Переходячи в цих нерівностях до межі при Δ x→ 0 та враховуючи, що похідна f "(x 0) існує, а отже межа, що стоїть зліва, не залежить від того, як Δ x→ 0, отримуємо: при Δ x → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 а при Δ x → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. Оскільки f " (x 0) визначає число, то ці дві нерівності спільні лише у тому випадку, коли f " (x 0) = 0.

Доведена теорема стверджує, що точки максимуму і мінімуму можуть бути лише серед тих значень аргументу, у яких похідна перетворюється на нуль.

Ми розглянули випадок, коли функція у всіх точках деякого відрізка має похідну. Яка ж справа в тих випадках, коли похідна не існує? Розглянемо приклади.

y =|x |.

Функція не має похідної у точці x=0 (у цій точці графік функції немає певної дотичної), але у цій точці функція має мінімум, оскільки y(0)=0, а за всіх x ≠ 0y > 0.

Таким чином, з наведених прикладів та сформульованої теореми видно, що функція може мати екстремум лише у двох випадках: 1) у точках, де похідна існує і дорівнює нулю; 2) у точці, де похідна немає.

Однак, якщо в деякій точці x 0 ми знаємо, що f "(x 0 ) =0, то звідси не можна робити висновок, що у точці x 0 функція має екстремум.

Наприклад.

Але точка x=0 не є точкою екстремуму, оскільки зліва від цієї точки значення функції розташовані нижче за осі Ox, а праворуч вище.

Значення аргументу з області визначення функції, при яких похідна функції перетворюється на нуль або не існує, називаються критичними точками .

З усього вищесказаного випливає, що точки екстремуму функції знаходяться серед критичних точок, і, однак, не будь-яка критична точка є точкою екстремуму. Тому, щоб знайти екстремум функції, потрібно знайти всі критичні точки функції, а потім кожну з цих точок досліджувати окремо максимум і мінімум. І тому служить така теорема.

Теорема 2. (Достатня умова існування екстремуму.) Нехай функція безперервна на деякому інтервалі, що містить критичну точку x 0 , і диференційована у всіх точках цього інтервалу (крім, можливо, самої точки x 0). Якщо при переході зліва направо через цю точку похідна змінює знак із плюса на мінус, то в точці x = x 0 функція має максимум. Якщо ж при переході через x 0 зліва направо похідна змінює знак з мінусу на плюс, то функція має у цій точці мінімум.

Таким чином, якщо

f "(x)>0 при x <x 0 та f "(x)< 0 при x> x 0 , то x 0 – точка максимуму;

Доведення. Припустимо спочатку, що при переході через x 0 похідна змінює знак із плюса на мінус, тобто. при всіх x, близьких до точки x 0 f"(x)> 0 для x< x 0 , f "(x)< 0 для x> x 0 . Застосуємо теорему Лагранжа до різниці f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x-x 0), де cлежить між xі x 0 .

Нехай x< x 0 . Тоді c< x 0 та f"(c)> 0. Тому f "(c)(x-x 0)< 0і, отже,

f(x) - f(x 0 )< 0, тобто. f(x)< f(x 0 ).

Нехай x > x 0 . Тоді c> x 0 та f "(c)< 0. Значить f "(c)(x-x 0)< 0. Тому f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

Таким чином, для всіх значень xдосить близьких до x 0 f(x) < f(x 0 ) . А це означає, що в точці x 0 функція має максимум.

Аналогічно доводиться друга частина теореми про мінімум.

Проілюструємо сенс цієї теореми малюнку. Нехай f "(x 1 ) =0 і для будь-яких x,досить близьких до x 1 , виконуються нерівності

f "(x)< 0 при x< x 1 , f"(x)> 0 при x> x 1 .

Тоді зліва від точки x 1 функція зростає, а справа зменшується, отже, при x = x 1 функція переходить від зростання до спадання, тобто має максимум.

Аналогічно можна розглядати точки x 2 та x 3 .

Схематично все вищесказане можна зобразити на зображенні:

Правило дослідження функції y=f(x) на екстремум

Знайти область визначення функції f(x).

Знайти першу похідну функції f "(x) .

Визначити критичні точки для цього:

знайти дійсне коріння рівняння f "(x) =0;

знайти всі значення xпри яких похідна f "(x)не існує.

Визначити знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки. Так як знак похідної залишається постійним між двома критичними точками, досить визначити знак похідної в будь-якій одній точці зліва і в одній точці праворуч від критичної точки.

Обчислити значення функції у точках екстремуму.

За допомогою цього сервісу можна знайти найбільше та найменше значення функціїоднієї змінної f(x) з оформленням рішення Word . Якщо задана функція f(x,y) , отже, необхідно знайти екстремум функції двох змінних . Також можна знайти інтервали зростання та зменшення функції.

Правила введення функцій:

Необхідна умова екстремуму функції однієї змінної

Достатня умова екстремуму функції однієї змінної

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

То точка x * є точкою локального (глобального) мінімуму функції.

Якщо у точці x * виконується умова:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

То точка x * – локальний (глобальний) максимум.

Приклад №1. Знайти найбільше та найменше значення функції: на відрізку .
Рішення.

Критична точка одна x 1 = 2 (f'(x) = 0). Ця точка належить відрізку. (Точка x=0 перестав бути критичної, оскільки 0∉).
Обчислюємо значення функції на кінцях відрізка та у критичній точці.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Відповідь: f min = 5/2 при x=2; f max =9 при x=1

Приклад №2. За допомогою похідних вищих порядків знайти екстремум функції y = x-2 sin (x).
Рішення.
Знаходимо похідну функції: y'=1-2cos(x). Знайдемо критичні точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Знаходимо y’’=2sin(x), обчислюємо , отже x= π / 3 +2πk, k∈Z – точки мінімуму функції; , Отже x = - π / 3 +2πk, k∈Z - точки максимуму функції.

Приклад №3. Дослідити на екстремум функцію на околицях точки x=0.
Рішення. Тут потрібно знайти екстремуми функції. Якщо екстремум x = 0, то з'ясувати його тип (мінімум або максимум). Якщо знайдених точок немає x = 0, то обчислити значення функції f(x=0).
Слід звернути увагу, що коли похідна з кожної сторони від цієї точки не змінює свого знака, не вичерпуються можливі ситуації навіть для функцій, що диференціюються: може статися, що для будь-якої малої околиці по одну зі сторін від точки x 0 або по обидва боки похідна змінює знак. У цих точках доводиться застосовувати інші методи дослідження функцій на екстремум.

>> Екстремуми

Екстремум функції

Визначення екстремуму

Функція y = f (x) називається зростаючою (спадаючою) у деякому інтервалі, якщо при x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Якщо функція, що диференціюється, y = f (x ) на відрізку зростає (зменшується), то її похідна на цьому відрізку f " (x)> 0

(f "(x)< 0).

Крапка x о називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції f (x ), якщо існує околиця точки x продля всіх точок якої правильна нерівність f (x )≤ f (x про) (f (x)≥ f (x про)).

Точки максимуму та мінімуму називаються точками екстремуму, а значення функції у цих точках - її екстремумами.

Крапки екстремуму

Необхідні умови екстремуму . Якщо точка x о є точкою екстремуму функції f (x ), або f " (x про) = 0, або f(x о) немає. Такі точки називають критичними,причому сама функція у критичній точці визначена. Екстремуми функції слід шукати серед її критичних точок.

Перша достатня умова. Нехай x о - Критична точка. Якщо f " (x) при переході через точку x о змінює знак плюс на мінус, то в точці x профункція має максимум, інакше - мінімум. Якщо під час переходу через критичну точку похідна не змінює знак, то точці x о екстремуму немає.

Друга достатня умова. Нехай функція f (x) має
f " (x) в околиці точки x о і другу похідну у самій точці x про. Якщо f "(x про) = 0, >0 ( <0), то точка x проє точкою локального мінімуму (максимуму) функції f(x). Якщо ж =0, потрібно або користуватися першою достатньою умовою, або залучати вищі .

На відрізку функція y = f(x) може досягати найменшого або найбільшого значення або в критичних точках, або на кінцях відрізка .

Приклад 3.22.

Рішення.Так як f " (

Завдання на знаходження екстремуму функції

Приклад 3.23. a

Рішення. xі y y
0 ≤ x≤
> 0, а при x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функції кв. од).

Приклад 3.24. p ≈

Рішення. p p
S "
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Приклад 3.22.Знайти екстремуми функції f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Рішення.Так як f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3), то критичні точки функції x 1 = 2 і x 2 = 3. Екстремуми можуть бути тільки в цих точках. Оскільки при переході через точку x 1 = 2 похідна змінює знак плюс мінус, то цій точці функція має максимум. При переході через точку x 2 = 3 похідна змінює знак мінус плюс, тому в точці x 2 = 3 у функції мінімум. Обчисливши значення функції у точках
x 1 = 2 і x 2 = 3, знайдемо екстремуми функції: максимум f(2) = 14 і мінімум f(3) = 13.

Приклад 3.23.Потрібно побудувати прямокутний майданчик біля кам'яної стіни так, щоб з трьох боків вона була відгороджена дротяною сіткою, а четвертою стороною примикала до стіни. Для цього є aсітки погонних метрів. При якому співвідношенні сторін майданчик матиме найбільшу площу?

Рішення.Позначимо сторони майданчика через xі y. Площа майданчика дорівнює S = xy. Нехай y- Це довжина сторони, що примикає до стіни. Тоді за умовою має виконуватись рівність 2x + y = a. Тому y = a - 2x та S = x (a - 2x), де
0 ≤ x≤ a /2 (довжина та ширина майданчика не можуть бути негативними). S " = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, звідки
y = a - 2 × a/4 = a/2. Оскільки x = a /4 - єдина критична точка, перевіримо, чи змінюється знак похідної під час переходу цю точку. При x a /4 S "> 0, а при x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функції S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. од). Оскільки S безперервна і її значення на кінцях S(0) і S(a /2) дорівнюють нулю, то знайдене значення буде найбільшим значенням функції. Таким чином, найбільш вигідним співвідношенням сторін майданчика за даних умов завдання є y = 2x.

Приклад 3.24.Потрібно виготовити закритий циліндричний бак місткістю V = 16 p ≈ 50 м3. Які мають бути розміри бака (радіус R і висота Н), щоб його виготовлення пішло найменшу кількість матеріалу?

Рішення.Площа повної поверхні циліндра дорівнює S = 2 p R(R+Н). Ми знаємо об'єм циліндра V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R 2 = 16/R 2 . Значить, S(R) = 2 p (R 2+16/R). Знаходимо похідну цієї функції:
S "(R) = 2p (2R-16/R2) = 4p (R-8/R2). S " (R) = 0 при R 3 = 8, отже,
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Звернемося до графіка функції у = х 3 - 3х2. Розглянемо околицю точки x = 0, тобто. деякий інтервал, що містить цю точку. Логічно, що існує така околиця точки х = 0, що найбільше значення функція у = х 3 – 3х 2 у цій околиці приймає в точці х = 0. Наприклад, на інтервалі (-1; 1) найбільше значення, що дорівнює 0, функція набуває у точці х = 0. Точку х = 0 називають точкою максимуму цієї функції.

Аналогічно, точка х = 2 називається точкою мінімуму функції х 3 - 3х 2, так як у цій точці значення функції не більше її значення в іншій точці околиці точки х = 2, наприклад, околиці (1,5; 2,5).

Таким чином, точкою максимуму функції f(х) називається точка х 0 якщо існує околиця точки х 0 – така, що виконується нерівність f(х) ≤ f(х 0) для всіх х з цієї околиці.

Наприклад, точка х 0 = 0 – це точка максимуму функції f(х) = 1 – х 2 , оскільки f(0) = 1 і вірна нерівність f(х) ≤ 1 при всіх значеннях х.

Точкою мінімуму функції f(х) називається точка х 0 якщо існує така околиця точки х 0 що виконується нерівність f(х) ≥ f(х 0) для всіх х з цієї околиці.

Наприклад, точка х 0 = 2 – це точка мінімуму функції f(х) = 3 + (х – 2) 2 так як f(2) = 3 і f(х) ≥ 3 при всіх х.

Точками екстремуму називаються точки мінімуму та точки максимуму.

Звернемося до функції f(х), яка визначена в околиці точки х 0 і має в цій точці похідну.

Якщо х 0 – точка екстремуму функції, що диференціюється f(х), то f "(х 0) = 0. Це твердження називають теоремою Ферма.

Теорема Ферма має наочний геометричний зміст: у точці екстремуму дотична паралельна осі абсцис і тому її кутовий коефіцієнт
f "(х 0) дорівнює нулю.

Наприклад, функція f(х) = 1 - 3х2 має в точці х 0 = 0 максимум, її похідна f "(х) = -2х, f "(0) = 0.

Функція f(х) = (х - 2) 2 + 3 має мінімум у точці х 0 = 2, f "(х) = 2 (х - 2), f "(2) = 0.

Зазначимо, якщо f "(х 0) = 0, цього недостатньо, щоб стверджувати, що х 0 – це обов'язково точка екстремуму функції f(х).

Наприклад, якщо f(х) = х 3 то f "(0) = 0. Однак точкою екстремуму точка х = 0 не є, так як на всій числовій осі функція х 3 зростає.

Отже, точки екстремуму функції, що диференціюється, необхідно шукати лише серед коренів рівняння.
f "(х) = 0, але корінь цього рівняння не завжди є точкою екстремуму.

Стаціонарними точками називають точки, у яких похідна функції дорівнює нулю.

Таким чином, для того щоб точка х 0 була точкою екстремуму, необхідно, щоб вона була стаціонарною точкою.

Розглянемо достатні умови те, що стаціонарна точка є точкою екстремуму, тобто. умови, у виконанні яких стаціонарна точка є точкою мінімуму чи максимуму функції.

Якщо похідна лівіше стаціонарної точки позитивна, а правіше – негативна, тобто. похідна змінює знак "+" на знак "-" при переході через цю точку, то ця стаціонарна точка - це точка максимуму.

Справді, у разі лівіше стаціонарної точки функція зростає, а правіше – зменшується, тобто. Ця точка – це точка максимуму.

Якщо похідна змінює знак «–» на знак «+» під час переходу через стаціонарну точку, то ця стаціонарна точка є точкою мінімуму.

Якщо похідна знак не змінює під час переходу через стаціонарну точку, тобто. ліворуч і праворуч від стаціонарної точки похідна позитивна чи негативна, то ця точка не є точкою екстремуму.

Розглянемо одне із завдань. Знайти точки екстремуму функції f(х) = х4 – 4х3.

Рішення.

1) Знайдемо похідну: f "(х) = 4х3 - 12х2 = 4х2 (х - 3).

2) Знайдемо стаціонарні точки: 4х2 (х - 3) = 0, х1 = 0, х2 = 3.

3) Методом інтервалів встановлюємо, що похідна f "(х) = 4х 2 (х - 3) позитивна при х> 3, негативна при х< 0 и при 0 < х < 3.

4) Оскільки при переході через точку х 1 = 0 знак похідної не змінюється, то ця точка не є точкою екстремуму.

5) Похідна змінює знак «–» на знак «+» під час переходу через точку х 2 = 3. Тому х 2 = 3 – точка мінімуму.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Як бачите, ця ознака екстремуму функції потребує похідної як мінімум до другого порядку в точці .

приклад.

Знайти екстремуми функції.

Рішення.

Почнемо з області визначення:

Продиференціюємо вихідну функцію:

x=1тобто це точка можливого екстремуму. Знаходимо другу похідну функції та обчислюємо її значення при x = 1:

Отже, за другою достатньою умовою екстремуму, x=1- точка максимуму. Тоді - максимум функції.

Графічні ілюстрації.

Відповідь:

Третя достатня умова екстремуму функції.

Нехай функція y=f(x)має похідні до n-ого порядку в -околиці точки і похідні до n+1-ого порядку в самій точці. Нехай і.

приклад.

Знайти точки екстремуму функції .

Рішення.

Вихідна функція є цілою раціональною, її областю визначення є безліч дійсних чисел.

Продиференціюємо функцію:

Похідна звертається в нуль при Отже, це точки можливого екстремуму. Скористаємося третьою достатньою умовою екстремуму.

Знаходимо другу похідну та обчислюємо її значення в точках можливого екстремуму (проміжні обчислення опустимо):

Отже, - точка максимуму (для третьої достатньої ознаки екстремуму маємо n=1та ).

Для з'ясування характеру точок знаходимо третю похідну та обчислюємо її значення у цих точках:

Отже, - точка перегину функції ( n=2та ).

Залишилося розібратися з точкою. Знаходимо четверту похідну та обчислюємо її значення у цій точці:

Отже, точка мінімуму функції.

Графічні ілюстрації.

Відповідь:

Точка максимуму - точка мінімуму функції.

10. Екстремуми функції Визначення екстремуму

Функція y = f(x) називається зростаючою (спадаючою) у деякому інтервалі, якщо при x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).

Якщо функція, що диференціюється, y = f(x) на відрізку зростає (зменшується), то її похідна на цьому відрізку f "(x)  0

(f "(x)  0).

Крапка x оназивається точкою локального максимуму (мінімуму) функції f(x), якщо існує околиця точки x о, для всіх точок якої правильна нерівність f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)).

Точки максимуму та мінімуму називаються точками екстремуму, а значення функції у цих точках - її екстремумами.

Крапки екстремуму

Необхідні умови екстремуму. Якщо точка x оє точкою екстремуму функції f(x), або f "(x о) = 0, або f (x о) не існує. Такі точки називають критичними,причому сама функція у критичній точці визначена. Екстремуми функції слід шукати серед її критичних точок.

Перша достатня умова.Нехай x о- Критична точка. Якщо f "(x) при переході через точку x озмінює знак плюс на мінус, то в точці x офункція має максимум, інакше - мінімум. Якщо під час переходу через критичну точку похідна не змінює знак, то точці x оекстремуму немає.

Друга достатня умова.Нехай функція f(x) має похідну f "(x) в околиці точки x оі другу похідну у самій точці x о. Якщо f "(x про) = 0, > 0 (<0), то точка x оє точкою локального мінімуму (максимуму) функції f(x). Якщо ж =0, потрібно або користуватися першою достатньою умовою, або залучати вищі похідні.

На відрізку функція y = f(x) може досягати найменшого чи найбільшого значення у критичних точках, або на кінцях відрізка .

Приклад 3.22.Знайти екстремуми функції f(x) = 2x3 - 15x2 + 36x - 14.

Рішення. Так як f "(x) = 6x2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3), то критичні точки функції x 1 = 2 і x 2 = 3. Екстремуми можуть бути тільки в цих точках. Так як при переході через точку x 1 = 2 похідна змінює знак плюс на мінус, то в цій точці функція має максимум При переході через точку x 2 = 3 похідна змінює знак мінус на плюс, тому в точці x 2 = 3 у функції мінімум. Обчисливши значення функції у точках x 1 = 2 та x 2 = 3, знайдемо екстремуми функції: максимум f(2) = 14 і мінімум f(3) = 13.