Благовещенский собор Московского Кремля
Один из древнейших храмов Московского Кремля стоит на краю Соборной площади на бровке Боровицкого холма. Много веков...
Трое детей пошли в лес за ягодами. Старшая дочь нашла 18 ягод, средняя - 15, а младший брат - 3 ягоды (см. рис. 1). Принесли ягоды маме, которая решила разделить ягоды поровну. Сколько ягод получил каждый из детей?
Рис. 1. Иллюстрация к задаче
Решение
(яг.) - всего собрали дети
2) Разделим общее количество ягод на количество детей:
(яг.) досталось каждому ребёнку
Ответ : каждый ребёнок получит по 12 ягод.
В задаче 1 полученное в ответе число - это среднее арифметическое.
Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество.
Пример 1
Мы имеем два числа: 10 и 12. Найти их среднее арифметическое.
Решение
1) Определим сумму этих чисел: .
2) Количество этих чисел равно 2, следовательно, среднее арифметическое этих чисел равно: .
Ответ : среднее арифметическое чисел 10 и 12 - это число 11.
Пример 2
Мы имеем пять чисел: 1, 2, 3, 4 и 5. Найти их среднее арифметическое.
Решение
1) Сумма этих чисел равна: .
2) По определению среднее арифметическое - это частное от деления суммы чисел на их количество. Мы имеем пять чисел, поэтому среднее арифметическое равно:
Ответ : среднее арифметическое данных в условии чисел равно 3.
Кроме того, что его постоянно предлагают найти на уроках, нахождение среднего арифметического весьма полезно и в повседневной жизни. Например, предположим, что мы хотим поехать на отдых в Грецию. Для выбора подходящёй одежды мы смотрим, какая температуру в этой стране в данный момент. Однако мы не узнаем общей картины погоды. Поэтому необходимо узнать температуру воздуха в Греции, например, за неделю, и найти среднее арифметическое этих температур.
Пример 3
Температура в Греции за неделю: понедельник - ; вторник - ; среда - ; четверг - ; пятница - ; суббота - ; воскресенье - . Посчитать среднюю температуру за неделю.
Решение
1) Вычислим сумму температур: .
2) Разделим полученную сумму на количество дней: .
Ответ : средняя температура за неделю около .
Умение находить среднее арифметическое также может понадобиться для определения среднего возраста игроков футбольной команды, то есть для того чтобы установить, опытная команда или нет. Необходимо просуммировать возраст всех игроков и разделить на их количество.
Задача 2
Купец продавал яблоки. Сначала он продавал их по цене 85 рублей за 1 кг. Так он продал 12 кг. Затем он снизил цену до 65 рублей и продал оставшиеся 4 кг яблок. Какая была средняя цена за яблоки?
Решение
1) Посчитаем, сколько денег всего заработал купец. 12 килограмм он продал по цене 85 рублей за 1 кг: (руб.).
4 килограмма он продал по цене 65 рублей за 1 кг: (руб.).
Следовательно, общая сумма заработанных денег равна: (руб.).
2) Общий вес проданных яблок равен: .
3) Разделим полученную сумму денег на общий вес проданных яблок и получим среднюю цену за 1 кг яблок: (руб.).
Ответ : средняя цена 1 кг проданных яблок - 80 рублей.
Среднее арифметическое помогает оценить данные в целом, не беря каждое значение по отдельности.
Однако не всегда можно пользоваться понятием среднее арифметическое.
Пример 4
Стрелок сделал два выстрела по мишени (см. рис. 2): в первый раз он попал на метр выше мишени, а во второй - на метр ниже. Среднее арифметическое покажет, что он попал точно в центр, хотя он промахнулся оба раза.
Рис. 2. Иллюстрация к примеру
На этом уроке мы познакомились с понятием среднее арифметическое. Мы узнали определение этого понятия, научились вычислять среднее арифметическое для нескольких чисел. Также мы узнали практическое применение этого понятия.
Тема среднего арифметического и среднего геометрического входит в программу математики 6-7 классов. Так как параграф довольно прост для понимания, его быстро проходят, и к завершению учебного года школьники его забывают. Но знания в базовой статистике нужны для сдачи ЕГЭ, а также для международных экзаменов SAT. Да и для повседневной жизни развитое аналитическое мышление никогда не помешает.
Допустим, имеется ряд чисел: 11, 4, и 3. Средним арифметическим называется сумма всех чисел, поделенная на количество данных чисел. То есть в случае чисел 11, 4, 3, ответ будет 6. Как образом получается 6?
Решение: (11 + 4 + 3) / 3 = 6
В знаменателе должно стоять число, равное количеству чисел, среднее которых нужно найти. Сумма делится на 3, так как слагаемых три.
Теперь надо разобраться со средним геометрическим. Допустим, есть ряд чисел: 4, 2 и 8.
Средним геометрическим чисел называется произведение всех данных чисел, находящееся под корнем со степенью, равной количеству данных чисел.То есть в случае чисел 4, 2 и 8 ответом будет 4. Вот каким образом это получилось:
Решение: ∛(4 × 2 × 8) = 4
В обоих вариантах получились целые ответы, так как для примера были взяты специальные числа. Так происходит отнюдь не всегда. В большинстве случаев ответ приходится округлять или оставлять под корнем. Например, для чисел 11, 7 и 20 среднее арифметическое ≈ 12,67, а среднее геометрическое - ∛1540. А для чисел 6 и 5 ответы, соответственно, будут 5,5 и √30.
Конечно, может. Но только в двух случаях. Если имеется ряд чисел, состоящий только либо из единиц, либо из нулей. Примечательно также то, что ответ не зависит от их количества.
Доказательство с единицами: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (среднее арифметическое).
∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(среднее геометрическое).
Доказательство с нулями: (0 + 0) / 2=0 (среднее арифметическое).
√(0 × 0) = 0 (среднее геометрическое).
Другого варианта нет и быть не может.
Под понятием среднего арифметического чисел подразумевается результат несложной последовательности расчётов средней величины для ряда чисел, определённых заранее. Необходимо отметить, что такое значение в данное время широко применяется специалистами ряда отраслей. Например, известны формулы при проведении расчётов экономистами или работниками статистической отрасли, где требуется иметь значение данного типа. Кроме этого, этот показатель активно используют и в ряде других отраслей, которые являются смежными с вышеуказанными.
Одной из особенностей расчётов данного значения является простота процедуры. Провести расчёты сможет любой желающий. Для этого не надо иметь специальное образование. Часто нет необходимости применять и вычислительную технику.
В качестве ответа на вопрос как найти среднее арифметическое рассмотрим ряд ситуаций.
Самым простым вариантом расчёта данной величины есть подсчёт её для двух чисел. Процедура проведения расчёта в этом случае является очень простой:
Таким образом, формула для подсчёта требуемой величины в случае с двумя будет выглядеть следующим образом:
(А+В)/2
В этой формуле применяется следующее обозначение:
А и В – это заранее выбранные числа, для которых необходимо находить значение.
Проведение расчёта данной величины в ситуации, когда выбраны три числа, не будет сильно отличаться от предыдущего варианта:
Тем самым формула, необходимая при проведении расчётов арифметического трёх, будет выглядеть так:
(А+В+С)/3
В данной формуле принято следующее обозначение:
А, В и С – это числа, к которым необходимо будет находить среднее арифметическое.
Как уже видно по аналогии с предыдущими вариантами вычисление данного значения для количества, равного четырём, будет носить следующий порядок:
Из описанной выше последовательности действий по нахождению среднего арифметического для четырёх, можно получить следующую формулу:
(А+В+С+Е)/4
В данной формуле переменные имеют следующее значение:
А, В, С и Е – это те, к которым необходимо найти значение среднего арифметического.
Применяя данную формулу, всегда можно будет вычислять требуемое значение для данного количества чисел.
Выполнение данной операции потребует проведения определённого алгоритма действий.
Тем самым аналогично с ранее рассмотренными вариантами получаем такую формулу для подсчёта среднего арифметического:
(А+В+С+Е+Р)/5
В данной формуле переменные имеют такое обозначение:
А, В, С, Е и Р – это числа, для которых необходимо получить среднее арифметическое.
Проводя рассмотрение различных вариантов формул для вычисления среднего арифметического , можно обратить внимание на то, что у них есть общая закономерность.
Поэтому практичнее будет применять общую формулу для нахождения среднего арифметического. Ведь бывают ситуации, когда количество и величина расчётов может быть очень большой. Поэтому разумнее будет использовать универсальную формулу и не выводить каждый раз индивидуальную технологию для расчёта данной величины.
Главным при определении формулы является принцип расчёта среднего арифметическог о.
Данный принцип как было видно из приведённых примеров, выглядит таким образом:
Таким образом, общая формула для расчёта среднего арифметического ряда подобранных чисел будет выглядеть следующим образом:
(А+В+…+N)/N
Данная формула содержит следующие переменные:
А и В – это числа, которые выбраны заранее для расчёта их среднего арифметического.
N – это количество чисел, которые были взяты с целью проведения расчёта требуемого значения.
Подставляя каждый раз в данную формулу выбранные числа, мы всегда сможем получить требуемое значение среднего арифметического.
Как видно, нахождение среднего арифметического является несложной процедурой. Однако надо внимательно относиться к проводимым вычислениям и проводить проверку полученного результата. Такой подход объясняется тем, что даже в самых простых ситуациях существует вероятность получения ошибки, которая может повлиять потом на дальнейшие расчёты. В связи с этим рекомендуется применять вычислительную технику, которая способна произвести подсчёты любой сложности.
Ответ: каждому досталось по 4 груши.Пример 2.
На курсы английского языка в понедельник пришло 15 человек, во вторник - 10, в среду - 12, в четверг - 11, в пятницу - 7, в субботу - 14, в воскресенье - 8. Найти среднюю посещаемость курсов за неделю.
Решение:
Найдем среднее арифметическое:
15 + 10 + 12 + 11 + 7 + 14 + 8 | = | 77 | = 11 |
7 | 7 |
Пример 3.
Гонщик ехала два часа со скоростью 120 км/ч и час со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля во время гонки.
Решение:
Найдем среднее арифметическое скоростей автомобиля за каждый час пути:
120 + 120 + 90 | = | 330 | = 110 |
3 | 3 |
Пример 4.
Среднее арифметическое 3 чисел равно 6, а среднее арифметическое 7 других чисел равно 3. Чему равно среднее арифметическое этих десяти чисел?
Решение:
Так как среднее арифметическое 3-х чисел равно 6 то их сумма равна 6 · 3 = 18, аналогично сумма оставшихся 7-ми чисел равна 7 · 3 = 21.
Значит сумма всех 10-ти чисел будет 18 + 21 = 39, а среднее арифметическое равно
39 | = 3.9 |
10 |
Что такое среднее арифметическое?
Предложена (наряду со средним геометрическим и средним гармоническим) еще пифагорейцами 1.
Частными случаями среднего арифметического являются среднее (генеральной совокупности) и выборочное среднее (выборки).
Для обозначения среднего арифметического всей совокупности используется греческая буква. Для случайной величины, для которой определено среднее значение, есть вероятностное среднее или математическое ожидание случайной величины. Если множество X является совокупностью случайных чисел с вероятностным средним, тогда для любой выборки xi из этой совокупности = E{xi} есть математическое ожидание этой выборки.
На практике разница между и bar{x} , в том, что является типичной переменной, потому что видеть можно скорее выборку, а не всю генеральную совокупность. Поэтому, если выборку представлять случайным образом (в терминах теории вероятностей), тогда bar{x} , (но не) можно трактовать как случайную переменную, имеющую распределение вероятностей на выборке (вероятностное распределение среднего).
Обе эти величины вычисляются одним и тем же способом:
bar{x} = frac{1}{n}sum_{i=1}^n x_i = frac{1}{n} (x_1+cdots+x_n).
Если X случайная переменная, тогда математическое ожидание X можно рассматривать как среднее арифметическое значений в повторяющихся измерениях величины X. Это является проявлением закона больших чисел. Поэтому выборочное среднее используется для оценки неизвестного математического ожидания.
В элементарной алгебре доказано, что среднее n + 1 чисел больше среднего n чисел тогда и только тогда, когда новое число больше чем старое среднее, меньше тогда и только тогда, когда новое число меньше среднего, и не меняется тогда и только тогда, когда новое число равно среднему. Чем больше n, тем меньше различие между новым и старым средними значениями.
Заметим, что имеется несколько других средних значений, в том числе среднее степенное, среднее Колмогорова, гармоническое среднее, арифметико-геометрическое среднее и различные средне-взвешенные величины.
Примеры править править вики-текст
Для трх чисел необходимо сложить их и разделить на 3:
frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}.
Для четырх чисел необходимо сложить их и разделить на 4:
frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4}.
Или проще 5+5=10, 10:2. Потому что мы складывали 2 числа, а значит, сколько чисел складываем, на столько и делим.
Непрерывная случайная величина править править вики-текст
Для непрерывно распределнной величины f(x) среднее арифметическое на отрезке a;b определяется через определнный интеграл: Некоторые проблемы применения среднего Отсутствие робастности править Основная статья: Робастность в статистикеХотя среднее арифметическое часто используется в качестве средних значений или центральных тенденций, это понятие не относится к робастной статистике, что означает, что среднее арифметическое подвержено сильному влиянию больших отклонений. Примечательно, что для распределений с большим коэффициентом асимметрии среднее арифметическ
Наиболее простой случай - найти среднее арифметическое двух чисел x1 и x2. Тогда их среднее арифметическое X = (x1+x2)/2. Например, X = (6+2)/2 = 4 - среднее арифметическое чисел 6 и 2.
2
Общая формула для нахождения среднего арифметического n чисел будет выглядеть так: X = (x1+x2+...+xn)/n. Ее можно также записать в виде: X = (1/n)xi, где суммирование ведется по индексу i от i = 1 до i = n.
К примеру, среднее арифметическое трех чисел X = (x1+x2+x3)/3, пяти чисел - (x1+x2+x3+x4+x5)/5.
3
Интерес представляет ситуация, когда набор чисел представляет собой члены арифметической прогрессии. Как известно, члены арифметической прогрессии равны a1+(n-1)d, где d - шаг прогрессии, а n - номер члена прогрессии.
Пусть a1, a1+d, a1+2d,...a1+(n-1)d - члены арифметической прогрессии. Их среднее арифметическое равно S = (a1+a1+d+a1+2d+...+a1+(n-1)d)/n = (na1+d+2d+...+(n-1)d)/n = a1+(d+2d+...+(n-2)d+(n-1)d)/n = a1+(d+2d+...+dn-d+dn-2d)/n = a1+(n*d*(n-1)/2)/n = a1+dn/2 = (2a1+d(n-1))/2 = (a1+an)/2. Таким образом среднее арифметическое членов арифметической прогрессии равно среднему арифметическому его первого и последнего членов.
4
Также справедливо свойство, что каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому предыдущего и последующего члена прогрессии: an = (a(n-1)+a(n+1))/2, где a(n-1), an, a(n+1) - идущие друг за другом члены последовательности.
6 + 8... ср ар = 7