алгоритму послідовних наближень під час постановки економічних завдань АПК. Методики моделювання програми розвитку сільськогосподарського підприємства. Обґрунтування програми розвитку.

курсова робота , доданий 05.01.2011


Поділ моделювання на два основні класи – матеріальний та ідеальний. Два основні рівні економічних процесів у всіх економічних системах. Ідеальні математичні моделі в економіці, застосування оптимізаційних та імітаційних методів.

реферат, доданий 11.06.2010


Основні поняття математичних моделей та його застосування економіки. Загальна характеристика елементів економіки, як об'єкта моделювання. Ринок та його види. Динамічна модель Леонтьєва та Кейнса. Модель Солоу з дискретним та безперервним часом.

курсова робота , доданий 30.04.2012


Визначення етапу розробки економіко-математичного моделювання та обґрунтування способу отримання результату моделювання. Теорія ігор та прийняття рішень в умовах невизначеності. Аналіз комерційної стратегії за невизначеної кон'юнктури.