Чему равна первая космическая скорость у поверхности. Космическая скорость

Любой предмет, будучи подброшенным вверх, рано или поздно оказывается на земной поверхности, будь то камень, лист бумаги или простое перышко. В то же время, спутник, запущенный в космос полвека назад, космическая станция или Луна продолжают вращаться по своим орбитам, словно на них вовсе не действует нашей планеты. Почему так происходит? Почему Луне не грозит упасть на Землю, а Земля не движется навстречу к Солнцу? Неужели на них не действует всемирное тяготение?

Из школьного курса физики мы знает, что всемирное тяготение воздействует на любое материальное тело. Тогда логично будет предположить, что есть некая сила, нейтрализующая действие гравитации. Эту силу принято называть центробежной. Ее действие легко ощутить привязав на один конец нитки небольшой груз и раскрутив его по окружности. При этом чем больше скорость вращения тем сильнее натяжение нити, а чем медленнее вращаем мы груз тем больше вероятность, что он упадет вниз.

Таким образом мы вплотную приблизились к понятию «космическая скорость». В двух словах ее можно описать как скорость, позволяющую любому объекту преодолеть тяготение небесного тела. В качестве может выступать планета, ее или другая система. Космическая скорость есть у каждого объекта, который движется по орбите. К слову сказать, размер и форма орбиты зависят от величины и направления скорости, которую данный объект получил на момент выключения двигателей, и высоты, на которой произошло данное событие.

Космическая скорость бывает четырех видов. Самая меньшая из них - это первая. Это наименьшая скорость, которая должна быть у чтобы он вышел на круговую орбиту. Ее значение можно определить по такой формуле:

V1=√µ/r, где

µ - геоцентрическая гравитационная постоянная (µ = 398603 * 10(9) м3/с2);

r — расстояние от точки запуска до центра Земли.

Из-за того, что форма нашей планеты не является идеальным шаром (на полюсах она как бы немного приплюснута), то расстояние от центра до поверхности больше всего на экваторе - 6378,1 . 10(3) м, а меньше всего на полюсах - 6356,8 . 10(3) м. Если взять среднюю величину - 6371 . 10(3) м, то получим V1 равной 7,91 км/с.

Чем больше космическая скорость будет превышать данную величину, тем более вытянутую форму будет приобретать орбита, удаляясь от Земли на все большее расстояние. В какой-то момент эта орбита разорвется, примет форму параболы, и космический аппарат отправится бороздить космические просторы. Для того чтобы покинуть планету, у корабля должна быть вторая космическая скорость. Ее можно рассчитать по формуле V2=√2µ/r. Для нашей планеты эта величина равна 11,2 км/с.

Астрономы давно уже определили, чему равна космическая скорость, как первая, так и вторая, для каждой планеты нашей родной системы. Их несложно рассчитать по вышеприведенным формулам, если заменить константу µ на произведение fM, в котором M - масса интересующего небесного тела, а f - постоянная тяготения (f= 6,673 х 10(-11) м3/(кг х с2).

Третья космическая скорость позволит любому преодолеть тяготение Солнца и покинуть родную Солнечную систему. Если рассчитывать ее относительно Солнца, то получится значение 42,1 км/с. А для того чтобы с Земли выйти на околосолнечную орбиту, понадобится разогнаться до 16,6 км/с.

Ну и, наконец, четвертая по счету космическая скорость. С ее помощью можно преодолеть притяжение непосредственно самой галактики. Ее величина варьируется в зависимости от координат галактики. Для нашего эта величина составляет примерно 550 км/с (если рассчитывать относительно Солнца).

Для определения двух характерных «космических» скоростей, связанных с размерами и полем тяготения некоторой планеты. Планету будем считать одним шаром.

Рис. 5.8. Различные траектории движения спутников вокруг Земли

Первой космической скоростью называют такую горизонтально направленную минимальную скорость, при которой тело могло бы двигаться вокруг Земли по круговой орбите, то есть превратиться в искусственный спутник Земли.

Это, конечно идеализация, во-первых планета не шар, во-вторых, если у планеты есть достаточно плотная атмосфера, то такой спутник - даже если его удастся запустить - очень быстро сгорит. Другое дело, что, скажем спутник Земли, летающий в ионосфере на средней высоте над поверхностью в 200 км имеет радиус орбиты отличающийся от среднего радиуса Земли всего, примерно, на 3 %.

На спутник, движущийся по круговой орбите радиусом (рис. 5.9), действует сила притяжения Земли, сообщающая ему нормальное ускорение

Рис. 5.9. Движение искусственного спутника Земли по круговой орбите

По второму закону Ньютона имеем

Если спутник движется недалеко от поверхности Земли, то

Поэтому для на Земле получаем

Видно,что действительно определяется параметрами планеты:её радиусом и массой.

Период обращения спутника вокруг Земли равен

где - радиус орбиты спутника, а - его орбитальная скорость.

Минимальное значение периода обращения достигается при движении по орбите, радиус которой равен радиусу планеты:

так что первую космическую скорость можно определить и так: скорость спутника на круговой орбите с минимальным периодом обращения вокруг планеты.

Период обращения растет с увеличением радиуса орбиты.

Если период обращения спутника равен периоду обращения Земли вокруг своей оси и их направления вращения совпадают, а орбита расположена в экваториальной плоскости, то такой спутник называется геостационарным .

Геостационарный спутник постоянно висит над одной и той же точкой поверхности Земли (рис. 5.10).

Рис. 5.10. Движение геостационарного спутника

Для того чтобы тело могло выйти из сферы земного притяжения, то есть могло удалиться на такое расстояние, где притяжение к Земле перестает играть существенную роль, необходима вторая космическая скорость (рис. 5.11).

Второй космической скоростью называют наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической, то есть чтобы тело могло превратиться в спутник Солнца.

Рис. 5.11. Вторая космическая скорость

Для того чтобы тело (при отсутствии сопротивления среды) могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы кинетическая энергия тела на поверхности планеты была равна (или превосходила) работу, совершаемую против сил земного притяжения. Напишем закон сохранения механической энергии Е такого тела. На поверхности планеты, конкретно - Земли

Скорость получится минимальной,если на бесконечном удалении от планеты тело будет покоиться

Приравнивая эти два выражения,получаем

откуда для второй космической скорости имеем

Для сообщения запускаемому объекту необходимой скорости (первой или второй космической) выгодно использовать линейную скорость вращения Земли, то есть запускать его как можно ближе к экватору, где эта скорость составляет, как мы видели, 463 м/с (точнее 465,10 м/с). При этом направление запуска должно совпадать с направлением вращения Земли - с запада на восток. Легко подсчитать, что таким способом можно выиграть несколько процентов в энергетических затратах.

В зависимости от начальной скорости , сообщаемой телу в точке бросания А на поверхности Земли, возможны следующие виды движения (рис. 5.8 и 5.12):

Рис. 5.12. Формы траектории частицы в зависимости от скорости бросания

Совершенно аналогично рассчитывается движение в гравитационном поле любого другого космического тела,например, Солнца. Чтобы преодолеть силу притяжения светила и покинуть Солнечную систему,объекту,покоящемусю относительно Солнца и находящемуся от него на расстоянии, равном радиусу земной орбиты (см. выше), необходимо сообщить минимальную скорость , определяемую из равенства

где , напомним, это радиус земной орбиты, а - масса Солнца.

Отсюда следует формула, аналогичная выражению для второй космической скорости, где надо заменить массу Земли на массу Солнца и радиус Земли на радиус земной орбиты:

Подчеркнем, что - это минимальная скорость, которую надо придать неподвижному телу, находящемуся на земной орбите, чтобы оно преодолело притяжение Солнца.

Отметим также связь

с орбитальной скоростью Земли . Эта связь, как и должно быть - Земля спутник Солнца, такая же, как и между первой и второй космическими скоростями и .

На практике мы запускаем ракету с Земли, так что она заведомо участвует в орбитальном движении вокруг Солнца. Как было показано выше, Земля движется вокруг Солнца с линейной скоростью

Ракету целесообразно запускать в направлении движения Земли вокруг Солнца.

Скорость, которую необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно навсегда покинуло пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью .

Скорость зависит от того, в каком направлении космический корабль выходит из зоны действия земного притяжения. При оптимальном запуске эта скорость составляет приблизительно = 6,6 км/с.

Понять происхождение этого числа можно также из энергетических соображений. Казалось бы, достаточно ракете сообщить относительно Земли скорость

в направлении движения Земли вокруг Солнца, и она покинет пределы Солнечной системы. Но это было бы правильно, если бы Земля не имела собственного поля тяготения. Такую скорость тело должно иметь, уже удалившись из сферы земного притяжения. Поэтому подсчет третьей космической скорости очень похож на вычисление второй космической скорости, но с дополнительным условием - тело на большом расстоянии от Земли должно все еще иметь скорость :

В этом уравнении мы можем выразить потенциальную энергию тела на поверхности Земли (второе слагаемое в левой части уравнения) через вторую космическую скорость в соответствии с полученной ранее формулой для второй космической скорости

Отсюда находим

Дополнительная информация

http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г. - стр. 325–332 (§61, 62): выведены формулы для всех космических скоростей (включая третью), решены задачи о движении космических аппаратов, законы Кеплера выведены из закона всемирного тяготения.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1986/04/polet_k_solncu.html - Журнал «Квант» - полет космического аппарата к Солнцу (А. Бялко).

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1981/12/zvezdnaya_dinamika.html - журнал «Квант» - звездная динамика (А.Чернин).

http://www.plib.ru/library/book/17005.html - Стрелков С.П. Механика Изд. Наука 1971 г. - стр. 138–143 (§§ 40, 41): вязкое трение, закон Ньютона.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1997/06/kv0697sambelashvili.pdf - журнал «Квант» - гравитационная машина (А. Самбелашвили).

http://publ.lib.ru/ARCHIVES/B/""Bibliotechka_""Kvant""/_""Bibliotechka_""Kvant"".html#029 - А.В. Бялко «Наша планета - Земля». Наука 1983 г., гл. 1, пункт 3, стр. 23–26 - приводится схема положения солнечной системы в нашей галактике, направления и скорости движения Солнца и Галактики относительно реликтового излучения.

02.12.2014

Урок 22 (10 класс)

Тема. Искусственные спутники Земли. Развитие космонавтики.

О движении бросаемых тел

В 1638 г. в Лейдене вышла книга Галилея «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки». Четвертая глава этой книги называлась «О движении бросаемых тел». Не без труда удалось ему убедить людей в том, что в безвоздушном пространстве «крупинка свинца должна падать с такой же быстротой, как пушечное ядро». Но когда Галилей поведал миру о том, что ядро, вылетевшее из пушки в горизонтальном направлении, находится в полете столько же времени, что и ядро, просто выпавшее из ее жерла на землю, ему не поверили. Между тем это действительно так: тело, брошенное с некоторой высоты в горизонтальном направлении, движется до земли в течение такого же времени, как если бы оно просто упало с той же высоты вертикально вниз.
Чтобы убедиться в этом, воспользуемся прибором, принцип действия которого иллюстрирует рисунок 104, а. После удара молоточком М по упругой пластине П шарики начинают падать и, несмотря на различие в траекториях, одновременно достигают земли. На рисунке 104, б изображена стробоскопическая фотография падающих шариков. Для получения этой фотографии опыт проводили в темноте, а шарики через равные интервалы времени освещали яркой вспышкой света. При этом затвор фотоаппарата был открыт до тех пор, пока шарики не упали на землю. Мы видим, что в одни и те же моменты времени, когда происходили вспышки света, оба шарика находились на одной и той же высоте и столь же одновременно они достигли земли.

Время свободного падения с высоты h (вблизи поверхности Земли) может быть найдено по известной из механики формуле s=аt2/2 . Заменяя здесь s на h и а на g , перепишем эту формулу в виде

откуда после несложных преобразований получим

Такое же время будет находиться в полете и тело, брошенное с той же высоты в горизонтальном направлении. В этом случае, согласно Галилею, «к равномерному беспрепятственному движению присоединяется другое, вызываемое силой тяжести, благодаря чему возникает сложное движение, слагающееся из равномерного горизонтального и естественно ускоренного движений».
За время, определяемое выражением (44.1), двигаясь в горизонтальном направлении со скоростью v0 (т. е. с той скоростью, с которой оно было брошено), тело переместится по горизонтали на расстояние

Из этой формулы следует, что дальность полета тела, брошенного в горизонтальном направлении, пропорциональна начальной скорости тела и возрастает с увеличением высоты бросания.
Чтобы выяснить, по какой траектории движется в этом случае тело, обратимся к опыту. Присоединим к водопроводному крану резиновую трубку, снабженную наконечником, и направим струю воды в горизонтальном направлении. Частицы воды при этом будут двигаться точно так же, как и брошенное в том же направлении тело. Отворачивая или, наоборот, заворачивая кран, можно изменить начальную скорость струи и тем самым дальность полета частиц воды (рис. 105), однако во всех случаях струя воды будет иметь форму параболы . Чтобы убедиться в этом, позади струи следует поставить экран с заранее начерченными на нем параболами. Струя воды будет точно соответствовать изображенным на экране линиям.

Итак, свободно падающее тело, начальная скорость которого горизонтальна, движется по параболической траектории.
По параболе будет двигаться тело и в том случае, когда оно брошено под некоторым острым углом к горизонту. Дальность полета в этом случае будет зависеть не только от начальной скорости, но и от угла, под которым она была направлена. Проводя опыты со струей воды, можно установить, что наибольшая дальность полета при этом достигается тогда, когда начальная скорость составляет с горизонтом угол 45° (рис. 106).

При больших скоростях движения тел следует учитывать сопротивление воздуха. Поэтому дальность полета пуль и снарядов в реальных условиях оказывается не такой, как это вытекает из формул, справедливых для движения в безвоздушном пространстве. Так, например, при начальной скорости пули 870 м/с и угле 45° в отсутствие сопротивления воздуха дальность полета составила бы примерно 77 км, между тем как в действительности она не превышает 3,5 км.

Первая космическая скорость

Вычислим скорость, которую надо сообщить искусственному спутнику Земли, чтобы он двигался по круговой орбите на высоте h над Землей.
На больших высотах воздух сильно разрежен и оказывает незначительное сопротивление движущимся в нем телам. Поэтому можно считать, что на спутник действует только гравитационная сила , направленная к центру Земли (рис.4.4 ).

По второму закону Ньютона .
Центростремительное ускорение спутника определяется формулой , где h - высота спутника над поверхностью Земли. Сила же, действующая на спутник, согласно закону всемирного тяготения определяется формулой , где M - масса Земли.
Подставив значения F и a в уравнение для второго закона Ньютона, получим

Из полученной формулы следует, что скорость спутника зависит от его расстояния от поверхности Земли: чем больше это расстояние, тем с меньшей скоростью он будет двигаться по круговой орбите. Примечательно то, что эта скорость не зависит от массы спутника. Значит, спутником Земли может стать любое тело, если ему сообщить определенную скорость. В частности, при h =2000 км=2 10 6 м скорость v≈ 6900 м/с.
Минимальная скорость, которую надо сообщить телу на поверхности Земли, чтобы оно стало спутником Земли, движущимся по круговой орбите, называется первой космической скоростью .
Первую космическую скорость можно найти по формуле (4.7), если принять h =0:

Подставив в формулу (4.8) значение G и значения величин M и R для Земли, можно вычислить первую космическую скорость для спутника Земли:

Если такую скорость сообщить телу в горизонтальном направлении у поверхности Земли, то при отсутствии атмосферы оно станет искусственным спутником Земли, обращающимся вокруг нее по круговой орбите.
Такую скорость спутникам способны сообщать только достаточно мощные космические ракеты. В настоящее время вокруг Земли обращаются тысячи искусственных спутников.
Любое тело может стать искусственным спутником другого тела (планеты), если сообщить ему необходимую скорость.

Движение искусственных спутников

В работах Ньютона можно найти замечательный рисунок, показывающий, как можно осуществить переход от простого падения тела по параболе к орбитальному движению тела вокруг Земли (рис. 107). «Брошенный на землю камень,- писал Ньютон,- отклонится под действием тяжести от прямолинейного пути и, описав кривую траекторию, упадет наконец на Землю. Если его бросить с большей скоростью, то он упадет дальше». Продолжая эти рассуждения, нетрудно прийти к выводу, что если бросить камень с высокой горы с достаточно большой скоростью, то его траектория могла бы стать такой, что он вообще никогда не упал бы на Землю, превратившись в ее искусственный спутник .

Минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы превратить его в искусственный спутник, называется первой космической скоростью .
Для запуска искусственных спутников применяют ракеты, поднимающие спутник на заданную высоту и сообщающие ему в горизонтальном направлении требуемую скорость. После этого спутник отделяется от ракеты-носителя и продолжает дальнейшее движение лишь под действием гравитационного поля Земли. (Влиянием Луны, Солнца и других планет мы здесь пренебрегаем.) Ускорение, сообщаемое этим полем спутнику, есть ускорение свободного падения g . С другой стороны, поскольку спутник движется по круговой орбите, это ускорение является центростремительным и поэтому равно отношению квадрата скорости спутника к радиусу его орбиты. Таким образом,

Откуда

Подставляя сюда выражение (43.1), получаем

Мы получили формулу круговой скорости спутника , т. е. такой скорости, которую имеет спутник, двигаясь по круговой орбите радиусомr на высоте h от поверхности Земли.
Чтобы найти первую космическую скорость v1 , следует учесть, что она определяется как скорость спутника вблизи поверхности Земли, т. е. когда h< и r≈R3 . Учитывая это в формуле (45.1), получаем