Сума от крайна аритметична прогресия. Алгебрична прогресия

При изучаването на алгебра в средното училище (9 клас) една от важните теми е изучаването на числови редици, които включват прогресии - геометрични и аритметични. В тази статия ще разгледаме аритметична прогресия и примери с решения.

Какво е аритметична прогресия?

За да се разбере това, е необходимо да се дефинира въпросната прогресия, както и да се предоставят основните формули, които ще се използват по-късно при решаването на проблеми.

Известно е, че в някаква алгебрична прогресия първият член е равен на 6, а 7-ият член е равен на 18. Необходимо е да се намери разликата и да се възстанови тази последователност до 7-ия член.

Нека използваме формулата, за да определим неизвестния член: a n = (n - 1) * d + a 1 . Нека заместим в него известните данни от условието, тоест числата a 1 и a 7, имаме: 18 = 6 + 6 * d. От този израз можете лесно да изчислите разликата: d = (18 - 6) /6 = 2. Така отговорихме на първата част от задачата.

За да възстановите последователността до 7-ия член, трябва да използвате дефиницията на алгебрична прогресия, тоест a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d и т.н. В резултат на това възстановяваме цялата последователност: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Пример № 3: съставяне на прогресия

Нека усложним проблема още повече. Сега трябва да отговорим на въпроса как да намерим аритметична прогресия. Може да се даде следният пример: дадени са две числа, например - 4 и 5. Необходимо е да се създаде алгебрична прогресия, така че между тях да се поставят още три члена.

Преди да започнете да решавате този проблем, трябва да разберете какво място ще заемат дадените числа в бъдещата прогресия. Тъй като между тях ще има още три члена, тогава a 1 = -4 и a 5 = 5. След като установихме това, преминаваме към задачата, която е подобна на предишната. Отново, за n-тия член използваме формулата, получаваме: a 5 = a 1 + 4 * d. От: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Това, което имаме тук, не е цяло число на разликата, а е рационално число, така че формулите за алгебричната прогресия остават същите.

Сега нека добавим намерената разлика към 1 и да възстановим липсващите членове на прогресията. Получаваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, което съвпадна с условията на проблема.

Пример № 4: първи член на прогресията

Нека продължим да даваме примери за аритметична прогресия с решения. Във всички предишни задачи първото число от алгебричната прогресия беше известно. Сега нека разгледаме задача от различен тип: нека са дадени две числа, където 15 = 50 и 43 = 37. Необходимо е да се намери с кое число започва тази редица.

Използваните досега формули предполагат познаване на 1 и d. В изложението на проблема не се знае нищо за тези числа. Въпреки това ще запишем изрази за всеки термин, за който има налична информация: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Получихме две уравнения, в които има 2 неизвестни величини (a 1 и d). Това означава, че задачата се свежда до решаване на система от линейни уравнения.

Най-лесният начин за решаване на тази система е да изразите 1 във всяко уравнение и след това да сравните получените изрази. Първо уравнение: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; второ уравнение: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Приравнявайки тези изрази, получаваме: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, откъдето разликата d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (посочени са само 3 знака след десетичната запетая).

Като знаете d, можете да използвате който и да е от двата израза по-горе за 1. Например, първо: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ако имате съмнения относно получения резултат, можете да го проверите, например да определите 43-тия член на прогресията, който е посочен в условието. Получаваме: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Малката грешка се дължи на факта, че при изчисленията е използвано закръгляване до хилядни.

Пример № 5: сума

Сега нека да разгледаме няколко примера с решения за сумата на аритметична прогресия.

Нека е дадена числова прогресия от следния вид: 1, 2, 3, 4, ...,. Как да изчислим сбора на 100 от тези числа?

Благодарение на развитието на компютърните технологии е възможно да се реши този проблем, тоест да се добавят всички числа последователно, което компютърът ще направи веднага щом човек натисне клавиша Enter. Задачата обаче може да бъде решена мислено, ако обърнете внимание, че представената редица от числа е алгебрична прогресия и нейната разлика е равна на 1. Прилагайки формулата за сумата, получаваме: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Интересно е да се отбележи, че тази задача се нарича „Гаусова“, защото в началото на 18 век известният германец, все още само на 10 години, успява да я реши наум за няколко секунди. Момчето не знаеше формулата за сбора на алгебрична прогресия, но забеляза, че ако събереш числата в краищата на редицата по двойки, винаги получаваш един и същ резултат, тоест 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., и тъй като тези суми ще бъдат точно 50 (100 / 2), тогава за да получите правилния отговор е достатъчно да умножите 50 по 101.

Пример № 6: сбор на членовете от n до m

Друг типичен пример за сумата на аритметична прогресия е следният: дадена е поредица от числа: 3, 7, 11, 15, ..., трябва да намерите на какво ще бъде равна сумата от нейните членове от 8 до 14 .

Проблемът се решава по два начина. Първият от тях включва намиране на неизвестни членове от 8 до 14 и след това тяхното последователно сумиране. Тъй като има малко термини, този метод не е много трудоемък. Въпреки това се предлага този проблем да се реши с помощта на втори метод, който е по-универсален.

Идеята е да се получи формула за сумата на алгебричната прогресия между членовете m и n, където n > m са цели числа. И в двата случая записваме два израза за сумата:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Тъй като n > m, очевидно е, че втората сума включва първата. Последният извод означава, че ако вземем разликата между тези суми и добавим члена a m към нея (в случай на вземане на разликата, тя се изважда от сумата S n), ще получим необходимия отговор на задачата. Имаме: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Необходимо е да се заменят формули за n и m в този израз. Тогава получаваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Получената формула е донякъде тромава, но сумата S mn зависи само от n, m, a 1 и d. В нашия случай a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Замествайки тези числа, получаваме: S mn = 301.

Както може да се види от горните решения, всички задачи се основават на познаване на израза за n-тия член и формулата за сумата на множеството от първите членове. Преди да започнете да решавате някой от тези проблеми, се препоръчва внимателно да прочетете условието, ясно да разберете какво трябва да намерите и едва след това да продължите с решението.

Друг съвет е да се стремите към простота, тоест ако можете да отговорите на въпрос, без да използвате сложни математически изчисления, тогава трябва да направите точно това, тъй като в този случай вероятността да направите грешка е по-малка. Например в примера за аритметична прогресия с решение № 6 може да се спре на формулата S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, и разделете общия проблем на отделни подзадачи (в този случай първо намерете термините a n и a m).

Ако имате съмнения относно получения резултат, препоръчително е да го проверите, както беше направено в някои от дадените примери. Открихме как да намерим аритметична прогресия. Ако го разберете, не е толкова трудно.

Концепцията за числова последователност предполага, че всяко естествено число съответства на някаква реална стойност. Такава поредица от числа може да бъде произволна или да има определени свойства - прогресия. В последния случай всеки следващ елемент (член) на редицата може да бъде изчислен с помощта на предишния.

Аритметичната прогресия е поредица от числени стойности, в които нейните съседни членове се различават един от друг с едно и също число (всички елементи на серията, започвайки от 2-ри, имат подобно свойство). Това число - разликата между предишния и следващия член - е постоянно и се нарича прогресивна разлика.

Разлика в прогресията: определение

Помислете за последователност, състояща се от j стойности A = a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j принадлежи към набора от естествени числа N. Аритметика прогресията, според нейната дефиниция, е последователност, в която a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Стойността d е желаната разлика на тази прогресия.

d = a(j) – a(j-1).

Акцент:

• Нарастваща прогресия, в който случай d > 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Намаляваща прогресия, след това d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Прогресия на разликата и нейните произволни елементи

Ако са известни 2 произволни члена на прогресията (i-ти, k-ти), тогава разликата за дадена последователност може да се определи въз основа на връзката:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, което означава d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Разлика в прогресията и нейния първи член

Този израз ще помогне да се определи неизвестна стойност само в случаите, когато номерът на елемента на последователността е известен.

Прогресивна разлика и нейната сума

Сумата на една прогресия е сумата от нейните членове. За да изчислите общата стойност на първите j елемента, използвайте подходящата формула:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, но тъй като a(j) = a(1) + d(j – 1), тогава S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Или аритметиката е вид подредена числова последователност, чиито свойства се изучават в училищен курс по алгебра. Тази статия разглежда подробно въпроса как да се намери сумата на аритметична прогресия.

Що за прогресия е това?

Преди да преминете към въпроса (как да намерите сумата от аритметична прогресия), си струва да разберете за какво говорим.

Всяка последователност от реални числа, която се получава чрез добавяне (изваждане) на някаква стойност от всяко предишно число, се нарича алгебрична (аритметична) прогресия. Това определение, когато се преведе на математически език, приема формата:

Тук i е поредният номер на елемента от ред a i. По този начин, знаейки само едно начално число, можете лесно да възстановите цялата серия. Параметърът d във формулата се нарича прогресивна разлика.

Лесно може да се покаже, че за разглежданата редица от числа е валидно следното равенство:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Тоест, за да намерите стойността на n-тия елемент по ред, трябва да добавите разликата d към първия елемент a 1 n-1 пъти.

Каква е сумата на аритметична прогресия: формула

Преди да дадете формулата за посочената сума, струва си да разгледате прост специален случай. Дадена е прогресия на естествените числа от 1 до 10, трябва да намерите тяхната сума. Тъй като има малко членове в прогресията (10), е възможно да се реши задачата директно, т.е. да се сумират всички елементи по ред.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Струва си да се има предвид едно интересно нещо: тъй като всеки член се различава от следващия с една и съща стойност d = 1, тогава сумирането по двойки на първия с десетия, втория с деветия и т.н. ще даде същия резултат. Наистина ли:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Както можете да видите, има само 5 от тези суми, тоест точно два пъти по-малко от броя на елементите на серията. След това, като умножите броя на сумите (5) по резултата от всяка сума (11), ще стигнете до резултата, получен в първия пример.

Ако обобщим тези аргументи, можем да напишем следния израз:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Този израз показва, че изобщо не е необходимо да се сумират всички елементи подред, достатъчно е да се знае стойността на първия a 1 и на последния a n, както и общия брой членове n.

Смята се, че Гаус за първи път се е сетил за това равенство, когато е търсил решение на задача, дадена от неговия учител: сумирайте първите 100 цели числа.

Сума от елементи от m до n: формула

Формулата, дадена в предишния параграф, отговаря на въпроса как да се намери сумата от аритметична прогресия (първите елементи), но често при задачи е необходимо да се сумира поредица от числа в средата на прогресията. Как да го направим?

Най-лесният начин да отговорите на този въпрос е като разгледате следния пример: нека е необходимо да се намери сумата на членовете от m-то до n-то. За да решите задачата, трябва да представите дадения сегмент от m до n на прогресията под формата на нова числова серия. В това представяне m-тият член a m ще бъде първият и a n ще бъде номерирано с n-(m-1). В този случай, прилагайки стандартната формула за сумата, ще се получи следният израз:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Пример за използване на формули

Знаейки как да намерите сумата на аритметичната прогресия, струва си да разгледате прост пример за използване на горните формули.

По-долу е дадена числова последователност, трябва да намерите сумата от нейните членове, започвайки от 5-то и завършвайки с 12-то:

Дадените числа показват, че разликата d е равна на 3. Използвайки израза за n-тия елемент, можете да намерите стойностите на 5-ия и 12-ия член на прогресията. Оказва се:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Познавайки стойностите на числата в краищата на разглежданата алгебрична прогресия, както и знаейки кои числа в серията заемат, можете да използвате формулата за сумата, получена в предишния параграф. Ще се окаже:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Струва си да се отбележи, че тази стойност може да се получи по различен начин: първо намерете сумата на първите 12 елемента, като използвате стандартната формула, след това изчислете сумата на първите 4 елемента, като използвате същата формула, след което извадете втората от първата сума.

Например последователността \(2\); \(5\); \(8\); \(единадесет\); \(14\)... е аритметична прогресия, тъй като всеки следващ елемент се различава от предходния с три (може да се получи от предишния чрез добавяне на три):

В тази прогресия разликата \(d\) е положителна (равна на \(3\)) и следователно всеки следващ член е по-голям от предишния. Такива прогресии се наричат повишаване на.

Въпреки това \(d\) може да бъде и отрицателно число. Например, в аритметична прогресия \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... прогресивната разлика \(d\) е равна на минус шест.

И в този случай всеки следващ елемент ще бъде по-малък от предишния. Тези прогресии се наричат намаляващи.

Нотиране на аритметична прогресия

Прогресията се обозначава с малка латинска буква.

Числата, които образуват прогресия, се наричат членове(или елементи).

Те се обозначават със същата буква като аритметична прогресия, но с цифров индекс, равен на номера на елемента в реда.

Например, аритметичната прогресия \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) се състои от елементите \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и така нататък.

С други думи, за прогресията \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Решаване на задачи с аритметична прогресия

По принцип информацията, представена по-горе, вече е достатъчна за решаване на почти всеки проблем с аритметична прогресия (включително предлаганите в OGE).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя от условията \(b_1=7; d=4\). Намерете \(b_5\).
Решение:

Отговор: \(b_5=23\)

Пример (OGE). Дадени са първите три члена на една аритметична прогресия: \(62; 49; 36…\) Намерете стойността на първия отрицателен член на тази прогресия..
Решение:

Отговор: \(-3\)

Пример (OGE). Дадени са няколко последователни елемента от аритметична прогресия: \(…5; x; 10; 12,5...\) Намерете стойността на елемента, обозначен с буквата \(x\).
Решение:

Отговор: \(7,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя от следните условия: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Намерете сумата от първите шест члена на тази прогресия.
Решение:

Отговор: \(S_6=9\).

Пример (OGE). В аритметична прогресия \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Намерете разликата на тази прогресия.
Решение:

Отговор: \(d=7\).

Важни формули за аритметична прогресия

Както можете да видите, много проблеми с аритметичната прогресия могат да бъдат решени просто чрез разбиране на основното нещо - че аритметичната прогресия е верига от числа и всеки следващ елемент в тази верига се получава чрез добавяне на същото число към предишното ( разлика в прогресията).

Въпреки това, понякога има ситуации, при които вземането на решение „директно“ е много неудобно. Например, представете си, че в първия пример трябва да намерим не петия елемент \(b_5\), а триста осемдесет и шестия \(b_(386)\). Трябва ли да добавим четири \(385\) пъти? Или си представете, че в предпоследния пример трябва да намерите сумата от първите седемдесет и три елемента. Ще се уморите да броите...

Следователно в такива случаи те не решават нещата „директно“, а използват специални формули, извлечени за аритметична прогресия. И основните от тях са формулата за n-тия член на прогресията и формулата за сумата от \(n\) първи членове.

Формула на \(n\)-тия член: \(a_n=a_1+(n-1)d\), където \(a_1\) е първият член на прогресията;
\(n\) – номер на търсения елемент;
\(a_n\) – член на прогресията с номер \(n\).

Тази формула ни позволява бързо да намерим дори тристотния или милионния елемент, знаейки само първия и разликата на прогресията.

Пример. Аритметичната прогресия се определя от условията: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Намерете \(b_(246)\).
Решение:

Отговор: \(b_(246)=1850\).

Формула за сумата от първите n члена: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), където

\(a_n\) – последният сумиран член;

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя от условията \(a_n=3.4n-0.6\). Намерете сумата от първите \(25\) членове на тази прогресия.
Решение:

Отговор: \(S_(25)=1090\).

За сумата \(n\) от първите членове можете да получите друга формула: просто трябва да \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) вместо \(a_n\) заменете формулата за него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Получаваме:

Формула за сумата от първите n члена: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), където

\(S_n\) – исканата сума от \(n\) първи елементи;
\(a_1\) – първият сумиран член;
\(d\) – разлика в прогресията;
\(n\) – общ брой елементи.

Пример. Намерете сумата от първите \(33\)-ex членове на аритметичната прогресия: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:

Отговор: \(S_(33)=-231\).

По-сложни задачи с аритметична прогресия

Сега разполагате с цялата необходима информация, за да решите почти всеки проблем с аритметична прогресия. Нека завършим темата, като разгледаме задачи, в които не само трябва да прилагате формули, но и да мислите малко (в математиката това може да бъде полезно ☺)

Пример (OGE). Намерете сумата от всички отрицателни членове на прогресията: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:

Отговор: \(S_(65)=-630,5\).

Пример (OGE). Аритметичната прогресия се определя от условията: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Намерете сумата от \(26\)-ия до \(42\) елемент включително.
Решение:

Отговор: \(S=1683\).

За аритметичната прогресия има още няколко формули, които не разгледахме в тази статия поради ниската им практическа полезност. Можете обаче лесно да ги намерите.

Сума от аритметична прогресия.

Сборът на аритметичната прогресия е просто нещо. И като смисъл, и като формула. Но по тази тема има всякакви задачи. От основно до доста солидно.

Първо, нека разберем значението и формулата на сумата. И тогава ще решим. За ваше собствено удоволствие.) Значението на сумата е просто като мучене. За да намерите сумата на аритметична прогресия, просто трябва внимателно да съберете всички нейни членове. Ако тези термини са малко, можете да добавите без никакви формули. Но ако има много, или много... добавянето е досадно.) В този случай формулата идва на помощ.

Формулата за сумата е проста:

Нека да разберем какъв вид букви са включени във формулата. Това ще изясни много нещата.

S n - сумата от аритметична прогресия. Резултат от добавянето всекичленове, с първиот последно.Важно е. Събират се точно всичкочленове подред, без прескачане или прескачане. И по-точно, започвайки от първи.При проблеми като намирането на сбора от третия и осмия член или сбора от петия до двадесетия член, директното прилагане на формулата ще ви разочарова.)

а 1 - първичлен на прогресията. Тук всичко е ясно, просто е първиномер на ред.

a n- последночлен на прогресията. Последният номер от поредицата. Не много познато име, но когато се приложи към сумата, е много подходящо. Тогава ще се убедите сами.

н - номер на последния член. Важно е да се разбере, че във формулата това число съвпада с броя на добавените термини.

Нека дефинираме понятието последночлен a n. Труден въпрос: кой член ще бъде последниятако е дадено безкраенаритметична прогресия?)

За да отговорите уверено, трябва да разберете елементарния смисъл на аритметичната прогресия и... прочетете внимателно задачата!)

В задачата за намиране на сумата от аритметична прогресия последният член винаги се появява (пряко или косвено), които трябва да бъдат ограничени.Иначе крайна, конкретна сума просто не съществува.За решението няма значение дали е дадена прогресията: крайна или безкрайна. Няма значение как е дадено: поредица от числа или формула за n-тия член.

Най-важното е да разберете, че формулата работи от първия член на прогресията до члена с числото н.Всъщност пълното име на формулата изглежда така: сумата от първите n члена на аритметична прогресия.Броят на тези най-първи членове, т.е. н, се определя единствено от задачата. В една задача цялата тази ценна информация често е криптирана, да... Но няма значение, в примерите по-долу разкриваме тези тайни.)

Примери за задачи върху сумата от аритметична прогресия.

Първо полезна информация:

Основната трудност при задачите, включващи сумата от аритметична прогресия, се състои в правилното определяне на елементите на формулата.

Авторите на задачите криптират тези елементи с безгранично въображение.) Основното тук е да не се страхувате. Разбирайки същността на елементите, достатъчно е просто да ги дешифрирате. Нека разгледаме няколко примера в детайли. Нека започнем със задача, базирана на реален GIA.

1. Аритметичната прогресия се дава от условието: a n = 2n-3,5. Намерете сумата на първите 10 члена.

Добра работа. Лесно.) За да определим количеството с помощта на формулата, какво трябва да знаем? Първи член а 1, последен срок a n, да номерът на последния член н.

Къде мога да получа номера на последния член? н? Да, точно там, при условие! Казва: намерете сумата първите 10 членове.Е, с кой номер ще е? последно,десети член?) Няма да повярвате, номерът му е десети!) Следователно, вместо a nЩе заместим във формулата а 10, а вместо това н- десет. Повтарям, номерът на последния член съвпада с броя на членовете.

Остава да се определи а 1И а 10. Това лесно се изчислява с помощта на формулата за n-тия член, която е дадена в формулировката на задачата. Не знаете как да направите това? Посетете предишния урок, без това няма как.

а 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

а 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Открихме значението на всички елементи от формулата за сумата от аритметична прогресия. Остава само да ги замените и да преброите:

Това е. Отговор: 75.

Друга задача, базирана на GIA. Малко по-сложно:

2. Дадена е аритметична прогресия (a n), чиято разлика е 3,7; a 1 =2,3. Намерете сумата на първите 15 члена.

Веднага записваме формулата за сумата:

Тази формула ни позволява да намерим стойността на всеки термин по неговия номер. Търсим проста замяна:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Остава да замените всички елементи във формулата за сумата на аритметичната прогресия и да изчислите отговора:

Отговор: 423.

Между другото, ако във формулата за сумата вместо a nПросто заместваме формулата за n-тия член и получаваме:

Нека да представим подобни и да получим нова формула за сумата от членовете на аритметичната прогресия:

Както можете да видите, n-тият член не е необходим тук a n. При някои проблеми тази формула помага много, да... Можете да я запомните тази формула. Или можете просто да го покажете в точното време, като тук. В крайна сметка винаги трябва да помните формулата за сбора и формулата за n-тия член.)

Сега задачата под формата на кратко криптиране):

3. Намерете сбора на всички положителни двуцифрени числа, кратни на три.

Еха! Нито първият член, нито последният, нито прогресията изобщо... Как да живееш!?

Ще трябва да помислите с главата си и да извадите всички елементи от сумата на аритметичната прогресия от условието. Знаем какво представляват двуцифрените числа. Те се състоят от две числа.) Какво двуцифрено число ще бъде първи? 10, вероятно.) А последно нещодвуцифрено число? 99, разбира се! Трицифрените ще го последват...

Кратни на три... Хм... Това са числа, които се делят на три, тук! Десет не се дели на три, 11 не се дели... 12... се дели! И така, нещо се очертава. Вече можете да запишете серия според условията на проблема:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Тази поредица ще бъде ли аритметична прогресия? Със сигурност! Всеки термин се различава от предишния със строго три. Ако добавите 2 или 4 към термин, да речем, резултатът, т.е. новото число вече не се дели на 3. Можете веднага да определите разликата в аритметичната прогресия: d = 3.Ще бъде полезно!)

Така че можем спокойно да запишем някои параметри на прогресията:

Какъв ще е номерът? нпоследен член? Който мисли, че 99, греши фатално... Числата винаги вървят подред, но нашите членове надскачат три. Те не съвпадат.

Тук има две решения. Един от начините е за супер трудолюбивите. Можете да запишете прогресията, цялата поредица от числа и да преброите броя на членовете с пръст.) Вторият начин е за замислените. Трябва да запомните формулата за n-тия член. Ако приложим формулата към нашия проблем, ще открием, че 99 е тридесетият член на прогресията. Тези. n = 30.

Нека да разгледаме формулата за сумата на аритметична прогресия:

Гледаме и се радваме.) Извадихме от формулировката на проблема всичко необходимо за изчисляване на сумата:

а 1= 12.

а 30= 99.

S n = S 30.

Остава само елементарна аритметика. Заместваме числата във формулата и изчисляваме:

Отговор: 1665

Друг вид популярен пъзел:

4. Като се има предвид аритметична прогресия:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Намерете сбора на членовете от двадесети до тридесет и четири.

Гледаме формулата за сумата и... се разстройваме.) Формулата, напомням, изчислява сумата от първиячлен. И в задачата трябва да изчислите сумата от двадесети...Формулата няма да работи.

Можете, разбира се, да напишете цялата прогресия в серия и да добавите членове от 20 до 34. Но... някак си е глупаво и отнема много време, нали?)

Има и по-елегантно решение. Нека разделим нашата серия на две части. Първата част ще бъде от първия мандат до деветнадесетия.Втора част - от двадесет до тридесет и четири.Ясно е, че ако изчислим сумата от членовете на първата част S 1-19, нека го съберем със сумата от членовете на втората част S 20-34, получаваме сумата от прогресията от първия член до тридесет и четвъртия S 1-34. Като този:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

От това можем да видим, че намираме сумата S 20-34може да се направи чрез просто изваждане

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Вземат се предвид и двете суми от дясната страна от първиячлен, т.е. стандартната формула за сумиране е напълно приложима за тях. Да започваме?

Извличаме параметрите на прогресията от изявлението на проблема:

d = 1,5.

а 1= -21,5.

За да изчислим сумите на първите 19 и първите 34 члена, ще ни трябват 19-ти и 34-ти член. Изчисляваме ги с помощта на формулата за n-тия член, както в задача 2:

а 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

а 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Нищо не остана. От сбора на 34 члена извадете сбора на 19 члена:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Отговор: 262,5

Една важна забележка! Има един много полезен трик за решаването на този проблем. Вместо директно изчисление от какво се нуждаете (S 20-34),преброихме нещо, което изглежда не е необходимо - S 1-19.И тогава те определиха S 20-34, изхвърляне на ненужното от пълния резултат. Този вид „финт с ушите“ често ви спестява от зли проблеми.)

В този урок разгледахме задачи, за които е достатъчно да разберем значението на сумата от аритметична прогресия. Е, трябва да знаете няколко формули.)

Практически съвети:

Когато решавате всяка задача, включваща сумата от аритметична прогресия, препоръчвам незабавно да напишете двете основни формули от тази тема.

Формула за n-тия член:

Тези формули веднага ще ви подскажат какво да търсите и в каква посока да мислите, за да разрешите проблема. Помага.

А сега задачите за самостоятелно решаване.

5. Намерете сбора на всички двуцифрени числа, които не се делят на три.

Страхотно?) Подсказката е скрита в бележката към проблем 4. Е, проблем 3 ще помогне.

6. Аритметичната прогресия е дадена от условието: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Намерете сумата на първите 24 члена.

Необичайно?) Това е повтаряща се формула. Можете да прочетете за това в предишния урок. Не пренебрегвайте връзката, такива проблеми често се срещат в Държавната академия на науките.

7. Вася спести пари за празника. До 4550 рубли! И реших да подаря на любимия си човек (себе си) няколко дни щастие). Живейте красиво, без да си отказвате нищо. Похарчете 500 рубли на първия ден, а всеки следващ ден похарчете с 50 рубли повече от предишния! Докато свършат парите. Колко дни на щастие имаше Вася?

Трудно?) Допълнителна формула от задача 2 ще помогне.

Отговори (в безпорядък): 7, 3240, 6.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.