Алгебраический материал в курсе математики начальной школы и методика его изучения. Элементы алгебры в начальной школе

9.3.1. Методика введения понятия «Одночлен» и формирование умения находить его числовое значение.

К опорным зна­ниям относятся понятия алгебраического выражения, произве­дения алгебраических выражений, множителя (числового и буквенного); к умениям – запись алгебраического выражения по его элементам, выделение элементов заданного алгебраиче­ского выражения.

Актуализация знаний осуществляется посредством упражнений.

1. Из данного набора выбери­те такие алгебраические выражения, которые являются произведениями нескольких множителей: а) 5а 2 b ; б) (7аb 2 + с 2 ):(5m 2 n ); в) 8; г) 5а 6 bb 4 а ; д) ; е) ж)

Указанному условию удовлетворяют алгебраические выра­жения: 5а 2 b ; 8; 5а 6 bb 4 а ; ; Скорее всего, учащиеся не назовут в числе требуемых алгебраических выражений 8; ; хотя некоторые могут догадаться, что можно представить как с. Взяв несколько алгебраических выражений, следует поупражняться в выделении их числового множителя, буквенных множителей, в записи по данным алгебраическим выражениям новых выражений.

2. Составьте новое алгебраическое выражение, используя выражения 3а 2 b и а . Возможные ответы учащихся: 3а 2 b + а ; 3а 2 b – а ; 3а 2 b а ; 3а 2 b : а .

3. Какие из указанных выражений являются одночленами: а) 5а 3 bсаb 4 ; б) а ; в) г) 3 4 д) 7аb 2 :n ; д) – 5а 6 b с 2 ; е) – а 3 ; ж) з) – mnx . Назовите числовые и буквенные множители одночленов.

4. Запишите несколько алгебраических выражений, явля­ющихся одночленами.

5. Запишите несколько одночленов, отличающихся только числовым коэффициентом.

6. Заполните пропуски: а) 12а 3 b 4 = 2а … b 2 ; б) – 24 m 2 b 7 p 6 = 24bp …

7. Вместо словесной формулировки записать алгебраичес­кие выражения: а) удвоенное произведение чисел а и b; б) ут­роенное произведение квадрата числа а и числа b.

8. Пояснить выражения: а) 2а b ; б) а 5b .

Например, выражение а 5b можно пояснить как: 1) про­изведение чисел а , 5 и b ;2) произведение чисел а и 5b ;3) пло­щадь прямоугольника со сторонами а и 5b .

Упражнения типа 7 и 8 способствуют и овладению методом решения текстовых задач с помощью уравнений, так как перевод словесных формулировок на язык чисел и букв и словесная интерпретация алгебраических выражений – важные составляющие метода решения задач с помощью уравнений.

9. Найдите числовое значение одночлена: 1) 5mnx при m= 3, n= ; x =8; 2) (– 0,25)а b при а =12; b =8. При выполнении подобных упражнений следует указать особенным учащимся на необходимость использования свойств и законов арифметических действий для рационализации вычислений.

Организация выполнения упражнений может быть различ­ной: решение у доски, самостоятельное решение, комментиро­ванное решение, одновременное выполнение упражнений на доске с привлечением слабых учащихся и самостоятельная рабо­та сильных учащихся и т.д.

Для домашнего задания можно использовать упражнения на запись чисел в стандартном виде, которое будет служить мо­тивом для введения на следующем уроке понятия стандартно­го вида одночлена.

9.3.2. Обобщение и систематизация знаний по теме: «Прогрессии» .

Воспроизведение и коррекцию опорных знаний можно осуществить посредством упражнений на заполнение таблицы с последующим обсуждением результатов.

Отметим, что арифметическая и геометрическая прогрес­сии дают пример изучения материала в сходных ситуациях, поэтому важное место в систематизации знаний о прогрессиях должны занять методы противопоставления и сопоставления. Обсуждение узловых вопросов основывается на выяснении при­чин различия и общего в прогрессиях.

Вопросы для обсуждения.

А). Назовите общее и различное в структуре определения арифметической и геометрической прогрессий.

Б). Дайте определение бесконечно убывающей геометричес­кой прогрессии.

В). Что называется суммой бесконечно убывающей геомет­рической прогрессии? Запишите ее формулу.

Г). Как доказать, что данная последовательность является арифметической (геометрической) прогрессией?

Д). С помощью стрелок покажите связи между указанными определениями, формулами (рис.7):

a	a n = a n -1 + d		а 1 , а 2 , … …		a n = a l +d(n–1)
			a n , d
	a n = (a n -1 + a n +1)		Признак арифметической прогрессии		S n = (a 1 + a 2) n

3. Выпишите все определения, формулы по теме «Геомет­рическая прогрессия» и укажите зависимости между ними.

Упражнения 2 и 3 можно предложить учащимся выпол­нить самостоятельно с последующим обсуждением результатов всеми учащимися класса. Можно упражнение 2 выполнить коллективно, а упражнение 3 предложить в качестве самосто­ятельной работы.

Следующие этапы обобщающего урока реализуются с по­мощью упражнений, выполнение которых требует анализа и использования основных фактов, приводящих к новым связям и отношениям между изученными понятиями и теоремами.

4. Между числами 4 и 9 вставьте положительное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометри­ческой прогрессии. Сформулируйте и решите аналогичную за­дачу применительно к арифметической прогрессии.

5. Определите числа a 1 , а 2 , а 3 и а 4 , если a 1 , а 2 , а 3 – последовательные члены геометрической прогрессии, а a 1 , а 3 и а 4 – арифметической прогрессии и а 1 + а 4 = 14, а 2 + а 3 = 12.

7. Могут ли три положительных числа быть одновременно тремя последовательными членами арифметической и геомет­рической прогрессий?

8. Можно ли утверждать, что арифметическая и геометри­ческая прогрессии являются функциями? Если да, то к каким видам функций они относятся?

9. Известно, что a n = 2n +1 – арифметическая прогрессия. Что общего и различного в графиках этой прогрессии и линей­ной функции f (х ) = 2x +1?

10. Можно ли указать последовательности, являющиеся
одновременно арифметической и геометрической прогрессиями?

Формы выполнения упражнений могут быть различны: выполнение упражнений у доски, комментированное решение и т.д. Некоторые из приведенных упражнений могут быть вы­полнены учащимися самостоятельно, причем выполнение их может осуществляться в зависимости от возможностей школь­ников с применением карточек, содержащих пропущенные строки либо указания к их выполнению. Очевидно, что, чем ниже возможности школьника, тем обширнее для него должен быть набор рекомендаций (указаний к выполнению).

9.3.3. Проверка, оценка и коррекция знаний, умений и навыков по теме: «Умножение и деление рациональных чисел» .

Проверка знания учащимися фактического материала, умения объяснять сущность основных понятий осуществляется в процессе беседы с последующим выполнением упражнений.

Вопросы для беседы

1. Сформулируйте правило умножения двух чисел с одинаковы­ми знаками. Приведите примеры.

2. Сформулируйте правило умножения двух чисел с разными знаками. Приведите примеры.

3. Чему равно произведение нескольких чисел, если одно из них нуль? При каких условиях a b = 0?

4. Чему равно произведение а (–1)? Приведите примеры.

5. Как изменится произведение при перемене знака одно­го из множителей?

6. Сформулируйте переместительный закон умножения.

7. Как формулируется сочетательный закон умножения?

8. Запишите, используя буквы, переместительный и соче­тательный законы умножения.

9. Как найти произведение трех, четырех рациональных чисел?

10. Ученик, выполняя упражнение на отыскание произве­дения 0,25 15 15 (–4), использовал следующую последова­тельность действий: (0,25 (–4)) 15 15 = (–1) 15 15 = –15 15. Какие законы он использовал?

11. Какой множитель алгебраического выражения называ­ют коэффициентом?

12. Как найти коэффициент произведения, в котором не­сколько буквенных и числовых множителей?

13. Чему равен коэффициент выражения: a; – a; ab; – ab?

14. Сформулируйте распределительный закон умножения. Запишите его с помощью букв.

15. Какие слагаемые алгебраической суммы называют по­добными?

16. Объясните, что значит привести подобные слагаемые.

17. Объясните, с помощью каких законов выполняется при­ведение подобных слагаемых в выражении 5,2y – 8a – 4,8y – 2а .

18. Каково правило деления рациональных чисел с одина­ковыми знаками?

19. По какому правилу выполняют деление рациональных чисел с разными знаками?

20. В каком случае частное двух рациональных чисел рав­но нулю?

21. В каком порядке выполняют совместные действия с рациональными числами?

Отдельные вопросы могут быть предметом коллективного обсуждения, другие – листов взаимоконтроля учащихся, воз­можно на основе некоторых вопросов провести математический диктант и т.д.

Последующая серия упражнений направлена на контроль, оценку, коррекцию умений учащихся. Возможны различные фор­мы выполнения упражнений: самостоятельное решение, сопровождающееся самоконтролем учащихся, комментиро­ванное решение, выполнение упражнений на доске, устный опрос и т.д. Эта серия охватывает две группы упражнений. Первая группа не требует для выполнения мыслительной деятельности реконструктивного характера, выполнение второй группы пред­полагает реконструкцию знаний и умений по изучаемой теме.

1. Какие из указанных равенств верные:

1) (–9) (–8) = –72; 2) (–1,4) 0,5 = – 0,7;

3) 12 (–0,2) = –0,24; 4) (–3,2) (–2,1) = 6,72?

Выберите правильный ответ.

Ответ: 1); 2); 3); 4); верных равенств нет.

2. Не выполняя вычислений, определите, какое произведение положительно:

1) 0,26 (–17) (–52) (–34); 2) (–1) (–8) 0,4 (–3,4);

3) (–16) (–0,87) (– ) (–5); 4) 5 (–3,2) 0 (0,7).

Ответ: 1); 2); 3); 4).

3. Укажите выражения, имеющие равные коэффициенты:

1) 9ас и 3x (4y ); 2) (–3) (–8cb ) и 4х 6у;

3) аbс и 2,75xy ; 4) 3,15аbс и 0,001аbс .

4. Какое из выражений содержит подобные слагаемые:

1) 7а – 12аb + 14; 2) – 0,5ху + 2,7kх – 0,5;

3) 3с – 2,7хус – ;4) 72ab – ab + 241?

Укажите правильный ответ.

Ответ: 1); 2); 4); выражений, содержащих подобные сла­гаемые, нет.

5. Укажите верные равенства: : (–18,2

3. Выберите наибольшее и наименьшее число среди чисел
а , а 2 , а 3 , а 4 , а 5 , а 6 , а 7 при а = – 5, а = 3.

4. Упростите выражение:

1) – х (у – 4) – 2(ху – 3) – 3х; 2) a (b + 3) – 3(2 – ab) + a.

Приведенная совокупность заданий и их после­довательность охватывают все уровни усвоения знаний. Выполнение всей совокупности заданий соответствует качественному усвоению знаний и умений и может быть оценено на «отлично». Усвоению знаний и умений на уровне их применения в ситуациях, не требующих реконструкции знаний и умений, соответствуют упражнения первой группы. Правильные ответы на вопросы характеризуют усвоение знаний на уровне воспроизве­дения. Оценка «удовлетворительно» может быть выставлена ученику, выполнившему большинство упражнений первой группы. Оценка «хорошо» соответствует правильно выполненному боль­шинству упражнений первой и второй групп.

Задания

1. Выберите конкретную тему коррекционно-развивающего курса алгебры основной школы. Изучите соответствующие разделы программы и учебника. Выявите методические особенности изучения темы. Разработайте фрагменты методики обучения теме. Подготовьте комплект карточек для коррекции знаний учащихся.

2. Посетите несколько уроков алгебры одного из специальных (коррекционных) учреждений VII вида вашего региона. Проведите анализ одного урока с точки зрения его образовательной, коррекционно-развивающей, воспитательной и практической направленности.

3. Одной из целей обучения математике является формирование математической культуры. Вычислительная культура – один из компонентов математической культуры. Предложите ваш вариант трактовки понятия «вычислительная культура». На каких этапах обучения математике особенных учащихся, при обучении какому содержанию возможна и целесообразна постановка цели «формирование вычислительной культуры»? Приведите конкретный пример с соответствующей системой заданий. Составьте список литературы по вопросам развития понятия о числе для внеклассного чтения особенных учащихся. Укажите, в каких классах она может быть использована.

ГЛАВА 10. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ КОРРЕКЦИОННО-РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ в основной школе .

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методика изучения алгебраического материала

Лекция 1. Математические выражения

1.1 Изучение понятия "математическое выражение"

Алгебраический материал изучается, начиная с 1 класса в тесной связи с арифметическим материалом и геометрическим. Введение элементов алгебры способствует общению понятий о числе, арифметических действиях, математических отношениях и вместе с тем готовит детей к изучению алгебры в следующих классах.

Основными алгебраическими понятиями курса являются "равенство", "неравенство", "выражение", уравнение". Определений данных понятий в курсе математики начальных классов нет. Учащиеся уясняют эти понятия на уровне представлений в процессе выполнения специально подобранных упражнений.

Программой по математике в 1-4 классах предусматривается научить детей читать и записывать магматические выражения: ознакомить с правилами порядком выполнения действий и научить ими пользоваться при вычислениях, ознакомить учащихся с тождественными преобразованиями выражений.

При формировании у детей понятия математического выражения необходимо учитывать, что знак действия, поставленный между числами имеет двоякий смысл; с одной стороны, он обозначает действие, которое надо выполнить над числами (например, 6+4 - прибавить 4); с другой стороны, знак действия служит для обозначения выражения (6+4 - это сумма чисел 6 и 4).

В методике работы над выражениями предусматривается два этапа. На первом из них формируется понятие о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел), а на втором - о сложных (сумма про, изведения и числа, разность двух частных и т.д.).

Знакомство с первым выражением - суммой двух; чисел происходит в 1 классе при изучении сложения в вычитания в пределах 10. Выполняя операции над множествами, дети, прежде всего, усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 5+1, 6-2 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов "прибавить", "вычесть". Это находит отражение в чтении (к 5 прибавить 1 равно 6, из 6 вычесть 2 равно 4). В дальнейшем понятия об этих действиях углубляются. Учащиеся узнают, что, прибавляя несколько единиц, увеличиваем число на столько же единиц, а вычитая - уменьшаем его на столько же единиц. Это также находит отражение в новой форме чтения записей (4 увеличить на 2 равно 6, 7 уменьшить на 2 равно 5), Затем дети узнают названия знаков действий: "плюс", "минус" и читают примеры, называя знаки действий (4+2=6, 7-3 =4),

Ознакомившись с названиями компонентов и результатом действия сложения, учащиеся используют термин "сумма" для обозначения числа, являющегося результатом сложения. Опираясь на знания детей о названиях чисел при сложении, учитель поясняет, что в примерах на сложение запись, состоящая из двух чисел, соединенных знаком "плюс", называется так же, как и число, стоящее по другую сторону от знака "равно" (9 сумма" 6+3 - тоже сумма). Наглядно изображается это так:

Чтобы дети усвоили новое значение термина "сумма" как название выражения, даются такие упражнения: "Запишите сумму чисел 7 и 2; вычислите, чему равна сумма чисел 3 и 4; прочитайте запись (6+3), скажите, чему равна сумма; замените число суммой чисел (9= ?+?); сравните суммы чисел (6+3 и 6+2), скажите, какая из них больше, запишите со знаком "больше" и прочитайте запись". В процессе таких упражнений учащиеся постепенно осознают двоякий смысл термина "сумма": чтобы записать сумму чисел, надо их соединить знаком "плюс"; чтобы найти значение суммы, надо сложить заданные числа.

Примерно в таком же плане идет работа над следующими выражениями: разностью, произведением и частным двух чисел. Однако теперь каждый из этих терминов вводится сразу и как название выражения, и как название результата действия. Умение читать и записывать выражения, находить их значение с помощью соответствующего действия вырабатывается в процессе многократных упражнений, аналогичных упражнениям с суммой.

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из трех и более чисел, соединенных одинаковыми или различными знаками действий вида: 3+1+1, 4-1-1, 2+2+2. Вычисляя значения этих выражений, дети в выражениях овладевают правилом о порядке выполнения Действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его. Несколько позднее детей учат преобразовывать выражения в процессе вычислений: например: 7+5=3+5=8. Такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований.

Знакомство первоклассников с выражениями вида: 10 - (6+2), (7-4)+5 и т.п. готовит их к изучению правил прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы и др., к записи решения составных задач, а также способствуют более глубокому усвоению понятия выражения.

Методика ознакомления учащихся с выражением вида: 10+(6-2), (7+4)+5 и т.п. готовит их к изучению правил прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы и др., к записи решения составных задач, а также способствуют более глубокому усвоению понятия выражения.

Методика ознакомления учащихся с выражением вида: 10+(6-2), (5+3) -1 может быть различной. Можно сразу учить читать готовые выражения по аналогии с образцом и вычислять значения выражений, поясняя последовательность действий. Возможен и другой путь ознакомления детей с выражениями данного вида - составление этих выражений учащимися из заданного числа и простейшего выражения.

Умение составлять и находить значение выражений используется учащимися при решении составных задач, вместе с тем здесь происходит дальнейшее овладение понятием выражения, усваивается конкретный смысл выражений в записях решений задач. Полезно в этом плане упражнение: дается условие задачи, например, "У мальчика было 24 рубля. Мороженое стоит 12 рублей, а конфета - 6 рублей". Дети должны объяснить, что в этом случае показывают следующие выражения:

Во втором классе вводятся термины "математическое выражение" и "значение выражения" (без определения). После записи нескольких примеров в одно действие учитель сообщает, что эти примеры иначе называются математическими выражениями.

По заданию учителя дети сами составляют различные выражения. Учитель предлагает вычислить результаты и поясняет, что результаты иначе называют значениями математических выражений. Затем рассматриваются и более сложные математические выражения.

В дальнейшем при выполнении различных упражнений сначала учитель, а затем и дети употребляют новые термины (запишите выражения, найдите значение выражения, сравните выражения и т.п.).

В сложных выражениях знаки действий, соединяющие простейшие выражения, также имеют двоякий смысл, что постепенно раскрывается учащимися. Например, в выражении 20+(34-8) знак "+" обозначает действие, которое надо выполнить над числом 20 и разностью чисел 34 и 8 (к 20 прибавить разность чисел 34 и 8). Кроме того, знак "плюс" служит для обозначения суммы - это выражение есть сумма, в которой первое слагаемое 20, а второе слагаемое выражено разностью чисел 34 и 8.

После того как дети ознакомятся во втором классе с порядком выполнения действий в сложных выражениях, приступают к формированию понятий суммы, разности, произведения, частного, в которых отдельные элементы заданы выражениями.

В дальнейшем, в процессе многократных упражнений в чтении, составлении и записи выражений, учащиеся постепенно овладевают умением устанавливать вид сложного выражения (в 2-3 действия).

Значительно облегчает детям работу схема, которая составляется коллективно и используется при чтении выражений:

установить, какое действие выполняется последним;

вспомнить, как называются числа при выполнении этого действия;

Упражнения в чтении и записи сложных действий, простейшими выражениями, помогают детям усвоить правила порядка действий.

1.2 Изучение правил порядка действий

Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются во 2 классе, но практически некоторые из них дети используют еще в 1 классе.

Сначала рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление. Необходимость введения выражений, содержащих два и более арифметических действий одной ступени, возникает при знакомстве учеников с вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 10, а именно:

Аналогично: 6 - 1 - 1, 6 - 2 - 1, 6 - 2 - 2.

Так как для нахождения значений этих выражений школьники обращаются к предметным действиям, которые выполняются в определенном порядке, то они легко усваивают тот факт, что арифметические действия (сложение и вычитание), которые имеют место в выражениях, выполняются последовательно слева направо.

С числовыми выражениями, содержащими действия сложения и вычитания, а также скобки, учащиеся впервые встречаются в теме "Сложение и вычитание в пределах 10". Когда дети встречаются с такими выражениями в 1 классе, например: 7 - 2 + 4, 9 - 3 - 1 , 4 +3 - 2; во 2 классе, например: 70 - 36 +10, 80 - 10 - 15, 32+18 - 17; 4*10:5, 60:10*3, 36:9*3, учитель показывает, как читают и записывают такие выражения и как находят их значение (например, 4*10:5 читают: 4 умножить на 10 и полученный результат разделить на 5). К моменту изучения во 2 классе темы "Порядок действий" учащиеся умеют находить значения выражений этого вида. Цель работы на данном этапе - опираясь практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают подобранные учителем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли; действия в каждом примере. Затем формулируют сами или читают по учебнику вывод: если в выражении без скобок указаны только действия сложения и вычитания (или только действия умножения и деления), то их выполняют в том порядке, в каком они записаны (т.е. слева направо).

Несмотря на то, что в выражениях вида а+в+с, а+(в+с) и (а+в)+с наличие скобок не влияет на порядок выполнения действий в силу сочетательного закона сложения, на этом этапе учащихся целесообразнее сориентировать на то, что сначала выполняется действие в скобках. Это связано с тем, что для выражений вида а - (в+с) и а - (в - с) такое обобщение неприемлемо и учащимся на начальном этапе довольно трудно будет сориентироваться в назначении скобок для различных числовых выражений. Использование скобок в числовых выражениях, содержащих действия сложения и вычитания, в дальнейшем получает свое развитие, которое связано с изучением таких правил, как прибавление суммы к числу, числа к сумме, вычитание суммы из числа и числа из суммы. Но при первом знакомстве со скобками важно нацелить учащихся на то, что сначала выполняется действие в скобках.

Учитель обращает внимание детей на то, как важно соблюдать это правило при вычислениях, иначе можно получить неверное равенство. Например, учащиеся объясняют, каким образом, получены значения выражений: 70 - 36 +10=24, 60:10 - 3 =2, почему они неверны, какие значения в действительности имеют эти выражения. Аналогично изучают порядок действий в выражениях со скобками вида: 65 - (26 - 14), 50:(30 - 20), 90:(2 * 5). С такими выражениями учащиеся также знакомы и умеют их читать, записывать и вычислять их значение. Объяснив порядок выполнения действий в нескольких таких выражениях, дети формулируют вывод: в выражениях со скобками первым выполняется действие над числами, записанными в скобках. Рассматривая эти выражения нетрудно показать, что действия в них выполняются не в том порядке, в каком записаны; чтобы показать другой порядок их выполнения, и использованы скобки.

Следующим вводится правило порядка выполнения действий в выражениях без скобок, когда в них содержатся действия первой и второй ступени. Поскольку правила порядка действий приняты по договоренности, учитель сообщает их детям или же учащиеся знакомятся с ними по учебнику. Чтобы учащиеся усвоили введенные правила, наряду с тренировочными упражнениями включают решение примеров с пояснением порядка выполнения их действий. Эффективны также упражнения в объяснении ошибок на порядок выполнения действий. Например, из заданных пар примеров предлагается выписать только те, где вычисления выполнены по правилам порядка действий:

После объяснения ошибок можно дать задание: используя скобки, изменить порядок действий так, чтобы выражение имело заданное значение. Например, чтобы первое из приведенных выражений имело значение, равное 10, надо записать его так: (20+30):5=10.

Особенно полезны упражнения на вычисление значения выражения, когда ученику приходится применять все изученные правила. Например, на доске или в тетрадях записывается выражение 36:6+3*2. Учащиеся вычисляют его значение. Затем по заданию учителя дети изменяют с помощью скобок порядок действий в выражении:

Интересным, но более трудным является обратное упражнение: расставить скобки так, чтобы выражение имело заданное значение:

Также интересными являются упражнения следующего вида:

1. Расставьте скобки так, чтобы равенства были верными:

25-17:4=2 3*6-4=6

2. Поставьте вместо звездочек знаки "+" или "-" так, чтобы получились верные равенства:

3. Поставьте вместо звездочек знаки арифметических действий так, чтобы равенства были верными:

Выполняя такие упражнения, учащиеся убеждаются в том, что значение выражения может измениться, если изменяется порядок действий.

Для усвоения правил порядка действий необходимо в 3 и 4 классах включать все более усложняющиеся выражения, при вычислении значений которых ученик применял бы каждый раз не одно, а два или три правила порядка выполнения действий, например:

90*8- (240+170)+190,

469148-148*9+(30 100 - 26909).

При этом числа следует подбирать так, чтобы они допускали выполнение действий в любом порядке, что создает условия для сознательного применения изученных правил.

1.3 Ознакомление с преобразованием выражений

Преобразование выражения - это замена данного выражения другим, значение которого равно значению данного выражения. Учащиеся выполняют такие образования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них.

При изучении каждого правила учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять действия по-разному, но значение выражения при этом не изменяется. В дальнейшем знания свойств действий учащиеся применяют для преобразования заданных выражений в равные им выражения. Например, предлагаются задания вида: продолжить запись так, чтобы знак "=" сохранился:

56- (20+1)=56-20...

(10+5) * 4=10*4...

60:(2*10)=60:10...

Выполняя первое задание, учащиеся рассуждают так: слева из 56 вычитают сумму чисел 20 и 1, справа из 56 вычли 20; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо справа еще вычесть 1. Аналогично преобразуются другие выражения, т.е., прочитав выражение, ученик вспоминает соответствующее правило и, выполняя действия по правилу, получает преобразованное выражение. Чтобы убедиться в правильности преобразования, дети вычисляют значения заданного и преобразованного выражений и сравнивают их. Применяя знания свойств действий для обоснования приемов вычислений, учащиеся 2-4 классов выполняют преобразования выражений вида:

54+30=(50+4)+20=(50+20)+4=70+4=74

72:3=(60+12):3=60:3+12:3=24

16 * 40=16 * (3 * 10)=(16 * 3) * 10=540

Здесь также необходимо, чтобы учащиеся не только поясняли, на основе чего получают каждое последующее выражение, но и понимали, что все эти выражения соединены знаком " = ", потому что имеют одинаковые значения. Для этого иногда следует предлагать детям вычислять значения выражений и сравнивать их. Это предупреждает ошибки вида:

75-30=70-30=40+5=45,

24*12=(10+2)=24*10 +24*2=288.

Учащиеся 2 - 3 классов выполняют преобразование выражений не только на основе свойств действии, но и на основе определений действий. Например, сумму одинаковых слагаемых заменяют произведением: 6+6+6=6 * 3, и наоборот: 9 * 4=9+9+9+9. Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8 * 4+8=8 * 5, 7 * 6 - 7 =7 * 5.

На основе вычислений и анализа специально подобранных выражений учащихся 3 класса подводят к выводу о том, что если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить: (30+20)+10=30+20+10, (10-6):4=10-6:4 и т.д. В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся упражняются в преобразовании выражений со скобками в тождественные им выражения без скобок. Например, предлагается записать данные выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились: (65+30) - 20 (20+4) * 3

Объясняя решение первого из заданных выражений на основе правила вычитания числа из суммы, дети заменяют его выражениями: 65+30 - 20, 65 - 20+30, 30 - 20+65, поясняя порядок выполнения действий в них. Выполняя такие упражнения, учащиеся убеждаются, что значение выражения не меняется при изменении порядка действий только в том случае, если при этом применяются свойства действий.

Таким образом, знакомство школьников начальных классов с понятием выражение тесно связано с формированием вычислительных умений и навыков. В то же время введение понятия выражения позволяет организовать соответствующую работу по развитию математической речи учащихся.

Лекция 2. Буквенная символика, равенства, неравенства, уравнения

2.1 Методика ознакомления с буквенной символикой

В соответствии с программой по математике буквенная символика вводится в 3 классе.

Здесь учащиеся знакомятся с буквой а, как символом для обозначения неизвестного числа или одного из компонентов выражения при решении выражений вида: запиши вместо "окошечка" букву а. Найти значения суммы а+6, если а=8, а=7. Затем на последующих уроках знакомятся с некоторыми буквами латинского алфавита, обозначающими один из компонентов в выражении. С буквой х, как символом для обозначения неизвестного числа при решении уравнений вида: а+х=в, х - с =в - знакомятся в 4 четверти в 3 классе.

Введение буквы как символа для обозначения переменной позволяет уже в начальных классах начать работу над формированием понятия переменной, раньше приобщить детей к математическому языку символов.

Подготовительная работа к раскрытию смысла буквы как символа для обозначения переменной проводится в начале учебного года в 3 классе. На этом первом этапе дети знакомятся с некоторыми буквами латинского алфавита (а, в, с, d, k) для обозначения переменной, т.е. одного из компонентов в выражении.

При введении буквенной символики для обозначения числовой переменной важную роль в системе упражнений играет умелое комбинирование индуктивного и дедуктивного методов. В соответствии с этим упражнения предусматривают переходы от числовых выражений к буквенным и, обратно, от буквенных выражений к числовым. Например, на доску вывешивается плакат с тремя карманами, на которых написано: "1 слагаемое", "2 слагаемое", "сумма".

В процессе беседы с учениками учитель заполняет карманы плаката карточками с записанными на них числами и математическими выражениями:

Далее выясняется, можно ли еще составить выражения, сколько таких выражений можно составить. Дети составляют другие выражения и находят в них общее: одинаковое действие - сложение и различное - разные слагаемые. Учитель поясняет, что, вместо того, чтобы записывать разные числа, можно обозначить любое число, которое может быть слагаемым, какой-нибудь буквой, например а, любое число, которое может быть вторым слагаемым, например, в. Тогда сумму можно обозначить так: а+ в (соответствующие карточки выставляются в карманы плаката).

Учитель поясняет, что а+в также математическое выражение, только в нем слагаемые обозначены буквами каждая из букв обозначает любые числа. Эти числа называются значениями букв.

Аналогично вводится разность чисел как обобщенная запись числовых выражений. Чтобы учащиеся осознали, что буквы, входящие в выражение, например, в+с, могут принимать множество числовых значений, а само буквенное выражение является обобщенной записью числовых выражений, предусматриваются упражнения на переход от буквенных выражений к числовым.

Учащиеся убеждаются, что, придавая буквам личные числовые значения, можно получить много, сколько угодно числовых выражений. В таком же плане проводится работа по конкретизации буквенного выражения - разность чисел.

Далее в связи с работой над выражениями раскрывается понятие постоянной величины. С этой целью рассматриваются выражения, в которых постоянная величина фиксируется с помощью числа, например: а±12, 8±с. Здесь, как и на первом этапе, предусматриваются упражнения на переход от числовых выражений к выражениям, записанным с помощью букв и цифр, и обратно.

С этой целью на первых порах используются плакат с тремя карманами.

Заполняя карманы плаката карточками с записанными на них числами и математическими выражениями, учащиеся замечают, что значения первого слагаемого изменяются, а второго - не изменяются.

Учитель поясняет, что второе слагаемое можно записать с помощью чисел, тогда сумму чисел можно записать так: т + 8, и карточки вставляются в соответствующие карманы плаката.

Аналогичным образом можно получить математические выражения вида: 17±а, в ±30, а позднее - выражения вида: 7* в, с*4, а:8, 48:в.

В 4 классе проводятся упражнения вида: Найди значения выражения а:в, если

а=3 400 и в=2;

а=2 800 и в=7.

Когда учащиеся уясняют смысл буквенной символики, можно использовать буквы в качестве средства обобщения формируемых у них знаний.

Конкретной базой для использования буквенной символики как инструмента обобщения служат знания об арифметических действиях и те знания, которые формируются на их основе.

К ним относятся понятия об арифметических действиях, их свойствах, о связях между компонентами и результатами действий, об изменении результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов и т.п.

Таким образом, использование буквенной символики способствует повышению уровня обобщения знаний, приобретаемых учащимися начальных классов, и готовит их к изучению систематического курса алгебры в следующих классах.

2.2 Числовые равенства, неравенства

Понятие о равенствах, неравенствах и уравнениях раскрывается во взаимосвязи. Работа над ними ведется с 1 класса, органически сочетаясь с изучением арифметического материала.

По новой программе ставится задача научить детей выполнять сравнение чисел, а также сравнение выражений с целью установления отношений "больше", "меньше", "равно"; научить записывать результаты сравнения с помощью знаков ">", "<", "=" и читать полученные равенства и неравенства.

Числовые равенства и неравенства учащиеся получают на основе сравнения заданных чисел или арифметических выражений. Первоначально у младших Школьников формируются понятия только о верных Равенствах и неравенствах (5>4, 6<7, 8=8).

Впоследствии, когда учащиеся накопят опыт работы над выражениями и неравенствами с переменной, после рассмотрения понятий истинного и ложного (верного и неверного) высказывания переходят к такому определению понятий равенства и неравенства, по которым любые два числа, два выражения, соединенные одним из знаков "больше", "меньше" называется неравенством. При этом различают верные и неверные равенства и неравенства. В 3 классе предлагаются такие упражнения: проверь, верны ли данные равенства (4 четверть): 760 - 400=90*4; 630:7=640:8.

Но этих упражнений мало. В 4 классе предлагаются аналогичные упражнения и другие, вида: проверь, верны ли неравенства: 478*24<478* (3*9); 356*10*6>356*16.

Ознакомление с равенствами и неравенствами в начальных классах непосредственно связывается с изучением нумерации и арифметических действий. математический алгебра уравнение

Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, как известно, с помощью установления взаимно-однозначного соответствия. Этому способу сравнения множеств учат детей в подготовительный период и в начале изучения нумерации чисел первого десятка. Попутно выполняется счет элементов множеств и сравнение полученных чисел. В дальнейшем при сравнении чисел учащиеся опираются на их место в натуральном ряду: 9<10, потому что при счете число 9 называют перед числом 10, и т.д.

Установленные отношения записываются с помощью знаков ">", "<", "=", учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначны: чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высшего разряда.

Сравнение именованных чисел сначала выполняется с опорой на сравнение самих значений величин, а потом осуществляется на основе сравнения отвлеченных чисел, для чего заданные именованные числа выражаются в одинаковых единицах измерения.

Сравнение именованных чисел вызывает большие трудности у учащихся, поэтому, чтобы научить этой операции, надо систематически во 2-4 классах предлагать разнообразные упражнения:

1 дм * 1 см, 2 дм * 2 см

Замените равным числом: 7 км 500 м = _____ м

3) Подберите числа таким образом, чтобы запись была верна: ____ ч < ____ мин, ___ см=__ дм и т.д.

4) Проверить верные или неверные равенства даны, исправьте знак, если равенства неверны:

4 т 8 ц=480 кг, 100 мин.=1 ч, 2 м 5 см=250 см.

Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и. вычитания в пределах 10 дети длительное время упражняются в сравнении выражения и числа. Первые неравенства вида 3+1>3, 3 - 1<3 полезно получать из равенства (3=3), сопровождая преобразования соответствующими операциями над множествами. В дальнейшем выражение и число учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами: находят значение выражения и сравнивают его с заданным числом, что отражается в записях:

После знакомства с названиями выражений учащиеся читают равенства и неравенства так: сумма чисел 5 и 3 больше, чем 5.

Опираясь на операции над множествами и сравнение множеств, учащиеся практически усваивают важные свойства равенств и неравенств (если а=в, то в=а). Сравнить два выражения - значит, сравнить их значения. Сравнение чисел и выражений впервые включается при изучении чисел в пределах 20, а затем при изучении действий во всех концентрах эти упражнения систематически предлагаются детям.

При изучении действий в других концентрах упражнения на сравнение выражений усложняются: более сложными становятся выражения, учащимся предлагаются задания вставить в одно из выражений подходящее число так, чтобы получить верные равенства ила неравенства, составить из данных выражений верные равенства или верные неравенства.

Таким образом, при изучении всех концентров упражнения на сравнение чисел и выражений, с одной стороны, способствуют формированию понятий о равенствах и неравенствах, а с другой стороны, усвоению знаний о нумерации и арифметических действиях, а также выработке вычислительных навыков.

2.3 Методика ознакомления с неравенствами с переменной

Неравенства с переменной вида: х+3 < 7, 10 - х >5 вводятся в 3 классе. Сначала переменная обозначается не буквой, а "окошечком", затем обозначается буквой.

Термины "решить неравенство", "решение неравенства" не вводятся в начальных классах, поскольку во многих случаях ограничиваются подбором только нескольких значений переменной, при котором получается верное неравенство. Упражнения выполняются под руководством учителя.

Упражнения с неравенствами закрепляют вычислительные навыки, а также помогают усвоению арифметических знаний. Подбирая значения буквы в неравенствах и равенствах вида: 5 + х = 5, 5 - х =5 10 * х=10, 10* х <10, учащиеся закрепляют знания особых случаев действий. Но самым важным является то, что работая с неравенствами, учащиеся закрепляют представление о переменной и подготавливаются к решению неравенств в 5 классе. В соответствии с программой в 1-4 классах рассматриваются упражнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х* (17 - 10)=70.

Упражнения в начальных классах рассматриваются как верные равенства, решение уравнения сводится к отыскиванию того значения буквы (неизвестного числа), при котором данное выражение имеет указанное значение. Нахождение неизвестного числа в таких равенствах выполняется на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий. Эти требования программы определяют методику работы над уравнениями,

2.4 Методика изучения уравнений

На подготовительном этапе к введению первых уравнений при изучении сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся усваивают связь между суммой и слагаемыми. Кроме того, к этому времени дети овладевают умением сравнивать выражение и число и получают первые представления о числовых равенствах вида: 8=5+3, 6+4=40. Большое значение в плане подготовки к введению уравнений имеют упражнения на подбор пропущенного числа в равенствах вида: 4+*=6, 5- *=2, В процессе выполнения таких упражнений дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых.

Понятие об уравнении вводится в 3 классе. Решаются уравнения устно, способом подбора, т.е. детям предлагают простые уравнения вида: х + 3=5. Для решения таких уравнений дети вспоминают состав чисел в пределах 10, в данном случае состав числа 5 (3 и 2), значит, х=2.

В 4 классе учитель показывает запись решения уравнения, опираясь на знания детей о связях между компонентами и результатом арифметических действий. Например, 6+х=15. Нам неизвестно второе слагаемое, Чтобы получить второе слагаемое надо из суммы вычесть первое слагаемое.

Запись решения:

Проверка:

Учащимся надо объяснить, что когда производим проверку, надо обязательно после подстановки вместо х полученного числа, найти значение полученного выражения.

Позже, на следующем этапе, уравнения решаются на основе знания правил нахождения неизвестного компонента.

На каждый случай отводится отдельный урок.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Понятие неравенства, его сущность и особенности, классификация и разновидности. Основные свойства числовых неравенств. Методика графического решения неравенств второй степени. Системы неравенств с двумя переменными, с переменной под знаком модуля.

реферат , добавлен 31.01.2009


Тригонометрические уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Анализ материала по тригонометрии в различных учебниках. Виды тригонометрических уравнений и методы их решения. Формирование навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств.

дипломная работа , добавлен 06.05.2010


Теоретические сведения по теме "Признаки равенства треугольников". Методика изучения темы "Признаки равенства треугольников". Тема урока "Треугольник. Виды треугольников". "Свойства равнобедренного и равностороннего треугольников".

курсовая работа , добавлен 11.01.2004


Типы уравнений, допускающих понижение порядка. Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка. Теоремы о свойствах частичных решений. Определитель Вронского и его применение. Использование формулы Эйлера. Нахождение корней алгебраического уравнения.

презентация , добавлен 29.03.2016


Понятие и математическое описание элементов дифференциального уравнения как уравнения, связывающего искомую функцию одной или нескольких переменных. Состав неполного и линейного дифференциального уравнения первого порядка, их применение в экономике.

реферат , добавлен 06.08.2013


Метод аналитического решения (в радикалах) алгебраического уравнения n-ой степени с возвратом к корням исходного уравнения. Собственные значения для нахождения функций от матриц. Устойчивость решений линейных дифференциальных и разностных уравнений.

научная работа , добавлен 05.05.2010


Вид уравнения Риккати при произвольном дробно-линейном преобразовании зависимой переменной. Свойства отражающей функции, ее построение для нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Формулировка и доказательства леммы для ОФ уравнения Риккати.

курсовая работа , добавлен 22.11.2014


Основные направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики, ее связь с числовой и функциональной системой. Особенности изучения, аналитический и графический методы решения уравнений и неравенств, содержащих параметры.

курсовая работа , добавлен 01.02.2015


Систематизация сведений о линейных и квадратичных зависимостях и связанных с ними уравнениях и неравенствах. Выделение полного квадрата, как метод решения некоторых нестандартных задач. Свойства функции |х|. Уравнения и неравенства, содержащие модули.

дипломная работа , добавлен 25.06.2010


Анализ особенностей разработки вычислительной программы. Общая характеристика метода простых итераций. Знакомство с основными способами решения нелинейного алгебраического уравнения. Рассмотрение этапов решения уравнения методом половинного деления.

1.1. Общие вопросы методики изучения алгебраического материала.

1.2. Методика изучения числовых выражений.

1.3. Изучение буквенных выражений.

1.4. Изучение числовых равенств и неравенств.

1.5. Методика изучения уравнений.

1.6. Решение простых арифметических задач с помощью составления уравнений.

1.1. Общие вопросы методики изучения алгебраического материала

Введение алгебраического материала в начальный курс математики позволяет подготовить учащихся к изучению основных понятий современной математики (переменная, уравнение, равенство, неравенство и др.), способствует обобщению арифметических знаний, формированию у детей функционального мышления.

Учащиеся начальных классов должны получить первоначальные сведения о математических выражениях, числовых равенствах и неравенствах, научиться решать уравнения, предусмотренные учебной программой и простые арифметические задачи с помощью составления уравнения (теоретическая основа выбора арифметического действия в которых связь между компонентами и результатом соответствующего арифметического действия0.

Изучение алгебраического материала ведётся в тесной связи с арифметическим материалом.

1.2. Методика изучения числовых выражений

В математике под выражением понимают построенную по определённым правилам последовательность математических символов, обозначающих числа и действия над ними.

Выражения вида: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - числовые выражения; вида: 8-а; 30:в; 5+(3+с) - буквенные выражения (выражения с переменной).

Задачи изучения темы

2) Ознакомить учащихся с правилами порядка выполнения арифметических действий.

3) Научить находить числовые значения выражений.

4) Ознакомить с тождественными преобразованиями выражений на основе свойств арифметических действий.

Решение поставленных задач осуществляется на протяжении всех лет обучения в начальных классах, начиная с первых дней пребывания ребёнка в школе.

В методике работы над числовыми выражениями предусматривается три этапа: на первом этапе - формирование понятий о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел); на втором этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия одной ступени; на третьем этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия разных ступеней.

С простейшими выражениями - суммой и разностью - учащихся знакомят в первом классе (по программе 1-4) с произведением и частным - во втором классе (с термином «произведение» - во 2 классе, с термином «частное» - в третьем классе).

Рассмотрим методику изучения числовых выражений.

Выполняя операции над множествами, дети, прежде всего, усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 3+2, 7-1 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов «прибавить», «вычесть» (к 3 прибавить 2). В дальнейшем понятия о действиях углубляются: учащиеся узнают, что, прибавляя (вычитая) несколько единиц, мы увеличиваем (уменьшаем) число на столько же единиц (чтение: 3 увеличить на 2), затем дети узнают название знаков действий «плюс» (чтение: 3 плюс 2), «минус».

В теме «Сложение и вычитание в пределах 20» детей знакомят с понятиями «сумма», «разность» как названиями математических выражений и как названием результата арифметических действий сложения и вычитания.

Рассмотрим фрагмент урока (2 кл.).

На доску с помощью воды прикрепить 4 красных и 3 жёлтых круга:

ОООО ООО

Сколько красных кругов? (Записать число 4.)

Сколько жёлтых кругов? (Записать число 3.)

Какое действие над записанными числами 3 и 4 нужно выполнить, чтобы узнать, сколько красных и сколько жёлтых кругов вместе? (появляется запись: 4+3).

Скажите, не считая, сколько всего кругов?

Такое выражение в математике, когда между числами стоит знак «+», называют суммой (Скажем вместе: сумма) и читают так: сумма четырёх и трёх.

А теперь узнаем, чему же равна сумма чисел 4 и 3 (даём полный ответ).

Аналогично про разность.

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из 3 и более чисел, соединённых одинаковыми и разными знаками арифметических действий: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3 и т.д. Раскрывая смысл таких выражений, учитель показывает способ их чтения. Вычисляя значения этих выражений, дети практически овладевают правилом о порядке арифметических действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его: 10-3+2=7+2=9. Такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований.

Методика ознакомления с выражениями со скобками может быть различной (Описать в тетради фрагмент урока, подготовиться к проведению на практических занятиях).

Умение составлять и находить значение выражения используется детьми при решении арифметических задач, вместе с тем здесь происходит дальнейшее овладение понятием «выражение», усваивается конкретный смысл выражений в записях решения задач.

Представляет интерес вид работы, предложенный латвийским методистом Я.Я. Менцисом.

Даётся текст, например, такой: «У мальчика было 24 р., пирожное стоит 6 р., конфета 2 р.», предлагается:

а) составить все виды выражений по этому тексту и объяснить, что они показывают;

б) объяснить, что показывают выражения:

2 кл. 3 кл.

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6 3

В 3 классе наряду с выражениями, рассмотренными ранее, включают выражения, состоящие из двух простых выражений (37+6)-(42+1), а также состоящие из числа и произведения или частного двух чисел. Например: 75-50:25+2. Там, где порядок выполнения действий не совпадает с порядком их записи, используют скобки: 16-6:(8-5). Дети должны научиться правильно читать и записывать эти выражения, находить их значения.

Термины «выражение», «значение выражения» вводятся без определений. Для того, чтобы детям облегчить работу по чтению и нахождению значения сложных выражений, методисты рекомендуют использовать схему, которая составляется коллективно и используется при чтении выражений:

1) Установлю, какое действие выполняется последним.

2) Подумаю, как называются числа при выполнении это действия.

3) Прочитаю, чем выражены эти числа.

Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются в 3 классе, но практически некоторые из них дети используют в первом и втором классах.

Первым рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо умножение и деление (3 кл.). Цель работы на данном этапе - опираясь на практические умения учащихся, приобретённые ранее, обратить внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать правило.

Подведение детей к формулировке правила, осознание его может быть различным. Главная опора на имеющийся опыт, максимально возможная самостоятельность, создание ситуации поиска и открытия, доказательности.

Можно использовать методический приём Ш.А. Амонашвили «ошибка учителя».

Например. Учитель сообщает, что при нахождении значения следующих выражений у него получились ответы, в правильности которых он уверен (ответы закрыты).

36:2 6=6 и т.д.

Предлагает детям самим найти значения выражений, а затем сопоставить ответы с ответами, полученными учителем (к этому моменту результаты арифметических действий открываются). Дети доказывают, что учителем допущены ошибки и на основе изучения частных фактов формулируют правило (см. учебник математики, 3 кл.).

Аналогично можно ввести остальные правила порядка выполнения действий: когда в выражениях без скобок содержатся действия 1 и 2 ступени, в выражениях со скобками. Важно, чтобы дети осознали, что изменение порядка выполнения арифметических действий приводит к изменению результата, в связи с чем математики решили договориться и сформулировали правила, которые необходимо строго соблюдать.

Преобразование выражения - замена данного выражения другим с тем же числовым значением. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия из них (,с.249-250).

При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять дей­ствия по-разному, но значение выражения при этом не изме­няется. В дальнейшем знания свойств действий учащиеся применяют для преобразования заданных выражений в тождественные выражения. Например, предлагаются задания вида: продолжить запись так, чтобы знак « = » сохранился:

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2 10) =60:10...

Выполняя первое задание, учащиеся рассуждают так: слева из 76 вычитают сумму чисел 20 и 4, справа из 76 вычли 20; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо спра­ва еще вычесть 4. Аналогично преобразуются другие выражения, т. е., прочитаввыражение, ученик вспоминает соответст­вующее правило. И, выполняя действия по правилу, получает преобразованное выражение. Чтобы убедиться в правильности преобразования, дети вычисляют значения заданного и преобра­зованного выражений и сравнивают их.

Применяя знания свойств действий для обоснования прие­мов вычислений, учащиеся I-IV классов выполняют преобразования выражений вида:

72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 1830= 18(310) = (183) 10=540

Здесь также необходимо, чтобы учащиеся не только поясня­ли, на основе чего получают каждое последующее выражение, но и понимали, что все эти выражения соединены знаком « = », потому что имеют одинаковые значения. Для этого изредка сле­дует предлагать детям вычислять значения выражений и cpавнивать их. Это предупреждает ошибки вида: 75 - 30 = 70 - 30 = 40+5 = 45, 24 12= (10 + 2) =24 10+24 2 = 288.

Учащиеся II-IV классов выполняют преобразование выра­жений не только на основе свойств действии, но и на основе их конкретного смысла. Например, сумму одинаковых слагае­мых заменяют произведением: (6+ 6 + 6 = 6 3, и наоборот: 9 4 = = 9 + 9 + 9 + 9). Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6-7=7 5.

На основе вычислений и анализа специально подобранных выражений учащихся IV класса подводят к выводу о том, что если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить. В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся уп­ражняются в преобразовании выражений со скобками в тож­дественные им выражения без скобок. Например, предлагается записать данные выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились:

(65 + 30)-20 (20 + 4) 3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Так, первое из заданных выражений дети заменяют выражениями: 65 + 30-20, 65-20+30, поясняя порядок выполне­ния действий в них. Таким образом, учащиеся убеждаются, что значение выражения не меняется при изменении порядка дей­ствий только в том случае, если при этом применяются свой­ства действий.

Нас окружают объекты. С первых дней ребенка в школе мы изучаем окружающий мир, в том числе и на уроках математики.

Учебник 1 кл. 1 часть. Что мы видим? Мы изучаем объекты. Что такое понятие об объекте? (это совокупность существенных свойств объекта)

В начальных классах много математических понятий сначала усваиваются поверхностно, расплывчато. При первом ознакомлении школьники узнают только о некоторых свойствах понятий, очень узко представляют их объем. И это закономерно. Не все понятия легко усвоить. Но бесспорно, что понимание и своевременное использование учителем тех или других видов определений математических понятий - одна из условий формирования у учеников твердых знаний об этих понятиях.

При усвоении научных знаний учащиеся начальной школы сталкиваются с разными видами понятий. Неумение ученика дифференцировать понятия приводит к неадекватному их усвоению.

Понятие – это совокупность суждений, мыслей, в которых что-либо утверждается об отличительных признаках исследуемого объекта. Что подразумеваем под объемом понятия? (совокупность объектов, обозначенных одним и тем же термином)

Так, программа обучения «Школа России» исходит из того, что базовыми понятиями начального курса математики являются понятия «числа» и «величины», параллельно рассматриваются алгебраический и геометрический материал, решаются текстовые задачи.

В начальной школе мы начинаем давать первые определения понятий: отрезок, квадрат, луч и т.д. Что такое определение понятия? (логическая операция, раскрывающая содержание понятия)

По объему математические понятия делятся на единичные и общие. Если в объем понятия входит только один предмет, оно называется единичным.

Примеры единичных понятий: «наименьшее двузначное число», «цифра 5», «квадрат, длина стороны которого 10 см», «круг радиусом 5 см».

Общие понятие отображает признаки определенного множества предметов. Объем таких понятий всегда будет больше объема одного элемента.

Примеры общих понятий: «множество двузначных чисел», «треугольники», «уравнения», «неравенства», «числа кратные 5», «учебники математики для начальной школы».

В обучении младших школьников наиболее часто встречаются контекстуальные и остенсивные определенияпонятий .

Любой отрывок из текста, будь какой контекст, в котором случается понятие, которое нас интересует есть, в некотором понимании, неявным его определением. Контекст ставит понятие в связь с другими понятиями и тем самим раскрывает ее содержание.

Например, употребляя в работе с детьми такие выражения, как «найти значения выражения», «сравнить значение выражений 5 + а и (а - 3) × 2, если а = 7», «прочитать выражения, которые являются суммами», «прочитать выражения, и потом прочитать уравнения», мы раскрываем понятие «математическое выражение» как запись, которая складывается из чисел или переменных и знаков действий.

Почти все определения, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни - это контекстуальные определения. Услышав, неизвестное слово, мы стараемся сами установить его значение на основании всего сказанного.

Подобное имеет место и в обучении младших школьников. Много математических понятий в начальной школе определяются через контекст. Это, например, такие понятия, как «большой - маленький», «какой-нибудь», «любой», «один», «много», «число», «арифметическое действие», «уравнение», «задача» и т.д.

Контекстуальные определения остаются большей частью неполными и незавершенными. Они применяются в связи с неподготовленностью младшего школьника к усвоению полного и тем более научного определения.

Остенсивные определения - это определения путем демонстрации. Они напоминают обычные контекстуальные определения, но контекстом здесь есть не отрывок какого-либо текста, а ситуация, в которой оказывается объект, обозначенный понятием.

Например, учитель показывает квадрат (рисунок или бумажную модель) и говорит «Смотрите - это квадрат». Это типичное остенсивное определение.

В начальных классах остенсивные определения применяются при рассмотрении таких понятий как «красный (белый, черный и т.д.) цвет», «левый - правый», «слева направо», «цифра», «предшествующее и следующее число», «знаки арифметических действий», «знаки сравнения», «треугольник», «четырехугольник», «куб» и т.д.

На основе усвоения остенсивным путем значений слов есть возможность вводить в словарь ребенка уже вербальное значение новых слов и словосочетаний. Остенсивные определения - и только они - связывают слово с вещами.

Заметим, что в начальных классах допустимые определения наподобие «Словом «пятиугольник» мы будем называть многоугольник с пятью сторонами». Это так называемое «номинальное определение».

Какую структуру имеет понятие? (определяемое понятие = родовое + видовое) Приведите пример. В следствии этой формулы и построено изучение математического материала в начальной школе. Например, рассмотрим понятия «квадрат» и «прямоугольник». Объем понятия «квадрат» есть частью объема понятия «прямоугольник». Поэтому первое называют видовым, а второе - родовым. В родо-видовых отношениях следует различать понятие ближайшего рода и следующие родовые ступени.

Например, для вида «квадрат» ближайшим родом будет род «прямоугольник», для прямоугольника ближайшим родом будет род «параллелограмм», для «параллелограмма» - «четырехугольник», для «четырехугольника» - «многоугольник», а для «многоугольника»- «плоская фигура».

В начальных классах впервые каждое понятие вводится наглядно, путем наблюдения конкретных предметов или практического оперирования (например, при счете их). Учитель опирается на знание и опыт детей, которые они приобрели еще в дошкольном возрасте. Ознакомления с математическими понятиями фиксируется с помощью термина или термина и символа.

Особое внимание следует уделить понятию число.

Число - это отношение того, что подвергается количественной оценке (длина, вес, объем и др.) к эталону, который используется для этой оценки. Очевидно, что число зависит как от измеряемой величины, так и от эталона. Чем больше измеряемая величина, тем больше будет число при одном и том же эталоне. Наоборот, чем больше будет эталон (мера), тем меньше будет число при оценке одной и той же величины. Следовательно, учащиеся с самого начала должны понять, что сравнение чисел по величине можно производить только тогда, когда за ними стоит один и тот же эталон. В самом деле, если, например, пять получено при измерении длины сантиметрами, а три - при измерении метрами, то три обозначают большую величину, чем пять. Если учащиеся не усвоят относительной природы числа, то они будут испытывать серьезные трудности и при изучении системы счисления.

Натуральное число рассматривается как общее свойство класса эквивалентных конечных множеств. Первые представления о числе связаны с количественной характеристикой предметов.

(Множество – совокупность некоторых объектов, эквивалентные = равночисленные)

Количественная характеристика множества осознается учащимися в процессе установления взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества и отрезком натурального числового ряда. Такое взаимно однозначное соответствие называется счетом элементов конечного множества. В этом случае количественная характеристика непустых конечных множеств находит выражение в таких отношениях, как «больше», «меньше», «равно», обозначаемых соответствующими символами.

На основе использования предметной наглядности устанавливается, например, что число кругов больше, чем квадратов, а квадратов меньше, чем кругов.

4, следовательно 5 б 4, 4 м 5

Число «нуль» в нач. школе рассматривается как характеристика пустого множества на основе практической деятельности с множеством предметов. Для этой цели используются рисунки типа:

Или на основе результат арифметического действия при рассмотрении примеров вида: 3-1=2, 2-1=1, 1-1=0.

Рассматриваются целые неотрицательные числа в курсе математики начальной школы по концентрам: «Числа от 0 до 10», «Числа от 10 до 100», «Числа от 100 до 1000», «Числа, которые больше 1000».

Основными понятиями в каждом концентре является устная и письменная нумерация.

Устная нумерация – способ называния каждого из чисел, встречающихся в жизненной практике, с помощью слов-числительных: один, девять, сто два и т.д.

Письменная нумерация – способ записи каждого из чисел, встречающихся в жизненной практике, с помощью цифр: 1, 2, 3…9, 0 на основе принципа поместного значения цифр (каждая цифра в зависимости от места, занимаемого им в записи числа, имеет свое определенное значение). Например, в записи числа 999 цифра 9, стоящая на первом месте справа налево, означает в данном числе 9 единиц. Эта же цифра, стоящая на втором месте справа налево, означает, что в числе 9 десятков и т.д.

Арифметические действия +, -, х, : рассматриваются в н.ш. на теоретико-множественной основе.

Сложение целых неотрицательных чисел связано с операцией объединения конечных попарно непересекающихся множеств.

Вычитание натуральных чисел рассматривается на наглядной основе как удаление части конечного множества, являющего подмножеством данного множества.

Умножение целых неотрицательных чисел рассматривается как число элементов в объединении равночисленных попарно непересекающихся множеств.

Деление с теоретико-множественной точки зрения связано с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества. С его помощью решаются две задачи на деление: отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения (деление на равные части) (пр.: 15 яблок лежало на 3 тарелках. Сколько яблок на каждой тарелке?) и отыскивание числа таких подмножеств (деление по содержанию) (пр.: 15 яблок лежало на тарелках. На каждой тарелке лежало по 5 яблок. Сколько тарелок стояло на столе?).

Формирование у учащихся представлений о числе и десятичной системе счисления тесно связано с изучением величин.

Величина – это некоторое свойство множества предметов или явлений.

Величина – это такое свойство предметов или явлений, которое позволяет сравнить и установить пары объектов, обладающих этим свойством в равной или неравной мере.

В н.ш. рассматриваются такие величины, как длина, площадь, время, объем, масса.

Длина – величина, характеризующая протяженность, удаленность и перемещение тел или их частей вдоль заданной линии. Длина отрезка или прямой – это расстояние между его концами, измеренное каким-либо отрезком, принятым за единицу измерения длины.

Площадь – величина, характеризующая геометрические фигуры на плоскости и определяемая числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т.е. квадратов со стороной, равной единицы длины. Измерить площадь фигуры – значит установить, столько квадратных единиц длины (кв. см, кв.дм, кв.м и т.д.) она содержит.

Объем, вместимость – это величина, характеризующая геометрические тела и определяемая в простейших случаях числом умещающихся в тело единичных кубов, т.е. кубов с ребром, равным единице длины. Тела могут иметь одинаковые (т.е. тела равновеликие) и разные объемы.

Масса – это физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные и гравитационные свойства. Сравнение масс тел , действий над ними сводится к сравнению и действиям над числовыми значениями масс при одной и той же единице измерения массы.

Время – величина, характеризующая последовательную смену явлений и состояний материи, длительность бытия. Календарь - система счета дней, месяцев, годов. В математике время рассматривают как скалярную величину (величина, каждое значение которой может быть выражено одним действительным числом), т.к. промежутки времени обладают свойствами, похожими на свойства длины, площади, массы. Промежутки времени так же, как и другие скалярные величины, можно сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить на положительное действительное число. Между величинами одного рода имеют место отношения: «больше», «меньше», «равно».

На наглядной основе вводятся понятия о доле величины и дроби. Доля рассматривается как одна из равных частей целого. Дробь определяется как пара натуральных чисел (а, n ), характеризующая множество А одинаковых долей единицы; первое из них а показывает, сколько «n- ых» долейсодержит А и называется числителей дроби, второе n – на сколько одинаковых долей разделена единица и называется знаменателем дроби.

Параллельно с арифметическим материалом и изучением величин рассматривается теоретический материал: коммутативное свойство сложения и умножения (переместительное); сочетательное свойство умножения и сложения (ассоциативное), распределительное свойство деления относительно суммы и разности; распределительное свойство деления относительно суммы и разности; дистрибутивное свойство умножения относительно сложения и вычитания – рассматриваются как правила умножения суммы (разности) на число (a + b) x c = a x c + b x c . Кроме того, рассматривается зависимость между компонентами и результатом арифметического действия. Позднее на основе этой зависимости рассматривается решение уравнений.

В школьной практике многие учителя добиваются от учеников заучивания определений понятий и требуют знания их основных доказываемых свойств. Однако результаты такого обучения обычно незначительны. Это происходит потому, что большинство учащихся, применяя понятия, усвоенные в школе, опираются на малосущественные признаки, существенные же признаки понятий ученики осознают и воспроизводят только при ответе на вопросы, требующие определения понятия. Часто учащиеся безошибочно воспроизводят понятия, то есть обнаруживают знание его существенных признаков, но применить эти знания на практике не могут, опираются на те случайные признаки, выделенные благодаря непосредственному опыту. Процессом усвоения понятий можно управлять, формировать их с заданными качествами.

Более подробно остановимся на поэтапном формировании понятий.

После выполнения пяти-восьми заданий с реальными предметами или моделями учащиеся без всякого заучивания запоминают и признаки понятия, и правило действия. Затем действие переводится во внешнеречевую форму, когда задания даются в письменном виде, а признаки понятий, правило, и предписание называются или записываются учащимися по памяти. На этом этапе учащиеся могут работать парами, поочередно выступая то в роли исполнителя, то в роли контролера.

В том случае, когда действие легко и верно выполняется во внешнеречевой форме, его можно перевести во внутреннюю форму. Задание дается в письменном виде, а воспроизведение признаков, их проверку, сравнение полученных результатов с правилом учащийся совершает про себя. Учащийся все еще получает указания типа «Назови про себя первый признак», «Проверь, есть ли он» и т.д. Вначале контролируется правильность каждой операции и конечного ответа. Постепенно контроль осуществляется лишь по конечному результату и производится по мере необходимости.

Если действие выполняется правильно, то его переводят на умственный этап: учащийся сам и выполняет, и контролирует действие. В программе обучения на этом этапе предусматривается контроль со стороны обучающего только за конечным продуктом действия; обучаемый получает обратную связь при наличии затруднений или неуверенности в правильности результата. Процесс выполнения теперь скрыт, действие стало полностью умственным, идеальным, но содержание его известно обучающему, так как он сам его строил и сам преобразовал из действия внешнего, материального.

Так постепенно происходит преобразование действия по форме. Преобразование действия по обобщенности обеспечивается специальным подбором заданий. При этом учитывается как специфическая, так и общелогическая часть ориентировочной основы действия.

Для обобщения специфической части, связанной с применением системы необходимых и достаточных признаков, даются для распознавания все типичные виды объектов, относящихся к данному понятию. Так, при формировании понятия угол важно, чтобы учащиеся поработали с углами, отличающимися по величине (от 0° до 360° и больше), по положению в пространстве и т.п. Кроме того, важно взять и такие объекты, которые имеют лишь некоторые признаки данного понятия, но к нему не относятся.

Для обобщения логической части действия распознавания даются для анализа все основные случаи, предусмотренные логическим правилом подведения под понятие, т.е. задания с положительным, отрицательным и неопределенным ответами. Можно включать также задания с избыточными условиями. Характерно, что в практике обучения, как правило, дается лишь один тип задач: с достаточным составом условий и положительным ответом. В результате учащиеся усваивают действие распознавания в недостаточно обобщенном виде, что, естественно, ограничивает пределы его применения. Задачи с избыточными, неопределенными условиями дают возможность научить учащихся не только обнаруживать те или иные признаки в предметах, но и устанавливать достаточность их для решения стоящей задачи. Последние в жизненной практике часто выступают как самостоятельная проблема.

Преобразование действия по двум другим свойствам достигается повторяемостью однотипных заданий. Делать это целесообразно, как было указано, лишь на последних этапах. На всех других этапах дается лишь такое число заданий, которое обеспечивает усвоение действия в данной форме. Задерживать действие на переходных формах нельзя, так как это приведет к автоматизации его в данной форме, что препятствует переводу действия в новую, более позднюю форму.

Лекция 7. Понятие периметра многоугольника

1. Методика рассмотрения элементов алгебры.

2. Числовые равенства и неравенства.

3. Подготовка к ознакомлению с переменной. Элементы буквенной символики.

4. Неравенства с переменной.

5. Уравнение

1. Введение элементов алгебры в начальный курс математики позволяет с самого начала обучения вести планомерную работу направленную на формирование у детей таких важнейших математических понятий как: выражение, равенство, неравенство, уравнение. Ознакомление с использованием буквы как символа обозначающего любое число из известной детям области чисел, создает условия для обобщения многих на начальном курсе вопросов арифметической теории, является хорошей подготовкой к ознакомлению детей в дальнейшем с понятиями в переменной функций. Более раннее ознакомление с использованием алгебраического способа решения задач позволяет внести серьезнее усовершенствования во всю систему обучения детей решению разнообразных текстовых задач.

Задачи : 1.Сформировать у учащихся умения читать, записывать и сравнивать числовые выражения.2. Познакомить учащихся с правилами выполнения порядка действий в числовых выражениях и выработать умение вычислять значения выражений в соответствии с этими правилами.3. Сформировать у учащихся умение читать, записывать буквенные выражения и вычислять их значения при данных значениях букв.4. Познакомить учащихся с уравнениями 1-ой степени, содержащее действия первой и второй ступени, сформировать умение решать их способом подбора, а также на основе знания взаимосвязи м/у компонентами и результатом арифметический действий.

Программой начальных классов предусматривается знакомство учащихся с использования буквенной символики, решений элементарных уравнений первой степени с одним неизвестным и применений их к задачам в одно действие. Эти вопросы изучаются в тесной связи с арифметическим материалом, что способствует формированию числа и арифметических действий.

С первых дней обучения начинается работа по формированию у учащихся понятий равенства. Первоначально дети учатся сравнивать множество предметов уравнивать неравные группы, преобразовывать равные группы в неравные. Уже при изучении десятка чисел вводятся упражнения сравнения. Сначала они выполняются с опоры на предметы.

Понятие о выражении формируется у младших школьников в тесной связи с понятиями об арифметических действиях. В методике работы над выражениями предусматривается два этапа. На 1-формируется понятие о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел), а на 2- о сложных (сумма произведения и числа, разность двух частных и т. п.). Вводятся термины «математическое выражение» и «значение математического выражения» (без определений). После записи нескольких примеров в одно действие учитель сообщает, что эти примеры иначе называются метаматематическими выражениями. При изучении арифметических действий включаются упражнения на сравнения выражений, их делят на 3 группы. Изучение правил порядка действий. Цель на данном этапе - опираясь на практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают подобранные учителем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли действия в каждом примере. Затем формулируют сами или читают по учебнику вывод. Тождественное преобразование выражения - это замена данного выражения другим, значение которого равно значению заданного выражения. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них (как прибавить сумму к числу, как вычесть число из суммы, как умножить число на произведение и др.). При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять действия по-разному, но значение выражения при этом не изменяется.

2. Числовые выражения с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с числовыми равен-ми и неравен-ми. Числовые равенства и неравенства делятся на «верные» и «неверные». Задачи: сравнивать числа, сравнивать арифметические выражения, решать простейшие неравенства с одним неизвестным, переходить от неравенства к равенству и от равенства к неравенству

1. Упражнение, направленное на уточнение знаний учащихся об арифметических действиях и на их применение. При ознакомлении учащихся с арифметическими действиями сравниваются выражение вида 5+3 и 5-3; 8*2 и 8/2. Сначала выражения сравниваются путем нахождения значений каждого и сравнения полученных чисел. В дальнейшем задание выполняется ни основе того, что сумма двух чисел больше их разности, а произведение - больше их частного; вычисление используется только для проверки результата. Сравнение выражений вида 7+7+7 и 7*3 проводится для закрепления знаний учащихся о связи сложения и умножения.

В процессе сравнения учащиеся знакомятся с порядком выполнения арифметических действий. Сначала рассматриваются выражения, содержание скобки, вида 16 - (1+6).

2. После этого рассматривается порядок действий в выражениях без скобок содержащих действия одной и двух степеней. Эти значения учащиеся усваивают в процессе выполнения примеров. Сначала рассматриваются порядок действий в выражениях, содержащих действия одной ступени, например: 23 + 7 - 4 , 70: 7 * 3. При этом дети должны усвоить, что если выражений есть только сложение и вычитания или только умножение и деление, то они выполняются в том порядке в каком записаны. Затем вводятся выражения, содержащие действия обеих ступеней. Учащимся сообщается, что в таких выражениях надо сначала выполнить по порядку действия умножения и деления, а затем сложение и вычитание, например: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. Чтобы убедить учащихся в необходимости соблюдения порядка действий, полезно выполнить их в одном и тоже выражении в другой последовательности и сравнить полученные результаты.

3. Упражнения, при выполнении которые учащиеся усваивают и закрепляют знания по соотношению между компонентами и результатами арифметических действий. Они включаются уже при изучении чисел десятка.

В этой группе упражнений учащиеся знакомятся со случаями изменения результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов. Сравниваются выражения, в которых изменяется одно из слагаемых (6+3 и 6+4) или уменьшаемое 8-2 и 9-2 и т.д. Подобные задания включаются также при изучении табличного умножения и деления и выполняются с помощью вычислений (5*3 и 6*3, 16:2 и 18:2) и т.д. В дальнейшем можно сравнивать эти выражения без опоры на вычисления.

Рассмотренные упражнения тесно связаны с программным материалом и способствует его усвоению. Наряду с этим в процессе сравнения чисел и выражений учащиеся получают первые представления о равенстве и неравенстве .

Так, в 1 классе, где ещё термины «равенство» и «неравенство» не используются, учитель может при проверке правильности выполненных детьми вычислений задавать вопросы в такой форме: «Коля прибавил к шести восемь и получил 15. Верное это решение или неверное?», или предлагать детям упражнения в которых требуется проверить решение данных примеров, найти верные записи и т.д. Аналогично при рассмотрении числовых неравенств вида 5<6,8>4 и более сложных учитель может задавать вопрос в такой форме: «Верны ли эти записи?», а после введения неравенства – «Верны ли эти неравенства?».

Начиная с 1 класса дети знакомятся и с преобразованиями числовых выражений, выполняемое на основе применения изученных элементов арифметической теории(нумерации, смысла действий и другое). Например, на основе знания нумерации, разрядного состава чисел учащиеся могут представить любое число в виде суммы его разрядных слагаемых. Это умение используется при рассмотрении преобразования выражений в связи с выражением многих вычислительных приемов.

В связи с подобными преобразованиями уже в I классе дети встречаются с «цепочкой» равенств.