Математические модели в экономике и управлении. Математические методы в экономике

Существует значительное разнообразие видов, типов экономико-математических моделей, необходимых для использования в управлении экономическими объектами и процессами. Экономико-математические модели подразделяются на: макроэкономические и микроэкономические в зависимости от уровня моделируемого объекта управления, динамические, которые характеризуют изменения объекта управления во времени, и статические, которые описывают взаимосвязи между разными параметрами, показателями объекта именно в то время. Дискретные модели отображают состояние объекта управления в отдельные, фиксированные моменты времени. Имитационными называют экономико-математические модели, используемые с целью имитации управляемых экономических объектов и процессов с применением средств информационной и вычислительной техники. По типу математического аппарата, применяемого в моделях, выделяются экономико-статистические, модели линейного и нелинейного программирования, матричные модели, сетевые модели.

Факторные модели. В группу экономико-математических факторных моделей входят модели, которые с одной стороны включают экономические факторы, от которых зависит состояние управляемого экономического объекта, а с другой - зависимые от этих факторов параметры состояния объекта. Если факторы известны, то модель позволяет определить искомые параметры. Факторные модели чаще всего предоставлены простыми в математическом отношении линейными или статическими функциями, которые характеризуют связь между факторами и зависимыми от них параметрами экономического объекта.

Балансовые модели. Балансовые модели как статистические, так и динамические широко применяются в экономико-математическом моделировании. В основе создания этих моделей лежит балансовый метод - метод взаимного сопоставления материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них. Описывая экономическую систему в целом, под её балансовой моделью понимают систему уравнений, каждое из которых выражает потребность баланса между изготовленными отдельными экономическими объектами количества продукции и совокупной потребностью в этой продукции. При таком подходе экономическая система состоит из экономических объектов, каждый из которых выпускает некоторый продукт. Если вместо понятия «продукт» ввести понятие «ресурс», то под балансовой моделью необходимо понимать систему уравнений, которые удовлетворяют требования между определенным ресурсом и его использованием.

Наиболее важные виды балансовых моделей:

• · Материальные, трудовые и финансовые балансы для экономики в целом и отдельных ее отраслей;
• · Межотраслевые балансы;
• · Матричные балансы предприятий и фирм.

Оптимизационные модели. Большой класс экономико-математических моделей образуют оптимизационные модели, которые позволяют выбрать из всех решений наилучший оптимальный вариант. В математическом содержании оптимальность понимается как достижение экстремума критерия оптимальности, называемой также целевой функцией. Оптимизационные модели чаще всего используются в задачах нахождения лучшего способа использования экономических ресурсов, что позволяет достичь максимального целевого эффекта. Математическое программирование образовалось на основе решения задачи про оптимальный раскрой листов фанеры, что обеспечивает наиболее полное использование материала. Поставив такую задачу, известный российский математик и экономист академик Л.В. Канторович был признан достойным Нобелевской премии в экономике.

Теория

1.

Модель - это упрощенное представление реального устройства и протекающих в нем процессов, явлений. Моделирование – это процесс создания и исследования моделей. Моделирование облегчает изучение объекта с целью его создания, дальнейшего преобразования и развития. Оно используется для исследования существующей системы, когда реальный эксперимент проводить нецелесообразно из-за значительных финансовых и трудовых затрат, а также при необходимости проведения анализа проектируемой системы, т.е. которая ещё физически не существует в данной организации.

Процесс моделирования включает три элемента: 1) субъект (исследователь), 2) объект исследования, 3) модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Модель имеет следующие функции:

1)средство осмысления реальности 2)средство общения и обучения 3)средство планирования и прогнозирования 3)средство совершенствования (оптимизации) 4)средство выбора (принятия решения)

Во время моделирование знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, исправляются, и моделирование проводится снова. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

2.

Моделирование в экономике – это пояснение социально-экономических систем знаковыми математическими средствами. Практическими задачами экономико-математического моделирования являются: анализ экономических объектов и процессов, экономическое прогнозирование, предсказание развития экономических процессов, подготовка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной деятельности.

Особенностями экономики как объекта моделирования являются:

1) экономика, как сложная система, является подсистемой общества, но, в свою очередь, она состоит из производственной и непроизводственной сфер, которые взаимодействуют между собой;

2)эмерджентность, означающая, что экономические объекты, процессы и явления обладают такими свойствами, какими не обладает ни один из элементов их образующих;

3)вероятностный, неопределенный, случайный характер протекания экономических процессов и явлений;

4) инерционный характер развития экономики, в соответствии с которым законы, закономерности, тенденции, связи, зависимости, имевшие место в прошлом периоде, продолжают действовать некоторое время в будущем.

Все вышеперечисленные и другие свойства экономики усложняют ее изучение, выявление закономерностей, динамических тенденций, связей и зависимостей. Математическое моделирование является тем инструментарием, умелое использование которого позволяет успешно решать проблемы изучения сложных систем, в том числе таких сложных, как экономические объекты, процессы, явления.

3.

Экономическая система это сложная динамическая система, включающая процессы производства, обмена, распределения, перераспределения и потребления благ (система субъектов экономических отношений, взаимодействующих на рынке).

Микроэкономические системы - (корпорации и объединения; предприятия; организации; учреждения; отдельные субъекты экономических отношений).

Макроэкономические системы - (регион; национальная экономика; мировая экономика; система взаимодействующих рынков;)

Методология: отрасль знаний, исследующая условия, принципы, структуру, логическую организацию, способы и методы деятельности.

Механизм: система способов практической направленности, имеющих целью обеспечение практического использования методов и моделей для решения проблем управления экономическими системами.

Метод: совокупность инструментов, направленных на решение определенной проблемы.

Математический метод: способ исследования, направленный на анализ, синтез, оптимизацию или прогнозирование состояния, структуры, функций или поведения экономической системы, последствий и перспектив ее функционирования, управления или развития, использующий формальные методы и аппарат математических исследований.

Математическая модель: математическое описание объекта (процесса или системы), использующаяся в исследовании вместо объекта-оригинала, с целью анализа, определения количественных или логических связей между его частями.

Комплекс математических моделей: совокупность совместно применяющихся математических моделей, которые используют или обмениваются общими данными и направлены на достижение общей цели или решения общей проблемы.

4.

Существует два базовых подхода к моделированию экономики: микроэкономический и макроэкономический. Микроэкономический подход отражает функционирование и структуру отдельных элементов изучаемой системы (так например, при исследовании банковского сектора таким элементом является коммерческий банк) или состояние и развитие отдельных социально-экономических процессов, происходящих в ней, и реализуется, прежде всего, путем разработки прикладных методик анализа результатов деятельности. Так, например, применительно к банку - это анализ ликвидности банка, оценка банковских рисков и т.д. Задачи в рамках микроэкономического подхода реализуются также путем разработки специальных экономико-математических моделей. Макроэкономический подход предполагает анализ специфики функционирования изучаемой системы во взаимосвязи с основными макроэкономическими показателями развития национальной экономики. Применительно к анализу деятельности банковского сектора такой подход состоит в рассмотрении его во взаимодействии с различными сегментами финансового рынка и, соответственно, во взаимосвязи показателей банковского сектора с макроэкономическими показателями хозяйства в целом. В данном случае макроэкономический подход практически может быть реализован посредством построения моделей факторного анализа, таких как факторная модель рынка государственных краткосрочных обязательств, модель рынка ссудных капиталов, а также при построении и оценке прогнозных значений динамики отдельных показателей банковского сектора.

Ряд направлений в моделировании опирается на микроэкономику, ряд – на макроэкономический. Нет четких граней, например, можно сказать, что экономика промышленного предприятия, экономика труда, экономика коммунального хозяйства относятся к микроэкономике, монетарная экономика, инвестиции сфера потребления это макроэкономика, а финансовый рынок, международная торговля экономическое развитие это область перекрытия.

5.

В самом общем виде равновесие в экономике - это сбалансированность и пропорциональность ее основных параметров, иначе говоря, ситуация, когда у участников хозяйственной деятельности нет стимулов к изменению существующего положения.

Рыночное равновесие - ситуация на рынке, когда спрос на товар равен его предложению. Обычно равновесие достигается посредством либо ограничения потребностей (на рынке они всегда выступают в виде платежеспособного спроса), либо увеличения и оптимизации использования ресурсов.

А. Маршалл рассматривал равновесие на уровне отдельного хозяйства или отрасли. Это микроуровень, который характеризует особенности и условия частичного равновесия. Но общее равновесие - это согласованное развитие (соответствие) всех рынков, всех секторов и сфер, оптимальное состояние экономики в целом.

Причем равновесие системы нац. хозяйства это не только рыночное равновесие. Т.к. нарушения в сфере производства неизбежно ведут к неравновесности на рынках. И в реальной действительности экономика испытывает влияние других, нерыночных факторов (войны, социальные волнения, погода, демографические сдвиги).

Проблему рыночного равновесия анализировали Дж. Робинсон, Э. Чемберлин, Дж. Кларк. Однако пионером в исследовании этого вопроса был Л. Вальрас.

Что касается состояния равновесия, то оно, по Вальрасу, предполагает наличие трех условий:

1) спрос и предложение факторов производства равны; на них устанавливается постоянная и устойчивая цена;

2) спрос и предложение товаров (и услуг) также равны и реализуются на основе постоянных, устойчивых цен;

3) цены товаров соответствуют издержкам производства.

Различают три вида рыночного равновесия: мгновенное, краткосрочное и долгосрочное, через которые последовательно проходит предложение в процессе увеличения его эластичности в ответ на возрастание спроса.

6.

ЗАКРЫТАЯ ЭКОНОМИКА - модель замкнутой экономической системы, ориентированной на исключительное использование собственных ресурсов и отказ от внешнеэкономических связей. Эта модель реализовалась, как правило, в условиях подготовки к войне или войны. В частности, к ней приближались экономика фашистской Германии, довоенная экономика СССР.

Закрытая экономика это экономика, отгороженная от мирового экономического сообщества высоким уровнем таможенных пошлин и нетарифных барьеров. Все большее число развивающихся стран переходит от закрытой к открытой экономике. Закрытой остается пока еще экономика некоторые страны бедного Юга, в первую очередь, страны Африки южнее Сахары. Экономика этих стран не затронута увеличением международных экономических обменов и движения капиталов. Закрытый характер экономики усиливает глубокую отсталость, которая, в свою очередь, не позволяет им адаптироваться к структурным изменениям на мировых рынках.

ОТКРЫТАЯ ЭКОНОМИКА - экономика страны, тесно связанная с мировым рынком, международным разделением труда. Выступает противоположностью замкнутых систем. Степень открытости характеризуется такими показателями, как: отношение экспорта и импорта к ВВП; движение капитала за границу и из-за границы; обратимость валюты; участие в международных экономических организациях. В современных условиях становится фактором развития национальной экономики, ориентиром на лучшие мировые стандарты.

Многие направления экономической мысли Запада (представители стран открытой экономики) развивало собственную модель открытой экономики. Эта тема остается актуальной и по сей день т.к. модели открытой экономики открывают такой спектр вопросов, как взаимодействие между национальными хозяйствами, сочетание макроэкономической и внешнеэкономической политики, а в случае ее неравновесного уровня - вопрос выработки собственной стабилизационной политики.

Модели закрытой и открытой экономики:

Принципиальная неравновесность экономики (неравномерность развития)

Государственное вмешательство (протекционизм и антидемпинговая политика) и глобализация (борьба за ресурсы)

Импорт и экспорт – признаки открытой экономики

Взаимная зависимость стран (международное разделение труда)

Транснациональные корпорации (перетоки капитала)

7.

Разработка технологических моделей – один из самых последовательных методов в макроэкономическом моделировании.

Эти модели непосредственно связывают выпуски и затраты производства с его технологией, позволяют использовать соотношения материального и финансового баланса, проводить прогнозирование, оптимизацию и анализ развития.

Технологические модели могут быть статическими и динамическими .

-Статические модели оперируют постоянными величинами А и В, описывают существующий баланс затрат и выпусков и предназначены для краткосрочных прогнозов или оптимизации (например, модель МОБ Леонтьева)

- Динамические модели включают динамику цен (и возможно – автономный тех.прогресс), дают возможность исследовать экономический рост и устойчивость экономики (модель фон Неймана, Моришимы и др. )

Вместе с тем технологическому подходу присущ ряд недостатков: в технологических моделях обычно не рассматривается: -Географическое положение объекта; -Реальный технический прогресс; -Динамика цен; -Ограниченность трудовых ресурсов и т.п.

Модель фон Неймана - это модель расширяющейся экономики , в которой все выпуски и затраты возрастают в одинаковой пропорции. Модель замкнута, то есть все выпуски одного периода становятся затратами следующего периода. Также в ней не используются первичные факторы и потребление рассматривается как затраты в технологическом процессе, поэтому все затраты являются воспроизводимыми, и нет необходимости рассматривать первичные ресурсы.

Допущения модели: Реальный уровень зарплаты соответствует прожиточному минимуму и весь избыточный доход реинвестируется; Реальный уровень зарплаты задан и доходы имеют остаточную природу; Нет различий между первичными факторами производства и объемами производства; Нет “исходных” факторов производства, таких как труд в традиционной теории.

Модель описывает экономику, характеризуемую линейной технологией производственных процессов.

МПС Российской федерации

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

Челябинский Институт Путей Сообщения

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу: “Экономико-математическое моделирование"

Тема: “Математические модели в экономике"

Выполнил:

Шифр:

Адрес:

Проверил:

Челябинск 200_ г.

Введение

Создание и сохранение отчетов

Решение задачи на компьютере

Литература

Введение

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако, методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

Целью математического моделирования экономических систем является использование методов математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в сфере экономики, с использование, как правило, современной вычислительной техники.

Процесс решения экономических задач осуществляется в несколько этапов:

Содержательная (экономическая) постановка задачи. Вначале нужно осознать задачу, четко сформулировать ее. При этом определяются также объекты, которые относятся к решаемой задаче, а также ситуация, которую нужно реализовать в результате ее решения. Это - этап содержательной постановки задачи. Для того, чтобы задачу можно было описать количественно и использовать при ее решении вычислительную технику, нужно произвести качественный и количественный анализ объектов и ситуаций, имеющих к ней отношение. При этом сложные объекты, разбиваются на части (элементы), определяются связи этих элементов, их свойства, количественные и качественные значения свойств, количественные и логические соотношения между ними, выражаемые в виде уравнений, неравенств и т.п. Это - этап системного анализа задачи, в результате которого объект оказывается представленным в виде системы.

Следующим этапом является математическая постановка задачи, в процессе которой осуществляется построение математической модели объекта и определение методов (алгоритмов) получения решения задачи. Это - этап системного синтеза (математической постановки) задачи. Следует заметить, что на этом этапе может оказаться, что ранее проведенный системный анализ привел к такому набору элементов, свойств и соотношений, для которого нет приемлемого метода решения задачи, в результате приходится возвращаться к этапу системного анализа. Как правило, решаемые в экономической практике задачи, стандартизованы, системный анализ производится в расчете на известную математическую модель и алгоритм ее решения, проблема состоит лишь в выборе подходящего метода.

Следующим этапом является разработка программы решения задачи на ЭВМ. Для сложных объектов, состоящих из большого числа элементов, обладающих большим числом свойств, может потребоваться составление базы данных и средств работы с ней, методов извлечения данных, нужных для расчетов. Для стандартных задач осуществляется не разработка, а выбор подходящего пакета прикладных программ и системы управления базами данных.

На заключительном этапе производится эксплуатация модели и получение результатов.

Таким образом, решение задачи включает следующие этапы:

2. Системный анализ.

3. Системный синтез (математическая постановка задачи)

4. Разработка или выбор программного обеспечения.

5. Решение задачи.

Последовательное использование методов исследования операций и их реализация на современной информационно-вычислительной технике позволяет преодолеть субъективизм, исключить так называемые волевые решения, основанные не на строгом и точном учете объективных обстоятельств, а на случайных эмоциях и личной заинтересованности руководителей различных уровней, которые к тому же не могут согласовать эти свои волевые решения.

Системный анализ позволяет учесть и использовать в управлении всю имеющуюся информацию об управляемом объекте, согласовать принимаемые решения с точки зрения объективного, а не субъективного, критерия эффективности. Экономить на вычислениях при управлении то же самое, что экономить на прицеливании при выстрелах. Однако ЭВМ не только позволяет учесть всю информацию, но и избавляет управленца от ненужной ему информации, а всю нужную пускает в обход человека, представляя ему только самую обобщенную информацию, квинтэссенцию. Системный подход в экономике эффективен и сам по себе, без использования ЭВМ, как метод исследования, при этом он не изменяет ранее открытых экономических законов, а только учит, как их лучше использовать.

Сложность процессов в экономике требует от человека, принимающего решения, высокой квалификации и большого опыта. Это, однако, не гарантирует ошибок, дать быстрый ответ на поставленный вопрос, провести экспериментальные исследования, невозможные или требующие больших затрат и времени на реальном объекте, позволяет математическое моделирование.

Математическое моделирование позволяет принять оптимальное, то есть наилучшее решение. Оно может незначительно отличаться от грамотно принятого решения без применения математического моделирования (около 3%). Однако при больших объемах производства такая "незначительная" ошибка может привести к огромным потерям.

Математические методы, применяемые для анализа математической модели и принятия оптимального решения, весьма сложны и их реализация без применения ЭВМ затруднительна. В составе программ Excel и Mathcad имеются средства, позволяющие провести математический анализ и найти оптимальное решение.

Часть № 1 "Исследование математической модели"

Постановка задачи.

На предприятии имеется возможность выпуска продукции 4-х видов. Для выпуска единицы продукции каждого вида необходимо затратить определенное количество трудовых, финансовых, сырьевых ресурсов. В наличии имеется ограниченное количество каждого ресурса. Реализация единицы продукции приносит прибыль. Значения параметров приведены в таблице 1. Дополнительное условие: финансовые затраты на производство продукций №2 и №4 не должны превышать 50р. (каждого вида).

На основе математического моделирования средствами Excel определить, какую продукцию и в каких количествах целесообразно произвести с точки зрения получения наибольшей прибыли, проанализировать результаты, ответить на вопросы, сделать выводы.

Таблица 1.

Составление математической модели

Целевая функция (ЦФ).

Целевая функция показывает, в каком смысле решение задачи должно быть наилучшим (оптимальным). В нашей задаче ЦФ:

Прибыль → max.

Значение прибыли можно определить по формуле:

Прибыль = кол 1 ∙ пр 1 + кол 2 ∙ пр 2 + кол 3 ∙ пр 3 + кол 4 ∙ пр 4, где кол 1 ,…, кол 4 –

количества выпущенной продукции каждого вида;

пр 1 ,…, пр 4 - прибыли, получаемые от реализации единицы каждого вида продукции. Подставив значения пр 1 ,…, пр 4 ( из табл.1) получим:

ЦФ: 1,7 ∙ кол 1 + 2,3 ∙ кол 2 + 2 ∙ кол 3 + 5 ∙ кол 4 → max (1)

Ограничения (ОГР).

Ограничения устанавливают зависимости между переменными. В нашей задаче ограничения накладываются на использование ресурсов, количества которых ограничены. Количество сырья, которое необходимо для производства всей продукции, можно подсчитать по формуле:

Сырьё = с 1 ∙ кол 1 + с 2 ∙ кол 2 + с 3 ∙ кол 3 + с 4 ∙ кол 4, где с 1 ,…, с 4 –

количества сырья, необходимые для выпуска единицы каждого вида продукции. Общее количество использованного сырья не может превышать имеющего в наличии ресурса. Подставив значения из табл.1, получим первое ограничение - по сырью:

1,8 ∙ кол 1 + 1,4 ∙ кол 2 + 1 ∙ кол 3 + 0,15 ∙ кол 4 ≤ 800 (2)

Аналогично запишем ограничения по финансам и трудозатратам:

0,63 ∙ кол 1 + 0,1 ∙ кол 2 + 1 ∙ кол 3 + 1,7 ∙ кол 4 ≤ 400 (3)

1,1 ∙ кол 1 + 2,3 ∙ кол 2 + 1,6 ∙ кол 3 + 1,8 ∙ кол 4 ≤ 1000 (4)

Граничные условия (ГРУ).

Граничные условия показывают, в каких пределах могут изменяться искомые переменные. В нашей задаче это финансовые затраты на производство продукций №2 и №4 согласно условию:

0,1 ∙ кол 2 ≤ 50 р.; 1,7 ∙ кол 4 ≤ 50 р. ( 5)

С другой стороны мы должны ввести, что количество продукции должно быть больше или равно нулю. Это очевидное для нас, но необходимое компьютеру условие:

кол 1 ≥ 0; кол 2 ≥ 0; кол 3 ≥ 0; кол 4 ≥ 0. ( 6)

Поскольку все искомые переменные (кол 1 ,…, кол 4 ) входят в соотношение 1-7 в первой степени и над ними производятся только действия суммирования и умножения на постоянные коэффициенты, то модель является линейной.

Решение задачи на компьютере.

Включаем компьютер. Перед входом в сеть задаем имя пользователя ZA, с паролем А. Загружаем программу Excel . Сохраняем файл под именем Лидовицкий Кулик. х ls . в папке Эк/к 31 (2). Создаем верхний колонтитул: слева - дата, в центре имя файла, справа имя листа.

Создаем и форматируем заголовок и таблицу исходных данных (таблица 1). Заносим в таблицу данные согласно варианту задачи.

Создаем и форматируем таблицу для расчета. В ячейки "Количество" заносим начальные значения. Их выбираем близкими к ожидаемому результату. Мы не имеем предварительной информации и поэтому выберем их равными 1. Это позволит легко проконтролировать вводимые формулы.

В строку "Трудозатраты" вносим слагаемые формулы (4) - произведения количества продукции на количество трудозатрат, необходимые для производства единицы продукции:

для продукции №1 (=С15*С8);

продукции №2 (=D15*D8);

продукции №3 (=E15*E8);

продукции №4 (=F15*F8).

В графе “ИТОГО” находим сумму содержимого этих ячеек при помощи кнопки автосуммирования Σ. В графе “Остаток” находим разницу между содержимым ячеек “Ресурс-Трудозатраты” таблицы 1 и “ИТОГО-Трудозатраты" (=G8-G17). Аналогично заполняем графы "Финансы" (=G9-G18) и "Сырье" (=G10-G19).

В ячейке “Прибыль” вычисляем прибыль по левой части формулы (1). При этом воспользуемся функцией =СУММПРОИЗВЕД (С15: F15; C11: F11).

Присваиваем ячейкам, содержащим итоговые прибыль, финансовые, трудовые и сырьевые затраты, а также количества продукции, имена, соответственно: "Прибыль", "Финансы", "Трудозатраты", "Сырье", "Пр1", "Пр2", "Пр3", "Пр4". Excel включит эти имена в отчеты.

Вызываем диалоговое окно Поиск решения командами Сервис-Поиск решения…

Назначение целевой функции.

Устанавливаем курсор в окно Установить целевую ячейку и щелчком мыши по ячейке "Прибыль" заносим в него ее адрес. Вводим направление целевой функции: Максимальному значению.

Вводим адреса искомых переменных, содержащих количества продукций 1-4, в окно Изменяя ячейки .

Ввод ограничений.

Щелкаем по кнопке Добавить . Появляется диалоговое окно Добавление ограничений . Ставим курсор в окошко Ссылка на ячейку и заносим туда адрес ячейки "Трудозатраты". Открываем список условий и выбираем <=, в поле Ограничение вводим адрес ячейки "Ресурс-Трудозатраты". Щелкаем по кнопке Добавить . В новое окно Добавление ограничений аналогично вводим ограничение по финансам. Щелкаем по кнопке Добавить , вводим ограничение по сырью. Щелкаем по ОК . ввод ограничений закончен. На экране снова появляется окно Поиск решения , в поле Ограничения виден список введенных ограничений.

Ввод граничных условий.

Ввод ГРУ не отличается от ввода ограничений. В окне Добавление ограничений в поле Ссылка на ячейку при помощи мыши вводим адрес ячейки "Фин2". Выбираем знак <=. В поле Ограничение записываем 50. Щелкаем по Добавить . Вводим при помощи мыши адрес ячейки "Фин4". Выбираем знак <=. В поле Ограничение записываем 50. Щелкаем по ОК . возвращаемся в окно Поиск решения . В поле Ограничения виден полный список введенных ОГР и ГРУ (рис.1).

Рисунок 1.

Ввод параметров.

Щелкаем по кнопке Параметры. Появляется окно Параметры поиска решения . В поле Линейная модель ставим флажок. Остальные параметры оставляем без изменения. Щелкаем по ОК (рис.2).

Рисунок 2.

Решение.

В окне Поиск решения щелкаем по кнопке Выполнить . На экране появляется окно Результаты поиска решения . В нем сообщается "Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены".

Создание и сохранение отчетов

Для ответа на вопросы задачи нам понадобятся отчеты. В поле Тип отчета мышью выделяем все типы: "Результаты", "Устойчивость" и "Пределы".

Ставим точку в поле Сохранить найденное решение и щелкаем по ОК . (рис. 3). Excel формирует затребованные отчеты и размещает их на отдельных листах. Открывается исходный лист с расчетом. В графе "Количество" - найденные значения для каждого вида продукции.

Рисунок 3.

Формируем сводный отчет. Копируем и располагаем на одном листе полученные отчеты. Редактируем их, так чтобы все разместить на одной странице.

Оформляем результаты решения графически. Строим диаграммы "Количество продукции" и "Распределение ресурсов".

Для построения диаграммы "Количество продукции" открываем мастер диаграмм и первым шагом выбираем объемный вариант обычной гистограммы. Вторым шагом в окне исходные данные выбираем диапазон данных =Лидовицкий! $C$14: $F$15. Третьим шагом в параметрах диаграммы задаем название диаграммы "Количество продукции". Четвертым шагом размещаем диаграмму на имеющимся листе. Нажатием на кнопку Готово заканчиваем построение диаграммы.

Для построения диаграммы "Распределение ресурсов" открываем мастер диаграмм и первым шагом выбираем трехмерную гистограмму. Вторым шагом в окне исходные данные выбираем диапазон: Лидовицкий! $A$17: $F$19; Лидовицкий! $C$14: $F$14. Третьим шагом в параметрах диаграммы задаем название диаграммы "Распределение ресурсов". Четвертым шагом размещаем диаграмму на имеющимся листе. Нажатием на кнопку Готово заканчиваем построение диаграммы (рис 4).

Рисунок 4.

Данные диаграммы иллюстрируют наилучший, с точки зрения получения наибольшей прибыли, ассортимент продукции и соответствующее распределение ресурсов.

Печатаем лист с таблицами исходных данных, с диаграммами и результатами расчета и лист со сводным отчетом на бумаге.

Анализ найденного решения. Ответы на вопросы

Согласно отчету по результатам.

Максимальная прибыль, которую можно получить при соблюдении всех условий задачи, составляет 1292,95 р.

Для этого необходимо выпускать максимально возможное количество продукции № 2 - 172,75 и № 4 - 29,41 единиц с финансовыми затратами не превышающими 50 р. на каждый вид, и продукции № 1 - 188,9 и № 3 - 213,72. При этом ресурсы по трудозатратам, финансам и сырью израсходуются полностью.

Согласно отчету по устойчивости.

Изменение одного из исходных данных не приведет к другой структуре найденного решения, т.е. к другому ассортименту продукции, необходимому для получения максимальной прибыли, если: прибыль от реализации единицы продукции №1 не увеличится более чем на 1,45 и уменьшится не более чем на 0,35. Таким образом:

(1,7 - 0,35) = 1,35 < Прибыль 1 < 3,15 = (1,7 + 1,45)

прибыль от реализации единицы продукции №2 не увеличится более чем на 0,56 и уменьшится не более чем на 1,61. Таким образом:

(2,3 - 1,61) = 0,69 < Прибыль 2 < 2,86 = (2,3 + 0,56)

прибыль от реализации единицы продукции №3 не увеличится более чем на 0,56 и уменьшится не более чем на 0,39. Таким образом:

(2 - 0,39) = 1,61 < Прибыль 3 < 2,56 = (2 + 0,56)

прибыль от реализации единицы продукции №4 может уменьшиться не более чем на 2,81, т.е. на 56,2% и увеличиваться неограниченно. Таким образом: прибыль 4 > 2,19 = (5 - 2,81) ресурс по сырью может быть увеличен на 380,54, т.е. на 47,57% и уменьшен на 210,46, т.е. на 26,31%. Таким образом: 589,54 < С < 1180,54 ресурс по финансам может быть увеличен на 231,38, т.е. на 57,84% и уменьшен на 195,98, т.е. на 48,99%. Таким образом: 204,02 < Ф < 631,38 ресурс по трудозатратам может быть увеличен на 346,45, т.е. на 34,64% и уменьшен на 352,02, т.е. на 35, 20%. Таким образом: 647,98 < ТЗ < 1346,45

Согласно отчету по пределам:

Количество выпускаемой продукции одного из видов может изменяться в пределах от 0 до найденного оптимального значения, это не приведет к изменению ассортимента продукции, необходимого для получения максимальной прибыли. При этом, если на выпускать продукцию №1, то прибыль составит 971,81 р., продукцию №2 - 895,63 р., продукцию №3 - 865,51 р., продукцию №4 - 1145,89 р.

Выводы

Проведенное исследование математической модели и ее последующий анализ позволяет сделать следующие выводы:

Максимально возможную прибыль, составляющую 1292,95 р., при выполнении всех заданных условий и ограничений можно получить, если выпустить продукции №1 - 188,9 единиц, продукции №2 - 172,75 единиц, продукции №3 - 213,72 единиц, продукции №4 - 29,41 единицы.

После выпуска продукции все ресурсы будут истрачены полностью.

Структура найденного решения наиболее сильно зависит от реализации единицы продукции №1 и №3, а также от уменьшения или увеличения всех имеющихся ресурсов.

Часть № 2 "Расчет экономико-математической модели межотраслевого баланса

Теоретические положения.

Балансовый метод - метод взаимного сопоставления финансовых, материальных и трудовых ресурсов и потребностям в них. Балансовая модель экономической системы - это система уравнений, удовлетворяющих требованиям соответствия наличия ресурса и его использования.

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение продукта в отраслевом разрезе, в межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Схема межотраслевого баланса.

Каждая отрасль в балансе является и потребляющей и производящей. Выделяют 4 области баланса (квадранты) имеющих экономическое содержание:

таблица межотраслевых материальных связей, здесь X ij - величины межотраслевых потоков продукции, т.е. стоимость средств производства произведенных в i отрасли и потребных в качестве материальных затрат в j отрасли.

Конечная продукция - это продукция выходящая из сферы производства в область потребления, накопления, на экспорт и т.д.

Условно чистая продукция Zj - это сумма амортизации Cj и чистой продукции (Uj + mj).

Отражает конечное распределение и использование национального дохода. Столбец и строка валовой продукции используется для проверки баланса и составления экономико-математической модели.

Итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли:

(1)

Валовая продукция каждой отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции этой отрасли.

(2)

Просуммируем по всем отраслям уравнения 1:

Аналогично для уравнения 2:

Левая часть это валовый продукт, тогда и правые части приравниваем:

(3)

Постановка задачи.

Имеется четырехотраслевая экономическая система. Определить коэффициенты полных материальных затрат на основе данных: матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор валовой продукции (табл.2).

Таблица 2.

Составление балансовой модели.

Основой экономико-математической модели межотраслевого баланса являются матрицы коэффициентов прямых материальных затрат:

Коэффициент прямых материальных затрат показывает какое количество продукции i отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты для производства единицы продукции j отрасли.

Учитывая выражение 4, выражение 2 можно переписать:

(5)

Вектор валовой продукции.

Вектор конечной продукции.

Матрицу коэффициентов прямых материальных затрат обозначим:

Тогда система уравнений 5 в матричной форме:

(6)

Последнее выражение это модель межотраслевого баланса или модель Леонтьева. При помощи модели можно:

Задав величины валовой продукции Х определить объемы конечной продукции Y:

(7)

где Е - единичная матрица.

Задав величины конечной продукции Y определить значение валовой продукции Х:

(8)

обозначим через В величину (Е-А) - 1 , т.е.

,

то элементы матрицы В будут .

Для каждой i отрасли:

Это коэффициенты полных материальных затрат, показывают какое количество продукции i отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j отрасли.

Для расчета экономико-математической модели межотраслевого баланса с учетом заданных величин:

Матрицы коэффициентов прямых материальных затрат:

Вектора валовой продукции:

Единичную матрицу, соответствующую матрице А примем:

Для расчета коэффициентов полных материальных затрат воспользуемся формулой:

Для определения валовой продукции по всем отраслям, формулой:

Для определения величины межотраслевых потоков продукции (матрица х) определим элементы матрицы х по формуле:

,

где i = 1…n; j = 1…n;

n - количество строк и столбцов квадратной матрицы А.

Для определения вектора условно чистой продукции Z элементы вектора вычисляются по формуле:

Решение задачи на компьютере

Загружаем программу Mathcad .

Создаем файл под именем Lidovitskiy- Kulik . mcd. в папке Эк/к 31 (2).

На основании предварительных установок (шаблона) создаем и форматируем заголовок.

Вводим с соответствующими комментариями (ORIGIN=1 ) заданные матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А и вектор валовой Х продукции (все надписи и обозначения вводим латинским шрифтом, заданные формулы и комментарии должны располагаться либо на уровне, либо выше рассчитываемых значений).

Рассчитываем матрицу коэффициентов полных материальных затрат В. Для этого вычисляем единичную матрицу, соответствующую матрице А. Для этого используем функцию identiti ( cols ( A)).

Рассчитываем матрицу В по формуле:

Определяем объемы валовой продукции по всем отраслям Y по формуле:

Определяем матрицу х величин межотраслевых потоков продукции. Для этого определяем элементы матрицы, задавая комментарии:

i=1. rows (A) j=1. cols (A) x i,j =A i,j ·X j

После этого находим матрицу х .

Рассчитываем вектор условно чистой продукции Z, задав для этого формулу:

Поскольку в балансе Z - это вектор-строка, найдем транспонированный вектор Z T .

Найдем итоговые суммы:

9.11.1 Условно чистой продукции:

9.11.2 Конечной продукции:

9.11.3 Валовой продукции:

Печатаем результаты решения на бумаге.

Межотраслевой баланс производства и распределения продукции

На основании полученных данных составим межотраслевой баланс производства и распределения ресурсов.

Выводы

На основе матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектора валовой продукции определили коэффициенты полных материальных затрат и составили межотраслевой баланс производства и распределения ресурсов.

Определили материальные связи или величины межотраслевых потоков продукции (матрица х ), т.е. стоимость средств производства произведенных в производящей отрасли и потребных в качестве материальных затрат в потребляющей отрасли.

Определили конечную продукцию (Y), т.е. продукцию выходящую из производящей отрасли в потребляющую отрасль.

Определили величину условно чистой продукции по отраслям (Zj; Z T).

Определили конечное распределение валовой продукции (Х). По столбцу и строке валовой продукции проверили баланс (138+697+282+218) =1335.

На основании составленного баланса можно сделать выводы:

итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли.

валовая продукция каждой отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции этой отрасли.

Литература

1. " Математические модели в экономике". Методические указания по выполнению лабораторных и контрольных работ для студентов экономических специальностей заочной формы обучения. Жуковский А.А. ЧИПС УрГУПС. Челябинск. 2001.

2. Гатаулин А.М., Гаврилов Г.В., Сорокина Т. M. и др. Математическое моделирование экономических процессов. - М., Агропромиздат, 1990.

3. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ Под ред.В. В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2001.

4. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. Курицкий Б.Я. СПб: " ВНV - Санкт-Петербург", 1997.

5. Плис А.И., Сливина Н.А. MathCAD 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров. Москва. Финансы и статистика. 2000.

Модель – это, прежде всего, упрощенное представление реального объекта или явления, сохраняющее его основные, существенные черты. Сам процесс разработки модели, т.е. моделирование, может быть осуществлен различными способами, из которых наиболее распространено физическое и математическое моделирование. Однако каждым из этих способов могут быть получены различные модели, поскольку их конкретная реализация зависит от того, какие именно черты реального объекта создатель модели считает основными, главными. Поэтому в инженерной практике и в научных исследованиях могут применяться различные модели одного и того же объекта, поскольку их многообразие позволяет тщательнее изучать самые различные стороны реального объекта или явления.

В инженерной практике и естественных науках широко распространены физические модели, которые отличаются от изучаемого объекта, как правило, меньшими размерами, и служат для проведения экспериментов, результаты которых используются для изучения исходного объекта и для выводов о выборе того или иного варианта его развития либо конструкции, если речь идет о проекте инженерного сооружения. Путь физического моделирования оказывается малопродуктивным для анализа экономических объектов и явлений. В связи с этим основным способом моделирования в экономике является метод математического моделирования , т.е. описание основных особенностей реального процесса с помощью системы математических формул.

Как мы действуем, создавая математическую модель? Какими бывают математические модели? Какие особенности возникают при моделировании экономических явлений? Попытаемся прояснить эти вопросы.

При создании математической модели исходят из реальной задачи. Вначале уясняется ситуация, выявляются важные и второстепенные характеристики, параметры, свойства, качества, связи и т.д. Затем выбирается одна из существующих математических моделей либо создается новая математическая модель для описания изучаемого объекта.

Вводятся обозначения. Записываются ограничения, которым должны удовлетворять переменные величины. Определяется цель – выбирается целевая функция (если это возможно). Не всегда выбор целевой функции однозначен. Возможны ситуации, когда хочется и того, и этого, и еще многого другого… Но различные цели приводят к различным решениям. В этом случае задача относится к классу многокритериальных задач.

Экономика – одна из сложнейших областей деятельности. Экономические объекты могут описываться сотнями, тысячами параметров, многие из которых носят случайный характер. Кроме того, в экономике действует человеческий фактор.

Сложность системы любой природы (технической, биологической, социальной, экономической) определяется количеством входящих в нее элементов, связями между

этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика обладает всеми признаками очень сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природной средой, экономической деятельностью других субъектов, социальными отношениями и т.д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы. Экономика зависит от социального устройства общества, от политики и еще от многих и многих факторов.

Сложностью экономических отношений нередко обосновывали невозможность моделирования экономики, изучения ее средствами математики. И все же моделирование экономических явлений, объектов, процессов возможно. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. Для моделирования экономики применяют не одну модель, а систему моделей. В этой системе есть модели, описывающие разные стороны экономики. Есть модели экономики страны (их называют макроэкономическими), есть модели экономических моделей на отдельно предприятии или даже модель одного экономического события (их называют микроэкономическими). При составлении модели экономики сложного объекта производят так называемое агрегирование. При этом ряд родственных параметров объединяют в один параметр, тем самым общее количество параметров уменьшается. На этом этапе важную роль играют опыт и интуиция. В качестве параметров можно выбрать не все характеристики, а наиболее важные.

После того, как составлена математическая задача, выбирается способ ее решения. На этом этапе, как правило, применяют ЭВМ. После получения решения происходит его сопоставление с реальностью. Если полученные результаты подтверждаются практикой, то модель можно применять и с ее помощью строить прогнозы. Если же ответы, полученные на основе модели, не соответствуют действительности, то модель не годится. Нужно создавать более сложную модель, которая лучше соответствует изучаемому объекту.

Какая модель лучше: простая или сложная? Ответ на этот вопрос не может быть однозначным.

Если модель слишком простая, то она плохо соответствует реальному объекту. Если же модель слишком сложная, то может оказаться так, что при существовании хорошей модели мы не в состоянии на ее основе получить ответ. Может существовать хорошая модель и иметься алгоритм решения соответствующей задачи. Но время решения окажется настолько большим, что все остальные достоинства модели этим будут перечеркнуты. Поэтому при выборе модели нужна «золотая середина».

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин "модель" широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделирование понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Процесс моделирования включает три элемента: 1) субъект (исследователь), 2) объект исследования, 3) модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Пусть имеется или необходимо создать некоторый объект А. Мы конструируем (материально или мысленно) или находим в реальном мире другой объект В - модель объекта А. Этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть оригиналом), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.

Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько "специализированных" моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

На втором этапе процесса моделирования модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение "модельных" экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее "поведении". Конечным результатом этого этапа является множество знаний о модели R.

На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал - формирование множества знаний S об объекте. Этот процесс переноса знаний проводится по определенным правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построении модели. Мы можем с достаточным основанием переносить какой-либо результат с модели на оригинал, если этот результат необходимо связан с признаками сходства оригинала и модели. Если же определенный результат модельного исследования связан с отличием модели от оригинала, то этот результат переносить неправомерно.

Четвертый этап - практическая проверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им.

Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования "погружен" в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

Моделирование - циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

1. Особенности применения метода математиче ского моделирования в экономике

Проникновение математики в экономическую науку связано с преодолением значительных трудностей. В этом отчасти была "повинна" математика, развивающаяся на протяжении нескольких веков в основном в связи с потребностями физики и техники. Но главные причины лежат все же в природе экономических процессов, в специфике экономической науки.

Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система.

Наиболее распространено понимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Важным качеством любой системы является эмерджентность - наличие таких свойств, которые не присущи ни одному из элементов, входящих в систему. Поэтому при изучении систем недостаточно пользоваться методом их расчленения на элементы с последующим изучением этих элементов в отдельности. Одна из трудностей экономических исследований - в том, что почти не существует экономических объектов, которые можно было бы рассматривать как отдельные (внесистемные) элементы.

Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотношениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т.д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъективные факторы.

Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна. Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами исследования.

Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеется, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные границы математической формализуемости экономических проблем, всегда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно.

2. Классификация э кономико-математических моделей

Математические модели экономических процессов и явлений более кратко можно назвать экономико-математическими моделями. Для классификации этих моделей используются разные основания.

По целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые в исследованиях общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач (модели экономического анализа, прогнозирования, управления).

Экономико-математические модели могут предназначаться для исследования разных сторон народного хозяйства (в частности, его производственно-технологической, социальной, территориальной структур) и его отдельных частей. При классификации моделей по исследуемым экономическим процессам и содержательной проблематике можно выделить модели народного хозяйства в целом и его подсистем - отраслей, регионов и т.д., комплексы моделей производства, потребления, формирования и распределения доходов, трудовых ресурсов, ценообразования, финансовых связей и т.д.

Остановимся более подробно на характеристике таких классов экономико-математических моделей, с которыми связаны наибольшие особенности методологии и техники моделирования.

В соответствии с общей классификацией математических моделей они подразделяются на функциональные и структурные, а также включают промежуточные формы (структурно-функциональные). В исследованиях на народнохозяйственном уровне чаще применяются структурные модели, поскольку для планирования и управления большое значение имеют взаимосвязи подсистем. Типичными структурными моделями являются модели межотраслевых связей. Функциональные модели широко применяются в экономическом регулировании, когда на поведение объекта ("выход") воздействуют путем изменения "входа". Примером может служить модель поведения потребителей в условиях товарно-денежных отношений. Один и тот же объект может описываться одновременно и структурой, и функциональной моделью. Так, например, для планирования отдельной отраслевой системы используется структурная модель, а на народнохозяйственном уровне каждая отрасль может быть представлена функциональной моделью.

Выше уже показывались различия между моделями дескриптивными и нормативными. Дискриптивные модели отвечают на вопрос: как это происходит? или как это вероятнее всего может дальше развиваться?, т.е. они только объясняют наблюдаемые факты или дают вероятный прогноз. Нормативные модели отвечают на вопрос: как это должно быть?, т.е. предполагают целенаправленную деятельность. Типичным примером нормативных моделей являются модели оптимального планирования, формализующие тем или иным способом цели экономического развития, возможности и средства их достижения.

Применение дескриптивного подхода в моделировании экономики объясняется необходимостью эмпирического выявления различных зависимостей в экономике, установления статистических закономерностей экономического поведения социальных групп, изучения вероятных путей развития каких-либо процессов при неизменяющихся условиях или протекающих без внешних воздействий. Примерами дескриптивных моделей являются производственные функции и функции покупательского спроса, построенные на основе обработки статистических данных.

Является ли экономико-математическая модель дескриптивной или нормативной, зависит не только от ее математической структуры, но от характера использования этой модели. Например, модель межотраслевого баланса дескриптивна, если она используется для анализа пропорций прошлого периода. Но эта же математическая модель становится нормативной, когда она применяется для расчетов сбалансированных вариантов развития народного хозяйства, удовлетворяющих конечные потребности общества при плановых нормативах производственных затрат.

Многие экономико-математические модели сочетают признаки дескриптивных и нормативных моделей. Типична ситуация, когда нормативная модель сложной структуры объединяет отдельные блоки, которые являются частными дескриптивными моделями. Например, межотраслевая модель может включать функции покупательского спроса, описывающие поведение потребителей при изменении доходов. Подобные примеры характеризуют тенденцию эффективного сочетания дескриптивного и нормативного подходов к моделированию экономических процессов. Дескриптивный подход широко применяется в имитационном моделировании.

По характеру отражения причинно-следственных связей различают модели жестко детерминистские и модели, учитывающие случайность и неопределенность. Необходимо различать неопределенность, описываемую вероятностными законами, и неопределенность, для описания которой законы теории вероятностей неприменимы. Второй тип неопределенности гораздо более сложен для моделирования.

По способам отражения фактора времени экономико-математические модели делятся на статические и динамические. В статических моделях все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени. Динамические модели характеризуют изменения экономических процессов во времени. По длительности рассматриваемого периода времени различаются модели краткосрочного (до года), среднесрочного (до 5 лет), долгосрочного (10-15 и более лет) прогнозирования и планирования. Само время в экономико-математических моделях может изменяться либо непрерывно, либо дискретно.

Модели экономических процессов чрезвычайно разнообразны по форме математических зависимостей. Особенно важно выделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений и получивших вследствие этого большое распространение. Различия между линейными и нелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения, но и в теоретико-экономическом отношении, поскольку многие зависимости в экономике носят принципиально нелинейный характер: эффективность использования ресурсов при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при росте доходов и т.п. Теория "линейной экономики" существенно отличается от теории "нелинейной экономики". От того, предполагаются ли множества производственных возможностей подсистем (отраслей, предприятий) выпуклыми или же невыпуклыми, существенно зависят выводы о возможности сочетания централизованного планирования и хозяйственной самостоятельности экономических подсистем.

По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в модель, они могут разделяться на открытые и закрытые. Полностью открытых моделей не существует; модель должна содержать хотя бы одну эндогенную переменную. Полностью закрытые экономико-математические модели, т.е. не включающие экзогенных переменных, исключительно редки; их построение требует полного абстрагирования от "среды", т.е. серьезного огрубления реальных экономических систем, всегда имеющих внешние связи. Подавляющее большинство экономико-математических моделей занимает промежуточное положение и различаются по степени открытости (закрытости).

Для моделей народнохозяйственного уровня важно деление на агрегированные и детализированные.

В зависимости от того, включают ли народнохозяйственные модели пространственные факторы и условия или не включают, различают модели пространственные и точечные.

Таким образом, общая классификация экономико-математических моделей включает более десяти основных признаков. С развитием экономико-математических исследований проблема классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей (особенно смешанных типов) и новых признаков их классификации осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.

3 . Этапы экономик о-математического моделирования

Основные этапы процесса моделирования уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний, в том числе и в экономике, они приобретают свои специфические черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла экономико-математического моделирования.

1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. Главное здесь - четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.

2. Построение математической модели. Это - этап формализации экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Таким образом, построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий.

Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше "работает" и дает лучшие результаты. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта).

Одна из важных особенностей математических моделей - потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей, не нужно стремиться "изобретать" модель; вначале необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели.

В процессе построения модели осуществляется взаимосопоставление двух систем научных знаний - экономических и математических. Естественно стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающих существенных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре. Потребности экономической науки и практики в середине ХХ в. способствовали развитию математического программирования, теории игр, функционального анализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что в будущем развитие экономической науки станет важным стимулом для создания новых разделов математики.

3. Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственно ли решение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Аналитической исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели.

Знание общих свойств модели имеет столь важное значение, часто ради доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все же модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам, переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.

В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены прежде всего большой размерностью эконномических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации.

Обычно расчеты по экономико-математической модели носят многовариантный характер. Благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ удается проводить многочисленные "модельные" эксперименты, изучая "поведение" модели при различных изменениях некоторых условий. Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

6. Анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних.

Математические методы проверки могут выявлять некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

Взаимосвязи этапов. Обратим внимание на возвратные связи этапов, возникающие вследствие того, что в процессе исследования обнаруживаются недостатки предшествующих этапов моделирования.

Уже на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи противоречива или приводит к слишком сложной математической модели. В соответствии с этим исходная постановка задачи корректируется. Далее математический анализ модели (этап 3) может показать, что небольшая модификация постановки задачи или ее формализации дает интересный аналитический результат.

Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает при подготовке исходной инфориации (этап 4). Может обнаружиться, что необходимая информация отсутствует или же затраты на ее подготовку слишком велики. Тогда приходится возвращаться к постановке задачи и ее формализации, изменяя их так, чтобы приспособиться к имеющейся информации.

Поскольку экономико-математические задачи могут быть сложны по своей структуре, иметь большую размерность, то часто случается, что известные алгоритмы и программы для ЭВМ не позволяют решить задачу в первоначальном виде. Если невозможно в короткий срок разработать новые алгоритмы и программы, исходную постановку задачи и модель упрощают: снимают и объединяют условия, уменьшают число факторов, нелинейные соотношения заменяют линейными, усиливают детерминизм модели и т.д.

Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Но результаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение. Начав исследование с построения простой модели, можно быстро получить полезные результаты, а затем перейти к созданию более совершенной модели, дополняемой новыми условиями, включающей уточненные математические зависимости.

По мере развития и усложнения экономико-математического моделирования его отдельные этапы обособляются в специализированные области исследований, усиливаются различия между теоретико-аналитическими и прикладными моделями, происходит дефференциация моделей по уровням абстракции и идеализации.

Теория математического анализа моделей экономики развилась в особую ветвь современной математики - математическую экономику. Модели, изучаемые в рамках математической экономики, теряют непосредственную связь с экономической реальностью; они имеют дело с исключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями. При построении таких моделей главным принципом является не столько приближение к реальности, сколько получение возможно большего числа аналитических результатов посредством математических доказательств. Ценность этих моделей для экономической теории и практики состоит в том, что они служат теоретической базой для моделей прикладного типа.

Довольно самостоятельными областями исследований становятся подготовка и обработка экономической информации и разработка математического обеспечения экономических задач (создание баз данных и банков информации, программ автоматизированного построения моделей и программного сервиса для экономистов-пользователей). На этапе практического использования моделей ведущую роль должны играть специалисты в соответствующей области экономического анализа, планирования, управления. Главным участком работы экономистов-математиков остается постановка и формализация экономических задач и синтез процесса экономико-математического моделирования.

экономический математический моделирование

Список использованной литературы

1.Федосеев, Экономические методы

2. И.Л.Акулич, Математическое программирование в примерах и задачах, Москва, «Высшая школа», 1986;

3. С.А.Абрамов, Математические построения и программирование, Москва, «Наука», 1978;

4. Дж.Литлвуд, Математическая смесь, Москва, «Наука», 1978;

5.Известия Академии наук. Теория и системы управления, 1999, № 5, стр. 127-134.

7. http://exsolver.narod.ru/Books/Mathematic/GameTheory/c8.html

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Открытие и историческое развитие методов математического моделирования, их практическое применение в современной экономике. Использование экономико-математического моделирования на всей уровнях управления по мере внедрения информационных технологий.

контрольная работа , добавлен 10.06.2009


Основные понятия и типы моделей, их классификация и цели создания. Особенности применяемых экономико-математических методов. Общая характеристика основных этапов экономико-математического моделирования. Применение стохастических моделей в экономике.

реферат , добавлен 16.05.2012


Понятие и типы моделей. Этапы построения математической модели. Основы математического моделирования взаимосвязи экономических переменных. Определение параметров линейного однофакторного уравнения регрессии. Оптимизационные методы математики в экономике.

реферат , добавлен 11.02.2011


Применение методов оптимизации для решения конкретных производственных, экономических и управленческих задач с использованием количественного экономико-математического моделирования. Решение математической модели изучаемого объекта средствами Excel.

курсовая работа , добавлен 29.07.2013


История развития экономико-математических методов. Математическая статистика – раздел прикладной математики, основанный на выборке изучаемых явлений. Анализ этапов экономико-математического моделирования. Вербально-информационное описание моделирования.

курс лекций , добавлен 12.01.2009


Применение математических методов в решении экономических задач. Понятие производственной функции, изокванты, взаимозаменяемость ресурсов. Определение малоэластичных, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Принципы оптимального управления запасами.

контрольная работа , добавлен 13.03.2010


Классификация экономико-математических моделей. Использование алгоритма последовательных приближений при постановке экономических задач в АПК. Методики моделирования программы развития сельскохозяйственного предприятия. Обоснование программы развития.

курсовая работа , добавлен 05.01.2011


Разделение моделирования на два основных класса - материальный и идеальный. Два основных уровня экономических процессов во всех экономических системах. Идеальные математические модели в экономике, применение оптимизационных и имитационных методов.

реферат , добавлен 11.06.2010


Основные понятия математических моделей и их применение в экономике. Общая характеристика элементов экономики как объекта моделирования. Рынок и его виды. Динамическая модель Леонтьева и Кейнса. Модель Солоу с дискретным и непрерывным временем.

курсовая работа , добавлен 30.04.2012


Определение этапа разработки экономико-математического моделирования и обоснование способа получения результата моделирования. Теория игр и принятие решений в условиях неопределенности. Анализ коммерческой стратегии при неопределенной конъюнктуре.