Elementare Transformimet e mëposhtme të matricës quhen:

1) ndërrimi i çdo dy rreshti (ose kolone),

2) shumëzimi i një rreshti (ose kolone) me një numër jo zero,

3) duke shtuar në një rresht (ose kolonë) një rresht tjetër (ose kolonë), të shumëzuar me një numër të caktuar.

Të dy matricat quhen ekuivalente, nëse njëra prej tyre merret nga tjetra duke përdorur një grup të kufizuar transformimesh elementare.

Matricat ekuivalente nuk janë, në përgjithësi, të barabarta, por radhët e tyre janë të barabarta. Nëse matricat A dhe B janë ekuivalente, atëherë shkruhet si më poshtë: A ~ B.

Kanonike Një matricë është një matricë në të cilën në fillim të diagonales kryesore ka disa në një rresht (numri i të cilave mund të jetë zero), dhe të gjithë elementët e tjerë janë të barabartë me zero, për shembull,

Duke përdorur transformimet elementare të rreshtave dhe kolonave, çdo matricë mund të reduktohet në kanonike. Renditja e një matrice kanonike është e barabartë me numrin e atyre në diagonalen e saj kryesore.

Shembulli 2 Gjeni gradën e një matrice

A=

dhe e sjellin në formë kanonike.

Zgjidhje. Nga rreshti i dytë, zbritni të parën dhe riorganizoni këto rreshta:

.

Tani nga rreshtat e dytë dhe të tretë zbresim të parën, shumëzuar me 2 dhe 5, përkatësisht:

;

zbrit të parën nga rreshti i tretë; marrim një matricë

B = ,

e cila është ekuivalente me matricën A, pasi është marrë prej saj duke përdorur një grup të fundëm transformimesh elementare. Natyrisht, rangu i matricës B është 2, dhe për rrjedhojë r(A)=2. Matrica B lehtë mund të reduktohet në kanonike. Duke zbritur kolonën e parë, të shumëzuar me numra të përshtatshëm, nga të gjitha ato pasardhëse, i kthejmë në zero të gjithë elementët e rreshtit të parë, përveç të parës, dhe elementet e rreshtave të mbetur nuk ndryshojnë. Pastaj, duke zbritur kolonën e dytë, të shumëzuar me numra të përshtatshëm, nga të gjithë ata pasues, ne i kthejmë në zero të gjithë elementët e rreshtit të dytë, përveç të dytës, dhe marrim matricën kanonike:

.

Teorema Kronecker - Capelli- kriteri i përputhshmërisë për një sistem ekuacionesh algjebrike lineare:

Në mënyrë që një sistem linear të jetë konsistent, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës së zgjeruar të këtij sistemi të jetë i barabartë me gradën e matricës së tij kryesore.

Vërtetim (kushtet e përputhshmërisë së sistemit)

Domosdoshmëri

Le sistemi të përbashkët Pastaj ka numra të tillë që . Prandaj, kolona është një kombinim linear i kolonave të matricës. Nga fakti se rangu i një matrice nuk do të ndryshojë nëse një rresht (kolona) fshihet ose shtohet nga sistemi i rreshtave (kolonave) të saj, i cili është një kombinim linear i rreshtave (kolonave) të tjera, rrjedh se .

Përshtatshmëria

Le . Le të marrim disa minore themelore në matricë. Meqenëse, atëherë do të jetë edhe baza minore e matricës. Pastaj, sipas teoremës së bazës e mitur

, kolona e fundit e matricës do të jetë një kombinim linear i kolonave bazë, domethënë kolonave të matricës. Prandaj, kolona e termave të lirë të sistemit është një kombinim linear i kolonave të matricës.

Pasojat Numri i variablave kryesore sistemeve

e barabartë me gradën e sistemit. sistemi E përbashkët

do të përcaktohet (zgjidhja e tij është unike) nëse rangu i sistemit është i barabartë me numrin e të gjitha variablave të tij.

Sistemi homogjen i ekuacioneve15 . 2 Oferta

Sistemi homogjen i ekuacioneve

është gjithmonë i përbashkët. Dëshmi

. Për këtë sistem, bashkësia e numrave , , , është një zgjidhje.

Sistemi homogjen i ekuacioneve15 . 3 Në këtë seksion do të përdorim shënimin matricë të sistemit: .

është gjithmonë i përbashkët. Shuma e zgjidhjeve të një sistemi homogjen ekuacionesh lineare është një zgjidhje për këtë sistem. Një zgjidhje e shumëzuar me një numër është gjithashtu një zgjidhje.

. Le të shërbejnë si zgjidhje për sistemin. Pastaj dhe. Le .

Pastaj

. Le të shërbejnë si zgjidhje për sistemin. Pastaj dhe. Le .

Që atëherë - zgjidhja.15 . 1 Lë të jetë një numër arbitrar, . Pastaj

Pasoja

Nëse një sistem homogjen ekuacionesh lineare ka një zgjidhje jozero, atëherë ai ka pafundësisht shumë zgjidhje të ndryshme.15 . 5 Në të vërtetë, duke shumëzuar një zgjidhje jo zero me numra të ndryshëm, do të marrim zgjidhje të ndryshme. Përkufizimi Ne do të themi se zgjidhjet forma e sistemeve sistemi themelor i zgjidhjeve

, nëse kolonat

formojnë një sistem linearisht të pavarur dhe çdo zgjidhje e sistemit është një kombinim linear i këtyre kolonave.

Për të llogaritur gradën e një matrice, mund të përdorni metodën e kufirit të të miturve ose metodën Gaussian. Le të shqyrtojmë metodën Gaussian ose metodën e transformimeve elementare.

Renditja e një matrice është rendi maksimal i të miturve të saj, ndër të cilët ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero.

1. Rangu i një sistemi rreshtash (kolonash) është numri maksimal i rreshtave (kolonave) linearisht të pavarur të këtij sistemi. Algoritmi për gjetjen e renditjes së një matrice duke përdorur metodën e minoreve kufitare: Minore
2. M k-se rendi nuk është zero. Nëse të mitur në kufi për të mitur M (k+1)th rendit, është e pamundur të kompozohet (d.m.th. matrica përmban M (k+1)th k M (k+1)th. Nëse të miturit në kufi ekzistojnë dhe janë të gjithë zero, atëherë grada është k. Nëse midis të miturve në kufi ka të paktën një që nuk është e barabartë me zero, atëherë ne përpiqemi të kompozojmë një të mitur të ri k+2 etj.

Le të analizojmë algoritmin në më shumë detaje. Së pari, merrni parasysh minoret e rendit të parë (elementet e matricës) të matricës A. Nëse të gjithë janë të barabartë me zero, atëherë gradë A = 0. Nëse ka minore të rendit të parë (elementë matricë) që nuk janë të barabartë me zero M 1 ≠ 0, pastaj gradën renditja A ≥ 1.

M 1. Nëse ka të mitur të tillë, atëherë ata do të jenë të mitur të rendit të dytë. Nëse të gjithë të miturit janë në kufi me një të mitur M 1 atëherë janë të barabarta me zero gradë A = 1. Nëse ka të paktën një minor të rendit të dytë jo i barabartë me zero M2 ≠ 0, pastaj gradën renditja A ≥ 2.

Le të kontrollojmë nëse ka të mitur në kufi për të miturin M 2. Nëse ka të mitur të tillë, atëherë ata do të jenë të mitur të rendit të tretë. Nëse të gjithë të miturit janë në kufi me një të mitur M 2 atëherë janë të barabarta me zero gradë A = 2. Nëse ka të paktën një minor të rendit të tretë jo i barabartë me zero M 3 ≠ 0, pastaj gradën renditja A ≥ 3.

Le të kontrollojmë nëse ka të mitur në kufi për të miturin M 3. Nëse ka të mitur të tillë, atëherë ata do të jenë të mitur të rendit të katërt. Nëse të gjithë të miturit janë në kufi me një të mitur M 3 atëherë janë të barabarta me zero grada A = 3. Nëse ka të paktën një minor të rendit të katërt jo i barabartë me zero M4 ≠ 0, pastaj gradën renditja A ≥ 4.

Kontrollimi nëse ka një të mitur në kufi për të miturin M 4, dhe kështu me radhë. Algoritmi ndalon nëse në një fazë të voglat kufitare janë të barabarta me zero ose minorja kufitare nuk mund të merret (matrica "mbaron" nga rreshtat ose kolonat). Rendi i minores jozero që u krijua do të jetë renditja e matricës.

Shembull

Le ta shohim këtë metodë duke përdorur një shembull. Jepet një matricë 4x5:

Kjo matricë nuk mund të ketë një renditje më të madhe se 4. Gjithashtu, kjo matricë ka elemente jo zero (të vogla të rendit të parë), që do të thotë se rangu i matricës është ≥ 1.

Le të kompozojmë një të mitur 2 urdhëroj. Le të fillojmë nga këndi.

Pra, përcaktorja është e barabartë me zero, le të krijojmë një minore tjetër.

Le të gjejmë përcaktorin e kësaj minoreje.

Përcaktoni një minor të caktuar të barabartë me -2 . Pra, rangu i matricës ≥ 2 .

Nëse ky minor do të ishte i barabartë me 0, atëherë do të formoheshin minore të tjera. Deri në fund do të kishin bërë të gjithë të miturit në rreshtin 1 dhe 2. Pastaj rreshtat 1 dhe 3, rreshtat 2 dhe 3, rreshtat 2 dhe 4, derisa të gjeni një minor jo të barabartë me 0, për shembull:

Nëse të gjitha minoret e rendit të dytë ishin 0, atëherë rangu i matricës do të ishte 1. Zgjidhja mund të ndalet.

3 urdhëroj.

I mituri rezultoi se nuk ishte zero. nënkupton rangun e matricës ≥ 3 .

Nëse ky minor do të ishte zero, atëherë do të duhej të kompozoheshin të mitur të tjerë. Për shembull:

Nëse të gjitha minoret e rendit të tretë do të ishin 0, atëherë rangu i matricës do të ishte 2. Zgjidhja mund të ndalet.

Le të vazhdojmë të kërkojmë për gradën e matricës. Le të kompozojmë një të mitur 4 urdhëroj.

Le të gjejmë përcaktorin e kësaj minoreje.

Përcaktori i të miturës rezultoi i barabartë me 0 . Le të ndërtojmë një tjetër të mitur.

Le të gjejmë përcaktorin e kësaj minoreje.

E mitura rezultoi e barabartë 0 .

Ndërtoni të vogla 5 rendi nuk do të funksionojë, nuk ka asnjë rresht për këtë në këtë matricë. Minorja e fundit nuk ishte e barabartë me zero 3 rendi, që do të thotë se rangu i matricës është i barabartë me 3 .

>> Renditja e matricës

Rangu i matricës

Përcaktimi i rangut të një matrice

Konsideroni një matricë drejtkëndëshe. Nëse në këtë matricë zgjedhim në mënyrë arbitrare M (k+1)th linjat dhe M (k+1)th kolonat, pastaj elementet në kryqëzimin e rreshtave dhe kolonave të zgjedhura formojnë një matricë katrore të rendit kth. Përcaktori i kësaj matrice quhet minoren e rendit kth matrica A. Natyrisht, matrica A ka minore të çdo rendi nga 1 deri te numri më i vogël i numrave m dhe n. Midis të gjitha minoreve jozero të matricës A, ekziston të paktën një minor rendi i të cilit është më i madhi. Quhet më i madhi nga rendet e vogla jo zero të një matrice të caktuar gradë matricat. Nëse rangu i matricës A është r, kjo do të thotë se matrica A ka një rendi minor jo zero r, por çdo i vogël i rendit më të madh se r, është e barabartë me zero. Rangu i matricës A shënohet me r(A). Natyrisht, lidhja qëndron

Llogaritja e renditjes së një matrice duke përdorur minorenë

Renditja e matricës gjendet ose me metodën e kufirit të të miturve ose me metodën e transformimeve elementare. Kur llogaritni gradën e një matrice duke përdorur metodën e parë, duhet të kaloni nga minoret e rendit më të ulët në minoret e rendit më të lartë. Nëse tashmë është gjetur një minor D i rendit k-të të matricës A, i ndryshëm nga zero, atëherë vetëm minoret e rendit (k+1) që kufizojnë minorin D kërkojnë llogaritje, d.m.th. që e përmban si të mitur. Nëse të gjithë janë të barabartë me zero, atëherë rangu i matricës është i barabartë me M (k+1)th.

Shembulli 1.Gjeni rangun e matricës duke përdorur metodën e kufirit të të miturve

.

Zgjidhje.Fillojmë me të miturit e rendit të parë, d.m.th. nga elementet e matricës A. Le të zgjedhim, për shembull, një (element) të vogël M 1 = 1, i vendosur në rreshtin e parë dhe në kolonën e parë. Duke u kufizuar me ndihmën e rreshtit të dytë dhe kolonës së tretë, marrim një të vogël M 2 = të ndryshme nga zero. Tani i drejtohemi të miturve të rendit të tretë në kufi me M2. Janë vetëm dy prej tyre (mund të shtoni një kolonë të dytë ose të katërt). Le t'i llogarisim ato: = 0. Kështu, të gjithë të miturit në kufi të rendit të tretë rezultuan të barabartë me zero. Rangu i matricës A është dy.

Llogaritja e rangut të një matrice duke përdorur transformimet elementare

ElementareTransformimet e mëposhtme të matricës quhen:

1) ndërrimi i çdo dy rreshti (ose kolone),

2) shumëzimi i një rreshti (ose kolone) me një numër jo zero,

3) duke shtuar në një rresht (ose kolonë) një rresht tjetër (ose kolonë), të shumëzuar me një numër të caktuar.

Të dy matricat quhen ekuivalente, nëse njëra prej tyre merret nga tjetra duke përdorur një grup të kufizuar transformimesh elementare.

Matricat ekuivalente nuk janë, në përgjithësi, të barabarta, por radhët e tyre janë të barabarta. Nëse matricat A dhe B janë ekuivalente, atëherë shkruhet si më poshtë: A~ B.

KanonikeNjë matricë është një matricë në të cilën në fillim të diagonales kryesore ka disa në një rresht (numri i të cilave mund të jetë zero), dhe të gjithë elementët e tjerë janë të barabartë me zero, për shembull,

.

Duke përdorur transformimet elementare të rreshtave dhe kolonave, çdo matricë mund të reduktohet në kanonike. Renditja e një matrice kanonike është e barabartë me numrin e atyre në diagonalen e saj kryesore.

Shembulli 2Gjeni gradën e një matrice

A=

dhe e sjellin në formë kanonike.

Zgjidhje. Nga rreshti i dytë, zbritni të parën dhe riorganizoni këto rreshta:

.

Tani nga rreshtat e dytë dhe të tretë zbresim të parën, shumëzuar me 2 dhe 5, përkatësisht:

;

zbrit të parën nga rreshti i tretë; marrim një matricë

B = ,

e cila është ekuivalente me matricën A, pasi është marrë prej saj duke përdorur një grup të fundëm transformimesh elementare. Natyrisht, rangu i matricës B është 2, dhe për rrjedhojë r(A)=2. Matrica B lehtë mund të reduktohet në kanonike. Duke zbritur kolonën e parë, të shumëzuar me numra të përshtatshëm, nga të gjitha ato pasardhëse, i kthejmë në zero të gjithë elementët e rreshtit të parë, përveç të parës, dhe elementet e rreshtave të mbetur nuk ndryshojnë. Pastaj, duke zbritur kolonën e dytë, të shumëzuar me numra të përshtatshëm, nga të gjithë ata pasues, ne i kthejmë në zero të gjithë elementët e rreshtit të dytë, përveç të dytës, dhe marrim matricën kanonike:

.

Le të jepet një matricë:

.

Le të zgjedhim në këtë matricë vargje arbitrare dhe kolona arbitrare
. Pastaj përcaktorja rendi i th, i perbere nga elemente matrice
, i vendosur në kryqëzimin e rreshtave dhe kolonave të zgjedhura, quhet minor matrica e rendit të th
.

Përkufizimi 1.13. Rangu i matricës
është rendi më i madh i minorit jozero të kësaj matrice.

Për të llogaritur gradën e një matrice, duhet të merren parasysh të gjitha minoret e saj të rendit më të ulët dhe, nëse të paktën njëri prej tyre është i ndryshëm nga zero, vazhdoni të merrni parasysh minorët e rendit më të lartë. Kjo qasje për përcaktimin e renditjes së një matrice quhet metoda e kufirit (ose metoda e kufirit të të miturve).

Problemi 1.4. Duke përdorur metodën e kufirit të të miturve, përcaktoni gradën e matricës
.

.

Merrni parasysh skajet e rendit të parë, për shembull,
. Pastaj vazhdojmë të shqyrtojmë disa skaje të rendit të dytë.

Për shembull,
.

Së fundi, le të analizojmë kufirin e rendit të tretë.

.

Pra, rendi më i lartë i një minoreje jo zero është 2, pra
.

Gjatë zgjidhjes së problemit 1.4, mund të vëreni se një numër i të miturve kufitarë të rendit të dytë janë jozero. Në këtë drejtim, zbatohet koncepti i mëposhtëm.

Përkufizimi 1.14. Një minor bazë i një matrice është çdo minor jo zero rendi i të cilit është i barabartë me gradën e matricës.

Teorema 1.2.(Teorema bazë e vogël). Rreshtat bazë (kolonat bazë) janë linearisht të pavarura.

Vini re se rreshtat (kolonat) e një matrice varen në mënyrë lineare nëse dhe vetëm nëse të paktën njëra prej tyre mund të përfaqësohet si një kombinim linear i të tjerëve.

Teorema 1.3. Numri i rreshtave të matricës linearisht të pavarur është i barabartë me numrin e kolonave të matricës linearisht të pavarur dhe është i barabartë me gradën e matricës.

Teorema 1.4.(Kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm që përcaktorja të jetë e barabartë me zero). Në mënyrë që përcaktorja - urdhri ishte e barabartë me zero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rreshtat (kolonat) e saj të jenë të varura linearisht.

Llogaritja e renditjes së një matrice bazuar në përkufizimin e saj është shumë e rëndë. Kjo bëhet veçanërisht e rëndësishme për matricat e rendit të lartë. Në këtë drejtim, në praktikë, grada e një matrice llogaritet bazuar në zbatimin e teoremave 10.2 - 10.4, si dhe përdorimin e koncepteve të ekuivalencës së matricës dhe transformimeve elementare.

Përkufizimi 1.15. Dy matrica
Dhe quhen ekuivalente nëse radhët e tyre janë të barabarta, d.m.th.
.

Nëse matricat
Dhe janë ekuivalente, pastaj vini re
 .

Teorema 1.5. Rangu i matricës nuk ndryshon për shkak të transformimeve elementare.

Ne do të quajmë transformime elementare të matricës
ndonjë nga operacionet e mëposhtme në një matricë:

Zëvendësimi i rreshtave me kolona dhe kolonave me rreshtat përkatës;

Rirregullimi i rreshtave të matricës;

Kalimi i një linje elementet e së cilës janë të gjithë zero;

Shumëzimi i një vargu me një numër të ndryshëm nga zero;

Shtimi i elementeve të një rreshti të elementeve përkatës të një rreshti tjetër të shumëzuar me të njëjtin numër
.

Përfundim i Teoremës 1.5. Nëse matrica
të marra nga matrica duke përdorur një numër të kufizuar transformimesh elementare, pastaj matricën
Dhe janë ekuivalente.

Kur llogaritet rangu i një matrice, ajo duhet të reduktohet në një formë trapezoidale duke përdorur një numër të kufizuar transformimesh elementare.

Përkufizimi 1.16. Ne do ta quajmë trapezoidale një formë të paraqitjes së matricës kur në minorën kufitare të rendit më të lartë jo zero, të gjithë elementët poshtë atyre diagonale zhduken. Për shembull:

.

Këtu
, elementet e matricës
shkoni në zero. Atëherë forma e paraqitjes së një matrice të tillë do të jetë trapezoidale.

Si rregull, matricat reduktohen në një formë trapezoidale duke përdorur algoritmin Gaussian. Ideja e algoritmit të Gausit është që, duke shumëzuar elementët e rreshtit të parë të matricës me faktorët përkatës, arrihet që të gjithë elementët e kolonës së parë të vendosura poshtë elementit.
, do të kthehej në zero. Pastaj, duke shumëzuar elementët e kolonës së dytë me faktorët përkatës, sigurojmë që të gjithë elementët e kolonës së dytë të vendosura poshtë elementit
, do të kthehej në zero. Pastaj vazhdoni në të njëjtën mënyrë.

Problemi 1.5. Përcaktoni rangun e një matrice duke e reduktuar atë në një formë trapezoidale.

.

Për ta bërë më të lehtë përdorimin e algoritmit Gaussian, mund të ndërroni rreshtin e parë dhe të tretë.








.

Është e qartë se këtu
. Megjithatë, për ta sjellë rezultatin në një formë më elegante, mund të vazhdoni më tej transformimin e kolonave.










.

Rangu i një matrice është karakteristika numerike më e rëndësishme e saj. Duhet patjetër të përcaktohet kur përballeni me detyrën e kontrollit të përputhshmërisë së një sistemi ekuacionesh lineare. Kjo do të thotë, koncepti i renditjes i referohet të gjitha rreshtave dhe kolonave linearisht të pavarura në matricë. Ekzistojnë metoda të ndryshme për përcaktimin e renditjes së një matrice. Më shpesh ajo llogaritet me metodën e të miturve ose metodën e skajit. Metoda Gaussian përdoret më rrallë. Ky kalkulator në internet do të hedhë dritë mbi të gjitha ato transformime komplekse që janë të nevojshme për të llogaritur gradën e një matrice në internet. Duke e përdorur atë, ju mund të njiheni vizualisht me opsionet e ndryshme për përcaktimin e këtij treguesi.

Për të gjetur rangun e një matrice në internet, duhet të kryeni një sërë operacionesh të thjeshta. Për të filluar, specifikoni dimensionet e matricës duke klikuar në ikonat "+" dhe "-" në të majtë dhe në fund, që korrespondojnë me numrin e rreshtave dhe kolonave. Më pas, futni elementet në fushat e kalkulatorit dhe klikoni në butonin "Llogarit". Rezultati i përfunduar do të shfaqet shpejt në monitor. Në vetëm pak sekonda do të shihni vlerën e renditjes së matricës dhe një shpjegim të detajuar të llogaritjes së saj.

Përdorimi i një kalkulatori në internet ka një numër avantazhesh: ju e kuptoni më mirë teorinë duke përdorur një shembull të një detyre, kontrolloni llogaritjet tuaja dhe kuptoni plotësisht të gjitha metodat për llogaritjen e gradës së një matrice.