Ezeknek a gyökere N-edik gyökérkalkulátor. A gyökér értékének megtalálásának alapelvei és azok kinyerésének módja

Mérnöki számológép online

Siettünk mindenkinek bemutatni egy ingyenes mérnöki számológépet. Segítségével bármely diák gyorsan, és ami a legfontosabb, könnyen elvégezhet különféle matematikai számításokat az interneten.

Egy egyszerű és könnyen használható mérnöki számológép nem feltűnő és intuitív kezelőfelülettel valóban hasznos lesz az internethasználók legszélesebb köre számára. Most, ha számológépre van szüksége, látogasson el weboldalunkra, és használja az ingyenes mérnöki számológépet.

Egy mérnöki számológép egyszerű aritmetikai műveleteket és meglehetősen bonyolult matematikai számításokat is tud végezni.

A Web20calc egy mérnöki számológép, amely rengeteg funkcióval rendelkezik, például az összes elemi függvény kiszámításához. A számológép támogatja a trigonometrikus függvényeket, mátrixokat, logaritmusokat és még az ábrázolást is.

A Web20calc kétségtelenül azoknak a csoportoknak lesz érdekes, akik egyszerű megoldásokat keresve begépelnek egy lekérdezést a keresőkbe: egy online matematikai számológép. Az ingyenes webalkalmazás segítségével azonnal kiszámíthatja bármely matematikai kifejezés eredményét, például kivonás, összeadás, osztás, gyökér kivonása, hatványra emelés stb.

A kifejezésben használhatjuk a hatványozás, összeadás, kivonás, szorzás, osztás, százalék, PI állandó műveleteket. Az összetett számításokhoz zárójeleket kell használni.

A mérnöki számológép jellemzői:

1. számtani alapműveletek;
2. szabványos formában dolgozni számokkal;
3. trigonometrikus gyökök számítása, függvények, logaritmusok, hatványozás;
4. statisztikai számítások: összeadás, számtani átlag vagy szórás;
5. memóriacella és 2 változó felhasználói függvényeinek alkalmazása;
6. dolgozzon szögekkel radián- és fokmértékben.

A mérnöki számológép számos matematikai függvény használatát teszi lehetővé:

Gyökerek (négyzetgyök, köbgyök, valamint n-edik gyökér) kivonása;
ex (e - x hatvány), kitevő;
trigonometrikus függvények: szinusz - sin, koszinusz - cos, tangens - tan;
inverz trigonometrikus függvények: arcszinusz - sin-1, arccosine - cos-1, arctangens - tan-1;
hiperbolikus függvények: szinusz - sinh, koszinusz - cosh, tangens - tanh;
logaritmusok: a két alapú bináris logaritmus log2x, a tíz bázisú tízes bázis logaritmus logaritmus, a természetes logaritmus pedig az ln.

Ez a mérnöki számológép tartalmaz egy mennyiségszámítót is, amely képes fizikai mennyiségeket konvertálni különféle mérési rendszerekre - számítógépes egységek, távolság, súly, idő stb. Ezzel a funkcióval azonnal átválthatja a mérföldeket kilométerekre, a fontokat kilogrammokra, a másodperceket órákra stb.

Matematikai számítások elvégzéséhez először írja be a matematikai kifejezések sorozatát a megfelelő mezőbe, majd kattintson az egyenlőségjelre, és nézze meg az eredményt. Az értékeket közvetlenül a billentyűzetről adhatja meg (ehhez a számológép területnek aktívnak kell lennie, ezért hasznos lesz a kurzort a beviteli mezőbe helyezni). Többek között magának a számológépnek a gombjaival lehet adatokat bevinni.

Grafikonok készítéséhez a beviteli mezőbe írja be a függvényt a példa mezőben jelzett módon, vagy használja a speciálisan erre kialakított eszköztárat (az eléréséhez kattintson a grafikon formájú ikonnal ellátott gombra). Az értékek konvertálásához nyomja meg az Egységet, a mátrixokkal való munkavégzéshez - Mátrix.

Felkerült honlapunkra. A számok gyökének kinyerését gyakran használják különféle számításokban, és számológépünk nagyszerű eszköz az ilyen matematikai számításokhoz.

A gyökérrel rendelkező online számológép segítségével gyorsan és egyszerűen elvégezhet bármilyen gyökérkinyerést tartalmazó számítást. A harmadik gyök ugyanolyan könnyen kiszámítható, mint egy szám négyzetgyöke, egy negatív szám gyökere, egy komplex szám gyökere, a pi gyöke stb.

Egy szám gyökerének kiszámítása manuálisan lehetséges. Ha ki lehet számítani egy szám egész gyökerét, akkor egyszerűen a gyöktáblázatból keressük meg a gyökkifejezés értékét. Más esetekben a gyökök hozzávetőleges számítása a gyökérkifejezés egyszerűbb tényezők szorzatára való kiterjesztésére redukálódik, amelyek hatványok és a gyökjelből eltávolíthatók, amennyire csak lehetséges, egyszerűsítve a gyök alatti kifejezést.

De nem szabad ilyen gyökéroldatot használni. És ezért. Először is sok időt kell töltenie az ilyen számításokkal. A gyökérben lévő számok, vagy inkább a kifejezések lehetnek meglehetősen összetettek, és a fok nem feltétlenül másodfokú vagy köbös. Másodszor, az ilyen számítások pontossága nem mindig teljesül. Harmadszor pedig van egy online gyökérkalkulátor, amely pillanatok alatt elvégzi a gyökérkivonást.

Gyököt kinyerni egy számból azt jelenti, hogy olyan számot találunk, amelyet n hatványára emelve egyenlő lesz a gyökkifejezés értékével, ahol n a gyök foka, maga a szám pedig az alapja. a gyökér. A 2. fok gyökét egyszerűnek vagy négyzetesnek, a harmadik fok gyökét köbösnek nevezzük, mindkét esetben mellőzzük a fokozat feltüntetését.

A gyökerek megoldása egy online számológépben annyi, hogy a beviteli sorba csak egy matematikai kifejezést írunk. A számológépben a gyökérből való kinyerést sqrt-ként jelöljük, és három billentyűvel hajtjuk végre – az sqrt(x) négyzetgyökének kinyerésével, az sqrt3(x) köbgyökének kivonásával és az n fokos sqrt(x,y) gyökérrel. . A vezérlőpanelről részletesebb információ a oldalon található.

A négyzetgyök kivonása

Ennek a gombnak a megnyomásával egy négyzetgyök bejegyzés kerül a beviteli sorba: sqrt(x), csak a gyökérkifejezést kell beírni és a zárójelet bezárni.

Példa a négyzetgyökök megoldására egy számológépben:

Ha a gyök negatív szám, és a gyök foka páros, akkor a választ egy i képzeletbeli egységgel rendelkező komplex számként ábrázoljuk.

Egy negatív szám négyzetgyöke:

Harmadik gyökér

Használja ezt a billentyűt, ha ki kell számítania a kockagyököt. Beszúrja az sqrt3(x) bejegyzést a beviteli sorba.

3. fokú gyökér:

n fok gyöke

Az online gyökérkalkulátor természetesen nem csak a szám négyzet- és kockagyökét, hanem az n fok gyökét is lehetővé teszi. Ennek a gombnak a megnyomásával megjelenik az sqrt(x x,y) formátumú rekord.

4. fokú gyökér:

Egy szám pontos n-edik gyöke csak akkor nyerhető ki, ha maga a szám egy pontos n-edik hatvány. Ellenkező esetben a számítás hozzávetőlegesnek bizonyul, bár nagyon közel áll az ideálishoz, mivel az online számológép számításainak pontossága eléri a 14 tizedesjegyet.

5. gyökér hozzávetőleges eredménnyel:

A tört gyöke

A számológép különféle számokból és kifejezésekből ki tudja számolni a gyökeret. A tört gyökének megkereséséhez a gyökér külön-külön kivonása a számlálóból és a nevezőből következik.

Tört négyzetgyöke:

gyökér gyökértől

Azokban az esetekben, amikor a kifejezés gyöke a gyök alatt van, a gyökök tulajdonsága alapján helyettesíthetők egy gyökérrel, amelynek foka egyenlő lesz mindkettő fokszámának szorzatával. Egyszerűen fogalmazva, ahhoz, hogy egy gyökérből kinyerjünk egy gyökeret, elég megszorozni a gyökerek kitevőit. Az ábrán látható példában a másodfokú gyök harmadik fokának kifejezésgyöke helyettesíthető egyetlen 6. fokú gyökérrel. Adja meg a kifejezést tetszés szerint. Mindenesetre a számológép mindent helyesen számol ki.

Hatványképletek komplex kifejezések redukálására és egyszerűsítésére, egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására használják.

Szám c van n-egy szám hatványa a Amikor:

Műveletek fokozatokkal.

1. A fokokat azonos alappal szorozva a mutatóik összeadódnak:

a ma n = a m + n.

2. Az azonos bázisú fokok felosztásánál mutatóikat levonjuk:

3. 2 vagy több tényező szorzatának mértéke egyenlő ezen tényezők fokszámainak szorzatával:

(abc…) n = a n b n c n …

4. A tört foka megegyezik az osztó és az osztó fokszámának arányával:

(a/b) n = a n / b n.

5. Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevőket megszorozzuk:

(am) n = a m n .

Minden fenti képlet helyes a balról jobbra és fordítva.

Például. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Műveletek gyökerekkel.

1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők gyökeinek szorzatával:

2. Az arány gyöke egyenlő az osztalék és a gyökosztó arányával:

3. Ha gyökér hatványra emel, elegendő a gyökér számot erre a hatványra emelni:

4. Ha növeljük a gyökér fokát be n egyszer és egyben emelni to n A hatvány gyökszám, akkor a gyök értéke nem változik:

5. Ha a gyökér fokát csökkentjük n root egyidejűleg n fokot a gyökszámtól, akkor a gyök értéke nem változik:

Fok negatív kitevővel. A nem pozitív (egész) kitevővel rendelkező szám fokszámát úgy határozzuk meg, hogy elosztjuk ugyanazon szám fokszámával, amelynek kitevője megegyezik a nem pozitív kitevő abszolút értékével:

Képlet a m:a n = a m - n nem csak arra használható m> n, hanem at m< n.

Például. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

A képlethez a m:a n = a m - n tisztességessé vált m=n, szükség van a nulla fok jelenlétére.

Fok nulla kitevővel. Bármely nullától eltérő, nulla kitevővel rendelkező szám hatványa egyenlő eggyel.

Például. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Egy fok törtkitevővel. Valós szám emelésére A bizonyos mértékig m/n, ki kell bontani a gyökeret n fokozata m ennek a számnak a hatványa A.

Az x szám n-edik gyöke egy nem negatív z szám, amely az n-edik hatványra emelve x lesz. A gyökér definíciója szerepel azon alapvető számtani műveletek listáján, amelyekkel gyermekkorban ismerkedünk.

Matematikai jelölés

A "gyökér" a latin radix szóból származik, és ma a "radikális" szót ennek a matematikai kifejezésnek a szinonimájaként használják. A 13. század óta a matematikusok a gyök kivonásának műveletét r betűvel jelölték egy vízszintes sávval a radikális kifejezés felett. A 16. században bevezették az V jelzést, amely fokozatosan felváltotta az r jelet, de a vízszintes vonal megmaradt. Könnyen begépelhető nyomdában vagy kézzel írható, de az elektronikus kiadványokban és a programozásban elterjedt a gyökér betűs megjelölése - sqrt. Ebben a cikkben így fogjuk jelölni a négyzetgyököket.

Négyzetgyök

Az x szám négyzetgyöke egy z szám, amely önmagával megszorozva x lesz. Például, ha megszorozzuk a 2-t 2-vel, akkor 4-et kapunk. A kettő ebben az esetben a négy négyzetgyöke. Szorozzuk meg az 5-öt 5-tel, 25-öt kapunk, és most már tudjuk az sqrt(25) kifejezés értékét. A -12-t megszorozhatjuk -12-vel, és 144-et kapunk, és a 144-es gyökből 12 és -12 is lesz. Nyilvánvaló, hogy a négyzetgyök pozitív és negatív számok is lehetnek.

Az ilyen gyökök sajátos dualizmusa fontos a másodfokú egyenletek megoldásához, ezért az ilyen problémákra való válaszkeresés során mindkét gyöket meg kell jelölni. Az algebrai kifejezések megoldása során aritmetikai négyzetgyököket használunk, vagyis csak azok pozitív értékeit.

Azokat a számokat, amelyek négyzetgyöke egész szám, tökéletes négyzeteknek nevezzük. Az ilyen számok egész sorozata létezik, amelyek eleje így néz ki:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Más számok négyzetgyöke irracionális számok. Például sqrt(3) = 1,73205080757... és így tovább. Ez a szám végtelen és nem periodikus, ami bizonyos nehézségeket okoz az ilyen gyökök kiszámításában.

Az iskolai matematika tantárgy kimondja, hogy negatív számokból nem lehet négyzetgyököt venni. Ahogy a matematikai elemzés középiskolai kurzusán megtanuljuk, ezt meg lehet és kell is csinálni – ehhez kellenek a komplex számok. A programunk azonban a gyökök valós értékeinek kinyerésére készült, így még a gyököket sem számítja ki negatív számokból.

köbgyök

Az x szám köbös gyökje az a z szám, amelyet önmagával háromszor megszorozva x számot kapunk. Például, ha megszorozzuk 2 × 2 × 2-t, akkor 8-at kapunk. Ezért a kettő a nyolc kockagyöke. Szorozzuk meg négyszer önmagával, és kapjuk 4 × 4 × 4 = 64. Nyilvánvalóan a négy a 64-nek a kockagyöke. Van egy végtelen számsorozat, amelynek köbös gyökjei egész számok. Az eleje így néz ki:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

A többi szám esetében a kockagyökök irracionális számok. A négyzetgyököktől eltérően a kockagyökök, mint minden páratlan gyök, negatív számokból is kivehetők. Az egész a nullánál kisebb számok szorzatáról szól. A mínusz mínuszra pluszt ad – ez az iskolapadból ismert szabály. A mínusz szor a plusz mínuszt eredményez. Ha a negatív számokat páratlanszor megszorozzuk, akkor az eredmény is negatív lesz, ezért semmi sem akadályoz meg abban, hogy egy negatív számból páratlan gyökot vonjunk ki.

A számológép azonban másként működik. Valójában egy gyökér kinyerése inverz hatványra emelést jelent. A négyzetgyök 1/2, a kocka pedig 1/3 hatványra emel. Az 1/3-os hatványra emelés képlete megfordítható és 2/6-ként fejezhető ki. Az eredmény ugyanaz, de lehetetlen ilyen gyöket kivonni egy negatív számból. Így a számológépünk csak pozitív számokból számol számtani gyöket.

N-edik gyök

A gyökök kiszámításának ilyen díszes módja lehetővé teszi bármilyen fokú gyökerek meghatározását bármely kifejezésből. Kivonhatja egy szám kocka ötödik gyökerét, vagy egy szám 19. gyökét a 12. számra. Mindezt elegánsan 3/5, illetve 12/19 hatványozásaként valósítják meg.

Vegyünk egy példát

Négyzet átlós

A négyzet átlójának irracionalitását az ókori görögök ismerték. Egy lapos négyzet átlójának kiszámításával szembesültek, mivel a hossza mindig arányos kettő négyzetgyökével. Az átló hosszának meghatározására szolgáló képlet a következőből származik, és végül a következő alakot veszi fel:

d = a × sqrt(2).

Határozzuk meg számológépünk segítségével kettő négyzetgyökét. A "Szám (x)" cellába írjuk be a 2-es értéket, a "Teljesítmény (n)" cellába pedig 2-t, így az sqrt (2) = 1,4142 kifejezést kapjuk. Így egy négyzet átlójának durva becsléséhez elegendő az oldalát megszorozni 1,4142-vel.

Következtetés

A radikális keresése egy szabványos aritmetikai művelet, amely nélkül a tudományos vagy tervezési számítások nélkülözhetetlenek. Természetesen nem kell meghatároznunk a gyökereket a mindennapi problémák megoldásához, de az online számológépünk mindenképpen jól jön az iskolásoknak vagy a diákoknak, ha algebrában vagy számításban ellenőrizhetik házi feladatukat.

Itt az ideje szétszedni gyökérkivonási módszerek. Ezek a gyökök tulajdonságain alapulnak, különösen az egyenlőségen, ami minden nem negatív b számra igaz.

Az alábbiakban sorra megvizsgáljuk a gyökerek kinyerésének fő módszereit.

Kezdjük a legegyszerűbb esettel - gyökök kivonása természetes számokból négyzettáblázat, kockatábla stb.

Ha a táblák négyzetek, kockák stb. nincs kéznél, logikus a gyökér kinyerésének módszere, amely magában foglalja a gyökérszám egyszerű tényezőkre bontását.

Külön érdemes elidőzni, ami páratlan kitevős gyökök esetén lehetséges.

Végül vegyünk egy olyan módszert, amely lehetővé teszi a gyökér értékének számjegyeinek szekvenciális megtalálását.

Kezdjük el.

Négyzettáblázat, kockák táblázata stb.

A legegyszerűbb esetekben a négyzetek, kockák stb. táblázatai lehetővé teszik a gyökerek kinyerését. Mik ezek a táblázatok?

A 0-tól 99-ig terjedő egész számok négyzettáblázata (lásd alább) két zónából áll. A táblázat első zónája szürke háttéren helyezkedik el, egy adott sor és oszlop kiválasztásával 0 és 99 közötti számot hozhat létre. Például válasszunk ki egy 8 tízes sort és egy 3 egységből álló oszlopot, ezzel rögzítettük a 83-as számot. A második zóna az asztal többi részét foglalja el. Mindegyik cellája egy bizonyos sor és egy bizonyos oszlop metszéspontjában található, és tartalmazza a megfelelő szám négyzetét 0-tól 99-ig. Az általunk választott 8 tízes sor és az egy 3. oszlopának metszéspontjában van egy 6889-es cella, amely a 83-as szám négyzete.

A kockatáblázatok, a 0-tól 99-ig terjedő számok negyedik hatványainak táblázatai és így tovább hasonlóak a négyzettáblázathoz, csak a második zónában vannak kockák, negyedik hatványok stb. megfelelő számokat.

Négyzettáblák, kockák, negyedik hatványok stb. lehetővé teszi a négyzetgyökök, kockagyökök, negyedik gyökök stb. illetve ezekben a táblázatokban szereplő számokból. Magyarázzuk el azok alkalmazásának elvét a gyökerek kinyerésében.

Tegyük fel, hogy az a számból ki kell vonnunk az n-edik fok gyökerét, míg az a számot az n-edik fokok táblázata tartalmazza. E táblázat szerint a b számot úgy találjuk, hogy a=b n . Akkor , ezért a b szám az n-edik fok kívánt gyöke lesz.

Példaként mutassuk meg, hogyan nyerjük ki az 19683-as kockagyököt a kockatábla segítségével. A kockatáblázatban megtaláljuk a 19 683-as számot, ebből azt találjuk, hogy ez a szám a 27-es szám kocka, ezért .

Nyilvánvaló, hogy az n-edik fokú táblázatok nagyon kényelmesek a gyökerek kinyerésekor. Ezek azonban gyakran nincsenek kéznél, és összeállításuk bizonyos időt igényel. Ezenkívül gyakran olyan számokból kell gyököket kivonni, amelyek nem szerepelnek a megfelelő táblázatokban. Ezekben az esetekben más módszerekhez kell folyamodni a gyökerek kinyerésére.

A gyökszám felbontása prímtényezőkre

Meglehetősen kényelmes módja annak, hogy a gyökér természetes számból kinyerhető (ha természetesen a gyökér kivonásra került), ha a gyökérszámot prímtényezőkre bontjuk. Övé a lényeg a következő: után meglehetősen egyszerű fokként ábrázolni a kívánt indikátorral, amely lehetővé teszi a gyökér értékének meghatározását. Magyarázzuk meg ezt a pontot.

Vegyük ki egy a természetes számból az n-edik fokú gyökét, és az értéke egyenlő b-vel. Ebben az esetben az a=b n egyenlőség igaz. A b szám mint tetszőleges természetes szám p 1 , p 2 , …, p m összes prímtényezőjének szorzataként ábrázolható p 1 p 2 … p m formában, és az a gyökszám ebben az esetben (p) 1 p 2 ... p m) n . Mivel a szám prímtényezőkre való felbontása egyedi, az a gyökszám prímtényezőkre való felbontása így fog kinézni (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , ami lehetővé teszi a gyök értékének kiszámítását úgy, mint pl. .

Vegyük észre, hogy ha az a gyökszám faktorizálása nem ábrázolható (p 1 ·p 2 ·…·p m) n formában, akkor egy ilyen a számból az n-edik fokú gyök nem kerül kivonásra teljesen.

Példák megoldásánál foglalkozzunk ezzel.

Példa.

Vegyük a 144 négyzetgyökét.

Megoldás.

Ha átlapozzuk az előző bekezdésben megadott négyzettáblázatot, jól látható, hogy 144=12 2, amiből jól látható, hogy 144 négyzetgyöke 12 .

Ennek fényében azonban az érdekel minket, hogy a gyökér hogyan nyerhető ki a 144-es számú gyökér prímtényezőkre való felbontásával. Nézzük meg ezt a megoldást.

Bontsuk le 144 elsődleges tényezőkhöz:

Vagyis 144=2 2 2 2 3 3 . A kapott bontás alapján a következő átalakítások hajthatók végre: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Ennélfogva, .

A gyökerek fokának és tulajdonságainak a tulajdonságait felhasználva a megoldást egy kicsit másképp is meg lehetne fogalmazni: .

Válasz:

Az anyag konszolidálásához vegyük figyelembe további két példa megoldását.

Példa.

Számítsa ki a gyökérértéket.

Megoldás.

A 243 gyökszám prímtényezőssége 243=3 5 . És így, .

Válasz:

Példa.

A gyök értéke egész szám?

Megoldás.

A kérdés megválaszolásához bontsuk fel a gyökszámot prímtényezőkre, és nézzük meg, hogy ábrázolható-e egész szám kockaként.

Nálunk 285 768=2 3 3 6 7 2 . Az így kapott dekompozíciót nem egész szám kockaként ábrázoljuk, mivel a 7-es prímtényező mértéke nem háromszoros. Ezért a 285 768 kockagyökét nem veszik fel teljesen.

Válasz:

Nem.

Gyökök kinyerése törtszámokból

Itt az ideje, hogy kitaláljuk, hogyan lehet a gyökéret kivonni egy törtszámból. Írjuk fel a törtgyökszámot p/q alakban. A hányados gyökének tulajdonsága szerint a következő egyenlőség igaz. Ebből az egyenlőségből az következik törtgyök szabály: Egy tört gyöke egyenlő a számláló gyökének a nevező gyökével való osztásának hányadosával.

Nézzünk egy példát a gyökér törtből való kinyerésére.

Példa.

Mennyi a 25/169 közönséges tört négyzetgyöke.

Megoldás.

A négyzettáblázat alapján azt találjuk, hogy az eredeti tört számlálójának négyzetgyöke 5, a nevezőé pedig 13. Akkor . Ezzel befejeződik a gyökér kinyerése a 25/169 közönséges frakcióból.

Válasz:

A tizedes tört vagy vegyes szám gyökerét a rendszer a gyökszámok közönséges törtekre cserélése után vonja ki.

Példa.

Vegyük a 474.552 decimális kockagyökét.

Megoldás.

Az eredeti tizedesjegyet ábrázoljuk közös törtként: 474.552=474552/1000 . Akkor . Marad a kapott tört számlálójában és nevezőjében lévő kockagyökök kinyerése. Mert 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 és 1 000 = 10 3 , akkor És . Már csak a számítások elvégzése van hátra .

Válasz:

.

Negatív szám gyökének kinyerése

Külön érdemes elidőzni a negatív számok gyökeinek kinyerésével. A gyökök tanulmányozása során azt mondtuk, hogy ha a gyök kitevője páratlan szám, akkor negatív szám is lehet a gyök előjele alatt. Az ilyen jelöléseknek a következő jelentést adtuk: negatív −a számra és 2 n−1 gyök páratlan kitevőjére . Ez az egyenlőség ad szabály a páratlan gyökök negatív számokból való kiemelésére: a negatív szám gyökének kinyeréséhez ki kell húzni az ellenkező pozitív szám gyökét, és az eredmény elé mínuszjelet kell tenni.

Nézzünk egy példamegoldást.

Példa.

Keresse meg a gyökérértéket.

Megoldás.

Alakítsuk át az eredeti kifejezést úgy, hogy a gyökérjel alatt pozitív szám jelenjen meg: . Most a vegyes számot egy közönséges törtre cseréljük: . Alkalmazzuk a gyökér közönséges törtből történő kivonásának szabályát: . Ki kell számítani a gyököket a kapott tört számlálójában és nevezőjében: .

Íme a megoldás összefoglalása: .

Válasz:

.

A gyökérérték bitenkénti megkeresése

Általános esetben a gyök alatt olyan szám található, amelyet a fentebb tárgyalt technikákkal nem lehet egyetlen szám n-edik hatványaként sem ábrázolni. De ugyanakkor szükség van egy adott gyök értékének ismeretére, legalább egy bizonyos előjelig. Ebben az esetben a gyökér kinyeréséhez olyan algoritmust használhat, amely lehetővé teszi, hogy következetesen megkapja a kívánt szám számjegyeinek megfelelő számú értékét.

Ennek az algoritmusnak az első lépése annak megállapítása, hogy mi a gyökérérték legjelentősebb bitje. Ehhez a 0, 10, 100, ... számokat egymás után n hatványra emeljük, amíg a gyökszámot meghaladó számot nem kapunk. Ekkor az a szám, amelyet az előző lépésben n hatványára emeltünk, a megfelelő magas sorrendet jelzi.

Például vegye figyelembe az algoritmus ezen lépését, amikor kivonja az öt négyzetgyökét. Vegyük a 0, 10, 100, ... számokat, és négyzetezzük őket, amíg 5-nél nagyobb számot nem kapunk. Nálunk 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , ami azt jelenti, hogy a legjelentősebb számjegy az egységszámjegy lesz. Ennek a bitnek az értéke, valamint az alacsonyabbak értéke a gyökérkivonási algoritmus következő lépéseiben található meg.

Az algoritmus összes következő lépése a gyökér értékének egymást követő finomítását célozza, mivel a gyökér kívánt értékének következő számjegyeinek értékei megtalálhatók, a legmagasabbtól kezdve és a legalacsonyabbig haladva. . Például a gyökér értéke az első lépésben 2 , a másodikban - 2,2 , a harmadikban - 2,23 és így tovább 2,236067977 ... . Leírjuk, hogyan találjuk meg a bitek értékeit.

A bitek keresése lehetséges értékük 0, 1, 2, ..., 9 számbavételével történik. Ebben az esetben a megfelelő számok n-edik hatványait párhuzamosan számítjuk ki, és összehasonlítjuk a gyökszámmal. Ha egy szakaszban a fok értéke meghaladja a gyökszámot, akkor az előző értéknek megfelelő számjegyet találtnak tekintjük, és áttérünk a gyökérkivonási algoritmus következő lépésére, ha ez nem történik meg, akkor ennek a számjegynek az értéke 9 .

Magyarázzuk meg mindezeket a pontokat ugyanazzal a példával, mint az öt négyzetgyökének kinyerésére.

Először keresse meg az egységszámjegyek értékét. Iteráljuk a 0, 1, 2, …, 9 értékeket, 0 2 , 1 2 , …, 9 2 értékeket számolva, amíg az 5 gyökszámnál nagyobb értéket nem kapunk. Mindezeket a számításokat kényelmesen táblázat formájában mutatjuk be:

Tehát az egységszámjegy értéke 2 (mert 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Térjünk át a tizedik hely értékének megállapítására. Ebben az esetben a 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9 számokat négyzetre emeljük, összehasonlítva a kapott értékeket az 5-ös gyökérszámmal:

2.2 óta 2<5 , а 2,3 2 >5 , akkor a tizedik hely értéke 2 . Folytathatja a százas hely értékének meghatározását:

Tehát az öt gyökének következő értéke található, ez egyenlő 2,23-mal. És így továbbra is megtalálhatja az értékeket: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Az anyag megszilárdítása érdekében a gyökér kinyerését századrészes pontossággal elemezzük a figyelembe vett algoritmus segítségével.

Először is meghatározzuk a vezető számjegyet. Ehhez felkockázzuk a 0, 10, 100 stb. számokat. amíg nem kapunk egy 2.151.186-nál nagyobb számot. Nálunk 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , tehát a legjelentősebb számjegy a tízes számjegy.

Határozzuk meg az értékét.

103 óta<2 151,186 , а 20 3 >2,151,186 , akkor a tízes számjegy értéke 1 . Térjünk át az egységekre.

Így az egyes hely értéke 2. Térjünk át tízre.

Mivel még a 12,9 3 is kisebb, mint a 2 151,186 gyökszám, a tizedik hely értéke 9. Marad az algoritmus utolsó lépése, amely megadja a gyökér értékét a szükséges pontossággal.

Ebben a szakaszban a gyökér értéke századokig található: .

A cikk végén szeretném elmondani, hogy sok más módszer is létezik a gyökerek kinyerésére. De a legtöbb feladathoz elegendőek azok, amelyeket fent tanulmányoztunk.

Bibliográfia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: tankönyv 8 cellához. oktatási intézmények.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. és mások Az algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv az általános nevelési-oktatási intézmények 10-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba jelentkezők számára).