Рух небесних тіл. Видимі рухи небесних тіл - Гіпермаркет знань

Усі світила переміщаються небом, роблячи один оберт за добу. Пов'язано це із обертанням Землі. Проте вони рухаються по-різному. Для спостерігача, що на Північному полюсі, над горизонтом знаходяться зірки тільки північної півкулі неба. Вони обертаються навколо Полярної зірки та не заходять за обрій. Спостерігач, що знаходиться на Південному полюсі, бачить лише зірки південної півкулі. На екваторі можуть спостерігатися всі зірки, розташовані і в північній, і в південній півкулях неба.

Зірки бувають західними і висхідними даної широті місця спостереження, і навіть несхідними і незахідними. Наприклад, у Росії не видно зірки сузір'я Південний Хрест – це сузір'я, яке на наших широтах не сходить. А сузір'я Дракона, Малої Ведмедиці – сузір'я, що не заходять. Проходження світила через меридіан називається кульмінацією. У верхній кульмінації висота світила h максимальна, у нижній кульмінації – мінімальна. Проміжок між кульмінаціями світил дорівнює 12 годин (половині доби).

Сонце, як і будь-яке інше світило, щодня піднімається через обрій у східній стороні неба і заходить на заході. Опівдні за місцевим часом воно сягає найбільшої висоти; нижня кульмінація трапляється опівночі. У полярних областях Сонце влітку не заходить за обрій, та його нижню кульмінацію можна спостерігати. У середніх широтах протягом року видимий добовий шлях Сонця то скорочується, то збільшується. Найменшим він буде у день зимового сонцестояння (приблизно 22 грудня), найбільшим – у день літнього сонцестояння (приблизно 22 червня). У дні весняного та осіннього рівнодень (відповідно 21 березня та 23 вересня) тривалість дня дорівнює тривалості ночі, т.к. Сонце знаходиться на небесному екваторі: воно сходить у точці сходу і заходить у точці заходу.

З давніх-давен люди спостерігали на небі такі явища як видиме обертання зоряного неба, зміна фаз Місяця, схід і захід небесних світил, видимий рух Сонця по небу протягом дня, сонячні затемнення, зміна висоти Сонця над горизонтом протягом року, місячні затемнення. Було ясно, що ці явища пов'язані, передусім, з рухом небесних тіл, характер якого люди намагалися описати з допомогою простих візуальних спостережень, правильне розуміння і пояснення яких складалося століттями.

Перші письмові згадки про небесні тіла виникли в стародавньому Єгипті та Шумері. Стародавні розрізняли на небесному зводі три типи тіл: зірки, планети та "хвостаті зірки". Відмінності відбуваються саме зі спостережень: Зірки зберігають протягом досить тривалого часу нерухомість щодо інших зірок. Тому вважалося, що зірки закріплені на небесній сфері. Як нам зараз відомо, через обертання Землі кожна зірка "чортить" на небі "коло.

Планети ж, навпаки, рухаються небозводом, і їхній рух видно неозброєним оком протягом години-двох. Ще в Шумері було знайдено і ототожнено 5 планет: Меркурій, Венера, Марс, Юпітер, Сатурн. До них до купи були додані Сонце та Місяць. Разом: 7 планет. "Хвостаті" зірки комети. З'являлися нечасто, символізували лиха.

Закони Кеплера I. Кожна планета рухається еліпсом, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце. II. (Закон рівних площ). Радіус-вектор планети за рівні проміжки часу визначає рівновеликі площі. III.Квадрати періодів звернень планет навколо Сонця пропорційні кубам великих півосей їх еліптичних орбіт. Три закони руху планет щодо Сонця було виведено емпірично німецьким астрономом Йоганном Кеплером на початку XVII століття. Це стало можливо завдяки багаторічним спостереженням датського астронома Тихо Браге.

Найбільш просто видимий рух планет і Сонця описується у системі відліку, що з Сонцем. Такий підхід отримав назву геліоцентричної системи світу та був запропонований польським астрономом Миколою Коперником. В античні часи і аж до Коперника вважали, що у центрі Всесвіту розташована Земля і всі небесні тіла звертаються складними траєкторіями навколо неї. Ця система світу називається геоцентричною системою світу.

Після визнання революційної геліоцентричної системи світу Коперника, після того, як Кеплер сформулював три закони руху небесних тіл і зруйнував багатовікові наївні уявлення про простий круговий рух планет навколо Землі, довів розрахунками та спостереженнями, що орбіти руху небесних тіл можуть бути лише еліптичними. що видимий рух планет складається з: переміщення спостерігача поверхнею Землі обертання Землі навколо Сонця власних рухів небесних тіл

Складне видиме рух планет на небесній сфері обумовлено зверненням планет Сонячної системи навколо Сонця. Саме слово " планета " у перекладі з давньогрецької означає " блукаюча " чи " бродяга " . Траєкторія руху небесного тіла називається його орбітою. Швидкості руху планет орбітами зменшуються з видаленням планет від Сонця. Характер руху планети залежить від цього, якій групі вона належить. Тому по відношенню до орбіти та умов видимості із Землі планети поділяються на внутрішні (Меркурій, Венера) та зовнішні (Марс, Сатурн, Юпітер, Уран, Нептун, Плутон), або відповідно по відношенню до Земної орбіти, на нижні та верхні.

Зовнішні планети завжди повернуті до Землі стороною, що освітлюється Сонцем. Внутрішні планети змінюють свої фази подібно до Місяця. Найбільше кутове віддалення планети від Сонця називається елонгацією. Найбільша елонгація у Меркурія – 28°, у Венери – 48°. При східній елонгації внутрішня планета видно на заході, у променях вечірньої зорі, незабаром після заходу Сонця. Вечірня (східна) елонгація Меркурія При західній елонгації внутрішня планета видно на сході, в ранковому промінні зорі, незадовго до сходу Сонця. Зовнішні ж планети можуть бути на будь-якій кутовій відстані від Сонця.

Фазовим кутом планети називають кут між променем світла, що падає від Сонця на планету, і променем, що відбилося від неї у бік спостерігача. Фазові кути Меркурія та Венери змінюються в межах від 0° до 180°, тому Меркурій та Венера змінюють фази так само, як і Місяць. Біля нижнього з'єднання обидві планети мають найбільші кутові розміри, але виглядають як вузькі серпи. При фазовому вугіллі = 90°, висвітлюється половина диска планет, фаза = 0,5. У верхньому з'єднанні нижні планети освітлені повністю, але погано видно із Землі, оскільки знаходяться за Сонцем.

Оскільки при спостереженнях із Землі на рух планет навколо Сонця накладається ще й рух Землі за своєю орбітою, планети переміщаються по небосхилу то зі сходу на захід (прямий рух), то із заходу на схід (зворотний рух). Моменти зміни напряму називаються стояннями. Якщо нанести цей шлях на карту, то вийде петля. Розміри петлі тим менші, чим більша відстань між планетою та Землею. Планети описують петлі, а не просто рухаються сюди-туди по одній лінії виключно через те, що площини їх орбіт не збігаються з площиною екліптики. Такий складний петлеподібний характер був вперше помічений та описаний на прикладі видимого руху Венери

Відомий факт, що рух певних планет можна спостерігати з Землі в певну пору року, це пов'язано з їх становищем з часом на зоряному небі. Характерні взаємні розташування планет щодо Сонця та Землі називаються конфігураціями планет. Зміни внутрішніх і зовнішніх планет різні: у нижніх планет це з'єднання та елонгації (найбільше кутове відхилення орбіти планети від орбіти Сонця), у верхніх планет це квадратури, з'єднання та протистояння.

Якщо T – Земля, P 1 – внутрішня планета, S – Сонце, небесна сполука називається нижньою сполукою. В «ідеальному» нижньому з'єднанні відбувається проходження Меркурія чи Венери диском Сонця. Якщо T – Земля, S – Сонце, P 1 – Меркурії чи Венера, явище називається верхнім з'єднанням. В «ідеальному» випадку відбувається покриття Сонцем планети, яке, звичайно, не може спостерігатися через незрівнянну різницю в блиску світил. Для системи Земля – Місяць – Сонце у нижньому з'єднанні відбувається молодик, а верхньому – повний місяць.

У своєму русі небесною сферою Меркурій і Венера ніколи не йдуть далеко від Сонця (Меркурій не далі 18 ° 28 °; Венера не далі 45 ° 48 °) і можуть знаходитися або на схід, або на захід від нього. Момент найбільшого кутового видалення планети на схід від Сонця називається східною або вечірньою елонгацією; на захід західної чи ранкової елонгацією.

Введемо поняття конкретних фізичних величин, що характеризують рух планет і дозволяють зробити деякі розрахунки: Сидеричним (зоряним) періодом звернення планети називається проміжок часу Т, протягом якого планета робить один повний оборот навколо Сонця стосовно зірок. Синодичним періодом звернення планети називається проміжок часу між двома послідовними однойменними конфігураціями.

Використовувана література: 1)Г. Я. Мякішев, Б. В. Буховцев. Фізика.11 клас: навч. для загальноосвіт. установ 2) Інтернет-ресурси: planet/page1.html

У своєму черговому відеоуроці астрономії професор розповість про рух небесних тіл, а також як характеризують планету Юпітер.

Рух небесних тіл

Сонце, Місяць, планети, зірки та інші небесні тіла, які ми спостерігаємо, постійно перебувають у русі на небосхилі. День у день, рік у рік вони рухаються небом, описуючи часто дуже складні рухи. Ці рухи є лише видимим відображенням дійсних рухів цих небесних тіл та нашої Землі серед безмежних просторів Всесвіту. Земля і планети рухаються у просторі навколо Сонця, утворюючи Сонячну систему, що саме Сонце входить до складу величезної системи зірок, що зветься Галактики, і разом з іншими зірками рухається у просторі навколо центру цієї системи. Рух Землі, планет, Сонця та інших небесних тіл керуються переважно силами взаємного тяжіння між цими небесними тілами. Закон цієї взаємодії, званий законом всесвітнього тяжіння, було відкрито XVII столітті великим англійським ученим Ісааком Ньютоном. Наука, що вивчає рухи небесних тіл, - небесна механіка, спираючись на закон всесвітнього тяжіння, досягла чудових успіхів. Ми зараз становимо точне «розклад рухів» небесних тіл, вказуючи, де неба має знаходитися це небесне тіло в той чи інший момент часу. І дійсно, небесні тіла точно приходять у належний час на свої місця на небі, підкоряючись нашому розкладу.

Характеристика планети Юпітер

Юпітер - п'ята планета від Сонця, найбільша у Сонячній системі. Поряд із Сатурном, Ураном та Нептуном Юпітер характеризується як газовий гігант. Його екваторіальний радіус дорівнює 71,4 тис. км, що у 11,2 разу перевищує радіус Землі. Юпітер - єдина планета, у якої центр мас із Сонцем знаходиться поза Сонцем і від нього приблизно на 7% сонячного радіусу. Маса Юпітера в 2,47 рази перевищує сумарну масу решти планет Сонячної системи, разом узятих, у 317,8 разів — масу Землі і приблизно в 1000 разів менше маси Сонця. Характеристики щільності Юпітера показують, що вона приблизно дорівнює щільності Сонця та в 4,16 разів поступається щільності Землі. У цьому сила тяжкості з його поверхні, яку зазвичай приймають верхній шар хмар, більш ніж 2,4 разу перевищує земну. Якби маса Юпітера перевищувала його реальну масу в чотири рази, щільність планети зросла б настільки, що під дією збільшеної гравітації розміри планети сильно зменшилися. Таким чином, мабуть, Юпітер має максимальний діаметр, який могла б мати планета з аналогічною будовою та історією. З подальшим збільшенням маси стиснення тривало до тих пір, поки в процесі формування зірки Юпітер не став би коричневим карликом з масою, що перевершує його нинішню приблизно в 50 разів. Це дає астрономам підстави вважати Юпітер «зіркою, що невдала». Хоча незрозуміло, чи схожі процеси формування таких планет, як Юпітер, з тими, що призводять до формування подвійних зоряних систем. Хоча для того, щоб стати зіркою, Юпітеру потрібно було бути в 75 разів масивніше, найменший з відомих червоних карликів лише на 30% більше в діаметрі.

Освоєння космосу давно зробило крок за рамки уяви:

- Щороку космонавти вирушають за межі Землі;

– люди запускають супутники, частина яких уже зараз подолала Сонячну систему;

- Великі телескопи спостерігають за зірками з орбіти нашої планети.

Хто був першим першопрохідником у небі? Які неймовірні теорії стоять за нашими космічними здобутками? Що на нас чекає в майбутньому? Ця книга коротко і зрозуміло розповість про найважливіші відкриття в галузі астрономії, про людей, які їх зробили.

Будьте в курсі наукових відкриттів – лише за годину!

Книга:

Спостереження та вимірювання Тихо Браге дозволили його учневі, німецькому вченому Йоганну Кеплеру зробити наступний крок у розвитку астрономії.

Геоцентрична система світу Птолемея та геліоцентрична система Коперника

Розраховуючи орбіту Марса, Кеплер виявив, що вона є не коло, як вважав Коперник та інші вчені, а еліпс. Спочатку він не поширював цей висновок на інші планети, але пізніше зрозумів, що не тільки Марс, а всі планети мають еліпсоїдну орбіту. Таким чином було відкрито перший закон руху планет Кеплера. У сучасному формулюванні він звучить так: кожна планета Сонячної системи звертається еліпсом, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце.

Другий закон руху планет став логічним наслідком першого. Ще до формулювання першого закону, спостерігаючи за переміщенням Марса, Кеплер зауважив, що планета рухається тим повільніше, що далі вона знаходиться від Сонця. Еліптична форма орбіти повністю пояснює цю особливість руху. За рівні проміжки часу пряма, що з'єднує планету із Сонцем, описує рівні площі – це другий закон Кеплера.

Другий закон пояснює зміну швидкості руху планети, але не дає жодних розрахунків. Формула, що дозволяє обчислити, з якою швидкістю обертаються планети і який час займає їхній шлях навколо Сонця, полягає у третьому законі Кеплера.

Дослідження Кеплера поставили крапку у суперечці між системами світу Птолемея та Коперника. Він переконливо довів, що у центрі нашої системи знаходиться Сонце, а чи не Земля. Після Кеплера у науковому світі більше не робилися спроби реанімувати геоцентричну систему.

Точність трьох законів руху планет, відкритих Кеплером, підтвердили численні астрономічні спостереження. Проте підстави та причини цих законів залишалися незрозумілими доти, доки наприкінці XVII ст. не виявився геній Ньютона.

Всім відома історія про те, як Ньютон відкрив закон всесвітнього тяжіння: йому на голову впало яблуко, і Ньютон зрозумів, що яблуко притягла Земля. У розширеній версії цієї легенди є ще й Місяць, на який дивився вчений, сидячи під яблунею.

Після падіння яблука Ньютон усвідомив, що сила, яка змусила яблуко впасти, і сила, що утримує Місяць на земній орбіті, має одну й ту саму природу.

Насправді все було далеко не так просто До відкриття знаменитого закону Ньютон багато років присвятив вивченню механіки, закономірностей руху і взаємодії між тілами. Він був першим, хто припустив існування сил тяжіння. Про це говорив ще Галілео Галілей, але він вважав, що тяжіння до Землі діє тільки на нашій планеті і простягається лише до Місяця. Кеплер, який відкрив закони руху планет, був упевнений, що вони працюють виключно в космосі і не мають відношення до земної фізики. Ньютон же зміг об'єднати ці два підходи – він був першим, хто усвідомив, що фізичні закони, насамперед закон всесвітнього тяжіння, є універсальними та застосовними до всіх матеріальних тіл.

Суть закону всесвітнього тяжіння зводиться до того, що між усіма тілами у Всесвіті існує тяжіння. Сила тяжіння залежить від двох головних величин – маси тіл та відстані між ними. Чим важче тіло, тим більше воно притягує до себе легші тіла. Земля притягує Місяць і тримає його на своїй орбіті. Місяць теж надає на нашу планету певний вплив (воно викликає припливи), але сила тяжіння Землі, за рахунок більшої маси, значніша.

Крім закону всесвітнього тяжіння, Ньютон сформулював три закони руху. Перший називають законом інерції. Він говорить: якщо на тіло не впливає сила, воно залишатиметься у стані спокою чи рівномірного прямолінійного руху. Другий закон запроваджує поняття сили та прискорення, і ці дві величини, як довів Ньютон, залежать від маси тіла. Чим більша маса, тим меншим буде прискорення за певної прикладеної сили. Третій закон Ньютона описує взаємодію двох матеріальних об'єктів. Найпростіше його формулювання свідчить: дія одно протидії.

Відкриття, зроблені Ісааком Ньютоном, і виведені ним формули дали астрономії потужний інструмент, який дозволив просунути науку далеко вперед. Багато явищ, які раніше не мали пояснень, розкрили свою природу. Зрозуміло, чому планети обертаються навколо Сонця, а супутники навколо планет, не відлітаючи у відкритий космос: їх утримує сила тяжіння. Швидкість руху планет залишається рівномірною завдяки закону інерції. Округла форма небесних тіл також отримала своє пояснення: вона набувається завдяки гравітації, тяжінню до більш потужного центру.

Ньютон, аналізуючи закони руху планет, відкриті Кеплером, встановив закон всесвітнього тяжіння. За цим законом, як ви вже знаєте з курсу фізики, всі тіла у Всесвіті притягуються один до одного з силою, прямо пропорційною добутку їх мас і обернено пропорційною квадрату відстані між ними:

тут і маси двох тіл, відстань між ними, коефіцієнт пропорційності, що називається гравітаційною постійною. Його чисельне значення залежить від одиниць, у яких виражені сила, маса та відстань. Закон всесвітнього тяжіння пояснює рух планет і комет навколо Сонця, рух супутників навколо планет, подвійних та кратних зірок навколо їхнього загального центру мас.

Закони Кеплера точно дотримуються лише тоді, коли розглядають рух двох ізольованих тіл під впливом їхнього взаємного тяжіння. У Сонячній системі планет багато, всі вони не тільки притягуються Сонцем, а й притягують один одного, тому їх рухи не точно підпорядковуються законам Кеплера.

Відхилення від руху, який відбувався б суворо за законами Кеплера, називаються обуреннями. У Сонячній системі обурення невеликі, тому що тяжіння кожної планети Сонцем набагато сильніше за тяжіння інших планет.

Найбільші обурення в Сонячній системі викликає планета Юпітер, яка приблизно в 300 разів масивніша за Землю. Юпітер дуже сильно впливає на рух астероїдів і комет, коли вони близько до нього підходять. Зокрема, якщо напрями прискорень комети, викликаних тяжінням Юпітера і Сонця, збігаються, то комета може розвинути настільки велику швидкість, що, рухаючись гіперболою, назавжди піде з Сонячної системи. Були випадки, коли тяжіння Юпітера стримувало комету, ексцентриситет її орбіти ставав меншим і різко зменшувався період звернення.

При обчислення видимого становища планет доводиться враховувати обурення. Тепер робити такі розрахунки допомагають швидкодіючі електронно-лічильні машини. При запуску штучних небесних тіл і розрахунку їх траєкторій користуються теорією руху небесних тіл, зокрема теорією обурень.

Можливість відправляти автоматичні міжпланетні станції за бажаними, заздалегідь розрахованими траєкторіями, доводити їх до мети з урахуванням збурень у русі - все це яскраві приклади пізнаваності законів природи. Небо, яке за поданням віруючих є обителью богів, стало ареною людської діяльності так само, як і Земля. Релігія завжди протиставляла Землю та небо і оголошувала небо недосяжним. Але людина не тільки піднялася вище за птахів, а й поборола земне тяжіння. Тепер серед планет переміщуються штучні небесні тіла, створені людиною, якими може управляти безпосередньо чи з радіо з великих відстаней.

2. Відкриття Нептуна.

Одним із яскравих прикладів досягнень науки, одним із свідчень необмеженої пізнаваності природи було відкриття планети Нептун шляхом обчислень – «на кінчику пера».

Уран - планета, що йде за Сатурном, який багато століть вважався найдальшою з планет, була відкрита В. Гершелем наприкінці

XVIII ст. Уран насилу видно неозброєним оком. До 40-х років

ХІХ ст. Точні спостереження показали, що Уран ледь помітно ухиляється від того шляху, яким він повинен слідувати з урахуванням збурень з боку всіх відомих планет. Таким чином, теорія руху небесних тіл, настільки сувора і точна, зазнала випробування.

Левер'є (у Франції) та Адамс (в Англії) висловили припущення, що якщо обурення з боку відомих планет не пояснюють відхилення в русі Урану, значить, на нього діє тяжіння ще невідомого тіла. Вони майже одночасно розрахували, де за Ураном має бути невідоме тіло, що виробляє своїм тяжінням ці відхилення. Вони вирахували орбіту невідомої планети, її масу і вказали місце на небі, де зараз мала знаходитися невідома планета. Ця планета і була знайдена в телескоп на вказаному ними місці в 1846 р. її назвали Нептуном. Нептун не видно неозброєним оком. Таким чином, зазначена суперечність між теорією і практикою, що здавалося, що підривала авторитет матеріалістичної науки, призвела до її тріумфу.

3. Поняття теорії припливів.

Під впливом взаємного тяжіння частинок тіло прагне набути форми кулі. Форма Сонця, планет, їх супутників і зірок тому й близька до кулястої. Обертання тіл (як ви знаєте з фізичних дослідів) веде до їх сплющування, стиснення вздовж осі обертання. Тому трохи стиснута біля полюсів земна куля, а найбільше стиснуті Юпітер і Сатурн, що швидко обертаються.

Але форма планет може змінюватись і від дії сил взаємного тяжіння. Кулясте тіло (планета) рухається в цілому під дією гравітаційного тяжіння іншого тіла так, як би вся сила тяжіння була прикладена до її центру. Однак окремі частини планети знаходяться на різній відстані від тіла, що притягує, тому гравітаційне прискорення в них також по-різному, що і призводить до виникнення сил, які прагнуть деформувати планету. Різниця прискорень, викликаних тяжінням іншого тіла, у цій точці й у центрі планети називається приливним прискоренням.

Розглянемо для прикладу систему Земля – Місяць. Один і той же елемент маси в центрі Землі притягуватиметься Місяцем слабше, ніж на боці, зверненому до Місяця, і сильніше, ніж на протилежному боці. В результаті Земля, і в першу чергу водна оболонка Землі, злегка витягується в обидва боки вздовж лінії, що з'єднує її з Місяцем. На малюнку 28 океан для наочності зображений таким, що покриває всю Землю. У точках, що лежать на лінії Земля - ​​Місяць, рівень води найвищий - там припливи. Уздовж кола, площина якого перпендикулярна до напрямку лінії Земля - ​​Місяць і проходить через центр Землі, рівень води найнижчий - там відлив. При добовому обертанні Землі до смуги припливів і відливів по черзі вступають різні місця Землі. Легко зрозуміти, що за добу можуть бути два припливи і два відливи.

Сонце також викликає на Землі припливи та відливи, але через велику віддаленість Сонця вони менші, ніж місячні, і менш помітні.

З припливами переміщається величезна маса води. В даний час приступають до використання величезної енергії води, що бере участь у припливах, на берегах океанів та відкритих морів.

Вісь приливних виступів має бути завжди спрямована до Місяця. При обертанні Земля прагне повернути водяний припливний виступ. Оскільки Земля обертається навколо осі набагато швидше, ніж Місяць звертається навколо Землі, Місяць відтягує його до себе. Відбувається тертя між водою та твердим дном океану. В результаті виникає так зване припливне тертя. Воно гальмує обертання Землі, і доба з часом стає довшою (колись вони становили лише 5-6 год). Сильні припливи, що викликаються на Меркурії та Венері Сонцем, мабуть, і стали причиною їх вкрай повільного обертання навколо осі. Сильні припливи, що викликалися Землею, настільки загальмували обертання Місяця, що він завжди звернений до Землі однією стороною. Земля також поступово гальмує обертання під дією місячних припливів. За законами механіки (закон збереження моменту імпульсу) уповільнення обертання Землі викликає видалення Місяця Землі. Через багато мільйонів років Земля теж стане зверненою до Місяця однією стороною. Земна доба стане тоді рівною місяцю, який буде значно довшим, ніж тривалість сучасного обороту Місяця навколо Землі. Отже, припливи є важливим чинником еволюції небесних тіл.

4. Визначення мас небесних тіл.

Маса – одна з найважливіших характеристик небесних тіл. Але як визначити масу небесного тіла? Ньютон довів, що точніша формула третього закону Кеплера така:

де - маси якихось небесних тіл, а - відповідно маси їх супутників. Зокрема планети є супутниками Сонця. Ми бачимо, що уточнена формула цього закону відрізняється від наближеної наявністю множника, що містить масу. Якщо під розуміти масу Сонця, а під - маси двох різних планет, то відношення мало відрізнятиметься від одиниці, так як дуже малі в порівнянні з масою Сонця. При цьому точна формула не помітно відрізнятиметься від наближеної.