Bunların kökü. n'inci kök hesaplayıcı. Kök değerleri bulma ilkeleri ve bunları çıkarma yöntemleri

Çevrimiçi mühendislik hesaplayıcısı

Herkese ücretsiz bir mühendislik hesap makinesi sunmaktan mutluluk duyuyoruz. Onun yardımıyla, herhangi bir öğrenci çevrimiçi olarak çeşitli matematiksel hesaplamaları hızlı ve en önemlisi kolayca gerçekleştirebilir.

Göze çarpmayan ve sezgisel bir arayüze sahip basit ve kullanımı kolay bir mühendislik hesap makinesi, çok çeşitli İnternet kullanıcıları için gerçekten faydalı olacaktır. Artık bir hesap makinesine ihtiyaç duyduğunuzda web sitemize gidin ve ücretsiz mühendislik hesap makinesini kullanın.

Bir mühendislik hesap makinesi hem basit aritmetik işlemleri hem de oldukça karmaşık matematiksel hesaplamaları gerçekleştirebilir.

Web20calc, örneğin tüm temel fonksiyonların nasıl hesaplanacağı gibi çok sayıda fonksiyona sahip bir mühendislik hesaplayıcısıdır. Hesap makinesi aynı zamanda trigonometrik fonksiyonları, matrisleri, logaritmaları ve hatta grafikleri de destekler.

Kuşkusuz Web20calc, basit çözümler arayan ve arama motorlarına şu sorguyu yazan bir grup insanın ilgisini çekecektir: çevrimiçi matematiksel hesap makinesi. Ücretsiz bir web uygulaması, çıkarma, toplama, bölme, kökü çıkarma, bir kuvvete yükseltme vb. gibi bazı matematiksel ifadelerin sonucunu anında hesaplamanıza yardımcı olacaktır.

İfadede üs, toplama, çıkarma, çarpma, bölme, yüzde ve PI sabiti işlemlerini kullanabilirsiniz. Karmaşık hesaplamalar için parantezlerin eklenmesi gerekir.

Mühendislik hesaplayıcısının özellikleri:

1. temel aritmetik işlemler;
2. Sayılarla standart bir biçimde çalışmak;
3. Trigonometrik köklerin, fonksiyonların, logaritmaların, üstellerin hesaplanması;
4. istatistiksel hesaplamalar: toplama, aritmetik ortalama veya standart sapma;
5. Bellek hücrelerinin ve 2 değişkenin özel işlevlerinin kullanımı;
6. Radyan ve derece ölçülerinde açılarla çalışabilecektir.

Mühendislik hesaplayıcısı çeşitli matematiksel işlevlerin kullanılmasına olanak tanır:

Köklerin çıkarılması (kare, kübik ve n'inci kök);
ex (e üzeri x), üstel;
trigonometrik fonksiyonlar: sinüs - günah, kosinüs - cos, teğet - tan;
ters trigonometrik fonksiyonlar: arksinüs - sin-1, arkkosinüs - cos-1, arktanjant - tan-1;
hiperbolik fonksiyonlar: sinüs - sinh, kosinüs - cosh, teğet - tanh;
logaritma: ikili logaritmadan iki tabanına - log2x, ondalık logaritmadan on tabanına - log, doğal logaritma - ln.

Bu mühendislik hesaplayıcısı aynı zamanda çeşitli ölçüm sistemleri (bilgisayar birimleri, mesafe, ağırlık, zaman vb.) için fiziksel büyüklükleri dönüştürme yeteneğine sahip bir miktar hesaplayıcı içerir. Bu işlevi kullanarak milleri kilometreye, poundu kilograma, saniyeleri saate vb. anında dönüştürebilirsiniz.

Matematiksel hesaplamalar yapmak için önce uygun alana bir dizi matematiksel ifade girin, ardından eşittir işaretine tıklayın ve sonucu görün. Değerleri doğrudan klavyeden girebilirsiniz (Bunun için hesap makinesi alanının aktif olması gerekir, dolayısıyla imleci giriş alanına yerleştirmek faydalı olacaktır). Diğer şeylerin yanı sıra, hesap makinesinin düğmeleri kullanılarak veriler girilebilir.

Grafikler oluşturmak için, alanda belirtildiği gibi giriş alanına işlevi örneklerle yazmalı veya bunun için özel olarak tasarlanmış araç çubuğunu kullanmalısınız (buna gitmek için grafik simgeli düğmeye tıklayın). Değerleri dönüştürmek için Birim'e tıklayın; matrislerle çalışmak için Matris'e tıklayın.

Web sitemizde yayınlandı. Bir sayının kökünü almak çeşitli hesaplamalarda sıklıkla kullanılır ve hesap makinemiz bu tür matematiksel hesaplamalar için mükemmel bir araçtır.

Kökleri olan çevrimiçi bir hesap makinesi, kök çıkarmayla ilgili her türlü hesaplamayı hızlı ve kolay bir şekilde yapmanızı sağlar. Üçüncü kök, bir sayının karekökü, negatif bir sayının kökü, karmaşık bir sayının kökü, pi'nin kökü vb. kadar kolay hesaplanabilir.

Bir sayının kökünü manuel olarak hesaplamak mümkündür. Bir sayının tam kökünü hesaplamak mümkünse, o zaman kök tablosunu kullanarak radikal ifadenin değerini bulmamız yeterlidir. Diğer durumlarda, köklerin yaklaşık hesaplanması, radikal ifadeyi, kök işaretiyle kaldırılabilen ve kök altındaki ifadeyi mümkün olduğunca basitleştiren daha basit faktörlerin bir ürününe ayrıştırmaya gelir.

Ancak bu kök çözümü kullanmamalısınız. Ve bu yüzden. Öncelikle bu tür hesaplamalara çok zaman harcamanız gerekecek. Kökteki sayılar veya daha doğrusu ifadeler oldukça karmaşık olabilir ve derecenin mutlaka ikinci dereceden veya kübik olması gerekmez. İkincisi, bu tür hesaplamaların doğruluğu her zaman tatmin edici değildir. Üçüncüsü, sizin için herhangi bir kök çıkarma işlemini saniyeler içinde yapacak çevrimiçi bir kök hesaplayıcı var.

Bir sayıdan kök çıkarmak, n üssüne yükseltildiğinde radikal ifadenin değerine eşit olacak bir sayı bulmak anlamına gelir; burada n, kökün kuvvetidir ve sayının kendisi de tabanıdır. kök. 2. derecenin kökü basit veya kare olarak adlandırılır ve üçüncü derecenin kökü kübik olarak adlandırılır; her iki durumda da derecenin göstergesi atlanır.

Çevrimiçi bir hesap makinesinde kökleri çözmek, giriş satırına yalnızca matematiksel bir ifade yazmaktan ibarettir. Hesap makinesinde bir kökün çıkarılması sqrt olarak belirtilir ve üç tuş kullanılarak gerçekleştirilir: karekök sqrt(x), küp kök sqrt3(x) ve n'inci kök sqrt(x,y). Kontrol paneli hakkında daha detaylı bilgi sayfada sunulmaktadır.

Kare kök

Bu düğmeye tıklamak giriş satırına karekök girişini ekleyecektir: sqrt(x), yalnızca radikal ifadeyi girmeniz ve parantezi kapatmanız gerekir.

Hesap makinesinde karekök çözme örneği:

Kök negatif bir sayıysa ve kökün derecesi çift ise, cevap sanal birimi i olan karmaşık bir sayı olarak temsil edilecektir.

Negatif bir sayının karekökü:

Üçüncü kök

Küp kökünü almanız gerektiğinde bu tuşu kullanın. Giriş satırına sqrt3(x) girişini ekler.

3. derece kök:

Derecenin kökü n

Doğal olarak, çevrimiçi kök hesaplayıcı, bir sayının yalnızca kare ve küp köklerini değil, aynı zamanda n derecesinin kökünü de çıkarmanıza olanak tanır. Bu düğmeye tıklamak sqrt(x x,y) gibi bir giriş görüntüleyecektir.

4. kök:

Bir sayının tam n'inci kökü ancak sayının kendisi tam n'inci kök ise çıkarılabilir. Aksi takdirde, çevrimiçi hesap makinesinin hesaplamalarının doğruluğu 14 ondalık basamağa ulaştığından, ideale çok yakın olmasına rağmen hesaplama yaklaşık olacaktır.

Yaklaşık sonuçla 5. kök:

Bir kesrin kökü

Hesap makinesi çeşitli sayılardan ve ifadelerden kökü hesaplayabilir. Bir kesrin kökünü bulmak, pay ve paydanın kökünü ayrı ayrı çıkarmak anlamına gelir.

Bir kesrin karekökü:

Kökten kök

İfadenin kökünün kökün altında olduğu durumlarda, köklerin özelliklerine göre derecesi her ikisinin derecelerinin çarpımına eşit olacak bir kök ile değiştirilebilirler. Basitçe söylemek gerekirse, bir kökten kök çıkarmak için köklerin göstergelerini çarpmak yeterlidir. Şekilde gösterilen örnekte ikinci derece kökün üçüncü derece kökü ifadesi 6. derece kök ile değiştirilebilir. İfadeyi istediğiniz gibi belirtin. Her durumda hesap makinesi her şeyi doğru hesaplayacaktır.

Derece formülleri Karmaşık ifadelerin azaltılması ve basitleştirilmesi sürecinde, denklem ve eşitsizliklerin çözümünde kullanılır.

Sayı C dır-dir N bir sayının -inci kuvveti A Ne zaman:

Dereceli işlemler.

1. Aynı tabana sahip dereceler çarpılarak göstergeleri toplanır:

bir m·a n = a m + n .

2. Dereceleri aynı tabana bölerken üsleri çıkarılır:

3. 2 veya daha fazla faktörün çarpımının derecesi, bu faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Bir kesrin derecesi, temettü ve bölenin derecelerinin oranına eşittir:

(a/b) n = a n /b n .

5. Bir kuvveti bir kuvvete yükselterek üsler çarpılır:

(bir m) n = bir m n .

Yukarıdaki formüllerin her biri soldan sağa ve soldan sağa doğru doğrudur.

Örneğin. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Köklerle işlemler.

1. Birkaç faktörün çarpımının kökü, bu faktörlerin köklerinin çarpımına eşittir:

2. Bir oranın kökü, bölenin ve köklerin böleninin oranına eşittir:

3. Bir kökü bir kuvvete yükseltirken, radikal sayıyı bu kuvvete yükseltmek yeterlidir:

4. Kökün derecesini arttırırsanız N bir kez ve aynı zamanda inşa etmek N kuvvet radikal bir sayı ise kökün değeri değişmeyecektir:

5. Kökün derecesini azaltırsanız N aynı anda kökü çıkar N Bir radikal sayının -inci kuvveti varsa kökün değeri değişmeyecektir:

Negatif üslü bir derece. Pozitif olmayan (tam sayı) üslü belirli bir sayının kuvveti, üssü pozitif olmayan üssün mutlak değerine eşit olan aynı sayının kuvvetine bölünerek tanımlanır:

Formül bir m:a n =a m - n sadece için kullanılamaz M> N, ama aynı zamanda M< N.

Örneğin. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Formüle bir m:a n =a m - n ne zaman adil oldu m=n, sıfır derecenin varlığı gereklidir.

Sıfır endeksli bir derece. Sıfır üssü sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayının kuvveti bire eşittir.

Örneğin. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kesirli üslü derece. Gerçek bir sayıyı yükseltmek için A dereceye kadar a/n, kökü çıkarmanız gerekiyor N derecesi M bu sayının -inci kuvveti A.

Bir x sayısının n'inci kökü, negatif olmayan bir z sayısıdır ve n'inci kuvvetine yükseltildiğinde x olur. Kökün belirlenmesi, çocukluk çağında aşina olduğumuz temel aritmetik işlemler arasında yer almaktadır.

Matematiksel gösterim

"Kök" Latince radix kelimesinden gelir ve günümüzde "radikal" kelimesi bu matematiksel terimin eşanlamlısı olarak kullanılmaktadır. 13. yüzyıldan beri matematikçiler kök işlemini r harfiyle, kök ifadesinin üzerine yatay bir çubukla gösteriyorlar. 16. yüzyılda, yavaş yavaş r işaretinin yerini alan V tanımı tanıtıldı, ancak yatay çizgi kaldı. Bir matbaada yazmak veya elle yazmak kolaydır, ancak elektronik yayıncılık ve programlamada kökün harf tanımı - sqrt - yayıldı. Bu yazıda karekökleri bu şekilde göstereceğiz.

Kare kök

Bir x sayısının kare radikali, kendisiyle çarpıldığında x olan bir z sayısıdır. Örneğin 2'yi 2 ile çarparsak 4 elde ederiz. Bu durumda iki, dördün kareköküdür. 5'i 5 ile çarparsak 25 elde ederiz ve artık sqrt(25) ifadesinin değerini zaten biliyoruz. -12'yi -12 ile çarparak 144 elde edebiliriz ve 144'ün radikali hem 12 hem de -12 olur. Açıkçası, karekökler hem pozitif hem de negatif sayılar olabilir.

Bu tür köklerin kendine özgü dualizmi ikinci dereceden denklemlerin çözümü için önemlidir, bu nedenle bu tür problemlerde cevap ararken her iki kökü de belirtmek gerekir. Cebirsel ifadeleri çözerken aritmetik karekökler, yani yalnızca pozitif değerleri kullanılır.

Karekökleri tam sayı olan sayılara tam kareler denir. Başlangıcı şuna benzeyen bir dizi sayı var:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Diğer sayıların karekökleri irrasyonel sayılardır. Örneğin, sqrt(3) = 1,73205080757... vb. Bu sayının sonsuz olması ve periyodik olmaması bu tür radikallerin hesaplanmasında bazı zorluklara neden olur.

Okul matematik dersi, negatif sayıların karekökünü alamayacağınızı belirtir. Bir üniversite dersinde matematiksel analiz üzerine öğrendiğimiz gibi, bu yapılabilir ve yapılmalıdır; karmaşık sayılara bu nedenle ihtiyaç duyulur. Ancak programımız gerçek kök değerleri çıkarmak üzere tasarlanmıştır, dolayısıyla negatif sayılardan radikalleri bile hesaplamaz.

Küp kökü

Bir x sayısının kübik radikali, kendisiyle üç kez çarpıldığında x sayısını veren bir z sayısıdır. Örneğin 2 × 2 × 2'yi çarparsak 8 elde ederiz. Dolayısıyla iki, sekizin küp köküdür. Dördü kendisiyle üç kez çarpın ve 4 × 4 × 4 = 64 elde edin. Açıkçası, dört, 64 sayısının küp köküdür. Kübik kökleri tam sayı olan sonsuz bir sayı dizisi vardır. Başlangıcı şuna benziyor:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Diğer sayılar için küp kökleri irrasyonel sayılardır. Kare radikallerden farklı olarak küp kökler, herhangi bir tek kök gibi, negatif sayılardan türetilebilir. Her şey sıfırdan küçük sayıların çarpımı ile ilgili. Eksi eksiye artı verir - okuldan bilinen bir kural. Ve artıya karşı eksi, eksi verir. Negatif sayıları tek sayıda çarparsak sonuç da negatif olacaktır, dolayısıyla negatif bir sayıdan tek radikal çıkarmamıza hiçbir şey engel değildir.

Ancak hesap makinesi programı farklı çalışır. Esasen, bir kökü çıkarmak onu ters kuvvete yükseltmektir. Karekökün 1/2 gücüne yükseltildiği kabul edilir ve kübik kökün 1/3 gücüne yükseltildiği kabul edilir. 1/3'ün gücüne yükseltme formülü yeniden düzenlenip 2/6 olarak ifade edilebilir. Sonuç aynıdır ancak negatif bir sayıdan böyle bir kök çıkaramazsınız. Bu nedenle hesap makinemiz aritmetik kökleri yalnızca pozitif sayılardan hesaplar.

n'inci kök

Radikalleri hesaplamanın bu kadar süslü bir yöntemi, herhangi bir ifadeden herhangi bir derecedeki kökleri belirlemenize olanak tanır. Bir sayının küpünün beşinci kökünü veya bir sayının 19'uncu radikalini 12'nci kuvvetine alabilirsiniz. Bütün bunlar sırasıyla 3/5 veya 12/19'un gücüne yükseltilerek zarif bir şekilde uygulanır.

Bir örneğe bakalım

Bir karenin köşegeni

Bir karenin köşegeninin mantıksızlığı eski Yunanlılar tarafından biliniyordu. Uzunluğu her zaman ikinin köküyle orantılı olduğundan, düz bir karenin köşegenini hesaplama problemiyle karşı karşıya kaldılar. Köşegenin uzunluğunu belirleme formülü türetilir ve sonuçta şu formu alır:

d = a × sqrt(2).

Hesap makinemizi kullanarak ikinin karekökünü belirleyelim. “Sayı(x)” hücresine 2, “Derece(n)” hücresine de 2 değerini girelim ve sonuç olarak sqrt(2) = 1.4142 ifadesini elde ederiz. Dolayısıyla bir karenin köşegenini kabaca tahmin etmek için kenarını 1,4142 ile çarpmak yeterlidir.

Çözüm

Bir radikalin bulunması, bilimsel veya tasarım hesaplamalarının vazgeçilmez olduğu standart bir aritmetik işlemdir. Elbette günlük problemleri çözmek için kökleri belirlememize gerek yok, ancak çevrimiçi hesap makinemiz okul çocukları veya öğrencilerin cebir veya matematik ödevlerini kontrol etmeleri için kesinlikle yararlı olacaktır.

Bunu çözmenin zamanı geldi kök çıkarma yöntemleri. Köklerin özelliklerine, özellikle de negatif olmayan herhangi bir b sayısı için geçerli olan eşitliğe dayanırlar.

Aşağıda kökleri tek tek çıkarmanın ana yöntemlerine bakacağız.

En basit durumla başlayalım; kareler tablosu, küpler tablosu vb. kullanarak doğal sayılardan kök çıkarmak.

Eğer kareler, küpler vb. tablolar Elinizde yoksa, radikal sayıyı asal çarpanlara ayırmayı içeren kökü çıkarma yöntemini kullanmak mantıklıdır.

Tek üslü kökler için nelerin mümkün olduğunu özellikle belirtmekte yarar var.

Son olarak kök değerin rakamlarını sıralı olarak bulmamızı sağlayan bir yöntem düşünelim.

Başlayalım.

Karelerden oluşan bir tablo, küplerden oluşan bir tablo vb. kullanmak.

En basit durumlarda kareler, küpler vb. tabloları kökleri çıkarmanıza olanak tanır. Bu tablolar nelerdir?

0'dan 99'a kadar (aşağıda gösterilmektedir) tam sayıların kareleri tablosu iki bölgeden oluşur. Tablonun ilk bölgesi gri bir arka plan üzerinde bulunur; belirli bir satırı ve belirli bir sütunu seçerek 0'dan 99'a kadar bir sayı oluşturmanıza olanak tanır. Örneğin 8 onluk bir satır ve 3 birimlik bir sütun seçelim, bununla 83 sayısını sabitledik. İkinci bölge tablonun geri kalanını kaplar. Her hücre, belirli bir satır ile belirli bir sütunun kesişiminde bulunur ve 0'dan 99'a kadar karşılık gelen sayının karesini içerir. Seçtiğimiz 8 onluk sıra ile 3. sütunun kesişiminde 83 sayısının karesi olan 6,889 numaralı hücre bulunmaktadır.

Küp tabloları, 0'dan 99'a kadar sayıların dördüncü kuvvetleri tabloları vb. kareler tablosuna benzer, yalnızca ikinci bölgede küpler, dördüncü güçler vb. içerirler. karşılık gelen sayılar.

Kareler, küpler, dördüncü kuvvetler vb. tabloları. karekökleri, küpkökleri, dördüncü kökleri vb. çıkarmanızı sağlar. buna göre bu tablolardaki sayılardan. Kök çıkarırken kullanım prensibini açıklayalım.

Diyelim ki a sayısı n'inci kuvvetler tablosunda yer alırken, a sayısının n'inci kökünü çıkarmamız gerekiyor. Bu tabloyu kullanarak a=b n olacak şekilde b sayısını buluruz. Daha sonra dolayısıyla b sayısı n'inci derecenin istenen kökü olacaktır.

Örnek olarak, 19.683'ün küp kökünü çıkarmak için küp tablosunun nasıl kullanılacağını gösterelim. Küpler tablosunda 19.683 sayısını buluyoruz, ondan bu sayının 27 sayısının küpü olduğunu buluyoruz, dolayısıyla, .

N'inci kuvvet tablolarının kökleri çıkarmak için çok uygun olduğu açıktır. Ancak çoğu zaman el altında olmazlar ve bunları derlemek biraz zaman alır. Ayrıca, karşılık gelen tablolarda yer almayan sayıların köklerini çıkarmak çoğu zaman gereklidir. Bu durumlarda diğer kök çıkarma yöntemlerine başvurmanız gerekir.

Radikal bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma

Bir doğal sayının kökünü çıkarmanın oldukça uygun bir yolu (tabii ki kök çıkarılırsa), radikal sayıyı asal çarpanlara ayırmaktır. Onun mesele şu ki: bundan sonra bunu istenen üsle bir kuvvet olarak temsil etmek oldukça kolaydır, bu da kökün değerini elde etmenizi sağlar. Bu noktaya açıklık getirelim.

Bir a doğal sayısının n'inci kökü alınsın ve değeri b'ye eşit olsun. Bu durumda a=bn eşitliği doğrudur. b sayısı, herhangi bir doğal sayı gibi, tüm asal çarpanlarının p 1 , p 2 , …, p m çarpımı olarak p 1 ·p 2 ·…·p m biçiminde temsil edilebilir ve bu durumda a radikal sayısı (p 1 ·p 2 ·…·p m) n olarak temsil edilir. Bir sayının asal çarpanlara ayrıştırılması benzersiz olduğundan, a radikal sayısının asal çarpanlara ayrıştırılması (p 1 ·p 2 ·…·p m) n biçiminde olacaktır, bu da kök değerinin hesaplanmasını mümkün kılar gibi .

Bir a radikal sayısının asal çarpanlarına ayrıştırılması (p 1 ·p 2 ·…·p m) n biçiminde temsil edilemiyorsa, bu durumda böyle bir a sayısının n'inci kökü tamamen çıkarılmaz.

Örnekleri çözerken bunu çözelim.

Örnek.

144'ün karekökünü alın.

Çözüm.

Önceki paragrafta verilen kareler tablosuna bakarsanız 144 = 12 2 olduğunu açıkça görebilirsiniz, buradan 144'ün karekökünün 12'ye eşit olduğu açıktır.

Ancak bu noktanın ışığında 144 radikal sayısını asal çarpanlara ayrıştırarak kökün nasıl çıkarılacağıyla ilgileniyoruz. Bu çözüme bakalım.

Haydi ayrıştıralım 144'ün asal çarpanları:

Yani 144=2·2·2·2·3·3. Ortaya çıkan ayrıştırmaya dayanarak aşağıdaki dönüşümler gerçekleştirilebilir: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Buradan, .

Derecenin özellikleri ve köklerin özellikleri kullanılarak çözüm biraz farklı şekilde formüle edilebilir: .

Cevap:

Materyali pekiştirmek için iki örneğin daha çözümlerini düşünün.

Örnek.

Kökün değerini hesaplayın.

Çözüm.

243 radikal sayısının asal çarpanlarına ayrılması 243=3 5 şeklindedir. Böylece, .

Cevap:

Örnek.

Kök değeri bir tamsayı mı?

Çözüm.

Bu soruyu cevaplamak için radikal sayıyı asal çarpanlarına ayıralım ve bir tam sayının küpü olarak temsil edilip edilemeyeceğini görelim.

Elimizde 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 var. Ortaya çıkan genişleme bir tam sayının küpü olarak temsil edilemez çünkü 7 asal faktörünün kuvveti üçün katı değildir. Bu nedenle 285,768'in küp kökü tamamen çıkarılamıyor.

Cevap:

HAYIR.

Kesirli sayılardan köklerin çıkarılması

Kesirli bir sayının kökünün nasıl çıkarılacağını bulmanın zamanı geldi. Kesirli radikal sayı p/q şeklinde yazılsın. Bir bölümün kökünün özelliğine göre aşağıdaki eşitlik doğrudur. Bu eşitlikten şu sonuç çıkıyor bir kesrin kökünü çıkarma kuralı: Bir kesrin kökü, payın kökünün bölümünün paydanın köküne bölünmesine eşittir.

Bir kesirden kök çıkarma örneğine bakalım.

Örnek.

25/169 ortak kesirinin karekökü nedir?

Çözüm.

Kareler tablosunu kullanarak orijinal kesrin payının karekökünün 5'e ve paydanın karekökünün 13'e eşit olduğunu buluyoruz. Daha sonra . Bu, 25/169 ortak fraksiyonunun kökünün çıkarılmasını tamamlar.

Cevap:

Ondalık kesirin veya karışık sayının kökü, radikal sayıların sıradan kesirlerle değiştirilmesinden sonra çıkarılır.

Örnek.

474.552 ondalık kesirinin küp kökünü alın.

Çözüm.

Orijinal ondalık kesri sıradan bir kesir olarak düşünelim: 474.552=474552/1000. Daha sonra . Ortaya çıkan fraksiyonun pay ve paydasındaki küp köklerini çıkarmak için kalır. Çünkü 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 ve 1 000 = 10 3, o zaman Ve . Geriye kalan tek şey hesaplamaları tamamlamak .

Cevap:

.

Negatif bir sayının kökünü almak

Negatif sayılardan kök çıkarma üzerinde durmakta fayda var. Kökleri incelerken, kök üssü tek sayı olduğunda kök işaretinin altında negatif bir sayı olabileceğini söylemiştik. Bu girdilere şu anlamı verdik: negatif bir −a sayısı ve 2 n−1 kökünün tek üssü için, . Bu eşitlik şunu verir Negatif sayılardan tek kökleri çıkarma kuralı: Negatif bir sayının kökünü çıkarmak için, karşıt pozitif sayının kökünü almanız ve sonucun önüne eksi işareti koymanız gerekir.

Örnek çözüme bakalım.

Örnek.

Kökün değerini bulun.

Çözüm.

Kök işaretinin altında pozitif bir sayı olacak şekilde orijinal ifadeyi dönüştürelim: . Şimdi karışık sayıyı sıradan bir kesirle değiştirin: . Sıradan bir kesrin kökünü çıkarmak için kuralı uyguluyoruz: . Ortaya çıkan fraksiyonun pay ve paydasındaki kökleri hesaplamak kalır: .

İşte çözümün kısa bir özeti: .

Cevap:

.

Kök değerinin bit bazında belirlenmesi

Genel durumda, kökün altında, yukarıda tartışılan teknikler kullanıldığında herhangi bir sayının n'inci kuvveti olarak temsil edilemeyen bir sayı vardır. Ancak bu durumda, belirli bir kökün anlamını en azından belirli bir işarete kadar bilmeye ihtiyaç vardır. Bu durumda kökü çıkarmak için istenilen sayının yeterli sayıda basamak değerini sırayla elde etmenizi sağlayan bir algoritma kullanabilirsiniz.

Bu algoritmanın ilk adımı kök değerinin en anlamlı bitinin ne olduğunu bulmaktır. Bunu yapmak için, 0, 10, 100, ... sayıları, radikal sayıyı aşan bir sayı elde edilene kadar sırayla n kuvvetine yükseltilir. Daha sonra önceki aşamada n üssüne çıkardığımız sayı, karşılık gelen en anlamlı rakamı gösterecektir.

Örneğin, beşin karekökünü çıkarırken algoritmanın bu adımını göz önünde bulundurun. 0, 10, 100, ... sayılarını alın ve 5'ten büyük bir sayı elde edene kadar bunların karesini alın. 0 2 =0 var<5 , 10 2 =100>5, yani en anlamlı rakam birler basamağı olacaktır. Bu bitin değeri ve daha düşük olanlar kök çıkarma algoritmasının sonraki adımlarında bulunacaktır.

Algoritmanın sonraki tüm adımları, en yüksek olandan başlayıp en düşük olanlara doğru ilerleyerek, istenen kök değerinin sonraki bitlerinin değerlerini bularak kökün değerini sırayla netleştirmeyi amaçlamaktadır. Örneğin, ilk adımda kökün değeri 2, ikinci adımda 2,2, üçüncü adımda 2,23 ve bu şekilde 2,236067977 olur. Rakamların değerlerinin nasıl bulunduğunu anlatalım.

Rakamlar olası değerleri 0, 1, 2, ..., 9'a göre aranarak bulunur. Bu durumda karşılık gelen sayıların n'inci kuvvetleri paralel olarak hesaplanır ve radikal sayıyla karşılaştırılır. Herhangi bir aşamada derecenin değeri radikal sayıyı aşarsa, önceki değere karşılık gelen rakamın değeri bulunmuş kabul edilir ve kök çıkarma algoritmasının bir sonraki adımına geçiş yapılır; bu gerçekleşmezse, o zaman bu rakamın değeri 9'dur.

Bu noktaları aynı beşin karekökünü çıkarma örneğini kullanarak açıklayalım.

Öncelikle birler basamağının değerini buluyoruz. 5 radikal sayısından daha büyük bir değer elde edene kadar sırasıyla 0 2, 1 2, ..., 9 2'yi hesaplayarak 0, 1, 2, ..., 9 değerlerini üzerinden geçeceğiz. Tüm bu hesaplamaları bir tablo şeklinde sunmak uygundur:

Yani birler basamağının değeri 2'dir (2 2 olduğundan<5 , а 2 3 >5). Onuncu basamağın değerini bulmaya geçelim. Bu durumda, elde edilen değerleri 5 radikal sayısıyla karşılaştırarak 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 sayılarının karesini alacağız:

2.2 2'den beri<5 , а 2,3 2 >5 ise onuncu basamağın değeri 2 olur. Yüzüncü basamağın değerini bulmaya devam edebilirsiniz:

Beşin kökünün bir sonraki değeri bu şekilde bulundu, 2,23'e eşit. Böylece değerleri bulmaya devam edebilirsiniz: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Malzemeyi pekiştirmek için, dikkate alınan algoritmayı kullanarak kökün çıkarılmasını yüzlerce doğrulukla analiz edeceğiz.

İlk önce en anlamlı rakamı belirliyoruz. Bunu yapmak için 0, 10, 100 vb. sayıların küpünü alırız. 2.151.186'dan büyük bir sayı elde edene kadar. 0 3 =0 var<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , yani en anlamlı rakam onlar basamağıdır.

Değerini belirleyelim.

10 3'ten beri<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186 ise onlar basamağının değeri 1 olur. Birimlere geçelim.

Yani birler basamağının değeri 2'dir. Onuncu maddelere geçelim.

12,9 3 bile 2 151,186 radikal sayısından küçük olduğundan onuncu basamağın değeri 9'dur. Geriye algoritmanın son adımını gerçekleştirmek kalıyor, bize kökün değerini gerekli doğrulukla verecek.

Bu aşamada kökün değeri yüzde birlere kadar doğru bulunur: .

Bu yazının sonunda kök çıkarmanın başka birçok yolu olduğunu söylemek isterim. Ancak çoğu görev için yukarıda incelediklerimiz yeterlidir.

Kaynakça.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8. sınıf ders kitabı. Eğitim Kurumları.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri Cebir ve analizin başlangıcı: Genel eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).