Rădăcina celor. a n-a rădăcină calculator. Principii de găsire a valorilor rădăcinii și metode de extragere a acestora

Calculator de inginerie online

Suntem bucuroși să prezentăm tuturor un calculator de inginerie gratuit. Cu ajutorul acestuia, orice student poate efectua rapid și, cel mai important, cu ușurință diverse tipuri de calcule matematice online.

Un calculator de inginerie simplu și ușor de utilizat, cu o interfață discretă și intuitivă, va fi cu adevărat util pentru o gamă largă de utilizatori de internet. Acum, ori de câte ori aveți nevoie de un calculator, accesați site-ul nostru web și utilizați calculatorul de inginerie gratuit.

Un calculator de inginerie poate efectua atât operații aritmetice simple, cât și calcule matematice destul de complexe.

Web20calc este un calculator de inginerie care are un număr mare de funcții, de exemplu, cum se calculează toate funcțiile elementare. Calculatorul acceptă, de asemenea, funcții trigonometrice, matrici, logaritmi și chiar grafice.

Fără îndoială, Web20calc va fi de interes pentru acel grup de oameni care, în căutarea unor soluții simple, tastează în motoarele de căutare interogarea: calculator matematic online. O aplicație web gratuită vă va ajuta să calculați instantaneu rezultatul unei expresii matematice, de exemplu, scădeți, adăugați, împărțiți, extrageți rădăcina, ridicați la o putere etc.

În expresie, puteți utiliza operațiile de exponențiere, adunare, scădere, înmulțire, împărțire, procent și constanta PI. Pentru calcule complexe, ar trebui incluse paranteze.

Caracteristicile calculatorului de inginerie:

1. operații aritmetice de bază;
2. lucrul cu numere într-o formă standard;
3. calculul rădăcinilor trigonometrice, funcțiilor, logaritmilor, exponențiației;
4. calcule statistice: adunare, medie aritmetică sau abatere standard;
5. utilizarea celulelor de memorie și a funcțiilor personalizate a 2 variabile;
6. lucrați cu unghiuri în radiani și măsuri de grade.

Calculatorul de inginerie permite utilizarea unei varietăți de funcții matematice:

Extragerea rădăcinilor (rădăcină pătrată, cubică și a n-a);
ex (e la puterea x), exponențial;
funcții trigonometrice: sinus - sin, cosinus - cos, tangentă - tan;
funcții trigonometrice inverse: arcsinus - sin-1, arccosinus - cos-1, arctangent - tan-1;
funcții hiperbolice: sinus - sinh, cosinus - cosh, tangentă - tanh;
logaritmi: logaritm binar la baza doi - log2x, logaritm zecimal la baza zece - log, logaritm natural - ln.

Acest calculator de inginerie include, de asemenea, un calculator de cantități cu capacitatea de a converti cantități fizice pentru diferite sisteme de măsurare - unități computerizate, distanță, greutate, timp etc. Folosind această funcție, puteți converti instantaneu mile în kilometri, lire în kilograme, secunde în ore etc.

Pentru a face calcule matematice, introduceți mai întâi o secvență de expresii matematice în câmpul corespunzător, apoi faceți clic pe semnul egal și vedeți rezultatul. Puteți introduce valori direct de la tastatură (pentru aceasta, zona calculatorului trebuie să fie activă, prin urmare, ar fi util să plasați cursorul în câmpul de introducere). Printre altele, datele pot fi introduse folosind butoanele calculatorului propriu-zis.

Pentru a construi grafice, ar trebui să scrieți funcția în câmpul de introducere așa cum este indicat în câmpul cu exemple sau să utilizați bara de instrumente special concepută pentru aceasta (pentru a merge la ea, faceți clic pe butonul cu pictograma grafic). Pentru a converti valori, faceți clic pe Unitate; pentru a lucra cu matrice, faceți clic pe Matrice.

Postat pe site-ul nostru. Preluarea rădăcinii unui număr este adesea folosită în diferite calcule, iar calculatorul nostru este un instrument excelent pentru astfel de calcule matematice.

Un calculator online cu rădăcini vă va permite să faceți rapid și ușor orice calcul care implică extragerea rădăcinilor. A treia rădăcină poate fi calculată la fel de ușor ca rădăcina pătrată a unui număr, rădăcina unui număr negativ, rădăcina unui număr complex, rădăcina lui pi etc.

Calcularea rădăcinii unui număr este posibilă manual. Dacă este posibil să se calculeze întreaga rădăcină a unui număr, atunci găsim pur și simplu valoarea expresiei radicalului folosind tabelul de rădăcini. În alte cazuri, calculul aproximativ al rădăcinilor se reduce la descompunerea expresiei radicale într-un produs de factori mai simpli, care sunt puteri și pot fi înlăturați prin semnul rădăcinii, simplificând cât mai mult expresia sub rădăcină.

Dar nu ar trebui să utilizați această soluție rădăcină. Si de aceea. În primul rând, va trebui să petreceți mult timp pe astfel de calcule. Numerele de la rădăcină, sau mai precis, expresiile pot fi destul de complexe, iar gradul nu este neapărat pătratic sau cubic. În al doilea rând, acuratețea unor astfel de calcule nu este întotdeauna satisfăcătoare. Și în al treilea rând, există un calculator de rădăcină online care va face orice extracție de rădăcină pentru tine în câteva secunde.

A extrage o rădăcină dintr-un număr înseamnă a găsi un număr care, atunci când este ridicat la puterea n, va fi egal cu valoarea expresiei radicalului, unde n este puterea rădăcinii, iar numărul însuși este baza rădăcină. Rădăcina gradului al II-lea se numește simplă sau pătrată, iar rădăcina gradului al treilea se numește cubică, omițând indicarea gradului în ambele cazuri.

Rezolvarea rădăcinilor într-un calculator online se rezumă doar la scrierea unei expresii matematice în linia de intrare. Extragerea unei rădăcini în calculator este desemnată ca sqrt și se realizează folosind trei taste - rădăcină pătrată sqrt(x), rădăcină cubă sqrt3(x) și rădăcina a n-a sqrt(x,y). Mai multe informații detaliate despre panoul de control sunt prezentate pe pagină.

Rădăcină pătrată

Făcând clic pe acest buton, se va introduce intrarea rădăcină pătrată în linia de intrare: sqrt(x), trebuie doar să introduceți expresia radicală și să închideți paranteza.

Un exemplu de rezolvare a rădăcinilor pătrate într-un calculator:

Dacă rădăcina este un număr negativ și gradul rădăcinii este par, atunci răspunsul va fi reprezentat ca un număr complex cu unitatea imaginară i.

Rădăcina pătrată a unui număr negativ:

Rădăcină cubică

Folosiți această cheie când trebuie să luați rădăcina cubă. Inserează intrarea sqrt3(x) în linia de intrare.

rădăcină de gradul 3:

Rădăcina gradului n

Desigur, calculatorul de rădăcini online vă permite să extrageți nu numai rădăcinile pătrate și cubice ale unui număr, ci și rădăcina gradului n. Făcând clic pe acest buton, se va afișa o intrare precum sqrt(x x,y).

a 4-a rădăcină:

O rădăcină a n-a exactă a unui număr poate fi extrasă numai dacă numărul în sine este o rădăcină a n-a exactă. În caz contrar, calculul se va dovedi a fi aproximativ, deși foarte aproape de ideal, deoarece acuratețea calculelor calculatorului online ajunge la 14 zecimale.

A 5-a rădăcină cu rezultat aproximativ:

Rădăcina unei fracții

Calculatorul poate calcula rădăcina din diverse numere și expresii. Găsirea rădăcinii unei fracții se reduce la extragerea separată a rădăcinii numărătorului și numitorului.

Rădăcina pătrată a unei fracții:

Rădăcină de la rădăcină

În cazurile în care rădăcina expresiei este sub rădăcină, prin proprietățile rădăcinilor acestea pot fi înlocuite cu o singură rădăcină, al cărei grad va fi egal cu produsul gradelor ambelor. Pur și simplu, pentru a extrage o rădăcină dintr-o rădăcină, este suficient să multiplicați indicatorii rădăcinilor. În exemplul prezentat în figură, expresia rădăcină de gradul trei a rădăcinii de gradul doi poate fi înlocuită cu o rădăcină de gradul 6. Specificați expresia după cum doriți. În orice caz, calculatorul va calcula totul corect.

Formule de grade utilizat în procesul de reducere și simplificare a expresiilor complexe, în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților.

Număr c este n-a-a putere a unui număr A Când:

Operații cu grade.

1. Prin înmulțirea gradelor cu aceeași bază, se adaugă indicatorii acestora:

a m·a n = a m + n .

2. La împărțirea gradelor cu aceeași bază, se scad exponenții acestora:

3. Gradul produsului a 2 sau mai multor factori este egal cu produsul gradelor acestor factori:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Gradul unei fracții este egal cu raportul dintre gradele dividendului și divizorului:

(a/b) n = a n /b n .

5. Ridicând o putere la o putere, exponenții se înmulțesc:

(a m) n = a m n .

Fiecare formulă de mai sus este adevărată în direcțiile de la stânga la dreapta și invers.

De exemplu. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operații cu rădăcini.

1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:

2. Rădăcina unui raport este egală cu raportul dintre dividend și divizorul rădăcinilor:

3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul radical la această putere:

4. Dacă creșteți gradul rădăcinii în n o dată şi în acelaşi timp construi în n Puterea este un număr radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

5. Dacă reduceți gradul rădăcinii în n extrage rădăcina în același timp n-a putere a unui număr radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba:

Un grad cu un exponent negativ. Puterea unui anumit număr cu un exponent nepozitiv (întreg) este definită ca fiind una împărțită la puterea aceluiași număr cu un exponent egal cu valoarea absolută a exponentului nepozitiv:

Formulă a m:a n =a m - n poate fi folosit nu numai pentru m> n, dar și cu m< n.

De exemplu. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Pentru a formula a m:a n =a m - n devenit corect când m=n, este necesară prezența gradului zero.

Un grad cu un indice zero. Puterea oricărui număr diferit de zero cu un exponent zero este egală cu unu.

De exemplu. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real A la gradul m/n, trebuie să extrageți rădăcina n gradul de m-a-a putere a acestui număr A.

Rădăcina a n-a a unui număr x este un număr nenegativ z care, atunci când este ridicat la a n-a putere, devine x. Determinarea rădăcinii este inclusă în lista operațiilor aritmetice de bază cu care ne familiarizăm în copilărie.

Notatie matematica

„Rădăcină” provine din cuvântul latin radix și astăzi cuvântul „radical” este folosit ca sinonim pentru acest termen matematic. Din secolul al XIII-lea, matematicienii au notat operația rădăcină cu litera r cu o bară orizontală peste expresia radicală. În secolul al XVI-lea a fost introdusă denumirea V, care a înlocuit treptat semnul r, dar linia orizontală a rămas. Este ușor să tastați într-o tipografie sau să scrieți de mână, dar în publicarea și programarea electronică s-a răspândit denumirea literei rădăcinii - sqrt. Așa vom desemna rădăcini pătrate în acest articol.

Rădăcină pătrată

Radicalul pătrat al unui număr x este un număr z care, înmulțit cu el însuși, devine x. De exemplu, dacă înmulțim 2 cu 2, obținem 4. Doi în acest caz este rădăcina pătrată a lui patru. Înmulțind 5 cu 5, obținem 25 și acum știm deja valoarea expresiei sqrt(25). Putem înmulți și – 12 cu −12 pentru a obține 144, iar radicalul lui 144 este atât 12, cât și −12. Evident, rădăcinile pătrate pot fi atât numere pozitive, cât și numere negative.

Dualismul particular al unor astfel de rădăcini este important pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice, prin urmare, atunci când căutați răspunsuri la astfel de probleme, este necesar să indicați ambele rădăcini. La rezolvarea expresiilor algebrice se folosesc rădăcini pătrate aritmetice, adică numai valorile lor pozitive.

Numerele ale căror rădăcini pătrate sunt numere întregi se numesc pătrate perfecte. Există o întreagă secvență de astfel de numere, al cărei început arată astfel:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Rădăcinile pătrate ale altor numere sunt numere iraționale. De exemplu, sqrt(3) = 1,73205080757... și așa mai departe. Acest număr este infinit și neperiodic, ceea ce provoacă unele dificultăți în calcularea unor astfel de radicali.

Cursul de matematică la școală afirmă că nu poți lua rădăcini pătrate ale numerelor negative. După cum învățăm într-un curs universitar de analiză matematică, acest lucru poate și ar trebui făcut - de aceea sunt necesare numere complexe. Cu toate acestea, programul nostru este conceput pentru a extrage valori reale ale rădăcinilor, deci nu calculează nici măcar radicalii din numere negative.

Rădăcină cubă

Radicalul cubic al unui număr x este un număr z care, înmulțit cu el însuși de trei ori, dă numărul x. De exemplu, dacă înmulțim 2 × 2 × 2, obținem 8. Prin urmare, doi este rădăcina cubă a lui opt. Înmulțiți cei patru cu el însuși de trei ori și obțineți 4 × 4 × 4 = 64. Evident, cei patru sunt rădăcina cubă a numărului 64. Există o succesiune infinită de numere ai căror radicali cubi sunt întregi. Începutul lui arată astfel:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Pentru alte numere, rădăcinile cubice sunt numere iraționale. Spre deosebire de radicalii pătrați, rădăcinile cubice, ca orice rădăcină impară, pot fi derivate din numere negative. Totul este despre produsul numerelor mai mici de zero. Minus pentru minus dă un plus - o regulă cunoscută de la școală. Și un minus pentru un plus dă un minus. Dacă înmulțim numerele negative de un număr impar de ori, rezultatul va fi și negativ, prin urmare, nimic nu ne împiedică să extragem un radical impar dintr-un număr negativ.

Cu toate acestea, programul calculatorului funcționează diferit. În esență, extragerea unei rădăcini înseamnă ridicarea acesteia la putere inversă. Rădăcina pătrată este considerată a fi ridicată la puterea de 1/2, iar rădăcina cubică este considerată a fi ridicată la puterea de 1/3. Formula de ridicare la puterea de 1/3 poate fi rearanjată și exprimată ca 2/6. Rezultatul este același, dar nu puteți extrage o astfel de rădăcină dintr-un număr negativ. Astfel, calculatorul nostru calculează rădăcini aritmetice numai din numere pozitive.

a n-a rădăcină

O astfel de metodă ornamentată de calculare a radicalilor vă permite să determinați rădăcinile de orice grad din orice expresie. Puteți lua rădăcina a cincea a unui cub al unui număr sau al 19-lea radical al unui număr la a 12-a putere. Toate acestea sunt implementate elegant sub forma ridicării la puterea 3/5 sau, respectiv, 12/19.

Să ne uităm la un exemplu

Diagonala unui pătrat

Iraționalitatea diagonalei unui pătrat era cunoscută de grecii antici. S-au confruntat cu problema calculării diagonalei unui pătrat plat, deoarece lungimea sa este întotdeauna proporțională cu rădăcina lui doi. Formula pentru determinarea lungimii diagonalei este derivată din și în cele din urmă ia forma:

d = a × sqrt(2).

Să determinăm radicalul pătrat al lui doi folosind calculatorul nostru. Să introducem valoarea 2 în celula „Număr(x)” și, de asemenea, în celula „Grad(n)” 2. Ca rezultat, obținem expresia sqrt(2) = 1,4142. Astfel, pentru a estima aproximativ diagonala unui pătrat, este suficient să-i înmulțiți latura cu 1,4142.

Concluzie

Găsirea unui radical este o operație aritmetică standard, fără de care calculele științifice sau de proiectare sunt indispensabile. Desigur, nu trebuie să determinăm rădăcini pentru a rezolva problemele de zi cu zi, dar calculatorul nostru online va fi cu siguranță util pentru școlari sau elevi pentru a verifica temele de algebră sau calcul.

Este timpul să o rezolvi metode de extragere a rădăcinilor. Ele se bazează pe proprietățile rădăcinilor, în special, pe egalitate, ceea ce este valabil pentru orice număr nenegativ b.

Mai jos ne vom uita la principalele metode de extragere a rădăcinilor una câte una.

Să începem cu cel mai simplu caz - extragerea rădăcinilor din numere naturale folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

Dacă tabele de pătrate, cuburi etc. Dacă nu îl aveți la îndemână, este logic să folosiți metoda de extragere a rădăcinii, care implică descompunerea numărului radical în factori primi.

Merită menționat în mod special ceea ce este posibil pentru rădăcinile cu exponenți impari.

În cele din urmă, să luăm în considerare o metodă care ne permite să găsim secvenţial cifrele valorii rădăcină.

Să începem.

Folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

În cele mai simple cazuri, tabelele de pătrate, cuburi etc. vă permit să extrageți rădăcini. Ce sunt aceste tabele?

Tabelul de pătrate de numere întregi de la 0 la 99 inclusiv (prezentat mai jos) este format din două zone. Prima zonă a tabelului este situată pe un fundal gri; selectând un anumit rând și o anumită coloană, vă permite să compuneți un număr de la 0 la 99. De exemplu, să selectăm un rând de 8 zeci și o coloană de 3 unități, cu aceasta am fixat numărul 83. A doua zonă ocupă restul mesei. Fiecare celulă este situată la intersecția unui anumit rând și a unei anumite coloane și conține pătratul numărului corespunzător de la 0 la 99. La intersecția dintre rândul nostru de 8 zeci și coloana 3 de unități alese există o celulă cu numărul 6.889, care este pătratul numărului 83.

Tabelele de cuburi, tabelele de puteri a patra ale numerelor de la 0 la 99 și așa mai departe sunt similare cu tabelul de pătrate, numai că conțin cuburi, puteri a patra etc. în zona a doua. numerele corespunzătoare.

Tabele de pătrate, cuburi, puteri a patra etc. vă permit să extrageți rădăcini pătrate, rădăcini cubice, rădăcini a patra etc. în consecință din numerele din aceste tabele. Să explicăm principiul utilizării lor la extragerea rădăcinilor.

Să presupunem că trebuie să extragem rădăcina a n-a a numărului a, în timp ce numărul a este conținut în tabelul puterilor a n-a. Folosind acest tabel găsim numărul b astfel încât a=b n. Apoi , prin urmare, numărul b va fi rădăcina dorită a gradului al n-lea.

Ca exemplu, să arătăm cum să folosiți un tabel cub pentru a extrage rădăcina cubului lui 19.683. Găsim numărul 19.683 în tabelul cuburilor, din acesta aflăm că acest număr este cubul numărului 27, prin urmare, .

Este clar că tabelele cu puterile a n-a sunt foarte convenabile pentru extragerea rădăcinilor. Cu toate acestea, adesea nu sunt la îndemână, iar compilarea lor necesită ceva timp. Mai mult, este adesea necesar să se extragă rădăcini din numere care nu sunt conținute în tabelele corespunzătoare. În aceste cazuri, trebuie să recurgeți la alte metode de extracție a rădăcinilor.

Factorizarea unui număr radical în factori primi

O modalitate destul de convenabilă de a extrage rădăcina unui număr natural (dacă, desigur, rădăcina este extrasă) este de a descompune numărul radical în factori primi. A lui ideea este aceasta: după aceea este destul de ușor să o reprezinte ca o putere cu exponentul dorit, ceea ce vă permite să obțineți valoarea rădăcinii. Să lămurim acest punct.

Fie luată a n-a rădăcină a unui număr natural a și valoarea sa egală cu b. În acest caz, egalitatea a=b n este adevărată. Numărul b, ca orice număr natural, poate fi reprezentat ca produsul tuturor factorilor săi primi p 1 , p 2 , …, p m sub forma p 1 ·p 2 ·…·p m , iar numărul radical a în acest caz este reprezentat ca (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Deoarece descompunerea unui număr în factori primi este unică, descompunerea radicalului a în factori primi va avea forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, ceea ce face posibilă calcularea valorii rădăcinii la fel de.

Rețineți că dacă descompunerea în factori primi a unui număr radical a nu poate fi reprezentată sub forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, atunci rădăcina a n-a a unui astfel de număr a nu este complet extrasă.

Să ne dăm seama când rezolvăm exemplele.

Exemplu.

Luați rădăcina pătrată a lui 144.

Soluţie.

Dacă te uiți la tabelul de pătrate din paragraful anterior, poți vedea clar că 144 = 12 2, din care este clar că rădăcina pătrată a lui 144 este egală cu 12.

Dar în lumina acestui punct, ne interesează modul în care este extrasă rădăcina prin descompunerea numărului radical 144 în factori primi. Să ne uităm la această soluție.

Să ne descompunem 144 la factori primi:

Adică 144=2·2·2·2·3·3. Pe baza descompunerii rezultate, pot fi efectuate următoarele transformări: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Prin urmare, .

Folosind proprietățile gradului și proprietățile rădăcinilor, soluția ar putea fi formulată puțin diferit: .

Răspuns:

Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluțiile pentru încă două exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea rădăcinii.

Soluţie.

Descompunerea în factori primi a radicalului 243 are forma 243=3 5 . Prin urmare, .

Răspuns:

Exemplu.

Este valoarea rădăcină un număr întreg?

Soluţie.

Pentru a răspunde la această întrebare, să factorăm numărul radical în factori primi și să vedem dacă acesta poate fi reprezentat ca un cub al unui număr întreg.

Avem 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Expansiunea rezultată nu poate fi reprezentată ca un cub al unui număr întreg, deoarece puterea factorului prim 7 nu este un multiplu de trei. Prin urmare, rădăcina cubă a lui 285.768 nu poate fi extrasă complet.

Răspuns:

Nu.

Extragerea rădăcinilor din numere fracționale

Este timpul să vă dați seama cum să extrageți rădăcina unui număr fracționar. Să se scrie numărul radical fracționar ca p/q. Conform proprietății rădăcinii unui cot, următoarea egalitate este adevărată. Din această egalitate rezultă regula pentru extragerea rădăcinii unei fracții: Rădăcina unei fracții este egală cu câtul rădăcinii numărătorului împărțit la rădăcina numitorului.

Să ne uităm la un exemplu de extragere a unei rădăcini dintr-o fracție.

Exemplu.

Care este rădăcina pătrată a fracției comune 25/169?

Soluţie.

Folosind tabelul de pătrate, aflăm că rădăcina pătrată a numărătorului fracției inițiale este egală cu 5, iar rădăcina pătrată a numitorului este egală cu 13. Apoi . Aceasta completează extragerea rădăcinii fracției comune 25/169.

Răspuns:

Rădăcina unei fracții zecimale sau a unui număr mixt este extrasă după înlocuirea numerelor radicale cu fracții obișnuite.

Exemplu.

Luați rădăcina cubă a fracției zecimale 474,552.

Soluţie.

Să ne imaginăm fracția zecimală inițială ca o fracție obișnuită: 474,552=474552/1000. Apoi . Rămâne să extragem rădăcinile cubice care se află la numărătorul și numitorul fracției rezultate. Deoarece 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 și 1 000 = 10 3, atunci Și . Mai rămâne doar să finalizați calculele .

Răspuns:

.

Luarea rădăcinii unui număr negativ

Merită să ne oprim asupra extragerii rădăcinilor din numerele negative. Când studiem rădăcinile, am spus că atunci când exponentul rădăcinii este un număr impar, atunci poate exista un număr negativ sub semnul rădăcinii. Am dat acestor intrări următoarea semnificație: pentru un număr negativ −a și un exponent impar al rădăcinii 2 n−1, . Această egalitate dă regula pentru extragerea rădăcinilor impare din numerele negative: pentru a extrage rădăcina unui număr negativ, trebuie să luați rădăcina numărului pozitiv opus și să puneți semnul minus în fața rezultatului.

Să ne uităm la soluția exemplu.

Exemplu.

Găsiți valoarea rădăcinii.

Soluţie.

Să transformăm expresia originală astfel încât să existe un număr pozitiv sub semnul rădăcinii: . Acum înlocuiți numărul mixt cu o fracție obișnuită: . Aplicăm regula pentru extragerea rădăcinii unei fracții obișnuite: . Rămâne de calculat rădăcinile în numărătorul și numitorul fracției rezultate: .

Iată un scurt rezumat al soluției: .

Răspuns:

.

Determinarea pe biți a valorii rădăcinii

În cazul general, sub rădăcină există un număr care, folosind tehnicile discutate mai sus, nu poate fi reprezentat ca puterea a n-a a vreunui număr. Dar în acest caz este nevoie de a cunoaște semnificația unei rădăcini date, cel puțin până la un anumit semn. În acest caz, pentru a extrage rădăcina, puteți utiliza un algoritm care vă permite să obțineți succesiv un număr suficient de valori de cifre ale numărului dorit.

Primul pas al acestui algoritm este de a afla care este bitul cel mai semnificativ al valorii rădăcină. Pentru a face acest lucru, numerele 0, 10, 100, ... sunt ridicate succesiv la puterea n până în momentul în care se obține un număr care depășește numărul radical. Apoi, numărul pe care l-am ridicat la puterea n în etapa anterioară va indica cifra corespunzătoare cea mai semnificativă.

De exemplu, luați în considerare acest pas al algoritmului atunci când extrageți rădăcina pătrată a lui cinci. Luați numerele 0, 10, 100, ... și pătrați-le până obținem un număr mai mare de 5. Avem 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, ceea ce înseamnă că cea mai semnificativă cifră va fi cifra celor. Valoarea acestui bit, precum și a celor inferioare, vor fi găsite în următorii pași ai algoritmului de extracție a rădăcinii.

Toți pașii următori ai algoritmului au ca scop clarificarea succesivă a valorii rădăcinii prin găsirea valorilor următorilor biți ai valorii dorite a rădăcinii, începând cu cel mai mare și trecând la cei mai mici. De exemplu, valoarea rădăcinii la primul pas se dovedește a fi 2, la al doilea – 2,2, la al treilea – 2,23 și așa mai departe 2,236067977…. Să descriem cum sunt găsite valorile cifrelor.

Cifrele sunt găsite prin căutarea prin valorile lor posibile 0, 1, 2, ..., 9. În acest caz, puterile a n-a ale numerelor corespunzătoare sunt calculate în paralel și sunt comparate cu numărul radical. Dacă la un moment dat valoarea gradului depășește numărul radical, atunci valoarea cifrei corespunzătoare valorii anterioare este considerată găsită și se face trecerea la pasul următor al algoritmului de extracție a rădăcinii; dacă acest lucru nu se întâmplă, atunci valoarea acestei cifre este 9.

Să explicăm aceste puncte folosind același exemplu de extragere a rădăcinii pătrate a lui cinci.

Mai întâi găsim valoarea cifrei unităților. Vom parcurge valorile 0, 1, 2, ..., 9, calculând 0 2, 1 2, ..., respectiv 9 2, până când obținem o valoare mai mare decât numărul radical 5. Este convenabil să prezentați toate aceste calcule sub forma unui tabel:

Deci valoarea cifrei unităților este 2 (din moment ce 2 2<5 , а 2 3 >5). Să trecem la găsirea valorii locului zecimii. În acest caz, vom pătrat numerele 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, comparând valorile rezultate cu numărul radical 5:

Din 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, atunci valoarea locului zecimii este 2. Puteți trece la găsirea valorii locului sutimilor:

Așa a fost găsită următoarea valoare a rădăcinii lui cinci, este egală cu 2,23. Și astfel puteți continua să găsiți valori: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pentru a consolida materialul, vom analiza extragerea rădăcinii cu o precizie de sutimi folosind algoritmul considerat.

Mai întâi determinăm cea mai semnificativă cifră. Pentru a face acest lucru, cubăm numerele 0, 10, 100 etc. până când obținem un număr mai mare de 2.151.186. Avem 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , deci cea mai semnificativă cifră este cifra zecilor.

Să-i determinăm valoarea.

Din 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, atunci valoarea locului zecilor este 1. Să trecem la unități.

Astfel, valoarea cifrei celor este 2. Să trecem la zecimi.

Deoarece chiar și 12,9 3 este mai mic decât numărul radical 2 151,186, atunci valoarea locului zecimilor este 9. Rămâne de efectuat ultimul pas al algoritmului; ne va oferi valoarea rădăcinii cu precizia necesară.

În această etapă, valoarea rădăcinii este găsită cu o precizie de sutimi: .

În încheierea acestui articol, aș dori să spun că există multe alte modalități de a extrage rădăcini. Dar pentru majoritatea sarcinilor, cele pe care le-am studiat mai sus sunt suficiente.

Bibliografie.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi altele.Algebra şi începuturile analizei: Manual pentru clasele 10 - 11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice).