Середнє арифметичне крайніх цифр. Як знайти середнє арифметичне та середнє геометричне чисел

) та вибіркове середнє (вибірки).

Енциклопедичний YouTube

• 1 / 5

  Позначимо безліч даних X = (x 1 , x 2 , …, x n), тоді вибіркове середнє зазвичай позначається горизонтальною межею над змінною (, вимовляється « xз межею»).

  Для позначення середнього арифметичного всієї сукупності використовується грецька буква . Для випадкової, величини , для якої визначено середнє значення, μ є імовірнісне середнєабо математичне очікування випадкової величини. Якщо безліч Xє сукупністю випадкових чисел з імовірнісним середнім μ, тоді для будь-якої вибірки x iіз цієї сукупності μ = E( x i) є математичне очікування цієї вибірки.

  На практиці різниця між μ та x ¯ (\displaystyle (\bar(x)))у тому, що μ є типовою змінною, тому що бачити якнайшвидше вибірку, а не всю генеральну сукупність. Тому, якщо вибірку подавати випадковим чином (у термінах теорії ймовірностей), тоді x ¯ (\displaystyle (\bar(x)))(але не μ) можна трактувати як випадкову, змінну , що має розподіл ймовірностей на вибірці (імовірнісний розподіл середнього).

  Обидві ці величини обчислюються тим самим способом:

  x = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+cdots +x_(n)).)

  Приклади

  • Для трьох чисел необхідно скласти їх і поділити на 3:
  x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)
  • Для чотирьох чисел необхідно скласти їх і поділити на 4:
  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

  Або простіше 5+5=10, 10:2. Тому що ми складали 2 числа, отже, скільки чисел складаємо, на стільки й ділимо.

  Безперервна випадкова величина

  f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

  Деякі проблеми застосування середнього

  Відсутність боязкості

  Хоча середнє арифметичне часто використовується як середні значення або центральні тенденції, це поняття не відноситься до робастної статистики, що означає, що середнє арифметичне піддається сильному впливу «великих відхилень». Примітно, що для розподілів з великим коефіцієнтом асиметрії середнє арифметичне може не відповідати поняттю «середнього», а значення середнього з робастної статистики (наприклад, медіана) може краще описувати центральну тенденцію.

  Класичним прикладом є підрахунок середнього прибутку. Арифметичне середнє може бути неправильно витлумачено як медіану, через що може бути зроблено висновок, що людей з більшим доходом більше, ніж насправді. "Середній" дохід тлумачиться таким чином, що доходи більшості людей знаходяться поблизу цього числа. Цей «середній» (себто середнього арифметичного) дохід є вищим, ніж доходи більшості людей, оскільки високий дохід з великим відхиленням від середнього робить сильний перекіс середнього арифметичного (на відміну від цього, середній дохід за медіаною «опирається» такому перекосу). Проте цей «середній» дохід нічого не говорить про кількість людей поблизу медіанного доходу (і не говорить нічого про кількість людей поблизу модального доходу). Проте, якщо легковажно поставитися до понять «середнього» і «більшість народу», можна зробити невірний висновок про те, що більшість людей мають доходи вищі, ніж вони є насправді. Наприклад, звіт про «середній» чистий доход у Медіні, штат Вашингтон, підрахований як середнє арифметичне всіх щорічних чистих доходів жителів, на подив велике число через Білла Гейтса. Розглянемо вибірку (1, 2, 2, 2, 3, 9). Середнє арифметичне дорівнює 3.17, але п'ять значень із шести нижче цього середнього.

  Складний відсоток

  Якщо числа перемножувати, а не складати, потрібно використовувати середнє геометричне , а не середнє арифметичне. Найчастіше цей казус трапляється з розрахунку окупності інвестицій у фінансах.

  Наприклад, якщо акції першого року впали на 10 %, а другий рік зросли на 30 %, тоді некоректно обчислювати «середнє» збільшення ці два роки як середнє арифметичне (−10 % + 30 %) / 2 = 10 %; правильне середнє значення у разі дають сукупні щорічні темпи зростання, якими річне зростання виходить лише близько 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

  Причина цього в тому, що відсотки мають щоразу нову стартову точку: 30% – це 30% від меншого, ніж ціна на початку першого року, числа:якщо акції спочатку коштували $30 і впали на 10 %, вони на початку другого року коштують $27. Якщо акції зросли на 30%, вони наприкінці другого року коштують $35.1. Арифметичне середнє цього зростання 10%, але оскільки акції зросли за 2 роки лише на $5.1, середнє зростання у 8,2% дає кінцевий результат $35.1:

  [$30 (1 – 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. Якщо ж використовувати так само середнє арифметичне значення 10 %, ми отримаємо фактичне значення: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

  Складний відсоток наприкінці 2 року: 90% * 130% = 117%, тобто загальний приріст 17%, а середньорічний складний відсоток 117 % ≈ 108.2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%))\approx 108.2\%), тобто середньорічний приріст 8,2%. Це число невірно з двох причин.

  Середнє значення для циклічної змінної, розраховане за наведеною формулою, буде штучно зрушено щодо справжнього середнього до середини числового діапазону. Через це середнє розраховується іншим способом, а саме, як середнє значення вибирається число з найменшою дисперсією (центральна точка). Також замість віднімання використовується модульна відстань (тобто відстань по колу). Наприклад, модульна відстань між 1° і 359° дорівнює 2°, а не 358° (на колі між 359° і 360°==0° - один градус, між 0° та 1° - теж 1°, у сумі - 2° °).

  Для того, щоб знайти середнє значення в Excel (при тому неважливо числове, текстове, відсоткове або інше значення) існує багато функцій. І кожна з них має свої особливості та переваги. Адже у цій задачі може бути поставлені певні умови.

  Наприклад, середні значення ряду чисел у Excel вважають за допомогою статистичних функцій. Можна також вручну ввести власну формулу. Розглянемо різні варіанти.

  Як знайти середнє арифметичне чисел?

  Щоб знайти середнє арифметичне, необхідно скласти всі числа у наборі та поділити суму на кількість. Наприклад, оцінки школяра з інформатики: 3, 4, 3, 5, 5. Що виходить за чверть: 4. Ми знайшли середнє арифметичне за такою формулою: =(3+4+3+5+5)/5.

  Як це швидко зробити за допомогою функції Excel? Візьмемо для прикладу ряд випадкових чисел у рядку:

  

  Або: зробимо активним осередок і просто вручну впишемо формулу: = СРЗНАЧ(A1:A8).

  Тепер подивимося, що ще вміє функція СРЗНАЧ.

  
  

  Знайдемо середнє арифметичне двох перших та трьох останніх чисел. Формула: = СРЗНАЧ (A1: B1; F1: H1). Результат:

  

  Середнє значення за умовою

  Умовою перебування середнього арифметичного може бути числової критерій чи текстовий. Будемо використовувати функцію: =ДІЙСНО().

  Знайти середнє арифметичне чисел, які більші або рівні 10.

  Функція: =ЗНАЧАЛИ(A1:A8;">=10")

  
  Результат використання функції РОЗНАЧАЛИ за умовою ">=10":

  Третій аргумент - "Діапазон усереднення" - опущений. По-перше, він не обов'язковий. По-друге, аналізований програмою діапазон містить ТІЛЬКИ числові значення. У осередках, зазначених у першому аргументі, і буде здійснюватися пошук за прописаною умовою в другому аргументі.

  Увага! Критерій пошуку можна вказати в осередку. А у формулі зробити на неї посилання.

  Знайдемо середнє значення чисел за текстовим критерієм. Наприклад, середній продаж товару «столи».

  

  Функція буде виглядати так: =ЗНАЧАЛЬНІ($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Діапазон – стовпець із найменуваннями товарів. Критерій пошуку - посилання на комірку зі словом "столи" (можна замість посилання A7 вставити саме слово "столи"). Діапазон усереднення – ті осередки, у тому числі братимуться дані до розрахунку середнього значення.

  В результаті обчислення функції отримуємо таке значення:

  

  Увага! Для текстового критерію (умови) діапазон усереднення вказувати обов'язково.

  Як порахувати середньозважену ціну в Excel?

  

  Як ми дізналися середньозважену ціну?

  Формула: = СУМПРОВИЗВ (C2: C12; B2: B12) / СУМ (C2: C12).

  
  

  З допомогою формули СУММПРОИЗВ ми дізнаємося загальну виручку після реалізації кількості товару. А функція СУММ - сумує кількість товару. Поділивши загальний виторг від реалізації товару на загальну кількість одиниць товару, ми знайшли середньозважену ціну. Цей показник враховує «вага» кожної ціни. Її частку у загальній масі значень.

  Середнє квадратичне відхилення: формула в Excel

  Розрізняють середньоквадратичне відхилення за генеральною сукупністю та вибіркою. У першому випадку це корінь із генеральної дисперсії. У другому – із вибіркової дисперсії.

  Для розрахунку цього статистичного показника складається формула дисперсії. З неї витягується корінь. Але в Excel існує готова функція для знаходження середньоквадратичного відхилення.

  
  

  Середньоквадратичне відхилення має прив'язку масштабу вихідних даних. Для образного ставлення до варіації аналізованого діапазону цього недостатньо. Щоб отримати відносний рівень розкиду даних, розраховується коефіцієнт варіації:

  середньоквадратичне відхилення / середнє арифметичне значення

  Формула в Excel виглядає так:

  СТАНДОТКЛОНП (діапазон значень)/СРЗНАЧ (діапазон значень).

  Коефіцієнт варіації вважається у відсотках. Тому в осередку встановлюємо відсотковий формат.

  Під поняттям середнього арифметичного чисел мається на увазі результат нескладної послідовності розрахунків середньої величини ряду чисел, визначених заздалегідь. Слід зазначити, що таке значення зараз широко застосовується фахівцями низки галузей. Наприклад, відомі формули під час проведення розрахунків економістами чи працівниками статистичної галузі, де потрібно мати значення такого типу. Крім цього, цей показник активно використовують і в інших галузях, які є суміжними з вищевказаними.

  Однією з особливостей розрахунків цього значення є простота процедури. Провести розрахункизможе будь-хто. Для цього не треба мати спеціальну освіту. Часто немає необхідності застосовувати обчислювальну техніку.

  Як відповідь на питання як знайти середнє арифметичне розглянемо низку ситуацій.

  Найпростішим варіантом розрахунку цієї величини є підрахунок її двох чисел. Процедура проведення розрахунку у разі є дуже простой:

  1. Спочатку потрібно провести операцію складання вибраних чисел. Це часто можна зробити, як-то кажуть, вручну, не використовуючи електронну техніку.
  2. Після того як додавання зроблено і отримано його результат необхідно зробити поділ. Ця операція передбачає поділ суми двох складених чисел на два – кількість складених чисел. Саме така дія дозволить отримати необхідну величину.

  Формула

  Таким чином, формула для підрахунку необхідної величини у випадку з двома буде виглядати так:

  (А+В)/2

  У цій формулі застосовується таке позначення:

  А і В – це заздалегідь обрані числа, котрим необхідно знаходити значення.

  Знаходження значення для трьох

  Проведення розрахунку даної величини в ситуації, коли вибрано три числа, не сильно відрізнятиметься від попереднього варіанту:

  1. І тому слід вибрати числа, необхідних розрахунку, і скласти їх задля отримання загальної суми.
  2. Після того, як ця сума трьох буде знайдена, потрібно знову зробити процедуру поділу. При цьому отриману суму треба розділити вже на три, що відповідає кількості вибраних чисел.

  Формула

  Тим самим формула, необхідна при проведенні розрахунків арифметичного трьох, виглядатиме так:

  (А+В+С)/3

  У цій формуліприйнято таке позначення:

  А, В та С – це числа, до яких необхідно буде знаходити середнє арифметичне.

  Обчислення середнього арифметичного чотирьох

  Як уже видно за аналогією з попередніми варіантами обчислення даного значення для кількості, що дорівнює чотирьом, буде мати такий порядок:

  1. Вибираються чотири цифри, котрим треба обчислити середнє арифметичне значення. Далі проводиться підсумовування та знаходження кінцевого результату цієї процедури.
  2. Тепер, щоб отримати остаточний результат, слід взяти отриману суму чотирьох і поділити її на чотири. Отримані дані та будуть необхідним значенням.

  Формула

  З описаної вище послідовності дій щодо знаходження середнього арифметичного для чотирьох можна отримати таку формулу:

  (А+В+З+Є)/4

  У цій формулізмінні мають таке значення:

  А, В, С та Е – це ті, до яких необхідно знайти значення середнього арифметичного.

  Застосовуючи цю формулу, можна буде обчислювати необхідне значення для даної кількості чисел.

  Підрахунок середнього арифметичного п'яти

  Виконання цієї операції вимагатиме проведення певного алгоритму дій.

  1. Насамперед, треба вибрати п'ять чисел, котрим буде проходити обчислення середнього арифметичного. Після цього підбору ці числа, як і в попередніх випадках, потрібно просто скласти і отримати кінцеву суму.
  2. Отриману суму треба буде поділити за їх кількістю на п'ять, що дозволить отримати необхідне значення.

  Формула

  Тим самим аналогічно з раніше розглянутими варіантами отримуємо таку формулу для підрахунку середнього арифметичного:

  (А+В+З+Е+Р)/5

  У цій формулі змінні мають таке позначення:

  А, В, С, Е та Р – це числа, для яких необхідно отримати середнє арифметичне.

  

  Універсальна формула обчислення

  Проводячи розгляд різних варіантів формул для обчислення середнього арифметичного, можна звернути увагу, що вони мають загальна закономірність.

  Тому практичніше застосовуватиме загальну формулу для знаходження середнього арифметичного. Адже бувають ситуації, коли кількість та величина розрахунків може бути дуже великою. Тому розумніше використовувати універсальну формулу і виводити щоразу індивідуальну технологію для розрахунку цієї величини.

  

  Головним щодо формули є принцип розрахунку середнього арифметичногоо.

  Цей принцип, як було видно з наведених прикладів, виглядає таким чином:

  1. Здійснюється підрахунок кількості чисел, які задані для отримання необхідного значення. Ця операція може бути проведена як вручну за невеликої кількості чисел, так і за допомогою обчислювальної техніки.
  2. Проводиться підсумовування вибраних чисел. Ця операція у більшості ситуацій виконується за допомогою обчислювальної техніки, оскільки числа можуть складатися з двох, трьох і більше цифр.
  3. Сума, отримана в результаті складання вибраних чисел, повинна бути поділена на їх кількість. Ця величина визначається на початковому етапі розрахунку середнього арифметичного.

  Таким чином, загальна формула для розрахунку середнього арифметичного ряду підібраних чисел буде виглядати так:

  (А+В+…+N)/N

  Ця формула міститьнаступні змінні:

  А і В – це числа, які заздалегідь обрані для розрахунку їх середнього арифметичного.

  N - це кількість чисел, які були взяті з метою проведення розрахунку необхідного значення.

  Підставляючи щоразу в цю формулу вибрані числа, ми завжди зможемо отримати необхідне значення середнього арифметичного.

  

  Як видно, знаходження середнього арифметичногоє простою процедурою. Однак треба уважно ставитися до обчислень, що проводяться, і проводити перевірку отриманого результату. Такий підхід пояснюється тим, що навіть у найпростіших ситуаціях існує можливість отримання помилки, яка може вплинути потім на подальші розрахунки. У зв'язку з цим рекомендується застосовувати обчислювальну техніку, яка може зробити підрахунки будь-якої складності.

  Що таке середнє арифметичне

  Середнім арифметичним кількох величин є відношення суми цих величин до їхньої кількості.

  Середнє арифметичне певного ряду чисел називається сума всіх цих чисел, поділена на кількість доданків. Таким чином, середнє арифметичне є середнім значенням числового ряду.

  Чому дорівнює середнє арифметичне кількох чисел? А одно вони сумі цих чисел, яка поділена на кількість доданків у цій сумі.

  Як знайти середнє арифметичне число

  У обчисленні чи знаходженні середнього арифметичного кількох чисел немає нічого складного, достатньо скласти всі представлені числа, а отриману суму розділити на кількість доданків. Отриманий результат і буде середнім арифметичним цих чисел.

  
  

  Розглянемо цей процес докладніше. Що ж нам потрібно зробити для обчислення середнього арифметичного та отримання кінцевого результату цього числа?

  По-перше, для його обчислення потрібно визначити набір чисел чи їх кількість. У цей набір можуть входити великі і невеликі числа, і їх кількість може бути будь-яким.

  По-друге, всі ці числа потрібно скласти та отримати їхню суму. Звичайно, якщо числа нескладні та їх невелика кількість, то обчислення можна зробити, записавши від руки. А якщо набір чисел вражаючий, то краще скористатися калькулятором або електронною таблицею.

  І, по-четверте, отриману від складання суму необхідно поділити на кількість чисел. У результаті ми отримаємо результат, який буде середнім арифметичним числом цього ряду.

  
  
  

  Для чого потрібне середнє арифметичне

  Середнє арифметичне може стати в нагоді не тільки для вирішення прикладів і завдань на уроках математики, але для інших цілей, необхідних у повсякденному житті людини. Такими цілями може бути підрахунок середнього арифметичного для розрахунку середньої витрати фінансів на місяць, або для підрахунку часу, який ви витрачаєте на дорогу, також для того, щоб дізнатися відвідуваність, продуктивність, швидкість руху, врожайність та багато іншого.

  Так, наприклад, спробуємо розрахувати, скільки часу ви витрачаєте на дорогу до школи. Йдучи до школи або повертаючись, додому ви щоразу витрачаєте на дорогу різний час, тому що коли ви поспішаєте, ви йдете швидше, і тому дорога займає менше часу. А ось, повертаючись, додому ви можете йти поспішаючи, спілкуючись із однокласниками, милуючись природою і тому часу на дорогу займе більше.

  Тому точно визначити час, витрачений на дорогу у вас не вийти, але завдяки середньому арифметичному ви зможете приблизно дізнатися час, який ви витрачаєте на дорогу.

  Припустимо, що в перший день після вихідних, ви витратили на шлях від дому до школи п'ятнадцять хвилин, на другий день ваш шлях зайняв двадцять хвилин, у середу ви пройшли відстань за двадцять п'ять хвилин, за такий же час склав ваш шлях і в четвер, а в п'ятницю ви нікуди не поспішали і поверталися цілу півгодини.

  Давайте знайдемо середнє арифметичне, додавши час, за п'ять днів. Отже,

  15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115

  Тепер розділимо цю суму на кількість днів

  Завдяки такому способу ви дізналися, що шлях від дому до школи приблизно витрачаєте двадцять три хвилини свого часу.

  Домашнє завдання

  1.Шляхом нехитрих обчислень знайдіть середню арифметичну кількість відвідуваності учнів вашого класу протягом тижня.

  2. Знайдіть середнє арифметичне:

  
  
  

  3. Розв'яжіть задачу:

  
  
  

  Троє дітей пішли до лісу за ягодами. Старша дочка знайшла 18 ягід, середня – 15, а молодший брат – 3 ягоди (див. рис. 1). Принесли ягоди мамі, яка вирішила поділити ягоди порівну. Скільки ягід отримав кожен із дітей?

  Мал. 1. Ілюстрація до завдання

  Рішення

  (яг.) – всього зібрали діти

  2) Розділимо загальну кількість ягід на кількість дітей:

  (яг.) дісталося кожній дитині

  Відповідь: кожна дитина отримає по 12 ягід

  У задачі 1 отримане відповіді число - це середнє арифметичне.

  Середнім арифметичнимкількох чисел називається частка від поділу суми цих чисел на їх кількість.

  Приклад 1

  Ми маємо два числа: 10 і 12. Знайти їхнє середнє арифметичне.

  Рішення

  1) Визначимо суму цих чисел: .

  2) Кількість цих чисел дорівнює 2, отже, середнє арифметичне цих чисел дорівнює: .

  Відповідь: середнє арифметичне чисел 10 і 12 - це число 11

  Приклад 2

  Ми маємо п'ять чисел: 1, 2, 3, 4 та 5. Знайти їх середнє арифметичне.

  Рішення

  1) Сума цих чисел дорівнює: .

  2) За визначенням середнє арифметичне - це окреме від поділу суми чисел з їхньої кількість. Ми маємо п'ять чисел, тому середнє арифметичне дорівнює:

  Відповідь: середнє арифметичне даних за умови чисел дорівнює 3.

  Крім того, що його постійно пропонують знайти на уроках, знаходження середнього арифметичного дуже корисне і у повсякденному житті. Наприклад, припустимо, що ми хочемо поїхати на відпочинок до Греції. Для вибору відповідного одягу ми дивимося, яка температура в цій країні зараз. Однак ми не дізнаємось про загальну картину погоди. Тому необхідно дізнатися температуру повітря в Греції, наприклад, за тиждень, і знайти середнє арифметичне цих температур.

  Приклад 3

  Температура у Греції за тиждень: понеділок – ; вівторок -; середовище -; четвер -; п'ятниця -; субота -; неділя - . Порахувати середню температуру протягом тижня.

  Рішення

  1) Обчислимо суму температур: .

  2) Розділимо отриману суму кількість днів: .

  Відповідь: середня температура протягом тижня близько .

  Вміння знаходити середнє арифметичне також може знадобитися для визначення середнього віку гравців футбольної команди, тобто для того, щоб встановити, досвідчена команда чи ні. Необхідно підсумувати вік усіх гравців і поділити їх кількість.

  Завдання 2

  Купець продавав яблука. Спершу він продавав їх за ціною 85 рублів за 1 кг. Так він продав 12 кг. Потім він знизив ціну до 65 рублів і продав 4 кг яблук, що залишилися. Якою була середня ціна за яблука?

  Рішення

  1) Порахуємо, скільки грошей заробив купець. 12 кілограм він продав за ціною 85 рублів за 1 кг: (Руб.).

  4 кілограми він продав за ціною 65 рублів за 1 кг: (руб.).

  Отже, загальна сума зароблених грошей дорівнює: (Руб.).

  2) Загальна вага проданих яблук дорівнює: .

  3) Розділимо отриману суму грошей на загальну вагу проданих яблук та отримаємо середню ціну за 1 кг яблук: (руб.).

  Відповідь: середня ціна 1 кг проданих яблук - 80 рублів.

  Середнє арифметичне допомагає оцінити дані загалом, не беручи кожне значення окремо.

  Однак не завжди можна користуватися поняттям середнє арифметичне.

  Приклад 4

  Стрілець зробив два постріли по мішені (див. рис. 2): вперше він потрапив на метр вище мішені, а вдруге - на метр нижче. Середнє арифметичне покаже, що він потрапив точно в центр, хоча він промахнувся обидва рази.

  

  Мал. 2. Ілюстрація наприклад

  На цьому уроці ми познайомилися із поняттям середнє арифметичне. Ми дізналися визначення цього поняття, навчилися обчислювати середнє арифметичне кількох чисел. Також ми дізналися практичне застосування цього поняття.

  1. Н.Я. Віленкін. Математика: навч. для 5 кл. загальнообр. учр. - Вид. 17-те. - М.: Мнемозіна, 2005.
  )
  2. У Ігоря було із собою 45 рублів, у Андрія – 28, а у Дениса – 17.
  3. На всі свої гроші вони купили 3 квитки у кіно. Скільки коштував один квиток?