Що є осьовим перерізом правильної усіченої піраміди. Площа бічної поверхні усіченої піраміди

– це багатогранник, який утворюється основою піраміди та паралельним йому перетином. Можна сказати, що усічена піраміда - це піраміду зі зрізаною верхівкою. Ця фігура має безліч унікальних властивостей:

• Бічні грані піраміди є трапеціями;
• Бічні ребра правильної усіченої піраміди однакової довжини та нахилені до основи під однаковим кутом;
• Основи є подібними багатокутниками;
• У правильній усіченій піраміді, грані є однаковими рівнобедреними трапеціями, площа яких дорівнює. Також вони нахилені до основи під одним кутом.

Формула площі бічної поверхні усіченої піраміди є сумою площ її сторін:

Так як сторони усіченої піраміди є трапецією, то для розрахунку параметрів доведеться скористатися формулою площі трапеції. Для правильної зрізаної піраміди можна застосувати іншу формулу розрахунку площі. Так як всі її сторони, грані, і кути при основі рівні, можна застосувати периметри підстави і апофему, а також вивести площу через кут при підставі.

Якщо за умовами в правильній усіченій піраміді дано апофему (висота бічної сторони) і довжину сторін основи, то можна розрахувати площу через напівтвор суми периметрів основ і апофеми:

Давайте розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні усіченої піраміди.
Дано правильну п'ятикутну піраміду. Апофема l= 5 см, довжина грані у великій підставі дорівнює a= 6 см, а грань у меншій основі b= 4 см. Розрахуйте площу зрізаної піраміди.

Для початку знайдемо периметри основ. Оскільки нам дана п'ятикутна піраміда, ми розуміємо, що підстави є п'ятикутниками. Отже, в основах лежить постать із п'ятьма однаковими сторонами. Знайдемо периметр більшої основи:

Таким же чином знаходимо периметр меншої основи:

Тепер можемо розраховувати площу правильної усіченої піраміди. Підставляємо дані у формулу:

Таким чином, ми розрахували площу правильної усіченої піраміди через периметри та апофему.

Ще один спосіб розрахунку площі бічної поверхні правильної піраміди, це формула через кути біля основи та площу цих самих підстав.

Розгляньмо приклад розрахунку. Пам'ятаємо, що ця формула застосовується лише для правильної усіченої піраміди.

Нехай дана правильна чотирикутна піраміда. Грань нижньої основи a = 6 см, а грань верхньої b = 4 см. Двогранний кут на основі β = 60°. Знайдіть площу бічної поверхні правильної усіченої піраміди.

Для початку розрахуємо площу основ. Так як піраміда правильна, всі межі основ рівні між собою. Враховуючи, що в основі лежить чотирикутник, розуміємо, що потрібно буде розрахувати площа квадрата. Вона є добутком ширини на довжину, але в квадраті ці значення збігаються. Знайдемо площу більшої основи:


Тепер використовуємо знайдені значення розрахунку площі бічної поверхні.

Знаючи кілька нескладних формул, ми легко розрахували площу бічної трапеції усіченої піраміди через різні значення.

Піраміда - це багатогранник, основу якого лежить багатокутник. Всі грані у свою чергу утворюють трикутники, які сходяться на одній вершині. Піраміди бувають трикутними, чотирикутними тощо. Щоб визначити, яка піраміда перед вами, досить порахувати кількість кутів у її основі. Визначення "висота піраміди" дуже часто зустрічається у завданнях з геометрії у шкільній програмі. У статті спробуємо розглянути різні засоби її знаходження.

Частини піраміди

Кожна піраміда складається з наступних елементів:

• бічні грані, які мають по три кути та сходяться у вершині;
• апофема є висотою, яка опускається з її вершини;
• вершина піраміди - це точка, яка з'єднує бічні ребра, але при цьому не лежить у площині основи;
• основа - це багатокутник, у якому лежить вершина;
• висота піраміди є відрізком, який перетинає вершину піраміди і утворює з її основою прямий кут.

Як знайти висоту піраміди, якщо відомий її об'єм

Через формулу V = (S * h) / 3 (у формулі V - об'єм, S - площа основи, h - висота піраміди) знаходимо, що h = (3 * V) / S. Для закріплення матеріалу давайте відразу вирішимо завдання. Трикутна основа дорівнює 50 см 2 , тоді як її обсяг становить 125 см 3 . Невідома висота трикутної піраміди, яку нам необхідно знайти. Тут все просто: вставляємо дані до нашої формули. Отримуємо h = (3 * 125) / 50 = 7,5 см.

Як знайти висоту піраміди, якщо відома довжина діагоналі та її ребра

Як ми пам'ятаємо, висота піраміди утворює з її основою прямий кут. А це означає, що висота, ребро і половина діагоналі разом утворюють Багато хто, звичайно ж, пам'ятають теорему Піфагора. Знаючи два виміри, третю величину знайти буде нескладно. Згадаймо відому теорему a2 = b2 + c2, де а - гіпотенуза, а в нашому випадку ребро піраміди; b - перший катет або половина діагоналі і з відповідно другий катет, або висота піраміди. З цієї формули c? = a? - b?.

Тепер завдання: у правильній піраміді діагональ дорівнює 20 см, коли як довжина ребра - 30 см. Необхідно визначити висоту. Вирішуємо: c ² = 30 ² - 20 ² = 900-400 = 500. Звідси з = √ 500 = близько 22,4.

Як знайти висоту зрізаної піраміди

Вона являє собою багатокутник, який має перетин паралельно до її основи. Висота усіченої піраміди - це відрізок, який з'єднує дві її основи. Висоту можна знайти у правильної піраміди, якщо будуть відомі довжини діагоналей обох основ, а також ребро піраміди. Нехай діагональ більшої основи дорівнює d1, тоді як діагональ меншої основи – d2, а ребро має довжину – l. Щоб знайти висоту, можна із двох верхніх протилежних точок діаграми опустити висоти на її основу. Ми бачимо, що у нас вийшли два прямокутні трикутники, залишається знайти довжини їх катетів. Для цього з більшої діагоналі віднімаємо меншу та ділимо на 2. Так ми знайдемо один катет: а = (d1-d2)/2. Після чого за теоремою Піфагора нам залишається лише знайти другий катет, який є висотою піраміди.

Тепер розглянемо всю цю справу на практиці. Перед нами є завдання. Усічена піраміда має в основі квадрат, довжина діагоналі більшої основи дорівнює 10 см, тоді як меншої - 6 см, а ребро дорівнює 4 см. Потрібно знайти висоту. Для початку знаходимо один катет: а = (10-6)/2 = 2 см. Один катет дорівнює 2 см, а гіпотенуза - 4 см. Виходить, що другий катет або висота дорівнюватиме 16-4 = 12, тобто h = √12 = близько 3,5 см.

На цьому уроці ми розглянемо зрізану піраміду, познайомимося з правильною зрізаною пірамідою, вивчимо їх властивості.

Згадаймо поняття n-кутової піраміди на прикладі трикутної піраміди. Заданий трикутник АВС. Поза площиною трикутника взято точку Р, з'єднану з вершинами трикутника. Отримана багатогранна поверхня називається пірамідою (рис. 1).

Мал. 1. Трикутна піраміда

Розсічемо піраміду площиною, паралельною площині основи піраміди. Отримана між цими площинами постать і називається усіченою пірамідою (рис. 2).

Мал. 2. Усічена піраміда

Основні елементи:

Верхня основа;

Нижня основа АВС;

Бічна грань;

Якщо РН – висота вихідної піраміди, то – висота усіченої піраміди.

Властивості зрізаної піраміди випливають із способу її побудови, а саме з паралельності площин основ:

Усі бічні грані усіченої піраміди є трапеціями. Розглянемо, наприклад, грань. У неї за властивістю паралельних площин (оскільки площини паралельні, то бічну грань вихідної піраміди АВР вони розтинають паралельними прямими), в той же час і не паралельні. Очевидно, що чотирикутник є трапецією, як і всі бічні грані усіченої піраміди.

Ставлення підстав однаково всім трапецій:

Маємо кілька пар таких трикутників з однаковим коефіцієнтом подібності. Наприклад, трикутники і РАВ подібні в силу паралельності площин і коефіцієнт подібності:

У той же час подібні трикутники та РВС з коефіцієнтом подібності:

Вочевидь, що коефіцієнти подібності всім трьох пар подібних трикутників рівні, тому відношення підстав однаково всім трапецій.

Правильною усіченою пірамідою називається усічена піраміда, отримана перетином правильної піраміди площиною, паралельною до основи (рис. 3).

Мал. 3. Правильна зрізана піраміда

Визначення.

Правильною називається піраміда, в основі якої лежить правильний n-кутник, а вершина проектується в центр цього n-кутника (центр вписаного та описаного кола).

В даному випадку в основі піраміди лежить квадрат, і вершина проектується у точку перетину його діагоналей. У отриманої правильної чотирикутної усіченої піраміди ABCD - нижня основа - верхня основа. Висота вихідної піраміди - РВ, усіченої піраміди - (рис. 4).

Мал. 4. Правильна чотирикутна усічена піраміда

Визначення.

Висота усіченої піраміди - це перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї основи до площини другої основи.

Апофема вихідної піраміди – РМ (М – середина АВ), апофема усіченої піраміди – (рис. 4).

Визначення.

Апофема усіченої піраміди - висота будь-якої бічної грані.

Зрозуміло, що це бічні ребра усіченої піраміди рівні між собою, тобто бічні грані - рівні рівнобедрені трапеції.

Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку напівсуми периметрів підстав на апофему.

Доказ (для правильної чотирикутної усіченої піраміди – рис. 4):

Отже, необхідно довести:

Площа бічної поверхні тут складатиметься із суми площ бічних граней – трапецій. Оскільки трапеції однакові, маємо:

Площа рівнобедреної трапеції – це добуток напівсуми основ та висоти, апофема є висотою трапеції. Маємо:

Що й потрібно було довести.

Для n-вугільної піраміди:

Де n – кількість бічних граней піраміди, a та b – основи трапеції, – апофема.

Сторони основи правильної усіченої чотирикутної піраміди рівні 3 см і 9 см, висота - 4 см. Знайти площу бічної поверхні.

Мал. 5. Ілюстрація до завдання 1

Рішення. Проілюструємо умову:

Задано: , ,

Через точку Проведемо пряму MN паралельно двом сторонам нижньої основи, аналогічно через точку проведемо пряму (рис. 6). Оскільки в основах усіченої піраміди квадрати та побудови паралельні, отримаємо трапецію, рівну бічним граням. Причому її бічна сторона буде проходити через середини верхнього і нижнього ребра бічних граней і бути апофемою зрізаної піраміди.

Мал. 6. Додаткові побудови

Розглянемо отриману трапецію (рис. 6). У цій трапеції відома верхня основа, нижня основа та висота. Потрібно знайти бічну сторону, яка є апофемою заданої усіченої піраміди. Проведемо перпендикулярно до MN. З точки опустимо перпендикуляр NQ. Отримаємо, що більша основа розбивається на відрізки по три сантиметри (). Розглянемо прямокутний трикутник, катети у ньому відомі, це єгипетський трикутник, за теоремою Піфагора визначаємо довжину гіпотенузи: 5 див.

Тепер є всі елементи для визначення площі бічної поверхні піраміди:

Піраміда перетнута площиною, паралельною основі. Доведіть на прикладі трикутної піраміди, що бічні ребра та висота піраміди діляться цією площиною на пропорційні частини.

Доведення. Проілюструємо:

Мал. 7. Ілюстрація до завдання 2

Задано піраміду РАВС. РО – висота піраміди. Піраміда розсічена площиною, отримана усічена піраміда, причому. Точка-точка перетину висоти РВ з площиною основи усіченої піраміди. Необхідно довести:

Ключем до рішення є властивість паралельних площин. Дві паралельні площини розтинають будь-яку третю площину так, що лінії перетину паралельні. Звідси: . З паралельності відповідних прямих випливає наявність чотирьох пар подібних трикутників:

З подоби трикутників випливає пропорційність відповідних сторін. Важлива особливість полягає в тому, що коефіцієнти подібності цих трикутників однакові:

Що й потрібно було довести.

Правильна трикутна піраміда РАВС з висотою та стороною основи розсічена площиною, що проходить через середину висоти РН паралельно основі АВС. Знайти площу бічної поверхні отриманої усіченої піраміди.

Рішення. Проілюструємо:

Мал. 8. Ілюстрація до завдання 3

АСВ - правильний трикутник, Н - центр даного трикутника (центр вписаного та описаного кіл). РМ – апофема заданої піраміди. - Апофема усіченої піраміди. Відповідно до властивості паралельних площин (дві паралельні площини розсікають будь-яку третю площину так, що лінії перетину паралельні), маємо кілька пар подібних трикутників з рівним коефіцієнтом подібності. Зокрема, нас цікавить ставлення:

Знайдемо НМ. Це радіус кола, вписаного в основу, відповідна формула нам відома:

Тепер із прямокутного трикутника РНМ за теоремою Піфагора знайдемо РМ - апофему вихідної піраміди:

З початкового співвідношення:

Тепер нам відомі всі елементи для знаходження площі бічної поверхні усіченої піраміди:

Отже, ми ознайомилися з поняттями усіченої піраміди та правильної усіченої піраміди, дали основні визначення, розглянули властивості, довели теорему про площу бічної поверхні. Наступний урок буде присвячено вирішенню завдань.

Список літератури

1. І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-те вид., Випр. та дод. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл.
2. Шаригін І. Ф. Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів / Шаригін І. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: іл.
3. Є. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх закладів з поглибленим та профільним вивченням математики /Е. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. - 6-те вид., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: іл.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().

Домашнє завдання

Цей урок допоможе отримати уявлення про тему «Піраміда. Правильна та усічена піраміда». У цьому занятті ми познайомимося з поняттям правильної піраміди, дамо їй визначення. Потім доведемо теорему про бічну поверхню правильної піраміди і теорему про бічну поверхню правильної усіченої піраміди.

Тема: Піраміда

Урок: Правильна та усічена піраміди

Визначення:правильною n-вугільною пірамідою називається така піраміда, у якої в основі лежить правильний n-кутник, і висота проектується до центру цього n-кутника (рис. 1).

Мал. 1

Правильна трикутна піраміда

Спочатку розглянемо ∆ABC (рис. 2), у якому AB=BC=CA (тобто основу піраміди лежить правильний трикутник). У правильного трикутника центр вписаного та описаного кола збігаються і є центром самого трикутника. В даному випадку центр знаходиться наступним чином: знаходимо середину АВ - С 1 проводимо відрізок СС 1 який є медіаною, бісектрисою і висотою; аналогічно знаходимо середину AC-B1 і проводимо відрізок BB1. Перетином BB 1 і СС 1 буде точка О, яка є центром АВС.

Якщо з'єднати центр трикутника O з вершиною піраміди S, отримаємо висоту піраміди SO ⊥ ABC, SO = h.

З'єднавши точку S з точками А, В та С отримаємо бічні ребра піраміди.

Ми одержали правильну трикутну піраміду SABC (рис. 2).