Ndërtoni një katror 6 duke përdorur një busull. Si të ndërtoni një gjashtëkëndësh të rregullt. Rrethi i rrethuar dhe mundësia e ndërtimit

Tema e shumëkëndëshave është trajtuar në kurrikulën shkollore, por nuk i kushtojnë rëndësi të mjaftueshme. Ndërkohë, është interesante, dhe kjo është veçanërisht e vërtetë për një gjashtëkëndësh ose gjashtëkëndësh të rregullt - në fund të fundit, shumë objekte natyrore kanë këtë formë. Këto përfshijnë huall mjalti dhe më shumë. Kjo formë aplikohet shumë mirë në praktikë.

Përkufizimi dhe ndërtimi

Një gjashtëkëndësh i rregullt është një figurë e rrafshët që ka gjashtë brinjë të barabarta në gjatësi dhe të njëjtin numër këndesh të barabarta.

Nëse kujtojmë formulën për shumën e këndeve të një shumëkëndëshi

rezulton se në këtë shifër është e barabartë me 720 °. Epo, meqenëse të gjitha këndet e figurës janë të barabarta, është e lehtë të llogaritet se secili prej tyre është i barabartë me 120 °.

Vizatimi i një gjashtëkëndëshi është shumë i thjeshtë, gjithçka që ju nevojitet është një busull dhe një vizore.

Udhëzimi hap pas hapi do të duket si ky:

Nëse dëshironi, mund të bëni pa një vijë duke vizatuar pesë rrathë me rreze të barabartë.

Shifra e përftuar në këtë mënyrë do të jetë një gjashtëkëndësh i rregullt, dhe kjo mund të vërtetohet më poshtë.

Karakteristikat janë të thjeshta dhe interesante

Për të kuptuar vetitë e një gjashtëkëndëshi të rregullt, ka kuptim ta ndajmë atë në gjashtë trekëndësha:

Kjo do të ndihmojë në të ardhmen për të shfaqur më qartë pronat e saj, kryesore prej të cilave janë:

1. diametri i rrethit të kufizuar;
2. diametri i rrethit të brendashkruar;
3. katror;
4. perimetër.

Rrethi i rrethuar dhe mundësia e ndërtimit

Është e mundur të përshkruhet një rreth rreth një gjashtëkëndëshi, dhe për më tepër, vetëm një. Meqenëse kjo shifër është e saktë, ju mund ta bëni atë mjaft thjesht: vizatoni një përgjysmues nga dy kënde ngjitur brenda. Ata kryqëzohen në pikën O dhe së bashku me brinjën ndërmjet tyre formojnë një trekëndësh.

Këndet ndërmjet anës së gjashtëkëndëshit dhe përgjysmuesve do të jenë 60° secila, kështu që mund të themi patjetër se një trekëndësh, për shembull, AOB, është dykëndësh. Dhe meqenëse këndi i tretë do të jetë gjithashtu i barabartë me 60 °, ai është gjithashtu barabrinjës. Nga kjo rrjedh se segmentet OA dhe OB janë të barabarta, që do të thotë se ato mund të shërbejnë si rreze e rrethit.

Pas kësaj, mund të shkoni në anën tjetër, dhe gjithashtu të vizatoni një përgjysmues nga këndi në pikën C. Do të dalë një trekëndësh tjetër barabrinjës, dhe ana AB do të jetë e përbashkët me dy në të njëjtën kohë, dhe OS do të jetë rrezja tjetër nëpër të cilën kalon i njëjti rreth. Do të jenë gjithsej gjashtë trekëndësha të tillë dhe ata do të kenë një kulm të përbashkët në pikën O. Rezulton se do të jetë e mundur të përshkruhet rrethi, dhe ai është vetëm një, dhe rrezja e tij është e barabartë me anën e gjashtëkëndëshit :

Kjo është arsyeja pse është e mundur të ndërtohet kjo figurë me ndihmën e një busull dhe një vizore.

Epo, zona e këtij rrethi do të jetë standarde:

Rreth i brendashkruar

Qendra e rrethit të rrethuar përkon me qendrën e rrethit të brendashkruar. Për ta verifikuar këtë, ne mund të vizatojmë pingule nga pika O në anët e gjashtëkëndëshit. Ato do të jenë lartësitë e atyre trekëndëshave që përbëjnë gjashtëkëndëshin. Dhe në një trekëndësh dykëndësh, lartësia është mesatarja në lidhje me anën në të cilën mbështetet. Kështu, kjo lartësi nuk është gjë tjetër veçse përgjysmues pingul, që është rrezja e rrethit të brendashkruar.

Lartësia e një trekëndëshi barabrinjës llogaritet thjesht:

h²=a²-(a/2)²= a²3/4, h=a(√3)/2

Dhe meqenëse R=a dhe r=h, rezulton se

r=R(√3)/2.

Kështu, rrethi i brendashkruar kalon nëpër qendrat e anëve të një gjashtëkëndëshi të rregullt.

Zona e saj do të jetë:

S=3πa²/4,

domethënë tre të katërtat e asaj që përshkruhet.

Perimetri dhe zona

Gjithçka është e qartë me perimetrin, kjo është shuma e gjatësive të anëve:

P=6a, ose P=6R

Por sipërfaqja do të jetë e barabartë me shumën e të gjashtë trekëndëshave në të cilët mund të ndahet gjashtëkëndëshi. Meqenëse sipërfaqja e një trekëndëshi llogaritet si gjysma e prodhimit të bazës dhe lartësisë, atëherë:

S \u003d 6 (a / 2) (a (√3) / 2) \u003d 6a² (√3) / 4 \u003d 3a² (√3) / 2 ose

S=3R²(√3)/2

Ata që dëshirojnë të llogarisin këtë zonë përmes rrezes së rrethit të brendashkruar mund të bëhen si kjo:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Ndërtime argëtuese

Një trekëndësh mund të futet në një gjashtëkëndësh, anët e të cilit do të lidhin kulmet përmes një:

Do të jenë gjithsej dy prej tyre dhe imponimi i tyre ndaj njëri-tjetrit do të japë Yllin e Davidit. Secili prej këtyre trekëndëshave është barabrinjës. Kjo është e lehtë për t'u verifikuar. Nëse shikoni anën AC, atëherë ajo i përket dy trekëndëshave menjëherë - BAC dhe AEC. Nëse në të parën prej tyre AB \u003d BC, dhe këndi midis tyre është 120 °, atëherë secila prej atyre të mbetura do të jetë 30 °. Nga kjo mund të nxjerrim përfundime logjike:

1. Lartësia e ABC nga kulmi B do të jetë e barabartë me gjysmën e anës së gjashtëkëndëshit, pasi sin30°=1/2. Ata që dëshirojnë ta verifikojnë këtë mund të këshillohen të rillogariten sipas teoremës së Pitagorës, kjo përshtatet në mënyrë të përkryer këtu.
2. Ana AC do të jetë e barabartë me dy rreze të rrethit të brendashkruar, i cili përsëri llogaritet duke përdorur të njëjtën teoremë. Kjo është, AC=2(a(√3)/2)=a(√3).
3. Trekëndëshat ABC, CDE dhe AEF janë të barabartë në dy brinjë dhe këndi ndërmjet tyre, dhe kështu vijon barazia e brinjëve AC, CE dhe EA.

Duke u kryqëzuar me njëri-tjetrin, trekëndëshat formojnë një gjashtëkëndësh të ri, dhe ai është gjithashtu i rregullt. Është e lehtë të provosh:

Kështu, figura plotëson shenjat e një gjashtëkëndëshi të rregullt - ka gjashtë anë dhe kënde të barabarta. Nga barazia e trekëndëshave në kulme, është e lehtë të nxirret gjatësia e anës së gjashtëkëndëshit të ri:

d=а(√3)/3

Do të jetë gjithashtu rrezja e rrethit të përshkruar rreth tij. Rrezja e të mbishkruarit do të jetë gjysma e anës së gjashtëkëndëshit të madh, gjë që u vërtetua kur merret parasysh trekëndëshi ABC. Lartësia e saj është saktësisht gjysma e anës, prandaj, gjysma e dytë është rrezja e rrethit të gdhendur në gjashtëkëndëshin e vogël:

r2=а/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Rezulton se zona e gjashtëkëndëshit brenda yllit të Davidit është tre herë më e vogël se ajo e atij të madh në të cilin është gdhendur ylli.

Nga teoria në praktikë

Karakteristikat e gjashtëkëndëshit përdoren në mënyrë shumë aktive si në natyrë ashtu edhe në fusha të ndryshme të veprimtarisë njerëzore. Para së gjithash, kjo vlen për bulonat dhe arrat - kapelet e të parës dhe të dytë nuk janë asgjë më shumë se një gjashtëkëndësh i rregullt, nëse nuk i merrni parasysh animet. Madhësia e çelësave korrespondon me diametrin e rrethit të gdhendur - domethënë distancën midis fytyrave të kundërta.

Ka gjetur aplikimin e saj dhe pllakat gjashtëkëndore. Është shumë më pak e zakonshme se ajo katërkëndore, por është më e përshtatshme për ta shtruar atë: tre pllaka takohen në një pikë, jo katër. Kompozimet mund të jenë shumë interesante:

Prodhohen edhe pllaka shtrimi prej betoni.

Prevalenca e gjashtëkëndëshit në natyrë shpjegohet thjesht. Kështu, është më e lehtë të vendosni rrathë dhe topa fort në një aeroplan nëse kanë të njëjtin diametër. Për shkak të kësaj, huallet e mjaltit kanë një formë të tillë.

Ndërtimi i një gjashtëkëndëshi të rregullt të brendashkruar në një rreth. Ndërtimi i një pesëkëndëshi të rregullt duke pasur parasysh anën e tij. Lëvizni gjilpërën e busullës në pikën e kryqëzimit të harkut të sapo vizatuar me rrethin. Ky ndërtim mund të bëhet duke përdorur një katror dhe një busull. Një gjashtëkëndësh i rregullt mund të ndërtohet duke përdorur një katror T dhe një katror 30X60°. Ndërtoni pikat kulmore të këndeve të një gjashtëkëndëshi të rregullt.

Ndërtimi i një trekëndëshi barabrinjës të brendashkruar në rreth. Kulmet e një trekëndëshi të tillë mund të ndërtohen duke përdorur një busull dhe një katror me kënde 30 dhe 60 °, ose vetëm një busull. Për të ndërtuar anën 2-3, vendosni katrorin T në pozicionin e treguar nga vijat e ndërprera dhe vizatoni një vijë të drejtë përmes pikës 2, e cila do të përcaktojë kulmin e tretë të trekëndëshit.

Metoda 1 nga 3: Vizatoni një gjashtëkëndësh të përsosur me një busull

Shënojmë pikën 1 në rreth dhe e marrim si një nga kulmet e pesëkëndëshit. Le të jepet një rreth me diametër D; duhet të futni në të një shtatëkëndësh të rregullt (Fig. 65). Ndani diametrin vertikal të rrethit në shtatë pjesë të barabarta. Nga pika 7 me rreze të barabartë me diametrin e rrethit D, përshkruajmë harkun derisa të kryqëzohet me vazhdimin e diametrit horizontal në pikën F. Pika F quhet poli i shumëkëndëshit.

Teknika për ndërtimin e shumëkëndëshave të rregullt bazohet në aftësinë për të ndërtuar përgjysmues këndor dhe përgjysmues pingul të segmenteve.

Kolona e parë e kësaj tabele përmban numrin e brinjëve të një shumëkëndëshi të rregullt të brendashkruar dhe kolona e dytë përmban koeficientët. Gjatësia e një brinje të një shumëkëndëshi të caktuar fitohet duke shumëzuar rrezen e një rrethi të caktuar me një faktor që korrespondon me numrin e brinjëve të këtij shumëkëndëshi.

Tema e këtij video tutoriali është "Ndërtimi i shumëkëndëshave të rregullt". Ne gjithashtu do të japim edhe një herë përkufizimin e një shumëkëndëshi të rregullt, do ta përshkruajmë atë grafikisht, pas së cilës do të sigurohemi edhe një herë që qendrat e rrathëve të gdhendur dhe të rrethuar rreth një figure të tillë do të përkojnë. Një rreth mund të jetë gjithmonë i brendashkruar në këtë shumëkëndësh dhe një rreth mund të rrethohet gjithmonë rreth tij. Gjatë mësimeve të mëparshme, zbuluam se rolin themelor për përshkrimin e vetive të shumëkëndëshave e luajnë përgjysmuesit e këndeve të tij dhe përgjysmuesit pingul në anët e tij.

4. Ne morëm trekëndëshin e rregullt të dëshiruar ABC. Problemi u zgjidh. 3. Pasi kemi vendosur njërën këmbë të busullës në një pikë arbitrare A1 në rreth, me ndihmën e këmbës së dytë shënojmë pikën A2 në të njëjtin rreth dhe e lidhim me pikën A1. Marrim anën e parë të gjashtëkëndëshit. 3. Duke përdorur përgjysmuesit pingul në anët e shumëkëndëshit, të ulur nga pika O, ndajmë përgjysmë të gjitha anët e tij dhe të gjitha harqet e rrethit të mbyllur midis kulmeve të tij ngjitur.

Ndërtimet gjeometrike janë një nga pjesët e rëndësishme të të mësuarit. Gjilpëra duhet të shpojë vijën e tërhequr. Sa më saktë të vendoset busulla, aq më i saktë do të jetë ndërtimi. Vizatoni një hark tjetër që kryqëzon rrethin. Lidhni në mënyrë të vazhdueshme të gjashtë pikat e kryqëzimit të harqeve me rrethin e vizatuar fillimisht. Në këtë rast, gjashtëkëndëshi mund të rezultojë i gabuar.

Për të marrë kulmet / - // - /// nga pikat IV, V dhe VI, ne tërheqim vija horizontale në kryqëzimin me rrethin

Ne i lidhim kulmet e gjetura në seri me njëra-tjetrën. Heptagoni mund të ndërtohet duke tërhequr rreze nga poli F dhe përmes ndarjeve tek të diametrit vertikal. Qendrat e të dy rrathëve përkojnë (pika O në Fig. 1). Figura tregon gjithashtu rrezet e rrathëve të rrethuar (R) dhe të brendashkruar (r).

Ndërtimi i një gjashtëkëndëshi bazohet në faktin se ana e tij është e barabartë me rrezen e rrethit të rrethuar. Në këtë mësim, ne do të shikojmë mënyrat për të ndërtuar shumëkëndësha të rregullt duke përdorur një busull dhe vizore. Metoda e dytë bazohet në faktin se nëse ndërtoni një gjashtëkëndësh të rregullt të gdhendur në një rreth, dhe më pas lidhni kulmet e tij përmes njërës, ju merrni një trekëndësh barabrinjës. Metoda e mësipërme është e përshtatshme për ndërtimin e shumëkëndëshave të rregullt me ​​çdo numër brinjësh.

Ndërtimi i një gjashtëkëndëshi të rregullt të brendashkruar në një rreth. Ndërtimi i një gjashtëkëndëshi bazohet në faktin se ana e tij është e barabartë me rrezen e rrethit të rrethuar. Prandaj, për të ndërtuar, mjafton të ndani rrethin në gjashtë pjesë të barabarta dhe të lidhni pikat e gjetura me njëra-tjetrën (Fig. 60, a).

Një gjashtëkëndësh i rregullt mund të ndërtohet duke përdorur një katror T dhe një katror 30X60°. Për të kryer këtë ndërtim, marrim diametrin horizontal të rrethit si përgjysmues të këndeve 1 dhe 4 (Fig. 60, b), ndërtojmë brinjët 1-6, 4-3, 4-5 dhe 7-2, pas së cilës ne barazoni anët 5-6 dhe 3-2.

Ndërtimi i një trekëndëshi barabrinjës të brendashkruar në rreth. Kulmet e një trekëndëshi të tillë mund të ndërtohen duke përdorur një busull dhe një katror me kënde 30 dhe 60 °, ose vetëm një busull.

Shqyrtoni dy mënyra për të ndërtuar një trekëndësh barabrinjës të gdhendur në një rreth.

Mënyra e parë(Fig. 61, a) bazohet në faktin se të tre këndet e trekëndëshit 7, 2, 3 përmbajnë 60 ° secili, dhe vija vertikale e tërhequr nëpër pikën 7 është edhe lartësia edhe përgjysmuesja e këndit 1. këndi 0-1- 2 është i barabartë me 30°, pastaj për të gjetur anën

1-2, mjafton të ndërtoni një kënd prej 30 ° në pikën 1 dhe anën 0-1. Për ta bërë këtë, vendosni katrorin T dhe katrorin siç tregohet në figurë, vizatoni një vijë 1-2, e cila do të jetë një nga anët e trekëndëshit të dëshiruar. Për të ndërtuar anën 2-3, vendosni katrorin T në pozicionin e treguar nga vijat e ndërprera dhe vizatoni një vijë të drejtë përmes pikës 2, e cila do të përcaktojë kulmin e tretë të trekëndëshit.

Mënyra e dytë bazohet në faktin se nëse ndërtoni një gjashtëkëndësh të rregullt të gdhendur në një rreth, dhe më pas lidhni kulmet e tij përmes njërës, ju merrni një trekëndësh barabrinjës.

Për të ndërtuar një trekëndësh (Fig. 61, b), shënojmë një pikë kulmore 1 në diametër dhe vizatojmë një vijë diametrike 1-4. Më tej, nga pika 4 me një rreze të barabartë me D / 2, ne përshkruajmë harkun derisa të kryqëzohet me rrethin në pikat 3 dhe 2. Pikat që rezultojnë do të jenë dy kulme të tjera të trekëndëshit të dëshiruar.

Ndërtimi i një katrori të brendashkruar në një rreth. Ky ndërtim mund të bëhet duke përdorur një katror dhe një busull.

Metoda e parë bazohet në faktin se diagonalet e katrorit kryqëzohen në qendër të rrethit të rrethuar dhe janë të prirur ndaj boshteve të tij në një kënd prej 45 °. Bazuar në këtë, ne instalojmë një katror T dhe një katror me kënde 45 ° siç tregohet në Fig. 62, a dhe shënoni pikat 1 dhe 3. Më tej, përmes këtyre pikave, vizatojmë anët horizontale të katrorit 4-1 dhe 3-2 me ndihmën e një katrori T. Më pas, duke përdorur një katror T përgjatë këmbës së katrorit, vizatojmë anët vertikale të katrorit 1-2 dhe 4-3.

Metoda e dytë bazohet në faktin se kulmet e katrorit përgjysmojnë harqet e rrethit të mbyllur midis skajeve të diametrit (Fig. 62, b). Ne shënojmë pikat A, B dhe C në skajet e dy diametrave pingulë reciprokisht, dhe prej tyre me një rreze y përshkruajmë harqet derisa ato të kryqëzohen.

Më tej, përmes pikave të kryqëzimit të harqeve, vizatojmë vija ndihmëse, të shënuara në figurë me vija të forta. Pikat e tyre të kryqëzimit me rrethin do të përcaktojnë kulmet 1 dhe 3; 4 dhe 2. Kulmet e katrorit të dëshiruar të fituara në këtë mënyrë lidhen në seri me njëra-tjetrën.

Ndërtimi i një pesëkëndëshi të rregullt të gdhendur në një rreth.

Për të futur një pesëkëndësh të rregullt në një rreth (Fig. 63), bëjmë konstruksionet e mëposhtme.

Shënojmë pikën 1 në rreth dhe e marrim si një nga kulmet e pesëkëndëshit. Ndani segmentin AO në gjysmë. Për ta bërë këtë, me rreze AO nga pika A, përshkruajmë harkun në kryqëzimin me rrethin në pikat M dhe B. Duke i lidhur këto pika me një vijë të drejtë, marrim pikën K, të cilën më pas e lidhim me pikën 1. Me një rreze të barabartë me segmentin A7, ne përshkruajmë harkun nga pika K në kryqëzimin me vijën diametrike AO në pikën H. Duke e lidhur pikën 1 me pikën H, marrim anën e pesëkëndëshit. Pastaj, me një hapje busull të barabartë me segmentin 1H, duke përshkruar harkun nga kulmi 1 në kryqëzimin me rrethin, gjejmë kulmet 2 dhe 5. Pasi kemi bërë prerje nga kulmet 2 dhe 5 me të njëjtën hapje busull, marrim pjesën e mbetur kulmet 3 dhe 4. Pikat e gjetura i lidhim radhazi me njëra-tjetrën.

Ndërtimi i një pesëkëndëshi të rregullt duke pasur parasysh anën e tij.

Për të ndërtuar një pesëkëndësh të rregullt përgjatë anës së tij të dhënë (Fig. 64), ne e ndajmë segmentin AB në gjashtë pjesë të barabarta. Nga pikat A dhe B me rreze AB përshkruajmë harqe, kryqëzimi i të cilëve do të japë pikën K. Përmes kësaj pike dhe ndarjes 3 në drejtëzën AB vizatojmë një vijë vertikale.

Marrim pikën 1-kulmin e pesëkëndëshit. Pastaj, me një rreze të barabartë me AB, nga pika 1 përshkruajmë harkun në kryqëzimin me harqet e tërhequra më parë nga pikat A dhe B. Pikat e kryqëzimit të harqeve përcaktojnë kulmet e pesëkëndëshit 2 dhe 5. Ne lidhim të gjeturën kulme në seri me njëra-tjetrën.

Ndërtimi i një shtatëkëndëshi të rregullt të gdhendur në një rreth.

Le të jepet një rreth me diametër D; duhet të futni në të një shtatëkëndësh të rregullt (Fig. 65). Ndani diametrin vertikal të rrethit në shtatë pjesë të barabarta. Nga pika 7 me rreze të barabartë me diametrin e rrethit D, përshkruajmë harkun derisa të kryqëzohet me vazhdimin e diametrit horizontal në pikën F. Pika F quhet poli i shumëkëndëshit. Duke marrë pikën VII si një nga kulmet e shtatëkëndëshit, tërheqim rrezet nga poli F përmes ndarjeve çifte të diametrit vertikal, kryqëzimi i të cilave me rrethin do të përcaktojë kulmet VI, V dhe IV të shtatëkëndëshit. Për të marrë kulmet / - // - /// nga pikat IV, V dhe VI, vizatojmë vija horizontale derisa ato të kryqëzohen me rrethin. Ne i lidhim kulmet e gjetura në seri me njëra-tjetrën. Heptagoni mund të ndërtohet duke tërhequr rreze nga poli F dhe përmes ndarjeve tek të diametrit vertikal.

Metoda e mësipërme është e përshtatshme për ndërtimin e shumëkëndëshave të rregullt me ​​çdo numër brinjësh.

Ndarja e një rrethi në çdo numër pjesësh të barabarta mund të bëhet gjithashtu duke përdorur të dhënat në tabelë. 2, i cili tregon koeficientët që bëjnë të mundur përcaktimin e përmasave të brinjëve të shumëkëndëshave të rregullt të brendashkruar.

Ndërtimet gjeometrike janë një nga pjesët kryesore të mësimit. Ata formojnë të menduarit hapësinor dhe logjik, dhe gjithashtu ju lejojnë të kuptoni vlefshmërinë gjeometrike primitive dhe natyrore. Ndërtimet bëhen në një aeroplan duke përdorur një busull dhe një sundimtar. Këto mjete ju lejojnë të ndërtoni një numër të madh formash gjeometrike. Në të njëjtën kohë, shumë figura që duken mjaft të vështira ndërtohen duke përdorur rregullat më të thjeshta. Le të themi se si të ndërtohet një gjashtëkëndësh i vërtetë, lejohet të përshkruhet secili me disa fjalë.

Do t'ju duhet

• Busulla, vizore, laps, fletë letre.

Udhëzim

1. Vizatoni një rreth. Vendosni një distancë midis këmbëve të busullës. Kjo distancë do të jetë rrezja e rrethit. Zgjidhni një rreze në atë mënyrë që vizatimi i një rrethi të jetë mjaft i rehatshëm. Rrethi duhet të përshtatet plotësisht në fletën e letrës. Distanca shumë e madhe ose shumë e vogël midis këmbëve të busullës mund të çojë në ndryshimin e saj gjatë vizatimit. Distanca optimale do të jetë në të cilën këndi midis këmbëve të busullës është 15-30 gradë.

2. Ndërtoni pikat kulmore të këndeve të një gjashtëkëndëshi të rregullt. Vendoseni këmbën e busullës, në të cilën është fiksuar gjilpëra, në çdo pikë të rrethit. Gjilpëra duhet të shpojë vijën e tërhequr. Sa më i saktë të vendoset busulla, aq më i saktë do të jetë ndërtimi. Vizatoni një hark rrethi në mënyrë që ai të presë rrethin e vizatuar më parë. Lëvizni gjilpërën e busullës në pikën e kryqëzimit të harkut të sapo vizatuar me rrethin. Vizatoni një hark tjetër që kryqëzon rrethin. Lëvizni përsëri gjilpërën e busullës në pikën e kryqëzimit të harkut dhe rrethit dhe vizatoni përsëri harkun. Përsëriteni këtë veprim edhe tre herë, duke lëvizur në të njëjtin drejtim rreth rrethit. Secili duhet të marrë gjashtë harqe dhe gjashtë pika kryqëzimi.

3. Ndërtoni një gjashtëkëndësh pozitiv. Kombinoni hap pas hapi të gjashtë pikat e kryqëzimit të harqeve me rrethin e tërhequr fillimisht. Lidhni pikat me vija të drejta të vizatuara me vizore dhe laps. Pas veprimeve të kryera, do të merret një gjashtëkëndësh i vërtetë i gdhendur në një rreth.

gjashtëkëndësh Një shumëkëndësh konsiderohet të ketë gjashtë kënde dhe gjashtë brinjë. Shumëkëndëshat janë edhe konveks edhe konkavë. Në një gjashtëkëndësh konveks, të gjitha këndet e brendshme janë të mpirë; në një konkave një ose më shumë kënde janë akute. Gjashtëkëndëshi është mjaft i lehtë për t'u ndërtuar. Kjo bëhet në disa hapa.

Do t'ju duhet

• Laps, fletë letre, vizore

Udhëzim

1. Merret një fletë letre dhe mbi të shënohen 6 pika afërsisht siç tregohet në Fig. 1.

2. Më vonë, pasi janë shënuar pikat, merret një vizore, një laps dhe me ndihmën e tyre hap pas hapi, pikat lidhen njëra pas tjetrës siç duket në Fig. 2.

Video të ngjashme

Shënim!
Shuma e të gjitha këndeve të brendshme të një gjashtëkëndëshi është 720 gradë.

Gjashtëkëndëshështë një shumëkëndësh, ai që ka gjashtë kënde. Në mënyrë që të vizatoni një gjashtëkëndësh arbitrar, duhet të bëni çdo 2 hapa.

Do t'ju duhet

• Laps, vizore, fletë letre.

Udhëzim

1. Ju duhet të merrni një laps në dorë dhe të shënoni 6 pika arbitrare në fletë. Në të ardhmen, këto pika do të luajnë rolin e qosheve në gjashtëkëndësh. (fig.1)

2. Merrni një vizore dhe vizatoni 6 segmente në këto pika, të cilat do të lidhen me njëri-tjetrin në pikat e vizatuara më parë (Fig. 2)

Video të ngjashme

Shënim!
Një lloj i veçantë i gjashtëkëndëshit është gjashtëkëndëshi pozitiv. Quhet i tillë sepse të gjitha anët dhe këndet e tij janë të barabarta me njëra-tjetrën. Është e mundur të përshkruhet ose të futet një rreth rreth një gjashtëkëndëshi të tillë. Vlen të theksohet se në pikat që fitohen duke prekur rrethin e brendashkruar dhe brinjët e gjashtëkëndëshit, anët e gjashtëkëndëshit pozitiv ndahen përgjysmë.

Këshilla të dobishme
Në natyrë, gjashtëkëndëshat pozitivë janë shumë të njohur. Për shembull, i gjithë huall mjalti ka një formë gjashtëkëndore pozitive. Ose rrjeta kristalore e grafenit (modifikimi i karbonit) gjithashtu ka formën e një gjashtëkëndëshi pozitiv.

Si të rrisni njërën ose tjetrën qosheështë një pyetje e madhe. Por për disa kënde, detyra është thjeshtuar në mënyrë të padukshme. Një nga këto kënde është qoshe në 30 gradë. Është e barabartë me? / 6, domethënë, numri 30 është pjesëtues i 180. Plus, sinusi i tij dihet. Kjo ndihmon në ndërtimin e saj.

Do t'ju duhet

• raportor, katror, ​​busull, vizore

Udhëzim

1. Për të filluar, merrni parasysh një mjedis veçanërisht primitiv kur keni një raportues në duart tuaja. Pastaj një vijë e drejtë në një kënd prej 30 gradë me këtë mund të shtyhet lehtësisht me mbështetjen për të.

2. Përveç raportuesit, ka qoshe qoshet, një nga këndet e të cilave është i barabartë me 30 gradë. Pastaj një tjetër qoshe qoshe këndi do të jetë i barabartë me 60 gradë, domethënë, keni nevojë për një vizualisht më të vogël qoshe për të ndërtuar linjën e kërkuar.

3. Tani le të kalojmë në mënyra jo të parëndësishme për të ndërtuar një kënd prej 30 gradë. Siç e dini, sinusi i një këndi prej 30 gradë është 1/2. Për ta ndërtuar atë, ne duhet të ndërtojmë drejt qoshe e tri qoshe nik. Ndoshta mund të ndërtojmë dy vija pingule. Por tangjentja prej 30 gradë është një numër irracional, kështu që ne mund të llogarisim vetëm raportin midis këmbëve përafërsisht (vetëm nëse nuk ka kalkulator) dhe, për rrjedhojë, të ndërtojmë qoshe rreth 30 gradë.

4. Në këtë rast, është gjithashtu e mundur të bëhet një ndërtim i saktë. Ne përsëri do të ngremë dy vija pingule, në të cilat këmbët do të vendosen drejtpërdrejt qoshe tre qoshe nika. Le të lëmë mënjanë një këmbë të drejtë BC të një farë gjatësie me mbështetjen e një busulle (B është një e drejtë qoshe). Pas kësaj, ne do të rrisim gjatësinë midis këmbëve të busullës me 2 herë, që është elementare. Duke vizatuar një rreth me qendër në pikën C me një rreze të kësaj gjatësie, gjejmë pikën e prerjes së rrethit me një vijë tjetër të drejtë. Kjo pikë do të jetë pika A e drejtë qoshe tre qoshe ABC, dhe qoshe A do të jetë e barabartë me 30 gradë.

5. I ngritur qoshe në 30 gradë lejohet dhe me mbështetjen e rrethit, aplikimi me çfarë është i barabartë?/6. Le të ndërtojmë një rreth me rreze OB. Le të shqyrtojmë në teorinë e qoshe rrethi, ku OA = OB = R është rrezja e rrethit, ku qoshe OAB = 30 gradë. Le të jetë OE lartësia e këtij trekëndëshi dykëndësh qoshe nika, dhe, rrjedhimisht, përgjysmuesja dhe mediana e saj. Pastaj qoshe AOE = 15 gradë, dhe sipas formulës gjysmë këndi, sin(15o) = (sqrt(3)-1)/(2*sqrt(2)). Prandaj, AE = R*sin(15o). Otsel, AB = 2AE = 2R*sin(15o). Duke ndërtuar një rreth me rreze BA me qendër në pikën B, gjejmë pikën e prerjes A të këtij rrethi me atë fillestar. Këndi AOB do të jetë 30 gradë.

6. Nëse mund të përcaktojmë gjatësinë e harqeve në një farë mënyre, atëherë, duke lënë mënjanë harkun e gjatësisë ?*R/6, marrim gjithashtu qoshe në 30 gradë.

Shënim!
Duhet mbajtur mend se në paragrafin 5 ne mund të përafrojmë vetëm një kënd, sepse numrat irracionalë do të shfaqen në llogaritjet.

gjashtëkëndësh quhet një rast i veçantë i një shumëkëndëshi - një figurë e formuar nga shumica e pikave në një rrafsh të kufizuar nga një shumëvijë e mbyllur. Një gjashtëkëndësh pozitiv (gjashtëkëndësh), nga ana tjetër, është gjithashtu një rast i veçantë - është një shumëkëndësh me gjashtë anët e barabarta dhe kënde të barabarta. Kjo shifër është domethënëse në atë që gjatësia e të gjitha anëve të saj është e barabartë me rrezen e rrethit të përshkruar rreth figurës.

Do t'ju duhet

• - busull;
• - sundimtar;
• - laps;
• - letër.

Udhëzim

1. Zgjidhni gjatësinë e anës së gjashtëkëndëshit. Merrni një busull dhe vendosni distancën midis fundit të gjilpërës, që ndodhet në njërën nga këmbët e saj, dhe skajit të majë shkrueses, që ndodhet në këmbën tjetër, të barabartë me gjatësinë e anës së figurës që vizatohet. Për ta bërë këtë, mund të përdorni një vizore ose të preferoni një distancë të rastësishme nëse ky moment nuk është i rëndësishëm. Fiksoni këmbët e busullës me një vidë, nëse është e mundur.

2. Vizatoni një rreth me një busull. Distanca e zgjedhur midis këmbëve do të jetë rrezja e rrethit.

3. Ndani rrethin me pika në gjashtë pjesë të barabarta. Këto pika do të jenë kulmet e qosheve të gjashtëkëndëshit dhe, në përputhje me rrethanat, skajet e segmenteve që përfaqësojnë anët e tij.

4. Vendoseni këmbën e busullës me gjilpërë në një pikë arbitrare të vendosur në vijën e rrethit të përshkruar. Gjilpëra duhet të shpojë saktë vijën. Saktësia e konstruksioneve varet drejtpërdrejt nga saktësia e instalimit të busullës. Vizatoni një hark me një busull në mënyrë që ai të presë në 2 pika rrethin e vizatuar së pari.

5. Lëvizni këmbën e busullës me gjilpërë në një nga pikat e kryqëzimit të harkut të tërhequr me rrethin origjinal. Vizatoni një hark tjetër që gjithashtu kryqëzon rrethin në 2 pika (njëra prej tyre do të përkojë me pikën e vendndodhjes së mëparshme të gjilpërës së busullës).

6. Në të njëjtën mënyrë, riorganizoni gjilpërën e busullës dhe vizatoni harqe katër herë të tjera. Lëvizni këmbën e busullës me gjilpërë në një drejtim rreth perimetrit (pa ndryshim në drejtim të akrepave të orës ose në të kundërt). Si rezultat, duhet të identifikohen gjashtë pika të kryqëzimit të harqeve me rrethin e ndërtuar fillimisht.

7. Vizatoni një gjashtëkëndësh pozitiv. Kombinoni në mënyrë dyshe gjashtë pikat e marra në hapin e mëparshëm me segmente. Vizatoni segmente vijash me laps dhe vizore. Rezultati do të jetë një gjashtëkëndësh i vërtetë. Më vonë, zbatimi i konstruksionit lejohet për të fshirë elementët ndihmës (harqe dhe rrathë).

Shënim!
Ka kuptim të zgjidhni një distancë të tillë midis këmbëve të busullës, në mënyrë që këndi midis tyre të jetë i barabartë me 15-30 gradë, përkundrazi, kur ndërtoni ndërtime, kjo distancë mund të humbasë lehtësisht.

Gjatë ndërtimit ose zhvillimit të planeve të projektimit të shtëpisë, shpesh është e nevojshme të ndërtohet qoshe, i barabartë me atë ekzistues. Mostrat dhe shkathtësitë e gjeometrisë shkollore vijnë në mbështetje.

Udhëzim

1. Një kënd formohet nga dy vija të drejta që dalin nga e njëjta pikë. Kjo pikë do të quhet kulmi i këndit, dhe vijat do të jenë anët e këndit.

2. Përdorni tre shkronja për të përcaktuar qoshet: një në krye, dy në anët. quhen qoshe, duke filluar me shkronjën që qëndron në njërën anë, pastaj e quajnë shkronjën që qëndron në krye dhe pas kësaj shkronjën në anën tjetër. Përdorni metoda të tjera për të shënuar qoshet nëse jeni më të rehatshëm përballë. Herë pas here, thirret vetëm një shkronjë, e cila është në krye. Dhe lejohet të përcaktohen kënde me shkronja greke, të themi, α, β, γ.

3. Ka situata kur duhet të vizatoni qoshe në mënyrë që të jetë i barabartë me këndin e dhënë. Nëse nuk ka probabilitet për të përdorur një raportor gjatë ndërtimit të një vizatimi, lejohet të bëhet vetëm me një vizore dhe një busull. Është e mundur, në vijën e drejtë të treguar në vizatim me shkronjat MN, është e nevojshme të ndërtohet qoshe në pikën K, në mënyrë që të jetë e barabartë me këndin B. Kjo do të thotë, nga pika K duhet të vizatoni një vijë të drejtë që formohet me drejtëzën MN qoshe, ai që do të jetë i barabartë me këndin B.

4. Së pari, shënoni një pikë në të gjithë anën e këtij këndi, le të themi, pikat A dhe C, pastaj bashkoni pikat C dhe A me një vijë të drejtë. Merr tre qoshe nik ABC.

5. Tani ndërto në vijën MN të njëjtat tre qoshe në mënyrë që kulmi i tij B të jetë në vijë në pikën K. Përdorni rregullën për ndërtimin e një trekëndëshi qoshe nika në tre anët. Lini mënjanë segmentin KL nga pika K. Duhet të jetë i barabartë me segmentin BC. Merr pikën L.

6. Nga pika K vizatoni një rreth me rreze të barabartë me segmentin BA. Nga L vizatoni një rreth me rreze CA. Kombinoni pikën që rezulton (P) e kryqëzimit të 2 rrathëve me K. Merrni një tri qoshe nofka KPL, ajo që do të jetë e barabartë me tre qoshe niku ABC. Kështu që ju merrni qoshe K. Do të jetë e barabartë me këndin B. Për ta bërë këtë ndërtim më të rehatshëm dhe më të shpejtë, lini mënjanë segmente të barabarta nga kulmi B, duke përdorur një zgjidhje busull, pa lëvizur këmbët, përshkruani rrethin me të njëjtën rreze nga pika K.

Video të ngjashme

Shënim!
Shmangni metamorfozën aksidentale të distancës midis këmbëve të busullës. Në këtë rast, gjashtëkëndëshi mund të rezultojë i gabuar.

Këshilla të dobishme
Ka kuptim të bëhen ndërtime me ndihmën e një busull me një majë shkruese të mprehur në mënyrë të përsosur. Pra, ndërtimet do të jenë veçanërisht të sakta.

Rrjetet e gjashtëkëndëshave (rrjetet gjashtëkëndore) përdoren në disa lojëra, por ato nuk janë aq të thjeshta dhe të zakonshme sa rrjetat e drejtkëndëshave. Unë kam mbledhur burime rreth rrjeteve hex për gati 20 vjet tani, dhe kam shkruar këtë udhëzues për qasjet më elegante të zbatuara në kodin më të thjeshtë. Artikulli përdor shpesh manualet e Charles Fu dhe Clark Verbrugge. Unë do të përshkruaj mënyrat e ndryshme për të krijuar rrjete gjashtëkëndëshe, marrëdhëniet e tyre, si dhe algoritmet më të zakonshme. Shumë pjesë të këtij artikulli janë ndërvepruese: zgjedhja e një lloji rrjeti ndryshon diagramet, kodin dhe tekstet përkatëse. (Shënim për .: kjo vlen vetëm për origjinalin, ju këshilloj ta studioni. Në përkthim ruhen të gjitha informacionet e origjinalit, por pa interaktivitet.).

Shembujt e kodit në artikull janë shkruar në pseudokod, kështu që ato janë më të lehta për t'u lexuar dhe kuptuar për të shkruar zbatimin tuaj.

Gjeometria

Gjashtëkëndësha të sheshtë (majtas) dhe të mprehtë (djathtas) me majë

Gjashtëkëndëshat kanë 6 fytyra. Çdo fytyrë ndahet nga dy gjashtëkëndësha. Gjashtëkëndëshat kanë 6 pika qoshe. Çdo pikë qoshe ndahet nga tre gjashtëkëndësha. Mund të lexoni më shumë rreth qendrave, skajeve dhe pikave të qosheve në artikullin tim mbi pjesët e rrjetës (katrore, gjashtëkëndësha dhe trekëndësha).

qoshet

Funksioni hex_corner(qendër, madhësi, i): var angle_deg = 60 * i + 30 var angle_rad = PI / 180 * angle_deg return Point(center.x + size * cos(angle_rad), center.y + size * sin(angle_rad) )
Për të mbushur një gjashtëkëndësh, duhet të merrni kulmet e shumëkëndëshit nga hex_corner(…, 0) në hex_corner(…, 5). Për të vizatuar skicën e gjashtëkëndëshit, duhet të përdorni këto kulme dhe më pas të vizatoni përsëri vijën në hex_corner(…, 0).

Dallimi midis dy orientimeve është se x dhe y janë ndërruar, gjë që bën që këndet të ndryshojnë: gjashtëkëndëshat e sipërm të sheshtë kanë kënde 0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300° dhe gjashtëkëndëshat e sipërm të mprehtë kanë 30°, 90°, 150°, 210°, 270°, 330°.

Qoshe gjashtëkëndëshe me majë të sheshtë dhe të mprehtë

Madhësia dhe vendndodhja

Gjerësia e gjashtëkëndëshit është gjerësi = sqrt(3)/2 * lartësi . Distanca horizontale ndërmjet gjashtëkëndëshave fqinj horiz = gjerësi .

Disa lojëra përdorin art pixel për gjashtëkëndëshat, i cili nuk përputhet saktësisht me gjashtëkëndëshat e duhur. Formulat e këndit dhe pozicionit të përshkruara në këtë seksion nuk do të përputhen me dimensionet e gjashtëkëndëshave të tillë. Pjesa tjetër e artikullit që përshkruan algoritmet e rrjetit gjashtëkëndor zbatohet edhe nëse gjashtëkëndëshat janë pak të shtrirë ose të ngjeshur.

Sistemet e koordinatave

Kompensimi i koordinatave

Rregullimi horizontal "tek-r"

Rregullimi horizontal "edhe-r"

Rregullimi vertikal "tek-q"

Rregullimi vertikal "qoftë-q"

Koordinatat kubike

Merrni një rrjet kubesh dhe prerë plani diagonal në x + y + z = 0 . Kjo është një ide e çuditshme, por do të na ndihmojë të thjeshtojmë algoritmet e rrjetit gjashtëkëndor. Në veçanti, ne do të jemi në gjendje të përdorim operacione standarde nga koordinatat karteziane: mbledhja dhe zbritja e koordinatave, shumëzimi dhe pjesëtimi me një vlerë skalare, si dhe distancat.

Vini re tre boshtet kryesore në rrjetin e kubeve dhe lidhjen e tyre me gjashtë diagonale drejtimet e rrjetit të gjashtëkëndëshave. Boshtet diagonale të rrjetit korrespondojnë me drejtimin kryesor të rrjetit të gjashtëkëndëshave.

Meqenëse ne tashmë kemi algoritme për rrjetet e katrorëve dhe kubeve, përdorimi i koordinatave kubike na lejon t'i përshtatim këto algoritme në rrjetet e gjashtëkëndëshave. Unë do ta përdor këtë sistem për shumicën e algoritmeve të artikullit. Për të përdorur algoritme me një sistem koordinativ të ndryshëm, unë do t'i transformoj koordinatat kubike, do të ekzekutoj algoritmin dhe më pas do t'i kthej ato përsëri.

Mësoni se si funksionojnë koordinatat kubike për një rrjet gjashtëkëndëshash. Kur zgjidhni gjashtëkëndëshat, theksohen koordinatat kubike që korrespondojnë me tre boshtet.

1. Çdo drejtim i rrjetit të kubeve korrespondon me linjat në një rrjet gjashtëkëndëshash. Provoni të zgjidhni një gjashtëkëndësh me z të barabartë me 0, 1, 2, 3 për të parë lidhjen. Linja është shënuar me blu. Provoni të njëjtën gjë për x (jeshile) dhe y (vjollcë).
2. Çdo drejtim i rrjetit gjashtëkëndor është një kombinim i dy drejtimeve të rrjetit të kubit. Për shembull, "veriu" i rrjetit gjashtëkëndor shtrihet midis +y dhe -z, kështu që çdo hap në "veri" rrit y me 1 dhe zvogëlon z me 1.

Ka shumë sisteme të ndryshme koordinative për kube dhe gjashtëkëndësh. Në disa prej tyre, kushti ndryshon nga x + y + z = 0 . Unë tregova vetëm një nga sistemet e shumta. Ju gjithashtu mund të krijoni koordinata kubike me x-y, y-z, z-x, të cilat do të kenë grupin e tyre të vetive interesante, por unë nuk do t'i trajtoj këtu.

Por ju mund të argumentoni se nuk dëshironi të ruani 3 numra për koordinata sepse nuk dini si të ruani një hartë të tillë.

Koordinatat boshtore

Ka shumë sisteme koordinative kubike dhe shumë boshtore. Në këtë udhëzues, unë nuk do të mbuloj të gjitha kombinimet. Do të zgjedh dy variabla, q (kolona) dhe r (rresht). Në qarqet në këtë artikull, q korrespondon me x dhe r korrespondon me z, por ky hartim është arbitrar sepse ju mund të rrotulloni dhe rrotulloni qarqet për të marrë pasqyrime të ndryshme.

Avantazhi i këtij sistemi ndaj rrjetave të zhvendosjes është qartësia më e madhe e algoritmeve. Ana negative e sistemit është se ruajtja e një harte drejtkëndore është pak e çuditshme; shikoni seksionin për ruajtjen e hartave. Disa algoritme janë edhe më të qarta në koordinata kubike, por duke qenë se kemi kushtin x + y + z = 0, mund të llogarisim koordinatën e tretë të nënkuptuar dhe ta përdorim në këto algoritme. Në projektet e mia, unë i quaj boshtet q , r , s , kështu që kushti duket si q + r + s = 0 , dhe unë mund të llogaris s = -q - r kur është e nevojshme.

sëpata

Boshtiështë drejtimi në të cilin rritet koordinata përkatëse. pingul me boshtin është drejtëza në të cilën koordinata mbetet konstante. Diagramet e rrjetit të mësipërm tregojnë vija pingule.

Koordinoni transformimin

Koordinatat boshtore janë të lidhura ngushtë me koordinatat kubike, kështu që konvertimi është i thjeshtë:

# konverto koordinatat kubike në boshtore q = x r = z # konverto koordinatat boshtore në kubike x = q z = r y = -x-z
Në kod, këto dy funksione mund të shkruhen si më poshtë:

Funksioni cube_to_hex(h): # var axial q = h.x var r = h.z kthim Hex(q, r) funksioni hex_to_cube(h): # kub var x = h.q var z = h.r var y = -x-z kthim Kubi(x, y ,z)
Koordinatat e offset janë pak më të komplikuara:

Gjashtëkëndëshat fqinjë

Koordinatat kubike

Drejtimet var = [ Kub(+1, -1, 0), kub(+1, 0, -1), kub(0, +1, -1), kub(-1, +1, 0), kub( -1, 0, +1), Kubi(0, -1, +1) ] funksioni drejtimi_kubi(drejtimi): funksioni i kthimit të drejtimeve kubike_fqinj(gjashtëgjë, drejtimi): ktheje kubi_shtimi (gjashtëgjë, drejtimi_kubi(drejtimi))

Koordinatat boshtore

Drejtimet var = [ Hex(+1, 0), Hex(+1, -1), Hex(0, -1), Hex(-1, 0), Hex(-1, +1), Hex(0, +1) ] funksioni hex_drejtim(drejtim): kthimi i drejtimeve funksion hex_neighbor(hex, drejtim): var dir = hex_direction(drejtim) return Hex(hex.q + dir.q, hex.r + dir.r)

Kompensimi i koordinatave

Si më parë, ne krijojmë një tabelë numrash për t'i shtuar në kolonë dhe rresht. Megjithatë, këtë herë do të kemi dy vargje, një për kolonat/rreshtat tek dhe një për ato çift. Shikoni (1,1) në hartën e rrjetit më sipër dhe vini re se si ndryshojnë kolonat dhe rreshtat ndërsa lëvizni në secilin nga gjashtë drejtimet. Tani le të përsërisim procesin për (2,2) . Tabelat dhe kodi do të jenë të ndryshëm për secilin nga katër llojet e rrjeteve të zhvendosjes, këtu është kodi përkatës për secilin lloj rrjeti.

tek-r
drejtimet var = [ [ Hex(+1, 0), Hex(0, -1), Hex(-1, -1), Hex(-1, 0), Hex(-1, +1), Hex(0 , +1) ], [ Hex(+1, 0), Hex(+1, -1), Hex(0, -1), Hex(-1, 0), Hex(0, +1), Hex( +1, +1) ] ] funksioni offset_neighbor(hex, drejtim): var bariteti = hex.rresht & 1 var dir = drejtimet kthehen Hex(hex.col + dir.col, hex.row + dir.dir)

Edhe-r
drejtimet var = [ [ Hex(+1, 0), Hex(+1, -1), Hex(0, -1), Hex(-1, 0), Hex(0, +1), Hex(+1 , +1) ], [ Hex(+1, 0), Hex(0, -1), Hex(-1, -1), Hex(-1, 0), Hex(-1, +1), Hex (0, +1) ] ] funksioni offset_neighbor(hex, drejtim): var bariteti = hex.rresht & 1 var dir = drejtimet kthehen Hex(hex.col + dir.col, hex.row + dir.dir)


Rrjeti për rreshtat çift (ÇEK) dhe tek (ÇAK).

tek-q
drejtimet var = [ [ Hex(+1, 0), Hex(+1, -1), Hex(0, -1), Hex(-1, -1), Hex(-1, 0), Hex(0 , +1) ], [ Hex(+1, +1), Hex(+1, 0), Hex(0, -1), Hex(-1, 0), Hex(-1, +1), Hex (0, +1) ] ] funksioni offset_neighbor(hex, drejtim): var bariteti = hex.col & 1 var dir = drejtimet kthehen Hex(hex.col + dir.col, hex.row + dir.row)

Çift-q
drejtimet var = [ [ Hex(+1, +1), Hex(+1, 0), Hex(0, -1), Hex(-1, 0), Hex(-1, +1), Hex(0 , +1) ], [ Hex(+1, 0), Hex(+1, -1), Hex(0, -1), Hex(-1, -1), Hex(-1, 0), Hex (0, +1) ] ] funksioni offset_neighbor(hex, drejtim): var bariteti = hex.col & 1 var dir = drejtimet kthehen Hex(hex.col + dir.col, hex.row + dir.row)


Rrjeti për kolonat çift (ÇEK) dhe tek (ÇAK).

Diagonalet

Diagonalet var = [ Kubike(+2, -1, -1), kubike(+1, +1, -2), kubike(-1, +2, -1), kubike(-2, +1, +1 ), Kubi(-1, -1, +2), Kubi(+1, -2, +1) ] Funksioni kubi_diagonal_fqinj(heks, drejtim): kthe kubike_shtoj(heks, diagonale)
Si më parë, ne mund t'i konvertojmë këto koordinata në koordinata boshtore duke hequr një nga tre koordinatat, ose t'i kthejmë në koordinata të kompensuara duke llogaritur paraprakisht rezultatet.

Distancat

Koordinatat kubike

Funksioni cube_distance(a, b): kthim (abs(a.x - b.x) + abs(a.y - b.y) + abs(a.z - b.z)) / 2
Ekuivalenti i këtij shënimi do të ishte të thuash se njëra nga tre koordinatat duhet të jetë shuma e dy të tjerave, dhe pastaj ta marrim atë si distancë. Ju mund të zgjidhni formën e përgjysmimit ose formën e vlerës maksimale më poshtë, por ato japin të njëjtin rezultat:

Funksioni cube_distance(a, b): kthen max(abs(a.x - b.x), abs(a.y - b.y), abs(a.z - b.z))
Në figurë, vlerat maksimale janë të theksuara me ngjyra. Vini re gjithashtu se çdo ngjyrë përfaqëson një nga gjashtë drejtimet "diagonale".

gif

Koordinatat boshtore

Funksioni hex_distance(a, b): var ac = hex_to_cube(a) var bc = hex_to_cube(b) kthen distancën_kubike(ac, bc)
Nëse përpiluesi në rastin tuaj fut (në linjë) hex_to_cube dhe cube_distance, atëherë ai do të gjenerojë kod si ky:

Funksioni hex_distance(a, b): kthim (abs(a.q - b.q) + abs(a.q + a.r - b.q - b.r) + abs(a.r - b.r)) / 2
Ka shumë mënyra të ndryshme për të shkruar distancat midis gjashtëkëndëshave në koordinata boshtore, por pavarësisht se si shkruani distanca midis gjashtëkëndëshave në sistemin boshtor rrjedh nga distanca e Manhatanit në sistemin kub. Për shembull, "diferenca e dallimeve" e përshkruar merret duke shkruar a.q + a.r - b.q - b.r si a.q - b.q + a.r - b.r dhe duke përdorur formën e vlerës maksimale në vend të formës së përgjysmimit cube_distance . Të gjithë ata janë të ngjashëm nëse shihni lidhjen me koordinatat kubike.

Kompensimi i koordinatave

Funksioni offset_distance(a, b): var ac = offset_to_cube(a) var bc = offset_to_cube(b) kthimi kubike_distance(ac, bc)
Ne do të përdorim të njëjtin model për shumë algoritme: konvertojmë nga gjashtëkëndëshat në kube, ekzekutojmë versionin kub të algoritmit dhe kthejmë rezultatet në kub në koordinata gjashtëkëndëshe (koordinata boshtore ose offset).

Vizatim i linjës

gif

1. Fillimisht llogarisim N , e cila do të jetë distanca në gjashtëkëndësha ndërmjet pikave fundore.
2. Pastaj marrim në mënyrë të barabartë N+1 pika midis pikave A dhe B. Duke përdorur interpolim linear, përcaktojmë që për vlerat i nga 0 në N, duke përfshirë ato, secila pikë do të jetë A + (B - A) * 1.0/N * i . Në figurë, këto pika kontrolli janë paraqitur me blu. Rezultati është koordinata me pikë lundruese.
3. Kthejeni çdo pikë kontrolli (float) përsëri në gjashtëkëndësh (int). Algoritmi quhet cube_round (shih më poshtë).

Funksioni lerp(a, b, t): // për notat kthen a + (b - a) * funksionin t cube_lerp(a, b, t): // për gjashtëkëndëshat kthen Kubin (lerp(a.x, b.x, t), lerp(a.y, b.y, t), lerp(a.z, b.z, t)) funksioni cube_linedraw(a, b): var N = cube_distance(a, b) var rezultatet = për çdo 0 ≤ i ≤ N: results.append( cube_round(cube_lerp(a, b, 1.0/N * i))) kthen rezultatet
Shënime:

• Ka raste kur cube_lerp kthen një pikë pikërisht në skajin midis dy gjashtëkëndëshave. Pastaj cube_round e zhvendos atë në njërën anë ose në tjetrën. Linjat duken më mirë nëse zhvendosen në një drejtim. Kjo mund të bëhet duke shtuar një Kub gjashtëkëndor "epsilon" (1e-6, 1e-6, -2e-6) në një ose të dyja pikat fundore përpara se të filloni ciklin. Kjo do ta "shtysë" vijën në një drejtim në mënyrë që të mos godasë kufijtë e skajit.
• Algoritmi i linjës DDA në rrjetet e katrorëve barazon N me distancën maksimale përgjatë secilit prej akseve. Ne bëjmë të njëjtën gjë në hapësirën kubike, e cila është analoge me distancën në një rrjet gjashtëkëndëshash.
• Funksioni cube_lerp duhet të kthejë një kub me koordinata float. Nëse jeni duke programuar në një gjuhë të shtypur statikisht, nuk do të jeni në gjendje të përdorni llojin Cube. Në vend të kësaj, ju mund të përcaktoni një lloj FloatCube ose të futni funksionin (në linjë) në kodin tuaj të vizatimit të linjës nëse nuk dëshironi të përcaktoni një lloj tjetër.
• Mund ta optimizoni kodin duke futur (inline) cube_lerp dhe më pas duke llogaritur B.x-A.x , B.x-A.y dhe 1.0/N jashtë ciklit. Shumëzimi mund të shndërrohet në mbledhje të përsëritur. Rezultati është diçka si një algoritëm i linjës DDA.
• Unë përdor koordinata boshtore ose kubike për vizatimin e linjave, por nëse doni të punoni me koordinata të kompensuara, shikoni .
• Ka shumë mundësi për vizatimin e linjave. Ndonjëherë kërkohet "mbulim i tepërt". Më është dërguar kodi për vizatimin e vijave të veshura në gjashtëkëndësha, por nuk e kam shqyrtuar ende.

diapazoni i udhëtimit

Gama e koordinatave

Ne mund të punojmë mbrapsht nga formula e distancës gjashtëkëndore distanca = max(abs(dx), abs(dy), abs(dz)) . Për të gjetur të gjithë gjashtëkëndëshat brenda N , na duhen max(abs(dx), abs(dy), abs(dz)) ≤ N . Kjo do të thotë se nevojiten të tre vlerat: abs(dx) ≤ N dhe abs(dy) ≤ N dhe abs(dz) ≤ N. Heqja e vlerës absolute jep -N ≤ dx ≤ N dhe -N ≤ dy ≤ N dhe -N ≤ dz ≤ N . Në kod, ky do të jetë një lak i mbivendosur:

Var rezultate = për çdo -N ≤ dx ≤ N: për çdo -N ≤ dy ≤ N: për çdo -N ≤ dz ≤ N: nëse dx + dy + dz = 0: results.append(cube_add(center, Cube(dx , dy, dz)))
Ky lak do të funksionojë, por do të jetë mjaft joefikas. Nga të gjitha vlerat e dz që përsërisim në lak, vetëm një në të vërtetë plotëson gjendjen e kubeve dx + dy + dz = 0. Në vend të kësaj, ne do të llogarisim drejtpërdrejt vlerën e dz që plotëson kushtin:

rezultate var = për çdo -N ≤ dx ≤ N: për çdo max(-N, -dx-N) ≤ dy ≤ min(N, -dx+N): var dz = -dx-dy rezultate.append(cube_add( qendër, kub (dx, dy, dz)))
Ky lak kalon vetëm përmes koordinatave të kërkuara. Në figurë, çdo varg është një palë linjash. Çdo rresht është një pabarazi. Marrim të gjithë gjashtëkëndëshat që plotësojnë gjashtë pabarazi.

gif

Gama të mbivendosura

Dikush mund t'i qaset këtij problemi nga pikëpamja e algjebrës ose gjeometrisë. Algjebrisht, çdo zonë shprehet si kushte pabarazie të formës -N ≤ dx ≤ N , dhe ne duhet të gjejmë kryqëzimin e këtyre kushteve. Gjeometrikisht, çdo zonë është një kub në hapësirën 3D, dhe ne do të kryqëzojmë dy kube në hapësirën 3D për të marrë një kuboid në hapësirën 3D. Më pas e projektojmë përsëri në planin x + y + z = 0 për të marrë gjashtëkëndëshat. Unë do ta zgjidh këtë problem në mënyrë algjebrike.

Së pari, rishkruajmë kushtin -N ≤ dx ≤ N në formën më të përgjithshme x min ≤ x ≤ x max , dhe marrim x min = qendër.x - N dhe x max = qendër.x + N . Le të bëjmë të njëjtën gjë për y dhe z, duke rezultuar në një pamje të përgjithshme të kodit nga seksioni i mëparshëm:

Var rezultate = për çdo xmin ≤ x ≤ xmax: për çdo max(ymin, -x-zmax) ≤ y ≤ min(ymax, -x-zmin): var z = -x-y results.append(Cube(x, y, z))
Kryqëzimi i dy vargjeve a ≤ x ≤ b dhe c ≤ x ≤ d është max(a, c) ≤ x ≤ min(b, d) . Meqenëse zona e gjashtëkëndëshave shprehet si vargje mbi x , y , z , ne mund të kryqëzojmë individualisht secilën nga vargjet x , y , z dhe më pas të përdorim një lak të ndërthurur për të gjeneruar një listë të gjashtëkëndëshave në kryqëzim. Për një zonë të gjashtëkëndëshave, marrim x min = H.x - N dhe x max = H.x + N, në mënyrë të ngjashme për y dhe z. Për kryqëzimin e dy zonave gjashtëkëndësh, marrim x min = max (H1.x - N, H2.x - N) dhe x max = min (H1.x + N, H2.x + N), në mënyrë të ngjashme për y dhe z . I njëjti model funksionon për kryqëzimin e tre ose më shumë rajoneve.

gif

Pengesat

Funksioni cube_reachable(fillimi, lëvizja): var visited = set() shtoni fillimin tek vizituara var fringes = fringes.append() për çdo 1< k ≤ movement: fringes.append() for each cube in fringes: for each 0 ≤ dir < 6: var neighbor = cube_neighbor(cube, dir) if neighbor not in visited, not blocked: add neighbor to visited fringes[k].append(neighbor) return visited

kthehet

Rrotullimi 60° në të djathtë e zhvendos secilën koordinatë një pozicion në të djathtë:

[x, y, z] në [-z, -x, -y]
Rrotullimi 60° në të majtë e zhvendos secilën koordinatë një pozicion në të majtë:

[x, y, z] në [-y, -z, -x]

Këtu është sekuenca e plotë e pozicionit rrotullues P rreth pozicionit qendror C, duke rezultuar në një pozicion të ri R:

1. Shndërroni pozicionet P dhe C në koordinata kubike.
2. Llogaritja e një vektori duke zbritur qendrën: P_nga_C = P - C = Kub(P.x - C.x, P.y - C.y, P.z - C.z) .
3. Rrotullimi i vektorit P_from_C siç përshkruhet më sipër dhe caktimi i vektorit që rezulton emërtimin R_from_C.
4. Shndërrimi i një vektori përsëri në pozicion duke shtuar një qendër: R = R_nga_C + C = Kub(R_nga_C.x + C.x, R_nga_C.y + C.y, R_nga_C.z + C.z) .
5. Kthimi i pozicionit kub R përsëri në sistemin e dëshiruar të koordinatave.

Unaza

unazë e thjeshtë

Funksioni cube_ring(center, radius): var results = # ky kod nuk funksionon për rreze == 0; e kupton pse? var kubi = kubi_shtimi(qendra, shkalla_kubi(drejtimi_kubi(4), rrezja)) për çdo 0 ≤ i< 6: for each 0 ≤ j < radius: results.append(cube) cube = cube_neighbor(cube, i) return results
Në këtë kod, kubi fillon nga unaza, e paraqitur si një shigjetë e madhe nga qendra në cep të diagramit. Zgjodha këndin 4 për të filluar sepse korrespondon me shtegun që udhëtojnë numrat e drejtimit tim. Ju mund të keni nevojë për një kënd të ndryshëm fillimi. Në çdo fazë të lakut të brendshëm, kubi lëviz një gjashtëkëndësh rreth unazës. Pas hapave me rreze 6 *, ai përfundon aty ku filloi.

unaza spirale

Funksioni cube_spiral(qendër, rrezja): var rezultatet = për çdo 1 ≤ k ≤ rreze: rezultatet = rezultatet + unaza_kubike (qendra, k) kthejnë rezultatet

Përshkimi i gjashtëkëndëshave në këtë mënyrë mund të përdoret gjithashtu për të llogaritur diapazonin e lëvizjes (shih më lart).

Zona e dukshmërisë

Ky algoritëm mund të jetë i ngadalshëm në zona të mëdha, por është i lehtë për t'u zbatuar, kështu që unë rekomandoj të filloni me të.

gif

Unë dua ta zgjeroj më tej këtë udhëzues. une kam