Korzeń tych. n-ty kalkulator pierwiastka. Zasady znajdowania wartości pierwiastkowych i metody ich wydobywania

Kalkulator inżynieryjny online

Z przyjemnością oddajemy każdemu darmowy kalkulator inżynierski. Za jego pomocą każdy uczeń może szybko i co najważniejsze łatwo wykonać różnego rodzaju obliczenia matematyczne online.

Prosty i łatwy w użyciu kalkulator inżynieryjny z dyskretnym i intuicyjnym interfejsem będzie naprawdę przydatny dla szerokiego grona użytkowników Internetu. Teraz, kiedy tylko potrzebujesz kalkulatora, wejdź na naszą stronę i skorzystaj z bezpłatnego kalkulatora inżynierskiego.

Kalkulator inżynierski może wykonywać zarówno proste operacje arytmetyczne, jak i dość złożone obliczenia matematyczne.

Web20calc to kalkulator inżynierski, który ma ogromną liczbę funkcji, na przykład obliczanie wszystkich funkcji elementarnych. Kalkulator obsługuje także funkcje trygonometryczne, macierze, logarytmy, a nawet wykresy.

Bez wątpienia Web20calc zainteresuje tę grupę osób, które w poszukiwaniu prostych rozwiązań wpisują w wyszukiwarkach hasło: kalkulator matematyczny online. Bezpłatna aplikacja internetowa pomoże Ci błyskawicznie obliczyć wynik jakiegoś wyrażenia matematycznego, na przykład odjąć, dodać, podzielić, wyodrębnić pierwiastek, podnieść do potęgi itp.

W wyrażeniu można zastosować operacje potęgowania, dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, wartości procentowych i stałej PI. W przypadku skomplikowanych obliczeń należy uwzględnić nawiasy.

Funkcje kalkulatora inżynierskiego:

1. podstawowe działania arytmetyczne;
2. praca z liczbami w standardowej formie;
3. obliczanie pierwiastków trygonometrycznych, funkcji, logarytmów, potęgowania;
4. obliczenia statystyczne: dodawanie, średnia arytmetyczna lub odchylenie standardowe;
5. wykorzystanie komórek pamięci i funkcji własnych 2 zmiennych;
6. pracować z kątami w radianach i stopniach.

Kalkulator inżynieryjny umożliwia wykorzystanie różnorodnych funkcji matematycznych:

Wyodrębnianie pierwiastków (pierwiastek kwadratowy, sześcienny i n-ty);
ex (e do potęgi x), wykładniczy;
funkcje trygonometryczne: sinus – sin, cosinus – cos, tangens – tangens;
odwrotne funkcje trygonometryczne: arcsinus - sin-1, arcus cosinus - cos-1, arcustangens - tan-1;
funkcje hiperboliczne: sinus – sinh, cosinus – cosh, tangens – tanh;
logarytmy: logarytm binarny o podstawie drugiej - log2x, logarytm dziesiętny o podstawie dziesiątej - log, logarytm naturalny - ln.

Ten kalkulator inżynieryjny zawiera również kalkulator ilości z możliwością konwersji wielkości fizycznych dla różnych systemów miar - jednostek komputerowych, odległości, masy, czasu itp. Korzystając z tej funkcji, możesz błyskawicznie przeliczyć mile na kilometry, funty na kilogramy, sekundy na godziny itp.

Aby dokonać obliczeń matematycznych, najpierw wpisz ciąg wyrażeń matematycznych w odpowiednim polu, następnie kliknij znak równości i zobacz wynik. Wartości możesz wprowadzać bezpośrednio z klawiatury (w tym celu obszar kalkulatora musi być aktywny, dlatego przydatne byłoby umieszczenie kursora w polu wprowadzania). Dane można wprowadzać między innymi za pomocą przycisków samego kalkulatora.

Aby zbudować wykresy należy w polu wejściowym wpisać funkcję zgodnie ze wskazaniami w polu z przykładami lub skorzystać ze specjalnie do tego przeznaczonego paska narzędzi (aby przejść do niej należy kliknąć przycisk z ikoną wykresu). Aby przeliczyć wartości, kliknij Jednostka; aby pracować z macierzami, kliknij Matryca.

Zamieszczone na naszej stronie internetowej. Pierwiastkowanie liczby jest często wykorzystywane w różnych obliczeniach, a nasz kalkulator jest doskonałym narzędziem do takich obliczeń matematycznych.

Kalkulator online z korzeniami pozwoli Ci szybko i łatwo dokonać wszelkich obliczeń związanych z ekstrakcją korzeni. Trzeci pierwiastek można obliczyć równie łatwo, jak pierwiastek kwadratowy z liczby, pierwiastek z liczby ujemnej, pierwiastek z liczby zespolonej, pierwiastek z pi itp.

Obliczanie pierwiastka liczby jest możliwe ręcznie. Jeśli możliwe jest obliczenie całego pierwiastka z liczby, wówczas po prostu wartość wyrażenia radykalnego znajdujemy za pomocą tabeli pierwiastków. W innych przypadkach przybliżone obliczenie pierwiastków sprowadza się do rozłożenia wyrażenia radykalnego na iloczyn prostszych czynników, którymi są potęgi i które można usunąć znakiem pierwiastka, maksymalnie upraszczając wyrażenie pod pierwiastkiem.

Ale nie powinieneś używać tego rozwiązania root. I własnie dlatego. Po pierwsze, będziesz musiał spędzić dużo czasu na takich obliczeniach. Liczby u podstaw, a dokładniej, wyrażenia mogą być dość złożone, a stopień niekoniecznie jest kwadratowy lub sześcienny. Po drugie, dokładność takich obliczeń nie zawsze jest zadowalająca. Po trzecie, dostępny jest kalkulator korzeni online, który w ciągu kilku sekund wykona za Ciebie dowolne wyodrębnienie korzeni.

Wyodrębnić pierwiastek z liczby oznacza znaleźć liczbę, która podniesiona do potęgi n będzie równa wartości wyrażenia pierwiastkowego, gdzie n jest potęgą pierwiastka, a sama liczba jest podstawą liczby źródło. Pierwiastek drugiego stopnia nazywa się prostym lub kwadratowym, a pierwiastek trzeciego stopnia nazywa się sześciennym, pomijając w obu przypadkach oznaczenie stopnia.

Rozwiązywanie pierwiastków w kalkulatorze internetowym sprowadza się do wpisania wyrażenia matematycznego w wierszu wprowadzania. Wyodrębnienie pierwiastka w kalkulatorze oznaczane jest jako sqrt i odbywa się za pomocą trzech klawiszy - pierwiastka kwadratowego sqrt(x), pierwiastka sześciennego sqrt3(x) i n-tego pierwiastka sqrt(x,y). Bardziej szczegółowe informacje o panelu sterowania znajdują się na stronie.

Pierwiastek kwadratowy

Kliknięcie tego przycisku spowoduje wstawienie pierwiastka kwadratowego do linii wejściowej: sqrt(x), wystarczy wpisać wyrażenie pierwiastkowe i zamknąć nawias.

Przykład rozwiązywania pierwiastków kwadratowych w kalkulatorze:

Jeśli pierwiastek jest liczbą ujemną, a stopień pierwiastka jest parzysty, wówczas odpowiedź będzie reprezentowana jako liczba zespolona z jednostką urojoną i.

Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej:

Trzeci korzeń

Użyj tego klawisza, jeśli chcesz pobrać pierwiastek sześcienny. Wstawia wpis sqrt3(x) do linii wejściowej.

Korzeń III stopnia:

Pierwiastek stopnia n

Naturalnie kalkulator pierwiastków online pozwala wyodrębnić nie tylko pierwiastki kwadratowe i sześcienne z liczby, ale także pierwiastek stopnia n. Kliknięcie tego przycisku spowoduje wyświetlenie wpisu typu sqrt(x x,y).

4. pierwiastek:

Dokładny n-ty pierwiastek z liczby można wyodrębnić tylko wtedy, gdy sama liczba jest dokładnym n-tym pierwiastkiem. W przeciwnym razie obliczenia okażą się przybliżone, choć bardzo bliskie ideału, ponieważ dokładność obliczeń kalkulatora internetowego sięga 14 miejsc po przecinku.

Piąty pierwiastek z przybliżonym wynikiem:

Pierwiastek ułamka

Kalkulator może obliczyć pierwiastek z różnych liczb i wyrażeń. Znalezienie pierwiastka ułamka sprowadza się do oddzielnego wyodrębnienia pierwiastka z licznika i mianownika.

Pierwiastek kwadratowy ułamka:

Korzeń z korzenia

W przypadkach, gdy pierwiastek wyrażenia znajduje się pod pierwiastkiem, dzięki właściwościom pierwiastków można je zastąpić jednym pierwiastkiem, którego stopień będzie równy iloczynowi stopni obu. Mówiąc najprościej, aby wyodrębnić korzeń z korzenia, wystarczy pomnożyć wskaźniki korzeni. W przykładzie pokazanym na rysunku wyrażenie pierwiastek trzeciego stopnia z pierwiastka drugiego stopnia można zastąpić jednym pierwiastkiem szóstego stopnia. Określ wyrażenie według własnego uznania. W każdym razie kalkulator wszystko obliczy poprawnie.

Formuły stopni wykorzystywane w procesie redukcji i upraszczania wyrażeń złożonych, w rozwiązywaniu równań i nierówności.

Numer C Jest N-ta potęga liczby A Gdy:

Operacje na stopniach.

1. Mnożąc stopnie o tej samej podstawie, dodaje się ich wskaźniki:

jestem·a n = za m + n .

2. Dzieląc stopnie o tej samej podstawie, ich wykładniki odejmuje się:

3. Stopień iloczynu 2 lub więcej czynników jest równy iloczynowi stopni tych czynników:

(abc…) n = za n · b n · do n …

4. Stopień ułamka jest równy stosunkowi stopni dywidendy i dzielnika:

(a/b) n = za n /b n .

5. Podnosząc potęgę do potęgi, wykładniki mnoży się:

(a m) n = za m n .

Każdy powyższy wzór jest prawdziwy w kierunkach od lewej do prawej i odwrotnie.

Na przykład. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacje z korzeniami.

1. Pierwiastek iloczynu kilku czynników jest równy iloczynowi pierwiastków tych czynników:

2. Pierwiastek stosunku jest równy stosunkowi dywidendy i dzielnika pierwiastków:

3. Podnosząc pierwiastek do potęgi, wystarczy podnieść liczbę pierwiastkową do tej potęgi:

4. Jeśli zwiększysz stopień zakorzenienia N raz i jednocześnie wbudować N potęga jest liczbą radykalną, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:

5. Jeśli zmniejszysz stopień zakorzenienia N jednocześnie wyodrębnij korzeń N-ta potęga liczby pierwiastkowej, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:

Stopień z wykładnikiem ujemnym. Potęgę pewnej liczby o wykładniku niedodatnim (całkowitym) definiuje się jako podzieloną przez potęgę tej samej liczby o wykładniku równym wartości bezwzględnej wykładnika niedodatniego:

Formuła jestem:a n = a m - n można używać nie tylko do M> N, ale także z M< N.

Na przykład. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Do formuły jestem:a n = a m - n stało się sprawiedliwe, kiedy m=n, wymagana jest obecność stopnia zerowego.

Stopień z indeksem zerowym. Potęga dowolnej liczby różnej od zera z wykładnikiem zerowym jest równa jeden.

Na przykład. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stopień z wykładnikiem ułamkowym. Aby podnieść liczbę rzeczywistą A do stopnia m/n, musisz wyodrębnić root N stopień M-ta potęga tej liczby A.

N-ty pierwiastek liczby x jest nieujemną liczbą z, która podniesiona do n-tej potęgi daje x. Wyznaczanie pierwiastka znajduje się na liście podstawowych operacji arytmetycznych, z którymi zapoznajemy się w dzieciństwie.

Notacja matematyczna

„Korzeń” pochodzi od łacińskiego słowa radix, a dziś słowo „radykalny” jest używane jako synonim tego terminu matematycznego. Od XIII wieku matematycy oznaczali operację pierwiastkową literą r z poziomą kreską nad wyrazem pierwiastkowym. W XVI wieku wprowadzono oznaczenie V, które stopniowo zastępowało znak r, jednak linia pozioma pozostała. Łatwo jest pisać w drukarni lub pisać ręcznie, ale w wydawnictwach elektronicznych i programowaniu rozpowszechniło się oznaczenie literowe rdzenia - sqrt. W ten sposób będziemy oznaczać pierwiastki kwadratowe w tym artykule.

Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastek kwadratowy liczby x to liczba z, która pomnożona przez samą siebie daje x. Na przykład, jeśli pomnożymy 2 przez 2, otrzymamy 4. Dwa w tym przypadku to pierwiastek kwadratowy z czterech. Pomnóż 5 przez 5, otrzymamy 25 i teraz znamy już wartość wyrażenia sqrt(25). Możemy pomnożyć i – 12 przez -12, aby otrzymać 144, a pierwiastek 144 to zarówno 12, jak i -12. Oczywiście pierwiastki kwadratowe mogą być zarówno liczbami dodatnimi, jak i ujemnymi.

Specyficzny dualizm takich pierwiastków jest istotny przy rozwiązywaniu równań kwadratowych, dlatego szukając odpowiedzi w tego typu zagadnieniach konieczne jest wskazanie obu pierwiastków. Przy rozwiązywaniu wyrażeń algebraicznych stosuje się arytmetyczne pierwiastki kwadratowe, czyli tylko ich wartości dodatnie.

Liczby, których pierwiastki kwadratowe są liczbami całkowitymi, nazywane są doskonałymi kwadratami. Istnieje cały ciąg takich liczb, którego początek wygląda następująco:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Pierwiastki kwadratowe innych liczb są liczbami niewymiernymi. Na przykład sqrt(3) = 1,73205080757... i tak dalej. Liczba ta jest nieskończona i nieokresowa, co powoduje pewne trudności w obliczaniu takich rodników.

Szkolny kurs matematyki mówi, że nie można obliczać pierwiastka kwadratowego z liczb ujemnych. Jak uczymy się na uniwersyteckim kursie analizy matematycznej, można i należy to zrobić – dlatego potrzebne są liczby zespolone. Jednak nasz program ma na celu wyodrębnienie rzeczywistych wartości pierwiastkowych, więc nie oblicza nawet rodników z liczb ujemnych.

pierwiastek sześcienny

Pierwiastek sześcienny liczby x to liczba z, która pomnożona przez siebie trzykrotnie daje liczbę x. Na przykład, jeśli pomnożymy 2 × 2 × 2, otrzymamy 8. Zatem dwa jest pierwiastkiem sześciennym z ośmiu. Pomnóż cztery przez samą siebie trzy razy i otrzymaj 4 × 4 × 4 = 64. Oczywiście czwórka jest pierwiastkiem sześciennym liczby 64. Istnieje nieskończony ciąg liczb, których pierwiastki sześcienne są liczbami całkowitymi. Jego początek wygląda następująco:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

W przypadku innych liczb pierwiastki sześcienne są liczbami niewymiernymi. W przeciwieństwie do pierwiastków kwadratowych, pierwiastki sześcienne, jak wszystkie pierwiastki nieparzyste, można wyprowadzić z liczb ujemnych. Chodzi o iloczyn liczb mniejszych od zera. Minus za minus daje plus – zasada znana ze szkoły. A minus za plus daje minus. Jeśli pomnożymy liczby ujemne nieparzystą liczbę razy, wynik również będzie ujemny, zatem nic nie stoi na przeszkodzie, aby z liczby ujemnej wydobyć pierwiastek nieparzysty.

Jednak program kalkulatora działa inaczej. Zasadniczo wyodrębnienie pierwiastka polega na podniesieniu go do odwrotnej potęgi. Przyjmuje się, że pierwiastek kwadratowy jest podniesiony do potęgi 1/2, a pierwiastek sześcienny do potęgi 1/3. Wzór na podniesienie do potęgi 1/3 można przekształcić i wyrazić jako 2/6. Wynik jest taki sam, ale nie można wyodrębnić takiego pierwiastka z liczby ujemnej. Dlatego nasz kalkulator oblicza pierwiastki arytmetyczne tylko z liczb dodatnich.

n-ty pierwiastek

Taka ozdobna metoda obliczania rodników pozwala określić pierwiastki dowolnego stopnia z dowolnego wyrażenia. Możesz podnieść piąty pierwiastek sześcianu liczby lub 19. pierwiastek liczby do potęgi 12. Wszystko to elegancko zaimplementowano w formie podniesienia odpowiednio do potęgi 3/5 lub 12/19.

Spójrzmy na przykład

Przekątna kwadratu

Irracjonalność przekątnej kwadratu była znana starożytnym Grekom. Stanęli przed problemem obliczenia przekątnej płaskiego kwadratu, ponieważ jego długość jest zawsze proporcjonalna do pierwiastka z dwóch. Wzór na określenie długości przekątnej wywodzi się i ostatecznie przyjmuje postać:

d = a × sqrt(2).

Wyznaczmy pierwiastek kwadratowy dwójki za pomocą naszego kalkulatora. W komórce „Liczba(x)” wpisujemy wartość 2, a w komórce „Stopień(n)” wartość 2. Otrzymujemy w rezultacie wyrażenie sqrt(2) = 1,4142. Zatem, aby z grubsza oszacować przekątną kwadratu, wystarczy pomnożyć jego bok przez 1,4142.

Wniosek

Znalezienie pierwiastka jest standardową operacją arytmetyczną, bez której niezbędne są obliczenia naukowe lub projektowe. Oczywiście nie musimy wyznaczać pierwiastków, aby rozwiązywać codzienne problemy, ale nasz kalkulator online z pewnością przyda się uczniom lub studentom do sprawdzania zadań domowych z algebry lub rachunku różniczkowego.

Czas to uporządkować metody ekstrakcji korzeni. Opierają się one na własnościach pierwiastków, w szczególności na równości, która obowiązuje dla każdej liczby nieujemnej b.

Poniżej przyjrzymy się głównym metodom wydobywania korzeni jeden po drugim.

Zacznijmy od najprostszego przypadku - wyciągania pierwiastków z liczb naturalnych za pomocą tabeli kwadratów, tabeli kostek itp.

Jeśli tabele kwadratów, sześcianów itp. Jeśli nie masz go pod ręką, logiczne jest zastosowanie metody wyodrębniania pierwiastka, która polega na rozłożeniu liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze.

Warto szczególnie wspomnieć, co jest możliwe dla pierwiastków o wykładnikach nieparzystych.

Na koniec rozważmy metodę, która pozwala nam sekwencyjnie znajdować cyfry wartości pierwiastkowej.

Zacznijmy.

Korzystanie z tabeli kwadratów, tabeli kostek itp.

W najprostszych przypadkach tabele kwadratów, kostek itp. pozwalają na wyodrębnienie pierwiastków. Co to za tabele?

Tabela kwadratów liczb całkowitych od 0 do 99 włącznie (pokazana poniżej) składa się z dwóch stref. Pierwsza strefa tabeli zlokalizowana jest na szarym tle i wybierając konkretny wiersz oraz konkretną kolumnę, pozwala na ułożenie liczby od 0 do 99. Na przykład wybierzmy wiersz składający się z 8 dziesiątek i kolumnę zawierającą 3 jednostki, w ten sposób ustaliliśmy liczbę 83. Druga strefa zajmuje resztę stołu. Każda komórka znajduje się na przecięciu określonego wiersza i określonej kolumny i zawiera kwadrat odpowiedniej liczby od 0 do 99. Na przecięciu wybranego przez nas rzędu 8 dziesiątek i kolumny 3 jedności znajduje się komórka z liczbą 6889, która jest kwadratem liczby 83.

Tablice kostek, tablice czwartych potęg liczb od 0 do 99 itd. są podobne do tablicy kwadratów, tyle że zawierają kostki, czwarte potęgi itp. w drugiej strefie. odpowiednie liczby.

Tablice kwadratów, sześcianów, czwartych potęg itp. pozwalają wyodrębnić pierwiastki kwadratowe, pierwiastki sześcienne, pierwiastki czwarte itp. odpowiednio na podstawie liczb w tych tabelach. Wyjaśnijmy zasadę ich stosowania podczas wydobywania korzeni.

Powiedzmy, że musimy wyodrębnić n-ty pierwiastek z liczby a, podczas gdy liczba a jest zawarta w tabeli n-tych potęg. Korzystając z tej tabeli, znajdujemy liczbę b taką, że a=b n. Następnie dlatego liczba b będzie pożądanym pierwiastkiem n-tego stopnia.

Jako przykład pokażmy, jak użyć tabeli kostek do wyodrębnienia pierwiastka sześciennego z 19 683. W tabeli kostek znajdujemy liczbę 19 683, z niej dowiadujemy się, że ta liczba jest sześcianem liczby 27, dlatego też .

Jest oczywiste, że tablice n-tych potęg są bardzo wygodne do wyodrębniania pierwiastków. Często jednak nie są one pod ręką, a ich skompilowanie zajmuje trochę czasu. Ponadto często konieczne jest wyodrębnienie pierwiastków z liczb, które nie są zawarte w odpowiednich tabelach. W takich przypadkach należy zastosować inne metody ekstrakcji korzeni.

Rozkładanie liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze

Dość wygodnym sposobem wyodrębnienia pierwiastka z liczby naturalnej (jeśli oczywiście zostanie wyodrębniony pierwiastek) jest rozłożenie liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze. Jego chodzi o to: potem dość łatwo jest przedstawić to jako potęgę o pożądanym wykładniku, co pozwala uzyskać wartość pierwiastka. Wyjaśnijmy tę kwestię.

Weźmy n-ty pierwiastek liczby naturalnej a i jego wartość będzie równa b. W tym przypadku prawdziwa jest równość a=bn. Liczbę b, jak każdą liczbę naturalną, można przedstawić jako iloczyn wszystkich jej czynników pierwszych p 1 , p 2 , …, p m w postaci p 1 ·p 2 ·…·p m , oraz w tym przypadku liczby pierwiastkowej a jest reprezentowane jako (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Ponieważ rozkład liczby na czynniki pierwsze jest jednoznaczny, rozkład pierwiastka liczby a na czynniki pierwsze będzie miał postać (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, co pozwala obliczyć wartość pierwiastka Jak .

Należy zauważyć, że jeśli rozkładu liczby a na czynniki pierwsze nie można przedstawić w postaci (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, to n-ty pierwiastek takiej liczby a nie jest wyodrębniony całkowicie.

Rozwiążmy to, rozwiązując przykłady.

Przykład.

Weź pierwiastek kwadratowy ze 144.

Rozwiązanie.

Jeśli spojrzysz na tabelę kwadratów podaną w poprzednim akapicie, wyraźnie zobaczysz, że 144 = 12 2, z czego jasno wynika, że ​​pierwiastek kwadratowy z 144 jest równy 12.

Jednak w świetle tego punktu interesuje nas sposób wyodrębnienia pierwiastka poprzez rozkład pierwiastka liczby 144 na czynniki pierwsze. Przyjrzyjmy się temu rozwiązaniu.

Rozłóżmy się 144 do czynników pierwszych:

Oznacza to, że 144=2,2,2,2,3,3. Na podstawie powstałego rozkładu można przeprowadzić następujące przekształcenia: 144=2·2·2·2·3·3=(2,2) 2,3 2 =(2,2,3) 2 =12 2. Stąd, .

Korzystając z właściwości stopnia i właściwości pierwiastków, rozwiązanie można sformułować nieco inaczej: .

Odpowiedź:

Aby skonsolidować materiał, rozważ rozwiązania dwóch kolejnych przykładów.

Przykład.

Oblicz wartość pierwiastka.

Rozwiązanie.

Rozkład na czynniki pierwsze rodnika 243 ma postać 243=3 5 . Zatem, .

Odpowiedź:

Przykład.

Czy wartość pierwiastkowa jest liczbą całkowitą?

Rozwiązanie.

Aby odpowiedzieć na to pytanie, rozłóżmy liczbę pierwiastkową na czynniki pierwsze i zobaczmy, czy można ją przedstawić w postaci sześcianu liczby całkowitej.

Mamy 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Wynikowego rozwinięcia nie można przedstawić w postaci sześcianu liczby całkowitej, ponieważ potęga czynnika pierwszego 7 nie jest wielokrotnością trzech. Dlatego nie można całkowicie wyodrębnić pierwiastka sześciennego z 285 768.

Odpowiedź:

NIE.

Wyodrębnianie pierwiastków z liczb ułamkowych

Czas dowiedzieć się, jak wyodrębnić pierwiastek z liczby ułamkowej. Niech rodnik ułamkowy zostanie zapisany jako p/q. Zgodnie z właściwością pierwiastka ilorazu prawdziwa jest następująca równość. Z tej równości wynika zasada wyodrębniania pierwiastka ułamka zwykłego: Pierwiastek ułamka jest równy ilorazowi pierwiastka licznika podzielonego przez pierwiastek mianownika.

Spójrzmy na przykład wyodrębnienia pierwiastka z ułamka.

Przykład.

Jaki jest pierwiastek kwadratowy ułamka zwykłego 25/169?

Rozwiązanie.

Korzystając z tabeli kwadratów, stwierdzamy, że pierwiastek kwadratowy licznika ułamka pierwotnego jest równy 5, a pierwiastek kwadratowy mianownika jest równy 13. Następnie . Na tym kończy się ekstrakcja pierwiastka frakcji wspólnej 25/169.

Odpowiedź:

Pierwiastek ułamka dziesiętnego lub liczby mieszanej wyodrębnia się po zastąpieniu liczb pierwiastkowych ułamkami zwykłymi.

Przykład.

Weź pierwiastek sześcienny ułamka dziesiętnego 474,552.

Rozwiązanie.

Wyobraźmy sobie pierwotny ułamek dziesiętny jako ułamek zwykły: 474,552=474552/1000. Następnie . Pozostaje wyodrębnić pierwiastki sześcienne znajdujące się w liczniku i mianowniku powstałego ułamka. Ponieważ 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 i 1 000 = 10 3, wtedy I . Pozostaje tylko dokończyć obliczenia .

Odpowiedź:

.

Biorąc pierwiastek z liczby ujemnej

Warto zastanowić się nad wyodrębnianiem pierwiastków z liczb ujemnych. Badając pierwiastki, powiedzieliśmy, że jeśli wykładnik pierwiastkowy jest liczbą nieparzystą, wówczas pod znakiem pierwiastka może znajdować się liczba ujemna. Nadaliśmy tym wpisom następujące znaczenie: dla liczby ujemnej −a i nieparzystego wykładnika pierwiastka 2 n−1, . Ta równość daje zasada wyodrębniania pierwiastków nieparzystych z liczb ujemnych: aby wyodrębnić pierwiastek z liczby ujemnej, musisz wziąć pierwiastek z przeciwnej liczby dodatniej i umieścić znak minus przed wynikiem.

Spójrzmy na przykładowe rozwiązanie.

Przykład.

Znajdź wartość pierwiastka.

Rozwiązanie.

Przekształćmy oryginalne wyrażenie tak, aby pod pierwiastkiem znajdowała się liczba dodatnia: . Teraz zamień liczbę mieszaną na ułamek zwykły: . Stosujemy regułę wyodrębniania pierwiastka ułamka zwykłego: . Pozostaje obliczyć pierwiastki w liczniku i mianowniku powstałego ułamka: .

Oto krótkie podsumowanie rozwiązania: .

Odpowiedź:

.

Bitowe określenie wartości pierwiastkowej

W ogólnym przypadku pod pierwiastkiem znajduje się liczba, której przy użyciu technik omówionych powyżej nie można przedstawić jako n-tą potęgę dowolnej liczby. Ale w tym przypadku trzeba znać znaczenie danego pierwiastka, przynajmniej do pewnego znaku. W takim przypadku, aby wyodrębnić pierwiastek, możesz użyć algorytmu, który pozwala sekwencyjnie uzyskać wystarczającą liczbę wartości cyfr żądanej liczby.

Pierwszym krokiem tego algorytmu jest sprawdzenie, jaki jest najbardziej znaczący bit wartości pierwiastkowej. W tym celu liczby 0, 10, 100, ... są kolejno podnoszone do potęgi n, aż do momentu, gdy liczba przekroczy liczbę pierwiastkową. Następnie liczba, którą podnieśliśmy do potęgi n na poprzednim etapie, wskaże odpowiednią najbardziej znaczącą cyfrę.

Rozważmy na przykład ten krok algorytmu podczas wyodrębniania pierwiastka kwadratowego z pięciu. Weź liczby 0, 10, 100, ... i podnieś je do kwadratu, aż otrzymamy liczbę większą niż 5. Mamy 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, co oznacza, że ​​najbardziej znaczącą cyfrą będzie cyfra jedności. Wartość tego bitu, jak i niższych, zostanie odnaleziona w kolejnych krokach algorytmu ekstrakcji pierwiastka.

Wszystkie kolejne kroki algorytmu mają na celu sekwencyjne doprecyzowanie wartości pierwiastka poprzez znalezienie wartości kolejnych bitów pożądanej wartości pierwiastka, zaczynając od najwyższej i przechodząc do najniższych. Przykładowo wartość pierwiastka w pierwszym kroku okazuje się wynosić 2, w drugim – 2,2, w trzecim – 2,23 i tak dalej 2,236067977…. Opiszmy, jak znaleźć wartości cyfr.

Cyfry można znaleźć, przeszukując ich możliwe wartości 0, 1, 2, ..., 9. W tym przypadku n-te potęgi odpowiednich liczb są obliczane równolegle i porównywane z liczbą pierwiastkową. Jeżeli na pewnym etapie wartość stopnia przekroczy liczbę pierwiastkową, wówczas uznaje się, że wartość cyfry odpowiadająca poprzedniej wartości zostaje znaleziona i następuje przejście do kolejnego kroku algorytmu ekstrakcji pierwiastka; jeżeli tak się nie stanie, wówczas wartość tej cyfry wynosi 9.

Wyjaśnijmy te punkty na tym samym przykładzie wyodrębnienia pierwiastka kwadratowego z pięciu.

Najpierw znajdujemy wartość cyfry jedności. Będziemy przechodzić przez wartości 0, 1, 2, ..., 9, obliczając odpowiednio 0 2, 1 2, ..., 9 2, aż otrzymamy wartość większą niż pierwiastek 5. Wszystkie te obliczenia wygodnie jest przedstawić w formie tabeli:

Zatem wartość cyfry jedności wynosi 2 (ponieważ 2 2<5 , а 2 3 >5). Przejdźmy do znalezienia wartości miejsca dziesiątego. W tym przypadku podniesiemy liczby 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9 do kwadratu, porównując uzyskane wartości z rodnikiem 5:

Od 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, wówczas wartość miejsca dziesiątego wynosi 2. Możesz przystąpić do znajdowania wartości miejsca setnego:

W ten sposób znaleziono kolejną wartość pierwiastka z pięciu, która wynosi 2,23. Możesz więc nadal znajdować wartości: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Aby utrwalić materiał, przeanalizujemy ekstrakcję pierwiastka z dokładnością do setnych, stosując rozważany algorytm.

Najpierw określamy najbardziej znaczącą cyfrę. Aby to zrobić, dzielimy liczby 0, 10, 100 itd. dopóki nie otrzymamy liczby większej niż 2 151 186. Mamy 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, więc najbardziej znaczącą cyfrą jest cyfra dziesiątek.

Ustalmy jego wartość.

Od 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, wówczas wartość miejsca dziesiątek wynosi 1. Przejdźmy do jednostek.

Zatem wartość cyfry jedności wynosi 2. Przejdźmy do dziesiątek.

Ponieważ nawet 12,9 3 jest mniejsze niż pierwiastek 2 151,186, wówczas wartość miejsca dziesiątego wynosi 9. Pozostaje wykonać ostatni krok algorytmu, który da nam wartość pierwiastka z wymaganą dokładnością.

Na tym etapie wartość pierwiastka ustala się z dokładnością do setnych: .

Podsumowując ten artykuł, chciałbym powiedzieć, że istnieje wiele innych sposobów ekstrakcji korzeni. Ale w przypadku większości zadań wystarczą te, które przestudiowaliśmy powyżej.

Bibliografia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 8. instytucje edukacyjne.
• Kołmogorow A.N., Abramow A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: Podręcznik dla klas 10 - 11 szkół ogólnokształcących.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach).