Формула для определения площади. Как вычислить площадь фигуры

Урок на тему: "Формулы определения площади треугольника, прямоугольника, квадрата"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 5 класса
Тренажер к учебнику И.И.Зубаревой и А.Г.Мордковича
Тренажер к учебнику Г.В.Дорофеева и Л.Г.Петерсона

Определение и понятие площади фигуры

Тогда площадь фигуры равна 12 квадратным сантиметрам. В математике площадь обозначается латинской буквой S.
Значит, площадь нашей фигуры равна: S фигуры = 12 см 2 .

Площадь фигуры равна площади всех маленьких квадратиков, из которых она состоит!

Ребята, запомните!
Площадь измеряется квадратными единицами длины. Единицы измерения площади:
1. Квадратный километр - км 2 (когда площади очень большие, например, страна или море).
2. Квадратный метр - м 2 (вполне подходит для того, чтобы измерять площадь участка или квартиры).
3. Квадратный сантиметр - см 2 (обычно используется на уроках математики, когда рисуют фигуры в тетради).
4. Квадратный миллиметр - мм 2 .

Площадь треугольника

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника необходимо знать длину основания и высоту. В прямоугольном треугольнике высоту заменяет одна из сторон. Поэтому в формулу площади треугольника вместо высоты подставляем одну из сторон.
В нашем примере стороны равны 7 см и 4 см. Формула для расчета площади треугольника записывается так:
S прямоугольного треугольника АВС = ВС * СА: 2

S прямоугольного треугольника АВС = 7 см * 4 см: 2 = 14 см 2

Теперь рассмотрим произвольный треугольник.

Для такого треугольника необходимо провести высоту к основанию.
В нашем примере высота равна 6 см, а основание равно 8 см. Как и в предыдущем примере, рассчитываем площадь по формуле:
S произвольного треугольника АВС = ВС * h: 2.

Подставим в формулу наши данные и получим:
S произвольного треугольника АВС = 8 см * 6 см: 2 = 24 см 2 .

Площадь прямоугольника и квадрата

S прямоугольника АВСD = 8 см * 5 см = 40 см 2 .

Теперь рассчитаем площадь квадрата. В отличии от прямоугольника и треугольника, для нахождения площади квадрата необходимо знать только одну сторону. В нашем примере сторона квадрата ABCD равна 9 см. S квадрата АВСD = АВ * ВС = АВ 2 .

Подставим в формулу наши данные и получим:
S квадрата АВСD = 9 см * 9 см = 81 см 2 .

Чтобы решить задачи по геометрии, надо знать формулы - такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма - а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Для начала выучим формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте!

Конечно, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задач по геометрии и стереометрии во второй части профильного ЕГЭ по математике применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем.

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ.

1. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём - разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь - как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: .

2. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: .

3. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора - части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

Инструкция

Удобно действовать, если ваша фигура - многоугольник. Вы всегда сможете разбить его на конечное число , и вам достаточно помнить одну только формулу - площади треугольника. Итак, треугольника – это половина от произведения длины его стороны на длину высоты, проведенной к этой самой стороне. Суммировав площади отдельных треугольников, в которые вашей волей преобразована более сложная , вы узнаете искомый результат.

Сложнее решить задачку с определением площади произвольной фигуры. У такой фигуры могут быть не только , но и криволинейные границы. Есть способы для приблизительного вычисления. Простые.

Во-первых, вы можете использовать палетку. Это инструмент из прозрачного материала с нанесенной на его поверхность сеткой квадратов или треугольников с известной площадью. Наложив палетку поверх фигуры, для которой ищете площадь, вы пересчитываете число ваших единиц измерения, которые перекрывают изображение. Сочетайте неполностью закрытые единицы измерения друг с другом, дополняя их в уме до полных. Далее, умножив площадь одной фигуры палетки на число, которое подсчитали, вы узнаете приблизительную площадь вашей произвольной фигуры. Понятно, что чем более частая сетка нанесена на вашей палетке, тем точнее ваш результат.

Во-вторых, вы можете внутри границ произвольной фигуры, для которой определяете площадь, очертить максимальное число треугольников. Определить площадь каждого и сложить их площади. Это будет очень приблизительный результат. Если вы желаете, то можете также раздельно определить площадь сегментов, ограниченных дугами. Для этого представьте себе, что сегмент - часть от . Постройте этот круг, а после от его центра проведите радиусы к краям дуги. Отрезки образуют между собой угол α. Площадь всего определяется по π*R^2*α/360. Для каждой более мелкой части вашей фигуры вы определяете площадь и получаете общий результат, сложив полученные значения.

Третий способ сложнее, но точнее и для кого-то, проще. Площадь любой фигуры можно определить с помощью интегрального . Определенный функции показывает площадь от графика функции до абсциссы. Площадь заключенную между двумя графиками, можно определить вычитанием определенного интеграла, с меньшим значением, из интеграла в тех же границах, но с большим значением. Для использования этого метода удобно перенести вашу произвольную фигуру в систему координат и далее определить их функции и действовать методами высшей математики, в которую здесь и сейчас углубляться не станем.

В этой статье мы разберемся, как вычислить площадь фигуры.

Сравнить площади разных фигур можно способом наложения. Посмотрите на рисунок. Мы видим две фигуры: треугольник и прямоугольник. Для того, чтобы их сравнить мы можем наложить меньшую фигуру на большую. Треугольник полностью поместился в прямоугольнике, это значит, что треугольник меньше прямоугольника.

Но не всегда можно сравнить площади фигур таким способом. Тогда можно разбить фигуру на равные квадраты и посчитать количество квадратов входящих в эту фигуру.

На рисунке изображено две фигуры. Путем наложения эти фигуры сравнить невозможно. Мы разбили эти фигуры на квадраты с одинаковой площадью. Теперь можно посчитать количество квадратов входящих в эти фигуры. В первую фигуру вписалось 6 квадратов, а во вторую 8. Значит площадь первой фигуры меньше площади второй.

Фигуры равна числу единичных квадратов, составляющих эту фигуру.

Если у квадрата сторона равна 1 см, то площадь такого квадрата равна 1 квадратному сантиметру (см 2) .

Площадь квадрата сторона которого равна 1 дециметр равна 1 квадратному дециметру (дм 2) или 100 квадратным сантиметрам(см 2).

Площадь фигуры обозначается заглавной латинской буквой S.

Допустим нам надо найти площадь прямоугольника, длины сторон которого равны 6 и 4 см. Разделим прямоугольник на квадратные сантиметры и вычислим его площадь.

Итак, умножим длину прямоугольника на его ширину и получим площадь:

S = 6 × 4 = 24 см 2

Чтобы вычислить , надо измерить его длину и ширину в одинаковых единицах измерения и найти их произведение.

Если известна площадь прямоугольника и ширина, то найти длину просто, надо разделить площадь на известную длину.

Д = S ÷ Ш

или

Ш = S ÷ Д

Например, площадь прямоугольника равна 15 см 2 . Длина прямоугольника равна 5 см. Найдем его ширину:

Ш = 15 ÷ 5 = 3 см

Если фигура сложная, например, такая как на рисунке, то вычислить её площадь можно разбив фигуру на прямоугольники, вычислить их площадь, а затем сложить полученные площади.

Итак нашу фигуру мы можем разбить на два прямоугольника: первый площадью 2 см 2 , и второй площадью 8 см 2:

S = 2 × 1 + 4 × 2 = 10 см 2

А как найти . Для этого надо достроить треугольник до прямоугольника, так как показано на рисунке.

Теперь найдем площадь полученного прямоугольника и разделим её пополам:

S = (3 × 6) ÷ 2 = 9 см 2

Кажется все просто, когда треугольник прямоугольный. Если у треугольника нет прямого угла, то вычислить его площадь можно следующим образом:

На следующем рисунке мы видим треугольник, площадь которого нам надо вычислить, он выделен желтым цветом. Впишем его в прямоугольник, так как показано на рисунке. Длина полученного прямоугольна – 5 см. Ширина – 4 см. Вершина треугольника делит длину прямоугольника на части в 3 и 2 см.

Теперь для того, чтобы найти площадь нашего треугольника, надо вычислить площади двух полученных прямоугольных треугольников и сложить их:

S1 = (3 × 4) ÷ 2 = 6 см 2

S2 = (2 × 4) ÷ 2 = 4 см 2

S = S1 + S2 = 6 + 4 = 10 см 2

Существует бесконечное количество плоских фигур самой разной формы, как правильных, так и неправильных. Общее свойство всех фигур - любая из них обладает площадью. Площади фигур - это размеры части плоскости, занимаемой этими фигурами, выраженные в определенных единицах. Величина эта всегда бывает выражена положительным числом. Единицей измерения служит площадь квадрата, чья сторона равняется единице длины (например, одному метру или одному сантиметру). Приблизительное значение площади любой фигуры можно вычислить, умножив количество единичных квадратов, на которые она разбита, на площадь одного квадрата.

Другие определения данного понятия выглядят следующим образом:

1. Площади простых фигур - скалярные положительные величины, удовлетворяющие условиям:

У равных фигур - равные величины площадей;

Если фигура делится на части (простые фигуры), то ее площадь - сумма площадей данных фигур;

Квадрат, имеющий стороной единицу измерения, служит единицей площади.

2. Площади фигур сложной формы (многоугольников) - положительные величины, имеющие свойства:

У равных многоугольников - одинаковые величины площадей;

В случае, если многоугольник составляют несколько других многоугольников, его площадь равняется сумме площадей последних. Это правило справедливо для неперекрывающихся многоугольников.

В качестве аксиомы принято утверждение, что площади фигур (многоугольников) - положительные величины.

Определение площади круга дается отдельно как величины, к которой стремится площадь вписанного в окружность данного круга - при том, что число его сторон стремится к бесконечности.

Площади фигур неправильной формы (произвольных фигур) не имеют определения, определяются лишь способы их вычисления.

Вычисление площадей уже в древности было важной практической задачей при определении размеров земельных участков. Правила вычисления площадей за несколько сотен лет были сформулированы греческими учеными и изложены в «Началах» Евклида как теоремы. Интересно, что правила определения площадей простых фигур в них - те же, что и в настоящее время. Площади имеющих криволинейный контур, рассчитывались с применением предельного перехода.

Вычисление площадей простых прямоугольника, квадрата), знакомых всем со школьной скамьи, достаточно просто. Необязательно даже запоминать содержащие буквенные обозначения формулы площадей фигур. Достаточно помнить несколько простых правил:

2. Площадь прямоугольника вычисляется умножением его длины на ширину. При этом необходимо, чтобы длина и ширина были выражены в одних и тех же единицах измерения.

3. Площадь сложной фигуры вычисляем, разделив ее на несколько простых и сложив полученные площади.

4. Диагональ прямоугольника делит его на два треугольника, чьи площади равны и равняются половине его площади.

5. Площадь треугольника вычисляется как половина произведения его высоты и основания.

6. Площадь круга равняется произведению квадрата радиуса на всем известное число «π».

7. Площадь параллелограмма вычисляем как произведение смежных сторон и синуса лежащего между ними угла.

8. Площадь ромба - ½ результата умножения диагоналей на синус внутреннего угла.

9. Площадь трапеции находим умножением ее высоты на длину средней линии, которая равняется среднему арифметическому оснований. Другой вариант определения площади трапеции - перемножить ее диагонали и синус лежащего между ними угла.

Детям в начальной школе для наглядности часто даются задания: найти площадь нарисованной на бумаге фигуры с помощью палетки или листа прозрачной бумаги, разграфленной на клеточки. Такой лист бумаги накладывается на измеряемую фигуру, считается число полных клеточек (единиц площади), поместившихся в ее контуре, затем число неполных, которое делится пополам.