Įvykio tikimybė lygi 1 įvykiui. Bendra įvykio tikimybė. Nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimo taisyklė

• Tikimybė – tai kokio nors įvykio tikimybės laipsnis (santykinis matas, kiekybinis įvertinimas). Kai kokios nors galimo įvykio priežastys iš tikrųjų nusveria priešingas priežastis, tada šis įvykis vadinamas tikėtinu, kitu atveju – mažai tikėtinas arba mažai tikėtinas. Teigiamų priežasčių persvara prieš neigiamas, ir atvirkščiai, gali būti įvairaus laipsnio, dėl to tikimybė (ir netikrumas) gali būti didesnė ar mažesnė. Todėl tikimybė dažnai vertinama kokybiniu lygmeniu, ypač tais atvejais, kai daugiau ar mažiau tikslus kiekybinis įvertinimas yra neįmanomas arba itin sunkus. Galimos įvairios tikimybės „lygių“ gradacijos.

  Tikimybių tyrimas matematiniu požiūriu sudaro specialią discipliną – tikimybių teoriją. Tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje tikimybės sąvoka įforminama kaip skaitinė įvykio charakteristika – tikimybės matas (arba jo reikšmė) – įvykių aibės matas (elementariųjų įvykių aibės poaibis), imant reikšmes. iš

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Reikšmė

  (\displaystyle 1)

  Atitinka patikimą įvykį. Neįmanomo įvykio tikimybė yra 0 (atvirkščiai paprastai ne visada tiesa). Jei įvykio tikimybė yra

  (\displaystyle p)

  Tada jo neįvykimo tikimybė lygi

  (\displaystyle 1-p)

  Visų pirma, tikimybė

  (\displaystyle 1/2)

  Reiškia vienodą įvykio įvykio ir neįvykimo tikimybę.

  Klasikinis tikimybės apibrėžimas grindžiamas vienodos rezultatų tikimybės samprata. Tikimybė yra tam tikram įvykiui palankių rezultatų skaičiaus ir bendro vienodai galimų baigčių skaičiaus santykis. Pavyzdžiui, tikimybė gauti galvų ar uodegų atsitiktinai išmetus monetą yra 1/2, jei daroma prielaida, kad atsiranda tik šios dvi galimybės ir jos yra vienodai įmanomos. Šis klasikinis tikimybės „apibrėžimas“ gali būti apibendrintas begalinio skaičiaus galimų reikšmių atveju, pavyzdžiui, jei koks nors įvykis gali įvykti su vienoda tikimybe bet kuriame tam tikros ribotos srities taške (taškų skaičius yra begalinis). erdvė (plokštuma), tada tikimybė, kad ji įvyks kurioje nors šios įmanomos srities dalyje, yra lygi šios dalies tūrio (ploto) ir visų galimų taškų srities tūrio (ploto) santykiui.

  Empirinis tikimybės „apibrėžimas“ yra susijęs su įvykio dažnumu, remiantis tuo, kad esant pakankamai dideliam bandymų skaičiui, dažnis turėtų būti linkęs į objektyvų šio įvykio tikimybės laipsnį. Šiuolaikiniame tikimybių teorijos pristatyme tikimybė apibrėžiama aksiomatiškai, kaip ypatingas abstrakčios aibinių matų teorijos atvejis. Tačiau jungiamoji grandis tarp abstraktaus mato ir tikimybės, išreiškiančios įvykio tikimybės laipsnį, yra būtent jo stebėjimo dažnis.

  Tikimybinis tam tikrų reiškinių aprašymas tapo plačiai paplitęs šiuolaikiniame moksle, ypač ekonometrijoje, makroskopinių (termodinaminių) sistemų statistinėje fizikoje, kur net ir klasikinio deterministinio dalelių judėjimo aprašymo atveju deterministinis visos sistemos aprašymas. praktiškai neįmanoma ar tinkama. Kvantinėje fizikoje aprašyti procesai patys yra tikimybinio pobūdžio.

Tai yra tų stebėjimų, kuriuose įvyko atitinkamas įvykis, skaičiaus ir bendro stebėjimų skaičiaus santykis. Toks aiškinimas yra priimtinas, kai atliekama pakankamai daug stebėjimų ar eksperimentų. Pavyzdžiui, jei maždaug pusė gatvėje sutiktų žmonių yra moterys, tuomet galima sakyti, kad tikimybė, kad gatvėje sutiktas žmogus bus moteris, yra 1/2. Kitaip tariant, įvykio tikimybės įvertinimas gali būti jo pasireiškimo dažnis ilgoje nepriklausomų atsitiktinio eksperimento pakartojimų serijoje.

Tikimybė matematikoje

Šiuolaikiniame matematiniame požiūryje klasikinę (ty ne kvantinę) tikimybę suteikia Kolmogorovo aksiomatika. Tikimybė yra matas P, kuris yra apibrėžtas rinkinyje X, vadinama tikimybių erdve. Ši priemonė turi turėti šias savybes:

Iš šių sąlygų išplaukia, kad tikimybės matas P taip pat turi turtą adityvumas: jei nustatyta A 1 ir A 2 nesikerta, tada . Norėdami įrodyti, turite įdėti viską A 3 , A 4 , ... lygus tuščiai aibei ir pritaikyti skaičiuojamojo adityvumo savybę.

Tikimybės matas gali būti apibrėžtas ne visiems aibės pogrupiams X. Pakanka jį apibrėžti sigmos algebroje, susidedančioje iš kai kurių aibės poaibių X. Šiuo atveju atsitiktiniai įvykiai apibrėžiami kaip išmatuojami erdvės pogrupiai X, tai yra, kaip sigmos algebros elementai.

Tikimybių jausmas

Kai nustatome, kad tam tikro galimo fakto priežastys nusveria priešingas priežastis, mes atsižvelgiame į šį faktą tikėtina, kitaip - neįtikėtinas. Ši teigiamų bazių persvara prieš neigiamas ir atvirkščiai, gali reikšti neapibrėžtą laipsnių rinkinį, dėl kurio tikimybė(Ir netikimybė) Būna daugiau arba mažiau .

Sudėtingi atskiri faktai neleidžia tiksliai apskaičiuoti jų tikimybės laipsnių, tačiau net ir čia svarbu nustatyti kai kuriuos didelius padalinius. Taigi, pavyzdžiui, teisinėje srityje, kai pagal parodymus nustatomas nagrinėtinas asmeninis faktas, jis visada lieka, griežtai tariant, tik tikėtinas, ir būtina žinoti, kiek ši tikimybė reikšminga; romėnų teisėje čia buvo priimtas keturgubas skirstymas: probatio plena(kur tikimybė praktiškai virsta patikimumas), toliau - probatio minus plena, tada - probatio semiplena major ir, galiausiai probatio semiplena minor .

Be klausimo dėl atvejo tikimybės, tiek teisės, tiek moralės srityje (turint tam tikrą etinį požiūrį) gali kilti klausimas, kiek tikėtina, kad tam tikras faktas yra bendrojo įstatymo pažeidimas. Šis klausimas, kuris yra pagrindinis Talmudo religinės jurisprudencijos motyvas, Romos katalikų moralės teologijoje (ypač nuo XVI a. pabaigos) taip pat sukėlė labai sudėtingas sistemines konstrukcijas ir didžiulę dogmatinę ir poleminę literatūrą. žr. Tikimybė).

Tikimybės sąvoka leidžia naudoti tam tikrą skaitinę išraišką, kai ji taikoma tik tokiems faktams, kurie yra tam tikrų vienarūšių eilučių dalis. Taigi (paprasčiausiu pavyzdžiu), kai kas nors meta monetą šimtą kartų iš eilės, čia randame vieną bendrą arba didelę seriją (visų monetos kritimų sumą), susidedančią iš dviejų privačių ar mažesnių, šiuo atveju skaitinių. lygi, serija (krenta „galvomis“ ir krenta „uodegomis“); Tikimybė, kad šį kartą moneta pateks į galvą, ty kad šis naujas bendrosios serijos narys priklausys tai iš dviejų mažesnių serijų, yra lygi trupmenai, išreiškiančiai skaitinį ryšį tarp šios mažos serijos ir didesnės. būtent 1/2, tai yra, ta pati tikimybė priklauso vienai ar kitai iš dviejų konkrečių eilučių. Ne tokie paprastuose pavyzdžiuose išvados negalima daryti tiesiogiai iš pačios problemos duomenų, bet reikia iš anksto indukcijos. Taigi, pavyzdžiui, kyla klausimas: kokia tikimybė, kad naujagimis sulauks 80 metų? Čia turi būti bendra arba didelė tam tikro skaičiaus žmonių, gimusių panašiomis sąlygomis ir mirusių skirtingu amžiumi, serija (šis skaičius turi būti pakankamai didelis, kad pašalintų atsitiktinius nuokrypius, ir pakankamai mažas, kad išlaikytų serijos homogeniškumą, žmogui, gimusiam, pavyzdžiui, Sankt Peterburge turtingoje, kultūringoje šeimoje, visa milijoninė miesto gyventojų dalis, kurios nemažą dalį sudaro įvairių grupių žmonės, galintys mirti anksčiau laiko – kariai, žurnalistai, pavojingų profesijų darbuotojai – yra pernelyg nevienalytė grupė, kad būtų galima realiai nustatyti tikimybę) ; tegul ši bendroji serija susideda iš dešimties tūkstančių žmonių gyvybių; ji apima mažesnes eilutes, kuriose nurodomas tam tikro amžiaus išgyvenusių žmonių skaičius; viena iš šių mažesnių serijų rodo žmonių, gyvenančių iki 80 metų, skaičių. Tačiau šios mažesnės serijos (kaip ir visų kitų) skaičiaus nustatyti neįmanoma. a priori; tai daroma grynai indukciniu būdu, pasitelkiant statistiką. Tarkime, statistiniais tyrimais nustatyta, kad iš 10 000 viduriniosios klasės Sankt Peterburgo gyventojų tik 45 gyvena iki 80 metų; Taigi ši mažesnė serija yra susijusi su didesne, nes 45 yra 10 000, o tikimybė, kad tam tikras asmuo priklausys šiai mažesnei serijai, tai yra, nugyvens iki 80 metų, išreiškiama trupmena 0,0045. Tikimybių tyrimas matematiniu požiūriu sudaro specialią discipliną – tikimybių teoriją.

taip pat žr

Pastabos

Literatūra

• Alfredas Renyi. Raidės apie tikimybę / vert. iš vengrų D. Saas ir A. Crumley, red. B. V. Gnedenko. M.: Mir. 1970 m
• Gnedenko B.V. Tikimybių teorijos kursas. M., 2007. 42 p.
• Kupcovas V.I. Determinizmas ir tikimybė. M., 1976. 256 p.

Wikimedia fondas. 2010 m.

Antonimai:

Pažiūrėkite, kas yra „tikimybė“ kituose žodynuose:

Bendroji mokslinė ir filosofinė. kategorija, nurodanti kiekybinį masinių atsitiktinių įvykių atsiradimo fiksuotomis stebėjimo sąlygomis galimybės laipsnį, apibūdinanti jų santykinio dažnio stabilumą. Logika, semantinis laipsnis.... Filosofinė enciklopedija

TIKIMYBĖ, skaičius diapazone nuo nulio iki vieneto imtinai, nurodantis tam tikro įvykio galimybę. Įvykio tikimybė apibrėžiama kaip tikimybės, kad įvykis gali įvykti, skaičiaus santykis su visu galimų... ... Mokslinis ir techninis enciklopedinis žodynas

Labai tikėtina.. Rusų sinonimų ir panašių posakių žodynas. pagal. red. N. Abramova, M.: Rusų kalbos žodynai, 1999. tikimybės galimybė, tikimybė, tikimybė, objektyvi galimybė, maza, priimtinumas, rizika. Ant. negalimybe...... Sinonimų žodynas

tikimybė- Priemonė, rodanti, kad įvykis gali įvykti. Pastaba Matematinis tikimybės apibrėžimas yra toks: „realusis skaičius nuo 0 iki 1, susietas su atsitiktiniu įvykiu“. Skaičius gali atspindėti santykinį dažnį stebėjimų serijoje... ... Techninis vertėjo vadovas

Tikimybė- „matematinė, skaitinė bet kokio įvykio atsiradimo tam tikromis sąlygomis tikimybės laipsnio charakteristika, kuri gali būti kartojama neribotą skaičių kartų“. Remiantis šia klasika...... Ekonomikos ir matematikos žodynas

- (tikimybė) Įvykio ar tam tikro rezultato atsiradimo galimybė. Jis gali būti pateiktas skalės pavidalu su padalomis nuo 0 iki 1. Jei įvykio tikimybė lygi nuliui, jo įvykimas neįmanomas. Esant tikimybei, lygiai 1, prasideda... Verslo terminų žodynas

Iki šiol pateikta atvirame vieningo valstybinio egzamino matematikos uždavinių banke (mathege.ru), kurio sprendimas pagrįstas tik viena formule, kuri yra klasikinis tikimybės apibrėžimas.

Lengviausias būdas suprasti formulę yra pavyzdžiai.
1 pavyzdys. Krepšelyje yra 9 raudoni ir 3 mėlyni kamuoliukai. Kamuoliukai skiriasi tik spalva. Atsitiktinai (nežiūrėdami) išimame vieną iš jų. Kokia tikimybė, kad tokiu būdu pasirinktas rutulys bus mėlynas?

Komentaras. Tikimybių teorijos uždaviniuose atsitinka kažkas (šiuo atveju mūsų veiksmas ištraukiant kamuolį), kas gali turėti kitokį rezultatą – rezultatą. Reikėtų pažymėti, kad į rezultatą galima žiūrėti įvairiai. „Mes ištraukėme kažkokį kamuolį“ taip pat yra rezultatas. „Mes ištraukėme mėlyną rutulį“ - rezultatas. „Iš visų įmanomų kamuoliukų ištraukėme būtent šį rutulį“ – toks mažiausiai apibendrintas rezultato vaizdas vadinamas elementariu rezultatu. Tikimybės apskaičiavimo formulėje reiškiami pagrindiniai rezultatai.

Sprendimas. Dabar apskaičiuokime tikimybę pasirinkti mėlyną rutulį.
Įvykis A: „pasirinktas rutulys pasirodė mėlynas“
Bendras visų galimų rezultatų skaičius: 9+3=12 (visų kamuoliukų, kuriuos galėtume ištraukti, skaičius)
A įvykiui palankių baigčių skaičius: 3 (tokių baigčių, kurių metu įvyko A įvykis, skaičius, tai yra mėlynų kamuoliukų skaičius)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Atsakymas: 0,25

Dėl tos pačios problemos apskaičiuokime tikimybę pasirinkti raudoną rutulį.
Bendras galimų baigčių skaičius išliks toks pat, 12. Palankių baigčių skaičius: 9. Ieškoma tikimybė: 9/12=3/4=0,75

Bet kurio įvykio tikimybė visada yra nuo 0 iki 1.
Kartais kasdienėje kalboje (bet ne tikimybių teorijoje!) įvykių tikimybė įvertinama procentais. Perėjimas tarp matematikos ir pokalbio balų pasiekiamas padauginus (arba padalijus) iš 100%.
Taigi,
Be to, įvykių, kurie negali įvykti, tikimybė yra lygi nuliui – neįtikėtina. Pavyzdžiui, mūsų pavyzdyje tai būtų tikimybė ištraukti žalią kamuolį iš krepšio. (palankių rezultatų skaičius yra 0, P(A)=0/12=0, jei apskaičiuojama pagal formulę)
1 tikimybė turi įvykių, kurie tikrai įvyks, be parinkčių. Pavyzdžiui, tikimybė, kad „pasirinktas rutulys bus raudonas arba mėlynas“, yra mūsų užduotis. (palankių rezultatų skaičius: 12, P(A) = 12/12 = 1)

Mes pažvelgėme į klasikinį pavyzdį, iliustruojantį tikimybės apibrėžimą. Visos panašios tikimybių teorijos vieningo valstybinio egzamino problemos sprendžiamos naudojant šią formulę.
Vietoj raudonų ir mėlynų kamuoliukų gali būti obuolių ir kriaušių, berniukų ir mergaičių, išmoktų ir neišmoktų bilietų, bilietų, kuriuose yra ir nėra klausimų tam tikra tema (prototipai,), brokuoti ir kokybiški krepšiai ar sodo siurbliai (prototipai). ,) – principas išlieka tas pats.

Jie šiek tiek skiriasi vieningo valstybinio egzamino tikimybių teorijos problemos formulavimu, kai reikia apskaičiuoti tam tikro įvykio tikimybę tam tikrą dieną. ( , ) Kaip ir ankstesnėse problemose, turite nustatyti, koks yra elementarus rezultatas, ir tada taikyti tą pačią formulę.

2 pavyzdys. Konferencija trunka tris dienas. Pirmą ir antrą dieną kalbėtojų yra 15, trečią dieną - 20. Kokia tikimybė, kad profesoriaus M. pranešimas kris trečią dieną, jei pranešimų eilė nustatoma burtų keliu?

Koks čia elementarus rezultatas? – Profesoriaus pranešimui priskiriant vieną iš visų galimų kalbos eilės numerių. Burtuose dalyvauja 15+15+20=50 žmonių. Taigi, profesoriaus M. ataskaita gali gauti vieną iš 50 numerių. Tai reiškia, kad yra tik 50 pagrindinių rezultatų.
Kokie yra palankūs rezultatai? – Tos, kuriose paaiškėja, kad profesorius kalbės trečią dieną. Tai yra, paskutiniai 20 skaičių.
Pagal formulę tikimybė P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Atsakymas: 0,4

Burtų traukimas čia parodo atsitiktinio susirašinėjimo tarp žmonių ir užsakytų vietų užmezgimą. 2 pavyzdyje atitikimas buvo svarstomas atsižvelgiant į tai, kurias vietas konkretus asmuo galėtų užimti. Tą pačią situaciją galite pažvelgti iš kitos pusės: kuris iš žmonių su kokia tikimybe galėtų patekti į konkrečią vietą (prototipai , , , ):

3 pavyzdys. Burtai dalyvauja 5 vokiečiai, 8 prancūzai ir 3 estai. Kokia tikimybė, kad pirmasis (/antras/septintas/paskutinis – nesvarbu) bus prancūzas.

Elementarių rezultatų skaičius yra visų galimų žmonių, kurie burtų keliu galėtų patekti į tam tikrą vietą, skaičius. 5+8+3=16 žmonių.
Palankūs rezultatai – prancūzų kalba. 8 žmonės.
Reikalinga tikimybė: 8/16=1/2=0,5
Atsakymas: 0,5

Prototipas šiek tiek skiriasi. Vis dar kyla problemų dėl monetų () ir kauliukų (), kurie yra šiek tiek kūrybiškesni. Šių problemų sprendimą galima rasti prototipų puslapiuose.

Štai keli monetos ar kauliuko metimo pavyzdžiai.

4 pavyzdys. Kai mes metame monetą, kokia tikimybė nusileisti ant galvų?
Yra 2 rezultatai – galvos arba uodegos. (manoma, kad moneta niekada nenukrenta ant jos krašto) Palankus rezultatas yra uodegos, 1.
Tikimybė 1/2=0,5
Atsakymas: 0,5.

5 pavyzdys. O jei mes du kartus monetą? Kokia tikimybė gauti galvą abu kartus?
Svarbiausia yra nustatyti, į kokius elementarius rezultatus atsižvelgsime mesdami dvi monetas. Išmetus dvi monetas gali atsirasti vienas iš šių rezultatų:
1) PP – abu kartus iškilo galvos
2) PO – pirmą kartą vadovai, antrą kartą vadovai
3) OP – pirmą kartą galva, antrą kartą – uodega
4) OO – abu kartus iškilo galvos
Kitų variantų nėra. Tai reiškia, kad elementarių rezultatų yra 4. Tik pirmasis, 1, yra palankus.
Tikimybė: 1/4=0,25
Atsakymas: 0,25

Kokia tikimybė, kad išmetus du monetas atsiras uodega?
Elementarių baigčių skaičius yra toks pat, 4. Palankios baigtys yra antra ir trečia, 2.
Tikimybė gauti vieną uodegą: 2/4=0,5

Esant tokioms problemoms, gali būti naudinga kita formulė.
Jei vienu monetos metimu turime 2 galimus rezultato variantus, tai dviejų metimų rezultatai bus 2 2 = 2 2 = 4 (kaip 5 pavyzdyje), trimis metimais 2 2 2 = 2 3 = 8, keturiais : 2 · 2 · 2 · 2 = 2 4 = 16, ... už N ridenimo galimi rezultatai bus 2 · 2 ·... · 2 = 2 N .

Taigi, galite rasti tikimybę gauti 5 galvas iš 5 monetų išmetimo.
Bendras elementarių rezultatų skaičius: 2 5 =32.
Palankūs rezultatai: 1. (RRRRRR – galvos visi 5 kartus)
Tikimybė: 1/32=0,03125

Tas pats pasakytina ir apie kauliukus. Vienu metimu galimi rezultatai 6. Taigi dviem metimams: 6 6 = 36, trims 6 6 6 = 216 ir t.t.

6 pavyzdys. Metame kauliukus. Kokia tikimybė, kad bus išmestas lyginis skaičius?

Iš viso rezultatų: 6, atsižvelgiant į pusių skaičių.
Palankus: 3 rezultatai. (2, 4, 6)
Tikimybė: 3/6=0,5

7 pavyzdys. Metame du kauliukus. Kokia tikimybė, kad iš viso bus 10? (apvalinama iki artimiausios šimtosios dalies)

Vienam mirti galimi 6 rezultatai. Tai reiškia, kad dviem, pagal aukščiau pateiktą taisyklę, 6·6=36.
Kokie rezultatai bus palankūs, kad bendras metimas būtų 10?
10 reikia išskaidyti į dviejų skaičių nuo 1 iki 6 sumą. Tai galima padaryti dviem būdais: 10=6+4 ir 10=5+5. Tai reiškia, kad kubeliams galimos šios parinktys:
(6 pirmoje ir 4 antroje)
(4 pirmoje ir 6 antroje)
(5 pirmoje ir 5 antroje)
Viso, 3 variantai. Reikalinga tikimybė: 3/36=1/12=0,08
Atsakymas: 0,08

Kiti B6 problemų tipai bus aptariami būsimame straipsnyje Kaip išspręsti.

Pagrindinė tikimybių teorijos samprata yra atsitiktinio įvykio samprata. Atsitiktinis įvykis yra įvykis, kuris gali įvykti arba neįvykti, jei tenkinamos tam tikros sąlygos. Pavyzdžiui, pataikymas į tam tikrą objektą arba dingimas šaudant į šį objektą iš nurodyto ginklo yra atsitiktinis įvykis.

Renginys vadinamas patikimas, jei dėl testo būtinai atsiranda. Neįmanomas Vadinamas įvykis, kuris negali įvykti dėl testo.

Atsitiktiniai įvykiai vadinami nesuderinamas tam tikrame teismo procese, jei du iš jų negali dalyvauti kartu.

Atsitiktinių įvykių forma pilna grupė, jei kiekvieno bandymo metu bet kuris iš jų gali pasirodyti ir negali atsirasti joks kitas su jais nesuderinamas įvykis.

Panagrinėkime visą vienodai galimų nesuderinamų atsitiktinių įvykių grupę. Tokius renginius vadinsime rezultatai ar elementarūs įvykiai. Rezultatas vadinamas palankusįvykio $A$ įvykis, jei dėl šio rezultato įvyksta įvykis $A$.

Pavyzdys. Urnoje yra 8 sunumeruoti rutuliukai (kiekvienas rutuliukas turi vieną skaičių nuo 1 iki 8). Kamuoliukai su skaičiais 1, 2, 3 yra raudoni, likusieji juodi. Kamuolio su numeriu 1 (arba numeriu 2 arba 3) pasirodymas yra įvykis, palankus raudono kamuoliuko atsiradimui. Rutulio su skaičiumi 4 (arba skaičiumi 5, 6, 7, 8) pasirodymas yra įvykis, palankus juodo kamuoliuko atsiradimui.

Įvykio tikimybė$A$ yra šiam įvykiui palankių rezultatų $m$ ir visų vienodai galimų nesuderinamų elementarių baigčių, kurios sudaro visą grupę $$P(A)=\frac(m)( n). \quad(1)$$

1 nuosavybė. Patikimo įvykio tikimybė lygi vienetui
2 nuosavybė. Neįmanomo įvykio tikimybė lygi nuliui.
3 nuosavybė. Atsitiktinio įvykio tikimybė yra teigiamas skaičius nuo nulio iki vieneto.

Taigi bet kurio įvykio tikimybė tenkina dvigubą nelygybę $0 \le P(A) \le 1$ .

Naudingos medžiagos

Internetiniai skaičiuotuvai

Daug problemų, išspręstų naudojant (1) formulę, yra susijusios su hipergeometrinės tikimybės tema. Žemiau rasite populiarių problemų aprašymus ir internetinius skaičiuotuvus jų sprendimui naudodami nuorodas:

• Problema dėl kamuoliukų (urnoje yra $k$ baltų ir $n$ juodų kamuoliukų, išimami $m$ rutuliukai...)
• Problema dėl dalių (dėžutėje yra $k$ standartinės ir $n$ sugedusios detalės, išimamos $m$ dalys...)
• Problema dėl loterijos bilietų (loterijoje yra $k$ laimėtų ir $n$ nelaimėtų bilietų, perkami $m$ bilietai...)

Mokomieji straipsniai su pavyzdžiais

• Kaip rasti tikimybę monetų metimo problemose?

Klasikinės tikimybės sprendinių pavyzdžiai

Pavyzdys. Urnoje yra 10 sunumeruotų rutuliukų su skaičiais nuo 1 iki 10. Išimamas vienas rutulys. Kokia tikimybė, kad ištraukto kamuoliuko skaičius neviršys 10?

Sprendimas. Tegul įvykis A= (Ištraukto kamuoliuko skaičius neviršija 10). Įvykio įvykiui palankių atvejų skaičius A lygus visų galimų atvejų skaičiui m=n=10. Vadinasi, R(A)=1. Renginys Ir patikimas.

Pavyzdys. Urnoje yra 10 kamuoliukų: 6 balti ir 4 juodi. Buvo ištraukti du kamuoliukai. Kokia tikimybė, kad abu rutuliai yra balti?

Sprendimas. Galite išimti du kamuoliukus iš dešimties šiais būdais: .
Kiek kartų tarp šių dviejų rutulių bus du balti rutuliai .
Reikalinga tikimybė
.

Pavyzdys. Urnoje yra 15 kamuoliukų: 5 balti ir 10 juodų. Kokia tikimybė iš urnos ištraukti mėlyną rutulį?

Sprendimas. Kadangi urnoje nėra mėlynų rutulių, tada m=0, n=15. Todėl reikiama tikimybė R=0. Mėlynojo rutulio piešimo renginys neįmanomas.

Pavyzdys. Viena korta ištraukiama iš 36 kortų kaladės. Kokia tikimybė, kad korta atsiras širdies kostiume?

Sprendimas. Elementarių rezultatų skaičius (kortelių skaičius) n=36. Renginys A= (Širdies kostiumo kortelės išvaizda). Įvykio įvykiui palankių atvejų skaičius A, m=9. Vadinasi,
.

Norint kiekybiškai palyginti įvykius tarpusavyje pagal jų galimybės laipsnį, akivaizdu, kad su kiekvienu įvykiu reikia susieti tam tikrą skaičių, kuris didesnis, tuo labiau įmanomas įvykis. Šį skaičių vadinsime įvykio tikimybe. Taigi, įvykio tikimybė yra skaitinis šio įvykio objektyvios galimybės laipsnio matas.

Pirmuoju tikimybės apibrėžimu reikėtų laikyti klasikinį, kuris atsirado nagrinėjant azartinius lošimus ir iš pradžių buvo taikomas intuityviai.

Klasikinis tikimybės nustatymo metodas remiasi vienodai galimų ir nesuderinamų įvykių samprata, kurie yra tam tikros patirties pasekmės ir sudaro visą nesuderinamų įvykių grupę.

Paprasčiausias vienodai įmanomų ir nesuderinamų įvykių, sudarančių ištisą grupę, pavyzdys – vieno ar kito rutulio atsiradimas iš urnos, kuriame yra keli vienodo dydžio, svorio ir kitų apčiuopiamų savybių kamuoliukai, besiskiriantys tik spalva, prieš išėmimą kruopščiai sumaišyti.

Todėl sakoma, kad testas, kurio rezultatai sudaro visą nesuderinamų ir vienodai galimų įvykių grupę, yra redukuojamas į urnų modelį arba atvejų modelį arba tinka klasikiniam modeliui.

Lygiai taip pat galimi ir nesuderinami įvykiai, sudarantys visą grupę, bus vadinami tiesiog atvejais arba atsitiktinumais. Be to, kiekviename eksperimente kartu su atvejais gali įvykti sudėtingesnių įvykių.

Pavyzdys: Metant kauliuką, kartu su atvejais A i - i taškų praradimas viršutinėje pusėje, galime laikyti tokius įvykius kaip B - lyginio taškų skaičiaus praradimas, C - kelių taškų skaičiaus praradimas. taškai, kurie yra trijų kartotiniai...

Atsižvelgiant į kiekvieną įvykį, kuris gali įvykti eksperimento metu, atvejai skirstomi į palankus, kuriame šis įvykis įvyksta, ir nepalankus, kai įvykis neįvyksta. Ankstesniame pavyzdyje įvykiui B pirmenybė teikiama atvejams A 2, A 4, A 6; C įvykis – A 3, A 6 atvejai.

Klasikinė tikimybė tam tikro įvykio įvykis vadinamas šiam įvykiui palankių atvejų skaičiaus ir bendro vienodai galimų, nesuderinamų atvejų, sudarančių visą tam tikro eksperimento grupę, skaičiaus santykiu:

Kur P(A)- įvykio A tikimybė; m- įvykiui A palankių atvejų skaičius; n– bendras bylų skaičius.

Pavyzdžiai:

1) (žr. pavyzdį aukščiau) P(B)= , P(C) =.

2) Urnoje yra 9 raudoni ir 6 mėlyni kamuoliukai. Raskite tikimybę, kad vienas ar du atsitiktinai ištraukti rutuliai bus raudoni.

A- raudonas rutulys, ištrauktas atsitiktinai:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- atsitiktinai ištraukti du raudoni rutuliai:

Šios savybės išplaukia iš klasikinio tikimybės apibrėžimo (parodykite save):

1) Neįmanomo įvykio tikimybė lygi 0;

2) Patikimo įvykio tikimybė yra 1;

3) bet kurio įvykio tikimybė yra tarp 0 ir 1;

4) įvykio, priešingo įvykiui A, tikimybė,

Klasikinis tikimybės apibrėžimas daro prielaidą, kad bandymo rezultatų skaičius yra baigtinis. Praktikoje labai dažnai pasitaiko testų, kurių galimų atvejų skaičius yra begalinis. Be to, klasikinio apibrėžimo silpnybė yra ta, kad labai dažnai neįmanoma pavaizduoti testo rezultato elementarių įvykių rinkinio pavidalu. Dar sunkiau nurodyti priežastis, kodėl elementarius testo rezultatus galima laikyti vienodai įmanomais. Paprastai elementarių testų rezultatų suderinamumas daromas remiantis simetrijos sumetimais. Tačiau tokios užduotys praktikoje atliekamos labai retai. Dėl šių priežasčių kartu su klasikiniu tikimybės apibrėžimu naudojami ir kiti tikimybės apibrėžimai.

Statistinė tikimybėįvykis A yra santykinis šio įvykio dažnis atliekant bandymus:

kur yra įvykio A tikimybė;

Santykinis įvykio A dažnis;

Bandymų, kurių metu atsirado įvykis A, skaičius;

Bendras bandymų skaičius.

Skirtingai nuo klasikinės tikimybės, statistinė tikimybė yra eksperimentinė charakteristika.

Pavyzdys: partijos gaminių kokybei kontroliuoti atsitiktine tvarka buvo atrinkta 100 gaminių, iš kurių 3 gaminiai buvo su trūkumais. Nustatykite santuokos tikimybę.

.

Statistinis tikimybės nustatymo metodas taikomas tik tiems įvykiams, kurie turi šias savybes:

Svarstomi įvykiai turėtų būti tik tų testų, kurie gali būti atkuriami neribotą skaičių kartų tomis pačiomis sąlygomis, rezultatai.

Įvykiai turi turėti statistinį stabilumą (arba santykinio dažnio stabilumą). Tai reiškia, kad skirtingose ​​testų serijose santykinis įvykio dažnis kinta mažai.

Bandymų, baigiančių įvykį A, skaičius turi būti gana didelis.

Nesunku patikrinti, ar tikimybės savybės, kylančios iš klasikinio apibrėžimo, yra išsaugotos ir statistiniame tikimybės apibrėžime.