Математическое моделирование биологических процессов. Биофизика сложных систем. Математическая биология

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В БИОЛОГИИ

Т.И. Волынкина

Д. Скрипникова студентка

ФГОУ ВПО «Орловский государственный аграрный университет»

Математическая биология - это теория математических моделей биологических процессов и явлений. Математическая биология относится к прикладной математике и активно использует её методы. Критерием истины в ней является математическое доказательство, важнейшую роль играет математическое моделирование с использованием компьютеров. В отличие от чисто математических наук, в математической биологии исследуются чисто биологические задачи и проблемы методами современной математики, а результаты имеют биологическую интерпретацию. Задачами математической биологии являются описание законов природы на уровне биологии и основной задачей - интерпретация результатов полученных в ходе исследований. Примером служит закон Харди-Вайнберга, который доказывает, что система популяции может быть предсказана на основе этого закона. Исходя из этого закона, популяция - это группа самоподдерживающихся аллелей, в которой основу дает естественный отбор. Сам по себе естественный отбор является, с точки зрения математики, независимой переменной, а популяция - зависимой переменной, причем под популяцией рассматривается некоторое число переменных, влияющих друг на друга. Это число особей, число аллелей, плотность аллелей, отношение плотности доминирующих аллелей к плотности рецессивных аллелей, и т.д. В течение последних десятилетий наметился значительный прогресс в количественном (математическом) описании функций различных биосистем на различных уровнях организации жизни: молекулярном, клеточном, органном, организменном, популяционном, биогеоценологическом. Жизнь определяется множеством различных характеристик этих биосистем и процессов, протекающих на соответствующих уровнях организации системы и интергированных в единое целое в процессе функционирования системы.

Построение математических моделей биологических систем стало возможным благодаря исключительно интенсивной аналитической работе экспериментаторов: морфологов, биохимиков, физиологов, специалистов по молекулярной биологии и др. В результате этой работы кристаллизованы морфофункциональные схемы различных клеток, в рамках которых упорядоченно в пространстве и времени протекают различные физико-химические и биохимические процессы, образующие весьма сложное переплетение.

Вторым обстоятельством, способствующим привлечению математического аппарата в биологию, является тщательное экспериментальное определение констант скоростей многочисленных внутриклеточных реакций, определяющих функции клетки и соответствующей биосистемы. Без знания таких констант невозможно формально-математическое описание внутриклеточных процессов.

Третьим условием, определившим успех математического моделирования в биологии, явилось развитие мощных вычислительных средств в виде персональных компьютеров и суперкомпьютеров. Это связано с тем, что обычно процессы, контролирующие ту или иную функцию клеток или органов, многочисленны, охвачены петлями прямой и обратной связи и, следовательно, описываются системами нелинейных уравнений. Такие уравнения не решаются аналитически, но могут быть решены численно при помощи компьютера.

Численные эксперименты на моделях, способные воспроизводить широкий класс явлений в клетках, органах и организме, позволяют оценить правильность предположений, сделанных при построении моделей. В качестве постулатов моделей используются экспериментальные факты, необходимость некоторых допущений и предположений является важным теоретическим компонентом моделирования. Эти допущения и предположения являются гипотезами, которые могут быть подвергнуты экспериментальной проверке. Таким образом, модели становятся источниками гипотез, и притом, экспериментально верифицируемых. Эксперимент, направленный на проверку данной гипотезы, может опровергнуть или подтвердить ее и тем самым способствовать уточнению модели. Такое взаимодействие моделирования и эксперимента происходит непрерывно, приводя к более глубокому и точному пониманию явления: эксперимент уточняет модель, новая модель выдвигает новые гипотезы, эксперимент уточняет новую модель и так далее.

В настоящее время математическая биология, включающая в себя математические теории разнообразных биологических систем и процессов, является, с одной стороны, уже в достаточной степени сложившейся научной дисциплиной, а с другой стороны, одной из наиболее бурно развивающихся научных дисциплин, объединяющих усилия специалистов из различных областей знания – математиков, биологов, физиков, химиков и специалистов по компьютерным наукам. Сформировался ряд дисциплин математической биологии: математическая генетика, иммунология, эпидемиология, экология, ряд разделов математической физиологии, в частности, математическая физиология сердечно-сосудистой системы.

Как всякая научная дисциплина, математическая биология имеет свои предмет, способы, методы и процедуры исследования. В качестве предмета исследований возникают математические (компьютерные) модели биологических процессов, одновременно представляющие собой и объект исследования, и инструмент для исследования собственно биологических систем. В связи с такой двоякой сущностью биоматематических моделей, они подразумевают использование имеющихся и разработку новых способов анализа математических объектов (теорий и методов соответствующих разделов математики) с целью изучения свойств самой модели как математического объекта, а также использование модели для воспроизведения и анализа экспериментальных данных, получаемых в биологических экспериментах. При этом в качестве одного из наиболее важных назначений математических моделей (и математической биологии в целом) является возможность предсказания биологических явлений и сценариев поведения биосистемы в определенных условиях и их теоретического обоснования до (или даже вместо) проведения соответствующих биологических экспериментов.

Основным методом исследования и использования сложных моделей биологических систем является вычислительный компьютерный эксперимент, который требует применения адекватных методов вычислений для соответствующих математических систем, алгоритмов вычислений, технологий разработки и реализации компьютерных программ, хранения и обработки результатов компьютерного моделирования. Эти требования подразумевают разработку теорий, методов, алгоритмов и технологий компьютерного моделирования в рамках различных направлений биоматематики.

Наконец, в связи с основной целью использования биоматематических моделей для познания законов функционирования биологических систем, все стадии разработки и использования математических моделей предполагают обязательную опору на теорию и практику биологической науки.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Биолого-химический факультет

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

БИОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Направление подготовки

Направление подготовки 020400 Биология

Наименование магистерской программы

"Биология" (Ботаника) 020421 м

"Биология" (Иммунобиотехнология) 020422 м

"Биология" (Биология клетки) 020423 м

Место дисциплины в структуре ООП магистратуры. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины. Цель освоения дисциплины. Структура дисциплины по видам учебной работы, соотношение тем и формируемых компетенций. Содержание дисциплины.

5.1 Темы лекционных занятий и их аннотации

5.2. Планы практических занятий.

5.3. Планы лабораторного практикума.

5.4. Программа самостоятельной работы студентов.

Образовательные технологии. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации . Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины. Материально-техническое обеспечение дисциплины.

ПОРЯДОК УТВЕРЖДЕНИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ

Разработчик рабочей программы дисциплины

Экспертиза рабочей программы

Утверждение рабочей программы дисциплины

Иные документы об оценке качества рабочей программы дисциплины

(при их наличии - ФЭПО, отзывы работодателей, магистрантов и пр.)

1 . МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП МАГИСТРАТУРЫ

Дисциплина входит в цикл базовую часть математического и естественно-научного цикла ООП магистратуры.

Дисциплина адресована 020400 Биология (квалификация (степень) "магистр"), первый год обучения.

Изучению курса предшествуют следующие дисциплины: информатика, дисциплины естественнонаучного цикла.

Для успешного освоения дисциплины должны быть сформированы компетенции:

способен к адаптации и повышению своего научного и культурного уровня (ОК-3);

Успешное освоение курса позволяет перейти к изучению дисциплин: теоретическая биология, синергетика, с овременные проблемы биологии, других дисциплин математического и естественно-научного цикла ООП магистратуры, выполнению магистерской работы .

Программа курса построена по блочно-модульному принципу, в ней выделены разделы:

Понятие о дифференциальном и интегральном исчислении. Цели моделирования. Базовые понятия. Модели, описываемые автономным дифференциальным уравнением Дискретные модели Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений Устойчивость стационарных состояний нелинейных систем. Триггерные системы. Колебательные системы.

2 . КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ

В РЕЗУЛЬТАТЕ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

· самостоятельно анализирует имеющуюся информацию, выявляет фундаментальные проблемы, ставит задачу и выполняет полевые, лабораторные биологические исследования при решении конкретных задач по специализации с использованием современной аппаратуры и вычислительных средств, демонстрирует ответственность за качество работ и научную достоверность результатов (ПК-3);

· творчески применяет современные компьютерные технологии при сборе, хранении, обработке, анализе и передаче биологической информации (ПК-6);

· самостоятельно использует современные компьютерные технологии для решения научно-исследовательских и производственно-технологических задач профессиональной деятельности , для сбора и анализа биологической информации (ПК-13);

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

знать:

· о методах моделирования биологических систем с последующим их анализом с использованием дифференциального и интегрального исчисления.

уметь:

· уметь применять полученные знания в практической работе ;

· грамотно представлять результаты, выполненных модельных расчетов.

Владеть:

· навыками интегрального и дифференциального исчисления;

· навыками работы с персональным компьютером при использовании доступных программных продуктов по численному моделированию биологических систем.

3 . ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Целью освоения дисциплины МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БИОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

является:

дать некоторые базовые знания и представления о возможностях практики численных методов математического анализа, математического моделирования, классификации математических моделей и области их применимости, показать, на какие принципиальные качественные вопросы может ответить математическая модель, в виде которой формализованы знания о биологическом объекте. Это достигается путем включения в курс базовых вопросов интегрального и дифференциального исчисления, основ математического аппарата качественной теории дифференциальных уравнений. На базе этих знаний рассматриваются основные типы временного и пространственного динамического поведения, присущие биологическим системам разного уровня. Возможности математического моделирования иллюстрируются примерами конкретных моделей, которые можно считать классическими.

Задачи освоения дисциплины:

сформировать представления о применимости численных методов математического анализа применительно к математическому моделированию биологических систем;

познакомить с конкретными математическими моделями, которые биолог-исследователь может применять (адаптировать) к своим исследованиям;

расширить знания по использованию программных средств при моделировании биологических процессов.

4. СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ ПО ВИДАМ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ,

СООТНОШЕНИЕ ТЕМ И ФОРМИРУЕМЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ

Тема 1.2.

проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

Тема 1.3. (2 часа) Теоретическая часть.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу:

Тема 1.4. (2 часа) Теоретическая часть.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу: проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

Тема 1.5. (3 часа) Теоретическая часть.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу: проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

Тема 1часа) Теоретическая часть.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу: проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

Тема 1.7. (2 часа) Теоретическая часть.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу: проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

Тема 1.8. (2 часа) Теоретическая часть.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу: проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

Тема 1.9. (2 часа) Теоретическая часть.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу: проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

Тема 1.10. (2 часа) Теоретическая часть. Исследование устойчивости стационарных состоя ний нелинейных систем второго порядка. Классическая система В. Вольтерра. Аналитическое исследование (определение стационарных состояний и их устойчивости) и построение фазовых и кинетических портретов. Использование пакета аналитических вычислений Maxima.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу: проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу: проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

Тема 1.часа) Теоретическая часть.

Перечень заданий, задач, выносимых на лабораторную работу: проверочная работа по материалу предыдущего занятия, теоретическое введение по теме занятий, выполнение практических заданий.

5.4. Программа самостоятельной работы магистрантов

Структура СРС

Подготовка к лабораторным работам – 12 работ - 48 часов

Результаты всех видов СРС оцениваются в баллах и являются основой БРС.

При выполнении СРС используются учебно-методические материалы, указанные в соответствующем разделе (см. таблицу Структура СРС )

График контроля СРС

Условные обозначения: кр – контрольная работа , к – коллоквиум , р – реферат, д – доклад, ди – деловая игра , рз – решение задач, кур – курсовая работа , лр – лабораторная работа, дз – домашнее задание

6. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

При проведении занятий и организации самостоятельной работы магистрантов используются традиционные технологии сообщающего обучения, предполагающие передачу информации в готовом виде, формирование учебных умений по образцу: теоретическая часть лабораторной работы строится как: лекция-изложение, лекция-объяснение .

Использование традиционных технологий обеспечивает формирование когнитивного (знаниевого) компонента профессиональных компетенций биолога-исследователя.

В процессе изучения теоретических разделов дисциплины, выполнения практических заданий, используются новые образовательные технологии обучения: лекция-визуализация .

При проведении лабораторных занятий используются:

Понятие модели. Объекты, цели и методы моделирования. Модели в разных науках. Физические и математические модели. История первых моделей в биологии. Современная классификация моделей биологических процессов: регрессионные , имитационные, качественные модели. Примеры различных моделей, применямых в Вашей области научных интересов. Принципы имитационного моделирования и примеры моделей. Специфика моделирования живых систем.

Понятие о производной и способах ее нахождения (правила дифференцирования). Интеграл и методы нахождения интегралов. Решение задач по данной теме.

Составление (вывод) дифференциального уравнения. Некоторые приёмы решения однородных и неоднородных дифференциальных уравнений. Решение методом разделяющихся переменных. Решение линейного дифференциального уравнения общего вида методом Лагранжа. Решение задач по данной теме.

Методы исследования динамических систем. Стационарное состояние. Формула Тейлора. Устойчивость стационарных состояний (случай одного уравнения): понятие об устойчивости, аналитический метод определения типа устойчивости (метод Ляпунова), графический метод определения типа устойчивости. Решение задач по данной теме.

Анализ некоторых моделей роста популяций. Модели Мальтуса. Логистическая модель Ферхюльста. Модель проточного культиватора. Решение задач по данной теме.

Разностные модели роста популяций. Анализ разностной модели Мальтуса (нахождение стационарных состояний и их анализ на устойчивость). Дискретное логистическое уравнение Ферхюльста и его ограниченность для биологических систем. Анализ дискретного логистического уравнения Риккера (нахождение стационарных состояний и их анализ на устойчивость). Качественный анализ разностных моделей роста популяций с использованием диаграммы (лестницы) Ламерея. Решение задач по данной теме.

Анализ моделей, описываемых системой двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Анализ устойчивости поведения данных моделей вблизи особых точек. Типы особых точек. Решение задач по данной теме.

Качественный метод анализа моделей, описываемых системой двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Фазовая плоскость. Изоклины. Построение фазовых портретов. Кинетические кривые. Решение задач по данной теме.

Анализ некоторых моделей, описываемых системой двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Анализ кинетической модели системы линейных химических реакций.

Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка. Метод Ляпунова линеаризации систем в окрестности стационарного состояния. Примеры исследования устойчивости стационарных состояний моделей биологических систем. Анализ кинетического уравнения Лотки (химическая реакция). Классическая система В. Вольтерра. Аналитическое исследование (определение стационарных состояний и их устойчивости) и построение фазовых и кинетических портретов.

Триггерные системы. Конкуренция. Аналитическое исследование (определение стационарных состояний и их устойчивости) и построение фазовых и кинетических портретов.

Колебательные системы. Локальная модель брюсселятора.

Основной технологией оценки уровня сформированности компетенции(й) является: балльно-рейтинговая система оценки успеваемости студентов (Приказ /01-04 "О введении "Порядка реализации балльно-рейтинговой системы оценки учебной работы обучающихся в ФГБОУ ВПО "УдГУ").

Общее количество баллов = 100 баллов.

Посещение занятий и работа магистранта на самом занятии оценивается до 15 баллов.

Проверочная контрольная работа в начале занятия оценивается до 30 б.

Домашнее задание оценивается до 15 б.

Число баллов, выделяемое на зачет до 40 баллов

Дисциплина считается освоенной, если на этапе промежуточной аттестации обучающийся набрал более 14 баллов и итоговый рейтинг обучающегося по дисциплине за семестр составляет не менее 61 балла.

Схема перевода баллов в традиционную оценку

Таблица перевода итоговых баллов БРС в традиционную систему оценок

Примеры проверочных заданий, выдаваемых в начале занятия на 10-12 мин.

Проверочное задание 1

Вариант 1

1) Найти производную исходя из определения понятия производной: y = (1+3x)2

2) Численность популяции описывается уравнением: https://pandia.ru/text/78/041/images/image004_19.gif" width="88" height="41">

Вариант 3

1) Найти производную исходя из определения понятия производной: y = (1+x)2

2) Численность популяции описывается уравнением: https://pandia.ru/text/78/041/images/image006_13.gif" width="90" height="45">

Вариант 2

Вариант 3

Решить следующее дифференциальное уравнение.

Найти решение задачи Коши, если x(0)=1

Проверочное задание 3

Опрос 3. Вариант 2

Решить следующее дифференциальное уравнение.

Опрос 3. Вариант 3

Решить следующее дифференциальное уравнение.

Опрос 3. Вариант 4

Решить следующее дифференциальное уравнение.

Примерные тестовые задания для домашнего выполнения (конкретные тексты задания выдаются магистрантам через систему ИИАС и на бумажном носителе):

Домашнее задание 1

Рекомендации.

1) Подготовить выступление и приложить рукописный текст с докладом о примере физической модели

2) Подготовить выступление и приложить рукописный текст с докладом о примере регрессионной модели в вашей специальности (могу спросить любого) – 3-4 минуты – одно на группу. Не должно совпадать с примером другой группы.

3) Подготовить выступление и приложить рукописный текст с докладом о примере имитационной модели в вашей специальности (могу спросить любого) – 3-4 минуты – одно на группу. Не должно совпадать с примером другой группы.

4) Используя определение производной найти производную для выражения:

y= 1+ x + x 2

5) Найти производные:

https://pandia.ru/text/78/041/images/image014_10.gif" width="84" height="41 src=">

https://pandia.ru/text/78/041/images/image017_9.gif" width="108" height="27 src=">.gif" width="105" height="41 src=">, где u и а постоянные..gif" width="153" height="28 src=">

8) Популяция бактерий растет от начального размера в 1000 особей до размера p (t ) в момент t (в днях) согласно уравнению https://pandia.ru/text/78/041/images/image023_6.gif" width="106" height="41 src=">. Найдите p (t ) для всех моментов t >0, если p (0)=0. За сколько лет доля переболевших достигнет 90 % ?

3) Найти общее решение для следующих уравнений первого порядка и решить задачу Коши для указанных условий:

Если x(0)=2

, если x(0)=1

Домашнее задание 3

Рекомендации. Отчет по заданию предоставляется только в рукописном виде с указанием всех промежуточных расчетов (электронный вариант не нужен). Все расчеты должны быть прозрачны (написать, что вычисляете, указать исходную расчетную формулу, потом формулу с подставленными числами, затем ответ).

1) Рост популяции описывается уравнением Ферхюльста. Емкость экологической ниши для нее равна 1000. Постройте график динамики численности популяции, если известно, что начальная численность равна: а) 10; б) 700; в) 1200. Скорость роста r равна 0.5. Укажите координаты точки перегиба.

2) Разложите функцию f (x ) в ряд Тейлора в окрестности точки 0 x до 4 порядка:

f (x ) = x 3 +1, x 0 = 1;

https://pandia.ru/text/78/041/images/image028_5.gif" width="114" height="46 src=">

https://pandia.ru/text/78/041/images/image030_5.gif" width="71" height="41 src=">. Найти стационарные состояния уравнения и определить их тип устойчивости аналитически (метод Ляпунова) и с помощью графика функции f (x ) :

f (x ) = x 3 + 8 x – 6 x 2

f (x ) = x 4 + 2 x 3 − 15 x 2

Домашнее задание 4

Рекомендации. Отчет по заданию предоставляется только в рукописном виде с указанием всех промежуточных расчетов (электронный вариант не нужен). Все расчеты должны быть прозрачны (написать, что вычисляете, указать исходную расчетную формулу, потом формулу с подставленными числами, затем ответ).

1) (1,0 балла) С помощью диаграммы Ламерея построить график динамики численности популяции, если зависимость Nt +1 = f (N t ) имеет вид и сделать вывод об устойчивости развитии популяции.

2) (2,5 балла) Построить фазовый портрет для каждой из систем в окрестности стационарного состояния по плану:

2,1) Найти координаты особой (стационарной) точки

2,3) Методом изоклин (изоклины: 0o, +45o, –45o, 90o, углы пересечение с осями X и Y) построить фазовый портрет системы

2,4) по изоклинам и на основании пункта 2,2 нарисовать эскиз фазового портрета

2,5) Определить направление движения пробной (фигуративной) точки вдоль полученных в 2,4 интегральных кривых.

2,6) Выбрать произвольную точку на одной из полученных в пункте 2,4 интегральных кривых и построить кинетический портрет системы.

3) (1,5 балла) В процессе изучения некой популяции была выявлена следующая зависимость численность популяции от времени (см. данные ниже).

1) Развитие данной популяции подчиняется уравнению Мальтуса или уравнению Ферхюльста? Докажите это.

2) Если развитие популяции подчиняется уравнению Мальтуса, определите:

r

2,2) период удвоения T .

2) Если развитие популяции подчиняется логистическому уравнению, определите:

2,1) значение мальтузианского параметра r (удельной скорости размножения);

2,2) значение ресурсного параметра К

2,3) используя значения r и К оцените время через которое рост численности популяции начнет замедляться.

Данная контрольно-оценочная технология обеспечивает оценку уровня освоения профессиональных компетенций.

8 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

ДИСЦИПЛИНЫ

Основная литература

1. Ризниченко, по математическим моделям в биологии. Ч.1 . Описание процессов в живых системах во времени. - М.;Ижевск: РХД, 2002

Лекции. Методика чтения лекций

Лекции являются одним из основных методов обучения по дисциплине, которые должны решать следующие задачи:

· изложить важнейший материал программы курса, освещающий основные моменты;

· развить у магистрантов потребность к самостоятельной работе над учебной и научной литературой .

Главной задачей каждой лекции является раскрытие сущности темы и анализ ее главных положений. Рекомендуется на первой лекции довести до внимания магистрантов структуру курса и его разделы, а в дальнейшем указывать начало каждого раздела, суть и его задачи, а, закончив изложение, подводить итог по этому разделу, чтобы связать его со следующим.

Методика проведения лабораторных занятий

Целями проведения лабораторных работ являются:

· установление связей теории с практикой в форме экспериментального подтверждения положений теории;

· обучение магистрантов умению анализировать полученные результаты;

· контроль самостоятельной работы магистрантов по освоению курса;

· обучение навыкам профессиональной деятельности

Цели лабораторного практикума достигаются наилучшим образом в том случае, если выполнению эксперимента предшествует определенная подготовительная внеаудиторная работа. Поэтому преподаватель обязан довести до всех магистрантов график выполнения лабораторных работ с тем, чтобы они могли заниматься целенаправленной домашней подготовкой.

Перед началом очередного занятия преподаватель должен удостовериться в готовности магистрантов к выполнению лабораторной работы путем короткого собеседования и проверки наличия у магистрантов заготовленных протоколов проведения работы.

Успешное освоение дисциплины предполагает активное, творческое участие магистранта путем планомерной, повседневной работы.

Изучение дисциплины следует начинать с проработки рабочей программы, особое внимание, уделяя целям и задачам, структуре и содержанию курса.

Просмотрите конспект сразу после занятий, отметьте материал конспекта лекций, который вызывает затруднения для понимания. Попытайтесь найти ответы на затруднительные вопросы, используя рекомендуемую литературу. Если самостоятельно не удалось разобраться в материале, сформулируйте вопросы и обратитесь за помощью к преподавателю на консультации или ближайшей лекции.

Регулярно отводите время для повторения пройденного материала, проверяя свои знания, умения и навыки по контрольным вопросам.

Выполнение лабораторных работ

На занятии получите у преподавателя график выполнения лабораторных работ. Обзаведитесь всем необходимым методическим обеспечением.

Перед посещением лаборатории изучите теорию вопроса, предполагаемого к исследованию, ознакомьтесь с руководством по соответствующей работе и подготовьте протокол проведения работы, в который занесите:

· название работы;

· заготовки таблиц для заполнения экспериментальными данными наблюдений;

· уравнения химических реакций превращений, которые будут осуществлены при выполнении эксперимента;

· расчетные формулы.

Оформление отчетов должно проводиться после окончания работы в лаборатории или в другом отведенном под занятия месте.

Для подготовки к защите отчета следует проанализировать экспериментальные результаты, сопоставить их с известными теоретическими положениями или справочными данными, обобщить результаты исследований в виде выводов по работе, подготовить ответы на вопросы, приводимые в методических указаниях к выполнению лабораторных работ.

9. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Для проведения компьютерного практикума необходим компьютерный класс, позволяющий предоставить отдельное рабочее место для каждого слушателя. Компьютеры должны иметь параметры, достаточные для функционирования изучаемых программ. В случае использования недостаточно мощных компьютеров, можно порекомендовать использовать более старые версии программ или заменить некоторые изучаемые программы на менее ресурсоемкие. Компьютеры должны иметь выход в сеть Интернет. На компьютерах должна быть установлена Windows XP (или старше), а также комплект изучаемых программ (см. соотвествующий раздел пункта 8 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ).

В компьютерном классе должна быть большая доска, мел, тряпка.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Современная биология активно использует различные разделы математики: теорию вероятностей и статистику, теорию дифференциальных уравнений, теорию игр, дифференциальную геометрию и теорию множеств для формализации представлений о структуре и принципах функционирования живых объектов.

Многие ученые высказывали мысль о том, что область знаний становится наукой только тогда, когда выражает свои законы в виде математических соотношений. В соответствии с этим самая "научная" наука - физика - наука о фундаментальных законах природы, математика для нее - естественный язык. В биологии, для которой предметом изучения являются индивидуальные живые системы, дело обстоит сложнее. Только в нашем веке появились экспериментальные биохимия, биофизика, молекулярная биология, микробиология, вирусология, которые изучают воспроизводимые in vitro явления и активно используют физические, химические и математические методы.

В связи с индивидуальностью биологических явлений говорят именно о математических моделях в биологии (а не просто о математическом языке). Слово модель здесь подчеркивает то обстоятельство, что речь идет об абстракции, идеализации, математическом описании скорее не самой живой системы, а некоторых качественных характеристик протекающих в ней процессов. При этом удается сделать и количественные предсказания, иногда в виде статистических закономерностей. В отдельных случаях, например, в биотехнологии, математические модели, как в технике, используются для выработки оптимальных режимов производства.

1. Классы задач и математический аппарат

При разработки любой модели необходимо определить объект моделирования, цель моделирования и средства моделирования. В соответствии с объектом и целями математические модели в биологии можно подразделить на три больших класса. Первый - регрессионные модели, включает эмпирически установленные зависимости (формулы, дифференциальные и разностные уравнения, статистические законы) не претендующие на раскрытие механизма изучаемого процесса. Приведем два примера таких моделей.

1. Зависимость между количеством производителей хамсы S и количеством молоди от каждого нерестившегося производителя в большой имитационной модели динамики рыбного стада Азовского моря выражается в виде эмпирической формулы (Горстко и др, 1984)

Здесь S - количество сеголеток (штуки) на каждого нерестившегося производителя; x - количество зашедших весной из Черного моря в Азовское производителей хамсы (млрд штук); - среднеквадратичное отклонение.

1. Скорость поглощения кислорода опадом листьев может быть достаточно хорошо описывается формулой для логарифма скорости поглощения кислорода:

Здесь Y поглощение кислорода, измеренное в мкл(0,25 г)-1ч-1.; D - число дней, в течение которых выдерживались образцы; B - процентное содержание влаги в образцах; Т - температура, измеренная в градусах С.

Эта формула дает несмещенные оценки для скорости поглощения кислорода во всем диапазоне дней, температур и влажностей, которые наблюдались в эксперименте, со средним квадратичным отклонением в поглощении кислорода, равном =0.3190.321.

(Из книги: Д.Джефферс "Введение в системный анализ: применение в экологии", М., 1981)

Коэффициенты в регрессионных моделях обычно определяются с помощью процедур идентификации параметров моделей по экспериментальным данным. При этом чаще всего минимизируется сумма квадратов отклонений теоретической кривой от экспериментальной для всех точек измерений. Т.е. коэффициенты модели подбираются таким образом: чтобы минимизировать функционал:

Здесь i - номер точки измерения; xe - "экспериментальные значения переменных; хt - теоретические значения переменных; a1, a2... - параметры, подлежащие оценке; wi - "вес" i-го измерения; N - число точек измерения.

Второй класс - имитационные модели конкретных сложных живых систем, как правило, максимально учитывающие имеющуюся информацию об объекте. Имитационные модели применяются для описания объектов различного уровня организации живой материи - от биомакромолекул до моделей биогеоценозов. В последнем случае модели должны включать блоки, описывающие как живые, так и "косные" компоненты (См. Экология математическая). Классическим примером имитационных моделей являются модели молекулярной динамики, в которых задаются координаты и импульсы всех атомов, составляющих биомакромолекулу и законы их взаимодействия. Вычисляемая на компьютере картина "жизни" системы позволяет проследить, как физические законы проявляются в функционировании простейших биологических объектов - биомакромолекул и их окружения. Сходные модели, в которых элементами (кирпичиками) уже являются не атомы, а группы атомов, используются в современной технике компьютерного конструирования биотехнологических катализаторов и лекарственных препаратов, действующих на определенные активные группы мембран микроорганизмов, вирусов, или выполняющих другие направленные действия.

Имитационные модели созданы для описания физиологических процессов. Происходящих в жизненно важных органах: нервном волокне, сердце, мозге, желудочно-кишечном тракте, кровеносном русле. На них проигрываются "сценарии" процессов, протекающих в норме и при различных патологиях, исследуется влияние на процессы различных внешних воздействий, в том числе лекарственных препаратов. Имитационные модели широко используются для описания продукционного процесса растений и применяются для разработки оптимального режима выращивания растений с целью получения максимального урожая, или получения наиболее равномерно распределенного во времени созревания плодов. Особенно важны такие разработки для дорогостоящего и энергоемкого тепличного хозяйства.

2. Качественные (базовые) модели

В любой науке существуют простые модели, которые поддаются аналитическому исследованию и обладают свойствами, которые позволяют описывать целый спектр природных явлений. Такие модели называют базовыми. В физике классической базовой моделью является гармонический осциллятор (шарик - материальная точка - на пружинке без трения). Базовые модели, как правило, подробно изучаются в различных модификациях. В случае осциллятора шарик может быть в вязкой среде, испытывать периодические или случайные воздействия, например, подкачку энергии, и проч.. После того, как досконально математически изучена суть процессов на такой базовой модели, по аналогии становится понятными явления, происходящие в гораздо более сложных реальных системах. Например, релаксация конфирмационных состояний биомакромолекулы рассматривается аналогично осциллятору в вязкой среде. Таким образом, благодаря простоте и наглядности, базовые модели становятся чрезвычайно полезными при изучении самых разных систем.

Все биологические системы различного уровня организации, начиная от биомакромолекул вплоть до популяций, являются термодинамический неравновесными, открытыми для потоков вещества и энергии. Поэтому нелинейность - неотъемлемое свойство базовых систем математической биологии. Несмотря на огромное разнообразие живых систем, можно выделить некоторые важнейшие присущие им качественные свойства: рост, самоограничение роста, способность к переключениям - существование в двух или нескольких стационарных режимов, автоколебательные режимы (биоритмы), пространственная неоднородность, квазистохастичность. Все эти свойства можно продемонстрировать на сравнительно простых нелинейных динамических моделях, которые и выступают в роли базовых моделей математической биологии.

3. Неограниченный рост. Экспоненциальный рост. Автокатализ

математический биология молекулярный популяция

В основе любых моделей лежат некоторые предположения. Модель, построенная на основе этих предположений, становится самостоятельным математическим объектом, который можно изучать с помощью арсенала математических методов. Ценность модели определяется тем, насколько характеристики модели соответствуют свойствам моделируемого объекта. Одно из фундаментальных предположений, лежащих в основе всех моделей роста - пропорциональность скорости роста численности популяции, будь то популяция зайцев или популяция клеток. В основе этого предположения лежит тот общеизвестный факт, что важнейшей характеристикой живых систем является их способность к размножению. Для многих одноклеточных организмов или клеток, входящих в состав клеточных тканей - это просто деление, то есть удвоение числа клеток через определенный интервал времени, называемый характерным временем деления. Для сложно организованных растений и животных размножение происходит по более сложному закону, но в простейшей модели можно предположить, что скорость размножения вида пропорциональна численности этого вида.

Математически это записывается с помощью дифференциального уравнения, линейного относительно переменной x, характеризующей численность (концентрацию) особей в популяции:

Здесь R в общем случае может быть функцией как самой численности, так и времени, или зависеть от других внешних и внутренних факторов.

Предположение о пропорциональности скорости роста популяции ее численности было высказано еще в 18 веке Томасом Робертом Мальтусом (1766-1834) в книге "О росте народонаселения" (1798). Согласно закону (1), если коэффициент пропорциональности R=r=сonst (как это предполагал Мальтус), численность будет расти неограниченно по экспоненте.

В своих работах Мальтус обсуждает последствия этого закона в свете того обстоятельства, что производство продовольствия и других товаров растет линейно, и следовательно, популяция, растущая экспоненциально, обречена на голод.

Для большинства популяций существуют ограничивающие факторы, и по тем или иным причинам рост популяции прекращается. Единственное исключение представляет человеческая популяция, которая на протяжении всего исторического времени растет даже быстрее, чем по экспопненте. (См. Экология математическая, раздел Рост численности человечества). Исследования Мальтуса оказали большое влияние как на экономистов, так и на биологов. В частности, Чарльз Дарвин пишет в своих дневниках, что положенные в основу модели Мальтуса предположения и пропорциональности скорости роста популяции ее численности представляются весьма убедительными, и из этого следует неограниченный экспоненциальный рост численности. В то же время, ни одна из популяций в природе не растет до бесконечности. Следовательно, существуют причины, препятствующие такому росту. Одну из таких причин Дарвин видит в борьбе видов за существование.

Закон экспоненциального роста справедлив на определенной стадии роста для популяций клеток в ткани, водорослей или бактерий в культуре. В моделях математическое выражение, описывающее увеличение скорости изменения величины с ростом самой этой величины, называют автокаталитическим членом (авто - само, катализ - модификация скорости реакции, обычно ускорение, с помощью веществ, не принимающих участия в реакции) Таким образом, автокатализ - "самоускорение" реакции.

4. Ограниченный рост. Уравнение Ферхюльста

Базовой моделью, описывающей ограниченный рост, является модель Ферхюльста (1848):

Здесь параметр K носит название "емкости популяции" и выражается в единицах численности (или концентрации). Он не имеет какого-либо простого физического или биологического смысла и носит, системный характер, то есть определяется целым рядом различных обстоятельств, среди них ограничения на количество субстрата для микроорганизмов, доступного объема для популяции клеток ткани, пищевой базы или убежищ для высших животных.

График зависимости правой части уравнения (2) от численности x и численности популяции от времени представлены на рис. 1 (а и б).

Рис. 1 Ограниченный рост. Зависимость величины скорости роста от численности (а) и численности от времени (б) для логистического уравнения

В последние десятилетия уравнение Ферхюльста переживает вторую молодость. Изучение дискретного аналога уравнения (2) выявило совершенно новые и замечательные его свойства . Рассмотрим численность популяции в последовательные моменты времени. Это соответствует реальной процедуре пересчета особей (или клеток) в популяции. В самом простом виде зависимость численности на временном шаге номер n+1 от численности предыдущем шаге n можно записать в виде:

Поведение во времени переменной xn может носить характер не только ограниченного роста, как было для непрерывной модели (2), но также быть колебательным или квазистохастическим (рис.2).

Рис. 2 Вид функции зависимости численности на последующем шаге от численности на предыдущем шаге (а) и поведение численности во времени (б) при разных значениях параметра r: 1 - ограниченный рост; 2 - колебания, 3 - хаос

Тип поведения зависит от величины константы собственной скорости роста r. Кривые, представляющие вид зависимости значения численности в данный момент времени (t+1) от значений численности в предыдущий момент времени t представлены на рис. 2 слева. Справа представлены кривые динамики численности - зависимости числа особей в популяции от времени. Сверху вниз значение параметра собственной скорости роста r увеличивается.

Характер динамики численности определяется видом кривой зависимости F(t+1) от F(t). Эта кривая отражает изменение скорости прироста численности от самой численности. Для всех представленных на рис. 2 слева кривых эта скорость нарастает при малых численностях, и убывает, а затем обращается в нуль при больших численностях. Динамический тип кривой роста популяции зависит от того, насколько быстро происходит рост при малых численностях, т.е. определяется производной (тангенсом угла наклона этой кривой) в нуле, который определяется коэффициентом r - величиной собственной скорости роста. Для небольших r (r<3) численность популяции стремится к устойчивому равновесию. Когда график слева становится более крутым, устойчивое равновесие переходит в устойчивые циклы. По мере увеличения численности длина цикла растет, и значения численности повторяются через 2, 4, 8,..., 2n поколений. При величине параметра r>5,370 происходит хаотизация решений. При достаточно больших r динамика численности демонстрирует хаотические всплески (вспышки численности насекомых).

Уравнения такого типа неплохо описывают динамику численности сезонно размножающихся насекомых с неперекрывающимися поколениями. При этом некоторые достаточно просто измеряемые характеристики популяций, демонстрирующих квазистохастическое поведение, имеют регулярный характер. В некотором смысле, чем хаотичнее поведение популяции, тем оно предсказуемее. Например, при больших x амплитуда вспышки может быть прямо пропорциональна времени между вспышками.

Дискретное описание оказалось продуктивным для систем самой различной природы. Аппарат представления динамического поведения системы на плоскости в координатах позволяет определить, является наблюдаемая система колебательной или квазистохастической. Например, представление данных электрокардиограммы позволило установить, что сокращения человеческого сердца в норме носят нерегулярный характер, а в период приступов стенокардии или в прединфарктном состоянии ритм сокращения сердца становится строго регулярным. Такое "ужесточение" режима является защитной реакцией организма в стрессовой ситуации и свидетельствует об угрозе жизни системы.

Отметим, что решение разностных уравнений лежит в основе моделирования любых реальных биологических процессов. Богатство динамического поведения модельных траекторий разностных уравнений является основой их успешного применения для описания сложных природных явлений. При этом ограниченность параметрических областей существования определенного типа режимов служит дополнительным основанием для оценки адекватности предлагаемой модели.

Еще более интересные математические объекты получаются, если переписать уравнение (3) в виде:

и рассматривать константу с в комплексной области. При этом получаются объекты, называемые множествами Мандельброта Подробнее об этих множествах можно прочитать в книге "Красота фракталов" (Образы комплексных динамических систем), там же приведены их многочисленные красочные изображения. Имеют ли эти объекты биологическую интерпретацию, имеющую под собой глубокий смысл, или это просто красивый "сюрприз", который нам преподносит базовая система? Пока на этот вопрос нет окончательного ответа.

5. Ограничения по субстрату. Модели Моно и Михаэлиса-Ментен

Одной из причин ограничения роста может быть недостаток пищи (лимитирование по субстрату на языке микробиологии). Микробиологи давно подметили, что в условиях лимитирования по субстрату скорость роста растет пропорционально концентрации субстрата, а если субстрата вдоволь - выходит на постоянную величину, определяемую генетическими возможностями популяции. В течение некоторого времени численность популяции растет экспоненциально, пока скорость роста не начинает лимитироваться какими-либо другими факторами. Это означает, что зависимость скорости роста R в формуле (1) от субстрата может быть описана в виде:

Здесь КS - константа, равная концентрации субстрата, при которой скорость роста равна половине максимальной. 0 - максимальная скорость роста, равная величине r в формуле (2). Это уравнение было впервые написано крупнейшим французким биохимиком. Жаком Моно (1912-1976). Совместно с Франсуа Жакобом им были разработаны представления о роли транспортной рибонуклеиновой кислоты (mRNA) в аппарате размножения клетки. В развитие представлений о генных комплексах, которые были ими названы оперонами, Жакоб и Моно постулировали существование класса генов, которые регулируют функционирование других генов путем воздействия на синтез транспортной РНК. Такой механизм генной регуляции впоследствии полностью подтвердился для бактерий, за что обоим ученым (а также Андре Львову) была присуждена Нобелевская премия 1965 г. Ниже рассмотрена знаменитая модель генной регуляции синтеза двух ферментов, названная триггерной моделью Жакоба и Моно.

Жак Моно был также философом науки и незаурядным писателем. В своей знаменитой книге "Случайность и необходимость", 1971 Моно высказывает мысли о случайности возникновения жизни и эволюции, а также о роли человека и его ответственности за происходящие на Земле процессы.

Любопытно, что модель Моно (5) по форме совпадает с уравнением Михаэлиса-Ментен (1913), которое описывает зависимость скорости ферментативной реакции от концентрации субстрата при условии, когда общее количество молекул фермента постоянно и значительно меньше количества молекул субстрата:

Здесь КМ - константа Михаэлиса, одна из важнейших для ферментативных реакций величина, определяемая экспериментально, имеющая смысл и размерность концентрации субстрата, при которой скорость реакции равна половине максимальной.

Закон Михаэлиса-Ментен выводится на основании уравнений химической кинетики и описывает скорость образования продукта в соответствии со схемой:

Сходство уравнений (5) и (6) не случайно. Формула Михаэлиса-Ментен (5) отражает более глубокие закономерности кинетики ферментативных реакций, которые в свою очередь определяют жизнедеятельность и рост микроорганизмов, описываемые эмпирической формулой (5).

6. Базовая модель взаимодействия. Конкуренция. Отбор.

Биологические системы вступают во взаимодействие друг с другом на всех уровнях, будь то взаимодействие биомакромолекул в процессе биохимических реакций, или взаимодействие видов в популяциях. Взаимодействие может протекать в структурах, тогда система может быть охарактеризована определенным набором состояний, так происходит на уровне субклеточных, клеточных и организменных структур. Кинетика процессов в структурах в математических моделях как правило описывается с помощью систем уравнений для вероятностей состояний комплексов.

В случае, когда взаимодействие происходит случайно, его интенсивность определяется концентрацией взаимодействующих компонентов и их подвижностью обобщенной диффузией. Именно такие представления приняты в базовых моделях взаимодействия видов. Классической книгой, в которой рассматриваются математические модели взаимодействия видов стала книга Вито Вольтерра "Математическая теория борьбы за существование" (1931) . Книга, построена как математический трактат, в ней постулированы в математической форме свойства биологических объектов и их взаимодействий, а затем эти взаимодействия исследуются как математические объекты, Именно с этой работы В.Вольтерра начались современная математическая биология и математическая экология.

Вито Вольтерра (1860-1940) завоевал мировую известность своими работами в области интегральных уравнений и функционального анализа. Кроме чистой математики его всегда интересовали вопросы применения математических методов в биологии, физике, социальных науках. В годы службы в ВВС в Италии, он много работал над вопросами военной техники и технологии (задачи баллистики, бомбометания, эхолокации). В этом человеке сочетался талант ученого и темперамент активного политика, принципиального противника фашизма. Он был единственным итальянским сенатором, проголосовавшим против передачи власти Муссолини. Когда в годы фашистской диктатуры в Италии Вольтерра работал во Франции, Муссолини, желая привлечь на свою сторону всемирно известного ученого, предлагал ему различные высокие посты в фашистской Италии, но всегда получал решительный отказ. Антифашистская позиция привела Вольтерра к отказу от кафедры в Римском университете и от членства в итальянских научных обществах.

Серьезно вопросами динамики популяций В.Вольтерра стал интересоваться с 1925 г. после бесед с молодым зоологом Умберто Д"Анкона, будущим мужем его дочери, Луизы. Д"Анкона, изучая статистику рабных рынков на Адриатике, установил любопытный факт: когда в годы первой мировой войны (и сразу вслед за ней) интенсивность промысла резко сократилась, то в улове увеличилась относительная доля хищных рыб. Такой эффект предсказывался моделью "хищник-жертва", предложенной Вольтерра. Эту модель мы рассмотрим ниже. По сути дела это был первый успех математической биологии.

Вольтерра предположил по аналогии со статистической физикой, что интенсивность взаимодействия пропорциональна вероятности встречи (вероятности столкновения молекул), то есть произведению концентраций. Это и некоторые другие предположения (См. Популяционная динамика) позволили построить математическую теорию взаимодействия популяций одного трофического уровня (конкуренция) или разных трофическиъх уровней (хищник-жертва).

Системы, изученные Вольтерра, состоят из нескольких биологических видов и запаса пищи, который используют некоторые из рассматриваемых видов. О компонентах системы формулируются следующие допущения.

1. Пища либо имеется в неограниченном количестве, либо ее поступление с течением времени жестко регламентировано.

2. Особи каждого вида отмирают так, что в единицу времени погибает постоянная доля существующих особей.

3. Хищные виды поедают жертвы, причем в единицу времени количество съеденных жертв всегда пропорционально вероятности встречи особей этих двух видов, т.е. произведению количества хищников на количество жертв.

4. Если имеются пища в неограниченном количестве и несколько видов, которые способны ее потреблять, то доля пищи, потребляемая каждым видом в единицу времени, пропорциональна количеству особей этого вида, взятого с некоторым коэффициентом, зависящим от вида (модели межвидовой конкуренции).

5. Если вид питается пищей, имеющейся в неограниченном количестве, прирост численности вида за единицу времени пропорционален численности вида.

6. Если вид питается пищей, имеющейся в ограниченном количестве, то его размножение регулируется скоростью потребления пищи, т.е. за единицу времени прирост пропорционален количеству съеденной пищи.

Перечисленные гипотезы позволяют описывать сложные живые системы при помощи систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в правых частях которых имеются суммы линейных и билинейных членов. Как известно, такими уравнениями описываются и системы химических реакций.

Действительно, согласно гипотезам Вольтерра, скорость процесса отмирания каждого вида пропорциональна численности вида. В химической кинетике это соответствует мономолекулярной реакции распада некоторого вещества, а в математической модели - отрицательным линейным членам в правых частях уравнений. Согласно представлениям химической кинетики, скорость бимолекулярной реакции взаимодействия двух веществ пропорциональна вероятности столкновения этих веществ, т.е. произведению их концентрации. Точно так же, согласно гипотезам Вольтерра, скорость размножения хищников (гибели жертв) пропорциональна вероятности встреч особей хищника и жертвы, т.е. произведению их численностей. И в том и в другом случае в модельной системе появляются билинейные члены в правых частях соответствующих уравнений. Наконец, линейные положительные члены в правых частях уравнений Вольтерра, отвечающие росту популяций в неограниченных условиях, соответствуют автокаталитическим членам химических реакций. Такое сходство уравнений в химических и экологических моделях позволяет применить для математического моделирования кинетики популяций те же методы исследований, что и для систем химических реакций. Можно показать, что вольтеровские уравнения могут быть получены не только из локального "принципа встреч", ведущего свое происхождение из статистической физики, но и исходя из баланса масс каждого из компонентов ценоза и энергетических потоков между этими компонентами.

Рассмотрим простейшую из Вольтерра моделей модель отбора на основе конкурентных отношений. Эта модель работает при рассмотрении конкурентных взаимодействий любой природы биохимических соединений различного типа оптической активности, конкурирующих клеток, особей, популяций. Ее модификации применяются для описания конкуренции в экономике.

Пусть имеется два совершенно одинаковых вида с одинаковой скоростью размножения, которые являются антагонистами, то есть при встрече они угнетают друг друга. Модель их взаимодействия может быть записана в виде:

Согласно такой модели, симметричное состояния сосуществования обоих видов является неустойчивым, один из взаимодействующих видов обязательно вымрет, а другой размножится до бесконечности.

Введение ограничения на субстрат (типа 5) или системного фактора, ограничивающего численность каждого из видов (типа 2) позволяет построить модели, в которых один из видов выживает и достигает определенной стабильной численности. Они описывают известный в экспериментальной экологии принцип конкуренции Гаузе, в соответствии с которым в каждой экологической нише выживает только один вид.

В случае, когда виды обладают различной собственной скоростью роста, коэффициенты при автокаталитических членах в правых частях уравнений будут различными, а фазовый портрет системы становится несимметричным. При различных соотношениях параметров в такой системе возможно как выживание одного из двух видов и вымирание второго (если взаимное угнетение более интенсивно, чем саморегуляция численности), так и сосуществование обоих видов, в случае, когда взаимное угнетение меньше, чем самоограничение численности каждого из видов.

Рис. 4 Схема синтеза двух ферментов Жакоба и Моно (а) и фазовый портрет триггерной систем (б)

Еще одной классической триггерной системой является модель альтернативного синтеза двух ферментов Жакоба и Моно. Схема синтеза приведена на рис. 4а. Ген-регулятор каждой системы синтезирует неактивный репрессор. Этот репрессор, соединяясь с продуктом противоположной системы синтеза ферментов, образует активный комплекс. Активный комплекс, обратимо реагируя с участком структурного гена опероном, блокирует синтез mРНК. Таким образом, продукт второй системы Р2 является корепрессором первой системы, а Р1 - корепрессором второй. При этом в процессе корепрессии могут участвовать одна, две и более молекул продукта. Очевидно, что при таком характере взаимодействий при интенсивной работе первой системы вторая будет заблокирована, и наоборот. Модель такой системы предложена и подробно изучены в школе проф. Д.С.Чернавского После соответствующих упрощений, уравнения, описывающие синтез продуктов Р1 и Р2 имеют вид:

Здесь P1, P2 - концентрации продуктов, величины A1, A2, B1, B2, выражаются через параметры своих систем. Показатель степени m показывает, сколько молекул активного репрессора (соединений молекул продукта с молекулами неактивного репрессора, который предполагается в избытке) соединяются с опероном для блокировки синтеза mRNK.

Фазовый портрет системы, (изображение траекторий системы при разных начальных условиях на координатной плоскости, по осям которой отложены величины переменных системы), для m=2 изображен на рис.4б. Он имеет тот же вид, что и фазовый портрет системы двух конкурирующих видов. Сходство свидетельствует о том, что в основе способности системы к переключениям лежит конкуренция - видов, ферментов, состояний.

Рис. 5 Модель химических реакций Лотки. Фазовый портрет системы при значениях параметров, соответствующих затухающим колебаниям

7. Классические модели Лотки и Вольтерра

Первое понимание, что собственные ритмы возможны в богатой энергией системе за счет специфики взаимодействия ее компонентов пришло после появления простейших нелинейных моделей взаимодействия - химических веществ в уравнениях Лотки, и взаимодействия видов - в моделях Вольтерра .

Уравнение Лотки рассмотрено им в 1926 г. в книге и описывает систему следующих химических реакций

В некотором объеме находится в избытке вещество А. Молекулы А с некоторой постоянной скоростью превращаются в молекулы вещества X (реакция нулевого порядка). Вещество X может превращаться в вещество Y, причем скорость этой реакции тем больше, чем больше конценрация вещества Y - реакция второго порядка. В схеме это отражено обратной стрелкой над символом y. Молекулы Y в свою очередь необратимо распадаются, в результате образуется вещество B (реакция первого порядка).

Запишем систему уравнений, описывающих реакцию:

Здесь X, Y, B - концентрации химических компонентов. Первые два уравнения этой системы не зависят от B, поэтому их можно рассматривать отдельно. При определенных значениях параметров в системе возможны затухающие колебания.

Базовой моделью незатухающих колебаний служит классическое уравнение Вольтерра, описывающее взаимодействие видов типа хищник-жертва. Как и в моделях конкуренции (8), взаимодействие видов описывается в соответствии с принципами химической кинетики: скорость убыли количества жертв (x) и скорость прибыли количества хищников (y) считается пропорциональными их произведению

На рис. 6 представлены фазовый портрет системы, по осям которого отложены численности жертв и хищников - (а) и кинетика численности обоих видов - зависимость численности от времени-(б). Видно, что численности хищников и жертв колеблются в противофазе.

Рис. 6 Модель хищник-жертва Вольтерра, описывающая незатухающие колебания численности. А. Фазовый портрет. Б. Зависимость численности жертвы и хищника от времени

Модель Вольтерра имеет один существенный недостаток. Параметры колебаний ее переменных меняются при флуктуациях параметров и переменных системы. Такую систему называют негрубой.

Этот недостаток устранен в более реалистичных моделях. Модификация модели Вольтерра с учетом ограниченности субстрата в форме Моно (уравнение 5) и учет самоограничения численности (как в уравнении 2) приводит к модели, подробно изученной А.Д.Базыкиным в книге "Биофизика взаимодействующих популяций" (1985).

Система (11 представляет собой некий кентавр, составленный из базовых уравнений (1, 2, 5, 10)и объединяющий их свойства. Действительно, при малых численностях и в отсутствие хищника жертва (x) будет размножаться по экспоненциальному закону(1). Хищник (y) в отсутствие жертв будут вымирать также по экспоненте. Если особей того или иного вида много, в соответствии с базовой моделью (2) срабатывает системный ферхюльстовский фактор (член -Ex2 в первом уравнении, и -My2 - во втором). Интенсивность взаимодействия видов считается пропорциональной произведению их численностей (как в модели (10)) и описывается в форме Моно (модель 5). Здесь роль субстрата играет вид-жертва, а роль микроорганизмов - вид-хищник. Таким образом, модель (11) брала в себя свойства базовых моделей (1), (2), (5), (10).

Но модель (11) представляет собой не просто сумму свойств этих моделей. С ее помощью можно описать и гораздо более сложные типы поведения взаимодействующих видов: наличие двух устойчивых стационарных состояний, затухающие колебания численностей и проч. При некоторых значениях параметров система становится автоколебательной. В ней с течением времени устанавливается режим, при котором переменные изменяются периодически с постоянным периодом и амплитудой независимо от начальных условий.

8. Волны жизни

До сих пор мы говорили о базовых моделях поведения живых систем во времени. Стремление к росту и размножению ведет к распространению в пространстве, занятию нового ареала, экспансии живых организмов. Жизнь распространяется так же как пламя по степи во время степного пожара. Эта метафора отражает тот факт, что пожар (в одномерном случае - распространение пламени по бикфордову шнуру) описывается с помощью той же базовой модели, что и распространение вида. Знаменитая в теории горения модель ПКП (Петровского - Колмогорова - Пискунова) впервые была предложена ими в 1937 г. именно в биологической постановке как модель распространения доминирующего вида в пространстве. Все три автора этой работы являются крупнейшими российскими математиками. Академик Иван Георгиевич Петровский (1901-1973) - автор фундаментальных трудов по теории дифференциальных уравнений, алгебре, геометрии, математической физике, в течение более 20 лет был ректором Московского Государственного университета им. М.В.Ломоносова. (1951-1973). Андрей Николаевич Колмогоров (1903--) глава российской математической школы по теории вероятностей и теории функций, автор фундаментальных трудов по математической логике, топологии, теории дифференциальных уравнений, теории информации, организатор школьного и университетского математического образования, написал несколько работ, в основу которых положены биологические постановки. В частности в 1936 г. он предложил и подробно исследовал обобщенную модель взаимодействия видов типа хищник-жертва (исправленный и дополненный вариант 1972).(См. Популяционная динамика)

Рассмотрим постановку задачи о распространении вида в активной - богатой энергией (пищей) среде. Пусть в любой точке прямой r>0 размножение вида описывается функцией f(x) = x(1-x). В начальный момент времени вся область слева от нуля занята видом x, концентрация которого близка к единице.. Справа от нуля - пустая территория. В момент времени t=0 вид начинает распространяться (диффундировать) вправо с константой диффузии D. Процесc описывается уравнением:

При t>0 в такой системе начинает распространяться волна концентраций в область r>0, которая является результатом двух процессов: случайного перемещения особей (диффузии частиц) и размножения, описываемого функцией f(x). С течением времени фронт волны перемещается вправо, причем его форма приближается к определенной предельной форме. Скорость перемещения волны определяется коэффициентом диффузии и формой функции f(x), и для функции f(x), равной нулю при x=0 и x=1 и положительной в промежуточных точках, выражается простой формулой: =2Df"(0).

Изучение пространственного перемещения в модели хижник-жертва (10) показывает, что в такой системе в случае неограниченного пространства будут распространяться волны "бегства и погони", а в ограниченном пространстве установятся стационарные пространсвенно неоднородные структуры (диссипативные структуры), или автоволны, в зависимости от параметров системы.

9. Автоволны и диссипативные структуры. Базовая модель "брюсселятор"

На рассмотренной выше одномерной модели (14) видно, что взаимодействие нелинейной химической реакции и диффузии приводит к нетривиальным режимам. Еще более сложного поведения следует ожидать в двумерных моделях, описывающих взаимодействие компонентов системы. Первая такая модель была изучена Тьюрингом в работе под названием "Химические основы морфогенеза". Алан М.Тьюринг (1912-1954) английский математик и логик, прославился своими работами по компьютерной логике и терии автоматов. В 1952 г. он опубликовал первую часть исследования, посвященного математической теории образования структур в первоначально однородной системе, где одновременно проходят химические реакции, в том числе автокаталитические процессы, сопровождаемые потреблением энергии, и пассивные процессы переноса - диффузия. Это исследование осталось незаконченным, так как он покончил жизнь самоубийством, находясь под действием депрессантов, которыми его принудительно лечили в тюрьме, где он отбывал срок по обвинению в гомосексуализме.

Работа Тьюринга стала классической, ее идеи легли в основу современной теории нелинейных систем, теории самоорганизации и синергетики. Рассматривается система уравнений:

Уравнения такого типа называются уравнениями "реакция-диффузия". В линейных системах диффузия процесс, который приводит к выравниванию концентраций во всем реакционном объеме. Однако в случае нелинейного взаимодействия переменных x и y, в системе может возникать неустойчивость гомогенного стационарного состояния и образуются сложные пространственно-временные режимы типа автоволн или диссипативных структур - стационарных во времени и неоднородных по пространству распределений концентраций, существование которых поддерживается в активных средах за счет потребления энергии системы в процессах диссипации. Условием возникновения структур в таких системах является различие коэффициентов диффузии реагентов, а именно, наличие близкодействующего "активатора" с малым коэффициентом диффузии и дальнодействующего "ингибитора" с большим коэффициентом диффузии.

Такие режимы в двухкомпонентной системе были изучены в деталях на базовой модели под названием "брюсселятор" (Пригожин и Лефевр, 1968), названной в честь брюссельской научной школы под руководством И.Р.Пригожина, в которой наиболее интенсивно проводились эти исследования.

Илья Романович Пригожин (род 1917 г. в Москве) - всю жизнь работал в Бельгии. С 1962 г. он - директор Международного Сольвеевского института физической химии в Брюсселе, а с 1967 г. - директор Центра статистической механики и термодинамики Техасского университета (США).

В 1977 г. он получил Нобелевскую премию за работы по нелинейной термодинамике, в частности по теории диссипативных структур - устойчивых во времени неоднородных в пространстве структур. Пригожин является автором и соавтором целого ряда книг ["Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций", "Порядок из хаоса", "Стрела времени", и др.], в которых он развивает математические, физико-химические, биологические и философские идеи теории самоорганизации в нелинейных системах, исследует причины и закономерности рождения "порядка из хаоса" в богатых энергией открытых для потоков вещества и энергии системах, далеких от термодинамического равновесия, под действием случайных флуктуаций.

Классическая модель "брюсселятор" имеет вид

и описывает гипотетическую схему химических реакций:

Ключевой является стадия превращения двух молекул x и одной молекулы y в x так называемая тримолекулярная реакция. Такая реакция возможна в процессах с участием ферментов с двумя каталитическими центрами. Нелинейность этой реакции в сочетании с процессами диффузии вещества и обеспечивает возможность пространственно-временных режимов, в том числе образование пространственных структур в первоначально однородной системе морфогенез.

Заключение

Современная математическая биология использует различный математический аппарат для моделирования процессов в живых системах и формализации механизмов, лежащих в основе биологических процессов. Имитационные модели позволяют на компьютерах моделировать и прогнозировать процессы в нелинейных сложных системах, каковыми являются все живые системы, далекие от термодинамического равновесия. Базовые модели математической биологии в виде простых математических уравнений отражают самые главные качественные свойства живых систем: возможность роста и его ограниченность, способность к переключениям, колебательные и стохастические свойства, пространственно-временные неоднородности. На этих моделях изучаются принципиальные возможности пространственно-временной динамики поведения систем, их взаимодействия, изменения поведения систем при различных внешних воздействиях - случайных, периодических и т.п. Любая индивидуальная живая система требует глубокого и детального изучения, экспериментального наблюдения и построения своей собственной модели, сложность которой зависит от объекта и целей моделирования.

Литература

1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М., Наука, 1976, 286 с.

2. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М., Мир, 1993, 176 с.

3. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. М., Изд. МГУ, 1993, 301 с.

4. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М., Наука, 1984, 304 с.

5. Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф., Ризниченко Г.Ю. Кинетика биологическизх процессов. М., МГУ., 1988

6. Свирежев Ю.М., Логофет. Устойчивость биологических сообществ М., Наука, 1978, 352c

7. Базыкин А.Д. Биофизика взаимодействующих популяций. М., Наука, 1985, 165 с.

8. J.D.Murray "Mathematical Biology", Springer, 1989, 1993.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Специфика использования математических моделей в биологии. Пример определения зависимости между количеством и качеством потомства. Особенности имитационных и базовых моделей для описания ограниченного роста, конкуренции, отбора и волн жизни организмов.

реферат , добавлен 09.10.2013


Определение удельной скорости роста популяции бактерий. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Нахождение общего и частного решения, постоянной С. Подставка известных чисел в уравнение. Расчет численности популяции бактерий через 4 часа.

презентация , добавлен 23.03.2014


Предмет изучения молекулярной биологии. Требования к решению задач на установление последовательности нуклеотидов в ДНК, иРНК, антикодонов тРНК, специфика вычисления количества водородных связей, длины ДНК и РНК. Биосинтез белка. Энергетический обмен.

презентация , добавлен 05.05.2014


Общая характеристика науки биологии. Этапы развития биологии. Открытие фундаментальных законов наследственности. Клеточная теория, законы наследственности, достижения биохимии, биофизики и молекулярной биологии. Вопрос о функциях живого вещества.

контрольная работа , добавлен 25.02.2012


Морфологическая характеристика тетеревиных. Ареал вида, образ жизни, питание, размножение, рост и развитие. Особенности сезонной смены перьевого покрова. Динамика численности тетеревиных. Сходства и различия в биологии изученных видов тетеревиных.

курсовая работа , добавлен 12.02.2015


Динамические характеристики популяции: рождаемость, смертность, выживаемость. Пространственное распределение особей, составляющих популяции. Рассмотрение колебания численности популяции как авторегулируемого процесса. Число доступных для жизни мест.

презентация , добавлен 25.03.2015


Выявление общего характера распределения и места концентрации кабанов в Северо-Западном Кавказе. Определение численности и плотности, возрастной структуры и половой популяции. Рассмотрение особенностей поведения кабанов на прикормочных площадках.

дипломная работа , добавлен 18.07.2014


Методология современной биологии. Философско-методологические проблемы биологии. Этапы трансформации представлений о месте и роли биологии в системе научного познания. Понятие биологической реальности. Роль философской рефлексии в развитии наук о жизни.

реферат , добавлен 30.01.2010


Электрофорез как один из наиболее важных методов для разделения и анализа компонентов веществ в химии, биохимии и молекулярной биологии. Электрофорез белков в полиакриламидном и агарозном геле. Оборудование для проведения капиллярного электрофореза.

реферат , добавлен 31.08.2014


Исследование биографии и научной деятельности Чарльза Дарвина, основоположника эволюционной биологии. Обоснование гипотезы происхождения человека от обезьяноподобного предка. Основные положения эволюционного учения. Сфера действия естественного отбора.

Гомель, 2003 г.

УДК 57.082.14.002.2

Разработали: Стародубцева М. Н., Кузнецов Б. К.

Учебное пособие по теме «Математическое моделирование биологических процессов»

Пособие содержит две лабораторные работы, знакомящие студентов-медиков с основами математического моделирования биологических процессов, одна из них (два занятия) реализована в системе компьютерной алгебры Mathcad. В первой работе «Моделирование функционирования сердечно-сосудистой системы» рассматривается математическое моделирование биологических процессов, в том числе модели функционирования сердечно-сосудистой системы. Рассматривается системный подход в моделировании функционирования сложных объектов, принципы составления систем дифференциальных уравнений, описывающих поведение биологического объекта, а также такие понятия, как устойчивые и неустойчивые состояния, бифуркации, осцилляторы, синхронизация процессов. В практической части работы содержится алгоритм вычисления параметров кровообращения в покое и после нагрузки по опытным данным и методы их статистического анализа. В второй работе, связанной с компьютерным моделированием, содержится описание пользовательского интерфейса, входного языка системы Mathcad, основных методов вычислений (вычисление арифметических выражений, нахождение производных функций, интегралов, решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений), основ построения графиков, некоторых функций статистики (вычисление среднего значения, стандартного отклонения, нахождение уравнения линейной регрессии и коэффициента корреляции).

Для студентов 1-го курса медицинских высших учебных заведений всех факультетов.

Рецензенты:

Черенкевич С. Н.,

профессор, д.б.н, заведующий кафедрой биофизики Физического факультета Белгосуниверситета,

Асенчик О. Д.,

к.ф.-м.н., заведующий кафедрой информационных технологий Гомельского государственного технического университета им. П. О. Сухого.

Утверждено Научно-методическим советом института в качестве учебного пособия _____________ 2003 г., протокол № ____ по теме: «Математическое моделирование биологических процессов»

Ó Гомельский государственный медицинский институт, 2003 г.

Тема: Математическое моделирование биологических

процессов

Лабораторная работа 1

Математическое моделирование биологических процессов.

Моделирование функционирования сердечно-сосудистой

системы

Время занятия – 135 минут.

Цель: Изучить современные модели сердечно-сосудистой системы и показать на их примере эффективность применения метода моделирования для оценки состояния и выявления характерных особенностей поведения сложных биологических объектов.

1.1. Вопросы теории

1.1.1. Математическое моделирование биологических процессов. Биофизика сложных систем.

Функционирование сложной биологической системы, в том числе сердечно-сосудистой системы, является результатом взаимодействия составляющих ее элементов и протекающих в ней процессов. Следует иметь в виду, что согласно общему принципу восходящей иерархии типов движения (механическое – физическое – химическое – биологическое – социальное), биологическая форма движения не может быть полностью сведена к механической, физической или химической форме движения, а биологические системы не могут быть полностью описаны с позиций какой-либо одной из этих форм движения. Эти формы движения могут служить моделями биологической формы движения, то есть ее упрощенными образами.

Выяснить основные принципы регулирования процессов сложной биологической системы можно с помощью построения сначала механической, физической или химической модели системы, а затем построения их математических моделей, то есть отыскания описывающих эти модели математических функций, в том числе уравнений (создания математических моделей). Чем ниже уровень иерархии – тем проще модель, тем больше факторов реальной системы исключаются из рассмотрения.

Моделирование – это метод, при котором производится замена изучения некоторого сложного объекта (процесса, явления) исследованием его упрощенного аналога - модели. В биофизике, биологии и медицине широко применяются физические, химические, биологические и математические модели. Например, течение крови по сосудам моделируется движением жидкости по трубам (физическая модель). Биологическая модель – это простые биологические объекты, удобные для экспериментального исследования, на которых изучают свойства реальных более сложных биологических систем. Например, закономерности возникновения и распространения потенциала действия по нервному волокну были изучены на биологической модели – гигантском аксоне кальмара.

Математическая модель – это совокупность математических объектов и отношений между ними, отражающая интересующие исследователя свойства и характеристики реального объекта. Адекватную математическую модель можно построить только с привлечением конкретных данных и представлений о механизмах сложных процессов. После построения математическая модель «живет» по своим внутренним законам, познание которых позволяет выявить характерные черты исследуемой системы (см. схему на рис. 1.1.). Результаты моделирования составляют основу управления процессами любой природы.

Биологические системы, по сути, являются чрезвычайно сложными структурно-функциональными единицами.

Рис. 1.1. Схема системного подхода в моделировании биологического объекта.

Чаще всего математические модели биологических процессов задаются в виде дифференциальных или разностных уравнений, но возможны и другие типы представлений модели. После того как модель построена, задача сводится к изучению ее свойств методами математической дедукции или путем машинного моделирования.

При изучении сложного явления обычно предлагают несколько альтернативных моделей. Проверяют качественное соответствие этих моделей объекту. Например, устанавливают наличие устойчивых стационарных состояний в модели, существование колебательных режимов. Модель, наилучшим образом соответствующую исследуемой системе, выбирают в качестве основной. Выбранную модель уточняют применительно к конкретной исследуемой системе. Задают числовые значения параметров по экспериментальным данным.

Процесс поиска математической модели сложного явления можно разделить на этапы, последовательность и взаимосвязь которых отражает схема ни рис. 1.2.

Рис. 1. 2. Схема поиска математической модели.

Этап 1 соответствует сбору имеющихся к началу исследования данных об изучаемом объекте.

На этапе 2 осуществляется выбор базовой модели (системы уравнений) из возможных альтернативных моделей по качественным признакам.

На этапе 3 производится идентификация параметров модели по экспериментальным данным.

На этапе 4 осуществляется проверка поведения модели на независимых экспериментальных данных. Для этого часто приходится ставить дополнительные эксперименты.

Если взятые для верификации модели экспериментальные данные «не вписываются» в модель, требуется проанализировать ситуацию и выдвинуть иные модели, исследовать свойства этих новых моделей, а затем поставить эксперименты, позволяющие сделать вывод о предпочтительности одной из них (этап 5).

Мы уже говорили о том, что математический подход к изучению тех или иных явлений реального мира начинается обычно с создания соответствующих общих понятий, т. е. с построения математических моделей, обладающих существенными для нас свойствами тех систем и процессов, которые мы изучаем. Мы упоминали и о тех трудностях, с которыми Связано построение таких моделей в биологии, трудностях, обусловленных чрезвычайной сложностью биологических систем. Однако, несмотря на эти трудности, "модельный" подход к биологическим проблемам сейчас успешно развивается и уже принес определенные результаты. Мы рассмотрим некоторые модели, относящиеся к различным биологическим процессам и системам.

Говоря о роли моделей в биологических исследованиях, важно заметить следующее. Хотя термин «модель» мы понимаем в абстрактном смысле - как некоторую систему логических понятий, а не как реальное физическое устройство, все же модель - это нечто существенно большее, чем простое описание явления или чисто качественная гипотеза, в которых еще остается достаточно места для разного рода неясностей и субъективных мнений. Напомним следующий пример, относящийся к довольно далекому прошлому. В свое время Гельмгольц, занимаясь изучением слуха, выдвинул так называемую резонансную теорию, выглядевшую правдоподобно с чисто качественной стороны. Однако проведенные позже количественные расчеты, учитывающие реальные значения масс, упругости и вязкости составляющих слуховую систему компонент, показали несостоятельность этой гипотезы. Иначе говоря, попытка превратить чисто качественную гипотезу в точную модель, допускающую ее исследование математическими методами, сразу же обнаружила несостоятельность исходных принципов. Конечно, если мы построили некоторую модель и даже получили хорошее согласие между этой моделью и результатами соответствующего биологического эксперимента, то это еще не доказывает правильности нашей модели. Вот если мы на основании изучения нашей модели сможем сделать какие-то предсказания о той биологической системе, которую мы моделируем, а затем подтвердим эти предсказания реальным экспериментом, то это будет гораздо более ценным свидетельством в пользу правильности модели.

Но перейдем к конкретным примерам.

2.Кровообращение

Одной из первых, если не самой первой, работой по математическому моделированию биологических процессов следует считать работу Леонарда Эйлера, в которой он развил математическую теорию кровообращения, рассматривая в первом приближении всю кровеносную систему как состоящую из резервуара с упругими стенками, периферического сопротивления и насоса. Эти идеи Эйлера (как и некоторые другие его работы) были сперва основательно забыты, а затем возрождены в более поздних работах других авторов.

3. Законы Менделя

Достаточно давняя и хорошо известная, но тем не менее весьма замечательная модель в биологии - это менделевская теория наследственности. Эта модель, основанная на теоретико-вероятностных понятиях, состоит в том, что в хромосомах родительских клеток заложены определенные наборы признаков, которые при оплодотворении комбинируются между собой независимо и случайно. В дальнейшем эта основная идея подверглась весьма существенным уточнениям; так, например, было обнаружено, что разные признаки не всегда независимы друг от друга; если они связаны с одной и той же хромосомой, то они могут передаваться лишь в определенной комбинации. Далее, обнаружилось, что и разные хромосомы комбинируются не независимо, а имеет место свойство, названное сродством хромосом, нарушающее эту независимость и т. д. В настоящее время теоретико-вероятностные и статистические методы весьма широко проникли в генетические исследования и даже термин «математическая генетика» получил полные права гражданства. Сейчас в этой области ведется интенсивная работа, получено много результатов, интересных как с биологической, так и с чисто математической точки зрения. Однако в самой основе этих исследований лежит та модель, которая была создана Менделем более 100 лет назад.

4. Модели мышцы

Одним из интереснейших объектов физиологического исследования является мышца. Этот объект весьма доступен, и многие исследования экспериментатор может проделать просто на себе, располагая лишь сравнительно несложным оборудованием. Достаточно ясны и определенны и те функции, которые выполняет мышца в живом организме. Несмотря на все это, многочисленные попытки построить удовлетворительную модель работы мышцы не дали окончательных результатов. Ясно, что хотя мышца может растягиваться и сокращаться, подобно пружине, их свойства совершенно различны, и даже в самом первом приближении пружину нельзя рассматривать как подобие мышцы. Для пружины существует строгая зависимость между ее удлинением и приложенной к ней нагрузкой. Для мышцы это не так: мышца может менять свою длину, сохраняя натяжение, и наоборот, менять силу тяги, не изменяя длины. Проще говоря, при одной и той же длине мышца может быть расслаблена, а может быть напряжена.

Среди различных режимов работы, возможных для мышцы, наиболее существенны так называемое изотоническое сокращение (т. е. сокращение, при котором напряжение мышцы остается постоянным) и изометрическое напряжение, при котором не меняется длина мышцы (оба ее конца неподвижно закреплены). Исследование мышцы в этих режимах важно для понимания принципов ее работы, хотя в естественных условиях активность мышцы не бывает ни чисто изотонической, ни чисто изометрической.

Для описания соотношения между скоростью изотонического сокращения мышцы и величиной нагрузки были предложены различные математические формулы. Наиболее известная из них - так называемое характеристическое уравнение Хилла. Оно имеет вид

(P+a)V=b(P 0 -P) ,

Другие хорошо известные формулы для описания этой же связи - это уравнение Обера

P = Р 0 e- V⁄P ±F

и уравнение Полиссара

V=const (А 1-P/P 0 - B 1-P/P 0) .

Уравнение Хилла получило широкое распространение в физиологии; оно дает достаточно хорошее совпадение с экспериментом для мышц самых разных животных, хотя на самом деле оно представляет собой результат «подбора», а не вывод из некоторой модели. Два других уравнения, дающих в довольно широком диапазоне нагрузок примерно ту же зависимость, что и уравнение Хилла, получены их авторами из определенных представлений о физико-химическом механизме мышечного сокращения. Существует ряд попыток построить модель работы мышцы, рассматривая последнюю как некоторую комбинацию упругих и вязких элементов. Однако до сих пор достаточно удовлетворительной модели, отражающей все основные черты работы мышцы в различных режимах, не существует.

5. Модели нейрона, нейронные сети

Нервные клетки, или нейроны, это те «рабочие единицы», из которых состоит нервная система и которым организм животного или человека обязан всеми своими способностями воспринимать внешние сигналы и управлять различными частями тела. Характерная черта нервных клеток состоит в том, что такая клетка может находиться в двух состояниях - покоя и возбуждения. В этом нервные клетки сходны с такими элементами, как радиолампы или полупроводниковые триггеры, из которых собираются логические схемы вычислительных машин. За последние 15-20 лет было предпринято много попыток моделировать деятельность нервной системы, исходя из тех же принципов, на которых основана работа универсальных вычислительных машин. Еще в 40-х годах американские исследователи Мак-Каллок и Питтс ввели понятие «формального нейрона», определив его как элемент (физическая природа которого не играет роли), снабженный некоторым количеством «возбуждающих» и некоторым количеством «тормозящих» входов. Сам этот элемент может находиться в двух состояниях - «покой» или «возбуждение». Возбужденное состояние наступает в том случае, если на нейрон пришло достаточное число возбуждающих сигналов и нет тормозящих сигналов. Мак-Каллок и Питтс показали, что с помощью схем, составленных из таких элементов, можно, в принципе, реализовать любой из типов обработки информации, происходящих в живом организме. Это, однако, вовсе не означает, что мы тем самым познали действительные принципы работы нервной системы. Прежде всего, хотя для нервных клеток характерен принцип «все или ничего», т. е. наличие двух четко выраженных состояний - покой и возбуждение, отсюда вовсе не следует, что наша нервная система, подобно универсальной вычислительной машине, пользуется двоичным цифровым кодом, состоящим из нулей и единиц. Например, в нервной системе существенную роль играет, видимо, частотная модуляция, т. е. передача информации с помощью длин временных интервалов между импульсами. Вообще в нервной системе нет, видимо, такого разделения способов кодирования информации на «цифровые» дискретные) и «аналоговые» (непрерывные), какое имеется в современной вычислительной технике.

Для того чтобы система нейронов работала как некоторое целое, необходимо, чтобы между этими нейронами были определенные связи: импульсы, генерируемые одним нейроном, должны поступать на входы других нейронов. Эти связи могут иметь правильную, регулярную структуру, а могут определяться лишь статистическими закономерностями и подвергаться тем или иным случайным изменениям. В существующих сейчас вычислительных устройствах никакой случайности в соединениях между элементами не допускается, однако имеется ряд теоретических исследований по поводу возможности построения вычислительных устройств, основанных на принципах случайных связей между элементами. Есть достаточно серьезные доводы в пользу того, что связи между реальными нейронами в нервной системе тоже носят в значительной мере статистический, а не строго регулярный характер. Однако мнения по этому поводу расходятся.

В целом, по поводу проблемы моделирования нервной системы можно сказать следующее. Мы уже довольно много внаем об особенностях работы нейронов, т. е. тех элементов, из которых состоит нервная система. Более того, с помощью систем формальных нейронов (понимаемых в смысле Мак- Каллока и Питтса или в каком-либо ином), имитирующих основные свойства реальных нервных клеток, можно моделировать, как уже говорилось, весьма разнообразные способы обработки информации. Тем не менее мы еще довольно далеки от четкого понимания основных принципов работы нервной системы и отдельных ее частей, а следовательно, и от создания ее удовлетворительной модели * .

* (Если мы можем создать какую-то систему, умеющую решать такие же задачи, что и какая-то другая система, то это еще не значит, что обе системы работают по одним и тем же принципам. Например, можно численно решать дифференциальное уравнение на цифровой вычислительной машине, задав ей соответствующую программу, а можно то же уравнение решать на аналоговой машине. Мы получим одинаковые или почти одинаковые результаты, но принципы обработки информации в этих двух типах машин совершенно различные. )

6. Восприятие зрительных образов. Цветное зрение

Зрение - один из основных каналов, по которому к нам поступают сведения о внешнем мире. Известное выражение - лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать - справедливо, между прочим, и с чисто информационной точки зрения: количество информации, которое мы воспринимаем с помощью зрения, несравненно больше, чем воспринимаемое другими органами чувств. Эта важность зрительной системы для живого организма наряду с другими соображениями (специфичность функций, возможность проведения разнообразных исследований без каких-либо повреждений системы и т. д.) стимулировала ее изучение и, в частности, попытки модельного подхода к этой проблеме.

Глаз представляет собой орган, служащий одновременно и оптической системой и устройством для обработки информации. И с той и с другой точки зрения эта система обладает рядом удивительных свойств. Замечательна способность глаза приспосабливаться к очень широкому диапазону интенсивностей освещения и правильно воспринимать при этом все цвета. Например, находящийся в плохо освещенной комнате кусок мела отражает меньше света, чем кусок угля, вынесенный на яркий солнечный свет, тем не менее мы в каждом из этих случаев воспринимаем цвета соответствующих предметов правильно. Глаз хорошо передает относительные различия в интенсивностях освещения и даже их несколько «утрирует». Так, серая линия на ярко-белом фоне кажется нам более темной, чем сплошное поле того же серого цвета. Эта способность глаза подчеркивать контрасты освещенности связана с тем, что зрительные нейроны оказывают друг на друга тормозящее действие: если из двух соседних нейронов первый получает более сильный сигнал, чем второй, то он оказывает на второй интенсивное тормозящее действие, и на выходе этих нейронов разница в интенсивности получается больше, чем была разница в интенсивности входных сигналов. Модели, состоящие из формальных нейронов, соединенных между собой как возбуждающими, так и тормозящими связями, привлекают внимание как физиологов, так и математиков. Здесь имеются и интересные результаты и нерешенные вопросы.

Большой интерес представляет механизм восприятия глазом различных цветов. Как известно, все оттенки цветов, воспринимаемых нашим глазом, могут быть представлены как комбинации трех основных цветов. Обычно в качестве таких основных цветов берут красный, синий и желтый цвета, отвечающие длинам волн 700, 540 и 450 Å, но этот выбор не однозначен.

«Трехцветность» нашего зрения связана с тем, что в глазу человека имеются рецепторы трех типов, с максимумами чувствительности в желтой, синей и красной зонах соответственно. Вопрос о том, как мы с помощью этих трех рецепторов различаем большое количество цветовых оттенков, весьма не прост. Например, недостаточно ясно еще - чем именно кодируется тот или иной цвет в нашем глазу: частотой нервных импульсов, локализацией того нейрона, который преимущественно реагирует на данный оттенок цвета, или чем-либо еще. Существуют некоторые модельные представления об этом процессе восприятия оттенков, однако они еще носят довольно предварительный характер. Несомненно, впрочем, что и здесь существенную роль должны играть системы нейронов, соединенных между собой как возбуждающими, так и тормозящими связями.

Наконец, глаз весьма интересен и как кинематическая система. Рядом остроумных опытов (многие из них были выполнены в лаборатории физиологии зрения Института проблем передачи информации в Москве) был установлен следующий на первый взгляд неожиданный факт: если некоторое изображение неподвижно относительно глаза, то глаз его не воспринимает. Наш глаз, осматривая какой-либо предмет, буквально «ощупывает» его (эти движения глаза можно при помощи соответствующей аппаратуры точно зарегистрировать). Изучение двигательного аппарата глаза и разработка соответствующих модельных представлений достаточно интересны как сами по себе, так и в связи с другими (оптическими, информационными и т. п.) свойствами нашей зрительной системы.

Резюмируя, можно сказать, что мы еще далеки от создания вполне удовлетворительных моделей зрительной системы, хорошо описывающих все ее основные свойства. Однако ряд важных аспектов и (принципов ее работы уже достаточно ясен и может быть смоделирован в виде вычислительных программ для УЦВМ или даже в виде технических устройств.

7. Модель активной среды. Распространение возбуждения

Одно из весьма характерных свойств многих живых тканей, в первую очередь нервной ткани, это их способность к возбуждению и к передаче возбуждения от одних участков к соседним с ними. Примерно раз в секунду волна возбуждения пробегает по нашей сердечной мышце, заставляя ее сокращаться и гнать кровь по всему телу. По нервным волокнам возбуждение, распространяясь от периферии (органов чувств) к спинному и головному мозгу, информирует нас о внешнем мире, а в обратном направлении идут возбуждения-команды, предписывающие мышцам те или иные действия.

Возбуждение в нервной клетке может возникнуть само по себе (как говорят, «спонтанно»), под действием возбужденной соседней клетки или же под влиянием какого-либо внешнего сигнала, скажем, электрического раздражения, идущего от некоторого источника тока. Перейдя в возбужденное состояние, клетка пребывает в нем некоторое время, а затем возбуждение исчезает, после чего наступает определенный период невосприимчивости клетки к новым раздражениям - так называемый рефрактерный период. В течение этого периода клетка не реагирует на поступающие к ней сигналы. Затем клетка снова переходит в первоначальное состояние, из которого возможен переход в состояние возбуждения. Таким образом, возбуждение нервных клеток обладает рядом четко выраженных свойств, отправляясь от которых можно построить аксиоматическую модель этого явления. Далее для исследования этой модели могут быть применены чисто математические методы.

Представления о такой модели были развиты несколько лет тому назад в работах И. М. Гельфанда и М. Л. Цетлина, продолженных затем рядом других авторов. Сформулируем аксиоматическое описание модели, о которой идет речь.

Будем под «возбудимой средой» понимать некоторое множество X элементов («клеток»), обладающих следующими свойствами:

1.Каждый элемент может находиться в одном из трех состояний: покой, возбуждение и рефрактерность;

2.От каждого возбужденного элемента возбуждение распространяется по множеству элементов, находящихся в покое, с некоторой скоростью v ;

3.Если элемент х не был возбужден в течение некоторого определенного времени Т(х) , то по прошествии этого времени он самопроизвольно переходит в возбужденное состояние. Время Т(х) называется периодом спонтанной активности элемента х . При этом не исключается и тот случай, когда Т(х)= ∞ , т. е. когда спонтанная активность на самом деле отсутствует;

4.Состояние возбуждения длится некоторое время τ (которое может зависеть от х ), потом элемент переходит на время R(x) в рефрактерное состояние, после чего наступает состояние покоя.

Похожие математические модели возникают и в совсем других областях, например в теории горения, или в задачах о распространении света в неоднородной среде. Однако наличие «периода рефрактерности» является характерной чертой именно биологических процессов.

Описанную модель можно исследовать или аналитическими методами, или с помощью реализации ее на вычислительной машине. В последнем случае мы, понятно, вынуждены считать, что множество X (возбудимая среда) состоит из некоторого конечного числа элементов (в соответствии с возможностями существующей вычислительной техники - порядка нескольких тысяч). Для аналитического исследования естественно предполагать X некоторым непрерывным многообразием (например, считать, что X - это кусок плоскости). Простейший случай такой модели получается, если принять за X некоторый отрезок (прототип нервного волокна) и предположить, что время, в течение которого каждый элемент находится в возбужденном состоянии, очень мало. Тогда процесс последовательного распространения импульсов по такому «нервному волокну» может быть описан цепочкой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Уже в этой упрощенной модели воспроизводится ряд особенностей процесса распространения, обнаруживаемых и в реальных биологических экспериментах.

Весьма интересен как с теоретической, так и с прикладной медицинской точки зрения вопрос об условиях возникновения в такой модельной активной среде так называемой фибрилляции. Это явление, наблюдаемое экспериментально, например на сердечной мышце, состоит в том, что вместо ритмических согласованных сокращений в сердце возникают беспорядочные локальные возбуждения, лишенные периодичности и нарушающие его функционирование. Впервые теоретическое исследование этой проблемы было предпринято в работе Н. Винера и А. Розенблюта в 50-х годах. В настоящее время работы в этом направлении интенсивно ведутся у нас и дали уже ряд интересных результатов.