Kokia tikimybė, kad... Tikimybių teorija. vidutinis lygis. Veiksmai dėl įvykių

• Tikimybė – tai kokio nors įvykio tikimybės laipsnis (santykinis matas, kiekybinis įvertinimas). Kai kokios nors galimo įvykio priežastys iš tikrųjų nusveria priešingas priežastis, tada šis įvykis vadinamas tikėtinu, kitu atveju – mažai tikėtinas arba mažai tikėtinas. Teigiamų priežasčių persvara prieš neigiamas, ir atvirkščiai, gali būti įvairaus laipsnio, dėl to tikimybė (ir netikrumas) gali būti didesnė ar mažesnė. Todėl tikimybė dažnai vertinama kokybiniu lygmeniu, ypač tais atvejais, kai daugiau ar mažiau tikslus kiekybinis įvertinimas yra neįmanomas arba itin sunkus. Galimos įvairios tikimybės „lygių“ gradacijos.

  Tikimybių tyrimas matematiniu požiūriu sudaro specialią discipliną – tikimybių teoriją. Tikimybių teorijoje ir matematinėje statistikoje tikimybės sąvoka įforminama kaip skaitinė įvykio charakteristika – tikimybės matas (arba jo reikšmė) – įvykių aibės matas (elementariųjų įvykių aibės poaibis), imant reikšmes. iš

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Reikšmė

  (\displaystyle 1)

  Atitinka patikimą įvykį. Neįmanomo įvykio tikimybė yra 0 (atvirkščiai paprastai ne visada tiesa). Jei įvykio tikimybė yra

  (\displaystyle p)

  Tada jo neįvykimo tikimybė lygi

  (\displaystyle 1-p)

  Visų pirma, tikimybė

  (\displaystyle 1/2)

  Reiškia vienodą įvykio įvykio ir neįvykimo tikimybę.

  Klasikinis tikimybės apibrėžimas grindžiamas vienodos rezultatų tikimybės samprata. Tikimybė yra tam tikram įvykiui palankių rezultatų skaičiaus ir bendro vienodai galimų baigčių skaičiaus santykis. Pavyzdžiui, tikimybė gauti galvų ar uodegų atsitiktinai išmetus monetą yra 1/2, jei daroma prielaida, kad atsiranda tik šios dvi galimybės ir jos yra vienodai įmanomos. Šis klasikinis tikimybės „apibrėžimas“ gali būti apibendrintas begalinio skaičiaus galimų reikšmių atveju, pavyzdžiui, jei koks nors įvykis gali įvykti su vienoda tikimybe bet kuriame tam tikros ribotos srities taške (taškų skaičius yra begalinis). erdvė (plokštuma), tada tikimybė, kad ji įvyks kurioje nors šios įmanomos srities dalyje, yra lygi šios dalies tūrio (ploto) ir visų galimų taškų srities tūrio (ploto) santykiui.

  Empirinis tikimybės „apibrėžimas“ yra susijęs su įvykio dažnumu, remiantis tuo, kad esant pakankamai dideliam bandymų skaičiui, dažnis turėtų būti linkęs į objektyvų šio įvykio tikimybės laipsnį. Šiuolaikiniame tikimybių teorijos pristatyme tikimybė apibrėžiama aksiomatiškai, kaip ypatingas abstrakčios aibinių matų teorijos atvejis. Tačiau jungiamoji grandis tarp abstraktaus mato ir tikimybės, išreiškiančios įvykio tikimybės laipsnį, yra būtent jo stebėjimo dažnis.

  Tikimybinis tam tikrų reiškinių aprašymas tapo plačiai paplitęs šiuolaikiniame moksle, ypač ekonometrijoje, makroskopinių (termodinaminių) sistemų statistinėje fizikoje, kur net ir klasikinio deterministinio dalelių judėjimo aprašymo atveju deterministinis visos sistemos aprašymas. praktiškai neįmanoma ar tinkama. Kvantinėje fizikoje aprašyti procesai patys yra tikimybinio pobūdžio.

Tikimybių teorija – matematikos šaka, tirianti atsitiktinių reiškinių dėsningumus: atsitiktinius įvykius, atsitiktinius dydžius, jų savybes ir operacijas su jais.

Ilgą laiką tikimybių teorija neturėjo aiškaus apibrėžimo. Jis buvo suformuluotas tik 1929 m. Tikimybių teorijos, kaip mokslo, atsiradimas siekia viduramžius ir pirmuosius lošimų (dribsnių, kauliukų, ruletės) matematinės analizės bandymus. XVII amžiaus prancūzų matematikai Blaise'as Pascalis ir Pierre'as Fermat'as, tyrinėdami azartinių lošimų laimėjimo prognozes, atrado pirmuosius tikimybinius modelius, atsirandančius metant kauliukus.

Tikimybių teorija atsirado kaip mokslas iš tikėjimo, kad masiniai atsitiktiniai įvykiai yra pagrįsti tam tikrais modeliais. Tikimybių teorija tiria šiuos modelius.

Tikimybių teorija nagrinėja įvykius, kurių įvykis nėra tiksliai žinomas. Tai leidžia įvertinti kai kurių įvykių tikimybės laipsnį, palyginti su kitais.

Pavyzdžiui: neįmanoma vienareikšmiškai nustatyti „galvų“ ar „uodegų“ rezultato išmetus monetą, tačiau pakartotinai metant „galvų“ ir „uodegų“ atsiranda maždaug tiek pat, o tai reiškia, kad tikimybė, kad „galvos“ ar „uodegos“ nukris“, yra lygi 50%.

Testasšiuo atveju vadinamas tam tikros sąlygų visumos įgyvendinimas, tai šiuo atveju – monetos metimas. Iššūkį galima žaisti neribotą skaičių kartų. Šiuo atveju sąlygų rinkinys apima atsitiktinius veiksnius.

Testo rezultatas yra renginys. Renginys vyksta:

1. Patikimas (visada atsiranda dėl testavimo).
2. Neįmanoma (niekada neįvyksta).
3. Atsitiktinis (gali atsirasti arba neatsitikti dėl testo).

Pavyzdžiui, metant monetą neįmanomas įvykis – moneta atsidurs ant jos krašto, atsitiktinis įvykis – „galvų“ ar „uodegų“ atsiradimas. Konkretus tyrimo rezultatas vadinamas elementarus įvykis. Testo rezultate įvyksta tik elementarūs įvykiai. Vadinamas visų galimų, skirtingų, specifinių testo rezultatų rinkinys elementarių įvykių erdvė.

Pagrindinės teorijos sąvokos

Tikimybė- įvykio tikimybės laipsnis. Kai kokios nors galimo įvykio priežastys iš tikrųjų nusveria priešingas priežastis, tada šis įvykis vadinamas tikėtinu, kitu atveju – mažai tikėtinas arba mažai tikėtinas.

Atsitiktinė vertė- tai yra kiekis, kuris dėl testavimo gali įgauti vienokią ar kitokią reikšmę, o iš anksto nežinoma, kuri. Pavyzdžiui: gaisrinės skaičius per dieną, pataikymų skaičius 10 šūvių ir kt.

Atsitiktinius kintamuosius galima suskirstyti į dvi kategorijas.

1. Diskretus atsitiktinis dydis yra dydis, kuris dėl bandymo su tam tikra tikimybe gali įgyti tam tikras reikšmes, sudarydamas skaičiuojamą aibę (aibę, kurios elementus galima sunumeruoti). Šis rinkinys gali būti baigtinis arba begalinis. Pavyzdžiui, šūvių skaičius prieš pirmąjį pataikymą į taikinį yra diskretusis atsitiktinis dydis, nes šis dydis gali įgyti begalinį, nors ir suskaičiuojamą, skaičių reikšmių.
2. Nuolatinis atsitiktinis dydis yra dydis, kuris gali paimti bet kokią reikšmę iš kokio nors baigtinio ar begalinio intervalo. Akivaizdu, kad nuolatinio atsitiktinio dydžio galimų reikšmių skaičius yra begalinis.

Tikimybių erdvė- koncepciją pristatė A.N. Kolmogorovas XX amžiaus 30-ajame dešimtmetyje formalizavo tikimybės sampratą, dėl kurios sparčiai vystėsi tikimybių teorija kaip griežta matematinė disciplina.

Tikimybių erdvė yra triguba (kartais įterpiama į kampinius skliaustus: , kur

Tai savavališka aibė, kurios elementai vadinami elementariais įvykiais, rezultatais arba taškais;
- poaibių, vadinamų (atsitiktiniais) įvykiais, sigmos algebra;
- tikimybės matas arba tikimybė, t.y. sigma-addityvinis baigtinis matas toks, kad .

De Moivre-Laplaso teorema- viena iš ribinių tikimybių teorijos teoremų, kurią Laplasas nustatė 1812 m. Jame teigiama, kad sėkmės skaičius, kai vėl ir vėl kartojamas tas pats atsitiktinis eksperimentas su dviem galimais rezultatais, pasiskirsto maždaug normaliai. Tai leidžia jums rasti apytikslę tikimybės vertę.

Jei kiekvienam iš nepriklausomų bandymų atsitiktinio įvykio tikimybė yra lygi () ir yra bandymų, kuriuose jis iš tikrųjų įvyksta, skaičius, tada tikimybė, kad nelygybė bus teisinga, yra artima (dideles vertes) Laplaso integralo vertė.

Pasiskirstymo funkcija tikimybių teorijoje- funkcija, apibūdinanti atsitiktinio dydžio arba atsitiktinio vektoriaus pasiskirstymą; tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis X įgis reikšmę, mažesnę arba lygią x, kur x yra savavališkas realusis skaičius. Jei tenkinamos žinomos sąlygos, tai visiškai nustato atsitiktinį kintamąjį.

Tikėtina vertė- vidutinė atsitiktinio dydžio reikšmė (tai tikimybių teorijoje nagrinėjamas atsitiktinio dydžio tikimybių skirstinys). Anglų kalbos literatūroje jis žymimas , rusiškai - . Statistikoje šis užrašas dažnai naudojamas.

Tegu duota tikimybių erdvė ir joje apibrėžtas atsitiktinis dydis. Tai pagal apibrėžimą yra išmatuojama funkcija. Tada, jei yra erdvės Lebesgue integralas, jis vadinamas matematiniu lūkesčiu arba vidutine verte ir žymimas .

Atsitiktinio dydžio dispersija- tam tikro atsitiktinio dydžio sklaidos matas, ty jo nuokrypis nuo matematinio lūkesčio. Jis pažymėtas rusų ir užsienio literatūroje. Statistikoje dažnai naudojamas žymėjimas arba. Kvadratinė dispersijos šaknis vadinama standartiniu nuokrypiu, standartiniu nuokrypiu arba standartiniu sklaida.

Leisti būti atsitiktiniu dydžiu, apibrėžtu tam tikroje tikimybių erdvėje. Tada

kur simbolis reiškia matematinį lūkestį.

Tikimybių teorijoje vadinami du atsitiktiniai įvykiai nepriklausomas, jei vieno iš jų atsiradimas nekeičia kito atsiradimo tikimybės. Panašiai vadinami du atsitiktiniai dydžiai priklausomas, jei vienos iš jų vertė turi įtakos kito verčių tikimybei.

Paprasčiausia didelių skaičių dėsnio forma yra Bernulio teorema, kuri teigia, kad jei įvykio tikimybė visuose bandymuose yra vienoda, tai didėjant bandymų skaičiui, įvykio dažnis linkęs į įvykio tikimybę ir nustoja būti atsitiktinis.

Didžiųjų skaičių dėsnis tikimybių teorijoje teigia, kad baigtinės imties iš fiksuoto skirstinio aritmetinis vidurkis yra artimas to skirstinio teoriniam vidurkiui. Priklausomai nuo konvergencijos tipo, skiriamas silpnasis didelių skaičių dėsnis, kai konvergencija įvyksta pagal tikimybę, ir stiprus didelių skaičių dėsnis, kai konvergencija yra beveik tikra.

Bendra didelių skaičių dėsnio prasmė yra ta, kad daugelio vienodų ir nepriklausomų atsitiktinių veiksnių bendras veikimas lemia rezultatą, kuris riboje nepriklauso nuo atsitiktinumo.

Tikimybių įvertinimo metodai, pagrįsti baigtinių imčių analize, yra pagrįsti šia savybe. Ryškus pavyzdys – rinkimų rezultatų prognozė, pagrįsta rinkėjų imties apklausa.

Centrinės ribos teoremos- tikimybių teorijos teoremų klasė, teigianti, kad pakankamai didelio skaičiaus silpnai priklausomų atsitiktinių dydžių, turinčių apytiksliai vienodas skales (nė vienas iš terminų nedominuoja ir nedaro lemiamo įnašo į sumą), sumos pasiskirstymas yra artimas normaliajam.

Kadangi daugelis atsitiktinių dydžių programose susidaro veikiant keletui silpnai priklausomų atsitiktinių veiksnių, jų pasiskirstymas laikomas normaliu. Šiuo atveju turi būti įvykdyta sąlyga, kad nė vienas iš veiksnių nėra dominuojantis. Centrinės ribos teoremos šiais atvejais pateisina normaliojo skirstinio naudojimą.

„Atsitiktinumai nėra atsitiktiniai“... Skamba kaip filosofas, bet iš tikrųjų atsitiktinumo tyrinėjimas yra didžiojo matematikos mokslo lemtis. Matematikoje atsitiktinumą sprendžia tikimybių teorija. Straipsnyje bus pateiktos formulės ir užduočių pavyzdžiai bei pagrindiniai šio mokslo apibrėžimai.

Kas yra tikimybių teorija?

Tikimybių teorija yra viena iš matematinių disciplinų, tiriančių atsitiktinius įvykius.

Kad būtų aiškiau, pateiksime nedidelį pavyzdį: jei monetą išmesite aukštyn, ji gali nukristi ant galvų ar uodegų. Kol moneta yra ore, galimos abi šios tikimybės. Tai yra, galimų pasekmių tikimybė yra 1:1. Jei iš 36 kortų kaladės ištraukiama viena, tada tikimybė bus nurodyta kaip 1:36. Atrodytų, čia nėra ko tyrinėti ir prognozuoti, ypač pasitelkus matematines formules. Tačiau jei tam tikrą veiksmą kartosite daug kartų, galėsite nustatyti tam tikrą modelį ir pagal jį numatyti įvykių baigtį kitomis sąlygomis.

Apibendrinant visa tai, kas išdėstyta aukščiau, tikimybių teorija klasikine prasme tiria galimybę, kad vienas iš galimų įvykių įvyks skaitine verte.

Iš istorijos puslapių

Tikimybių teorija, formulės ir pirmųjų užduočių pavyzdžiai atsirado tolimais viduramžiais, kai pirmą kartą buvo bandoma nuspėti kortų žaidimų baigtį.

Iš pradžių tikimybių teorija neturėjo nieko bendra su matematika. Tai buvo pateisinama empiriniais faktais arba įvykio savybėmis, kurios gali būti atkartotos praktiškai. Pirmieji darbai šioje srityje kaip matematinė disciplina pasirodė XVII a. Įkūrėjai buvo Blaise'as Pascalis ir Pierre'as Fermatas. Jie ilgą laiką mokėsi azartinių lošimų ir pamatė tam tikrus modelius, apie kuriuos nusprendė papasakoti visuomenei.

Tą pačią techniką išrado Christiaan Huygens, nors jis nebuvo susipažinęs su Pascalio ir Fermato tyrimų rezultatais. Jis pristatė „tikimybių teorijos“ sąvoką, formules ir pavyzdžius, kurie laikomi pirmaisiais disciplinos istorijoje.

Nemenką reikšmę turi ir Jacobo Bernoulli darbai, Laplaso ir Puasono teoremos. Jie pavertė tikimybių teoriją labiau panašia į matematinę discipliną. Tikimybių teorija, formulės ir pagrindinių užduočių pavyzdžiai įgavo dabartinę formą Kolmogorovo aksiomų dėka. Dėl visų pokyčių tikimybių teorija tapo viena iš matematikos šakų.

Pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos. Renginiai

Pagrindinė šios disciplinos sąvoka yra „įvykis“. Yra trys įvykių tipai:

• Patikimas. Tie, kurie vis tiek įvyks (moneta nukris).
• Neįmanomas.Įvykiai, kurie neįvyks jokiomis aplinkybėmis (moneta liks kabėti ore).
• Atsitiktinis. Tie, kurie įvyks arba neįvyks. Jiems įtakos gali turėti įvairūs veiksniai, kuriuos labai sunku numatyti. Jei kalbame apie monetą, tai yra atsitiktiniai veiksniai, galintys turėti įtakos rezultatui: monetos fizinės savybės, forma, pradinė padėtis, metimo jėga ir kt.

Visi įvykiai pavyzdžiuose pažymėti didžiosiomis lotyniškomis raidėmis, išskyrus P, kurios vaidmuo skiriasi. Pavyzdžiui:

• A = „studentai atėjo į paskaitą“.
• Ā = „studentai neatėjo į paskaitą“.

Praktinėse užduotyse įvykiai dažniausiai užrašomi žodžiais.

Viena iš svarbiausių įvykių ypatybių yra vienoda jų galimybė. Tai yra, jei mesti monetą, galimi visi pradinio kritimo variantai, kol ji nukris. Tačiau įvykiai taip pat nėra vienodai įmanomi. Taip atsitinka, kai kas nors sąmoningai daro įtaką rezultatui. Pavyzdžiui, „pažymėtos“ žaidimo kortos ar kauliukai, kuriuose svorio centras yra perkeltas.

Įvykiai taip pat gali būti suderinami ir nesuderinami. Suderinami įvykiai neatmeta vienas kito atsiradimo. Pavyzdžiui:

• A = „studentas atėjo į paskaitą“.
• B = „studentas atėjo į paskaitą“.

Šie įvykiai yra nepriklausomi vienas nuo kito, o vieno iš jų atsiradimas neturi įtakos kito įvykimui. Nesuderinami įvykiai apibrėžiami tuo, kad įvykus vienam neleidžia įvykti kito. Jei kalbėsime apie tą pačią monetą, tada, praradus „uodegą“, tame pačiame eksperimente neįmanoma atsirasti „galvų“.

Veiksmai dėl įvykių

Įvykiai gali būti dauginami ir pridedami, atitinkamai disciplinoje įvedami loginiai ryšiai „AND“ ir „ARBA“.

Suma nustatoma atsižvelgiant į tai, kad vienu metu gali įvykti įvykis A arba B, arba du. Jei jie nesuderinami, paskutinis variantas yra neįmanomas; bus metamas A arba B.

Įvykių dauginimas susideda iš A ir B atsiradimo vienu metu.

Dabar galime pateikti keletą pavyzdžių, kad geriau atsimintume pagrindus, tikimybių teoriją ir formules. Toliau pateikiami problemų sprendimo pavyzdžiai.

1 pratimas: Įmonė dalyvauja konkurse gauti sutartis dėl trijų rūšių darbų. Galimi įvykiai, kurie gali įvykti:

• A = „įmonė gaus pirmąją sutartį“.
• A 1 = „įmonė negaus pirmosios sutarties“.
• B = „įmonė gaus antrą sutartį“.
• B 1 = „įmonė negaus antros sutarties“
• C = „įmonė gaus trečią sutartį“.
• C 1 = „įmonė negaus trečios sutarties“.

Naudodami veiksmus su įvykiais, bandysime išreikšti tokias situacijas:

• K = „įmonė gaus visas sutartis“.

Matematine forma lygtis bus tokia: K = ABC.

• M = „įmonė negaus nė vienos sutarties“.

M = A 1 B 1 C 1.

Sudėtinkite užduotį: H = „įmonė gaus vieną sutartį“. Kadangi nežinoma, kokią sutartį įmonė gaus (pirmą, antrą ar trečią), būtina įrašyti visą galimų įvykių seriją:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

O 1 BC 1 yra įvykių serija, kai firma negauna pirmos ir trečios sutarties, o gauna antrąją. Kiti galimi įvykiai buvo užfiksuoti atitinkamu metodu. Simbolis υ disciplinoje reiškia jungiamąjį „ARBA“. Jei minėtą pavyzdį išversime į žmonių kalbą, įmonė gaus arba trečią sutartį, arba antrą, arba pirmą. Panašiai galite užrašyti ir kitas disciplinos „Tikimybių teorija“ sąlygas. Aukščiau pateiktos formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai padės tai padaryti patiems.

Tiesą sakant, tikimybė

Galbūt šioje matematinėje disciplinoje įvykio tikimybė yra pagrindinė sąvoka. Yra 3 tikimybės apibrėžimai:

• klasika;
• statistiniai;
• geometrinis.

Kiekvienas iš jų turi savo vietą tikimybių tyrime. Tikimybių teorijoje, formulėse ir pavyzdžiuose (9 klasė) daugiausia naudojamas klasikinis apibrėžimas, kuris skamba taip:

• Situacijos A tikimybė yra lygi pasekmių, palankių jos atsiradimui, skaičiaus ir visų galimų baigčių skaičiaus santykiui.

Formulė atrodo taip: P(A)=m/n.

A iš tikrųjų yra įvykis. Jei atsiranda priešingas A atvejis, jis gali būti parašytas kaip Ā arba A 1 .

m – galimų palankių atvejų skaičius.

n – visi įvykiai, kurie gali atsitikti.

Pavyzdžiui, A = „ištrauk širdies kostiumo kortelę“. Standartinėje kaladėje yra 36 kortos, iš kurių 9 yra širdelių. Atitinkamai, problemos sprendimo formulė atrodys taip:

P(A)=9/36=0,25.

Dėl to tikimybė, kad iš kaladės bus ištraukta širdies kostiumo korta, bus 0,25.

Aukštosios matematikos link

Dabar tapo mažai žinoma, kas yra tikimybių teorija, formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai, kurie pasitaiko mokyklos mokymo programoje. Tačiau tikimybių teorija aptinkama ir aukštojoje matematikoje, kuri dėstoma universitetuose. Dažniausiai jie veikia su geometriniais ir statistiniais teorijos apibrėžimais ir sudėtingomis formulėmis.

Tikimybių teorija yra labai įdomi. Geriau pradėti studijuoti formules ir pavyzdžius (aukštoji matematika) nuo mažų – su statistiniu (arba dažniniu) tikimybės apibrėžimu.

Statistinis požiūris neprieštarauja klasikiniam, bet šiek tiek jį išplečia. Jei pirmuoju atveju reikėjo nustatyti, su kokia tikimybe įvyks įvykis, tai šiuo metodu būtina nurodyti, kaip dažnai jis įvyks. Čia pristatoma nauja „santykinio dažnio“ sąvoka, kurią galima žymėti W n (A). Formulė nesiskiria nuo klasikinės:

Jei prognozei skaičiuojama klasikinė formulė, tai statistinė apskaičiuojama pagal eksperimento rezultatus. Paimkime, pavyzdžiui, nedidelę užduotį.

Technologinės kontrolės skyrius tikrina gaminių kokybę. Iš 100 gaminių 3 buvo nustatyti nekokybiški. Kaip sužinoti kokybiško produkto dažnumo tikimybę?

A = „kokybiško produkto išvaizda“.

Wn (A) = 97/100 = 0,97

Taigi kokybiško produkto dažnis yra 0,97. Iš kur gavai 97? Iš 100 patikrintų gaminių 3 buvo nustatyti nekokybiški. Iš 100 atimame 3 ir gauname 97, tai kokybiškų prekių kiekis.

Šiek tiek apie kombinatoriką

Kitas tikimybių teorijos metodas vadinamas kombinatorika. Jo pagrindinis principas yra tas, kad jei tam tikras pasirinkimas A gali būti atliktas m skirtingais būdais, o pasirinkimas B gali būti atliktas n skirtingų būdų, tai A ir B pasirinkimas gali būti atliktas dauginant.

Pavyzdžiui, iš miesto A į miestą B veda 5 keliai. Iš miesto B į miestą C yra 4 takai. Keliais būdais galite patekti iš miesto A į miestą C?

Tai paprasta: 5x4=20, tai yra, iš taško A į tašką C galite patekti dvidešimčia skirtingų būdų.

Apsunkinkime užduotį. Kiek yra būdų, kaip išdėlioti kortas pasjansoje? Kaledėje yra 36 kortos – tai yra atskaitos taškas. Norėdami sužinoti būdų skaičių, turite „atimti“ po vieną kortelę nuo pradžios taško ir padauginti.

Tai yra, 36x35x34x33x32...x2x1= rezultatas netelpa skaičiuotuvo ekrane, todėl jį galima tiesiog pažymėti 36!. Pasirašykite "!" šalia skaičiaus rodo, kad visa skaičių serija yra padauginta.

Kombinatorikoje yra tokių sąvokų kaip permutacija, išdėstymas ir derinys. Kiekvienas iš jų turi savo formulę.

Sutvarkyta aibės elementų aibė vadinama išdėstymu. Vietos gali būti kartojamos, tai yra, vieną elementą galima naudoti kelis kartus. Ir be pasikartojimo, kai elementai nesikartoja. n yra visi elementai, m yra elementai, kurie dalyvauja vietoje. Įdėjimo be pasikartojimo formulė atrodys taip:

A n m =n!/(n-m)!

n elementų jungtys, kurios skiriasi tik išdėstymo tvarka, vadinamos permutacijomis. Matematikoje tai atrodo taip: P n = n!

n elementų deriniai m yra tie junginiai, kuriuose svarbu, kokie elementai jie buvo ir koks jų bendras skaičius. Formulė atrodys taip:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernulio formulė

Tikimybių teorijoje, kaip ir kiekvienoje disciplinoje, yra puikių savo srities tyrinėtojų darbų, kurie perkėlė ją į naują lygį. Vienas iš šių darbų yra Bernulio formulė, leidžianti nustatyti tam tikro įvykio tikimybę nepriklausomomis sąlygomis. Tai rodo, kad A atsiradimas eksperimente nepriklauso nuo to paties įvykio ar neįvykimo ankstesniuose ar vėlesniuose bandymuose.

Bernulio lygtis:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Įvykio (A) atsiradimo tikimybė (p) yra pastovi kiekvienam bandymui. Tikimybė, kad situacija pasikartos lygiai m kartų per n skaičių eksperimentų, bus apskaičiuojama pagal aukščiau pateiktą formulę. Atitinkamai kyla klausimas, kaip sužinoti skaičių q.

Jei įvykis A įvyksta p kartų, atitinkamai jis gali neįvykti. Vienetas yra skaičius, naudojamas visiems situacijos rezultatams disciplinoje nurodyti. Todėl q yra skaičius, nurodantis įvykio neįvykimo galimybę.

Dabar jūs žinote Bernulio formulę (tikimybių teoriją). Toliau apžvelgsime problemų sprendimo pavyzdžius (pirmasis lygis).

2 užduotis: Parduotuvės lankytojas apsipirks su 0,2 tikimybe. 6 lankytojai savarankiškai įėjo į parduotuvę. Kokia tikimybė, kad lankytojas apsipirks?

Sprendimas: Kadangi nežinoma, kiek lankytojų turėtų apsipirkti, vienas ar visi šeši, reikia apskaičiuoti visas įmanomas tikimybes naudojant Bernulio formulę.

A = „lankytojas pirks“.

Šiuo atveju: p = 0,2 (kaip nurodyta užduotyje). Atitinkamai, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (kadangi parduotuvėje yra 6 klientai). Skaičius m skirsis nuo 0 (nepirks nei vienas pirkėjas) iki 6 (visi parduotuvės lankytojai ką nors pirks). Kaip rezultatas, mes gauname sprendimą:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Nė vienas iš pirkėjų nepirks su 0,2621 tikimybe.

Kaip kitaip naudojama Bernulio formulė (tikimybių teorija)? Problemų sprendimo pavyzdžiai (antrasis lygis) žemiau.

Po pirmiau pateikto pavyzdžio kyla klausimų, kur nuėjo C ir r. Lyginant su p, skaičius, kurio laipsnis yra 0, bus lygus vienetui. Kalbant apie C, jį galima rasti pagal formulę:

C n m = n! /m!(n-m)!

Kadangi pirmame pavyzdyje m = 0, atitinkamai, C = 1, o tai iš esmės neturi įtakos rezultatui. Naudodami naują formulę pabandykime išsiaiškinti, kokia tikimybė, kad prekes įsigys du lankytojai.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / ( 2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × ( 0,2 ) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Tikimybių teorija nėra tokia sudėtinga. Bernoulli formulė, kurios pavyzdžiai pateikti aukščiau, yra tiesioginis to įrodymas.

Puasono formulė

Puasono lygtis naudojama mažos tikimybės atsitiktinėms situacijoms apskaičiuoti.

Pagrindinė formulė:

P n (m)=λ m/m! × e (-λ) .

Šiuo atveju λ = n x p. Čia yra paprasta Puasono formulė (tikimybių teorija). Toliau apžvelgsime problemų sprendimo pavyzdžius.

3 užduotis: gamykla pagamino 100 000 detalių. Sugedusios detalės atsiradimas = 0,0001. Kokia tikimybė, kad partijoje bus 5 sugedusios dalys?

Kaip matote, santuoka yra mažai tikėtinas įvykis, todėl skaičiavimui naudojama Puasono formulė (tikimybių teorija). Tokio pobūdžio problemų sprendimo pavyzdžiai niekuo nesiskiria nuo kitų disciplinos užduočių; reikiamus duomenis pakeičiame į pateiktą formulę:

A = „atsitiktinai parinkta dalis bus sugedusi“.

p = 0,0001 (pagal užduoties sąlygas).

n = 100000 (dalių skaičius).

m = 5 (defektuotos dalys). Mes pakeičiame duomenis į formulę ir gauname:

100 000 R (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.

Kaip ir Bernulio formulė (tikimybių teorija), kurios sprendimų pavyzdžiai yra parašyti aukščiau, Puasono lygtis turi nežinomą e. Tiesą sakant, ją galima rasti pagal formulę:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Tačiau yra specialių lentelių, kuriose yra beveik visos e.

De Moivre-Laplaso teorema

Jei Bernoulli schemoje bandymų skaičius yra pakankamai didelis, o įvykio A tikimybė visose schemose yra vienoda, tai įvykio A tikimybę tam tikrą skaičių kartų bandymų serijoje galima rasti Laplaso formulė:

Рn (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Norėdami geriau prisiminti Laplaso formulę (tikimybių teoriją), toliau pateikiami problemų pavyzdžiai.

Pirmiausia suraskime X m, pakeiskime duomenis (jie visi išvardyti aukščiau) į formulę ir gaukime 0,025. Naudodami lenteles randame skaičių ϕ(0,025), kurio reikšmė yra 0,3988. Dabar galite pakeisti visus duomenis į formulę:

P 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Taigi tikimybė, kad skrajutė veiks lygiai 267 kartus, yra 0,03.

Bayes formulė

Bayes formulė (tikimybių teorija), kurios pagalba bus pateikti problemų sprendimo pavyzdžiai, yra lygtis, apibūdinanti įvykio tikimybę, remiantis aplinkybėmis, kurios gali būti su juo susijusios. Pagrindinė formulė yra tokia:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A ir B yra tam tikri įvykiai.

P(A|B) yra sąlyginė tikimybė, ty įvykis A gali įvykti, jei įvykis B yra teisingas.

P (B|A) – sąlyginė įvykio B tikimybė.

Taigi, paskutinė trumpo kurso „Tikimybių teorija“ dalis yra Bayes formulė, kurios problemų sprendimų pavyzdžiai pateikiami žemiau.

5 užduotis: Į sandėlį buvo atvežti trijų įmonių telefonai. Tuo pačiu metu telefonų, pagamintų pirmoje gamykloje, dalis yra 25%, antroje - 60%, trečioje - 15%. Taip pat žinoma, kad vidutinis brokuotų gaminių procentas pirmoje gamykloje yra 2%, antroje - 4%, o trečioje - 1%. Turite rasti tikimybę, kad atsitiktinai pasirinktas telefonas bus sugedęs.

A = „atsitiktinai pasirinktas telefonas“.

B 1 - telefonas, kurį pagamino pirmoji gamykla. Atitinkamai pasirodys įvadiniai B 2 ir B 3 (antrai ir trečiai gamykloms).

Rezultate gauname:

P (B 1) = 25 %/100 % = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 – taip radome kiekvieno varianto tikimybę.

Dabar reikia rasti sąlygines norimo įvykio tikimybes, tai yra sugedusių gaminių tikimybę įmonėse:

P (A/B 1) = 2 %/100 % = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Dabar pakeiskime duomenis į Bayes formulę ir gaukime:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Straipsnyje pateikiama tikimybių teorija, formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai, tačiau tai tik didžiulės disciplinos ledkalnio viršūnė. O po visko, kas parašyta, bus logiška užduoti klausimą, ar gyvenime reikalinga tikimybių teorija. Paprastam žmogui sunku atsakyti, geriau paprašyti to, kas tuo pasinaudojo, kad laimėtų jackpotą daugiau nei vieną kartą.

Norint pasirinkti tinkamą statymą, labai svarbu žinoti, kaip įvertinti įvykio tikimybę pagal šansus. Jei nesuprantate, kaip paversti lažybų tarpininko koeficientą į tikimybę, niekada negalėsite nustatyti, kaip lažybų tarpininko koeficientai lyginami su faktiniais įvykio šansais. Turėtumėte suprasti, kad jei įvykio tikimybė pagal lažybų agentus yra mažesnė už to paties įvykio tikimybę pagal jūsų versiją, statymas dėl šio įvykio bus vertingas. Svetainėje Odds.ru galite palyginti skirtingų įvykių koeficientus.

1.1. Tikimybių tipai

Bukmekeriai dažniausiai siūlo trijų tipų koeficientus – dešimtainius, trupmeninius ir amerikietiškus. Pažvelkime į kiekvieną veislę.

1.2. Dešimtainis koeficientas

Dešimtainiai koeficientai, padauginti iš statymo dydžio, leidžia apskaičiuoti visą sumą, kurią gausite į rankas, jei laimėsite. Pavyzdžiui, jei statote 1 USD su koeficientu 1,80, jei laimėsite, gausite 1,80 USD (1 USD yra grąžinama statymo suma, 0,80 yra statymo laimėjimas, kuris taip pat yra jūsų grynasis pelnas).

Tai yra, rezultato tikimybė, pasak bukmekerių, yra 55%.

1.3. Trupmeniniai šansai

Trupmeniniai koeficientai yra tradicinis šansų tipas. Skaitiklis rodo galimus grynuosius laimėjimus. Vardiklis yra statymo suma, kurią reikia atlikti norint gauti šį laimėjimą. Pavyzdžiui, koeficientas 7/2 reiškia, kad norint laimėti 7 USD, jums reikės statyti 2 USD.

Norėdami apskaičiuoti įvykio tikimybę remiantis dešimtainiu koeficientu, turėtumėte atlikti paprastus skaičiavimus - padalykite vardiklį iš skaitiklio ir vardiklio sumos. Esant aukščiau nurodytam koeficientui 7/2, apskaičiavimas bus toks:

2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22

Tai yra, rezultato tikimybė, pasak bukmekerių, yra 22%.

1.4. Amerikos šansai

Šio tipo koeficientai yra populiarūs Šiaurės Amerikoje. Iš pirmo žvilgsnio jie atrodo gana sudėtingi ir nesuprantami, tačiau nesijaudinkite. Amerikietiškų koeficientų supratimas gali būti naudingas, pavyzdžiui, žaidžiant Amerikos kazino, norint suprasti Šiaurės Amerikos sporto laidose rodomas citatas. Pažiūrėkime, kaip įvertinti rezultato tikimybę remiantis Amerikos koeficientais.

Visų pirma, jūs turite suprasti, kad Amerikos šansai gali būti teigiami ir neigiami. Neigiamas Amerikos koeficientas visada pateikiamas formatu, pavyzdžiui, „-150“. Tai reiškia, kad norint gauti 100 USD grynojo pelno (laimėjimų), reikia pastatyti 150 USD.

Teigiamas Amerikos koeficientas apskaičiuojamas atvirkščiai. Pavyzdžiui, mes turime koeficientą „+120“. Tai reiškia, kad norint gauti 120 USD grynojo pelno (laimėjimų), reikia pastatyti 100 USD.

Tikimybių skaičiavimas, pagrįstas neigiamais Amerikos koeficientais, atliekamas naudojant šią formulę:

(-(neigiamas Amerikos koeficientas)) / ((-(neigiamas Amerikos koeficientas)) + 100)

(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6

Tai reiškia, kad įvykio, kuriam suteiktas neigiamas amerikietiškas koeficientas „-150“, tikimybė yra 60%.

Dabar apsvarstykite panašius teigiamo Amerikos koeficiento skaičiavimus. Tikimybė šiuo atveju apskaičiuojama pagal šią formulę:

100 / (teigiamas Amerikos koeficientas + 100)

100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45

Tai reiškia, kad įvykio, kuriam suteiktas teigiamas amerikietiškas koeficientas „+120“, tikimybė yra 45%.

1.5. Kaip konvertuoti koeficientus iš vieno formato į kitą?

Galimybė konvertuoti koeficientus iš vieno formato į kitą gali būti naudinga vėliau. Kaip bebūtų keista, vis dar yra biurų, kuriuose koeficientai nekonvertuojami ir rodomi tik vienu mums neįprastu formatu. Pažvelkime į pavyzdžius, kaip tai padaryti. Tačiau pirmiausia turime išmokti apskaičiuoti rezultato tikimybę pagal mums pateiktą koeficientą.

1.6. Kaip apskaičiuoti dešimtainį koeficientą pagal tikimybę?

Čia viskas labai paprasta. 100 reikia padalyti iš įvykio tikimybės procentais. Tai yra, jei numatoma įvykio tikimybė yra 60%, turite:

Kai numatoma įvykio tikimybė yra 60%, dešimtainis koeficientas bus 1,66.

1.7. Kaip apskaičiuoti trupmeninius koeficientus pagal tikimybę?

Tokiu atveju 100 reikia padalyti iš įvykio tikimybės ir iš gauto rezultato atimti vieną. Pavyzdžiui, įvykio tikimybė yra 40 %:

(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5

Tai yra, mes gauname trupmeninį koeficientą 1,5/1 arba, kad būtų lengviau apskaičiuoti, 3/2.

1.8. Kaip apskaičiuoti Amerikos koeficientą pagal tikėtiną rezultatą?

Čia daug kas priklausys nuo įvykio tikimybės – ar ji bus didesnė nei 50%, ar mažesnė. Jei įvykio tikimybė yra didesnė nei 50%, tada skaičiavimas atliekamas pagal šią formulę:

– ((tikimybė) / (100 – tikimybė)) * 100

Pavyzdžiui, jei įvykio tikimybė yra 80%, tada:

— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)

Apskaičiuota įvykio tikimybė yra 80%, mes gavome neigiamą Amerikos koeficientą „-400“.

Jei įvykio tikimybė yra mažesnė nei 50 procentų, formulė bus tokia:

((100 – tikimybė) / tikimybė) * 100

Pavyzdžiui, jei įvykio tikimybė yra 40%, tada:

((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150

Apskaičiuota įvykio tikimybė yra 40%, mes gavome teigiamą Amerikos koeficientą „+150“.

Šie skaičiavimai padės geriau suprasti statymų ir koeficientų sąvoką bei išmokti įvertinti tikrąją konkretaus statymo vertę.

Tikimybė, kad tam tikrame teste įvyks įvykis, yra lygi santykiui , kur:

Bendras visų vienodai galimų elementarių duotojo testo baigčių, kurios susidaro pilna renginių grupė;

Elementarių įvykiui palankių rezultatų skaičius.

1 problema

Urnoje yra 15 baltų, 5 raudoni ir 10 juodų rutuliukų. Atsitiktinai ištrauktas 1 rutulys, raskite tikimybę, kad jis bus: a) baltas, b) raudonas, c) juodas.

Sprendimas: Svarbiausia klasikinio tikimybės apibrėžimo naudojimo sąlyga yra gebėjimas suskaičiuoti bendrą rezultatų skaičių.

Iš viso urnoje yra 15 + 5 + 10 = 30 kamuoliukų, ir akivaizdu, kad šie faktai yra teisingi:

Taip pat įmanoma atgauti bet kurį kamuolį (lygias galimybes rezultatai), o rezultatai elementarus ir forma pilna renginių grupė (t. y. atlikus testą vienas iš 30 kamuoliukų tikrai bus pašalintas).

Taigi bendras rezultatų skaičius:

Apsvarstykite įvykį: - iš urnos bus ištrauktas baltas rutulys. Šį įvykį palankiai vertina elementarūs rezultatai, todėl pagal klasikinį apibrėžimą:
- tikimybė, kad iš urnos bus ištrauktas baltas rutulys.

Kaip bebūtų keista, net atliekant tokią paprastą užduotį galima padaryti rimtų netikslumų. Kur čia spąstas? Neteisinga čia ginčytis „Kadangi pusė rutuliukų yra balti, tada tikimybė ištraukti baltą rutulį » . Klasikinis tikimybės apibrėžimas nurodo ELEMENTARY rezultatus, o trupmeną reikia užrašyti!

Su kitais aspektais taip pat apsvarstykite šiuos įvykius:

Iš urnos bus ištrauktas raudonas rutulys;
- iš urnos bus ištrauktas juodas rutulys.

Įvykį palankiai vertina 5 pagrindiniai rezultatai, o įvykiui – 10 elementarių rezultatų. Taigi atitinkamos tikimybės yra:

Įprasta daugelio serverio užduočių patikra atliekama naudojant teoremos apie įvykių, sudarančių visą grupę, tikimybių sumą. Mūsų atveju įvykiai sudaro pilną grupę, o tai reiškia, kad atitinkamų tikimybių suma būtinai turi būti lygi vienetui: .

Patikrinkime, ar tai tiesa: tuo ir norėjau įsitikinti.

Atsakymas:

Praktikoje „didelės spartos“ sprendimo projektavimo galimybė yra įprasta:

Iš viso: 15 + 5 + 10 = 30 kamuoliukų urnoje. Pagal klasikinį apibrėžimą:
- tikimybė, kad iš urnos bus ištrauktas baltas rutulys;
- tikimybė, kad iš urnos bus ištrauktas raudonas rutulys;
- tikimybė, kad iš urnos bus ištrauktas juodas rutulys.

Atsakymas:

2 problema

Parduotuvė gavo 30 šaldytuvų, iš kurių penki turi gamybos broką. Atsitiktinai parenkamas vienas šaldytuvas. Kokia tikimybė, kad jis bus be defektų?

3 problema

Rinkdamas telefono numerį abonentas pamiršo paskutinius du skaitmenis, tačiau prisimena, kad vienas iš jų yra nulis, o kitas – nelyginis. Raskite tikimybę, kad jis surinks teisingą numerį.

Pastaba: nulis yra lyginis skaičius (dalijasi iš 2 be liekanos)

Sprendimas: Pirmiausia randame bendrą rezultatų skaičių. Pagal sąlygą abonentas prisimena, kad vienas iš skaitmenų yra nulis, o kitas skaitmuo yra nelyginis. Čia racionaliau neskaidyti plaukų kombinatorika ir pasinaudoti tiesioginio rezultatų sąrašo metodas . Tai yra, kurdami sprendimą, mes tiesiog užrašome visus derinius:

01, 03, 05, 07, 09

10, 30, 50, 70, 90

Ir mes juos suskaičiuojame – iš viso: 10 rezultatų.

Yra tik vienas palankus rezultatas: teisingas skaičius.

Pagal klasikinį apibrėžimą:
- tikimybė, kad abonentas surinks teisingą numerį

Atsakymas: 0,1

Išplėstinė užduotis savarankiškam sprendimui:

4 problema

Abonentas pamiršo savo SIM kortelės PIN kodą, bet prisimena, kad jame yra trys „penkiukai“, o vienas iš skaičių yra „septyni“ arba „aštuoni“. Kokia sėkmingo autorizavimo tikimybė iš pirmo karto?

Čia taip pat galite sukurti idėją apie tikimybę, kad abonentas bus nubaustas puk kodu, bet, deja, argumentai peržengs šios pamokos ribas.

Sprendimas ir atsakymas pateikiami žemiau.

Kartais derinių išvardijimas yra labai kruopšti užduotis. Visų pirma, taip yra kitoje, ne mažiau populiarioje problemų grupėje, kur metami 2 kauliukai (rečiau - daugiau):

5 problema

Raskite tikimybę, kad metant du kauliukus bendras skaičius bus:

a) penki taškai;

b) ne daugiau kaip keturi balai;

c) nuo 3 iki 9 taškų imtinai.

Sprendimas: raskite bendrą rezultatų skaičių:

Būdai, kaip gali iškristi 1-ojo kauliuko šonas Ir skirtingais būdais gali iškristi 2-ojo kubo pusė; Autorius kombinacijų dauginimo taisyklė, Iš viso: galimi deriniai. Kitaip tariant, kiekviena 1-ojo kubo veidas gali sudaryti tvarkingą porą su kiekvienu 2-ojo kubo kraštas. Sutarkime tokią porą parašyti formoje , kur ant 1 kauliuko metamas skaičius, tai ant 2 kauliuko metamas skaičius.

Pavyzdžiui:

Pirmasis kauliukas surinko 3 taškus, antrasis kauliukas surinko 5 taškus, iš viso taškų: 3 + 5 = 8;
- pirmasis kauliukas surinko 6 taškus, antrasis - 1 tašką, taškų suma: 6 + 1 = 7;
- 2 taškai išmesti ant abiejų kauliukų, suma: 2 + 2 = 4.

Akivaizdu, kad mažiausią sumą duoda pora, o didžiausią – du „šešetukai“.

a) Apsvarstykite įvykį: - metant du kauliukus, atsiras 5 taškai. Užsirašykime ir suskaičiuokime rezultatų, palankių šiam įvykiui, skaičių:

Iš viso: 4 palankūs rezultatai. Pagal klasikinį apibrėžimą:
- norima tikimybė.

b) Apsvarstykite įvykį: - pasirodys ne daugiau kaip 4 taškai. Tai yra, arba 2, arba 3, arba 4 taškai. Vėl išvardijame ir skaičiuojame palankius derinius, kairėje surašysiu bendrą taškų skaičių, o po dvitaškio - tinkamas poras:

Iš viso: 6 palankios kombinacijos. Taigi:
- tikimybė, kad bus išmesta ne daugiau kaip 4 taškai.

c) Apsvarstykite įvykį: - 3–9 taškai imtinai. Čia galite eiti tiesiu keliu, bet... kažkodėl nenorite. Taip, kai kurios poros jau buvo išvardytos ankstesnėse pastraipose, tačiau dar reikia daug nuveikti.

Koks geriausias būdas tęsti? Tokiais atvejais žiedinis kelias pasirodo esąs racionalus. Pasvarstykime priešingas įvykis: - atsiras 2 arba 10 arba 11 arba 12 taškų.

Kokia prasmė? Priešingą įvykį mėgsta žymiai mažesnis porų skaičius:

Iš viso: 7 palankūs rezultatai.

Pagal klasikinį apibrėžimą:
- tikimybė, kad gausite mažiau nei tris arba daugiau nei 9 taškus.

Ypač skrupulingi žmonės gali išvardyti visas 29 poras, taip užbaigdami patikrinimą.

Atsakymas:

Kitame uždavinyje pakartosime daugybos lentelę:

6 problema

Raskite tikimybę, kad metant du kauliukus taškų sandauga bus:

a) bus lygus septyniems;

b) bus ne mažiau kaip 20;

c) bus lygus.

Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

7 problema

Į 20 aukštų pastato pirmame aukšte liftą pateko 3 žmonės. Ir eime. Raskite tikimybę, kad:

a) jie išeis į skirtingus aukštus;

b) du išeis tame pačiame aukšte;

c) visi išlips tame pačiame aukšte.

Sprendimas: apskaičiuokime bendrą rezultatų skaičių: būdai, kaip pirmas keleivis gali išlipti iš lifto Ir būdai - 2-as keleivis Ir būdai – trečiasis keleivis. Pagal derinių dauginimo taisyklę: galimi rezultatai. Tai yra, kas 1-ojo asmens išėjimo aukštas gali būti derinamas su kiekvienu 2-ojo asmens išėjimo aukštas ir su kiekvienu Trečiojo asmens išėjimo aukštas.

Antrasis metodas pagrįstas vietos su pasikartojimais:
– kas aiškiau supranta.

a) Apsvarstykite įvykį: - keleiviai išlips skirtinguose aukštuose. Apskaičiuokime palankių rezultatų skaičių:
Šiais būdais gali išeiti 3 keleiviai skirtinguose aukštuose. Padarykite savo samprotavimus pagal formulę.

Pagal klasikinį apibrėžimą:

c) Apsvarstykite įvykį: - keleiviai išlips tame pačiame aukšte. Šis įvykis turi palankias baigtis ir, pagal klasikinį apibrėžimą, atitinkamą tikimybę: .

Įeiname pro galines duris:

b) Apsvarstykite įvykį: - tame pačiame aukšte išlips du žmonės (ir, atitinkamai, trečiasis yra kitoje).

Renginiai formuojasi pilna grupė (tikime, kad lifte niekas neužmigs ir liftas neužstrigs, tai reiškia .

Dėl to norima tikimybė yra:

Taigi, teorema apie įvykių, sudarančių visą grupę, tikimybių sudėjimą, gali būti ne tik patogus, bet ir tapti tikru išsigelbėjimu!

Atsakymas:

Kai gaunate dideles trupmenas, geriausia nurodyti jų apytiksles dešimtaines reikšmes. Paprastai suapvalinama iki 2–3–4 skaitmenų po kablelio.

Kadangi taškų „a“, „be“, „ve“ įvykiai sudaro visą grupę, tikslinga atlikti kontrolinį patikrinimą, o geriau su apytikslėmis reikšmėmis:

Ką ir reikėjo patikrinti.

Kartais dėl apvalinimo klaidų rezultatas gali būti 0,9999 arba 1,0001; šiuo atveju viena iš apytikslių reikšmių turėtų būti „pakoreguota“, kad suma būtų „grynas“ vienetas.

Savarankiškai:

8 problema

Išmeta 10 monetų. Raskite tikimybę, kad:

a) ant visų monetų bus pavaizduotos galvos;

b) 9 monetos nusileis galvas, o viena moneta - uodegas;

c) ant pusės monetų atsiras galvos.

9 problema

Ant septynių vietų suoliuko atsitiktinai susodinami 7 žmonės. Kokia tikimybė, kad du tam tikri žmonės bus arti vienas kito?

Sprendimas: nėra jokių problemų dėl bendro rezultatų skaičiaus:
7 žmonės gali sėdėti ant suoliuko skirtingais būdais.

Bet kaip apskaičiuoti palankių rezultatų skaičių? Trivialios formulės netinka ir vienintelis būdas yra loginis samprotavimas. Pirmiausia panagrinėkime situaciją, kai Sasha ir Maša buvo vienas šalia kito kairiajame suolo krašte:

Akivaizdu, kad tvarka svarbi: Sasha gali sėdėti kairėje, Maša dešinėje ir atvirkščiai. Bet tai dar ne viskas - kiekvienam iš šių dviejų atvejų likę žmonės gali sėdėti tuščiose vietose kitais būdais. Kombinatoriškai kalbant, Sasha ir Masha gali būti pertvarkyti gretimose vietose šiais būdais: Ir Kiekvienai tokiai permutacijai kiti žmonės gali būti pertvarkyti įvairiais būdais.

Taigi, pagal derinių dauginimo taisyklę, atsiranda palankios baigtys.

Bet tai dar ne viskas! Aukščiau pateikti faktai yra teisingi kiekvienam gretimų vietų poros:

Įdomu pastebėti, kad jei suolas yra „apvalus“ (jungia kairę ir dešinę sėdynes), tada susidaro papildoma, septinta gretimų vietų pora. Bet nesiblaškykime. Pagal tą patį derinių dauginimo principą gauname galutinį palankių rezultatų skaičių:

Pagal klasikinį apibrėžimą:
- tikimybė, kad šalia bus du konkretūs žmonės.

Atsakymas:

10 problema

Ant 64 langelių šachmatų lentoje atsitiktinai dedami du bokštai, balti ir juodi. Kokia tikimybė, kad jie vienas kito „neįveiks“?

Nuoroda: šachmatų lenta yra kvadratų dydžio; juodi ir balti bokštai „muša“ vienas kitą, kai yra toje pačioje vietoje arba toje pačioje vertikalioje padėtyje

Būtinai padarykite scheminį lentos brėžinį, o dar geriau, jei šalia yra šachmatai. Vienas dalykas yra samprotauti ant popieriaus, o visai kas kita, kai sudėlioji gabalus savo rankomis.

11 problema

Kokia tikimybė, kad keturiose išdalytose kortose bus vienas tūzas ir vienas karalius?

Apskaičiuokime bendrą rezultatų skaičių. Keliais būdais galite išimti 4 kortas iš kaladės? Turbūt visi suprato, apie ką kalbame derinių skaičius:
naudodamiesi šiais metodais galite pasirinkti 4 kortas iš kaladės.

Dabar svarstome teigiamus rezultatus. Pagal sąlygą 4 kortų pasirinkime turi būti vienas tūzas, vienas karalius ir, kas nenurodyta gryname tekste - dvi kitos kortelės:

Vieno tūzo ištraukimo būdai;
būdai, kaip galite pasirinkti vieną karalių.

Mes neįtraukiame tūzų ir karalių: 36 - 4 - 4 = 28

būdus, kuriais galite ištraukti kitas dvi korteles.

Pagal derinių dauginimo taisyklę:
būdai, kaip išgauti norimą kortų kombinaciją (1st Ace Ir 1-asis karalius Ir dvi kitos kortelės).

Leiskite man pakomentuoti kombinuotą žymėjimo reikšmę kitu būdu:
kas tūzas kombinuoja su kiekvienu karalius ir su kiekvienu galima pora kitų kortelių.

Pagal klasikinį apibrėžimą:
- tikimybė, kad tarp keturių išdalytų kortų bus vienas tūzas ir vienas karalius.

Jei turite laiko ir kantrybės, kiek įmanoma sumažinkite dideles frakcijas.

Atsakymas:

Paprastesnė užduotis, kurią reikia išspręsti patiems:

12 problema

Dėžutėje yra 15 kokybiškų ir 5 brokuotų dalių. Atsitiktinai pašalinamos 2 dalys.

Raskite tikimybę, kad:

a) abi dalys bus kokybiškos;

b) viena dalis bus kokybiška, o kita - su defektais;

c) abi dalys yra sugedusios.

Išvardintų punktų įvykiai sudaro ištisą grupę, todėl patikrinimas čia savaime suprantamas. Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Apskritai įdomiausi dalykai tik prasideda!

13 problema

Mokinys žino atsakymus į 25 egzamino klausimus iš 60. Kokia tikimybė išlaikyti egzaminą, jei reikia atsakyti bent į 2 iš 3 klausimų?

Sprendimas: Taigi situacija tokia: iš viso 60 klausimų, iš kurių 25 yra „geri“ ir atitinkamai 60 - 25 = 35 „blogi“. Situacija nestabili ir nepalanki studentui. Pažiūrėkime, kokie geri jo šansai:

būdai, kaip galite pasirinkti 3 klausimus iš 60 (bendras rezultatų skaičius).

Norėdami išlaikyti egzaminą, turite atsakyti į 2 arba 3 klausimai. Mes laikome palankius derinius:

Būdai, kaip pasirinkti 2 „gerus“ klausimus Ir vienas yra „blogas“;

būdai, kaip galite pasirinkti 3 „gerus“ klausimus.

Autorius derinių pridėjimo taisyklė:
būdai, kaip galite pasirinkti 3 klausimų derinį, palankų egzaminui išlaikyti (nesiskirs du ar trys „geri“ klausimai).

Pagal klasikinį apibrėžimą:

Atsakymas:

14 problema

Pokerio žaidėjui išdalinamos 5 kortos. Raskite tikimybę, kad:

a) tarp šių kortelių bus pora dešimčių ir pora domkratų;
b) žaidėjui bus išdalinta spalva (5 tos pačios spalvos kortos);
c) žaidėjui bus išdalintos keturios vienodos (4 tos pačios vertės kortos).

Kuris iš šių derinių greičiausiai bus gautas?

! Dėmesio! Jei sąlyga užduoda panašų klausimą, tada atsakykite į jį būtina duoti atsakymą.
Nuoroda : Tradiciškai pokeris žaidžiamas su 52 kortų kalade, kurioje yra 4 matų kortos – nuo ​​dvejų iki tūzų.

Pokeris yra pats matematiškiausias žaidimas (tai žino tie, kurie žaidžia), kuriame galite turėti pastebimą pranašumą prieš mažiau kvalifikuotus priešininkus.

Sprendimai ir atsakymai:

2 užduotis: Sprendimas: 30 - 5 = 25 šaldytuvai neturi jokių defektų.

- tikimybė, kad atsitiktinai parinktas šaldytuvas neturi defekto.
Atsakymas :

4 užduotis: Sprendimas: raskite bendrą rezultatų skaičių:
būdais galite pasirinkti vietą, kurioje yra abejotinas numeris ir ant kiekvieno Iš šių 4 vietų gali būti 2 skaitmenys (septyni arba aštuoni). Pagal derinių dauginimo taisyklę bendras rezultatų skaičius: .
Arba sprendimas gali tiesiog išvardyti visus rezultatus (laimei, jų yra nedaug):

7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558

Yra tik vienas palankus rezultatas (teisingas PIN kodas).

Taigi, pagal klasikinį apibrėžimą:
- tikimybė, kad abonentas prisijungs pirmą kartą
Atsakymas :

6 užduotis: Sprendimas

6 užduotis:Sprendimas : raskite bendrą rezultatų skaičių:
skaičiai ant 2 kauliukų gali pasirodyti skirtingais būdais.

a) Apsvarstykite įvykį: - metant du kauliukus, taškų sandauga bus lygi septyniems. Šiam įvykiui nėra jokių palankių rezultatų,
, t.y. šis įvykis neįmanomas.

b) Apsvarstykite įvykį: - metant du kauliukus, taškų sandauga bus ne mažesnė kaip 20. Šiam įvykiui palankūs šie rezultatai:

Iš viso: 8

Pagal klasikinį apibrėžimą:

- norima tikimybė.

c) Apsvarstykite priešingus įvykius:

- taškų sandauga bus lygi;

- taškų sandauga bus nelyginė.

Išvardinkime visus renginiui palankius rezultatus :

Iš viso: 9 palankūs rezultatai.

Pagal klasikinį tikimybės apibrėžimą:

Priešingi įvykiai sudaro visą grupę, todėl:

- norima tikimybė.

Atsakymas :

8 problema:Sprendimas būdai, kaip gali nukristi 2 monetos.
Kitas būdas: kaip gali nukristi 1-oji monetaIr kaip gali nukristi 2-oji monetaIr … Ir kaip gali nukristi 10-oji moneta. Pagal kombinacijų dauginimo taisyklę gali nukristi 10 monetų būdai.
a) Apsvarstykite įvykį: - visos monetos parodys galvas. Pagal klasikinį tikimybės apibrėžimą šiam įvykiui palankus vienas rezultatas: .
b) Apsvarstykite įvykį: - 9 monetos nusileis galvas, o viena moneta - uodegas.
Egzistuoja monetos, kurios gali nukristi ant galvų. Pagal klasikinį tikimybės apibrėžimą: .
c) Apsvarstykite įvykį: - ant pusės monetų atsiras galvos.
Egzistuoja unikalūs penkių monetų deriniai, kuriais galima nuleisti galvas. Pagal klasikinį tikimybės apibrėžimą:
Atsakymas:

10 problema:Sprendimas : apskaičiuokime bendrą rezultatų skaičių:
būdai, kaip ant lentos pastatyti du bokštus.
Kitas dizaino variantas: būdai, kaip pasirinkti du šachmatų lentos langeliusIr balto ir juodo bokšto pastatymo būdaikiekviename iš 2016 m. Taigi bendras rezultatų skaičius: .

Dabar suskaičiuokime, kokiais rezultatais bokštai „numušė“ vienas kitą. Panagrinėkime 1-ąją horizontalią liniją. Akivaizdu, kad figūras ant jo galima dėti bet kokiu būdu, pavyzdžiui, taip:

Be to, bokštelius galima pertvarkyti. Išdėskime samprotavimus skaitine forma: būdai, kaip galite pasirinkti dvi ląstelesIr būdus pertvarkyti bokštuskiekvienameiš 28 atvejų. Iš viso: galimos figūrų padėties horizontalioje padėtyje.
Trumpa dizaino versija: būdai, kaip galite įdėti baltą ir juodą bokštą į 1 vietą.

Aukščiau pateiktas samprotavimas yra teisingaskiekvienam horizontaliai, todėl derinių skaičius turėtų būti padaugintas iš aštuonių: . Be to, panaši istorija galioja bet kuriai iš aštuonių vertikalių. Apskaičiuokime bendrą darinių, kuriose gabalai „muša“ vienas kitą, skaičių:

Tada likusiuose išdėstymo variantuose bokštai „neįveiks“ vienas kito:
4032 - 896 = 3136

Pagal klasikinį tikimybės apibrėžimą:
- tikimybė, kad ant lentos atsitiktinai padėtas baltas ir juodas bokštas „neįveiks“ vienas kito.

Atsakymas :

12 problema:Sprendimas : iš viso: 15 + 5 = 20 dalių dėžutėje. Apskaičiuokime bendrą rezultatų skaičių:
naudodamiesi šiais būdais iš dėžutės galite išimti 2 dalis.
a) Apsvarstykite įvykį: - abi ištrauktos dalys bus kokybiškos.
naudodamiesi šiais metodais galite išgauti 2 kokybiškas dalis.
Pagal klasikinį tikimybės apibrėžimą:
b) Apsvarstykite įvykį: - viena dalis bus kokybiška, o kita - brokuota.
būdai, kaip galite išgauti 1 kokybišką dalįIr1 defektuotas.
Pagal klasikinį apibrėžimą:
c) Apsvarstykite įvykį: - abi ištrauktos dalys yra sugedusios.
naudodamiesi šiais metodais galite pašalinti 2 sugedusias dalis.
Pagal klasikinį apibrėžimą:
Apžiūra: apskaičiuokime įvykių, kurie sudaro visą grupę, tikimybių sumą: , ką reikėjo patikrinti.
Atsakymas:

O dabar paimkime į rankas jau pažįstamą ir be rūpesčių mokymosi priemonę – kauliuką su pilna renginių grupė , kurie susideda iš to, kad jį išmetus atsiras atitinkamai 1, 2, 3, 4, 5 ir 6 taškai.

Apsvarstykite įvykį - metant kauliuką atsiras mažiausiai penki taškai. Šį įvykį sudaro du nesuderinami rezultatai: (5 ritinys arba 6 taškai)
- tikimybė, kad metant kauliuką bus gauti bent penki taškai.

Apsvarstykime įvykį, kai bus išmesta ne daugiau kaip 4 taškai, ir suraskime jo tikimybę. Pagal nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teoremą:

Galbūt kai kurie skaitytojai dar iki galo nesuprato esmė nesuderinamumas. Dar kartą pagalvokime: mokinys negali atsakyti į 2 iš 3 klausimų ir tuo pačiu atsakykite į visus 3 klausimus. Taigi įvykiai ir yra nesuderinami.

Dabar, naudojant klasikinis apibrėžimas, suraskime jų tikimybes:

Egzamino sėkmingo išlaikymo faktas išreiškiamas suma (atsakykite į 2 iš 3 klausimų arba visiems klausimams). Pagal nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teoremą:
- tikimybę, kad studentas išlaikys egzaminą.

Šis sprendimas yra visiškai lygiavertis, pasirinkite, kuris jums labiausiai patinka.

1 problema

Parduotuvė gavo produktus dėžėse iš keturių didmeninių sandėlių: keturių iš 1-ojo, penkių iš 2-ojo, septynių iš 3-iojo ir keturių iš 4-ojo. Atsitiktinai parenkama parduodama dėžutė. Kokia tikimybė, kad tai bus dėžė iš pirmo ar trečio sandėlio.

Sprendimas: iš viso parduotuvėje gavo: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 dėžučių.

Atliekant šią užduotį, patogiau naudoti „greitąjį“ formatavimo metodą, nerašant įvykių didžiosiomis raidėmis. Pagal klasikinį apibrėžimą:
- tikimybė, kad bus parinkta pardavimui dėžė iš 1-ojo sandėlio;
- tikimybė, kad bus parinkta pardavimui dėžė iš 3-iojo sandėlio.

Pagal nesuderinamų įvykių pridėjimo teoremą:
- tikimybė, kad pardavimui bus parinkta dėžė iš pirmojo ar trečiojo sandėlio.

Atsakymas: 0,55

Žinoma, problema yra išspręsta ir visiškai išsprendžiama klasikinis tikimybės apibrėžimas tiesiogiai skaičiuojant palankių baigčių skaičių (4 + 7 = 11), tačiau svarstomas metodas nėra prastesnis. Ir dar aiškiau.

2 problema

Dėžutėje yra 10 raudonų ir 6 mėlyni mygtukai. Du mygtukai pašalinami atsitiktinai. Kokia tikimybė, kad jie bus vienodos spalvos?

Panašiai - čia galite naudoti kombinatorinės sumos taisyklė, bet niekada nežinai... staiga kažkas tai pamiršo. Tada į pagalbą ateis nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimo teorema!