Каква е вероятността... Теория на вероятностите. средно ниво. Действия върху събития

• Вероятността е степента (относителна мярка, количествена оценка) на възможността за настъпване на дадено събитие. Когато причините за реално възникване на някакво възможно събитие надвишават противоположните причини, тогава това събитие се нарича вероятно, в противен случай - малко вероятно или невероятно. Преобладаването на положителните причини над отрицателните и обратното може да бъде в различна степен, в резултат на което вероятността (и невероятността) може да бъде по-голяма или по-малка. Следователно вероятността често се оценява на качествено ниво, особено в случаите, когато повече или по-малко точна количествена оценка е невъзможна или изключително трудна. Възможни са различни степени на „нива“ на вероятност.

  Изследването на вероятностите от математическа гледна точка представлява специална дисциплина - теория на вероятностите. В теорията на вероятностите и математическата статистика концепцията за вероятност е формализирана като числена характеристика на събитие - вероятностна мярка (или нейната стойност) - мярка за набор от събития (подмножества от набор от елементарни събития), приемащи стойности от

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Значение

  (\displaystyle 1)

  Съответства на надеждно събитие. Невъзможно събитие има вероятност от 0 (обратното обикновено не винаги е вярно). Ако вероятността за настъпване на събитие е

  (\displaystyle p)

  Тогава вероятността да не се случи е равна на

  (\displaystyle 1-p)

  По-специално, вероятността

  (\displaystyle 1/2)

  Означава еднаква вероятност за настъпване и ненастъпване на събитие.

  Класическата дефиниция на вероятността се основава на концепцията за еднаква вероятност за резултати. Вероятността е съотношението на броя на благоприятните резултати за дадено събитие към общия брой еднакво възможни резултати. Например, вероятността да получите глави или опашки при произволно хвърляне на монета е 1/2, ако се приеме, че се срещат само тези две възможности и че те са еднакво възможни. Тази класическа „дефиниция“ на вероятността може да се обобщи за случая на безкраен брой възможни стойности - например, ако някакво събитие може да се случи с еднаква вероятност във всяка точка (броят на точките е безкраен) от някакъв ограничен регион на пространство (равнина), тогава вероятността това да се случи в някаква част от тази възможна област е равна на съотношението на обема (площта) на тази част към обема (площта) на областта на всички възможни точки.

  Емпиричното „дефиниране“ на вероятността е свързано с честотата на дадено събитие, въз основа на факта, че при достатъчно голям брой опити честотата трябва да клони към обективната степен на вероятност на това събитие. В съвременното представяне на теорията на вероятностите, вероятността се дефинира аксиоматично, като специален случай на абстрактната теория на мярката на множеството. Но свързващото звено между абстрактната мярка и вероятността, която изразява степента на възможност за настъпване на дадено събитие, е именно честотата на неговото наблюдение.

  Вероятностното описание на определени явления е широко разпространено в съвременната наука, по-специално в иконометрията, статистическата физика на макроскопичните (термодинамични) системи, където дори в случай на класическо детерминистично описание на движението на частиците, детерминистично описание на цялата система на частици не изглежда практически възможно или подходящо. В квантовата физика описаните процеси сами по себе си имат вероятностен характер.

Теорията на вероятностите е дял от математиката, който изучава моделите на случайни явления: случайни събития, случайни променливи, техните свойства и операции върху тях.

Дълго време теорията на вероятностите нямаше ясна дефиниция. Той е формулиран едва през 1929 г. Възникването на теорията на вероятностите като наука датира от Средновековието и първите опити за математически анализ на хазарта (флейк, зарове, рулетка). Френските математици от 17-ти век Блез Паскал и Пиер Ферма, докато изучават прогнозирането на печалбите в хазарта, откриват първите вероятностни модели, които възникват при хвърляне на зарове.

Теорията на вероятностите възниква като наука от убеждението, че масовите случайни събития се основават на определени модели. Теорията на вероятностите изучава тези модели.

Теорията на вероятностите се занимава с изучаването на събития, чието възникване не е известно със сигурност. Тя ви позволява да прецените степента на вероятност за настъпване на някои събития в сравнение с други.

Например: невъзможно е да се определи недвусмислено резултатът от „глави“ или „опашки“ в резултат на хвърляне на монета, но при многократно хвърляне се появяват приблизително еднакъв брой „глави“ и „опашки“, което означава, че вероятността „глави“ или „опашки“ да паднат ", е равна на 50%.

Теств този случай се нарича прилагането на определен набор от условия, тоест в този случай хвърлянето на монета. Предизвикателството може да се играе неограничен брой пъти. В този случай наборът от условия включва случайни фактори.

Резултатът от теста е събитие. Събитието се случва:

1. Надеждно (винаги възниква в резултат на тестване).
2. Невъзможно (никога не се случва).
3. Случаен (може или не може да възникне в резултат на теста).

Например, когато хвърляте монета, невъзможно събитие - монетата ще кацне на ръба си, случайно събитие - появата на „глави“ или „опашки“. Конкретният резултат от теста се извиква елементарно събитие. В резултат на теста възникват само елементарни събития. Извиква се множеството от всички възможни, различни, специфични резултати от теста пространство на елементарни събития.

Основни понятия на теорията

Вероятност- степента на вероятност за настъпване на събитие. Когато причините за реално възникване на някакво възможно събитие надвишават противоположните причини, тогава това събитие се нарича вероятно, в противен случай - малко вероятно или невероятно.

Случайна стойност- това е величина, която в резултат на тестване може да приеме една или друга стойност, като не е известно предварително каква. Например: брой на пожарна на ден, брой попадения с 10 изстрела и т.н.

Случайните променливи могат да бъдат разделени на две категории.

1. Дискретна случайна променливае количество, което в резултат на тестване може да приеме определени стойности с определена вероятност, образувайки изброимо множество (набор, чиито елементи могат да бъдат номерирани). Това множество може да бъде крайно или безкрайно. Например броят на изстрелите преди първото попадение в целта е дискретна случайна променлива, т.к. това количество може да приеме безкраен, макар и изброим брой стойности.
2. Непрекъсната случайна променливае количество, което може да приеме произволна стойност от някакъв краен или безкраен интервал. Очевидно броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкраен.

Вероятностно пространство- концепция, въведена от A.N. Колмогоров през 30-те години на 20-ти век, за да формализира понятието вероятност, което доведе до бързото развитие на теорията на вероятностите като строга математическа дисциплина.

Вероятностното пространство е тройка (понякога оградена в ъглови скоби: , където

Това е произволно множество, чиито елементи се наричат ​​елементарни събития, резултати или точки;
- сигма алгебра на подмножества, наречени (случайни) събития;
- вероятностна мярка или вероятност, т.е. сигма-добавена крайна мярка, така че .

Теорема на Моавр-Лаплас- една от граничните теореми на теорията на вероятностите, създадена от Лаплас през 1812 г. Той гласи, че броят на успехите при повтаряне на един и същ случаен експеримент отново и отново с два възможни резултата е приблизително нормално разпределен. Позволява ви да намерите приблизителна стойност на вероятността.

Ако за всеки от независимите опити вероятността за възникване на някакво случайно събитие е равна на () и е броят на опитите, в които то действително се случва, тогава вероятността неравенството да е вярно е близка (за големи стойности) до стойност на интеграла на Лаплас.

Функция на разпределение в теорията на вероятностите- функция, характеризираща разпределението на случайна променлива или случаен вектор; вероятността случайна променлива X да приеме стойност, по-малка или равна на x, където x е произволно реално число. Ако са изпълнени известни условия, той напълно определя случайната променлива.

Очаквана стойност- средната стойност на случайна променлива (това е вероятностното разпределение на случайна променлива, разглеждано в теорията на вероятностите). В англоезичната литература се обозначава с , в руската - . В статистиката нотацията често се използва.

Нека е дадено вероятностно пространство и произволна променлива, дефинирана върху него. Това е, по дефиниция, измерима функция. След това, ако има интеграл на Лебег от над пространството, тогава той се нарича математическо очакване или средна стойност и се обозначава.

Дисперсия на случайна променлива- мярка за разпространението на дадена случайна величина, т.е. нейното отклонение от математическото очакване. Обозначава се в руската и чуждестранната литература. В статистиката често се използва обозначението или. Корен квадратен от дисперсията се нарича стандартно отклонение, стандартно отклонение или стандартен спред.

Нека е случайна променлива, дефинирана в някакво вероятностно пространство. Тогава

където символът означава математическото очакване.

В теорията на вероятностите се наричат ​​две случайни събития независима, ако появата на едно от тях не променя вероятността за възникване на другото. По същия начин се извикват две случайни променливи зависим, ако стойността на една от тях влияе върху вероятността от стойностите на другата.

Най-простата форма на закона за големите числа е теоремата на Бернули, която гласи, че ако вероятността за събитие е една и съща във всички опити, тогава с увеличаване на броя на опитите честотата на събитието клони към вероятността за събитието и престава да бъде случаен.

Законът за големите числа в теорията на вероятностите гласи, че средната аритметична стойност на крайна извадка от фиксирано разпределение е близка до теоретичната средна стойност на това разпределение. В зависимост от вида на конвергенцията се прави разлика между слабия закон на големите числа, когато сходимостта възниква по вероятност, и силния закон на големите числа, когато сходимостта е почти сигурна.

Общото значение на закона за големите числа е, че съвместното действие на голям брой еднакви и независими случайни фактори води до резултат, който в крайна сметка не зависи от случайността.

Методите за оценка на вероятността, базирани на анализ на ограничена извадка, се основават на това свойство. Ярък пример е прогнозата за изборните резултати въз основа на проучване на извадка от избиратели.

Централни гранични теореми- клас теореми в теорията на вероятностите, заявяващи, че сумата от достатъчно голям брой слабо зависими случайни променливи, които имат приблизително еднакви мащаби (нито един от термините не доминира или не прави определящ принос към сумата) има разпределение, близко до нормалното.

Тъй като много случайни променливи в приложенията се формират под въздействието на няколко слабо зависими случайни фактора, тяхното разпределение се счита за нормално. В този случай трябва да е изпълнено условието нито един от факторите да не е доминиращ. Централните гранични теореми в тези случаи оправдават използването на нормалното разпределение.

„Инцидентите не са случайни“... Звучи като нещо, казано от философ, но всъщност изучаването на случайността е съдбата на великата наука математика. В математиката случайността се разглежда от теорията на вероятностите. В статията ще бъдат представени формули и примери за задачи, както и основните определения на тази наука.

Какво е теория на вероятностите?

Теорията на вероятностите е една от математическите дисциплини, които изучават случайни събития.

За да стане малко по-ясно, нека дадем малък пример: ако хвърлите монета нагоре, тя може да падне върху глави или опашки. Докато монетата е във въздуха, и двете от тези вероятности са възможни. Тоест вероятността от възможни последствия е 1:1. Ако една бъде изтеглена от тесте от 36 карти, тогава вероятността ще бъде посочена като 1:36. Изглежда, че тук няма какво да се изследва и прогнозира, особено с помощта на математически формули. Въпреки това, ако повторите определено действие много пъти, можете да идентифицирате определен модел и въз основа на него да предскажете изхода от събития в други условия.

За да обобщим всичко по-горе, теорията на вероятностите в класическия смисъл изучава възможността за настъпване на едно от възможните събития в числова стойност.

От страниците на историята

Теорията на вероятностите, формулите и примерите за първите задачи се появяват в далечното Средновековие, когато за първи път се появяват опити за предсказване на резултата от игрите с карти.

Първоначално теорията на вероятностите нямаше нищо общо с математиката. Обосновава се с емпирични факти или свойства на дадено събитие, които могат да бъдат възпроизведени на практика. Първите трудове в тази област като математическа дисциплина се появяват през 17 век. Основатели са Блез Паскал и Пиер Ферма. Те изучаваха хазарта дълго време и видяха определени модели, за които решиха да разкажат на обществеността.

Същата техника е изобретена от Кристиан Хюйгенс, въпреки че той не е бил запознат с резултатите от изследванията на Паскал и Ферма. Понятието „теория на вероятностите“, формули и примери, които се считат за първите в историята на дисциплината, са въведени от него.

Трудовете на Якоб Бернули, теоремите на Лаплас и Поасон също са от немалко значение. Те направиха теорията на вероятностите по-скоро като математическа дисциплина. Теорията на вероятностите, формулите и примерите за основни задачи получиха сегашния си вид благодарение на аксиомите на Колмогоров. В резултат на всички промени теорията на вероятностите се превърна в един от математическите клонове.

Основни понятия на теорията на вероятностите. събития

Основната концепция на тази дисциплина е „събитие“. Има три вида събития:

• Надежден.Тези, които така или иначе ще се случат (монетата ще падне).
• Невъзможен.Събития, които няма да се случат при никакви обстоятелства (монетата ще остане да виси във въздуха).
• Случаен.Тези, които ще се случат или няма да се случат. Те могат да бъдат повлияни от различни фактори, които са много трудни за прогнозиране. Ако говорим за монета, тогава има случайни фактори, които могат да повлияят на резултата: физическите характеристики на монетата, нейната форма, първоначалната й позиция, силата на хвърляне и т.н.

Всички събития в примерите са посочени с главни латински букви, с изключение на P, което има друга роля. Например:

• A = „студентите дойдоха на лекция.“
• Ā = „студентите не дойдоха на лекцията.“

В практическите задачи събитията обикновено се записват с думи.

Една от най-важните характеристики на събитията е тяхната равна възможност. Тоест, ако хвърлите монета, всички варианти на първоначалното падане са възможни, докато не падне. Но събитията също не са еднакво възможни. Това се случва, когато някой умишлено повлияе на резултата. Например „маркирани“ карти за игра или зарове, в които центърът на тежестта е изместен.

Събитията също могат да бъдат съвместими и несъвместими. Съвместимите събития не изключват взаимното си появяване. Например:

• A = „студентът дойде на лекцията.“
• B = „студентът дойде на лекцията.“

Тези събития са независими едно от друго и настъпването на едно от тях не влияе на настъпването на другото. Несъвместимите събития се определят от факта, че появата на едно изключва появата на друго. Ако говорим за една и съща монета, тогава загубата на „опашки“ прави невъзможно появата на „глави“ в същия експеримент.

Действия върху събития

Събитията могат да се умножават и събират, съответно в дисциплината са въведени логически връзки „И” и „ИЛИ”.

Сумата се определя от факта, че събитие А или Б, или две, могат да се случат едновременно. Ако са несъвместими, последната опция е невъзможна; ще се хвърлят или A, или B.

Умножаването на събития се състои в появата на A и B едновременно.

Сега можем да дадем няколко примера, за да запомним по-добре основите, теорията на вероятностите и формулите. Примери за решаване на проблеми по-долу.

Упражнение 1: Фирмата участва в конкурс за получаване на договори за три вида работа. Възможни събития, които могат да възникнат:

• A = "фирмата ще получи първия договор."
• A 1 = „фирмата няма да получи първия договор.“
• B = „фирмата ще получи втори договор.“
• B 1 = „фирмата няма да получи втори договор“
• C = „фирмата ще получи трети договор.“
• C 1 = „фирмата няма да получи трети договор.“

Използвайки действия върху събития, ще се опитаме да изразим следните ситуации:

• K = „компанията ще получи всички договори.“

В математическа форма уравнението ще има следната форма: K = ABC.

• M = „компанията няма да получи нито един договор.“

M = A 1 B 1 C 1.

Нека усложним задачата: H = "компанията ще получи един договор." Тъй като не е известно кой договор ще получи компанията (първи, втори или трети), е необходимо да се запише цялата гама от възможни събития:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

И 1 пр. н. е. 1 е поредица от събития, при които фирмата не получава първия и третия договор, но получава втория. Други възможни събития бяха записани с помощта на подходящия метод. Символът υ в дисциплината означава свързващото „ИЛИ“. Ако преведем горния пример на човешки език, компанията ще получи или третия договор, или втория, или първия. По подобен начин можете да запишете други условия в дисциплината „Теория на вероятностите“. Формулите и примерите за решаване на проблеми, представени по-горе, ще ви помогнат да направите това сами.

Всъщност вероятността

Може би в тази математическа дисциплина вероятността за събитие е централната концепция. Има 3 определения за вероятност:

• класически;
• статистически;
• геометричен.

Всеки има своето място в изследването на вероятностите. Теория на вероятностите, формули и примери (9 клас) използват основно класическата дефиниция, която звучи така:

• Вероятността за ситуация А е равна на отношението на броя на резултатите, които благоприятстват нейното възникване, към броя на всички възможни резултати.

Формулата изглежда така: P(A)=m/n.

А всъщност е събитие. Ако се появи случай, противоположен на A, той може да бъде записан като Ā или A 1 .

m е броят на възможните благоприятни случаи.

n - всички събития, които могат да се случат.

Например A = „изтеглете карта с цвят на сърцето“. В едно стандартно тесте има 36 карти, 9 от които са със сърца. Съответно формулата за решаване на проблема ще изглежда така:

P(A)=9/36=0.25.

В резултат на това вероятността от тестето да бъде изтеглена карта с цвят на сърцето ще бъде 0,25.

Към висшата математика

Сега стана малко известно какво представлява теорията на вероятностите, формули и примери за решаване на проблеми, които се срещат в училищната програма. Теорията на вероятностите обаче се среща и във висшата математика, която се преподава в университетите. Най-често оперират с геометрични и статистически определения на теорията и сложни формули.

Теорията на вероятностите е много интересна. По-добре е да започнете да изучавате формули и примери (висша математика) малки - със статистическата (или честотна) дефиниция на вероятността.

Статистическият подход не противоречи на класическия, а леко го разширява. Ако в първия случай беше необходимо да се определи с каква вероятност ще се случи събитие, тогава в този метод е необходимо да се посочи колко често ще се случи. Тук се въвежда нова концепция за „относителна честота“, която може да бъде означена с W n (A). Формулата не се различава от класическата:

Ако класическата формула се изчислява за прогнозиране, то статистическата се изчислява според резултатите от експеримента. Да вземем например една малка задача.

Отделът за технологичен контрол проверява качеството на продуктите. От 100 продукта 3 са с лошо качество. Как да намерим честотната вероятност на качествен продукт?

A = „вид на качествен продукт“.

W n (A)=97/100=0,97

Така честотата на качествен продукт е 0,97. От къде взе 97? От 100 проверени продукта 3 са с лошо качество. От 100 изваждаме 3 и получаваме 97, това е количеството качествени стоки.

Малко за комбинаториката

Друг метод на теорията на вероятностите се нарича комбинаторика. Неговият основен принцип е, че ако даден избор A може да бъде направен по m различни начина, а избор B може да бъде направен по n различни начина, тогава изборът на A и B може да бъде направен чрез умножение.

Например има 5 пътя, водещи от град А до град Б. Има 4 пътеки от град B до град C. По колко начина можете да стигнете от град А до град В?

Просто е: 5x4=20, тоест по двадесет различни начина можете да стигнете от точка А до точка С.

Нека да усложним задачата. Колко начина има за подреждане на карти в пасианса? В тестето има 36 карти - това е началната точка. За да разберете броя на начините, трябва да „изваждате“ една карта наведнъж от началната точка и да умножавате.

Тоест, 36x35x34x33x32...x2x1= резултатът не се побира на екрана на калкулатора, така че може просто да бъде обозначен като 36!. Знак "!" до числото показва, че цялата поредица от числа се умножава заедно.

В комбинаториката има такива понятия като пермутация, поставяне и комбинация. Всеки от тях има своя собствена формула.

Подредено множество от елементи на множество се нарича подреждане. Разположенията могат да се повтарят, тоест един елемент може да се използва няколко пъти. И без повторение, когато елементите не се повтарят. n са всички елементи, m са елементи, които участват в поставянето. Формулата за поставяне без повторение ще изглежда така:

A n m =n!/(n-m)!

Връзките на n елемента, които се различават само по реда на разположение, се наричат ​​пермутации. В математиката изглежда така: P n = n!

Комбинации от n елемента от m са тези съединения, в които е важно какви елементи са били и какъв е общият им брой. Формулата ще изглежда така:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формула на Бернули

В теорията на вероятностите, както във всяка дисциплина, има трудове на изключителни изследователи в своята област, които са я издигнали на ново ниво. Една от тези работи е формулата на Бернули, която ви позволява да определите вероятността определено събитие да се случи при независими условия. Това предполага, че появата на А в експеримент не зависи от появата или липсата на същото събитие в по-ранни или следващи опити.

Уравнение на Бернули:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Вероятността (p) за възникване на събитие (A) е постоянна за всеки опит. Вероятността ситуацията да се случи точно m пъти в n брой експеримента ще бъде изчислена по формулата, представена по-горе. Съответно възниква въпросът как да разберете числото q.

Ако събитие А се появи p брой пъти, то съответно може да не се случи. Единицата е число, което се използва за обозначаване на всички резултати от ситуация в дадена дисциплина. Следователно q е число, което означава възможността дадено събитие да не се случи.

Сега знаете формулата на Бернули (теория на вероятностите). По-долу ще разгледаме примери за решаване на проблеми (първо ниво).

Задача 2:Посетител на магазина ще направи покупка с вероятност 0,2. 6 посетители са влезли самостоятелно в магазина. Каква е вероятността посетител да направи покупка?

Решение: Тъй като не е известно колко посетители трябва да направят покупка, един или всичките шест, е необходимо да се изчислят всички възможни вероятности, като се използва формулата на Бернули.

A = „посетителят ще направи покупка“.

В този случай: p = 0,2 (както е посочено в задачата). Съответно q=1-0.2=0.8.

n = 6 (тъй като в магазина има 6 клиента). Числото m ще варира от 0 (нито един клиент няма да направи покупка) до 6 (всички посетители на магазина ще закупят нещо). В резултат на това получаваме решението:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Нито един от купувачите няма да направи покупка с вероятност 0,2621.

Как иначе се използва формулата на Бернули (теория на вероятностите)? Примери за решаване на проблеми (второ ниво) по-долу.

След горния пример възникват въпроси за това къде са отишли ​​C и r. Спрямо p, число на степен 0 ще бъде равно на едно. Що се отнася до C, той може да бъде намерен по формулата:

C n m = n! /m!(n-m)!

Тъй като в първия пример m = 0, съответно C = 1, което по принцип не влияе на резултата. Използвайки новата формула, нека се опитаме да разберем каква е вероятността двама посетители да закупят стоки.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Теорията на вероятностите не е толкова сложна. Формулата на Бернули, чиито примери са представени по-горе, е пряко доказателство за това.

Формула на Поасон

Уравнението на Поасон се използва за изчисляване на случайни ситуации с ниска вероятност.

Основна формула:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

В този случай λ = n x p. Ето една проста формула на Поасон (теория на вероятностите). По-долу ще разгледаме примери за решаване на проблеми.

Задача 3: Фабриката е произвела 100 000 части. Поява на дефектна част = 0,0001. Каква е вероятността да има 5 дефектни части в партида?

Както можете да видите, бракът е малко вероятно събитие и затова формулата на Поасон (теория на вероятностите) се използва за изчисление. Примери за решаване на задачи от този вид не се различават от другите задачи в дисциплината, ние заместваме необходимите данни в дадената формула:

A = „произволно избрана част ще бъде дефектна.“

p = 0,0001 (според условията на задачата).

n = 100000 (брой части).

m = 5 (дефектни части). Заменяме данните във формулата и получаваме:

R 100 000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Точно като формулата на Бернули (теория на вероятностите), примери за решения, използващи които са написани по-горе, уравнението на Поасон има неизвестно е. Всъщност може да се намери по формулата:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Има обаче специални таблици, които съдържат почти всички стойности на e.

Теорема на Моавр-Лаплас

Ако в схемата на Бернули броят на опитите е достатъчно голям и вероятността за възникване на събитие А във всички схеми е една и съща, тогава вероятността за възникване на събитие А определен брой пъти в поредица от тестове може да се намери чрез Формула на Лаплас:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

За да запомните по-добре формулата на Лаплас (теория на вероятностите), примерите за проблеми са дадени по-долу, за да ви помогнат.

Първо, нека намерим X m, заместим данните (всички са изброени по-горе) във формулата и получим 0,025. Използвайки таблици, намираме числото ϕ(0,025), чиято стойност е 0,3988. Сега можете да замените всички данни във формулата:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Така вероятността флаерът да работи точно 267 пъти е 0,03.

Формула на Бейс

Формулата на Байс (теория на вероятностите), примери за решаване на проблеми, с помощта на които ще бъдат дадени по-долу, е уравнение, което описва вероятността от събитие въз основа на обстоятелствата, които могат да бъдат свързани с него. Основната формула е следната:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

А и Б са определени събития.

P(A|B) е условна вероятност, тоест събитие A може да се случи, при условие че събитие B е вярно.

P (B|A) - условна вероятност за събитие B.

И така, последната част от краткия курс „Теория на вероятностите“ е формулата на Байс, примери за решения на проблеми с които са по-долу.

Задача 5: В склада са докарани телефони от три фирми. В същото време делът на телефоните, които се произвеждат в първия завод, е 25%, във втория - 60%, в третия - 15%. Известно е също, че средният процент на дефектни продукти в първата фабрика е 2%, във втората - 4%, а в третата - 1%. Трябва да намерите вероятността произволно избран телефон да бъде дефектен.

A = „случайно избран телефон“.

B 1 - телефонът, който произвежда първата фабрика. Съответно ще се появят въвеждащи B 2 и B 3 (за втория и третия завод).

В резултат получаваме:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0.15 - така намерихме вероятността за всяка опция.

Сега трябва да намерите условните вероятности на желаното събитие, тоест вероятността за дефектни продукти в компаниите:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Сега нека заместим данните във формулата на Bayes и да получим:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Статията представя теория на вероятностите, формули и примери за решаване на проблеми, но това е само върхът на айсберга на една обширна дисциплина. И след всичко написано ще бъде логично да зададем въпроса дали теорията на вероятностите е необходима в живота. Трудно е за обикновен човек да отговори; по-добре е да попитате някой, който го е използвал, за да спечели джакпота повече от веднъж.

Знанието как да оцените вероятността от дадено събитие въз основа на коефициентите е от съществено значение за избора на правилния залог. Ако не разбирате как да конвертирате коефициентите на букмейкъра във вероятност, никога няма да можете да определите как шансовете на букмейкъра се сравняват с действителните коефициенти на случващото се събитие. Трябва да разберете, че ако вероятността за събитие според букмейкърите е по-ниска от вероятността за същото събитие според вашата собствена версия, залогът за това събитие ще бъде ценен. Можете да сравните коефициентите за различни събития на уебсайта Odds.ru.

1.1. Видове коефициенти

Букмейкърите обикновено предлагат три вида коефициенти – десетични, дробни и американски. Нека да разгледаме всяка от разновидностите.

1.2. Десетични коефициенти

Десетичните коефициенти, умножени по размера на залога, ви позволяват да изчислите цялата сума, която ще получите в ръцете си, ако спечелите. Например, ако заложите $1 на коефициент 1,80, ако спечелите, ще получите $1,80 ($1 е върнатата сума на залога, 0,80 е печалбата от залога, която също е вашата нетна печалба).

Тоест вероятността за изход според букмейкърите е 55%.

1.3. Дробни коефициенти

Дробните коефициенти са най-традиционният тип коефициенти. Числителят показва потенциалните нетни печалби. Знаменателят е сумата на залога, която трябва да бъде направена, за да получите тази печалба. Например коефициенти 7/2 означават, че за да спечелите нетна печалба от $7, ще трябва да заложите $2.

За да изчислите вероятността от събитие въз основа на десетичен коефициент, трябва да извършите прости изчисления - разделете знаменателя на сумата от числителя и знаменателя. За горните коефициенти от 7/2 изчислението ще бъде както следва:

2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22

Тоест вероятността за изход според букмейкърите е 22%.

1.4. американски шансове

Този тип коефициенти е популярен в Северна Америка. На пръв поглед те изглеждат доста сложни и неразбираеми, но не се тревожете. Разбирането на американските коефициенти може да бъде полезно, например, когато играете в американски казина, за да разберете котировките, показани в спортни предавания в Северна Америка. Нека да разгледаме как да оценим вероятността за изход въз основа на американски коефициенти.

На първо място, трябва да разберете, че американските шансове могат да бъдат положителни и отрицателни. Отрицателният американски коефициент винаги е във формат, например „-150“. Това означава, че за да получите $100 чиста печалба (печалба), трябва да заложите $150.

Положителният американски коефициент се изчислява обратно. Например, имаме коефициент „+120“. Това означава, че за да получите $120 чиста печалба (печалба), трябва да заложите $100.

Изчисляването на вероятността на базата на отрицателни американски коефициенти се извършва по следната формула:

(-(отрицателен американски коефициент)) / ((-(-(отрицателен американски коефициент)) + 100)

(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6

Тоест вероятността от събитие, за което е даден отрицателен американски коефициент „-150“, е 60%.

Сега разгледайте подобни изчисления за положителния американски коефициент. Вероятността в този случай се изчислява по следната формула:

100 / (положителен американски коефициент + 100)

100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45

Тоест вероятността от събитие, за което е даден положителен американски коефициент „+120“, е 45%.

1.5. Как да конвертирате коефициенти от един формат в друг?

Възможността за конвертиране на коефициенти от един формат в друг може да ви послужи добре по-късно. Колкото и да е странно, все още има офиси, в които коефициентите не се конвертират и се показват само в един формат, което е необичайно за нас. Нека да разгледаме примери как да направите това. Но първо трябва да се научим как да изчисляваме вероятността за резултат въз основа на дадения ни коефициент.

1.6. Как да изчислим десетичните коефициенти въз основа на вероятността?

Тук всичко е много просто. Необходимо е да се раздели 100 на вероятността на събитието като процент. Тоест, ако очакваната вероятност за събитие е 60%, трябва да:

При изчислена вероятност за събитие от 60%, десетичният коефициент ще бъде 1,66.

1.7. Как да изчислим дробни шансове въз основа на вероятността?

В този случай трябва да разделите 100 на вероятността на събитието и да извадите едно от получения резултат. Например вероятността за събитие е 40%:

(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5

Тоест получаваме дробен коефициент 1,5/1 или, за по-лесно изчисление, 3/2.

1.8. Как да изчислим американските шансове въз основа на вероятния изход?

Тук много ще зависи от вероятността на събитието - дали ще бъде повече от 50% или по-малко. Ако вероятността за събитие е повече от 50%, изчислението ще се извърши по следната формула:

- ((вероятност) / (100 - вероятност)) * 100

Например, ако вероятността за събитие е 80%, тогава:

— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)

При изчислена вероятност за събитие от 80%, получихме отрицателен американски коефициент от „-400“.

Ако вероятността за събитие е по-малка от 50 процента, тогава формулата ще бъде:

((100 - вероятност) / вероятност) * 100

Например, ако вероятността за събитие е 40%, тогава:

((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150

При изчислена вероятност за събитие от 40%, получихме положителен американски коефициент „+150“.

Тези изчисления ще ви помогнат да разберете по-добре концепцията за залози и коефициенти и да научите как да оцените истинската стойност на конкретен залог.

Вероятността за възникване на събитие в определен тест е равна на съотношението , където:

Общият брой на всички еднакво възможни елементарни резултати от даден тест, които формират пълна група от събития;

Броят на елементарните резултати, благоприятни за събитието.

Проблем 1

Една урна съдържа 15 бели, 5 червени и 10 черни топки. На случаен принцип е изтеглена 1 топка, намерете вероятността тя да бъде: а) бяла, б) червена, в) черна.

Решение: Най-важната предпоставка за използване на класическата дефиниция на вероятността е способност за преброяване на общия брой резултати.

В урната има общо 15 + 5 + 10 = 30 топки и очевидно следните факти са верни:

Вземането на всяка топка е еднакво възможно (равни възможностирезултати), докато резултатите елементарен и форма пълна група от събития (т.е. в резултат на теста една от 30-те топки определено ще бъде премахната).

Така общият брой резултати:

Помислете за събитието: - бяла топка ще бъде изтеглена от урната. Това събитие се благоприятства от елементарни резултати, следователно, според класическата дефиниция:
- вероятността бяла топка да бъде изтеглена от урната.

Колкото и да е странно, дори в такава проста задача може да се допусне сериозна неточност. Къде е клопката тук? Тук е некоректно да се твърди, че „тъй като половината топки са бели, тогава вероятността да изтеглите бяла топка » . Класическата дефиниция на вероятността се отнася до ЕЛЕМЕНТАРНОрезултати, а частта трябва да бъде записана!

С други точки, по подобен начин, разгледайте следните събития:

Червена топка ще бъде изтеглена от урната;
- от урната ще бъде изтеглена черна топка.

Едно събитие се предпочита от 5 елементарни резултата, а едно събитие се предпочита от 10 елементарни резултата. Така че съответните вероятности са:

Типична проверка на много сървърни задачи се извършва с помощта на теореми за сумата от вероятностите за събития, образуващи пълна група. В нашия случай събитията образуват пълна група, което означава, че сумата от съответните вероятности задължително трябва да бъде равна на единица: .

Нека да проверим дали това е вярно: това е, което исках да се уверя.

Отговор:

На практика опцията за проектиране на „високоскоростно“ решение е често срещана:

Общо: 15 + 5 + 10 = 30 топки в урната. Според класическото определение:
- вероятността бяла топка да бъде изтеглена от урната;
- вероятността червена топка да бъде изтеглена от урната;
- вероятността черна топка да бъде изтеглена от урната.

Отговор:

Проблем 2

Магазинът получи 30 хладилника, пет от които са с производствен дефект. На случаен принцип се избира един хладилник. Каква е вероятността да е без дефект?

Проблем 3

При набиране на телефонен номер абонатът забравя последните две цифри, но помни, че едната е нула, а другата е нечетна. Намерете вероятността той да набере правилния номер.

Забележка: нулата е четно число (делимо на 2 без остатък)

Решение: Първо намираме общия брой резултати. По условие абонатът помни, че една от цифрите е нула, а другата е нечетна. Тук е по-рационално да не се цепят косми с комбинаторикаи се възползвайте метод на директно изброяване на резултатите . Тоест, когато правим решение, ние просто записваме всички комбинации:

01, 03, 05, 07, 09

10, 30, 50, 70, 90

И ние ги броим - общо: 10 резултата.

Има само един благоприятен резултат: правилното число.

Според класическото определение:
- вероятността абонатът да набере правилния номер

Отговор: 0,1

Разширена задача за самостоятелно решение:

Проблем 4

Абонатът е забравил ПИН кода на SIM картата си, но си спомня, че тя съдържа три „петици“, като една от цифрите е „седем“ или „осмица“. Каква е вероятността за успешна авторизация при първия опит?

Тук можете също да развиете идеята за вероятността абонатът да бъде изправен пред наказание под формата на puk код, но, за съжаление, разсъжденията ще надхвърлят обхвата на този урок

Решението и отговорът са по-долу.

Понякога изброяването на комбинации се оказва много старателна задача. По-специално това е случаят в следващата, не по-малко популярна група задачи, където се хвърлят 2 зара (по-рядко - повече):

Проблем 5

Намерете вероятността при хвърляне на два зара общият брой да бъде:

а) пет точки;

б) не повече от четири точки;

в) от 3 до 9 точки включително.

Решение: намерете общия брой резултати:

Начини, по които страната на първия зар може да изпадне Ипо различни начини страната на 2-ро кубче може да изпадне; от правило за умножаване на комбинации, Обща сума: възможни комбинации. С други думи, всекилицето на 1-ви куб може да образува подредена двойка с всекиръба на 2-ри куб. Нека се съгласим да запишем такава двойка във формата , където е числото, хвърлено на 1-вия зар, е числото, хвърлено на 2-рия зар.

Например:

Първият зар отбеляза 3 точки, вторият зар отбеляза 5 точки, общо точки: 3 + 5 = 8;
- първият зар отбеляза 6 точки, вторият - 1 точка, сборът от точки: 6 + 1 = 7;
- 2 хвърлени точки на двата зара, сума: 2 + 2 = 4.

Очевидно най-малката сума се дава от двойка, а най-голямата от две „шестици“.

а) Помислете за събитието: - при хвърляне на два зара ще се появят 5 точки. Нека запишем и преброим броя на резултатите, които благоприятстват това събитие:

Общо: 4 благоприятни изхода. Според класическото определение:
- желаната вероятност.

б) Разгледайте събитието: - няма да се появят повече от 4 точки. Тоест или 2, или 3, или 4 точки. Отново изброяваме и броим благоприятните комбинации, вляво ще напиша общия брой точки, а след двоеточието - подходящите двойки:

Общо: 6 благоприятни комбинации. По този начин:
- вероятността да бъдат хвърлени не повече от 4 точки.

в) Обмислете събитието: - Ще се хвърлят от 3 до 9 точки включително. Тук можете да поемете по правия път, но... по някаква причина не искате. Да, някои двойки вече са изброени в предишните параграфи, но има още много работа за вършене.

Какъв е най-добрият начин да продължите? В такива случаи обиколният път се оказва рационален. Нека помислим противоположно събитие: - Ще се появят 2 или 10 или 11 или 12 точки.

Какъв е смисълът? Обратното събитие се предпочита от значително по-малък брой двойки:

Общо: 7 благоприятни изхода.

Според класическото определение:
- вероятността да получите по-малко от три или повече от 9 точки.

Особено щателни хора могат да изброят всичките 29 двойки, като по този начин завършат проверката.

Отговор:

В следващата задача ще повторим таблицата за умножение:

Проблем 6

Намерете вероятността при хвърляне на два зара произведението от точките да е:

а) ще бъде равно на седем;

б) ще има поне 20;

в) ще бъде четен.

Кратко решение и отговор в края на урока.

Проблем 7

3-ма души са влезли в асансьора на 20-етажна сграда на първия етаж. И да тръгваме. Намерете вероятността, че:

а) ще излязат на различни етажи;

б) двама ще излязат на един етаж;

в) всички ще слязат на един етаж.

Решение: нека изчислим общия брой резултати: начини, по които първият пътник може да излезе от асансьора Ипътища - 2-ри пътник Иначини - третият пътник. Според правилото за умножение на комбинации: възможни резултати. Това е, всекиПървият изходен етаж може да се комбинира с всеки 2-ри човек изход етаж и с всекиЕтаж с изход за 3-ти човек.

Вторият метод се основава на разположения с повторения:
- който го разбира по-ясно.

a) Помислете за събитието: - пътниците ще слязат на различни етажи. Нека изчислим броя на благоприятните резултати:
3 пътника на различни етажи могат да излязат с помощта на тези методи. Направете свои собствени разсъждения въз основа на формулата.

Според класическото определение:

в) Помислете за събитието: - пътниците ще слязат на същия етаж. Това събитие има благоприятни резултати и, според класическата дефиниция, съответната вероятност: .

Влизаме от задната врата:

б) Помислете за събитието: - двама души ще слязат на един етаж (и съответно третият е от другата).

Форма за събития пълна група (вярваме, че никой няма да заспи в асансьора и асансьорът няма да заседне, което означава .

В резултат на това желаната вероятност е:

По този начин, теорема за събирането на вероятностите за събития, образуващи пълна група, може да бъде не само удобно, но и да се превърне в истински спасител!

Отговор:

Когато получавате големи дроби, добра практика е да посочите техните приблизителни десетични стойности. Обикновено се закръгля до 2-3-4 знака след десетичната запетая.

Тъй като събитията от точки "a", "be", "ve" образуват пълна група, има смисъл да се извърши контролна проверка и е по-добре с приблизителни стойности:

Което трябваше да се провери.

Понякога, поради грешки в закръгляването, резултатът може да бъде 0,9999 или 1,0001; в този случай една от приблизителните стойности трябва да бъде „коригирана“, така че общата сума да е „чиста“ единица.

сам:

Проблем 8

Хвърлят се 10 монети. Намерете вероятността, че:

а) всички монети ще показват глави;

б) 9 монети ще паднат с глави и една монета ще падне с опашки;

в) главите ще се появят на половината от монетите.

Проблем 9

7 души са настанени произволно на седемместна пейка. Каква е вероятността двама определени хора да са близо един до друг?

Решение: Няма проблеми с общия брой резултати:
7 души могат да седнат на пейка по различни начини.

Но как да изчислим броя на благоприятните резултати? Тривиалните формули не са подходящи и единственият начин е логичното разсъждение. Първо, нека разгледаме ситуацията, когато Саша и Маша бяха един до друг от левия край на пейката:

Очевидно редът има значение: Саша може да седи отляво, Маша отдясно и обратно. Но това не е всичко - за всекиот тези два случая останалите хора могат да седнат на празните места по други начини. Комбинаторно казано, Саша и Маша могат да бъдат пренаредени на съседни места по следните начини: ИЗа всяка такава пермутация други хора могат да бъдат пренаредени по начини.

Така, според правилото за умножение на комбинациите, се получават благоприятни резултати.

Но това не е всичко! Горните факти са верни за всекидвойки съседни места:

Интересно е да се отбележи, че ако пейката е „заоблена“ (свързване на лява и дясна седалка), тогава се образува допълнителна, седма двойка съседни места. Но да не се разсейваме. Съгласно същия принцип на умножаване на комбинации, получаваме крайния брой благоприятни резултати:

Според класическото определение:
- вероятността двама конкретни хора да бъдат наблизо.

Отговор:

Проблем 10

Два топа, бял и черен, са поставени произволно на шахматна дъска от 64 клетки. Каква е вероятността те да не се „бият” един друг?

справка: шахматната дъска има размер на квадрати; черните и белите топове се "бият" един друг, когато са разположени на една и съща позиция или на една и съща вертикала

Не забравяйте да направите схематичен чертеж на дъската и още по-добре, ако наблизо има шах. Едно е да разсъждаваш на хартия и съвсем друго, когато подреждаш парчетата със собствените си ръце.

Проблем 11

Каква е вероятността четирите раздадени карти да съдържат едно асо и един поп?

Нека изчислим общия брой резултати. По колко начина можете да премахнете 4 карти от тесте? Вероятно всички са разбрали за какво говорим брой комбинации:
с помощта на тези методи можете да изберете 4 карти от тестето.

Сега разглеждаме благоприятните резултати. Според условието в селекция от 4 карти трябва да има едно асо, един поп и, което не е посочено в прав текст - две други карти:

Начини за извличане на едно асо;
начини, по които можете да изберете един крал.

Изключваме аса и попове от разглеждане: 36 - 4 - 4 = 28

начини, по които можете да извлечете другите две карти.

Според правилото за умножаване на комбинации:
начини, по които можете да извлечете желаната комбинация от карти (1-во асо И 1-ви цар Идве други карти).

Позволете ми да коментирам комбинираното значение на нотацията по друг начин:
всекиасо съчетава с всекикрал и с всекивъзможна двойка други карти.

Според класическото определение:
- вероятността сред четирите раздадени карти да има едно асо и един поп.

Ако имате време и търпение, намалете колкото е възможно повече големите фракции.

Отговор:

По-проста задача за самостоятелно решаване:

Проблем 12

Кутията съдържа 15 качествени и 5 дефектни части. 2 части се отстраняват произволно.

Намерете вероятността, че:

а) и двете части ще бъдат с високо качество;

б) една част ще бъде с високо качество, а друга ще бъде дефектна;

в) и двете части са дефектни.

Събитията от изброените точки образуват пълна група, така че проверката тук се налага. Кратко решение и отговор в края на урока. Като цяло най-интересното тепърва започва!

Проблем 13

Студентът знае отговорите на 25 изпитни въпроса от 60. Каква е вероятността да издържите изпита, ако трябва да отговорите на поне 2 от 3 въпроса?

Решение: И така, ситуацията е следната: общо 60 въпроса, от които 25 са „добри“ и съответно 60 - 25 = 35 „лоши“. Ситуацията е несигурна и не е в полза на ученика. Нека разберем колко добри са шансовете му:

начини, по които можете да изберете 3 въпроса от 60 (общ брой резултати).

За да издържите изпита, трябва да отговорите на 2 или 3 въпроса. Считаме за благоприятни комбинации:

Начини за избор на 2 „добри“ въпроса Иединият е „лош“;

начини, по които можете да изберете 3 „добри“ въпроса.

от правило за добавяне на комбинации:
начини, по които можете да изберете комбинация от 3 въпроса, която е благоприятна за полагане на изпита (няма разлика с два или три „добри“ въпроса).

Според класическото определение:

Отговор:

Проблем 14

На покер играч се раздават 5 карти. Намерете вероятността, че:

а) сред тези карти ще има чифт десетки и чифт валета;
б) на играча ще бъде раздаден флъш (5 карти от една боя);
в) на играча ще бъдат раздадени четири карти от един вид (4 карти с еднаква стойност).

Коя от следните комбинации е най-вероятно да се получи?

! внимание!Ако условието задава подобен въпрос, тогава отговорете необходимодайте отговор.
справка : Покерът традиционно се играе с тесте от 52 карти, което съдържа карти от 4 бои, вариращи от двойки до аса.

Покерът е най-математичната игра (тези, които играят го знаят), в която можете да имате осезаемо предимство пред по-малко квалифицирани опоненти.

Решения и отговори:

Задача 2: Решение: 30 - 5 = 25 хладилника нямат дефект.

- вероятността произволно избран хладилник да няма дефект.
Отговор :

Задача 4: Решение: намерете общия брой резултати:
начини, по които можете да изберете мястото, където се намира съмнителният номер и на всекиОт тези 4 места могат да бъдат разположени 2 цифри (седем или осем). Съгласно правилото за умножение на комбинации, общият брой резултати: .
Като алтернатива, решението може просто да изброи всички резултати (за щастие има малко от тях):

7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558

Има само един благоприятен изход (правилен пин код).

Така според класическата дефиниция:
- вероятността абонатът да влезе при първия опит
Отговор :

Задача 6: Решение

Задача 6:Решение : намерете общия брой резултати:
числата могат да се появяват на 2 зара по различни начини.

а) Разгледайте събитието: - при хвърляне на два зара, произведението на точките ще бъде равно на седем. Няма благоприятни изходи за това събитие,
, т.е. това събитие е невъзможно.

б) Разгледайте събитието: - при хвърляне на два зара, произведението на точките ще бъде най-малко 20. Следните резултати благоприятстват това събитие:

Общо: 8

Според класическото определение:

- желаната вероятност.

в) Разгледайте противоположните събития:

- произведението на точките ще бъде четно;

- произведението на точките ще бъде нечетно.

Нека изброим всички изходи, благоприятни за събитието :

Общо: 9 благоприятни изхода.

Според класическата дефиниция на вероятността:

Противоположните събития образуват пълна група, следователно:

- желаната вероятност.

Отговор :

Проблем 8:Решение начини, по които могат да паднат 2 монети.
Друг начин: начини, по които може да падне 1-вата монетаИ начини, по които 2-рата монета може да паднеИ … И начини, по които може да падне 10-та монета. Според правилото за умножаване на комбинации могат да паднат 10 монети начини.
а) Разгледайте събитието: - всички монети ще показват глави. Това събитие се благоприятства от един изход според класическата дефиниция на вероятността: .
б) Разгледайте събитието: - 9 монети ще паднат глави, а една монета ще падне опашки.
Съществува монети, които могат да паднат върху главите. Според класическата дефиниция на вероятността: .
в) Разгледайте събитието: - главите ще се появят на половината от монетите.
Съществува уникални комбинации от пет монети, които могат да приземят глави. Според класическата дефиниция на вероятността:
Отговор:

Проблем 10:Решение : нека изчислим общия брой резултати:
начини за поставяне на два топа на дъската.
Друга опция за дизайн: начини за избиране на две полета от шахматна дъскаИ начини за поставяне на бял и черен топвъв всеки от 2016 случая. Така общият брой резултати: .

Сега нека преброим резултатите, в които топовете се „побеждават“ един друг. Нека разгледаме 1-вата хоризонтална линия. Очевидно фигурите могат да бъдат поставени върху него по всякакъв начин, например така:

Освен това топовете могат да се пренареждат. Нека представим разсъжденията в числова форма: начини, по които можете да изберете две клеткиИ начини за пренареждане на топовевъв всекиот 28 случая. Обща сума: възможни позиции на фигурите по хоризонтала.
Кратка версия на дизайна: начини, по които можете да поставите белия и черния топ на 1-ви ред.

Горното разсъждение е правилноза всеки хоризонтално, така че броят на комбинациите трябва да се умножи по осем: . Освен това, подобна история е вярна за всеки от осемте вертикала. Нека изчислим общия брой формации, в които фигурите се „бият“ една друга:

Тогава в останалите варианти на подредбата топовете няма да се „бият“ един друг:
4032 - 896 = 3136

Според класическата дефиниция на вероятността:
- вероятността бял и черен топ, поставени произволно на дъската, да не се „победят“ един друг.

Отговор :

Проблем 12:Решение : общо: 15 + 5 = 20 части в кутия. Нека изчислим общия брой резултати:
с помощта на тези методи можете да премахнете 2 части от кутията.
а) Разгледайте събитието: - и двете извлечени части ще бъдат с високо качество.
с помощта на тези методи можете да извлечете 2 качествени части.
Според класическата дефиниция на вероятността:
б) Разгледайте събитието: - една част ще бъде с високо качество, а друга ще бъде дефектна.
начини, по които можете да извлечете 1 качествена частИ1 дефектен.
Според класическото определение:
в) Разгледайте събитието: - и двете извлечени части са дефектни.
с помощта на тези методи можете да премахнете 2 дефектни части.
Според класическото определение:
Преглед: нека изчислим сумата от вероятностите за събития, които формират пълната група: , което трябваше да се провери.
Отговор:

А сега нека вземем в ръцете си вече познат и безпроблемен инструмент за обучение - зарове с пълна група от събития , които се състоят в това, че при хвърлянето му ще се появят съответно 1, 2, 3, 4, 5 и 6 точки.

Помислете за събитието - в резултат на хвърляне на зар ще се появят поне пет точки. Това събитие се състои от два несъвместими резултата: (ролка 5 или 6 точки)
- вероятността едно хвърляне на зарове да доведе до най-малко пет точки.

Нека разгледаме събитието, при което няма да бъдат хвърлени повече от 4 точки и да намерим неговата вероятност. Според теоремата за събиране на вероятности от несъвместими събития:

Може би някои читатели все още не са осъзнали напълно същностнесъвместимост. Нека помислим отново: един ученик не може да отговори на 2 от 3 въпроса и в същото времеотговори на всички 3 въпроса. Следователно събитията и са несъвместими.

Сега, използвайки класическа дефиниция, нека намерим техните вероятности:

Фактът на успешното полагане на изпита се изразява в сумата (отговор на 2 от 3 въпроса илиза всички въпроси). Според теоремата за събиране на вероятности от несъвместими събития:
- вероятността студентът да издържи изпита.

Това решение е напълно равностойно, изберете кое ви харесва най-много.

Проблем 1

Магазинът получи продукти в кашони от четири склада на едро: четири от 1-ви, пет от 2-ри, седем от 3-ти и четири от 4-ти. На случаен принцип се избира кутия за продажба. Каква е вероятността да е кашон от първи или трети склад.

Решение: общо получени от магазина: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 кутии.

В тази задача е по-удобно да използвате „бързия“ метод за форматиране, без да пишете събития с главни букви. Според класическото определение:
- вероятността кутия от 1-ви склад да бъде избрана за продажба;
- вероятността кутия от 3-ти склад да бъде избрана за продажба.

Според теоремата за събиране на несъвместими събития:
- вероятността кутия от първия или третия склад да бъде избрана за продажба.

Отговор: 0,55

Разбира се, проблемът е разрешим и чисто чрез класическо определение на вероятносттачрез директно преброяване на броя на благоприятните резултати (4 + 7 = 11), но разглежданият метод не е по-лош. И още по-ясно.

Проблем 2

Кутията съдържа 10 червени и 6 сини бутона. Две копчета се премахват произволно. Каква е вероятността те да са с еднакъв цвят?

По същия начин - тук можете да използвате правило за комбинаторна сума, но никога не се знае... изведнъж някой го е забравил. Тогава на помощ ще дойде теоремата за събиране на вероятностите от несъвместими събития!