Какво е обратна пропорция? Прави и обратнопропорционални зависимости

Двете величини се наричат право-пропорционален, ако когато едното от тях се увеличи няколко пъти, другото се увеличи със същото количество. Съответно, когато единият от тях намалее няколко пъти, другият намалява със същото количество.

Връзката между тези количества е правопропорционална. Примери за пряка пропорционална зависимост:

1) при постоянна скорост изминатото разстояние е право пропорционално на времето;

2) периметърът на квадрат и неговата страна са правопропорционални величини;

3) цената на продукт, закупен на една цена, е пряко пропорционална на неговото количество.

За да разграничите пряка пропорционална връзка от обратна, можете да използвате поговорката: „Колкото по-навътре в гората, толкова повече дърва за огрев“.

Удобно е да се решават задачи, включващи правопропорционални количества, като се използват пропорции.

1) За да направите 10 части са ви необходими 3,5 кг метал. Колко метал ще отиде за направата на 12 от тези части?

(Разсъждаваме така:

1. В попълнената колона поставете стрелка в посока от най-голямото число към най-малкото.

2. Колкото повече части, толкова повече метал е необходим за направата им. Това означава, че това е правопропорционална зависимост.

Нека са необходими x kg метал, за да се направят 12 части. Съставяме пропорцията (в посока от началото на стрелката към нейния край):

12:10=х:3,5

За да намерите, трябва да разделите произведението на екстремните членове на известния среден член:

Това означава, че ще са необходими 4,2 кг метал.

Отговор: 4,2 кг.

2) За 15 метра плат те платиха 1680 рубли. Колко струват 12 метра такъв плат?

(1. В попълнената колона поставете стрелка в посока от най-голямото число към най-малкото.

2. Колкото по-малко плат купувате, толкова по-малко трябва да платите за него. Това означава, че това е правопропорционална зависимост.

3. Следователно втората стрелка е в същата посока като първата).

Нека х рубли струват 12 метра плат. Правим пропорция (от началото на стрелката до нейния край):

15:12=1680:x

За да намерите неизвестния екстремен член на пропорцията, разделете произведението на средните членове на известния екстремен член на пропорцията:

Това означава, че 12 метра струват 1344 рубли.

Отговор: 1344 рубли.

Типове зависимости

Нека да разгледаме зареждането на батерията. Като първо количество, нека вземем времето, необходимо за зареждане. Втората стойност е времето, през което ще работи след зареждане. Колкото по-дълго зареждате батерията, толкова по-дълго ще издържи. Процесът ще продължи, докато батерията се зареди напълно.

Зависимост на времето за работа на батерията от времето на зареждане

Бележка 1

Тази зависимост се нарича прав:

С нарастването на една стойност нараства и втората. Когато една стойност намалява, втората стойност също намалява.

Нека да разгледаме друг пример.

Колкото повече книги прочете един ученик, толкова по-малко грешки ще направи в диктовката. Или колкото по-високо се издигнете в планината, толкова по-ниско ще бъде атмосферното налягане.

Бележка 2

Тази зависимост се нарича обратен:

Когато една стойност се увеличава, втората намалява. Когато една стойност намалява, втората стойност се увеличава.

Така, в случай пряка зависимости двете количества се променят еднакво (и двете се увеличават или намаляват), а в случая обратна зависимост– противоположни (единият се увеличава, а другият намалява, или обратното).

Определяне на зависимости между величини

Пример 1

Времето, необходимо за посещение на приятел, е $20$ минути. Ако скоростта (първата стойност) се увеличи с $2$ пъти, ще разберем как се променя времето (втора стойност), което ще бъде изразходвано за пътя до приятел.

Очевидно времето ще намалее с $2$ пъти.

Бележка 3

Тази зависимост се нарича пропорционален:

Колкото пъти се променя едно количество, толкова пъти се променя второто количество.

Пример 2

За $2$ хляб в магазина трябва да платите 80 рубли. Ако трябва да купите хляб за $4$ (количеството хляб се увеличава с $2$ пъти), колко пъти повече ще трябва да платите?

Очевидно цената също ще се увеличи $2$ пъти. Имаме пример за пропорционална зависимост.

И в двата примера са разгледани пропорционални зависимости. Но в примера с хляба количествата се променят в една посока, следователно зависимостта е прав. А в примера с отиването в къщата на приятел връзката между скоростта и времето е такава обратен. Така има правопропорционална връзкаИ обратно пропорционална връзка.

Пряка пропорционалност

Нека разгледаме пропорционалните количества $2$: броят на хлябовете и тяхната цена. Нека 2$ хляба струват 80$ рубли. Ако броят на кифлите се увеличи с $4$ пъти ($8$ кифли), общата им цена ще бъде $320$ рубли.

Съотношението на броя на кифлите: $\frac(8)(2)=4$.

Съотношение на разходите за хлебчета: $\frac(320)(80)=$4.

Както можете да видите, тези отношения са равни една на друга:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Определение 1

Равенството на две съотношения се нарича пропорция.

При пряко пропорционална зависимост се получава връзка, когато промяната на първото и второто количество съвпада:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Определение 2

Двете величини се наричат право-пропорционален, ако когато една от тях се промени (увеличи или намали), другата стойност също се промени (съответно се увеличи или намали) със същото количество.

Пример 3

Колата измина $180$ км за $2$ часа. Намерете времето, през което той ще измине $2$ пъти разстоянието със същата скорост.

Решение.

Времето е право пропорционално на разстоянието:

$t=\frac(S)(v)$.

Колко пъти ще се увеличи разстоянието, при постоянна скорост, с толкова ще се увеличи времето:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Колата измина $180$ км за $2$ часа

Колата ще измине $180 \cdot 2=360$ км - за $x$ часа

Колкото по-далеч пътува колата, толкова повече време ще отнеме. Следователно връзката между количествата е правопропорционална.

Да направим пропорция:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Отговор: Колата ще се нуждае от $4$ часа.

Обратна пропорционалност

Определение 3

Решение.

Времето е обратно пропорционално на скоростта:

$t=\frac(S)(v)$.

С колко пъти се увеличава скоростта, при един и същи път времето намалява със същото количество:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Нека запишем условието на задачата под формата на таблица:

Колата измина $60$ км - за $6$ часа

Колата ще измине $120$ км – за $x$ часа

Колкото по-бързо се движи колата, толкова по-малко време ще отнеме. Следователно връзката между количествата е обратно пропорционална.

Да направим пропорция.

защото пропорционалността е обратна, втората връзка в пропорцията е обратна:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Отговор: Колата ще се нуждае от $3$ часа.

Пример

Фактор на пропорционалност

Постоянна връзка на пропорционалните величини се нарича фактор на пропорционалност. Коефициентът на пропорционалност показва колко единици от една величина са на единица от друга.

Пряка пропорционалност

Пряка пропорционалност- функционална зависимост, при която определено количество зависи от друго количество по такъв начин, че съотношението им остава постоянно. С други думи, тези променливи се променят пропорционално, в равни части, тоест, ако аргументът се промени два пъти в която и да е посока, тогава функцията също се променя два пъти в същата посока.

Математически пряката пропорционалност се записва като формула:

f(х) = ах,а = ° СонсT

Обратна пропорционалност

Обратна пропорционалност- това е функционална зависимост, при която нарастването на независимата стойност (аргумент) предизвиква пропорционално намаляване на зависимата стойност (функция).

Математически обратната пропорционалност се записва като формула:

Свойства на функцията:

Източници

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е „Пряка пропорционалност“ в други речници:

пряка пропорционалност- - [A.S. Goldberg. Англо-руски енергиен речник. 2006] Енергийни теми като цяло EN директно отношение ... Ръководство за технически преводач

пряка пропорционалност- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. пряка пропорционалност вок. direkte Proportionalität, ф рус. пряка пропорционалност, f пранц. proportionality directe, f … Fizikos terminų žodynas

- (от лат. proportionalis пропорционален, пропорционален). Пропорционалност. Речник на чуждите думи, включени в руския език. Chudinov A.N., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ лат. proportionalis, пропорционален. Пропорционалност. Обяснение 25000... ... Речник на чуждите думи на руския език

ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ, съразмерност, мн.ч. не, женска (Книга). 1. абстрактно съществително до пропорционално. Пропорционалност на частите. Пропорционалност на тялото. 2. Такава връзка между количествата, когато те са пропорционални (вижте пропорционални ... Обяснителен речник на Ушаков

Две взаимно зависими величини се наричат ​​пропорционални, ако съотношението на техните стойности остава непроменено Съдържание 1 Пример 2 Коефициент на пропорционалност ... Wikipedia

ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ и, женски. 1. виж пропорционален. 2. В математиката: такава връзка между величините, при която увеличаването на едно от тях води до промяна на другото със същата стойност. Права линия (с разрез с увеличение на една стойност... ... Обяснителен речник на Ожегов

И; и. 1. до Пропорционално (1 стойност); пропорционалност. П. части. П. телосложение. П. представителство в парламента. 2. Математика. Зависимост между пропорционално изменящи се величини. Фактор на пропорционалност. Пряка линия (в която с... ... енциклопедичен речник

Основни цели:

• въведе понятието пряка и обратнопропорционална зависимост на величините;
• научите как да решавате проблеми, като използвате тези зависимости;
• насърчаване на развитието на умения за решаване на проблеми;
• консолидират умението за решаване на уравнения с помощта на пропорции;
• повторете стъпките с обикновени и десетични дроби;
• развиват логическото мислене на учениците.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

аз Самоопределение за дейност(Време за организиране)

- Момчета! Днес в урока ще се запознаем със задачи, решавани с помощта на пропорции.

II. Актуализиране на знанията и записване на затруднения в дейностите

2.1. Устна работа (3 минути)

– Намерете значението на изразите и разберете думата, криптирана в отговорите.

14 – s; 0,1 – и; 7 – l; 0,2 – а; 17 – в; 25 – до

– Получената дума е сила. Много добре!
– Мотото на днешния ни урок: Силата е в знанието! Търся - значи уча!
– Съставете пропорция от получените числа. (14:7 = 0,2:0,1 и т.н.)

2.2. Нека разгледаме връзката между количествата, които знаем (7 минути)

– разстоянието, изминато от автомобила при постоянна скорост, и времето на неговото движение: S = v t (с увеличаване на скоростта (времето), разстоянието се увеличава);
– скорост на превозното средство и време, прекарано в пътуването: v=S:t(с увеличаване на времето за изминаване на пътя скоростта намалява);
– цената на стоките, закупени на една цена и тяхното количество: C = a · n (с увеличение (намаление) на цената, покупната цена се увеличава (намалява));
– цена на продукта и неговото количество: a = C: n (с увеличаване на количеството цената намалява)
– площ на правоъгълника и неговата дължина (ширина): S = a · b (с увеличаване на дължината (ширината), площта се увеличава;
– дължина и ширина на правоъгълник: a = S: b (с увеличаване на дължината ширината намалява;
– броят на работниците, които извършват някаква работа със същата производителност на труда, и времето, необходимо за извършване на тази работа: t = A: n (с увеличаване на броя на работниците времето, изразходвано за извършване на работата, намалява) и т.н. .

Получихме зависимости, при които при няколкократно увеличение на едно количество друго веднага се увеличава със същото (примерите са показани със стрелки) и зависимости, при които при няколкократно увеличение на едно количество второто количество намалява с същия брой пъти.
Такива зависимости се наричат ​​пряка и обратна пропорционалност.
Право пропорционална зависимост– връзка, при която една стойност се увеличава (намалява) няколко пъти, втората стойност се увеличава (намалява) със същото количество.
Обратно пропорционална връзка– връзка, при която една стойност се увеличава (намалява) няколко пъти, втората стойност намалява (увеличава) със същото количество.

III. Поставяне на учебна задача

– Какъв проблем стои пред нас? (Научете се да правите разлика между пряка и обратна зависимост)
- Това - мишенанашият урок. Сега формулирайте темаурок. (Права и обратно пропорционална зависимост).
- Много добре! Запишете темата на урока в тетрадките си. (Учителят записва темата на дъската.)

IV. „Откриване“ на нови знания(10 минути)

Нека разгледаме задача No199.

1. Принтерът отпечатва 27 страници за 4,5 минути. Колко време ще отнеме отпечатването на 300 страници?

27 страници – 4,5 мин.
300 страници - х?

2. Кутията съдържа 48 опаковки чай по 250гр. Колко опаковки от 150 г от този чай ще получите?

48 опаковки – 250гр.
Х? – 150 гр.

3. Колата е изминала 310 км, изразходвайки 25 литра бензин. Колко може да измине кола с пълен резервоар от 40 литра?

310 км – 25л
Х? – 40 л

4. Едното зъбно колело на съединителя има 32 зъба, а другото 40. Колко оборота ще направи второто зъбно колело, докато първото 215 оборота?

32 зъба – 315 об.
40 зъба – x?

За съставяне на пропорция е необходима една посока на стрелките, за това при обратна пропорционалност едно съотношение се заменя с обратното.

На дъската учениците откриват значението на количествата, а на място решават една задача по избор.

– Формулирайте правило за решаване на задачи с права и обратно пропорционална зависимост.

На дъската се появява таблица:

V. Първично затвърдяване във външна реч(10 минути)

Задачи на работния лист:

1. От 21 кг памучно семе се получават 5,1 кг масло. Колко масло ще се получи от 7 кг памучно семе?
2. За изграждането на стадиона 5 булдозера разчистиха площадката за 210 минути. Колко време ще отнеме на 7 булдозера да разчистят това място?

VI. Самостоятелна работа със самопроверка по стандарт(5 минути)

Двама ученици решават задача No 225 самостоятелно на скрити дъски, а останалите - в тетрадки. След това проверяват работата на алгоритъма и го сравняват с решението на дъската. Грешките се коригират и се установяват причините за тях. Ако задачата е изпълнена правилно, учениците поставят знак „+“ до тях.
Студентите, които допускат грешки при самостоятелна работа, могат да ползват консултанти.

VII. Включване в системата от знания и повторение№ 271, № 270.

На борда работят шест души. След 3-4 минути учениците, работещи на дъската, представят своите решения, а останалите проверяват задачите и участват в обсъждането им.

VIII. Рефлексия върху дейността (обобщение на урока)

– Какво ново научихте в урока?
- Какво повториха?
– Какъв е алгоритъмът за решаване на задачи с пропорции?
– Постигнахме ли целта си?
– Как оценявате работата си?