Урок «Двогранний кут. Двогранні кути та формула для їх обчислення. Двогранний кут на основі чотирикутної правильної піраміди

Мета уроку: введення поняття двогранного кута та його лінійного кута.

Завдання:

Освітня: розглянути завдання застосування цих понять, сформувати конструктивний навичка знаходження кута між площинами;

Розвиваюча: розвиток творчого мислення учнів, особистісне саморозвиток учнів, розвиток мовлення учнів;

Виховна: виховання культури розумової праці, комунікативної культури, рефлексивної культури

Тип уроку: урок засвоєння нових знань

Методи навчання: пояснювально-ілюстративний

Обладнання: комп'ютер, інтерактивні ради.

Література:

Геометрія. 10-11 класи: навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/[Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев та ін] - 18-е вид. - М.: Просвітництво, 2009. - 255 с.

План уроку:

Організаційний момент (2 хв)

Актуалізація знань (5 хв)

Вивчення нового матеріалу (12 хв)

Закріплення вивченого матеріалу (21 хв)

Домашнє завдання (2 хв)

Підбиття підсумків (3 хв)

Хід уроку:

1. Організаційний момент.

Включає привітання вчителем класу, підготовку приміщення до уроку, перевірку відсутніх.

2. Актуалізація опорних знань.

Вчитель: Минулого уроку ви писали самостійну роботу. Загалом роботи написали непогано. А тепер давайте трохи повторимо. Що називається кутом на площині?

Учень: Кутом на площині називається фігура, утворена двома променями, що виходять із однієї точки.

Вчитель: Що називається кутом між прямими у просторі?

Учень: Кутом між двома прямими, що перетинаються, в просторі називається найменший з кутів, утворених променями цих прямих з вершиною в точці їх перетину.

Учень: Кутом між схрещуються прямими називається кут між прямими, що перетинаються, відповідно паралельними даними.

Вчитель: Що називається кутом між прямою та площиною?

Учень: Кутом між прямою та площиноюназивається будь-який кут між прямою та її проекцією на цю площину.

3. Вивчення нового матеріалу.

Вчитель: У стереометрії поряд із такими кутами розглядається ще один вид кутів – двогранні кути. Ви, напевно, вже здогадалися, яка тема сьогоднішнього уроку, тому відкрийте зошити, запишіть сьогоднішнє число та тему уроку.

Запис на дошці та у зошитах:

10.12.14.

Двогранний кут.

Вчитель : Щоб ввести поняття двогранного кута, слід нагадати, що будь-яка пряма, проведена в даній площині, поділяє цю площину на дві напівплощини.(Рис.1, а)

Вчитель : Уявімо, що ми перегнули площину по прямій так, що дві напівплощини з кордоном виявилися вже не лежать в одній площині (рис. 1, б). Отримана фігура є двогранний кут. Двогранним кутом називається фігура, утворена прямою і двома напівплощинами із загальним кордоном, що не належать одній площині. Напівплощини, що утворюють двогранний кут, називаються його гранями. У двогранного кута дві грані, звідси і назва – двогранний кут. Пряма - загальна межа напівплощин - називається ребром двогранного кута. Запишіть визначення у зошит.

Двогранним кутом називається фігура, утворена прямою і двома напівплощинами із загальним кордоном, що не належать одній площині.

Вчитель : У повсякденному житті ми часто зустрічаємося з предметами, що мають форму двогранного кута. Наведіть приклади.

Учень : Напіврозкрита папка.

Учень : Стіна кімнати разом із підлогою.

Учень : Двосхилі дахи будівель.

Вчитель : Правильно І таких прикладів дуже багато.

Вчитель : Як ви знаєте, кути на площині вимірюються в градусах Ймовірно, у вас виникло питання, а як же вимірюються двогранні кути? Це робиться в такий спосіб.Зазначимо на ребрі двогранного кута якусь точку і в кожній грані з цієї точки проведемо промінь перпендикулярно до ребра. Утворений цими променями кут називається лінійним кутом двогранного кута. Зробіть креслення у себе в зошитах.

Запис на дошці та у зошитах.

Про ∈ а, АТ ⊥ а, ВО ⊥ a, САBD- Двогранний кут,∠ AOB- Лінійний кут двогранного кута.

Вчитель : Усі лінійні кути двогранного кута рівні. Зробіть собі ще такий креслення.

Вчитель : Доведемо це. Розглянемо два лінійні кути АОВ іPQR. Промені ОА таQPлежать в одній грані та перпендикулярніOQотже, вони співспрямовані. Аналогічно промені ВВ таQRспівспрямовані. Значить,∠ AOB= ∠ PQR(як кути із співспрямованими сторонами).

Вчитель : Ну, а тепер відповідь на наше запитання як вимірюється двогранний кутГрадусною мірою двогранного кута називається градусна міра його лінійного кута. Перемалюйте із підручника зі сторінки 48 зображення гострого, прямого та тупого двогранного кута.

4. Закріплення вивченого матеріалу.

Вчитель : Зробіть креслення до завдань

№ 1 . Дано: ΔABC, АС = ВС, АВ лежить у площиніα, CD ⊥ α, С∉ α. Побудувати лінійний кут двогранного кутаCABD.

Учень : Рішення:CM ⊥ AB, DC ⊥ АВ.∠ CMD - Шуканий.

№ 2. Дано: ΔABC, ∠ C= 90°, НД лежить площиніα, АТ⊥ α, A∈ α.

Побудувати лінійний кут двогранного кутаАВСО.

Учень : Рішення:AB ⊥ BC, АТ⊥ НД, значить, ОС⊥ НД.∠ ACO - Шуканий.

№ 3 . Дано: ΔABC, ∠ С = 90 °, АВ лежить у площиніα, CD⊥ α, С∉ α. Побудуватилінійний кут двогранного кутаDABC.

Учень : Рішення: CK ⊥ AB, DC ⊥ АВ,DK ⊥ АВ, отже,∠ DKC - Шуканий.

№ 4 . Дано:DABC- Тетраедр,DO⊥ ABC.Побудувати лінійний кут двогранного кута.ABCD.

Учень : Рішення:DM ⊥ НД,DO ⊥ НД, значить, ОМ⊥ НД;∠ OMD - Шуканий.

5.Підведення підсумків.

Вчитель: Що нового ви дізналися сьогодні на уроці?

Учні : Що називається двогранним кутом, лінійним кутом, як вимірюється двогранний кут.

Вчитель : Що повторили?

Учні : Що називається кутом на площині; кутом між прямими.

6. Домашнє завдання.

Запис на дошці та в щоденниках: п. 22, №167, №170.

ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ УРОКУ:

У планіметрії основними об'єктами є прямі, відрізки, промені та точки. Промені, що виходять з однієї точки, утворюють одну з геометричних фігур-кут.

Ми знаємо, що лінійний кут вимірюється у градусах та радіанах.

У стереометрії до об'єктів додається площина. Фігура, утворена прямою а та двома напівплощинами із загальною межею а, що не належать одній площині в геометрії називається двогранним кутом. Напівплощини – це грані двогранного кута. Пряма а – це ребро двогранного кута.

Двогранний кут, як і лінійний кут, можна назвати, виміряти, побудувати. Це і належить нам з'ясувати в цьому уроці.

Знайдемо двогранний кут моделі тетраедра АВСD.

Двогранний кут з ребром АВ називають CABD, де С і D точки належать різним граням кута а ребро АВ називають у середині

Навколо нас чимало предметів з елементами як двогранного кута.

У багатьох містах у парках встановлені спеціальні лави для примирення. Лавка виконана у вигляді двох похилих площин, що сходяться до центру.

При будівництві будинків часто використовується так званий двосхилий дах. На цьому будинку дах виконаний у вигляді двогранного кута 90 градусів.

Двогранний кут теж вимірюється в градусах чи радіанах, але як його виміряти.

Цікаво зауважити, що дахи будинків лежать на кроквах. А обрешітка крокв утворює два скати даху під заданим кутом.

Перенесемо зображення на креслення. На кресленні для знаходження двогранного кута на його ребрі відзначається точка В. З цієї точки проводяться два промені ВА і ПС перпендикулярно ребру кута. Утворений цими променями кут АВС називається лінійним кутом двогранного кута.

Градусна міра двогранного кута дорівнює градусній мірі його лінійного кута.

Виміряємо кут АОВ.

Градусна міра цього двогранного кута дорівнює шістдесяти градусам.

Лінійних кутів для двогранного кута можна провести нескінченну кількість, важливо знати, що вони рівні.

Розглянемо два лінійні кути АОВ і А1О1В1. Промені ОА та О1А1 лежать в одній грані та перпендикулярні до прямої ОО1, тому вони спрямовані. Промені ОВ та О1В1 так само співспрямовані. Тому кут АОВ дорівнює куту А1О1В1 як кути із співспрямованими сторонами.

Так двогранний кут характеризується лінійним кутом, а лінійні кути бувають гострі, тупі та прямі. Розглянемо моделі двогранних кутів.

Тупий кут, якщо його лінійний кут від 90 до 180 градусів.

Прямий кут, якщо його лінійний кут дорівнює 90 градусів.

Гострий кут, якщо його лінійний кут від 0 до 90 градусів.

Доведемо одну з найважливіших властивостей лінійного кута.

Площина лінійного кута перпендикулярна до ребра двогранного кута.

Нехай кут АОВ – лінійний кут даного двогранного кута. За побудовою промені АТ та ВВ перпендикулярні до прямої а.

Через дві перетинаються прямі АТ і ОВ проходить площину АОВ по теоремі: Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину і притому тільки одна.

Пряма а перпендикулярна двом прямим лежачим у цій площині, що перетинається, означає за ознакою перпендикулярності прямої і площини пряма а перпендикулярна площині АОВ.

Для вирішення завдань важливо вміти будувати лінійний кут заданого двогранного кута. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АВ для тетраедра АВСD.

Йдеться про двогранний кут, який утворений, по-перше, рубом АВ, однією гранню АВD, другою гранню АВС.

Ось один із способів побудови.

Проведемо перпендикуляр із точки D до площини АВС, Зазначимо точку М основу перпендикуляра. Згадаємо, що в тетраедрі основа перпендикуляра збігається з центром вписаного кола в основу тетраедра.

Проведемо похилу з точки D перпендикулярно до ребра АВ, відзначимо точку N основу похилої.

У трикутнику DMN відрізок NM буде проекцій похилої DN на площину АВС. За теоремою про три перпендикуляри ребро АВ буде перпендикулярно до проекції NМ.

Отже, сторони кута DNM перпендикулярні до ребра АВ, значить побудований кут DNM шуканий лінійний кут.

Розглянемо приклад розв'язання задачі на обчислення двогранного кута.

Трикутник АВС і правильний трикутник АDB не лежать в одній площині. Відрізок CD є перпендикуляром до площини ADB. Знайдіть двогранний кут DABC, якщо AC = CB = 2 см, AB = 4см.

Двогранний кут DABC дорівнює його лінійному куту. Збудуємо цей кут.

Проведемо похилу СМ перпендикулярно до ребра АВ, оскільки трикутник АСВ рівнобедрений, точка М збігається із серединою ребра АВ.

Пряма СD за умовою перпендикулярна до площини ADB, означає перпендикулярна до прямої DM, що лежить у цій площині. А відрізок МD є проекцією похилої РМ на площину АDВ.

Пряма АВ перпендикулярна похилій СМ по побудові, значить за теоремою про три перпендикуляри перпендикулярна до проекції MD.

Отже до ребра АВ знайдено два перпендикуляри СМ та DМ. Отже, вони утворюють лінійний кут СMD двогранного кута DАВС. І нам залишиться його знайти із прямокутного трикутника СDM.

Так відрізок СМ медіана та висота рівнобедреного трикутника АСВ, то по теоремі Піфагора катет СМ дорівнює 4 см.

З прямокутного трикутника DMB по теоремі Піфагора катет DM дорівнює двом корінням з трьох.

Косинус кута з прямокутного трикутника дорівнює відношенню прилеглого катета МD до гіпотенузи СМ і дорівнює три корені з трьох на два. Значить кут СМD дорівнює 30 градусів.

Величину кута між двома різними площинами можна визначити для будь-якого взаємного розташування площин.

Тривіальний випадок, якщо площини паралельні. Тоді кут між ними вважається рівним нулю.

Нетривіальний випадок, якщо площини перетинаються. Цьому випадку присвячено подальше обговорення. Спочатку нам знадобиться поняття двогранного кута.

9.1 Двогранний кут

Двогранний кут це дві напівплощини із загальною прямою (яка називається ребром двогранного кута). На рис. 50 зображений двогранний кут, утворений напівплощинами; ребром цього двогранного кута служить пряма a, загальна даних напівплощин.

Мал. 50. Двогранний кут

Двогранний кут можна вимірювати в градусах або радіанах словом, запровадити кутову величину двогранного кута. Робиться це так.

На ребрі двогранного кута, утвореного напівплощинами і, візьмемо довільну точку M. Проведемо промені MA і MB, що лежать відповідно в даних напівплощинах і перпендикулярні до ребра (рис. 51).

Мал. 51. Лінійний кут двогранного кута

Отриманий кут AMB – це лінійний кут двогранного кута. Кут " = \AMB і є кутовий величиною нашого двогранного кута.

Визначення. Кутова величина двогранного кута це величина лінійного кута цього двогранного кута.

Усі лінійні кути двогранного кута дорівнюють один одному (адже вони виходять один з одного паралельним зрушенням). Тому це визначення коректно: величина " залежить від конкретного вибору точки M на ребре двогранного кута.

9.2 Визначення кута між площинами

При перетині двох площин виходять чотири двогранні кути. Якщо вони мають однакову величину (по 90), то площини називаються перпендикулярними; кут між площинами тоді дорівнює 90 .

Якщо не всі двогранні кути однакові (тобто є два гострі і два тупі), то кутом між площинами називається величина гострого двогранного кута (рис. 52).

Мал. 52. Кут між площинами

9.3 Приклади розв'язання задач

Розберемо три завдання. Перша проста, друга та третя приблизно на рівні C2 на ЄДІ з математики.

Завдання 1. Знайдіть кут між двома гранями правильного тетраедра.

Рішення. Нехай ABCD правильний тетраедр. Проведемо медіани AM та DM відповідних граней, а також висоту тетраедра DH (рис. 53).

Мал. 53. До задачі 1

Будучи медіанами, AM та DM є також висотами рівносторонніх трикутників ABC та DBC. Тому кут = = AMD є лінійний кут двогранного кута, утвореного гранями ABC і DBC. Знаходимо його з трикутника DHM:

Відповідь: arccos 1 3 .

Завдання 2. У правильній чотирикутній піраміді SABCD (з вершиною S) бічне ребро дорівнює стороні основи. Крапка K середина ребра SA. Знайдіть кут між площинами

Рішення. Пряма BC паралельна AD і тим самим паралельна площині ADS. Тому площина KBC перетинає площину ADS прямою KL, паралельною BC (рис. 54 ).

Мал. 54. До задачі 2

При цьому KL буде паралельна прямий AD; отже, KL середня лінія трикутника ADS, і точка L середина DS.

Проведемо висоту піраміди SO. Нехай N середина DO. Тоді середня лінія LN трикутника DOS, і тому LN k SO. Значить LN перпендикуляр до площини ABC.

З точки N опустимо перпендикуляр NM на пряму BC. Пряма NM буде проекцією похилої LM на площину ABC. З теореми про три перпендикуляри випливає тоді, що LM також перпендикулярна BC.

Таким чином, кут " = \LMN є лінійним кутом двогранного кута, утвореного напівплощинами KBC і ABC. Шукатимемо цей кут із прямокутного трикутника LMN.

Нехай ребро піраміди дорівнює a. Спочатку знаходимо висоту піраміди:

Рішення. Нехай L точка перетину прямих A1 K та AB. Тоді площина A1 KC перетинає площину ABC прямою CL (рис.55 ).

A C

Мал. 55. До задачі 3

Трикутники A1 B1 K і KBL рівні по катету та гострому куту. Отже, дорівнюють інші катети: A1 B1 = BL.

Розглянемо трикутник ACL. У ньому BA = BC = BL. Кут CBL дорівнює 120; отже, \BCL = 30 . Крім того, \ BCA = 60 . Тому \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Отже, LC? AC. Але пряма AC є проекцією прямої A1 C на площину ABC. По теоремі про три перпендикуляри укладаємо тоді, що LC? A1 C.

Таким чином, кут A1 CA лінійний кут двогранного кута, утвореного напівплощинами A1 KC та ABC. Це і є шуканий кут. З рівнобедреного прямокутного трикутника A1 AC бачимо, що він дорівнює 45 .

Цей урок призначається для самостійного вивчення теми «Двогранний кут». У ході цього заняття учні познайомляться з однією з найважливіших геометричних фігур - двогранним кутом. Також на уроці нам доведеться дізнатися про те, як визначити лінійний кут геометричної фігури, що розглядається, і який буває двогранний кут при підставі фігури.

Повторимо, що таке кут на поверхні і як він вимірюється.

Мал. 1. Площина

Розглянемо площину (рис. 1). З точки Провиходять два промені - ОВі ОА.

Визначення. Фігура, утворена двома променями, що виходять із однієї точки, називається кутом.

Кут вимірюється в градусах та у радіанах.

Згадаймо, що таке радіан.

Мал. 2. Радіан

Якщо ми маємо центральний кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу, такий центральний кут називається кутом в 1 радіан. , ∠ АОВ= 1 радий (рис. 2).

Зв'язок радіанів та градусів.

радий.

Отримуємо, радий. (). Тоді,

Визначення. Двогранним кутомназивається фігура, утворена прямою аі двома напівплощинами із спільним кордоном а, що не належать до однієї площини.

Мал. 3. Напівплощини

Розглянемо дві напівплощини α та β (рис. 3). Їхній спільний кордон - а. Зазначена фігура називається двогранним кутом.

Термінологія

Напівплощини α та β - це грані двогранного кута.

Пряма а- Це ребро двогранного кута.

На загальному ребрі адвогранного кута виберемо довільну точку Про(Рис. 4). У напівплощині з точки Провідновимо перпендикуляр ОАдо прямої а. З тієї ж точки Проу другій напівплощині β відновимо перпендикуляр ОВдо ребра а. Отримали кут АОВ, Який називається лінійним кутом двогранного кута.

Мал. 4. Вимірювання двогранного кута

Доведемо рівність всіх лінійних кутів для цього двогранного кута.

Нехай маємо двогранний кут (рис. 5). Виберемо крапку Проі точку Про 1на прямий а. Побудуємо лінійний кут відповідний точці Про, тобто проведемо два перпендикуляри ОАі ОВу площинах α та β відповідно до ребра а. Отримуємо кут АОВ- Лінійний кут двогранного кута.

Мал. 5. Ілюстрація доказу

З точки Про 1проведемо два перпендикуляри ОА 1і ВВ 1до ребра ау площинах α та β відповідно і отримаємо другий лінійний кут А 1 Про 1 В 1.

Промені О 1 А 1і ОАсонаправленны, тому що вони лежать в одній напівплощині і паралельні між собою як два перпендикуляри до однієї і тієї ж прямої а.

Аналогічно, промені О 1 В 1і ОВсонаправлены, отже, ∠ АОВ =∠ А 1 Про 1 В 1як кути із співспрямованими сторонами, що й потрібно було довести.

Площина лінійного кута перпендикулярна до ребра двогранного кута.

Довести: а ⊥ АОВ.

Мал. 6. Ілюстрація доказу

Доведення:

ОА ⊥ аз побудови, ОВ ⊥ аз побудови (рис. 6).

Отримуємо, що пряма аперпендикулярна двом прямим прямокутним прямим ОАі ОВз площини АОВотже, пряма аперпендикулярна площині ОАВ, що й потрібно було довести.

Двогранний кут вимірюється своїм лінійним кутом. Це означає, що скільки градусів радіан міститься в лінійному вугіллі, стільки ж градусів радіан міститься в його двогранному вугіллі. Відповідно до цього розрізняють такі види двогранних кутів.

Гострий (рис. 6)

Двогранний кут гострий, якщо лінійний кут гострий, тобто. .

Прямий (рис. 7)

Двогранний кут прямий, коли його лінійний кут дорівнює 90 ° - Тупий (рис. 8)

Двогранний кут тупий, що його лінійний кут тупий, тобто. .

Мал. 7. Прямий кут

Мал. 8. Тупий кут

Приклади побудови лінійних кутів у реальних фігурах

АВСD- Тетраедр.

1. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АВ.

Мал. 9. Ілюстрація до завдання

Побудова:

Йдеться про двогранний кут, який утворений рубом АВта гранями АВDі АВС(Рис. 9).

Проведемо пряму DНперпендикулярно до площини АВС, Н- основа перпендикуляра. Проведемо похилий DМперпендикулярно до прямої АВ,М- основа похилої. За теоремою про три перпендикуляри укладаємо, що проекція похилої НМтакож перпендикулярна до прямої АВ.

Тобто, з точки Мвідновлено два перпендикуляри до ребра АВу двох гранях АВDі АВС. Ми отримали лінійний кут DМН.

Зауважимо, що АВ, ребро двогранного кута, перпендикулярно площині лінійного кута, тобто площині DМН. Завдання вирішено.

Зауваження. Двогранний кут можна позначити так: DАВС, де

АВ- ребро, а крапки Dі Злежать у різних гранях кута.

2. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром АС.

Проведемо перпендикуляр DНдо площини АВСі похилий DNперпендикулярно до прямої АС.За теоремою про три перпендикуляри отримуємо, що НN- проекція похилої DNна площину АВС,також перпендикулярна до прямої АС.DNН- Лінійний кут двогранного кута з ребром АС.

У тетраедрі DАВСусі ребра рівні. Крапка М- середина ребра АС. Доведіть, що кут DМВ- Лінійний кут двогранного кута ВАСD, Т. е. двогранного кута з ребром АС. Одна його грань АСD, друга - АСВ(Рис. 10).

Мал. 10. Ілюстрація до завдання

Рішення:

Трикутник ADC- рівносторонній, DM- Медіана, а значить і висота. Значить, DМ ⊥ АС.Аналогічно трикутник AУC- рівносторонній, УM- медіана, а отже, і висота. Значить, ВМ ⊥ АС.

Таким чином, з точки Мребра АСдвогранного кута відновлено два перпендикуляри DMі ВМдо цього ребра у гранях двогранного кута.

Значить, ∠ DMУ- Лінійний кут двогранного кута, що і потрібно довести.

Отже ми визначили двогранний кут, лінійний кут двогранного кута.

На наступному уроці ми розглянемо перпендикулярність прямих і площин, далі дізнаємося, що таке двогранний кут при підставі фігур.

Список літератури на тему "Двогранний кут", "Двогранний кут на основі геометричних фігур"

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для загальноосвітніх навчальних закладів / Шаригін І. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: іл.
2. Геометрія. 10 клас: підручник для загальноосвітніх закладів з поглибленим та профільним вивченням математики /Є. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. – 6-те видання, стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: іл.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().
4. Tutoronline.ru ().

Домашнє завдання на тему "Двогранний кут", визначення двогранного кута при основі фігур

Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е видання, виправлене та доповнене – М.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл.

Завдання 2, 3 стор. 67.

Що таке лінійний кут двогранного кута? Як його збудувати?

АВСD- Тетраедр. Побудувати лінійний кут двогранного кута з ребром:

а) УDб) DЗ.

АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 - куб. Побудуйте лінійний кут двогранного кута А 1 АВСз ребром АВ. Визначте його градусну міру.

Величину кута між двома різними площинами можна визначити для будь-якого взаємного розташування площин.

Тривіальний випадок, якщо площини паралельні. Тоді кут між ними вважається рівним нулю.

Нетривіальний випадок, якщо площини перетинаються. Цьому випадку присвячено подальше обговорення. Спочатку нам знадобиться поняття двогранного кута.

9.1 Двогранний кут

Двогранний кут це дві напівплощини із загальною прямою (яка називається ребром двогранного кута). На рис. 50 зображений двогранний кут, утворений напівплощинами; ребром цього двогранного кута служить пряма a, загальна даних напівплощин.

Мал. 50. Двогранний кут

Двогранний кут можна вимірювати в градусах або радіанах словом, запровадити кутову величину двогранного кута. Робиться це так.

На ребрі двогранного кута, утвореного напівплощинами і, візьмемо довільну точку M. Проведемо промені MA і MB, що лежать відповідно в даних напівплощинах і перпендикулярні до ребра (рис. 51).

Мал. 51. Лінійний кут двогранного кута

Отриманий кут AMB – це лінійний кут двогранного кута. Кут " = \AMB і є кутовий величиною нашого двогранного кута.

Визначення. Кутова величина двогранного кута це величина лінійного кута цього двогранного кута.

Усі лінійні кути двогранного кута дорівнюють один одному (адже вони виходять один з одного паралельним зрушенням). Тому це визначення коректно: величина " залежить від конкретного вибору точки M на ребре двогранного кута.

9.2 Визначення кута між площинами

При перетині двох площин виходять чотири двогранні кути. Якщо вони мають однакову величину (по 90), то площини називаються перпендикулярними; кут між площинами тоді дорівнює 90 .

Якщо не всі двогранні кути однакові (тобто є два гострі і два тупі), то кутом між площинами називається величина гострого двогранного кута (рис. 52).

Мал. 52. Кут між площинами

9.3 Приклади розв'язання задач

Розберемо три завдання. Перша проста, друга та третя приблизно на рівні C2 на ЄДІ з математики.

Завдання 1. Знайдіть кут між двома гранями правильного тетраедра.

Рішення. Нехай ABCD правильний тетраедр. Проведемо медіани AM та DM відповідних граней, а також висоту тетраедра DH (рис. 53).

Мал. 53. До задачі 1

Будучи медіанами, AM та DM є також висотами рівносторонніх трикутників ABC та DBC. Тому кут = = AMD є лінійний кут двогранного кута, утвореного гранями ABC і DBC. Знаходимо його з трикутника DHM:

Відповідь: arccos 1 3 .

Завдання 2. У правильній чотирикутній піраміді SABCD (з вершиною S) бічне ребро дорівнює стороні основи. Крапка K середина ребра SA. Знайдіть кут між площинами

Рішення. Пряма BC паралельна AD і тим самим паралельна площині ADS. Тому площина KBC перетинає площину ADS прямою KL, паралельною BC (рис. 54 ).

Мал. 54. До задачі 2

При цьому KL буде паралельна прямий AD; отже, KL середня лінія трикутника ADS, і точка L середина DS.

Проведемо висоту піраміди SO. Нехай N середина DO. Тоді середня лінія LN трикутника DOS, і тому LN k SO. Значить LN перпендикуляр до площини ABC.

З точки N опустимо перпендикуляр NM на пряму BC. Пряма NM буде проекцією похилої LM на площину ABC. З теореми про три перпендикуляри випливає тоді, що LM також перпендикулярна BC.

Таким чином, кут " = \LMN є лінійним кутом двогранного кута, утвореного напівплощинами KBC і ABC. Шукатимемо цей кут із прямокутного трикутника LMN.

Нехай ребро піраміди дорівнює a. Спочатку знаходимо висоту піраміди:

Рішення. Нехай L точка перетину прямих A1 K та AB. Тоді площина A1 KC перетинає площину ABC прямою CL (рис.55 ).

A C

Мал. 55. До задачі 3

Трикутники A1 B1 K і KBL рівні по катету та гострому куту. Отже, дорівнюють інші катети: A1 B1 = BL.

Розглянемо трикутник ACL. У ньому BA = BC = BL. Кут CBL дорівнює 120; отже, \BCL = 30 . Крім того, \ BCA = 60 . Тому \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Отже, LC? AC. Але пряма AC є проекцією прямої A1 C на площину ABC. По теоремі про три перпендикуляри укладаємо тоді, що LC? A1 C.

Таким чином, кут A1 CA лінійний кут двогранного кута, утвореного напівплощинами A1 KC та ABC. Це і є шуканий кут. З рівнобедреного прямокутного трикутника A1 AC бачимо, що він дорівнює 45 .