Обчислення ряду фур'є. Ряд Фур'є. Розкладання функції ряд Фур'є. Розкладання функції в ряд синусів та косинусів

Багато процесів, що відбуваються в природі та техніці, мають властивість повторюватися через певні проміжки часу. Такі процеси називаються періодичними та математично описуються періодичними функціями. До таких функцій відносяться sin(x) , cos(x) , sin(wx), cos(wx) . Сума двох періодичних функцій, наприклад, функція виду , взагалі кажучи, вже не є періодичною. Але можна довести, що якщо ставлення w 1 / w 2 - Число раціональне, то ця сума є періодична функція.

Найпростіші періодичні процеси – гармонічні коливання – описуються періодичними функціями sin(wx) і cos(wx). Більш складні періодичні процеси описуються функціями, складовими або з кінцевого, або з нескінченного числа доданків sin(wx) і cos(wx).

Розглянемо функціональний ряд видів:

Цей ряд називається тригонометричним; числа а 0 , b 0 , a 1 , b 1 ,а 2 , b 2 …, a n , b n ,… називаються коефіцієнтамитригонометричного ряду. Ряд (1) часто записується так:

. (2)

Оскільки члени тригонометричного ряду (2) мають загальний період.
, то сума ряду, якщо він сходиться, також є періодичною функцією з періодом
.

Припустимо, що функція f(x) є сума цього ряду:

. (3)

У такому разі кажуть, що функція f(x) розкладається у тригонометричний ряд. Припускаючи, що це ряд сходиться поступово на проміжку
, Можна визначити його коефіцієнти за формулами:

,
,
. (4)

Коефіцієнти ряду, визначені за цими формулами, називаються коефіцієнтами Фур'є.

Тригонометричний ряд (2), коефіцієнти якого визначаються за формулами Фур'є (4), називаються поряд Фур'є, відповідним функції f(x).

Таким чином, якщо періодична функція f(x) є сумою схожого тригонометричного ряду, то цей ряд є її поряд Фур'є.

Формули (4) показують, що коефіцієнти Фур'є можуть бути обчислені для будь-якої інтегрованої на проміжку

-періодичної функції, тобто. для такої функції завжди можна скласти низку Фур'є. Але чи цей ряд буде сходитися до функції f(x) та за яких умов?

Нагадаємо, що функція f(x), визначена на відрізку [ a; b] , називається шматково-гладкою, якщо вона та її похідна мають не більше кінцевого числа точок розриву першого роду.

Наступна теорема дає достатні умови розкладності функції до ряду Фур'є.

Теорема Діріхле.Нехай
-періодична функція f(x) є шматково-гладкою на
. Тоді її ряд Фур'є сходиться до f(x) у кожній її точці безперервності та до значення 0,5(f(x+0)+ f(x-0)) у точці розриву.

Приклад1.

Розкласти в ряд Фур'є функцію f(x)= x, задану на інтервалі
.

Рішення.Ця функція задовольняє умовам Діріхле і, отже, може бути розкладена до ряду Фур'є. Застосовуючи формули (4) та метод інтегрування частинами
, знайдемо коефіцієнти Фур'є:

Таким чином, ряд Фур'є для функції f(x) має вигляд.

Ряди Фур'є - це уявлення довільно взятої функції з конкретним періодом у вигляді ряду. У загальному вигляді це рішення називають розкладанням елемента по ортогональному базису. Розкладання функцій у ряд Фур'є є досить потужним інструментарієм при розв'язанні різноманітних завдань завдяки властивостям даного перетворення при інтегруванні, диференціюванні, а також зсув виразу за аргументом і згорткою.

Людина, не знайома з вищою математикою, а також з працями французького вченого Фур'є, швидше за все, не зрозуміє, що це за «ряди» і для чого вони потрібні. А тим часом це перетворення досить щільно увійшло в наше життя. Ним користуються не лише математики, а й фізики, хіміки, медики, астрономи, сейсмологи, океанографи та багато інших. Давайте і ми ближче познайомимося з працями великого французького вченого, який зробив відкриття, яке випередило свій час.

Ряди Фур'є є одним із методів (поряд з аналізом та іншими) Цей процес відбувається щоразу, коли людина чує якийсь звук. Наше вухо в автоматичному режимі здійснює перетворення елементарних частинок в пружному середовищі, що розкладаються в ряди (за спектром) послідовних значень рівня гучності для тонів різної висоти. Далі мозок перетворює ці дані на звичні нам звуки. Все це відбувається окрім нашого бажання чи свідомості, саме по собі, а от для того, щоб зрозуміти ці процеси, знадобиться кілька років вивчати вищу математику.

Перетворення Фур'є можна проводити аналітичними, чисельними та іншими методами. Ряди Фур'є відносяться до чисельного способу розкладання будь-яких коливальних процесів - від океанських припливів та світлових хвиль до циклів сонячної (та інших астрономічних об'єктів) активності. Використовуючи ці математичні прийоми, можна розбирати функції, представляючи будь-які коливальні процеси як ряд синусоїдальних складових, які переходять від мінімуму до максимуму і назад. Перетворення Фур'є є функцією, що описує фазу та амплітуду синусоїд, що відповідають певній частоті. Цей процес можна використовувати для вирішення дуже складних рівнянь, які описують динамічні процеси, що виникають під дією теплової, світлової чи електричної енергії. Також ряди Фур'є дозволяють виділяти постійні складові у складних коливальних сигналах, завдяки чому стало можливим правильно інтерпретувати отримані експериментальні спостереження в медицині, хімії та астрономії.

Батьком-засновником цієї теорії є французький математик Жан Батіст Жозеф Фур'є. Його ім'ям згодом і було названо це перетворення. Спочатку вчений застосував свій метод для вивчення та пояснення механізмів теплопровідності – поширення тепла у твердих тілах. Фур'є припустив, що спочатку нерегулярний розподіл можна розкласти на найпростіші синусоїди, кожна з яких матиме свій температурний мінімум і максимум, а також свою фазу. При цьому кожна така компонента вимірюватиметься від мінімуму до максимуму та назад. Математична функція, яка описує верхні та нижні піки кривої, а також фазу кожної з гармонік, назвали перетворенням Фур'є від вираження розподілу температури. Автор теорії звів загальну функцію розподілу, яка важко піддається математичному опису, до дуже зручного в обігу ряду косинуса і синуса, що в сумі дають вихідний розподіл.

Сучасники вченого - провідні математики початку ХІХ століття - не прийняли цю теорію. Основним запереченням послужило твердження Фур'є про те, що розривну функцію, що описує пряму лінію або криву, що розривається, можна подати у вигляді суми синусоїдальних виразів, які є безперервними. Як приклад можна розглянути «сходинку» Хевісайда: її значення дорівнює нулю ліворуч від розриву та одиниці праворуч. Ця функція визначає залежність електричного струму від тимчасової змінної при замиканні ланцюга. Сучасники теорії на той момент ніколи не стикалися з подібною ситуацією, коли розривний вираз описувався комбінацією безперервних, звичайних функцій, таких як експонента, синусоїда, лінійна або квадратична.

Адже якщо математик мав рацію у своїх твердженнях, то, підсумовуючи нескінченний тригонометричний ряд Фур'є, можна отримати точне уявлення ступінчастого вираження навіть у тому випадку, якщо воно має безліч подібних щаблів. На початку ХІХ століття подібне твердження здавалося абсурдним. Але незважаючи на всі сумніви, багато математиків розширили сферу вивчення даного феномену, вивівши його за межі досліджень теплопровідності. Проте більшість учених продовжували мучитися питанням: "Чи може сума синусоїдального ряду сходитися до точного значення розривної функції?"

Питання про збіжність піднімається щоразу за необхідності підсумовування нескінченних рядів чисел. Для розуміння цього феномена розглянемо класичний приклад. Чи зможете ви коли-небудь досягти стіни, якщо кожен наступний крок буде вдвічі меншим за попередній? Припустимо, що ви знаходитесь за два метри від мети, перший крок наближає до позначки на половині шляху, наступний - до позначки в три чверті, а після п'ятого ви подолаєте майже 97 відсотків шляху. Однак скільки б ви не зробили кроків, наміченої мети ви не досягнете в строгому математичному сенсі. Використовуючи числові розрахунки, можна довести, що зрештою можна наблизитися на скільки завгодно малу задану відстань. Цей доказ є еквівалентним демонстрації того, що сумарне значення однієї другої, однієї четвертої тощо буде прагнути до одиниці.

Повторно це питання піднялося наприкінці дев'ятнадцятого століття, коли ряди Фур'є спробували застосувати для прогнозування інтенсивності відливів і припливів. У цей час лордом Кельвіном був винайдений прилад, що є аналоговим обчислювальним пристроєм, який дозволяв морякам військового і торгового флоту відстежувати це природне явище. Даний механізм визначав набори фаз і амплітуд по таблиці висоти припливів і відповідних тимчасових моментів, ретельно заміряних в даній гавані протягом року. Кожен параметр був синусоїдальною компонентою виразу висоти припливу і був однією з регулярних складових. Результати вимірювань вводилися в обчислювальний прилад лорда Кельвіна, який синтезує криву, яка передбачала висоту води як тимчасову функцію наступного року. Незабаром подібні криві були складені всім гаваней світу.

У той час здавалося очевидним, що прилад, що передбачає проливну хвилю, з великою кількістю елементів рахунку може обчислити велику кількість фаз і амплітуд і так забезпечити більш точні передбачення. Проте виявилося, що ця закономірність не дотримується у тих випадках, коли приливний вираз, який слід синтезувати, містив різкий стрибок, тобто був розривним. У тому випадку, якщо пристрій вводяться дані з таблиці часових моментів, то воно робить обчислення декількох коефіцієнтів Фур'є. Вихідна функція відновлюється завдяки синусоїдальним компонентам (відповідно до знайдених коефіцієнтів). Розбіжність між вихідним та відновленим виразом можна вимірювати у будь-якій точці. При проведенні повторних обчислень та порівнянь видно, що значення найбільшої помилки не зменшується. Однак вони локалізуються в області, що відповідає точці розриву, а в будь-якій іншій точці прагнуть нуля. У 1899 році цей результат був теоретично підтверджений Джошуа Уіллардом Гіббсом із Єльського університету.

Аналіз Фур'є не застосовується до виразів, що містять нескінченну кількість сплесків на певному інтервалі. У цілому ряди Фур'є, якщо початкова функція представлена ​​результатом реального фізичного виміру, завжди сходяться. Питання збіжності даного процесу для конкретних класів функцій сприяли появі нових розділів у математиці, наприклад теорії узагальнених функцій. Вона пов'язана з такими іменами, як Л. Шварц, Дж. Мікусінський та Дж. Темпл. В рамках даної теорії була створена чітка і точна теоретична основа під такі вирази, як дельта-функція Дірака (вона описує область єдиної площі, сконцентрованої в нескінченно малій околиці точки) і "ступінь" Хевісайда. Завдяки цій роботі ряди Фур'є стали застосовні для вирішення рівнянь і завдань, в яких фігурують поняття інтуїтивні: точковий заряд, точкова маса, магнітні диполі, а також зосереджена навантаження на балці.

Ряди Фур'є, відповідно до принципів інтерференції, починаються з розкладання складних форм більш прості. Наприклад, зміна теплового потоку пояснюється його проходженням крізь різні перешкоди з теплоізолюючого матеріалу неправильної форми або зміною поверхні землі – землетрусом, зміною орбіти небесного тіла – впливом планет. Як правило, подібні рівняння, що описують прості класичні системи, елементарно вирішуються кожної окремої хвилі. Фур'є показав, що прості рішення також можна підсумовувати для отримання більш складних завдань. Висловлюючись мовою математики, ряди Фур'є - це методика подання вираження сумою гармонік - косінусоїд та синусоїд. Тому цей аналіз відомий також під ім'ям «гармонічний аналіз».

До створення комп'ютерної техніки методика Фур'є була найкращою зброєю в арсеналі вчених під час роботи з хвильовою природою нашого світу. Ряд Фур'є у комплексній формі дозволяє вирішувати не лише прості завдання, які піддаються прямому застосуванню законів механіки Ньютона, а й фундаментальні рівняння. Більшість відкриттів ньютонівської науки дев'ятнадцятого століття стали можливими лише завдяки методиці Фур'є.

З розвитком комп'ютерів перетворення Фур'є піднялися якісно новий рівень. Ця методика міцно закріпилася практично у всіх сферах науки та техніки. Як приклад можна навести цифровий аудіо- та відеосигнал. Його реалізація стала можливою лише завдяки теорії, розробленій французьким математиком на початку ХІХ століття. Так, ряд Фур'є у комплексній формі дозволив зробити прорив у вивченні космічного простору. Крім того, це вплинуло на вивчення фізики напівпровідникових матеріалів та плазми, мікрохвильової акустики, океанографії, радіолокації, сейсмології.

У математиці ряд Фур'є є способом уявлення довільних складних функцій сумою простіших. У загальних випадках кількість таких виразів може бути нескінченною. При цьому чим більше їхня кількість враховується при розрахунку, тим точніше виходить кінцевий результат. Найчастіше як найпростіші використовують тригонометричні функції косинуса або синуса. У такому разі ряди Фур'є називають тригонометричними, а розв'язання таких виразів – розкладанням гармоніки. Цей метод відіграє у математиці. Насамперед, тригонометричний ряд дає засоби для зображення, а також вивчення функцій, він є основним апаратом теорії. Крім того, він дозволяє вирішувати низку завдань математичної фізики. Нарешті, ця теорія сприяла розвитку викликала до життя низку дуже важливих розділів математичної науки (теорію інтегралів, теорію періодичних функцій). Крім того, послужила відправним пунктом для розвитку наступних функцій дійсного змінного, а також започаткувала гармонійний аналіз.

Ряд Фур'є періодичних функцій із періодом 2π.

Ряд Фур'є дозволяє вивчати періодичні функції, розкладаючи їх на компоненти. Змінні струми та напруги, зміщення, швидкість та прискорення кривошипно-шатунних механізмів та акустичні хвилі – це типові практичні приклади застосування періодичних функцій в інженерних розрахунках.

Розкладання в ряд Фур'є ґрунтується на припущенні, що всі функції, що мають практичне значення в інтервалі -π ≤x≤ π можна виразити у вигляді схожих тригонометричних рядів (ряд вважається схожим, якщо сходиться послідовність часткових сум, складених з його членів):

Стандартний (=звичайний) запис через суму sinx та cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

де a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. - Справжні константи, тобто.

Де для діапазону від -π до π коефіцієнти ряду Фур'є розраховуються за формулами:

Коефіцієнти a o ,a n і b n називаються коефіцієнтами Фур'є , і якщо їх можна знайти, то ряд (1) називається рядом Фур'є, що відповідає функції f(x). Для ряду (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) називається першою або основною гармонікою,

Інший спосіб запису ряду - використання співвідношення acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Де a o - константа, з 1 = (a 1 2 + b 1 2) 1/2, з n = (a n 2 + b n 2) 1/2 - амплітуди різних компонентів, а дорівнює a n = arctg a n / b n .

Для ряду (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) або c 1 sin(x+α 1) називається першою або основною гармонікою, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) або c 2 sin(2x+α 2) називається другою гармонікою і таке інше.

Для точного уявлення складного сигналу зазвичай потрібна нескінченна кількість членів. Однак у багатьох практичних завданнях достатньо розглянути лише кілька перших членів.

Ряд Фур'є неперіодичних функцій із періодом 2π.

Розкладання неперіодичних функцій.

Якщо функція f(x) неперіодична, значить, вона не може бути розкладена в ряд Фур'є для всіх значень х. Однак можна визначити ряд Фур'є, що представляє функцію в будь-якому діапазоні шириною 2?

Якщо задана неперіодична функція, можна скласти нову функцію, вибираючи значення f(x) у певному діапазоні та повторюючи їх поза цим діапазоном з інтервалом 2π. Оскільки нова функція є періодичною з періодом 2π, її можна розкласти до ряду Фур'є для всіх значень х. Наприклад, функція f(x)=x не є періодичною. Однак, якщо необхідно розкласти її в ряд Фур'є на інтервалі від до 2π, тоді поза цим інтервалом будується періодична функція з періодом 2π (як показано на рис. нижче).

Для неперіодичних функцій, таких як f(x)=х, сума ряду Фур'є дорівнює значенню f(x) у всіх точках заданого діапазону, але вона не дорівнює f(x) для точок поза діапазоном. Для знаходження ряду Фур'є неперіодичної функції в діапазоні 2π використовується все та ж формула коефіцієнтів Фур'є.

Парні та непарні функції.

Говорять, функція y=f(x) парна , якщо f(-x)=f(x) всім значень х. Графіки парних функцій завжди симетричні щодо осі у (тобто є дзеркально відбитими). Два приклади парних функцій: у = х 2 і у = cosx.

Говорять, що функція y=f(x) непарна, якщо f(-x)=-f(x) для всіх значень х. Графіки непарних функцій завжди симетричні щодо початку координат.

Багато функцій не є ні парними, ні непарними.

Розкладання в ряд Фур'є по косинус.

Ряд Фур'є парної періодичної функції f(x) з періодом 2π містить лише члени з косинусами (тобто не містить членів із синусами) і може включати постійний член. Отже,

де коефіцієнти ряду Фур'є,

Ряд Фур'є непарної періодичної функції f(x) з періодом 2π містить лише члени із синусами (тобто не містить членів із косинусами).

Отже,

де коефіцієнти ряду Фур'є,

Ряд Фур'є на півперіоді.

Якщо функція визначена для діапазону, скажімо від 0 до π, а не тільки від 0 до 2π, її можна розкласти в ряд тільки синусами або тільки по косинусах. Отриманий ряд Фур'є називається поруч Фур'є на напівперіоді.

Якщо потрібно отримати розкладання Фур'є на напівперіоді по косинус функції f(x) в діапазоні від 0 до π, то необхідно скласти парну періодичну функцію. На рис. Нижче показана функція f(x)=х, побудована на інтервалі від х=0 до х=π. Оскільки парна функція симетрична щодо осі f(x), проводимо лінію АВ, як показано на рис. нижче. Якщо припустити, що поза розглянутого інтервалу отримана трикутна форма є періодичною з періодом 2π, то підсумковий графік має вигляд, показ. на рис. нижче. Оскільки потрібно отримати розкладання Фур'є по косинусах, як і раніше, обчислюємо коефіцієнти Фур'є a o і a n

Якщо потрібно отримати розкладання Фур'є на напівперіоді за синусами функції f(x) в діапазоні від 0 до π, необхідно скласти непарну періодичну функцію. На рис. нижче показана функція f(x)=x, побудована на інтервалі від х=0 до х=π. Оскільки непарна функція симетрична щодо початку координат, будуємо лінію CD, як показано на рис. Якщо припустити, що поза розглянутого інтервалу отриманий пилкоподібний сигнал є періодичним з періодом 2π, то підсумковий графік має вигляд, показаний на рис. Оскільки потрібно отримати розкладання Фуріє на напівперіод по синусах, як і раніше, обчислюємо коефіцієнт Фур'є. b

Ряд Фур'є для довільного інтервалу.

Розкладання періодичної функції із періодом L.

Періодична функція f(x) повторюється зі збільшенням x L, тобто. f(x+L)=f(x). Перехід від розглянутих раніше функцій із періодом 2π до функцій із періодом L досить простий, оскільки його можна здійснити за допомогою заміни змінної.

Щоб знайти ряд Фур'є функції f(x) в діапазоні -L/2≤x≤L/2, введемо нову змінну u таким чином, щоб функція f(x) мала період 2π щодо u. Якщо u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π та х=L/2 при u=π. Також нехай f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фур'є F(u) має вигляд

(Межі інтегрування можуть бути замінені на будь-який інтервал довжиною L, наприклад, від 0 до L)

Ряд Фур'є на напівперіод для функцій, заданих в інтервалі L≠2π.

Для підстановки u=πх/L інтервал від x=0 до x=L відповідає інтервалу від u=0 до u=π. Отже, функцію можна розкласти в ряд тільки по косинус або тільки по синусах, тобто. у ряд Фур'є на напівперіоді.

Розкладання по косинусах в діапазоні від 0 до L має вигляд

Як вставити математичні формули на сайт?

Якщо потрібно колись додавати одну-дві математичні формули на веб-сторінку, то найпростіше зробити це, як описано в статті: математичні формули легко вставляються на сайт у вигляді картинок, які автоматично генерує Вольфрам Альфа. Окрім простоти, цей універсальний спосіб допоможе покращити видимість сайту у пошукових системах. Він працює давно (і, гадаю, працюватиме вічно), але морально вже застарів.

Якщо ви постійно використовуєте математичні формули на своєму сайті, я рекомендую вам використовувати MathJax - спеціальну бібліотеку JavaScript, яка відображає математичні позначення у веб-браузерах з використанням розмітки MathML, LaTeX або ASCIIMathML.

Є два способи, як почати використовувати MathJax: (1) за допомогою простого коду можна швидко підключити до вашого сайту скрипт MathJax, який автоматично підвантажуватиметься з віддаленого сервера (список серверів); (2) завантажити скрипт MathJax з віддаленого сервера на свій сервер та підключити до всіх сторінок свого сайту. Другий спосіб – більш складний та довгий – дозволить прискорити завантаження сторінок вашого сайту, і якщо батьківський сервер MathJax з якихось причин стане тимчасово недоступним, це ніяк не вплине на ваш власний сайт. Незважаючи на ці переваги, я вибрав перший спосіб, як більш простий, швидкий і не потребує технічних навичок. Наслідуйте мій приклад, і вже через 5 хвилин ви зможете використовувати всі можливості MathJax на своєму сайті.

Підключити скрипт бібліотеки MathJax з віддаленого сервера можна за допомогою двох варіантів коду, взятого на головному сайті MathJax або на сторінці документації:

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами або відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). От і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Будь-який фрактал будується за певним правилом, яке послідовно застосовується необмежену кількість разів. Щоразу називається ітерацією.

Ітеративний алгоритм побудови губки Менгера досить простий: вихідний куб зі стороною 1 ділиться площинами, що паралельні його граням, на 27 рівних кубів. З нього видаляються один центральний куб і 6 прилеглих до нього на грані кубів. Виходить безліч, що складається з 20 менших кубів, що залишилися. Поступаючи так само з кожним із цих кубів, отримаємо безліч, що складається вже з 400 менших кубів. Продовжуючи цей процес безкінечно, отримаємо губку Менгера.

1 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ РФ НОВОСИБІРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ФІЗИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ Р. К. Бельхєєва РЯДИ ФУР'Є У ПРИКЛАДАХ І ЗАДАЧАХ Навчальний посібник1

2 УДК ББК В161 Б44 Б44 Бельхєєва Р. К. Ряди Фур'є в прикладах та задачах: Навчальний посібник / Новосиб. держ. ун-т. Новосибірськ, с. ISBN У навчальному посібнику викладаються основні відомості про ряди Фур'є, наведено приклади на кожну тему, що вивчається. Детально розібраний приклад застосування методу Фур'є до вирішення задачі про поперечні коливання струни. Наведено ілюстративний матеріал. Є завдання самостійного рішення. Призначений для студентів та викладачів фізичного факультету НГУ. Друкується у вирішенні методичної комісії фізичного факультету НГУ. Рецензент д-р фіз. наук. В. А. Александров Посібник підготовлений у рамках реалізації Програми розвитку НДУ-НГУ на пп. ISBN з Новосибірський державний університет, 211 з Бельхєєва Р. К., 211

3 1. Розкладання 2π-періодичної функції до ряду Фур'є Визначення. Поруч Фур'є функції f(x) називається функціональний ряд a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) де коефіцієнти a n, b n обчислюються за формулами: a n = 1 π b n = 1 π f(x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Формули (2) (3) називають формулами Ейлера Фур'є. Той факт, що функції f(x) відповідає ряду Фур'є (1) записують у вигляді формули f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) і кажуть, що права частина формули (4) є формальним рядом Фур'є функції f(x). Інакше кажучи, формула (4) означає лише те, що коефіцієнти a n, b n знайдено за формулами (2), (3). 3

4 Визначення. 2π-періодична функція f(x) називається шматково-гладкою, якщо в проміжку [, π] знайдеться кінцеве число точок = x< x 1 . Рассмотрим два условия: а) f(l x) = f(x); б) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. С геометрической точки зрения условие (а) означает, что график функции f(x) симметричен относительно вертикальной прямой x = l/2, а условие (б) что график f(x) центрально симметричен относительно точки (l/2;) на оси абсцисс. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) если функция f(x) четная и выполнено условие (а), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 =... = ; 2) если функция f(x) четная и выполнено условие (б), то b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (а), то a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) если функция f(x) нечетная и выполнено условие (б), то a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. ЗАДАЧИ В задачах 1 7 нарисуйте графики и найдите ряды Фурье для функций, { предполагая, что они имеют период 2π:, если < x a cosx + a2 В задачах найдите ряды Фурье в комплексной форме для функций. 26. f(x) = sgn x, π < x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Рівність Ляпунова Теорема (рівність Ляпунова). Нехай функція f: [, π] R така, що f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Тому рівність Ляпунова для функції f(x) набуває вигляду: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. З останньої рівності для a π знаходимо sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Вважаючи a = π 2, отримуємо sin2 na = 1 при n = 2k 1 і sin 2 na = при n = 2k. Отже, k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. ПРИКЛАД 14. Напишемо рівність Ляпунова для функції f(x) = x cosx, x [, π], і знайдемо з його допомогою суму числового ряду (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Рішення. Прямі обчислення дають = ππ f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Оскільки f(x) парна функція, то для всіх n маємо b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1)x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2 якщо n = 2k, 2, якщо n = 2k + 1. Коефіцієнт a 1 необхідно обчислити окремо, оскільки в загальній формулі при n = 1 знаменник дробу звертається в нуль. = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Таким чином, рівність Ляпунова для функції f(x) має вигляд: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π , звідки знаходимо суму числового ряду (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) = π π ЗАВДАННЯ 32. Напишіть рівність Ляпунова для функції ( x f(x) = 2 πx, якщо x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Відповіді + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, де c n коефіцієнт Фур'є 2π функції f(x), а d n коефіцієнт Фур'є функції g(x). 6. Диференціювання рядів Фур'є Нехай f: R R безперервно диференційована 2π-періодична функція. Її ряд Фур'є має вигляд: f(x) = a 2 + (a cos nx + b n sin nx). Похідна f(x) цієї функції буде безперервною та 2π-періодичною функцією, для якої можна записати формальний ряд Фур'є: f(x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), де a, a n, b n, n = 1 , 2,... коефіцієнти Фур'є функції f(x). 51

52 Теорема (про почленное диференціювання рядів Фур'є). При зроблених припущеннях справедливі рівності a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. ПРИКЛАД 15. Нехай шматково-гладка функція f(x) безперервна в проміжку [, π]. Доведемо, що з виконанні умови f(x)dx = має місце нерівність 2 dx 2 dx, зване нерівністю Стеклова, і переконаємося, що рівність у ньому здійснюється лише функцій виду f(x) = A cosx. Іншими словами, нерівність Стеклова дає умови, при виконанні яких з трохи похідної (в середньоквадратичному) слід трохи функції (у середньоквадратичному). Рішення. Продовжимо функцію f(x) на проміжок [,] парним чином. Позначимо продовжену функцію тим самим символом f(x). Тоді продовжена функція буде безперервною та шматково-гладкою на відрізку [, π]. Так як функція f(x) безперервна, то f 2 (x) безперервна на відрізку і 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Оскільки продовжена функція парна, то b n =, a = за умовою. Отже, рівність Ляпунова набуває вигляду 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Переконаємося, що для f(x) виконується висновок теореми про почлене диференціювання низки Фур'є, тобто a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Нехай похідна f (x) зазнає зламів у точках x 1, x 2,..., x N у проміжку [, π]. Позначимо x = x N+1 = π. Розіб'ємо проміжок інтегрування [, π] на N +1 проміжок (x, x 1),..., (x N, x N+1), кожному з яких f(x) безупинно диференційована. Тоді, використовуючи властивість адитивності інтеграла, а потім інтегруючи частинами, отримаємо: b n = 1 π = 1 π = 1 π f(x) j = x j + 1 x j x j + 1 x j n n N j = x j + 1 x j x j + 1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j = x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Остання рівність має місце через те, що функція f(x) була продовжена парним чином, а значить f(π) = f(). Аналогічно отримаємо an=nbn. Ми показали, що теорема про почленное диференціювання рядів Фур'є для безперервної шматково-гладкої 2π-періодичної функції, похідна якої у проміжку [, π] зазнає розривів першого роду, вірна. Значить f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n) sin nx, тому що a =, n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2, .... Оскільки 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Так як кожен член ряду (18) більше або дорівнює відповідного члена ряду (17), то 2 dx 2 dx. Згадуючи, що f(x) є парним продовженням вихідної функції, маємо 2 dx 2 dx. Що й доводить рівність Стеклова. Тепер досліджуємо яких функцій у нерівності Стеклова має місце рівність. Якщо хоч для одного n 2 коефіцієнт a n відмінний від нуля, то a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 ЗАВДАННЯ 37. Нехай шматково-гладка функція f(x) неперервна в проміжку [, π]. Доведіть, що при виконанні умови f() = f(π) = має місце нерівність 2 dx 2 dx, яка також називається нерівністю Стеклова, і переконайтеся, що рівність у ній має місце лише для функцій виду f(x) = B sin x. 38. Нехай функція f безперервна в проміжку [, π] і має в ньому (за винятком хіба що кінцевого числа точок) похідну f (x), що інтегрується з квадратом. Доведіть, що якщо при цьому виконані умови f() = f(π) і f(x) dx =, то має місце нерівність 2 dx 2 dx, яка називається нерівністю Віртингера, причому рівність у ньому має місце лише для функцій виду f(x ) = A cosx + B sin x. 56

57 7. Застосування рядів Фур'є на вирішення диференціальних рівнянь у приватних похідних При вивченні реального об'єкта (явлення природи, виробничого процесу, системи управління тощо.) істотними виявляються два чинника: рівень накопичених знань про досліджуваному об'єкті та ступінь розвитку математичного апарату. На етапі наукових досліджень виробився такий ланцюжок: явище фізична модель математична модель. Фізична постановка (модель) завдання полягає в наступному: виявляються умови розвитку процесу та головні фактори, що на нього впливають. Математична постановка (модель) полягає в описі обраних у фізичній постановці факторів та умов у вигляді системи рівнянь (алгебраїчних, диференціальних, інтегральних та ін.). Завдання називається коректно поставленим, якщо у певному функціональному просторі рішення задачі існує, єдино і безперервно залежить від початкових та граничних умов. Математична модель не буває тотожною об'єкту, що розглядається, а є його наближеним описом. Висновок рівняння вільних малих поперечних коливань струни. Нехай кінці струни закріплені, а сама струна туго напнута. Якщо вивести струну з положення рівноваги (наприклад, відтягнути або вдарити по ній), то струна почне 57

58 вагатися. Припускатимемо, що всі точки струни рухаються перпендикулярно її положенню рівноваги (поперечні коливання), причому в кожний момент часу струна лежить в одній і тій же площині. Візьмемо у цій площині систему прямокутних координат xou. Тоді, якщо в початковий момент часу t = струна розташовувалась уздовж осі Ox, то u означатиме відхилення струни від положення рівноваги, тобто, положення точки струни з абсцисою x у довільний момент часу t відповідає значення функції u(x, t). При кожному фіксованому значенні t графік функції u(x, t) представляє форму струни, що коливається, в момент часу t (рис. 32). При постійному значенні x функція u(x, t) дає закон руху точки з абсцисою x уздовж прямої, паралельної осі Ou, похідна t швидкість цього руху, а друга похідна 2 u t 2 прискорення. Мал. 32. Сили, прикладені до нескінченно малої ділянки струни Складемо рівняння, якому має задовольняти функція u(x, t). Для цього зробимо ще кілька припущень, що спрощують. Вважатимемо струну абсолютно ги- 58

59 кой, тобто вважатимемо, що струна не пручається вигину; це означає, що напруги, що виникають у струні, завжди спрямовані по дотичних до її миттєвого профілю. Струна передбачається пружною і підкоряється закону Гука; це означає, що зміна величини сили натягу пропорційно до зміни довжини струни. Приймемо, що однорідна струна; це означає, що її лінійна густина ρ постійна. Зовнішніми силами ми нехтуємо. Це означає, що ми розглядаємо вільні коливання. Ми вивчатимемо лише малі коливання струни. Якщо позначити через ϕ(x, t) кут між віссю абсцис і дотичної до струни в точці з абсцисою x в момент часу t, то умова дещиці коливань полягає в тому, що величиною ϕ 2 (x, t) можна нехтувати порівняно з ϕ (x, t), тобто ϕ 2. Оскільки кут ϕ малий, то cosϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u отже, величиною (u x x,) 2 також можна нехтувати. Звідси відразу випливає, що в процесі коливання можемо знехтувати зміною довжини будь-якої ділянки струни. Дійсно, довжина шматочка струни M 1 M 2, що проектується в проміжок осі абсцис, де x 2 = x 1 + x, дорівнює l = x 2 x () 2 u dx x. x Покажемо, що за наших припущень величина сили натягу T буде постійною вздовж усієї струни. Візьмемо для цього якусь ділянку струни M 1 M 2 (рис. 32) в момент часу t і замінимо дію відкинутих участю- 59

60 ків силами натягу T 1 і T 2. Оскільки за умови всі точки струни рухаються паралельно осі Ou і зовнішні сили відсутні, то сума проекцій сил натягу на вісь Ox повинна дорівнювати нулю: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Звідси через малості кутів ϕ 1 = ϕ(x 1, t) і ϕ 2 = ϕ(x 2, t) укладаємо, що T 1 = T 2. Позначимо загальне значення T 1 = T 2 через T. Тепер обчислимо суму проекцій F u цих сил на вісь Ou: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Оскільки для малих кутів sin ϕ(x, t) tg ? T (tg ϕ(x 2, t) tg ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . Оскільки точка x 1 обрана довільно, то F u T 2 u x2(x, t) x. Після того, як знайдено всі сили, що діють на ділянку M 1 M 2, застосуємо до нього другий закон Ньютона, згідно з яким добуток маси на прискорення дорівнює сумі всіх діючих сил. Маса шматочка струни M 1 M 2 дорівнює m = ρ l ρ x, а прискорення дорівнює 2 u(x, t). Рівняння t 2 Ньютона набуває вигляду: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, де α 2 = T ρ постійне позитивне число. 6

61 Скорочуючи на x, отримаємо 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) В результаті ми отримали лінійне однорідне диференціальне рівняння з приватними похідними другого порядку з постійними коефіцієнтами. Його називають рівнянням коливань струни чи одновимірним хвильовим рівнянням. Рівняння (21) є переформулюванням закону Ньютона і описує рух струни. Але у фізичній постановці завдання були вимоги про те, що кінці струни закріплені і положення струни в якийсь час відомо. Рівняннями ці умови записуватимемо так: а) вважатимемо, що кінці струни закріплені в точках x = і x = l, тобто вважатимемо, що для всіх t виконані співвідношення u(, t) =, u(l, t ) = ; (22) б) вважатимемо, що у момент часу t = положення струни збігається з графіком функції f(x), тобто вважатимемо, що для всіх x [, l] виконано рівність u(x,) = f( x); (23) в) вважатимемо, що в момент часу t = точці струни з абсцисою x надано швидкість g(x), тобто вважатимемо, що u(x,) = g(x). (24) t Співвідношення (22) називаються граничними умовами, а співвідношення (23) та (24) називаються початковими умовами. Математична модель вільних малих поперечних 61

62 коливань струни полягає в тому, що треба вирішити рівняння (21) з граничними умовами (22) і початковими умовами (23) і (24) Рішення рівняння вільних малих поперечних коливань струни методом Фур'є Розв'язання рівняння (21) в області x l,< t . Подставляя (25) в (21), получим: X T = α 2 X T, (26) или T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Говорят, что произошло разделение переменных. Так как x и t не зависят друг от друга, то левая часть в (27) не зависит от x, а правая от t и общая величина этих отношений 62

63 має бути постійною, яку позначимо через λ: T(t) α 2 T(t) = X(x) X(x) = λ. Звідси отримуємо два звичайні диференціальні рівняння: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) При цьому граничні умови (22) набудуть вигляду X()T(t) = і X(l)T(t) =. Оскільки вони мають виконуватися всім t, t >, то X() = X(l) =. (3) Знайдемо рішення рівняння (28), яке б задовольняло граничним умовам (3). Розглянемо три випадки. Випадок 1: >. Позначимо λ = β 2. Рівняння (28) набуває вигляду X (x) β 2 X(x) =. Його характеристичне рівняння k 2 β 2 = має коріння k = ±β. Отже, загальне рішення рівняння (28) має вигляд X(x) = C e βx + De βx. Ми повинні підібрати постійні C і D так, щоб дотримувалися граничних умов (3), тобто X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Оскільки β, ця система рівнянь має єдине рішення C = D =. Отже, X(x) та 63

64 u(x, t). Тим самим, у випадку 1 ми отримали тривіальне рішення, яке далі не розглядатимемо. Випадок 2: λ =. Тоді рівняння (28) набуває вигляду X (x) = і його рішення, очевидно, задається формулою: X(x) = C x+d. Підставляючи це рішення у граничні умови (3), отримаємо X() = D = і X(l) = Cl =, отже, C = D =. Отже, X(x) і u(x, t), і ми знову отримали очевидне рішення. Випадок 3: λ