As fórmulas trigonométricas mais necessárias. Trigonometria - preparação para o Exame Estadual Unificado

Para trás para a frente

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1. Introdução.

Aproximando-me da escola, ouço as vozes dos caras da academia, sigo em frente - eles cantam, desenham... emoções e sentimentos estão por toda parte. Meu escritório, aula de álgebra, alunos do décimo ano. Aqui está o nosso livro didático, no qual o curso de trigonometria representa metade do seu volume, e há dois marcadores nele - esses são os lugares onde encontrei palavras que não estão relacionadas à teoria da trigonometria.

Entre os poucos estão os alunos que amam a matemática, sentem sua beleza e não perguntam por que é necessário estudar trigonometria, onde é aplicado o material aprendido? A maioria são aqueles que simplesmente cumprem as tarefas para não tirar nota ruim. E acreditamos firmemente que o valor aplicado da matemática é adquirir conhecimento suficiente para passar no Exame Estadual Unificado e entrar em uma universidade (matricule-se e esqueça).

O objetivo principal da lição apresentada é mostrar o valor aplicado da trigonometria nos diversos campos da atividade humana. Os exemplos dados ajudarão os alunos a ver a ligação entre esta secção da matemática e outras disciplinas estudadas na escola. O conteúdo desta lição é um elemento de formação profissional dos alunos.

Conte algo novo sobre um fato aparentemente conhecido há muito tempo. Mostre uma conexão lógica entre o que já sabemos e o que ainda precisa ser aprendido. Abra um pouco a porta e olhe além do currículo escolar. Tarefas inusitadas, conexões com os acontecimentos de hoje - essas são as técnicas que utilizo para atingir meus objetivos. Afinal, a matemática escolar como disciplina contribui não tanto para a aprendizagem, mas para o desenvolvimento do indivíduo, do seu pensamento e da sua cultura.

2. Resumo da aula de álgebra e princípios de análise (nota 10).

Tempo de organização: Organize seis mesas em semicírculo (modelo transferidor), planilhas para alunos nas mesas (Anexo 1).

Anunciando o tema da lição: “A trigonometria é simples e clara”.

No curso de álgebra e análise elementar, começamos a estudar trigonometria; gostaria de falar sobre o significado aplicado desta seção da matemática.

Tese da lição:

“O grande livro da natureza só pode ser lido por aqueles que conhecem a linguagem em que está escrito, e essa linguagem é a matemática.”
(G. Galileu).

No final da lição, pensaremos juntos se conseguimos olhar para este livro e compreender a linguagem em que foi escrito.

Trigonometria de um ângulo agudo.

Trigonometria é uma palavra grega e traduzida significa “medição de triângulos”. O surgimento da trigonometria está associado a medições na Terra, construção e astronomia. E seu primeiro contato com isso aconteceu quando você pegou um transferidor. Você já reparou como as mesas estão posicionadas? Pense nisso: se tomarmos uma tabela como um acorde, então qual é a medida de grau do arco que ela subtende?

Vamos lembrar a medida dos ângulos: 1 ° = 1/360 parte de um círculo (“grau” - do latim grad - step). Você sabe por que o círculo foi dividido em 360 partes, por que não dividido em 10, 100 ou 1000 partes, como acontece, por exemplo, na medição de comprimentos? Vou te contar uma das versões.

Anteriormente, as pessoas acreditavam que a Terra é o centro do Universo e está imóvel, e o Sol faz uma revolução ao redor da Terra por dia, o sistema geocêntrico do mundo, “geo” - Terra ( Figura nº 1). Os sacerdotes babilônios que realizaram observações astronômicas descobriram que no dia do equinócio o Sol, do nascer ao pôr do sol, descreve um semicírculo na abóbada celeste, no qual o diâmetro visível (diâmetro) do Sol se ajusta exatamente 180 vezes, 1 ° - traço do Sol. ( Figura nº 2).

Por muito tempo, a trigonometria foi de natureza puramente geométrica. Em você continua sua introdução à trigonometria resolvendo triângulos retângulos. Você aprende que o seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão entre o lado oposto e a hipotenusa, o cosseno é a razão entre o lado adjacente e a hipotenusa, a tangente é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente e a cotangente. é a razão entre o lado adjacente e o oposto. E lembre-se que em um triângulo retângulo com um determinado ângulo, a proporção dos lados não depende do tamanho do triângulo. Aprenda os teoremas do seno e do cosseno para resolver triângulos arbitrários.

Em 2010, o metrô de Moscou completou 75 anos. Todos os dias descemos para o metrô e não percebemos isso...

Tarefa nº 1. O ângulo de inclinação de todas as escadas rolantes do metrô de Moscou é de 30 graus. Sabendo disso, da quantidade de lâmpadas da escada rolante e da distância aproximada entre as lâmpadas, é possível calcular a profundidade aproximada da estação. Existem 15 lâmpadas na escada rolante da estação Tsvetnoy Boulevard e 2 lâmpadas na estação Prazhskaya. Calcule a profundidade dessas estações se as distâncias entre as lâmpadas, da entrada da escada rolante até a primeira lâmpada e da última lâmpada até a saída da escada rolante, forem de 6 m ( Figura nº 3). Resposta: 48 me 9 m

Trabalho de casa. A estação mais profunda do metrô de Moscou é Victory Park. Qual é a sua profundidade? Sugiro que você encontre independentemente os dados que faltam para resolver seu problema de lição de casa.

Tenho um apontador laser em mãos, que também é um telêmetro. Vamos medir, por exemplo, a distância até o tabuleiro.

O designer chinês Huan Qiaokun imaginou combinar dois telêmetros a laser e um transferidor em um dispositivo e obteve uma ferramenta que permite determinar a distância entre dois pontos em um plano ( Figura nº 4). Que teorema você acha que resolve esse problema? Lembre-se da formulação do teorema do cosseno. Você concorda comigo que seu conhecimento já é suficiente para fazer tal invenção? Resolva problemas de geometria e faça pequenas descobertas todos os dias!

Trigonometria esférica.

Além da geometria plana de Euclides (planimetria), pode haver outras geometrias em que as propriedades das figuras são consideradas não em um plano, mas em outras superfícies, por exemplo, na superfície de uma bola ( Figura nº 5). O primeiro matemático que lançou as bases para o desenvolvimento de geometrias não euclidianas foi N.I. Lobachevsky – “Copérnico da Geometria”. A partir de 1827, durante 19 anos foi reitor da Universidade de Kazan.

A trigonometria esférica, que faz parte da geometria esférica, considera as relações entre os lados e os ângulos dos triângulos em uma esfera formada por arcos de círculos máximos em uma esfera ( Figura nº 6).

Historicamente, a trigonometria e a geometria esféricas surgiram das necessidades da astronomia, geodésia, navegação e cartografia. Pense em qual dessas áreas teve um desenvolvimento tão rápido nos últimos anos que seus resultados já estão sendo utilizados em comunicadores modernos. ... Uma aplicação moderna de navegação é um sistema de navegação por satélite, que permite determinar a localização e a velocidade de um objeto a partir de um sinal de seu receptor.

Sistema de Navegação Global (GPS). Para determinar a latitude e longitude do receptor, é necessário receber sinais de pelo menos três satélites. Receber um sinal do quarto satélite permite determinar a altura do objeto acima da superfície ( Figura nº 7).

O computador receptor resolve quatro equações em quatro incógnitas até encontrar uma solução que desenhe todos os círculos através de um ponto ( Figura nº 8).

O conhecimento da trigonometria dos ângulos agudos revelou-se insuficiente para resolver problemas práticos mais complexos. Ao estudar movimentos rotacionais e circulares, o valor do ângulo e do arco circular não é limitado. Surgiu a necessidade de passar para a trigonometria de um argumento generalizado.

Trigonometria de um argumento generalizado.

O circulo ( Figura nº 9). Os ângulos positivos são plotados no sentido anti-horário, os ângulos negativos são plotados no sentido horário. Você está familiarizado com a história de tal acordo?

Como você sabe, os relógios mecânicos e de sol são projetados de tal forma que seus ponteiros giram “ao longo do sol”, ou seja, na mesma direção em que vemos o movimento aparente do Sol ao redor da Terra. (Lembre-se do início da lição - o sistema geocêntrico do mundo). Mas com a descoberta por Copérnico do movimento verdadeiro (positivo) da Terra em torno do Sol, o movimento do Sol em torno da Terra que vemos (isto é, aparente) é fictício (negativo). Sistema heliocêntrico do mundo (hélio - Sol) ( Figura nº 10).

Aquecimento.

1. Estenda o braço direito à sua frente, paralelo à superfície da mesa, e faça uma rotação circular de 720 graus.
2. Estenda o braço esquerdo à sua frente, paralelo à superfície da mesa, e execute uma rotação circular de (–1080) graus.
3. Coloque as mãos nos ombros e faça 4 movimentos circulares para frente e para trás. Qual é a soma dos ângulos de rotação?

Em 2010, os Jogos Olímpicos de Inverno foram realizados em Vancouver; aprendemos os critérios para avaliar o exercício realizado por um patinador resolvendo o problema.

Tarefa nº 2. Se um patinador fizer uma curva de 10.800 graus durante a execução do exercício de “parafuso” em 12 segundos, ele receberá uma classificação “excelente”. Determine quantas voltas o patinador fará durante esse tempo e a velocidade de sua rotação (rotações por segundo). Resposta: 2,5 rotações/seg.

Trabalho de casa. Em que ângulo gira o patinador, que recebeu nota “insatisfatória”, se no mesmo tempo de rotação sua velocidade era de 2 rotações por segundo.

A medida mais conveniente de arcos e ângulos associados a movimentos rotacionais acabou sendo a medida radiano (raio), como uma unidade maior de medida de um ângulo ou arco ( Figura nº 11). Esta medida de medição de ângulos entrou na ciência através dos notáveis ​​trabalhos de Leonhard Euler. Suíço de nascimento, viveu na Rússia durante 30 anos e foi membro da Academia de Ciências de São Petersburgo. É a ele que devemos a interpretação “analítica” de toda trigonometria, ele derivou as fórmulas que você está estudando agora, introduziu sinais uniformes: pecado x,porque x, tg x,ctg x.

Se até o século XVII o desenvolvimento da doutrina das funções trigonométricas se baseava em bases geométricas, então, a partir do século XVII, as funções trigonométricas começaram a ser aplicadas na resolução de problemas de mecânica, óptica, eletricidade, para descrever processos oscilatórios e ondulatórios. propagação. Sempre que tivermos que lidar com processos e oscilações periódicas, as funções trigonométricas encontraram aplicação. As funções que expressam as leis dos processos periódicos têm uma propriedade especial inerente apenas a elas: repetem seus valores no mesmo intervalo de mudança de argumento. As mudanças em qualquer função são transmitidas mais claramente em seu gráfico ( Figura nº 12).

Já recorremos ao nosso corpo em busca de ajuda para resolver problemas que envolvem rotação. Vamos ouvir nossos batimentos cardíacos. O coração é um órgão independente. O cérebro controla qualquer um dos nossos músculos, exceto o coração. Possui seu próprio centro de controle - o nó sinusal. A cada contração do coração, uma corrente elétrica se espalha por todo o corpo - começando no nó sinusal (do tamanho de um grão de milho). Pode ser registrado usando um eletrocardiógrafo. Ele desenha um eletrocardiograma (sinusóide) ( Figura nº 13).

Agora vamos falar sobre música. Matemática é música, é união de inteligência e beleza.
A música é matemática no cálculo, álgebra na abstração, trigonometria na beleza. A oscilação harmônica (harmônica) é uma oscilação senoidal. O gráfico mostra como a pressão do ar no tímpano do ouvinte muda: para cima e para baixo em um arco, periodicamente. O ar pressiona, ora mais forte, ora mais fraco. A força do impacto é muito pequena e as vibrações ocorrem muito rapidamente: centenas e milhares de choques por segundo. Percebemos essas vibrações periódicas como som. A adição de dois harmônicos diferentes dá uma vibração de formato mais complexo. A soma de três harmônicos é ainda mais complexa, e os sons naturais e os sons de instrumentos musicais são compostos por um grande número de harmônicos. ( Figura nº 14.)

Cada harmônico é caracterizado por três parâmetros: amplitude, frequência e fase. A frequência de oscilação mostra quantos choques de pressão do ar ocorrem em um segundo. As altas frequências são percebidas como sons “altos” e “finos”. Acima de 10 KHz – guincho, assobio. Frequências pequenas são percebidas como sons “baixos”, “graves”, estrondosos. Amplitude é a gama de vibrações. Quanto maior o alcance, maior será o impacto no tímpano e mais alto será o som que ouvimos ( Figura nº 15). Fase é o deslocamento das oscilações no tempo. A fase pode ser medida em graus ou radianos. Dependendo da fase, o ponto zero no gráfico muda. Para definir um harmônico basta especificar a fase de –180 a +180 graus, pois em valores grandes a oscilação se repete. Dois sinais senoidais com a mesma amplitude e frequência, mas fases diferentes, são somados algebricamente ( Figura nº 16).

Resumo da lição. Você acha que conseguimos ler algumas páginas do Grande Livro da Natureza? Tendo aprendido sobre o significado aplicado da trigonometria, seu papel nas diversas esferas da atividade humana ficou mais claro para você, entendeu o material apresentado? Em seguida, lembre-se e liste as áreas de aplicação da trigonometria que você conheceu hoje ou conheceu antes. Espero que cada um de vocês tenha encontrado algo novo e interessante na lição de hoje. Talvez essa novidade lhe diga o caminho para escolher uma futura profissão, mas não importa quem você se torne, sua formação matemática o ajudará a se tornar um profissional e uma pessoa intelectualmente desenvolvida.

Trabalho de casa. Leia o resumo da lição (

Nesta lição aprenderemos as definições funções trigonométricas e suas propriedades básicas, aprenda como trabalhar com círculo trigonométrico, vamos descobrir o que é período da função e lembre-se dos vários maneiras de medir ângulos. Além disso, entenderemos o uso fórmulas de redução.

Esta lição o ajudará a se preparar para um dos tipos de tarefas ÀS 7.

Preparação para o Exame Estadual Unificado em matemática

Experimentar

Lição 7.Introdução à trigonometria.

Teoria

Resumo da lição

Hoje estamos iniciando uma seção que para muitos tem o nome assustador de “Trigonometria”. Vamos deixar claro desde já que este não é um assunto separado, semelhante em nome à geometria, como algumas pessoas pensam. Embora traduzida do grego, a palavra “trigonometria” significa “medição de triângulos” e está diretamente relacionada à geometria. Além disso, os cálculos trigonométricos são amplamente utilizados em física e tecnologia. Mas começaremos considerando como as funções trigonométricas básicas são introduzidas na geometria usando um triângulo retângulo.

Acabamos de usar o termo “função trigonométrica” - isso significa que apresentaremos toda uma classe de certas leis de correspondência entre uma variável e outra.

Para isso, considere um triângulo retângulo, no qual, por conveniência, são utilizadas notações padrão para lados e ângulos, que você pode ver na figura:

Considere, por exemplo, o ânguloe insira as seguintes ações para ele:

Vamos chamar a razão entre o lado oposto e o seno da hipotenusa, ou seja,

Vamos chamar a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa de cosseno, ou seja, ;

A razão entre o lado oposto e o lado adjacente será chamada de tangente, ou seja, ;

A razão entre o lado adjacente e o lado oposto será chamada de cotangente, ou seja, .

Todas essas ações com um ângulo são chamadas funções trigonométricas. O ângulo em si é geralmente chamado argumento da função trigonométrica e pode ser denotado, por exemplo, por X, como é habitual em álgebra.

É importante compreender imediatamente que as funções trigonométricas dependem especificamente do ângulo de um triângulo retângulo, e não de seus lados. Isto é fácil de provar se considerarmos um triângulo semelhante a este, no qual os comprimentos dos lados serão diferentes, mas todos os ângulos e proporções dos lados não mudarão, ou seja, As funções trigonométricas dos ângulos também permanecerão inalteradas.

Após esta definição de funções trigonométricas, pode surgir a questão: “Existe, por exemplo,? Afinal, a esquinanão pode estar em um triângulo retângulo» . Curiosamente, a resposta a esta pergunta é afirmativa, e o valor desta expressão é igual a , e isto é ainda mais surpreendente, uma vez que todas as funções trigonométricas são a razão dos lados de um triângulo retângulo, e os comprimentos dos lados são números positivos.

Mas não há paradoxo nisso. O fato é que, por exemplo, na física, ao descrever alguns processos, é necessário utilizar funções trigonométricas de ângulos não apenas grandes, mas também grandes e pares. Para fazer isso, é necessário introduzir uma regra mais geral para o cálculo de funções trigonométricas usando os chamados "círculo trigonométrico unitário".

É um círculo de raio unitário, traçado de forma que seu centro esteja na origem do plano cartesiano.

Para representar os ângulos neste círculo, você precisa concordar sobre onde colocá-los. Aceita-se tomar a direção positiva do eixo das abcissas como raio de referência do ângulo, ou seja, eixo x. A direção de deposição dos ângulos é considerada anti-horária. Com base nestes acordos, deixemos primeiro de lado o ângulo agudo. É para esses ângulos agudos que já sabemos calcular os valores das funções trigonométricas em um triângulo retângulo. Acontece que usando o círculo representado você também pode calcular funções trigonométricas, só que de forma mais conveniente.

Os valores do seno e do cosseno de um ângulo agudo são as coordenadas do ponto de intersecção do lado deste ângulo com o círculo unitário:

Isso pode ser escrito assim:

:

Com base no fato de que as coordenadas ao longo do eixo x mostram o valor do cosseno e as coordenadas ao longo do eixo y mostram o valor do seno do ângulo, é conveniente renomear os nomes dos eixos em um sistema de coordenadas com um círculo unitário como você vê na figura:

O eixo das abscissas é renomeado para eixo do cosseno e o eixo das ordenadas para eixo do seno.

A regra especificada para determinar seno e cosseno é generalizada para ângulos obtusos e ângulos na faixa de a. Neste caso, senos e cossenos podem assumir valores positivos e negativos. Vários sinais dos valores dessas funções trigonométricas dependendo do quadrante em que o ângulo em questão se enquadra, costuma-se representá-lo da seguinte forma:

Como você pode ver, os sinais das funções trigonométricas são determinados pelas direções positivas e negativas de seus eixos correspondentes.

Além disso, vale a pena prestar atenção ao fato de que, como a maior coordenada de um ponto no círculo unitário ao longo do eixo das abcissas e das ordenadas é igual a um, e a menor é menos um, então valores de seno e cosseno limitado a estes números:

Esses registros também são geralmente escritos neste formato:

Para introduzir as funções de tangente e cotangente em um círculo trigonométrico, é necessário desenhar elementos adicionais: a tangente ao círculo no ponto A - o valor da tangente do ângulo é determinado a partir dele, e a tangente a em ponto B - a partir dele é determinado o valor da cotangente do ângulo.

No entanto, não nos aprofundaremos na definição de tangentes e cotangentes em um círculo trigonométrico, porque podem ser facilmente calculados conhecendo os valores do seno e do cosseno de um determinado ângulo, o que já sabemos fazer. Se você estiver interessado em aprender como calcular a tangente e a cotangente em um círculo trigonométrico, revise o programa do curso de álgebra do 10º ano.

Indicamos apenas a imagem no círculo sinais de tangentes e cotangentes dependendo do ângulo:

Observe que, semelhante aos intervalos de valores de seno e cosseno, você pode especificar intervalos de valores de tangente e cotangente. Com base na sua definição no círculo trigonométrico, os significados dessas funções não são limitados:

O que mais pode ser escrito assim:

Além de ângulos na faixa de a, o círculo trigonométrico permite trabalhar com ângulos maiores e até com ângulos negativos. Tais valores de ângulo, embora pareçam sem sentido para a geometria, são usados ​​para descrever alguns processos físicos. Por exemplo, como você responde à pergunta: “Que ângulo o ponteiro do relógio girará em um dia?” Durante este tempo, ele completará duas voltas completas e passará em uma revolução, ou seja, dentro de um dia, ele se transformará em. Como você pode ver, tais valores têm um significado muito prático. Sinais de ângulo são usados ​​​​para indicar a direção de rotação - uma das direções é medida por ângulos positivos e a outra por ângulos negativos. Como isso pode ser levado em conta no círculo trigonométrico?

Em um círculo com tais ângulos eles funcionam da seguinte forma:

1) Ângulos maiores que , são traçados no sentido anti-horário, passando pela origem quantas vezes forem necessárias. Por exemplo, para construir um ângulo você precisa passar por duas voltas completas e outra. Todas as funções trigonométricas são calculadas para a posição final. É fácil ver que os valores de todas as funções trigonométricas para e para serão iguais.

2) Os ângulos negativos são dispostos exatamente de acordo com o mesmo princípio dos positivos, apenas no sentido horário.

Apenas pelo método de construção de ângulos grandes, podemos concluir que os valores dos senos e cossenos dos ângulos que diferem entre si são iguais. Se analisarmos os valores das tangentes e cotangentes, eles serão iguais para ângulos que diferem em .

Esses números mínimos diferentes de zero, quando adicionados a um argumento, não alteram o valor da função, são chamados período esta função.

Por isso, períodoseno e cosseno são iguais, e tangente e cotangente. Isso significa que não importa o quanto você adicione ou subtraia esses períodos dos ângulos considerados, os valores das funções trigonométricas não mudarão.

Por exemplo, , e etc.

Voltaremos mais tarde a uma explicação e aplicação mais detalhada desta propriedade das funções trigonométricas.

Existem certas relações entre funções trigonométricas do mesmo argumento que são frequentemente usadas e são chamadas identidades trigonométricas básicas.

Eles se parecem com isto:

1) , a chamada "unidade trigonométrica"

3)

4)

5)

Observe que, por exemplo, a notação significa que toda a função trigonométrica é elevada ao quadrado. Aqueles. pode ser representado desta forma: . É importante entender que isso não é igual a uma notação como , neste caso apenas o argumento é elevado ao quadrado, e não a função inteira e, além disso, expressões desse tipo são extremamente raras.

Existem dois corolários muito úteis da primeira identidade que podem ser úteis na resolução de muitos tipos de problemas. Após transformações simples, você pode expressar o seno através do cosseno do mesmo ângulo e vice-versa:

Dois possíveis sinais de expressão aparecem porque tirar a raiz quadrada aritmética fornece apenas valores não negativos, e seno e cosseno, como já vimos, podem ter valores negativos. Além disso, é mais conveniente determinar os sinais dessas funções usando um círculo trigonométrico, dependendo dos ângulos presentes nelas.

Agora vamos lembrar que os ângulos podem ser medidos de duas maneiras: em graus e em radianos. Vamos indicar as definições de um grau e um radiano.

Um grau- este é o ângulo formado por dois raios que subentendem um arco igual a um círculo.

Um radiano- este é o ângulo formado por dois raios subtendidos por um arco de comprimento igual aos raios.

Aqueles. são simplesmente duas maneiras diferentes de medir ângulos absolutamente iguais. Ao descrever processos físicos que são caracterizados por funções trigonométricas, costuma-se usar a medida de ângulos em radianos, por isso também teremos que nos acostumar com isso.

É costume medir ângulos em radianos em frações de pi, por exemplo, ou. Nesse caso, o valor do número “pi”, que é igual a 3,14, pode ser substituído, mas isso raramente é feito.

Para converter a medida de graus de ângulos em radianos aproveite o fato de que o ângulo é , do qual é fácil obter uma fórmula geral de translação:

Por exemplo, vamos converter para radianos: .

Há também o oposto Fórmulaconversão de radianos para graus:

Por exemplo, vamos converter para graus: .

Usaremos a medida do ângulo em radianos com bastante frequência neste tópico.

Agora é a hora de lembrar quais valores específicos podem ser dados por funções trigonométricas de vários ângulos. Para alguns ângulos que são múltiplos de , existe tabela de valores de funções trigonométricas. Por conveniência, os ângulos são dados em medidas de graus e radianos.

Esses ângulos são frequentemente encontrados em muitos problemas e é aconselhável navegar com segurança nesta tabela. Os valores tangente e cotangente de alguns ângulos não fazem sentido, o que é indicado na tabela como travessões. Pense por que isso acontece ou leia sobre isso com mais detalhes no encarte da lição.

A última coisa que precisamos conhecer em nossa primeira lição de trigonometria é transformação de funções trigonométricas usando as chamadas fórmulas de redução.

Acontece que existe um certo tipo de expressão para funções trigonométricas que é bastante comum e convenientemente simplificada. Por exemplo, estas são expressões: etc.

Aqueles. Falaremos de funções que tomam como argumento um ângulo arbitrário, alterado para um todo ou meia parte. Tais funções são simplificadas para um argumento igual a um ângulo arbitrário de adição ou subtração de partes. Por exemplo, , A . Como você pode ver, o resultado pode ser a função oposta e a função pode mudar de sinal.

Portanto, as regras para a transformação de tais funções podem ser divididas em duas etapas. Primeiro, você precisa determinar qual função obterá após a transformação:

1) Se um argumento arbitrário for alterado para um número inteiro, a função não muda. Isto é verdade para funções do tipo , onde qualquer número inteiro;

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As relações entre as funções trigonométricas básicas - seno, cosseno, tangente e cotangente - são fornecidas fórmulas trigonométricas. E como existem muitas conexões entre funções trigonométricas, isso explica a abundância de fórmulas trigonométricas. Algumas fórmulas conectam funções trigonométricas do mesmo ângulo, outras - funções de um ângulo múltiplo, outras - permitem reduzir o grau, a quarta - expressa todas as funções através da tangente de um meio ângulo, etc.

Neste artigo listaremos em ordem todas as fórmulas trigonométricas básicas, que são suficientes para resolver a grande maioria dos problemas de trigonometria. Para facilitar a memorização e uso, iremos agrupá-los por finalidade e inseri-los em tabelas.

Navegação na página.

Identidades trigonométricas básicas

Identidades trigonométricas básicas defina a relação entre seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo. Eles decorrem da definição de seno, cosseno, tangente e cotangente, bem como do conceito de círculo unitário. Eles permitem expressar uma função trigonométrica em termos de qualquer outra.

Para uma descrição detalhada dessas fórmulas de trigonometria, sua derivação e exemplos de aplicação, consulte o artigo.

Fórmulas de redução

Fórmulas de redução decorrem das propriedades de seno, cosseno, tangente e cotangente, ou seja, refletem a propriedade de periodicidade das funções trigonométricas, a propriedade de simetria, bem como a propriedade de deslocamento em um determinado ângulo. Essas fórmulas trigonométricas permitem que você passe do trabalho com ângulos arbitrários para o trabalho com ângulos que variam de zero a 90 graus.

A justificativa dessas fórmulas, uma regra mnemônica para memorizá-las e exemplos de sua aplicação podem ser estudados no artigo.

Fórmulas de adição

Fórmulas de adição trigonométrica mostre como as funções trigonométricas da soma ou diferença de dois ângulos são expressas em termos de funções trigonométricas desses ângulos. Essas fórmulas servem de base para derivar as seguintes fórmulas trigonométricas.

Fórmulas para duplo, triplo, etc. ângulo

Fórmulas para duplo, triplo, etc. ângulo (também são chamadas de fórmulas de ângulos múltiplos) mostram como as funções trigonométricas de duplo, triplo, etc. ângulos () são expressos em termos de funções trigonométricas de um único ângulo. Sua derivação é baseada em fórmulas de adição.

Informações mais detalhadas são coletadas no artigo Fórmulas para duplo, triplo, etc. ângulo

Fórmulas de meio ângulo

Fórmulas de meio ângulo mostre como as funções trigonométricas de um meio ângulo são expressas em termos do cosseno de um ângulo inteiro. Essas fórmulas trigonométricas decorrem das fórmulas de ângulo duplo.

Sua conclusão e exemplos de aplicação podem ser encontrados no artigo.

Fórmulas de redução de grau

Fórmulas trigonométricas para redução de graus são projetados para facilitar a transição de potências naturais de funções trigonométricas para senos e cossenos no primeiro grau, mas em ângulos múltiplos. Em outras palavras, eles permitem reduzir as potências das funções trigonométricas às primeiras.

Fórmulas para soma e diferença de funções trigonométricas

O propósito principal fórmulas para a soma e diferença de funções trigonométricasé ir para o produto de funções, o que é muito útil na simplificação de expressões trigonométricas. Essas fórmulas também são amplamente utilizadas na resolução de equações trigonométricas, pois permitem fatorar a soma e a diferença de senos e cossenos.

Fórmulas para o produto de senos, cossenos e seno por cosseno

A transição do produto das funções trigonométricas para uma soma ou diferença é realizada por meio das fórmulas do produto de senos, cossenos e seno por cosseno.

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Seno, cosseno, tangente - ao pronunciar essas palavras na presença de alunos do ensino médio, você pode ter certeza que dois terços deles perderão o interesse em continuar a conversa. A razão está no fato de que os fundamentos da trigonometria na escola são ensinados em completo isolamento da realidade e, portanto, os alunos não veem sentido em estudar fórmulas e teoremas.

Na verdade, olhando mais de perto, esta área do conhecimento revela-se muito interessante, além de aplicada - a trigonometria é usada em astronomia, construção, física, música e muitos outros campos.

Vamos conhecer os conceitos básicos e citar vários motivos para estudar este ramo da ciência matemática.

História

Não se sabe em que momento a humanidade começou a criar a futura trigonometria do zero. Porém, está documentado que já no segundo milênio aC, os egípcios estavam familiarizados com os fundamentos desta ciência: os arqueólogos encontraram um papiro com uma tarefa em que era necessário encontrar o ângulo de inclinação da pirâmide em dois lados conhecidos.

Os cientistas da Antiga Babilônia alcançaram sucessos mais sérios. Ao longo dos séculos, estudando astronomia, dominaram uma série de teoremas, introduziram métodos especiais de medição de ângulos, que, aliás, usamos hoje: graus, minutos e segundos foram emprestados pela ciência europeia na cultura greco-romana, na qual essas unidades vieram dos babilônios.

Supõe-se que o famoso teorema de Pitágoras, relativo aos fundamentos da trigonometria, era conhecido pelos babilônios há quase quatro mil anos.

Nome

Literalmente, o termo “trigonometria” pode ser traduzido como “medição de triângulos”. O principal objeto de estudo nesta seção da ciência por muitos séculos foi o triângulo retângulo, ou mais precisamente, a relação entre as magnitudes dos ângulos e os comprimentos de seus lados (hoje, o estudo da trigonometria do zero começa com esta seção) . Muitas vezes existem situações na vida em que é praticamente impossível medir todos os parâmetros exigidos de um objeto (ou a distância até o objeto), e então torna-se necessário obter os dados faltantes por meio de cálculos.

Por exemplo, no passado, as pessoas não podiam medir a distância aos objetos espaciais, mas as tentativas de calcular essas distâncias ocorreram muito antes do advento da nossa era. A trigonometria também desempenhou um papel crucial na navegação: com algum conhecimento, o capitão sempre poderia navegar pelas estrelas à noite e ajustar o rumo.

Conceitos Básicos

Dominar a trigonometria do zero requer compreender e lembrar vários termos básicos.

O seno de um determinado ângulo é a razão entre o lado oposto e a hipotenusa. Esclareçamos que a perna oposta é o lado oposto ao ângulo que estamos considerando. Assim, se um ângulo tiver 30 graus, o seno desse ângulo será sempre, para qualquer tamanho do triângulo, igual a ½. O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

Tangente é a razão entre o lado oposto e o lado adjacente (ou, o que é o mesmo, a razão entre o seno e o cosseno). Cotangente é a unidade dividida pela tangente.

Vale citar o famoso número Pi (3,14...), que tem metade do comprimento de um círculo com raio de uma unidade.

Erros populares

Pessoas que aprendem trigonometria do zero cometem vários erros - principalmente devido à desatenção.

Primeiramente, ao resolver problemas de geometria, você deve lembrar que o uso de senos e cossenos só é possível em um triângulo retângulo. Acontece que um aluno toma “automaticamente” o lado mais longo de um triângulo como hipotenusa e obtém resultados de cálculo incorretos.

Em segundo lugar, a princípio é fácil confundir os valores de seno e cosseno para o ângulo selecionado: lembre-se que o seno de 30 graus é numericamente igual ao cosseno de 60 e vice-versa. Se você substituir um número incorreto, todos os cálculos adicionais estarão incorretos.

Em terceiro lugar, até que o problema seja completamente resolvido, você não deve arredondar nenhum valor, extrair raízes ou escrever uma fração comum como decimal. Freqüentemente, os alunos se esforçam para obter um número “bonito” em um problema de trigonometria e extrair imediatamente a raiz de três, embora após exatamente uma ação essa raiz possa ser reduzida.

Etimologia da palavra "seno"

A história da palavra “seno” é verdadeiramente incomum. O fato é que a tradução literal desta palavra do latim significa “oco”. Isso ocorre porque a compreensão correta da palavra foi perdida durante a tradução de um idioma para outro.

Os nomes das funções trigonométricas básicas são originários da Índia, onde o conceito de seno era denotado pela palavra “corda” em sânscrito - o fato é que o segmento, junto com o arco do círculo sobre o qual repousava, parecia um arco . Durante o apogeu da civilização árabe, as conquistas indianas no campo da trigonometria foram emprestadas e o termo passou para o árabe como uma transcrição. Acontece que esta língua já tinha uma palavra semelhante para denotar uma depressão, e se os árabes entendiam a diferença fonética entre a palavra nativa e a palavra emprestada, então os europeus, traduzindo tratados científicos para o latim, traduziram erroneamente literalmente a palavra árabe, que não tinha nada tem a ver com o conceito de seno. Ainda usamos até hoje.

Tabelas de valores

Existem tabelas que contêm valores numéricos para senos, cossenos e tangentes de todos os ângulos possíveis. Abaixo apresentamos dados para ângulos de 0, 30, 45, 60 e 90 graus, que devem ser aprendidos como seção obrigatória de trigonometria para “manequins”; felizmente, eles são bastante fáceis de lembrar.

Se acontecer de o valor numérico do seno ou cosseno de um ângulo “sair da sua cabeça”, existe uma maneira de deduzi-lo você mesmo.

Representação geométrica

Vamos desenhar um círculo e desenhar as abcissas e os eixos ordenados através de seu centro. O eixo das abscissas é horizontal, o eixo das ordenadas é vertical. Eles geralmente são assinados como “X” e “Y”, respectivamente. Agora traçaremos uma linha reta a partir do centro do círculo para que o ângulo que precisamos seja obtido entre ela e o eixo X. Finalmente, do ponto onde a reta cruza o círculo, deixamos cair uma perpendicular ao eixo X. O comprimento do segmento resultante será igual ao valor numérico do seno do nosso ângulo.

Este método é muito relevante se você esqueceu o valor exigido, por exemplo, durante um exame, e não tem um livro de trigonometria em mãos. Dessa forma, você não obterá um número exato, mas com certeza verá a diferença entre ½ e 1,73/2 (seno e cosseno de um ângulo de 30 graus).

Aplicativo

Alguns dos primeiros especialistas a usar a trigonometria foram marinheiros que não tinham outro ponto de referência em alto mar, exceto o céu acima de suas cabeças. Hoje, os capitães de navios (aviões e outros meios de transporte) não procuram o caminho mais curto através das estrelas, mas recorrem ativamente à navegação GPS, o que seria impossível sem o uso da trigonometria.

Em quase todas as seções da física você encontrará cálculos usando senos e cossenos: seja a aplicação de força na mecânica, cálculos do caminho dos objetos na cinemática, vibrações, propagação de ondas, refração da luz - você simplesmente não pode prescindir da trigonometria básica nas fórmulas.

Outra profissão impensável sem trigonometria é o agrimensor. Usando um teodolito e um nível ou um dispositivo mais complexo - um tacômetro, essas pessoas medem a diferença de altura entre diferentes pontos da superfície terrestre.

Repetibilidade

A trigonometria não trata apenas dos ângulos e lados de um triângulo, embora tenha sido aí que começou a sua existência. Em todas as áreas onde a ciclicidade está presente (biologia, medicina, física, música, etc.), você encontrará um gráfico cujo nome provavelmente lhe é familiar - esta é uma onda senoidal.

Esse gráfico é um círculo desdobrado ao longo do eixo do tempo e parece uma onda. Se você já trabalhou com um osciloscópio nas aulas de física, sabe do que estamos falando. Tanto o equalizador musical quanto o monitor de frequência cardíaca usam fórmulas de trigonometria em seu trabalho.

Finalmente

Ao pensar em como aprender trigonometria, a maioria dos alunos do ensino fundamental e médio passa a considerá-la uma ciência difícil e pouco prática, pois só conhece informações enfadonhas de um livro didático.

Quanto à impraticabilidade, já vimos que, de uma forma ou de outra, a capacidade de lidar com senos e tangentes é necessária em quase todos os campos de atividade. Quanto à complexidade... Pense: se as pessoas usavam esse conhecimento há mais de dois mil anos, quando um adulto tinha menos conhecimento do que o estudante do ensino médio de hoje, é realista para você estudar pessoalmente esse campo da ciência em um nível básico? Algumas horas de prática cuidadosa na resolução de problemas - e você alcançará seu objetivo estudando o curso básico, a chamada trigonometria para manequins.