Десяткові логарифми – приклади рішення. Логарифми: приклади та рішення

Зовсім непогано, правда? Поки математики підбирають слова, щоб дати вам довге плутане визначення, давайте поглянемо ближче на це просте і ясне.

Число e означає зростання

Число e означає безперервне зростання. Як ми бачили в минулому прикладі, e x дозволяє нам ув'язати відсоток і час: 3 роки при зростанні 100% є те саме, що й 1 рік при 300%, за умови "складних відсотків".

Можна підставляти будь-які значення відсотка та часу (50% протягом 4 років), але краще задати відсоток як 100% для зручності (виходить 100% протягом 2 років). За рахунок переходу до 100% ми можемо сфокусуватись виключно на компоненті часу:

e x = e відсоток * час = e 1.0 * час = e час

Очевидно, що e x означає:

• наскільки зросте мій вклад через x одиниць часу (за умови 100% безперервного зростання).
• наприклад, через 3 проміжки часу я отримаю в e 3 = 20.08 разів більше "штуковин".

e x - це масштабуючий коефіцієнт, що показує, якого рівня ми виростемо за x відрізків часу.

Натуральний логарифм означає час

Натуральний логарифм - це інверсія числа e, такий химерний термін позначення протилежності. До речі, про чудасії; латиною він називається logarithmus naturali, звідси і з'явилася абревіатура ln.

І що ця інверсія чи протилежність означає?

• e x дозволяє нам підставити час та отримати зростання.
• ln(x) дозволяє нам взяти зростання або дохід і дізнатися про час, необхідний для його отримання.

Наприклад:

• e 3 дорівнює 20.08. Через три відрізки часу у нас буде в 20.08 разів більше за те, з чого ми почали.
• ln(20.08) буде приблизно 3. Якщо вас цікавить зростання в 20.08 разів, вам знадобиться 3 проміжки часу (знову ж таки, за умови стовідсоткового безперервного зростання).

Чи все ще читаєте? Натуральний логарифм показує час, необхідний для досягнення бажаного рівня.

Цей нестандартний логарифмічний рахунок

Ви проходили логарифми – це дивні істоти. Як їм вдалося перетворити множення на додавання? А розподіл у віднімання? Давайте подивимося.

Чому дорівнює ln(1)? Інтуїтивно зрозуміло, що питання стоїть так: скільки потрібно чекати, щоб отримати в 1 раз більше того, що я маю?

Нуль. Нуль. Анітрохи. У вас це вже є один раз. Не потрібно анітрохи часу, щоб від рівня 1 дорості до рівня 1.

• ln(1) = 0

Добре, що щодо дробового значення? Через скільки у нас залишиться 1/2 від наявної кількості? Ми знаємо, що за стовідсоткове безперервне зростання ln(2) означає час, необхідний подвоєння. Якщо ми звернемо час назад(тобто почекаємо негативну кількість часу), то отримаємо половину від того, що маємо.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

Логічно, правда? Якщо ми повернемося назад (час назад) на 0.693 секунд, то виявимо половину наявної кількості. Взагалі, можна перевертати дріб і брати негативне значення: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Це означає, що якщо ми повернемося в минуле на 1.09 відрізків часу, то виявимо лише третину від нинішнього числа.

Гаразд, а як щодо логарифму негативного числа? Скільки часу потрібно, щоб виростити колонію бактерій від 1 до -3?

Це неможливо! Не можна отримати негативну кількість бактерій, чи не так? Ви можете отримати максимум (е... мінімум) нуль, але вам ніяк не отримати негативне число цих маленьких тварин. У негативному числі бактерій немає сенсу.

• ln(негативне число) = невизначено

"Невизначено" означає, що немає такого проміжку часу, який би треба було прочекати, щоб отримати негативне значення.

Логарифмічне множення – просто втомлення

Скільки часу займе чотириразове зростання? Звісно, ​​можна взяти ln(4). Але це дуже просто, ми підемо іншим шляхом.

Можна уявити чотириразове зростання як подвоєння (що вимагає ln(2) одиниць часу) і потім знову подвоєння (що вимагає ще ln(2) одиниць часу):

• Час на 4х ріст = ln(4) = Час на подвоїться і потім ще раз подвоїться = ln(2) + ln(2)

Цікаво. Будь-який показник зростання, скажімо, 20 можна розглядати як подвоєння відразу після 10-кратного збільшення. Або зростання в 4 рази, а потім у 5 разів. Або потроєння і потім збільшення в 6.666 разів. Бачите закономірність?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Логарифм від A, помноженого на B є log(A) + log(B). Це ставлення відразу набуває сенсу, якщо оперувати в термінах зростання.

Якщо вас цікавить 30-кратне зростання, ви можете почекати ln(30) за один присід, або ж почекати ln(3) Для потроєння, а потім ще ln(10) для удесятірення. Кінцевий результат той самий, так що звичайно час повинен залишатися постійним (і залишається).

Що на рахунок розподілу? Зокрема, ln(5/3) означає: скільки часу знадобиться для того, щоб вирости в 5 разів, а потім отримати 1/3 від цього?

Добре, зростання в 5 разів є ln (5). Зростання у 1/3 разу займе -ln(3) одиниць часу. Отже,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Це означає: дайте вирости в 5 разів, а потім "поверніться в часі" до тієї позначки, де залишиться всього третина від тієї кількості, так що у вас вийде 5/3 зростання. Загалом виходить

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Я сподіваюся, що дивна арифметика логарифмів починає набувати для вас сенсу: множення показників зростання стає додаванням одиниць часу зростання, а розподіл перетворюється на віднімання одиниць часу. Не треба запам'ятовувати правила, спробуйте їх усвідомити.

Використання натурального логарифму при довільному зростанні

Ну звичайно, - скажете ви, - це все добре, якщо зростання 100%, а що у випадку 5%, які я отримую?

Немає проблем. "Час", який ми розраховуємо за допомогою ln(), насправді є комбінацією відсоткової ставки і часу, Х з рівняння e x . Ми лише вирішили задати відсоток як 100% для простоти, але ми вільні використовувати будь-які числа.

Допустимо, ми хочемо досягти 30-кратного зростання: беремо ln(30) і отримуємо 3.4.

• e x = зростання
• e 3.4 = 30

Очевидно, це рівняння означає "100% прибутковість протягом 3.4 років дає зростання в 30 разів". Ми можемо записати це рівняння у такому вигляді:

• e x = e ставка * час
• e 100% * 3.4 роки = 30

Ми можемо змінювати значення "ставки" та "часу", аби ставка * час залишався 3.4. Наприклад, якщо нас цікавить 30-кратне зростання - скільки нам доведеться чекати за процентної ставки 5%?

• ln(30) = 3.4
• ставка * час = 3.4
• 0.05 * час = 3.4
• час = 3.4/0.05 = 68 років

Я міркую так: "ln(30) = 3.4, отже, при 100%-ном зростанні це займе 3.4 року. Якщо я подвоюю швидкість зростання, необхідний час зменшиться вдвічі".

• 100% за 3.4 роки = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 200% за 1.7 року = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 50% за 6.8 року = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 5% за 68 роки = .05 * 68 = 3.4.

Здорово, правда? Натуральний логарифм може використовуватися з будь-якими значеннями процентної ставки та часу, оскільки їхній твір залишається постійним. Можете переміщати значення змінних скільки душі завгодно.

Відпадний приклад: Правило сімдесяти двох

Правило сімдесяти двох – математичний прийом, що дозволяє оцінити, скільки часу знадобиться, щоб ваші гроші подвоїлися. Зараз ми його виведемо (так!), і більше того, спробуємо усвідомити його суть.

Скільки часу знадобиться, щоб подвоїти ваші гроші за 100% ставку, що наростає щорічно?

Оп-па. Ми використовували натуральний логарифм для випадку з безперервним зростанням, а тепер ти говориш про щорічне нарахування? Чи не стане ця формула непридатною для такого випадку? Так, стане, однак для реальних відсоткових ставок на кшталт 5%, 6% або навіть 15% різниця між щорічним нарахуванням відсотків і безперервним зростанням буде невелика. Так що груба оцінка працює, мм, грубо, так що ми вдамо, що у нас повністю безперервне нарахування.

Тепер питання просте: Як швидко можна подвоїтися при 100% зростання? ln(2) = 0.693. Потрібно 0.693 одиниць часу (років – у нашому випадку), щоб подвоїти нашу суму з безперервним зростанням 100%.

Так, а що якщо процентна ставка – не 100%, а скажімо, 5% чи 10%?

Легко! Оскільки ставка * час = 0.693, ми подвоїмо суму:

• ставка * час = 0.693
• час = 0.693/ставка

Виходить, якщо зростання 10%-не, це займе 0.693 / 0.10 = 6.93 років на подвоєння.

Щоб спростити обчислення, давайте домножимо обидві частини на 100, тоді можна буде говорити "10", а не "0.10":

• час на подвоєння = 69.3/ставка, де ставка виражена у відсотках.

Тепер черга подвоюватись при ставці 5%, 69.3/5 = 13.86 років. Однак 69.3 - не найзручніше ділене. Давайте виберемо близьке число, 72, яке зручно ділити на 2, 3, 4, 6, 8 та інші числа.

• час на подвоєння = 72/ставка

що є правилом сімдесяти двох. Все шито-крите.

Якщо вам потрібно знайти час для потроєння, можете використовувати ln(3) ~ 109.8 та отримати

• час на потроєння = 110 / ставка

Що є ще одним корисним правилом. "Правило 72" застосовується до зростання за відсотковими ставками, зростання населення, культур бактерій, і всього, що росте експоненційно.

Що далі?

Сподіваюся, натуральний логарифм тепер набув вам сенсу - він показує час, необхідний для зростання будь-якого числа при експоненційному зростанні. Я думаю, натуральним він називається тому, що e – універсальна міра зростання, так що ln можна вважати універсальним способом визначення, скільки часу потрібно для зростання.

Щоразу, коли ви бачите ln(x), згадуйте "час, потрібний, щоб вирости в Х разів". У майбутній статті я опишу e і ln у зв'язці, так що свіжий аромат математики заповнить повітря.

Додаток: Натуральний логарифм від e

Швидка вікторина: скільки буде ln(e)?

• математичний робот скаже: оскільки вони визначені як інверсія одна одною, очевидно, що ln(e) = 1.
• розуміє людина: ln(e) це кількість часу, щоб вирости в "е" раз (близько 2.718). Проте число e саме собою є мірою зростання в 1 раз, отже ln(e) = 1.

Думайте ясно.

Інструкція

Запишіть заданий логарифмічний вираз. Якщо у виразі використовується логарифм 10, його запис укорочується і виглядає так: lg b - це десятковий логарифм. Якщо ж логарифм має у вигляді основи число е, записують вираз: ln b – натуральний логарифм. Мається на увазі, що результатом будь-якого є ступінь, в який треба звести число основи, щоб вийшло число b.

При знаходженні від суми двох функцій необхідно просто їх по черзі продиференціювати, а результати скласти: (u+v)" = u"+v";

При знаходженні похідної від добутку двох функцій необхідно похідну від першої функції помножити на другу і додати похідну другої функції, помножену на першу функцію: (u*v)" = u"*v+v"*u;

Для того, щоб знайти похідну від частки двох функцій необхідно, з твору похідної ділимого, помноженої на функцію дільника, відняти твір похідної дільника, помноженої на функцію ділимого, і все це розділити на функцію дільника зведену в квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Якщо дана складна функція, необхідно перемножити похідну від внутрішньої функції і похідну від зовнішньої. Нехай y=u(v(x)), тоді y"(x)=y"(u)*v"(x).

Використовуючи отримані вище, можна продиференціювати практично будь-яку функцію. Отже, розглянемо кілька прикладів:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Також зустрічаються завдання на обчислення похідної у точці. Нехай задана функція y=e^(x^2+6x+5), необхідно визначити значення функції у точці х=1.
1) Знайдіть похідну функції: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Обчисліть значення функції у заданій точці y"(1)=8*e^0=8

Відео на тему

Корисна порада

Вивчіть таблицю елементарних похідних. Це помітно заощадить час.

Джерела:

• похідна константи

Отже, чим відрізняється ірраціональне рівняння від раціонального? Якщо невідома змінна перебуває під знаком квадратного кореня, рівняння вважається ірраціональним.

Інструкція

Основний метод розв'язання таких рівнянь – метод зведення обох частин рівнянняу квадрат. Втім. це природно, насамперед необхідно позбутися знака. Технічно цей метод не складний, але іноді це може спричинити неприємності. Наприклад, рівняння v(2х-5) = v(4х-7). Звівши обидві його сторони квадрат, ви отримаєте 2х-5=4х-7. Таке рівняння вирішити не складе труднощів; х = 1. Але число 1 не буде цього рівняння. Чому? Підставте одиницю в рівняння замість значення х. Таке значення не припустимо квадратного кореня. Тому 1 - сторонній корінь, отже дане рівняння немає коренів.

Отже, ірраціональне рівняння вирішується за допомогою методу зведення у квадрат обох його частин. І вирішивши рівняння, необхідно обов'язково відсікти стороннє коріння. Для цього підставте знайдене коріння в оригінальне рівняння.

Розгляньте ще один.
2х+vх-3=0
Звичайно ж, це рівняння можна вирішити за тим самим, що й попереднє. Перенести складові рівняння, що не мають квадратного кореня, в праву частину і далі використовувати метод зведення в квадрат. вирішити отримане раціональне рівняння та коріння. Але й інший, більш витончений. Введіть нову змінну; vх = y. Відповідно, ви отримаєте рівняння виду 2y2+y-3=0. Тобто звичайне квадратне рівняння. Знайдіть його коріння; y1=1 та y2=-3/2. Далі вирішіть два рівняння vх = 1; vх = -3/2. Друге рівняння коренів немає, з першого знаходимо, що х=1. Не забудьте про необхідність перевірки коренів.

Вирішувати тотожності досить просто. Для цього потрібно здійснювати тотожні перетворення, доки поставленої мети не буде досягнуто. Таким чином, за допомогою найпростіших арифметичних дій поставлене завдання буде вирішено.

Вам знадобиться

• - папір;
• - Ручка.

Інструкція

Найпростіший таких перетворень – алгебраїчні скороченого множення (такі як квадрат суми (різниці), різниця квадратів, сума (різниця), куб суми (різниці)). Крім того існує безліч і тригонометричних формул, які за своєю суттю тими самими тотожностями.

Справді, квадрат суми двох доданків дорівнює квадрату першого плюс подвоєний добуток першого на друге і плюс квадрат другого, тобто (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Спростіть обох

Загальні засади рішення

Метод заміни змінних

Рішення інтегралів другого роду

Підстановка меж інтегрування

Що таке логарифм?

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке логарифм? Як вирішувати логарифми? Ці питання багатьох випускників вводять у ступор. Традиційно тема логарифмів вважається складною, незрозумілою та страшною. Особливо – рівняння з логарифмами.

Це зовсім не так. Абсолютно! Не вірите? Добре. Зараз, за ​​якісь 10 – 20 хвилин ви:

1. Зрозумієте, що таке логарифм.

2. Навчіться розв'язувати цілий клас показових рівнянь. Навіть якщо про них нічого не чули.

3. Навчіться обчислювати прості логарифми.

Причому для цього вам потрібно буде знати лише таблицю множення, та як зводиться число до ступеня...

Відчуваю, сумніваєтеся ви... Ну гаразд, засікайте час! Поїхали!

Для початку вирішіть в умі ось таке рівняння:

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

З розвитком суспільства, ускладнення виробництва розвивалася і математика. Рух від простого до складного. Від звичайного обліку шляхом складання і віднімання, за її багаторазовому повторенні, дійшли поняття множення і поділу. Скорочення операції, що багаторазово повторюється, множення стало поняттям зведення в ступінь. Перші таблиці залежності чисел від основи та числа зведення у ступінь були складені ще у VIII столітті індійським математиком Варасена. З них можна відраховувати час виникнення логарифмів.

Історичний нарис

Відродження Європи у XVI столітті стимулювало та розвиток механіки. Т потрібний великий обсяг обчислення, пов'язаних з множенням та розподілом багатозначних чисел. Стародавні таблиці надали велику послугу. Вони дозволяли замінювати складні операції більш прості – додавання і віднімання. Великим кроком уперед стала робота математика Міхаеля Штіфеля, опублікована в 1544, в якій він реалізував ідею багатьох математиків. Що дозволило використовувати таблиці не тільки для ступенів у вигляді простих чисел, але і для раціональних довільних.

В 1614 шотландець Джон Непер, розвиваючи ці ідеї, вперше ввів новий термін «логарифм числа». Були складені нові складні таблиці для розрахунку логарифмів синусів та косінусів, а також тангенсів. Це дуже скоротило працю астрономів.

Стали з'являтися нові таблиці, які успішно використовувалися вченими упродовж трьох століть. Пройшло чимало часу, перш ніж нова операція в алгебрі набула свого закінченого вигляду. Було дано визначення логарифму, та його властивості були вивчені.

Лише у XX столітті з появою калькулятора та комп'ютера людство відмовилося від стародавніх таблиць, які успішно працювали протягом XIII століть.

Сьогодні ми називаємо логарифмом b на основі a число x, яке є ступенем числа а, щоб вийшло число b. Як формули це записується: x = log a(b).

Наприклад, log 3(9) дорівнюватиме 2. Це очевидно, якщо дотримуватися визначення. Якщо 3 звести до ступеня 2, то отримаємо 9.

Так, сформульоване визначення ставить лише одне обмеження, числа a та b повинні бути речовими.

Різновиди логарифмів

Класичне визначення називається речовий логарифм і є рішенням рівняння a x = b. Варіант a = 1 є прикордонним і не становить інтересу. Увага: 1 у будь-якому ступені дорівнює 1.

Речове значення логарифмувизначено тільки при підставі та аргументі більше 0, при цьому основа не повинна дорівнювати 1.

Особливе місце у галузі математикиграють логарифми, які будуть називатися залежно від величини їхньої основи:

Правила та обмеження

Основною властивістю логарифмів є правило: логарифм добутку дорівнює логарифмічній сумі. log abp = log a (b) + log a (p).

Як варіант цього твердження буде: log c(b/p) = log с(b) - log c(p), функція приватного дорівнює різниці функцій.

З попередніх двох правил легко видно, що: log a (b p) = p * log a (b).

Серед інших властивостей можна виділити:

Зауваження. Не треба робити поширену помилку - логарифм суми не дорівнює сумі логарифмів.

Багато століть операція пошуку логарифму була досить трудомістким завданням. Математики користувалися відомою формулою логарифмічної теорії розкладання на багаточлен:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), де n - натуральне число більше 1, що визначає точність обчислення.

Логарифми з іншими підставами обчислювалися, використовуючи теорему про перехід від однієї підстави до іншої та властивості логарифму твору.

Так як цей спосіб дуже трудомісткий і при вирішенні практичних завданьважкоздійсненним, то використовували заздалегідь складені таблиці логарифмів, що значно прискорювало всю роботу.

У деяких випадках використовували спеціально складені графіки логарифмів, що давало меншу точність, але прискорювало пошук потрібного значення. Крива функції y = log a (x), побудована за кількома точками, дозволяє за допомогою звичайної лінійки знаходити значення функції у будь-якій іншій точці. Інженери тривалий час для цього використовували так званий міліметровий папір.

У XVII столітті з'явилися перші допоміжні аналогові обчислювальні умови, які до XIX століття набули закінченого вигляду. Найбільш вдалий пристрій отримав назву логарифмічна лінійка. При всій простоті пристрою, її поява значно прискорило процес усіх інженерних розрахунків, і це важко переоцінити. Нині вже мало хто знайомий із цим пристроєм.

Поява калькуляторів та комп'ютерів зробила безглуздим використання будь-яких інших пристроїв.

Рівняння та нерівності

Для розв'язання різних рівнянь та нерівностей з використанням логарифмів застосовуються такі формули:

• Перехід від однієї основи до іншої: log a (b) = log c (b) / log c (a);
• Як наслідок попереднього варіанта: log a (b) = 1 / log b (a).

Для вирішення нерівностей корисно знати:

• Значення логарифму буде позитивним тільки в тому випадку, коли основа та аргумент одночасно більша або менша за одиницю; якщо хоча б одна умова порушена, значення логарифму буде негативним.
• Якщо функція логарифму застосовується до правої та лівої частини нерівності, і основа логарифму більше одиниці, то знак нерівності зберігається; інакше він змінюється.

Приклади завдань

Розглянемо кілька варіантів застосування логарифмів та їх властивості. Приклади з розв'язуванням рівнянь:

Розглянемо варіант розміщення логарифму у ступені:

• Завдання 3. Обчислити 25 log 5 (3). Рішення: в умовах задачі запис аналогічний наступній (5^2)^log5(3) або 5^(2 * log 5(3)). Запишемо по-іншому: 5^log 5(3*2), або квадрат числа як аргумент функції можна записати як квадрат самої функції (5^log 5(3))^2. Використовуючи властивості логарифмів, цей вираз дорівнює 32. Відповідь: внаслідок обчислення отримуємо 9.

Практичне застосування

Будучи виключно математичним інструментом, здається далеким від реального життя, що логарифм несподівано набув великого значення для опису об'єктів реального світу. Важко знайти науку, де її не застосовують. Це повною мірою стосується не тільки природних, а й гуманітарних областей знань.

Логарифмічні залежності

Наведемо кілька прикладів числових залежностей:

Механіка та фізика

Історично механіка та фізика завжди розвивалися з використанням математичних методів дослідження та одночасно служили стимулом для розвитку математики, у тому числі логарифмів. Теорія більшості законів фізики написана мовою математики. Наведемо лише два приклади опису фізичних законів з використанням логарифму.

Вирішувати завдання розрахунку такої складної величини як швидкість ракети можна, застосовуючи формулу Ціолковського, яка започаткувала теорію освоєння космосу:

V = I * ln (M1/M2), де

• V – кінцева швидкість літального апарату.
• I – питомий імпульс двигуна.
• M 1 - Початкова маса ракети.
• M2 – кінцева маса.

Інший важливий приклад- це використання у формулі іншого великого вченого Макса Планка, яка служить для оцінки рівноважного стану термодинаміки.

S = k * ln (Ω), де

• S – термодинамічна властивість.
• k - Постійна Больцмана.
• Ω – статистична вага різних станів.

Хімія

Менш очевидним буде використання формул у хімії, що містять відношення логарифмів. Наведемо також лише два приклади:

• Рівняння Нернста, умова окислювально-відновного потенціалу середовища щодо активності речовин та константи рівноваги.
• Розрахунок таких констант, як показник автопролізу та кислотність розчину теж не обходяться без нашої функції.

Психологія та біологія

І вже зовсім незрозуміло, до чого тут психологія. Виявляється, сила відчуття добре описується цією функцією як зворотне відношення до значення інтенсивності подразника до нижнього значення інтенсивності.

Після вищенаведених прикладів не дивує, що у біології широко використовується тема логарифмів. Для біологічних форм, відповідні логарифмічним спіралям, можна писати цілі томи.

Інші області

Здається, неможливе існування світу без зв'язку з цією функцією, і вона править усіма законами. Особливо коли закони природи пов'язані з геометричною прогресією. Варто звернутися до сайту МатПрофі, і таких прикладів знайдеться безліч у таких сферах діяльності:

Список може бути нескінченним. Освоївши основні закономірності цієї функції, можна поринути у світ нескінченної мудрості.

Логарифм із основою a- це функція y (x) = log a x, обернена до показової функції з основою a: x (y) = a y.

Десятковий логарифм- це логарифм на основі числа 10 : lg x ≡ log 10 x.

Натуральний логарифм- це логарифм на підставі числа e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Графік логарифма виходить із графіка показової функції дзеркальним відображенням щодо прямої y = x. Ліворуч зображено графіки функції y (x) = log a xдля чотирьох значень основи логарифму: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 та a = 1/8 . На графіку видно, що за a > 1 логарифм монотонно зростає. Зі збільшенням x зростання суттєво уповільнюється. При 0 < a < 1 логарифм монотонно зменшується.

Властивості логарифму

Область визначення, безліч значень, зростання, спадання

Логарифм є монотонною функцією, тому екстремумів немає. Основні властивості логарифму представлені у таблиці.

Приватні значення

Логарифм на підставі 10 називається десятковим логарифмомі позначається так:

Логарифм на підставі eназивається натуральним логарифмом:

Основні формули логарифмів

Властивості логарифму, що випливають із визначення зворотної функції:

Основна властивість логарифмів та його наслідки

Формула заміни основи

Логарифмування- це математична операція взяття логарифму. При логарифмуванні, твори співмножників перетворюються на суми членів.

Потенціювання- це математична операція зворотна до логарифмування. При потенціювання задана основа зводиться у ступінь виразу, над яким виконується потенціювання. При цьому суми членів перетворюються на твори співмножників.

Доказ основних формул логарифмів

Формули, пов'язані з логарифмами випливають із формул для показових функцій та визначення зворотної функції.

Розглянемо властивість показової функції
.
Тоді
.
Застосуємо властивість показової функції
:
.

Доведемо формулу заміни основи.
;
.
Вважаючи c = b маємо:

Зворотня функція

Зворотною для логарифму на основі a є показова функція з показником ступеня a .

Якщо то

Якщо то

Похідна логарифма

Похідна логарифма від модуля x:
.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Для знаходження похідної логарифму його потрібно призвести до основи e.
;
.

Інтеграл

Інтеграл від логарифму обчислюється інтегруванням частинами: .
Отже,

Вирази через комплексні числа

Розглянемо функцію комплексного числа z:
.
Виразимо комплексне число zчерез модуль rта аргумент φ :
.
Тоді, використовуючи властивості логарифму, маємо:
.
Або

Проте, аргумент φ визначено не однозначно. Якщо покласти
де n - ціле,
то буде одним і тим же числом за різних n.

Тому логарифм, як функція від комплексного змінного, не є однозначною функцією.

Розкладання в статечний ряд

При має місце розкладання:

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.