Elementar As seguintes transformações de matriz são chamadas:

1) permutação de quaisquer duas linhas (ou colunas),

2) multiplicar uma linha (ou coluna) por um número diferente de zero,

3) adicionar a uma linha (ou coluna) outra linha (ou coluna), multiplicada por um determinado número.

As duas matrizes são chamadas equivalente, se um deles for obtido do outro usando um conjunto finito de transformações elementares.

Matrizes equivalentes não são, em geral, iguais, mas suas classificações são iguais. Se as matrizes A e B são equivalentes, então é escrito da seguinte forma: A ~ B.

Canônico Uma matriz é uma matriz em que no início da diagonal principal existem várias unidades consecutivas (cujo número pode ser zero), e todos os outros elementos são iguais a zero, por exemplo,

Usando transformações elementares de linhas e colunas, qualquer matriz pode ser reduzida a canônica. A classificação de uma matriz canônica é igual ao número de unidades em sua diagonal principal.

Exemplo 2 Encontre a classificação de uma matriz

UMA=

e trazê-lo para a forma canônica.

Solução. Da segunda linha, subtraia a primeira e reorganize estas linhas:

.

Agora da segunda e terceira linhas subtraímos a primeira, multiplicada por 2 e 5, respectivamente:

;

subtraia a primeira da terceira linha; obtemos uma matriz

B = ,

que equivale à matriz A, pois dela é obtida por meio de um conjunto finito de transformações elementares. Obviamente, a classificação da matriz B é 2 e, portanto, r(A)=2. A matriz B pode ser facilmente reduzida a canônica. Ao subtrair a primeira coluna, multiplicada por números adequados, de todas as subsequentes, zeramos todos os elementos da primeira linha, exceto a primeira, e os elementos das linhas restantes não mudam. Então, subtraindo a segunda coluna, multiplicada por números adequados, de todas as subsequentes, zeramos todos os elementos da segunda linha, exceto a segunda, e obtemos a matriz canônica:

.

Teorema de Kronecker-Capelli- critério de compatibilidade para um sistema de equações algébricas lineares:

Para que um sistema linear seja consistente, é necessário e suficiente que o posto da matriz estendida deste sistema seja igual ao posto de sua matriz principal.

Prova (condições de compatibilidade do sistema)

Necessidade

Deixar sistema articulação Depois, há números como esse. Portanto, a coluna é uma combinação linear das colunas da matriz. Do fato de que a classificação de uma matriz não mudará se uma linha (coluna) for excluída ou adicionada do sistema de suas linhas (colunas), que é uma combinação linear de outras linhas (colunas), segue-se que.

Adequação

Deixar . Vamos pegar alguns detalhes básicos da matriz. Desde então também será a base menor da matriz. Então, de acordo com o teorema da base menor, a última coluna da matriz será uma combinação linear das colunas de base, ou seja, as colunas da matriz. Portanto, a coluna de termos livres do sistema é uma combinação linear das colunas da matriz.

Consequências

Número de variáveis ​​principais sistemas igual à classificação do sistema.

Articulação sistema será definido (sua solução é única) se o posto do sistema for igual ao número de todas as suas variáveis.

Sistema homogêneo de equações

Oferecer15 . 2 Sistema homogêneo de equações

é sempre conjunto.

Prova. Para este sistema, o conjunto de números,,,, é uma solução.

Nesta seção usaremos a notação matricial do sistema: .

Oferecer15 . 3 A soma das soluções de um sistema homogêneo de equações lineares é uma solução desse sistema. Uma solução multiplicada por um número também é uma solução.

Prova. Deixe-os servir como soluções para o sistema. Então e. Deixar . Então

Desde então - a solução.

Seja um número arbitrário, . Então

Desde então - a solução.

Consequência15 . 1 Se um sistema homogêneo de equações lineares tiver uma solução diferente de zero, então ele terá infinitas soluções diferentes.

Na verdade, multiplicando uma solução diferente de zero por vários números, obteremos soluções diferentes.

Definição15 . 5 Diremos que as soluções formulário de sistemas sistema fundamental de soluções, se colunas formam um sistema linearmente independente e qualquer solução para o sistema é uma combinação linear dessas colunas.

Para calcular a classificação de uma matriz, você pode usar o método dos menores limítrofes ou o método gaussiano. Consideremos o método gaussiano ou o método das transformações elementares.

A classificação de uma matriz é a ordem máxima de seus menores, entre os quais existe pelo menos um que não seja igual a zero.

A classificação de um sistema de linhas (colunas) é o número máximo de linhas (colunas) linearmente independentes deste sistema.

Algoritmo para encontrar a classificação de uma matriz usando o método dos menores limítrofes:

1. Menor Mk-isso a ordem não é zero.
2. Se fizer fronteira com menores para menores M (k+1)º ordem, é impossível compor (ou seja, a matriz contém k linhas ou k colunas), então a classificação da matriz é igual a k. Se existirem menores limítrofes e forem todos zero, então a classificação é k. Se entre os menores limítrofes houver pelo menos um que não seja igual a zero, tentamos compor um novo menor k+2 etc.

Vamos analisar o algoritmo com mais detalhes. Primeiro, considere os menores da primeira ordem (elementos da matriz) da matriz A. Se todos forem iguais a zero, então classificaçãoA = 0. Se houver menores de primeira ordem (elementos da matriz) que não sejam iguais a zero M 1 ≠ 0, então a classificação classificaçãoA ≥ 1.

M1. Se existirem tais menores, então serão menores de segunda ordem. Se todos os menores estiverem na fronteira com um menor M1 são iguais a zero, então classificaçãoA = 1. Se houver pelo menos um menor de segunda ordem diferente de zero M2 ≠ 0, então a classificação classificaçãoA ≥ 2.

Vamos verificar se há menores limítrofes para o menor M2. Se existirem tais menores, então serão menores de terceira ordem. Se todos os menores estiverem na fronteira com um menor M2 são iguais a zero, então classificaçãoA = 2. Se houver pelo menos um menor de terceira ordem diferente de zero M 3 ≠ 0, então a classificação classificaçãoA ≥ 3.

Vamos verificar se há menores limítrofes para o menor M3. Se existirem tais menores, então serão menores de quarta ordem. Se todos os menores estiverem na fronteira com um menor M3 são iguais a zero, então classificaçãoA = 3. Se houver pelo menos um menor de quarta ordem diferente de zero M4 ≠ 0, então a classificação classificaçãoA ≥ 4.

Verificando se existe um menor limítrofe para o menor M4, e assim por diante. O algoritmo para se em algum estágio os menores limítrofes forem iguais a zero ou o menor limítrofe não puder ser obtido (a matriz “fica sem” linhas ou colunas). A ordem do menor diferente de zero que foi criada será a classificação da matriz.

Exemplo

Vejamos esse método usando um exemplo. Dada uma matriz 4x5:

Esta matriz não pode ter uma classificação superior a 4. Além disso, esta matriz possui elementos diferentes de zero (menores de primeira ordem), o que significa que a classificação da matriz é ≥ 1.

Vamos compor um menor 2º ordem. Vamos começar pela esquina.

Então o determinante é igual a zero, vamos criar outro menor.

Vamos encontrar o determinante deste menor.

Defina um dado menor igual a -2 . Então a classificação da matriz ≥ 2 .

Se este menor fosse igual a 0, então outros menores seriam formados. Até o final teriam composto todos os menores da 1ª e 2ª linhas. Depois linha 1 e 3, linha 2 e 3, linha 2 e 4, até encontrar um menor diferente de 0, por exemplo:

Se todos os menores de segunda ordem fossem 0, então a classificação da matriz seria 1. A solução poderia ser interrompida.

3º ordem.

O menor acabou não sendo zero. significa a classificação da matriz ≥ 3 .

Se esse menor fosse zero, então outros menores precisariam ser compostos. Por exemplo:

Se todos os menores de terceira ordem fossem 0, então a classificação da matriz seria 2. A solução poderia ser interrompida.

Vamos continuar procurando a classificação da matriz. Vamos compor um menor 4º ordem.

Vamos encontrar o determinante deste menor.

O determinante do menor acabou sendo igual a 0 . Vamos construir outro menor.

Vamos encontrar o determinante deste menor.

O menor acabou sendo igual 0 .

Construir menor 5 ª order não funcionará, não há linha para isso nesta matriz. O último menor não era igual a zero 3º ordem, o que significa que a classificação da matriz é igual a 3 .

>>Classificação da matriz

Classificação da matriz

Determinando a classificação de uma matriz

Considere uma matriz retangular. Se nesta matriz selecionarmos arbitrariamente k linhas e k colunas, então os elementos na interseção das linhas e colunas selecionadas formam uma matriz quadrada de k-ésima ordem. O determinante desta matriz é chamado menor de k-ésima ordem matriz A. Obviamente, a matriz A tem menores de qualquer ordem de 1 ao menor dos números m e n. Entre todos os menores diferentes de zero da matriz A, existe pelo menos um menor cuja ordem é maior. A maior das ordens menores diferentes de zero de uma determinada matriz é chamada classificação matrizes. Se a classificação da matriz A for R, isso significa que a matriz A tem um menor diferente de zero de ordem R, mas todo menor de ordem maior que R, é igual a zero. A classificação da matriz A é denotada por r(A). Obviamente, a relação se mantém

Calculando a classificação de uma matriz usando menores

A classificação da matriz é encontrada pelo método dos menores limítrofes ou pelo método das transformações elementares. Ao calcular a classificação de uma matriz usando o primeiro método, você deve passar dos menores de ordem inferior para os menores de ordem superior. Se um D menor da k-ésima ordem da matriz A, diferente de zero, já foi encontrado, então apenas os menores de ordem (k+1) que fazem fronteira com o D menor requerem cálculo, ou seja, contendo-o como menor. Se todos forem iguais a zero, então a classificação da matriz é igual a k.

Exemplo 1.Encontre a classificação da matriz usando o método dos menores limítrofes

.

Solução.Começamos com menores de 1ª ordem, ou seja, dos elementos da matriz A. Escolhamos, por exemplo, um menor (elemento) M 1 = 1, localizado na primeira linha e na primeira coluna. Fazendo fronteira com a ajuda da segunda linha e da terceira coluna, obtemos um M 2 menor = diferente de zero. Passamos agora aos menores de 3ª ordem que fazem fronteira com M2. Existem apenas dois deles (você pode adicionar uma segunda ou quarta coluna). Vamos calculá-los: = 0. Assim, todos os menores limítrofes de terceira ordem acabaram sendo iguais a zero. A classificação da matriz A é dois.

Calculando a classificação de uma matriz usando transformações elementares

ElementarAs seguintes transformações de matriz são chamadas:

1) permutação de quaisquer duas linhas (ou colunas),

2) multiplicar uma linha (ou coluna) por um número diferente de zero,

3) adicionar a uma linha (ou coluna) outra linha (ou coluna), multiplicada por um determinado número.

As duas matrizes são chamadas equivalente, se um deles for obtido do outro usando um conjunto finito de transformações elementares.

Matrizes equivalentes não são, em geral, iguais, mas suas classificações são iguais. Se as matrizes A e B são equivalentes, então é escrito da seguinte forma: A~ B.

CanônicoUma matriz é uma matriz em que no início da diagonal principal existem várias unidades consecutivas (cujo número pode ser zero), e todos os outros elementos são iguais a zero, por exemplo,

.

Usando transformações elementares de linhas e colunas, qualquer matriz pode ser reduzida a canônica. A classificação de uma matriz canônica é igual ao número de unidades em sua diagonal principal.

Exemplo 2Encontre a classificação de uma matriz

UMA=

e trazê-lo para a forma canônica.

Solução. Da segunda linha, subtraia a primeira e reorganize estas linhas:

.

Agora da segunda e terceira linhas subtraímos a primeira, multiplicada por 2 e 5, respectivamente:

;

subtraia a primeira da terceira linha; obtemos uma matriz

B = ,

que equivale à matriz A, pois dela é obtida por meio de um conjunto finito de transformações elementares. Obviamente, a classificação da matriz B é 2 e, portanto, r(A)=2. A matriz B pode ser facilmente reduzida a canônica. Ao subtrair a primeira coluna, multiplicada por números adequados, de todas as subsequentes, zeramos todos os elementos da primeira linha, exceto a primeira, e os elementos das linhas restantes não mudam. Então, subtraindo a segunda coluna, multiplicada por números adequados, de todas as subsequentes, zeramos todos os elementos da segunda linha, exceto a segunda, e obtemos a matriz canônica:

.

Deixe alguma matriz ser dada:

.

Vamos selecionar nesta matriz cadeias arbitrárias e colunas arbitrárias
. Então o determinante ª ordem, composta por elementos da matriz
, localizado na intersecção das linhas e colunas selecionadas, é chamado de menor a matriz de ordem
.

Definição 1.13. Classificação da matriz
é a maior ordem do menor diferente de zero desta matriz.

Para calcular o posto de uma matriz, deve-se considerar todos os seus menores de ordem inferior e, se pelo menos um deles for diferente de zero, passar a considerar os menores de ordem superior. Essa abordagem para determinar a classificação de uma matriz é chamada de método de fronteira (ou método de fronteira de menores).

Problema 1.4. Usando o método de fronteira com menores, determine a classificação da matriz
.

.

Considere a orla de primeira ordem, por exemplo,
. Em seguida, passamos a considerar algumas arestas de segunda ordem.

Por exemplo,
.

Por fim, analisemos a fronteira de terceira ordem.

.

Portanto, a ordem mais alta de um menor diferente de zero é 2, portanto
.

Ao resolver o Problema 1.4, você pode notar que um número de menores limítrofes de segunda ordem é diferente de zero. A este respeito, aplica-se o seguinte conceito.

Definição 1.14. Uma base menor de uma matriz é qualquer menor diferente de zero cuja ordem é igual à classificação da matriz.

Teorema 1.2.(Teorema da base menor). As linhas de base (colunas de base) são linearmente independentes.

Observe que as linhas (colunas) de uma matriz são linearmente dependentes se e somente se pelo menos uma delas puder ser representada como uma combinação linear das outras.

Teorema 1.3. O número de linhas da matriz linearmente independentes é igual ao número de colunas da matriz linearmente independentes e é igual à classificação da matriz.

Teorema 1.4.(Condição necessária e suficiente para que o determinante seja igual a zero). Para que o determinante -ª ordem fosse igual a zero, é necessário e suficiente que suas linhas (colunas) sejam linearmente dependentes.

Calcular a classificação de uma matriz com base na sua definição é muito complicado. Isto se torna especialmente importante para matrizes de ordens superiores. Nesse sentido, na prática, o posto de uma matriz é calculado com base na aplicação dos Teoremas 10.2 - 10.4, bem como na utilização dos conceitos de equivalência de matrizes e transformações elementares.

Definição 1.15. Duas matrizes
E são chamados equivalentes se suas classificações forem iguais, ou seja,
.

Se matrizes
E são equivalentes, então observe
 .

Teorema 1.5. A classificação da matriz não muda devido a transformações elementares.

Chamaremos transformações matriciais elementares
qualquer uma das seguintes operações em uma matriz:

Substituir linhas por colunas e colunas por linhas correspondentes;

Reorganizando linhas da matriz;

Riscando uma linha cujos elementos são todos zero;

Multiplicar uma string por um número diferente de zero;

Somando aos elementos de uma linha os elementos correspondentes de outra linha multiplicados pelo mesmo número
.

Corolário do Teorema 1.5. Se matriz
obtido da matriz usando um número finito de transformações elementares, então a matriz
E são equivalentes.

Ao calcular a classificação de uma matriz, ela deve ser reduzida a uma forma trapezoidal usando um número finito de transformações elementares.

Definição 1.16. Chamaremos de trapezoidal uma forma de representação matricial quando na fronteira menor da ordem mais alta diferente de zero, todos os elementos abaixo das diagonais desaparecem. Por exemplo:

.

Aqui
, elementos da matriz
vá para zero. Então a forma de representação de tal matriz será trapezoidal.

Via de regra, as matrizes são reduzidas a uma forma trapezoidal usando o algoritmo gaussiano. A ideia do algoritmo de Gauss é que, ao multiplicar os elementos da primeira linha da matriz pelos fatores correspondentes, consegue-se que todos os elementos da primeira coluna localizados abaixo do elemento
, voltaria a zero. Então, multiplicando os elementos da segunda coluna pelos fatores correspondentes, garantimos que todos os elementos da segunda coluna localizados abaixo do elemento
, voltaria a zero. Em seguida, proceda da mesma maneira.

Problema 1.5. Determine a classificação de uma matriz reduzindo-a a uma forma trapezoidal.

.

Para facilitar o uso do algoritmo gaussiano, você pode trocar a primeira e a terceira linhas.








.

É óbvio que aqui
. Porém, para trazer o resultado para uma forma mais elegante, você pode continuar transformando as colunas.










.

A classificação de uma matriz é sua característica numérica mais importante. Definitivamente, deve ser definido quando você se depara com a tarefa de verificar a compatibilidade de um sistema de equações lineares. Ou seja, o conceito de classificação refere-se a todas as linhas e colunas linearmente independentes da matriz. Existem vários métodos para determinar a classificação de uma matriz. Na maioria das vezes, é calculado pelo método dos menores ou pelo método da borda. O método gaussiano é usado com menos frequência. Esta calculadora online esclarecerá todas as transformações complexas necessárias para calcular a classificação de uma matriz online. Com ele, você pode se familiarizar visualmente com as diversas opções para determinar este indicador.

Para encontrar a classificação de uma matriz online, você precisa realizar uma série de operações simples. Para começar, especifique as dimensões da matriz clicando nos ícones “+” e “-” à esquerda e inferior, correspondentes ao número de linhas e colunas. A seguir, insira os elementos nos campos da calculadora e clique no botão “Calcular”. O resultado final aparecerá rapidamente no monitor. Em apenas alguns segundos você verá o valor da classificação da matriz e uma explicação detalhada de seu cálculo.

Usar uma calculadora online tem uma série de vantagens: você entende melhor a teoria usando um exemplo de tarefa, verifica seus cálculos e entende completamente todos os métodos para calcular a classificação de uma matriz.