Правило, що таке периметр. Просте завдання: як знайти периметр

Напевно, кожен з нас навчав у школі таку важливу складову геометрії, як периметр. Знаходження периметра просто необхідне вирішення безлічі завдань. Про те, як знайти периметр розповість наша стаття.

Варто пам'ятати, що периметр будь-якої фігури – це майже завжди сума її сторін. Давайте розглянемо кілька різних геометричних фігур.

1. Прямокутник - це чотирикутник, у якого паралельні сторони рівні попарно між собою. Якщо одна сторона X, а інша Y, то ми отримаємо таку формулу для знаходження периметра цієї фігури:

   P = 2 (X + Y) = X + Y + X + Y = 2X + 2Y.

   Приклад розв'язання задачі:

   Припустимо, що сторона X = 5 см, сторона Y = 10 см. Значить, підставивши ці значення нашої формули, ми отримаємо - P = 2*5 см + 2* 10см = 30 см.

2. Трапеція – це чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні, але не рівні між собою. Периметр трапеції – це сума всіх чотирьох її сторін:

   P = X+Y+Z+W де X, Y, Z, W - сторони фігури.

   Приклад розв'язання задачі:

   Припустимо, що сторона X = 5 см, сторона Y = 10 см, сторона Z = 8 см, сторона W = 20 см. Отже, підставивши ці значення в нашу формулу, ми отримаємо - P = 5 см + 10 см + 8 см + 20 см = 43 см.

3. Периметр кола (довжину кола) можна обчислити за такою формулою:

   P = 2rπ = dπ, де r – це радіус кола, d – діаметр кола.

   Приклад розв'язання задачі:

   Припустимо, що радіус r нашого кола дорівнює 5 см, тоді діаметр d дорівнюватиме 2*5 см = 10 см. Відомо, що π = 3,14. Отже, підставивши ці значення нашу формулу, ми отримаємо - P = 2*5 див*3,14 = 31,4 див.

4. Якщо Вам необхідно знайти периметр трикутника, Ви можете зіткнутися з рядом проблем при цьому, оскільки трикутники можуть мати дуже різні форми. Наприклад, є гострий, тупий, рівнобедрений, прямокутний чи рівносторонній трикутники. Хоча формула для всіх видів трикутників така:

   P = X+Y+Z, де X, Y, Z – сторони фігури.

   Проблема в тому, що при вирішенні багатьох завдань на знаходження периметра цієї фігури Вам не завжди будуть відомі довжини всіх сторін. Наприклад, замість інформації про довжину однієї зі сторін можна мати градус кута або довжину висоти конкретного трикутника. Це суттєво ускладнить завдання, але зробить її рішення нереальним. Про те, як знайти периметр трикутника, якої форми він не міг би прочитати " ".

5. Периметр такої фігури, як ромб знаходять так само, як і периметр квадрата, адже ромб - це паралелограм, який має рівні сторони. Дізнатися, як знайти периметр квадрата можна прочитавши статтю на нашому сайті.

   Тепер Ви знаєте, як знайти бік периметра тієї геометричної фігури, яка Вам потрібна!

Існує кілька понять периметра.

Геометричне: будь-яка замкнута площина має довжину своїх кордонів. І з галузі безпеки. Тобто, периметром називають власне кордон, що охороняється, або територію об'єкта, що охороняється. Оскільки тема ця з рубрики «Навчання», а не з рубрики «Закони та безпека», слід зупинитись на геометричному понятті периметра.

Що таке периметр?

Це питання чомусь ставить у глухий кут деяких молодих людей. Вони що, не вчили цього у школі? Якщо якісь математичні (геометричні) формули, якими напихають школярів, ніколи не стануть у нагоді в житті, то знати, що таке периметр – просто необхідно, і це знання, можете не сумніватися, буде затребуваним.

Який периметр вашого дачного будинку? А ділянки? Від периметра залежить площа і того, й іншого. А якщо ваш город, поле, сад має овальну форму чи безліч кутів? Як ви дізнаєтесь їхній периметр?

Для початку слід заглянути у словники та енциклопедії. І усвідомити собі, що включає у собі поняття «периметр».

Великий енциклопедичний словник дає таке визначення периметру: це довжина замкнутого контуру. Сума довжин сторін геометричної фігури, наприклад, усіх п'яти сторін п'ятикутника.

Скажімо, є земельна ділянка, яка представляє п'ятикутник. Одна сторона тягнеться на 20 метрів, інша – на 16, третя – на 4, четверта – на 11 і п'ята – на 6 метрів. Яким є периметр земельної ділянки? Простим арифметичним дією складання ми обчислюємо периметр земельної ділянки: 20 + 16 + 4 + 11 + 6 = 57 метрів.

Словник Ушакова дає таке пояснення поняття «периметр»: це сума довжин усіх сторін плоскої фігури. Що ми вже й проілюстрували на наведеному вище прикладі.

А як же коло? Адже вона теж плоска. Який її периметр і як його обчислити?

Існує формула обчислення периметра (довжини) кола. Але для цього спочатку слід згадати, що таке коло, і які вона має елементи. А коло - є крива, яка не тільки плоска і замкнута, але ще й всі її точки розташовані на однаковій відстані від заданої точки, що зветься центром.

Відрізок прямий, що з'єднує цей центр з точкою кола, є радіус (R).

Відрізок прямий, що проходить через центр кола і з'єднує її дві точки, найбільш віддалені один від одного, є діаметр (D). Діаметр дорівнює двом радіусам.

Відношення довжини кола до його діаметра однаково для будь-якого кола і дорівнює постійному числу 3, 14... Число це позначається буквою π (пі).

Ось тепер можна дати формулу обчислення периметра (довжини) кола: P = 2πR або π D.

Скажімо, нам відомий радіус кола: 5 метрів. Чому дорівнюватиме її периметр?

Дії тут будуть наступні: діаметр (10 метрів) множимо на 3, 14. І отримуємо периметр кола, що дорівнює 31, 4 метри.

Зустрічаються і складніші постаті, периметр яких потрібно впізнати. Тут для розрахунку периметра застосовуються методи математичного аналізу, що вимагає вже спеціальних знань.

Інструкція

Джерела:

• як знайти периметр abcd

Периметр – це сума довжин сторін будь-якої геометричної фігури. Іншими словами, якщо взяти нитку і викласти з її допомогою на столі, наприклад, квадрат, а потім виміряти довжину цієї нитки, то отримана цифра буде периметром даного квадрата. Всі знають, що таке периметр, але не кожен може відразу збагнути, як його розрахувати.
Для виміру периметра різних фігур існують різні способи.

Інструкція

Квадрат. Загальновідомо, що квадрат має 4 сторони і вони . Тому для обчислення його периметра так:

де а – це довжина однієї сторони цієї постаті.

Простіше кажучи, виміряйте одну зі сторін квадрата та помножте цю цифру на кількість сторін, тобто на 4. У нашому випадку дорівнює 16 см (4*4).

Прямокутник та ромб. У цих двох постатей лише паралельні одна одній сторони рівні, відповідно периметр визначається так:

де а і b - сторони, що стикаються. Отже, на прикладі периметр прямокутника дорівнює 24 див (2*(8+4)).

Трикутник. Оскільки трикутники бувають абсолютно різними – рівнобедреними, неправильними, з кутами, то єдиним правильним способом периметр такої фігури є формула:

Тобто для обчислення периметра трикутника просто виміряйте довжини всіх трьох сторін і складіть отримані цифри. У разі периметр трикутника дорівнює 10,7 див (2+5+3,7).

Периметр називають довжиною кола, яке обчислюється за особливою формулою:

де d – це кола, а 3,14 – це число «пі», яке спеціально виведено вченими визначення периметра даної геометричної фігури. Наше коло має 3 см, тобто периметр кола дорівнює 9,42см (3*3,14).

Джерела:

• як знаходити довжину кола

Ом у загальному випадку називають довжину лінії, яка обмежує замкнуту фігуру. Для багатокутників периметром є сума довжин сторін. Цю величину можна виміряти, а для багатьох фігур просто розрахувати, якщо відомі довжини відповідних елементів.

Вам знадобиться

• - Лінійка або рулетка;
• - міцна нитка;
• - роликовий далекомір.

Інструкція

Щоб виміряти довільний багатокутник, виміряйте при лінійці або іншим вимірювальним приладом всі його сторони, а потім знайдіть їх суму. Якщо дано чотирикутник зі сторонами 5, 3, 7 і 4 см, які виміряні лінійкою, знайдіть периметр, склавши їх разом Р=5+3+7+4=19 см.

Якщо ж фігура довільна і включає не тільки прямі лінії, то виміряйте її периметр звичайною мотузкою або ниткою. Для цього розташуйте її так, вона точно повторювала всі лінії, що обмежують фігуру, і зробіть на ній позначку, якщо можна просто обріжте її щоб уникнути плутанини. Потім за допомогою рулетки або лінійки, виміряйте довжину нитки, вона і дорівнюватиме периметру даної фігури. Обов'язково слідкуйте за тим, щоб нитка максимально точно повторювала лінію для більшої точності результату.

Периметр складної геометричної фігури вимірюйте роликовим далекоміром (курвіметром). Для цього лінії не намічається точка, в яку встановлюється ролик далекоміра і прокочується по ній, до повернення у вихідну точку. Дистанція, виміряна роликовим далекоміром, і дорівнюватиме периметру фігури.

Периметр деяких геометричних фігур обчислюйте. Наприклад, щоб знайти периметр будь-якого правильного багатокутника (опуклого багатокутника, сторони якого), довжину сторони помножте на кількість кутів або сторін (вони рівні). Щоб знайти периметр правильного трикутника зі стороною 4 см, помножте це на 3 (Р=4∙3=12 см).

Щоб знайти периметр , складіть довжини всіх сторін. Якщо не дано всі сторони, а є кути ними, знайдіть їх за теоремою синуса чи косинуса. Якщо відомі дві сторони прямокутного трикутника, третю знайдіть теорему Піфагора і знайдіть їх суму. Наприклад, якщо відомо, що катети прямокутного трикутника дорівнюють 3 і 4 см, то гіпотенуза дорівнюватиме √(3²+4²)=5 см. Тоді периметр Р=3+4+5=12 см.

Джерела:

• периметру

Для вирішення цього завдання методами векторної алгебри вам необхідно знати такі поняття: геометрична векторна сума і скалярний добуток векторів, а також слід пам'ятати властивість суми внутрішніх кутів чотирикутника.

Вам знадобиться

• - папір;
• - ручка;
• - Лінійка.

Інструкція

Вектор – це спрямований відрізок, тобто величина, що вважається заданою повністю, якщо задана його довжина та напрям (кут) до заданої осі. Положення вектора більше не обмежене. Рівними вважаються два вектори, що мають довжини та один напрямок. Тому при використанні координат вектори зображують радіус-векторами точок його кінця (початок координат).

За визначенням: результуючим вектором геометричної суми векторів називається вектор, що виходить з початку першого і має кінець другого, за умови, що кінець першого поєднаний з початком другого. Це можна продовжувати і далі, будуючи ланцюжок аналогічно розташованих векторів.
Зобразіть заданий ABCD векторами a, b, c та d у рис. 1. Очевидно, що при такому розташуванні результуючий вектор d=a+b+c.

Скалярне твір у разі зручніше з урахуванням векторів a і d. Скалярне твір, що позначається (a, d) = | a | | d | cosф1. Тут ф1 – кут між векторами a та d.
Скалярний добуток векторів, заданих координатами, визначається такими:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, тоді
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

Основні поняття векторної алгебри у прив'язці до поставленої задачі, призводять до того, що для однозначної постановки цієї достатньо завдання трьох векторів, розташованих, допустимо, на AB, BC і CD, тобто a, b, c. Можна звичайно відразу задати точок A, B, C, D, але цей спосіб є надлишковим (4 параметри замість 3-х).

приклад. Чотирикутник ABCD заданий векторами сторін AB, BC, CD a(1,0), b(1,1), c(-1,2). Знайти кути між його сторонами.
Рішення. У зв'язку з викладеним вище, 4-й вектор (для AD)
d(dx,dy)=a+b+c=(ax+bx+cx, ay+by+cy)=(1,3). Дотримуючись методики обчислення кута між векторами
cosф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2))=1/sqrt(10), ф1=arcos(1/sqrt(10)).
-cosф2=(axbx+ayby)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(bx^2+ by^2))=1/sqrt2, ф2=arcos(-1/sqrt2), ф2=3п/ 4.
-cosф3=(bxcx+bycy)/(sqrt(bx^2+ by^2)sqrt(cx^2+ cy^2))=1/(sqrt2sqrt5), ф3=arcos(-1/sqrt(10)) = п-ф1.
Відповідно до зауваження 2 - ф4=2п-ф1 - ф2-ф3=п/4.

Відео на тему

Зверніть увагу

Примітка 1. Визначення скалярного твору використовується кут між векторами. Тут, наприклад, ф2 - це кут між АВ та ВС, а між a та b цей кут п-ф2. сos (п-ф2) = - сosф2. Аналогічно ф3.
Зауваження 2. Відомо, що сума кутів чотирикутника дорівнює 2п. Тому ф4 = 2п-ф1 - ф2-ф3.

Будь-яка опукла і плоска геометрична фігура має лінію, що обмежує її внутрішній простір, - периметр. У багатокутників складається з окремих відрізків (сторон), сума довжин яких визначає протяжність периметра. Ділянка площини, обмежена цим периметром, теж може бути виражена через довжини сторін і кути у вершинах фігури. Нижче наведено відповідні формули одного з видів багатокутників - паралелограма.

Інструкція

Якщо завдання дано довжини двох суміжних сторін паралелограма (a і b) і величина кута між ними (γ), то цього буде достатньо для обчислення обох параметрів. Для розрахунку периметра (P) чотирикутника складіть довжини сторін і вдвічі збільште отримане значення: P = 2*(a+b). Обчислювати (S) фігури доведеться за допомогою тригонометричної функції – синуса. Перемножте довжини сторін, а результат помножте на відомий кут: S = a*b*sin(γ).

Якщо відома довжина лише однієї зі сторін (a) паралелограма, але є дані про (h) і величину кута (α) в будь-якій з вершин, це дозволить і периметр (P) (S). Сума всіх кутів у кожному дорівнює 360°, а паралелограмі ті, що лежать у протилежних вершинах, однакові. Тому для знаходження величини кута, що залишився невідомим, відніміть від 180° величину відомого. Після цього розгляньте трикутник, складений з висоти і кута, що лежить навпроти нього, величини яких відомі, а також невідомої поки сторони. Застосуйте до нього теорему синусів, і з'ясуйте, що довжина сторони дорівнюватиме відношенню висоти до синуса кута, що лежить навпроти неї: h/sin(α).

Після проведення попередніх розрахунків попереднього кроку складіть потрібні. Підставте отриманий вираз у формулу з першого кроку та отримайте рівність: P = 2*(a+h/sin(α)). Якщо висота з'єднує дві протилежні сторони паралелограма, довжина яких дана у вихідних умовах, для знаходження площі просто перемножте ці два значення: S=a*h. Якщо ж цієї умови не дотримано, то підставте у формулу вираз для іншої сторони, отриманий у попередньому кроці: S=a*h/sin(α).

Відео на тему

Серед основних завдань аналітичної геометрії першому місці стоїть уявлення геометричних нерівністю, рівнянням чи системою тих чи інших. Це можливо завдяки застосуванню координат. Досвідчений математик, тільки глянувши на рівняння, легко скаже, яку геометричну фігуру можна накреслити.

Інструкція

Рівнянням F (x, y) можна задати криву або пряму лінію під час виконання двох умов: якщо координати точки, яка не належить заданій лінії, не задовольняють рівняння; якщо кожна точка шуканої лінії з координатами відповідає цьому рівнянню.

Рівняння виду x+√(y(2r-y))=r arccos (r-y)/r задає в декартових координатах циклоїду – траєкторію, яка описується точкою на колі з радіусом r. При цьому коло не по осі абсцис, а котиться. Яка при цьому виходить фігура, дивіться малюнку 1.

Фігура, координати точок якої задаються такими рівняннями:
x=(R+r) cosφ - rcos (R+r)/r φ
y=(R+r) sinφ - rsin (R-r)/r φ,
називається епіциклоїдою. Вона є траєкторією, яку описує точка на колі з радіусом r. Це коло котиться по іншому колу, що має радіус R, із зовнішнього боку. Те, епіциклоїда, дивіться малюнку 2.

Периметр - один із математичних, а точніше - геометричних термінів, застосовується в основному для обчислення сторін фігури.

З нашої статті ви дізнаєтеся, що таке периметр і як він вимірюється з прикладу основних геометричних фігур.

Визначення периметра

Периметром називають загальну довжину всіх сторін або кола тієї чи іншої фігури. Позначається периметр великою літерою «Р», а вимірювати його можна в різних одиницях довжини, таких як міліметри (мм), сантиметри (см), метри (м) тощо. Для різних фігур існують різні формули для знаходження периметра. Нижче ми наведемо кілька прикладів, як дізнатися периметр прямокутника і деяких інших фігур.

Вимірюємо периметр

Якщо вам необхідно дізнатися периметр у складної фігури (до таких фігур можна віднести фігури з нерівними лініями), то вам знадобиться мотузка або нитка. За допомогою цих речей необхідно описати точний контур фігури, а щоб не заплутатися, ви можете на мотузці зробити позначки олівцем. Або ж можна просто її обрізати, а потім додати всі частини до лінійки. Таким чином, ви дізнаєтеся, чому дорівнює периметр практично у будь-якої складної фігури.

Існує ще один пристрій для обчислення периметра у складних фігур: його називають курвіметр (роликовий далекомір). З його допомогою вам потрібно встановити ролик у будь-яку точку фігури та описати роликом контур фігури. Отримане число і дорівнюватиме периметру. Про знаходження периметра в інших геометричних фігур ви зможете дізнатися з нашої статті. А ми розповімо ще про кілька способів зміни периметра для різних фігур.

Коло, квадрат, рівносторонній трикутник

Давайте також розглянемо, як дізнатися про периметр кола. Це досить просто: достатньо лише визначити довжину кола, а зробити це можна, помноживши радіус «r» на число π≈3,14 і потім на 2 (P=L=2∙π∙r).

На цьому занятті ми познайомимося з новим поняттям – периметр прямокутника. Ми сформулюємо визначення цього поняття, виведемо формулу щодо його обчислення. Також повторимо сполучний закон складання та розподільчий закон множення.

На цьому уроці ми познайомимося з периметром прямокутника та його обчисленням.

Розглянемо наступну геометричну фігуру (рис. 1):

Мал. 1. Прямокутник

Ця фігура - прямокутник. Згадаймо, які відмінні риси прямокутника ми знаємо.

Прямокутник - це чотирикутник, у якого чотири прямі кути і сторони попарно рівні.

Що у нашому житті може мати прямокутну форму? Наприклад, книга, кришка столу чи земельна ділянка.

Розглянемо таке завдання:

Завдання 1 (рис. 2)

Навколо земельної ділянки будівельникам довелося поставити паркан. Ширина цієї ділянки – 5 метрів, довжина – 10 метрів. Паркан якої довжини вийде у будівельників?

Мал. 2. Ілюстрація до завдання 1

Паркан ставлять по межах ділянки, тому, щоб дізнатися довжину огорожі, потрібно знати довжину кожної із сторін. У прямокутника сторони рівні: 5 метрів, 10 метрів, 5 метрів, 10 метрів. Складемо вираз для підрахунку довжини огорожі: 5+10+5+10. Скористаємося переміщувальним законом додавання: 5+10+5+10=5+5+10+10. У цьому виразі є суми однакових доданків (5+5 та 10+10). Замінимо суми однакових доданків творами: 5+5+10+10=5·2+10·2. Тепер скористаємося розподільчим законом множення щодо додавання: 5·2+10·2=(5+10)·2.

Знайдемо значення виразу (5+10)·2. Спочатку виконуємо дію у дужках: 5+10=15. А потім повторюємо число 15 двічі: 15 · 2 = 30.

Відповідь: 30 метрів.

Периметр прямокутника- Сума довжин всіх його сторін. Формула для підрахунку периметра прямокутника: , тут a – довжина прямокутника, а b – ширина прямокутника. Сума довжини та ширини називається напівпериметром. Щоб із напівпериметра отримати периметр, потрібно його збільшити у 2 рази, тобто помножити на 2 рази.

Скористаємося формулою периметра прямокутника і знайдемо периметр прямокутника зі сторонами 7 см і 3 см: (7+3) 2=20 (см).

Периметр будь-якої фігури вимірюється у лінійних одиницях.

На цьому уроці ми познайомилися з периметром прямокутника та формулою його обчислення.

Добуток числа та суми чисел дорівнює сумі творів даного числа та кожного із доданків.

Якщо периметр – це сума довжин усіх сторін фігури, то напівпериметр – сума однієї довжини та однієї ширини. Ми знаходимо напівпериметр, коли працюємо за формулою знаходження периметра прямокутника (коли ми виконуємо першу дію в дужках - (a+b)).

Список літератури

1. Александрова Е.І. Математика. 2 клас. - М: Дрофа, 2004.
2. Башмаков М.І., Нефьодова М.Г. Математика. 2 клас. - М: Астрель, 2006.
3. Дорофєєв Г.В., Міракова Т.І. Математика. 2 клас. - М: Просвітництво, 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Nsportal.ru().
3. Math-prosto.ru().

Домашнє завдання

1. Знайти периметр прямокутника, який має довжину 13 метрів, а ширину - 7 метрів.
2. Знайти напівпериметр прямокутника, якщо його довжина – 8 см, а ширина – 4 см.
3. Знайти периметр прямокутника, якщо його напівпериметр – 21 дм.