Видове числа. Естествен, цялостен, рационален и истински. Числа: естествени, цели, рационални, реални. Обикновени и десетични дроби

Номер- важна математическа концепция, която се е променила през вековете.

Първите идеи за числото възникват при броенето на хора, животни, плодове, различни продукти и т.н. Резултатът е естествени числа: 1, 2, 3, 4, ...

Исторически първото разширение на концепцията за число е добавянето на дробни числа към естественото число.

Фракциясе нарича част (дял) от единица или няколко равни части.

Определен от: , където м, н- цели числа;

Дроби със знаменател 10 н, Където н- цяло число, наречено десетичен знак: .

Сред десетичните дроби специално място заемат периодични дроби: - чиста периодична фракция, - смесена периодична дроб.

По-нататъшното разширяване на понятието число е причинено от развитието на самата математика (алгебра). Декарт през 17 век. въвежда понятието отрицателно число.

Числата цели (положителни и отрицателни), дроби (положителни и отрицателни) и нула се наричат рационални числа. Всяко рационално число може да бъде записано като крайна и периодична дроб.

За да се изследват непрекъснато променящи се променливи количества, се оказа, че е необходимо ново разширяване на понятието за число - въвеждането на реални (реални) числа - чрез добавяне на ирационални числа към рационални числа: ирационални числаса безкрайни десетични непериодични дроби.

Ирационалните числа се появяват при измерване на несъизмерими сегменти (страна и диагонал на квадрат), в алгебрата - при извличане на корени, пример за трансцендентално, ирационално число е π, д .

Числа естествено(1, 2, 3,...), цяло(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), рационален(представим като дроб) и ирационален(не може да се представи като дроб ) образуват набор истински (истински)числа.

Комплексните числа се разграничават отделно в математиката.

Комплексни числавъзникват във връзка с проблема за решаване на квадрати за случая д< 0 (здесь д– дискриминант на квадратно уравнение). Дълго време тези числа не намериха физическо приложение, поради което бяха наречени „въображаеми“ числа. Сега обаче те се използват много широко в различни области на физиката и технологиите: електротехника, хидро- и аеродинамика, теория на еластичността и др.

Комплексни числа се записват във вида: z= а+ би. Тук аИ b – реални числа, А аз – въображаема единица, т.е.д. аз 2 = -1. Номер аНаречен абсцисата,а б –ординатакомплексно число а+ би. Две комплексни числа а+ биИ а–биса наречени конюгаткомплексни числа.

Имоти:

1. Реално число Аможе да се запише и в сложна числова форма: а+ 0азили а – 0аз. Например 5 + 0 ази 5 – 0 азозначава същото число 5.

2. Комплексно число 0 + биНаречен чисто въображаемо номер. Записвайте биозначава същото като 0 + би.

3. Две комплексни числа а+ биИ ° С+ дисе считат за равни, ако а= ° СИ b= д. В противен случай комплексните числа не са равни.

Действия:

Допълнение. Сума от комплексни числа а+ биИ ° С+ дисе нарича комплексно число ( а+ ° С) + (b+ д)аз. По този начин, При събиране на комплексни числа техните абсциси и ординати се събират отделно.

Изваждане. Разликата на две комплексни числа а+ би(намалено) и ° С+ ди(субтрахенд) се нарича комплексно число ( a–c) + (б–г)аз. По този начин, При изваждане на две комплексни числа техните абсциси и ординати се изваждат отделно.

Умножение. Произведение на комплексни числа а+ биИ ° С+ дисе нарича комплексно число:

(ac–bd) + (реклама+ пр.н.е)аз. Това определение следва от две изисквания:

1) числа а+ биИ ° С+ дитрябва да се умножат като алгебрични биноми,

2) номер азима основно свойство: аз 2 = –1.

ПРИМЕР ( а+ би)(а–би)=а 2 +б 2 . следователно работана две спрегнати комплексни числа е равно на положително реално число.

дивизия. Разделете комплексно число а+ би(делим) от друг ° С+ ди (разделител) - означава да намерите третото число д+ f i(чат), което при умножение с делител ° С+ ди, води до дивидента а+ би. Ако делителят не е нула, делението винаги е възможно.

ПРИМЕР Намерете (8 + аз) : (2 – 3аз) .

Решение Нека пренапишем това отношение като дроб:

Умножаване на неговия числител и знаменател по 2 + 3 ази след като извършим всички трансформации, получаваме:

Задача 1: Събиране, изваждане, умножение и деление на z 1 на з 2

Извличане на корен квадратен: Решете уравнението х 2 = -а. За да решите това уравнениение сме принудени да използваме числа от нов тип - въображаеми числа . По този начин, въображаем номерът се нарича чиято втора степен е отрицателно число. Съгласно тази дефиниция на въображаемите числа можем да дефинираме и въображаем мерна единица:

След това за уравнението х 2 = – 25 получаваме две въображаемкорен:

Задача 2: Решете уравнението:

1) x 2 = – 36; 2) х 2 = – 49; 3) х 2 = – 121

Геометрично представяне на комплексни числа. Реалните числа са представени с точки на числовата ос:

Тук е смисълът Аозначава числото –3, точка б– номер 2 и О-нула. За разлика от тях комплексните числа са представени от точки в координатната равнина. За целта избираме правоъгълни (декартови) координати с еднакви мащаби по двете оси. След това комплексното число а+ бище бъдат представени с точка P с абсцисатаА и ординатаb. Тази координатна система се нарича сложна равнина .

Модул комплексното число е дължината на вектора OP, представляващо комплексно число по координатата ( изчерпателен) самолет. Модул на комплексно число а+ биозначен | а+ би| или) писмо rи е равно на:

Конюгираните комплексни числа имат еднакъв модул.

Правилата за изготвяне на чертеж са почти същите като за чертеж в декартова координатна система , По осите трябва да зададете размерите, обърнете внимание:

д
единица по реалната ос; рез

въображаема единица по въображаемата ос. Аз съм z

Задача 3. Построете следните комплексни числа на комплексната равнина: , , , , , , ,

1. Цифрите са точни и приблизителни.Числата, които срещаме в практиката са два вида. Някои дават истинската стойност на количеството, други само приблизителна. Първите се наричат ​​точни, вторите - приблизителни. Най-често е удобно да се използва приблизително число вместо точно, особено след като в много случаи изобщо е невъзможно да се намери точно число.

Така че, ако кажат, че има 29 ученици в клас, тогава числото 29 е точно. Ако казват, че разстоянието от Москва до Киев е 960 км, то тук числото 960 е приблизително, тъй като, от една страна, нашите измервателни уреди не са абсолютно точни, от друга страна, самите градове имат известна степен.

Резултатът от действия с приблизителни числа също е приблизително число. Чрез извършване на някои операции с точни числа (деление, извличане на корен), можете също да получите приблизителни числа.

Теорията на приблизителните изчисления позволява:

1) знаейки степента на точност на данните, оценете степента на точност на резултатите;

2) да вземе данни с подходяща степен на точност, достатъчна, за да осигури необходимата точност на резултата;

3) рационализирайте процеса на изчисление, освобождавайки го от тези изчисления, които няма да повлияят на точността на резултата.

2. Закръгляване.Един от източниците за получаване на приблизителни числа е закръгляването. И приблизителните, и точните числа са закръглени.

Закръгляването на дадено число до определена цифра се нарича замяната му с ново число, което се получава от даденото чрез изхвърляне на всичките му цифри, записани отдясно на цифрата на тази цифра, или чрез замяната им с нули. Тези нули обикновено са подчертани или написани по-малки. За да сте сигурни, че закръгленото число е възможно най-близо до това, което се закръгля, трябва да използвате следните правила: за да закръглите число до една от определена цифра, трябва да изхвърлите всички цифри след цифрата на тази цифра и да замените тях с нули в цялото число. Взема се предвид следното:

1) ако първата (вляво) от изхвърлените цифри е по-малка от 5, тогава последната останала цифра не се променя (закръгляване надолу);

2) ако първата цифра, която трябва да се изхвърли, е по-голяма от 5 или равна на 5, тогава последната останала цифра се увеличава с единица (закръгляване с излишък).

Нека покажем това с примери. Кръгъл:

а) до десети 12,34;

б) до стотни 3,2465; 1038,785;

в) до хилядни 3,4335.

г) до хиляди 12375; 320729.

а) 12,34 ≈ 12,3;

б) 3,2465 ≈ 3,25; 1038.785 ≈ 1038.79;

в) 3,4335 ≈ 3,434.

г) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.

3. Абсолютни и относителни грешки.Разликата между точното число и неговата приблизителна стойност се нарича абсолютна грешка на приблизителното число. Например, ако точното число 1,214 се закръгли до най-близката десета, получаваме приблизително число 1,2. В този случай абсолютната грешка на приблизителното число 1.2 е 1.214 - 1.2, т.е. 0,014.

Но в повечето случаи точната стойност на разглежданата стойност е неизвестна, а само приблизителна. Тогава абсолютната грешка е неизвестна. В тези случаи посочете границата, която не надвишава. Това число се нарича гранична абсолютна грешка. Казват, че точната стойност на едно число е равна на неговата приблизителна стойност с грешка, по-малка от пределната грешка. Например числото 23,71 е приблизителна стойност на числото 23,7125 с точност 0,01, тъй като абсолютната грешка на приближението е 0,0025 и по-малка от 0,01. Тук пределната абсолютна грешка е 0,01 *.

Гранична абсолютна грешка на приблизителното число Аобозначен със символа Δ а. Записвайте

х≈а(±Δ а)

трябва да се разбира по следния начин: точната стойност на количеството хе между числата А– Δ аИ А+ Δ А, които се наричат ​​съответно долна и горна граница хи обозначават NG х VG х.

Например ако х≈ 2,3 (±0,1), след това 2,2<х< 2,4.

Обратно, ако 7.3< х< 7,4, тох≈ 7,35 (±0,05). Абсолютната или пределната абсолютна грешка не характеризира качеството на извършеното измерване. Една и съща абсолютна грешка може да се счита за значителна и незначителна в зависимост от числото, с което се изразява измерената стойност. Например, ако измерим разстоянието между два града с точност до един километър, тогава такава точност е напълно достатъчна за тази промяна, но в същото време, когато измерваме разстоянието между две къщи на една и съща улица, такава точност ще бъде неприемливо. Следователно точността на приблизителната стойност на дадено количество зависи не само от големината на абсолютната грешка, но и от стойността на измереното количество. Следователно относителната грешка е мярка за точност.

Относителната грешка е отношението на абсолютната грешка към стойността на приблизителното число. Съотношението на пределната абсолютна грешка към приблизителното число се нарича гранична относителна грешка; те го обозначават така: . Относителните и пределните относителни грешки обикновено се изразяват в проценти. Например, ако измерванията показват, че разстоянието хмежду две точки е повече от 12,3 km, но по-малко от 12,7 km, тогава средноаритметичното на тези две числа се приема като негова приблизителна стойност, т.е. тяхната полусума, тогава пределната абсолютна грешка е равна на полуразликата на тези числа. В такъв случай х≈ 12,5 (±0,2). Тук пределната абсолютна грешка е 0,2 km, а граничната относителна

Няколкое множество от всякакви обекти, които се наричат ​​елементи на това множество.

Например: много ученици, много коли, много номера .

В математиката множеството се разглежда много по-широко. Няма да навлизаме твърде дълбоко в тази тема, тъй като тя е свързана с висшата математика и в началото може да създаде трудности при ученето. Ще разгледаме само тази част от темата, която вече разгледахме.

Наименования

Едно множество най-често се обозначава с главни букви на латинската азбука, а неговите елементи с малки букви. В този случай елементите са затворени във фигурни скоби.

Например, ако нашите приятели се казват Том, Джон и Лео , тогава можем да дефинираме набор от приятели, чиито елементи ще бъдат Том, Джон и Лео.

Нека обозначим много от нашите приятели с главна латинска буква Е(приятели), след това поставете знак за равенство и избройте нашите приятели във къдрави скоби:

F = (Том, ​​Джон, Лео)

Пример 2. Нека запишем множеството от делители на числото 6.

Нека обозначим това множество с всяка главна латинска буква, например с буквата д

след това поставяме знак за равенство и изброяваме елементите на това множество във къдрави скоби, тоест изброяваме делителите на числото 6

D = (1, 2, 3, 6)

Ако някой елемент принадлежи към дадено множество, тогава тази принадлежност се обозначава със знака за принадлежност ∈. Например, делител 2 принадлежи към множеството от делители на числото 6 (множеството д). Написано е така:

Чете се като: „2 принадлежи на множеството от делители на числото 6“

Ако някой елемент не принадлежи към дадено множество, тогава тази непринадлежност се обозначава с помощта на зачеркнат знак за принадлежност ∉. Например делителя 5 не принадлежи на множеството д. Написано е така:

Чете се като: „5 не принадлежинабор от делители на числото 6″

В допълнение, набор може да бъде написан чрез директно изброяване на елементите, без главни букви. Това може да бъде удобно, ако комплектът се състои от малък брой елементи. Например, нека дефинираме набор от един елемент. Нека този елемент бъде наш приятел Сила на звука:

( Сила на звука )

Нека дефинираме набор, който се състои от едно число 2

{ 2 }

Нека дефинираме набор, който се състои от две числа: 2 и 5

{ 2, 5 }

Набор от естествени числа

Това е първият комплект, с който започнахме работа. Естествени числа са числата 1, 2, 3 и т.н.

Естествените числа се появиха поради нуждата на хората да броят тези други обекти. Например, пребройте броя на пилетата, кравите, конете. Естествените числа възникват естествено при броене.

В предишните уроци, когато използвахме думата "номер", най-често се има предвид естествено число.

В математиката множеството от естествени числа се означава с главна буква н.

Например, нека посочим, че числото 1 принадлежи към множеството от естествени числа. За да направите това, записваме числото 1, след което с помощта на знака за принадлежност ∈ показваме, че единицата принадлежи към множеството н

1 ∈ н

Чете се като: „един принадлежи на множеството от естествени числа“

Набор от цели числа

Наборът от цели числа включва всички положителни и , както и числото 0.

Набор от цели числа се обозначава с главна буква З .

Нека отбележим например, че числото −5 принадлежи към множеството от цели числа:

−5 ∈ З

Нека отбележим, че 10 принадлежи към набора от цели числа:

10 ∈ З

Нека отбележим, че 0 принадлежи на множеството от цели числа:

В бъдеще ще наричаме всички положителни и отрицателни числа с една фраза - цели числа.

Набор от рационални числа

Рационалните числа са същите обикновени дроби, които изучаваме и до днес.

Рационалното число е число, което може да бъде представено като дроб, където а- числител на дробта, b- знаменател.

Числителят и знаменателят могат да бъдат всякакви числа, включително цели (с изключение на нула, тъй като не можете да делите на нула).

Например, представете си, че вместо ае числото 10, но вместо b- номер 2

10 делено на 2 е равно на 5. Виждаме, че числото 5 може да бъде представено като дроб, което означава, че числото 5 е включено в набора от рационални числа.

Лесно е да се види, че числото 5 се отнася и за набора от цели числа. Следователно множеството от цели числа е включено в множеството от рационални числа. Това означава, че наборът от рационални числа включва не само обикновени дроби, но и цели числа от вида −2, −1, 0, 1, 2.

Сега нека си представим, че вместо ачислото е 12, но вместо b- номер 5.

12 делено на 5 е равно на 2,4. Виждаме, че десетичната дроб 2.4 може да бъде представена като дроб, което означава, че е включена в набора от рационални числа. От това заключаваме, че наборът от рационални числа включва не само обикновени дроби и цели числа, но и десетични дроби.

Изчислихме дроба и получихме отговора 2,4. Но можем да изолираме цялата част от тази дроб:

Когато изолирате цялата част от дроб, получавате смесено число. Виждаме, че смесено число може да бъде представено и като дроб. Това означава, че наборът от рационални числа включва и смесени числа.

В резултат на това стигаме до извода, че наборът от рационални числа съдържа:

• цели числа
• обикновени дроби
• десетични знаци
• смесени числа

Множеството от рационални числа се означава с главна буква Q.

Например, посочваме, че една дроб принадлежи на множеството от рационални числа. За да направите това, записваме самата дроб, след което с помощта на знака за принадлежност ∈ показваме, че дробта принадлежи към набора от рационални числа:

∈ Q

Нека отбележим, че десетичната дроб 4,5 принадлежи към множеството от рационални числа:

4,5 ∈ Q

Нека отбележим, че едно смесено число принадлежи на множеството от рационални числа:

∈ Q

Уводният урок за комплектите е завършен. Ще разгледаме наборите много по-добре в бъдеще, но засега това, което е обхванато в този урок, ще бъде достатъчно.

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци

Наборът от естествени числа се състои от числата 1, 2, 3, 4, ..., използвани за броене на предмети. Множеството от всички естествени числа обикновено се означава с буквата н :

н = {1, 2, 3, 4, ..., н, ...} .

Закони за събиране на естествени числа

1. За всякакви естествени числа аИ bравенството е вярно а + b = b + а . Това свойство се нарича комутативен закон на събиране.

2. За всякакви естествени числа а, b, ° С равенството е вярно (а + b) + ° С = а + (b + ° С) . Това свойство се нарича комбиниран (асоциативен) закон за добавяне.

Закони за умножение на естествените числа

3. За всякакви естествени числа аИ bравенството е вярно аб = ба. Това свойство се нарича комутативен закон на умножението.

4. За всякакви естествени числа а, b, ° С равенството е вярно (аb)° С = а(b° С) . Това свойство се нарича комбиниран (асоциативен) закон на умножението.

5. За всякакви стойности а, b, ° С равенството е вярно (а + b)° С = ак + пр.н.е . Това свойство се нарича закон за разпределение на умножението (спрямо събирането).

6. За всякакви стойности аравенството е вярно а*1 = а. Това свойство се нарича закон за умножение по едно.

Резултатът от събирането или умножаването на две естествени числа винаги е естествено число. Или, казано по друг начин, тези операции могат да се извършват, докато остават в набора от естествени числа. Това не може да се каже за изваждането и делението: например от числото 3 е невъзможно, оставайки в набора от естествени числа, да извадим числото 7; Числото 15 не може да се раздели напълно на 4.

Признаци за делимост на естествените числа

Делимост на сбор.Ако всеки член се дели на число, тогава сумата се дели на това число.

Делимост на продукта.Ако в даден продукт поне един от множителите се дели на определено число, то произведението също се дели на това число.

Тези условия както за сумата, така и за произведението са достатъчни, но не и необходими. Например произведението 12*18 се дели на 36, въпреки че нито 12, нито 18 се делят на 36.

Тест за делимост на 2.За да се дели едно естествено число на 2 е необходимо и достатъчно последната му цифра да е четна.

Тест за делимост на 5.За да се дели едно естествено число на 5, е необходимо и достатъчно последната му цифра да е 0 или 5.

Тест за делимост на 10.За да се дели едно естествено число на 10 е необходимо и достатъчно цифрата на единиците да е 0.

Тест за делимост на 4.За да може едно естествено число, съдържащо поне три цифри, да се дели на 4, е необходимо и достатъчно последните цифри да са 00, 04, 08 или двуцифреното число, образувано от последните две цифри на това число, да се дели на 4.

Тест за делимост на 2 (на 9).За да се дели едно естествено число на 3 (на 9), е необходимо и достатъчно сборът от неговите цифри да се дели на 3 (на 9).

Набор от цели числа

Помислете за числова линия с начало в точката О. Координатата на числото нула върху него ще бъде точка О. Числата, разположени на числовата ос в дадена посока, се наричат ​​положителни числа. Нека на числовата ос е дадена точка Ас координата 3. Съответства на положителното число 3. Сега нека начертаем единичната отсечка от точката три пъти О, в посока обратна на дадената. Тогава разбираме смисъла а", симетричен на точката Аспрямо произхода О. Координата на точката а"ще има число - 3. Това число е противоположно на числото 3. Числата, разположени на числовата ос в посока, обратна на дадената, се наричат ​​отрицателни числа.

Числата, противоположни на естествените числа, образуват набор от числа Н" :

Н" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

Ако комбинираме комплектите н , Н" и единичен комплект {0} , тогава получаваме набор З всички цели числа:

З = {0} ∪ н ∪ Н" .

За целите числа са верни всички горни закони за събиране и умножение, които са верни и за естествените числа. Освен това се добавят следните закони за изваждане:

а - b = а + (- b) ;

а + (- а) = 0 .

Набор от рационални числа

За да бъде осъществима операцията за деление на цели числа на произволно число, което не е равно на нула, се въвеждат дроби:

Където аИ b- цели числа и bне е равно на нула.

Ако добавим множеството от всички положителни и отрицателни дроби към множеството от цели числа, получаваме множеството от рационални числа Q :

.

Освен това всяко цяло число е и рационално число, тъй като например числото 5 може да бъде представено във формата , където числителят и знаменателят са цели числа. Това е важно при извършване на операции с рационални числа, едно от които може да бъде цяло число.

Закони на аритметичните операции с рационални числа

Основното свойство на дробта.Ако числителят и знаменателят на дадена дроб се умножат или разделят на едно и също естествено число, се получава дроб, равна на дадената:

Това свойство се използва при намаляване на дроби.

Събиране на дроби.Добавянето на обикновени дроби се дефинира, както следва:

.

Тоест, за да се съберат дроби с различни знаменатели, дробите се свеждат до общ знаменател. На практика при събиране (изваждане) на дроби с различни знаменатели дробите се свеждат до най-малкия общ знаменател. Например така:

За да добавите дроби с еднакви числители, просто съберете числителите и оставете знаменателя същия.

Умножение на дроби.Умножението на обикновени дроби се определя по следния начин:

Тоест, за да умножите дроб по дроб, трябва да умножите числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и да запишете произведението в числителя на новата дроб и да умножите знаменателя на първата дроб по знаменател на втората дроб и запишете произведението в знаменателя на новата дроб.

Деление на дроби.Разделянето на обикновени дроби се определя по следния начин:

Тоест, за да разделите дроб на дроб, трябва да умножите числителя на първата дроб по знаменателя на втората дроб и да запишете произведението в числителя на новата дроб и да умножите знаменателя на първата дроб по числител на втората дроб и запишете произведението в знаменателя на новата дроб.

Повишаване на дроб на степен с естествен показател.Тази операция се дефинира, както следва:

Тоест, за да повдигнете дроб на степен, числителят се повдига на тази степен и знаменателят се повдига на тази степен.

Периодични десетични знаци

Теорема.Всяко рационално число може да бъде представено като крайна или безкрайна периодична дроб.

Например,

.

Последователно повтаряща се група от цифри след десетичната запетая в десетичния запис на число се нарича период, а крайна или безкрайна десетична дроб, която има такава точка в своя запис, се нарича периодична.

В този случай всяка крайна десетична дроб се счита за безкрайна периодична дроб с нула в периода, например:

Резултатът от събиране, изваждане, умножение и деление (с изключение на делене на нула) на две рационални числа също е рационално число.

Набор от реални числа

На числовата линия, която разгледахме във връзка с набора от цели числа, може да има точки, които нямат координати под формата на рационално число. Следователно няма рационално число, чийто квадрат е 2. Следователно числото не е рационално число. Също така няма рационални числа, чиито квадрати са 5, 7, 9. Следователно числата , , са ирационални. Числото също е ирационално.

Нито едно ирационално число не може да бъде представено като периодична дроб. Представени са като непериодични дроби.

Обединението на множествата от рационални и ирационални числа е множеството от реални числа Р .

Разбирането на числата, особено естествените числа, е едно от най-старите математически „умения“. Много цивилизации, дори съвременните, са приписвали определени мистични свойства на числата поради огромното им значение за описване на природата. Въпреки че съвременната наука и математика не потвърждават тези „магически“ свойства, значението на теорията на числата е неоспоримо.

В исторически план първо се появяват различни естествени числа, след което сравнително бързо към тях се добавят дроби и положителни ирационални числа. Нула и отрицателни числа бяха въведени след тези подмножества на набора от реални числа. Последното множество, множеството от комплексни числа, се появява едва с развитието на съвременната наука.

В съвременната математика числата не се въвеждат в исторически ред, макар и доста близък до него.

Естествени числа $\mathbb(N)$

Наборът от естествени числа често се обозначава като $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ и често се допълва с нула, за да се обозначи $\mathbb(N)_0$.

$\mathbb(N)$ дефинира операциите събиране (+) и умножение ($\cdot$) със следните свойства за всеки $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ множеството $\mathbb(N)$ е затворено спрямо операциите събиране и умножение
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ комутативност
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ асоциативност
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивност
5. $a\cdot 1=a$ е неутрален елемент за умножение

Тъй като наборът $\mathbb(N)$ съдържа неутрален елемент за умножение, но не и за събиране, добавянето на нула към този набор гарантира, че той включва неутрален елемент за събиране.

В допълнение към тези две операции, отношенията „по-малко от“ ($

1. $a b$ трихотомия
2. ако $a\leq b$ и $b\leq a$, тогава $a=b$ антисиметрия
3. ако $a\leq b$ и $b\leq c$, тогава $a\leq c$ е транзитивно
4. ако $a\leq b$ тогава $a+c\leq b+c$
5. ако $a\leq b$ тогава $a\cdot c\leq b\cdot c$

Цели числа $\mathbb(Z)$

Примери за цели числа:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Решаването на уравнение $a+x=b$, където $a$ и $b$ са известни естествени числа, а $x$ е неизвестно естествено число, изисква въвеждането на нова операция - изваждане(-). Ако има естествено число $x$, което удовлетворява това уравнение, тогава $x=b-a$. Това конкретно уравнение обаче не е задължително да има решение в множеството $\mathbb(N)$, така че практически съображения изискват разширяване на набора от естествени числа, за да включва решения на такова уравнение. Това води до въвеждането на набор от цели числа: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Тъй като $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, логично е да приемем, че въведените по-рано операции $+$ и $\cdot$ и отношенията $ 1. $0+a=a+0=a$ има неутрален елемент за добавяне
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ има противоположно число $-a$ за $a$

Свойство 5.:
5. ако $0\leq a$ и $0\leq b$, тогава $0\leq a\cdot b$

Множеството $\mathbb(Z)$ също е затворено спрямо операцията за изваждане, т.е. $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Рационални числа $\mathbb(Q)$

Примери за рационални числа:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Сега разгледайте уравнения от вида $a\cdot x=b$, където $a$ и $b$ са известни цели числа, а $x$ е неизвестно. За да е възможно решението, е необходимо да се въведе операцията деление ($:$), като решението приема формата $x=b:a$, тоест $x=\frac(b)(a)$ . Отново възниква проблемът, че $x$ не винаги принадлежи на $\mathbb(Z)$, така че наборът от цели числа трябва да бъде разширен. Това въвежда набор от рационални числа $\mathbb(Q)$ с елементи $\frac(p)(q)$, където $p\in \mathbb(Z)$ и $q\in \mathbb(N)$. Множеството $\mathbb(Z)$ е подмножество, в което всеки елемент $q=1$, следователно $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ и операциите събиране и умножение се простират до това множество според следните правила, които запазват всички горни свойства на множеството $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Разделението се въвежда, както следва:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

В множеството $\mathbb(Q)$ уравнението $a\cdot x=b$ има уникално решение за всяко $a\neq 0$ (деленето на нула е недефинирано). Това означава, че има обратен елемент $\frac(1)(a)$ или $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

Редът на множеството $\mathbb(Q)$ може да бъде разширен, както следва:
$\frac(p_1)(q_1)

Множеството $\mathbb(Q)$ има едно важно свойство: между всеки две рационални числа има безкрайно много други рационални числа, следователно няма две съседни рационални числа, за разлика от множествата от естествени числа и цели числа.

Ирационални числа $\mathbb(I)$

Примери за ирационални числа:
$\sqrt(2) \приблизително 1,41422135...$
$\pi\приблизително 3,1415926535...$

Тъй като между всеки две рационални числа има безкрайно много други рационални числа, лесно е да се направи погрешно заключение, че множеството от рационални числа е толкова плътно, че няма нужда да се разширява допълнително. Дори Питагор е направил такава грешка на своето време. Въпреки това, неговите съвременници вече опровергаха това заключение, когато изучаваха решения на уравнението $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) върху множеството от рационални числа. За да се реши такова уравнение, е необходимо да се въведе понятието квадратен корен и тогава решението на това уравнение има формата $x=\sqrt(2)$. Уравнение като $x^2=a$, където $a$ е известно рационално число и $x$ е неизвестно, не винаги има решение в множеството от рационални числа и отново възниква необходимостта от разширяване на комплект. Възниква набор от ирационални числа и числа като $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... принадлежат към този набор.

Реални числа $\mathbb(R)$

Обединението на множествата от рационални и ирационални числа е множеството от реални числа. Тъй като $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, отново е логично да приемем, че въведените аритметични операции и отношения запазват свойствата си върху новото множество. Формалното доказателство за това е много трудно, така че споменатите по-горе свойства на аритметичните операции и отношенията върху множеството от реални числа се въвеждат като аксиоми. В алгебрата такъв обект се нарича поле, така че наборът от реални числа се нарича подредено поле.

За да бъде дефиницията на множеството от реални числа пълна, е необходимо да се въведе допълнителна аксиома, която разграничава множествата $\mathbb(Q)$ и $\mathbb(R)$. Да предположим, че $S$ е непразно подмножество на множеството от реални числа. Елемент $b\in \mathbb(R)$ се нарича горна граница на набор $S$, ако $\forall x\in S$ съдържа $x\leq b$. Тогава казваме, че множеството $S$ е ограничено отгоре. Най-малката горна граница на множеството $S$ се нарича супремум и се обозначава с $\sup S$. Понятията долна граница, ограничено отдолу множество и инфинум $\inf S$ се въвеждат по подобен начин. Сега липсващата аксиома се формулира по следния начин:

Всяко непразно и ограничено отгоре подмножество на множеството от реални числа има супремум.
Може също да се докаже, че полето от реални числа, дефинирано по горния начин, е уникално.

Комплексни числа$\mathbb(C)$

Примери за комплексни числа:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ където $i = \sqrt(-1)$ или $i^2 = -1$

Наборът от комплексни числа представлява всички подредени двойки реални числа, т.е. $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, върху които операциите на събирането и умножението се определят по следния начин:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Има няколко форми за запис на комплексни числа, от които най-разпространената е $z=a+ib$, където $(a,b)$ е двойка реални числа, а числото $i=(0,1)$ се нарича имагинерна единица.

Лесно е да се покаже, че $i^2=-1$. Разширяването на множеството $\mathbb(R)$ до множеството $\mathbb(C)$ ни позволява да определим корен квадратен от отрицателни числа, което беше причината за въвеждане на набора от комплексни числа. Също така е лесно да се покаже, че подмножество от множеството $\mathbb(C)$, дадено от $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, удовлетворява всички аксиоми за реални числа, следователно $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, или $R\subset\mathbb(C)$.

Алгебричната структура на множеството $\mathbb(C)$ по отношение на операциите събиране и умножение има следните свойства:
1. комутативност на събиране и умножение
2. асоциативност на събиране и умножение
3. $0+i0$ - неутрален елемент за добавяне
4. $1+i0$ - неутрален елемент за умножение
5. Умножението е разпределително по отношение на събирането
6. Има едно обратно действие както за събиране, така и за умножение.

Фразата " набори от числа“ се среща доста често в учебниците по математика. Там често можете да намерите фрази като тази:

„Бла бла бла, къде принадлежи на множеството от естествени числа.“

Често вместо края на фраза можете да видите нещо подобно. Означава същото като текста малко по-горе - число принадлежи на множеството от естествени числа. Много хора често не обръщат внимание на това в кой набор е дефинирана тази или онази променлива. В резултат на това се използват напълно неправилни методи при решаване на задача или доказване на теорема. Това се случва, защото свойствата на числата, принадлежащи към различни множества, могат да се различават.

Няма толкова много числови множества. По-долу можете да видите дефинициите на различни набори от числа.

Наборът от естествени числа включва всички цели числа, по-големи от нула - положителни цели числа.

Например: 1, 3, 20, 3057. Комплектът не включва цифрата 0.

Този набор от числа включва всички цели числа, по-големи и по-малки от нула, а също и нула.

Например: -15, 0, 139.

Рационалните числа, най-общо казано, са набор от дроби, които не могат да бъдат отменени (ако една дроб бъде отменена, тогава тя вече ще бъде цяло число и за този случай няма нужда да се въвежда друг набор от числа).

Пример за числа, включени в рационалното множество: 3/5, 9/7, 1/2.

,

където е крайна последователност от цифри на цялата част от число, принадлежащо към множеството от реални числа. Тази последователност е крайна, т.е. броят на цифрите в цялата част на реално число е краен.

– безкрайна последователност от числа, които са в дробната част на реално число. Оказва се, че дробната част съдържа безкраен брой числа.

Такива числа не могат да бъдат представени като дроб. В противен случай такова число може да се класифицира като набор от рационални числа.

Примери за реални числа:

Нека разгледаме по-подробно значението на корена от две. Цялата част съдържа само една цифра - 1, така че можем да напишем:

В дробната част (след точката) се появяват последователно числата 4, 1, 4, 2 и т.н. Следователно за първите четири цифри можем да напишем:

Смея да се надявам, че сега дефиницията на множеството от реални числа е станала по-ясна.

Заключение

Трябва да се помни, че една и съща функция може да показва напълно различни свойства в зависимост от това към кой набор принадлежи променливата. Така че запомнете основите - те ще ви бъдат полезни.

Преглеждания на публикация: 5 103