Як дізнатися швидкість у стоячій воді. Завдання на рух для підготовки до ЄДІ з математики (2020). Розв'язання задач для самостійної роботи

Відповідно до навчальної програми з математики діти мають навчитися вирішувати завдання рух ще у початковій школі. Однак завдання такого виду часто викликають у учнів утруднення. Важливо, щоб дитина зрозуміла, що таке власна швидкість, швидкістьтечії, швидкістьза течією та швидкістьпроти течії. Тільки за цієї умови школяр зможе легко вирішувати завдання на рух.

Вам знадобиться

• Калькулятор, ручка

Інструкція

Власна швидкість- це швидкістькатери або іншого автомобіля в нерухомій воді. Позначте її - V прив.
Вода в річці рухається. Значить, вона має свою швидкість, яка називається швидкістью течії (V теч.)
Швидкість катера за течією річки позначте - V за теч., а швидкістьпроти течії - V пр. теч.

Тепер запам'ятайте формули, необхідні для вирішення задач на рух:
V пр. теч. = V прив. - V теч.
V за теч. = V прив. + V теч.

Отже, з цих формул, можна зробити такі выводы.
Якщо катер рухається проти течії річки, то V прив. = V пр. теч. + V теч.
Якщо катер рухається за течією, то V прив. = V за теч. - V теч.

Вирішимо кілька завдань на рух річкою.
Завдання 1. Швидкість катера проти течії річки 12,1 км/год. Знайдіть власну швидкістькатери, знаючи, що швидкістьтечії річки 2 км/год.
Рішення: 12,1 + 2 = 14, 1 (км/год) – власна швидкістькатери.
Завдання 2. Швидкість катера за течією річки 16,3 км/год, швидкістьтечії річки 1,9 км/год. Скільки метрів пройшов би це катер за 1 хв., якщо знаходився у стоячій воді?
Рішення: 16,3 – 1,9 = 14,4 (км/год) – власна швидкістькатери. Переведемо км/год на м/хв: 14,4/0,06 = 240 (м/хв.). Отже, за 1 хвилину катер пройшов би 240 метрів.
Завдання 3. Два катери вирушили одночасно назустріч один одному із двох пунктів. Перший катер рухався течією річки, а другий - проти течії. Зустрілися вони за три години. За цей час перший катер пройшов 42 км, а другий – 39 км. Знайдіть власну швидкістькожного катера, якщо відомо, що швидкістьтечії річки 2 км/год.
Рішення: 1) 42/3 = 14 (км/год) - швидкістьруху за течією річки першого катера.
2) 39/3 = 13 (км/год) - швидкістьрухи проти течії річки другого катера.
3) 14 – 2 = 12 (км/год) – власна швидкістьпершого катера.
4) 13 + 2 = 15 (км/год) – власна швидкістьдругого катера.

Отже, скажімо, наші тіла рухаються в одному напрямку. Як ти вважаєш, скільки випадків може бути для такої умови? Правильно, дві.

Чому так виходить? Упевнена, що після всіх прикладів ти легко сам розберешся, як вивести дані формули.

Розібрався? Молодець! Настав час вирішити завдання.

Четверте завдання

Коля їде працювати на машині зі швидкістю км/год. Колега Колі Вова їде зі швидкістю км/год. Коля від Вови живе з відривом км.

Через скільки часу Вова наздожене Колю, якщо вони виїхали з дому одночасно?

Порахував? Порівняємо відповіді - у мене вийшло, що Вова наздожене Колю за годину або за хвилин.

Порівняємо наші рішення...

Малюнок виглядає таким чином:

Схожий на твій? Молодець!

Так як у завданні питається, через скільки хлопці зустрілися, а виїхали вони одночасно, той час, який вони їхали, буде однаковим, як місце зустрічі (на малюнку воно позначено точкою). Складаючи рівняння, візьмемо час за.

Отже, Вова до місця зустрічі пройшов шлях. Коля до місця зустрічі пройшов шлях. Це зрозуміло. Тепер знаємося з віссю пересування.

Почнемо зі шляху, який зробив Коля. Його шлях () малюнку зображено як відрізок. А з чого складається шлях Вови? Правильно, із суми відрізків і, де – початкова відстань між хлопцями, а дорівнює шляху, який пройшов Коля.

Виходячи з цих висновків, отримуємо рівняння:

Розібрався? Якщо ні, просто прочитай це рівняння ще раз і подивися на точки, позначені на осі. Малюнок допомагає, чи не так?

години чи хвилин хвилин.

Сподіваюся, що на цьому прикладі ти зрозумів, наскільки важливу роль відіграє грамотно складений малюнок!

А ми плавно переходимо, точніше вже перейшли до наступного пункту нашого алгоритму - приведення всіх величин до однакової розмірності.

Правило трьох «Р» – розмірність, розумність, розрахунок.

Розмірність.

Не завжди у завданнях дається однакова розмірність кожному за учасника руху (як це було у наших легких завданнях).

Наприклад, можна зустріти завдання, де сказано, що тіла рухалися певну кількість хвилин, а швидкість їхнього пересування вказана в км/год.

Ми не можемо просто взяти і підставити значення у формулу – відповідь вийде невірна. Навіть щодо одиниць виміру наша відповідь «не пройде» перевірку на розумність. Порівняй:

Бачиш? При грамотному перемноженні ми також скорочуються одиниці виміру, і, відповідно, виходить розумний і правильний результат.

А що відбувається, якщо ми не переводимо до однієї системи виміру? Дивна розмірність у відповіді та % невірний результат.

Отже, нагадаю тобі про всяк випадок значення основних одиниць вимірювання довжини та часу.

Одиниці виміру довжини:

сантиметр = міліметрів

дециметр = сантиметрів = міліметрів

метр = дециметрів = сантиметрів = міліметрів

кілометр = метрів

Одиниці виміру часу:

хвилина = секунд

година = хвилин = секунд

доба = години = хвилин = секунд

Порада:Перекладаючи одиниці виміру, пов'язані з часом (хвилини в годинник, годинник в секунди і т.д.) уяви в голові циферблат годинника. Неозброєним оком видно, що це чверть циферблата, тобто. години, хвилин це третина циферблату, тобто. години, а хвилина – це години.

А тепер зовсім просте завдання:

Маша їхала велосипедом з дому до села зі швидкістю км/год протягом хвилин. Яка відстань між машинним будинком та селом?

Порахував? Правильна відповідь – км.

хвилин - це година, і ще хвилин від години (подумки уявив собі циферблат годинника, і сказав, що хвилин - чверть години), відповідно - хв = год.

Розумність.

Ти ж розумієш, що швидкість машини не може бути км/год, якщо йдеться, звичайно, не про спортивний болід? І тим більше вона не може бути негативною, вірно? Так от, розумність, це про це)

Розрахунок.

Подивися, чи проходить твоє рішення на розмірність і розумність, і тільки потім перевіряй розрахунки. Логічно ж - якщо з розмірністю і розумністю виходить нестикування, то простіше все закреслити і почати шукати логічні та математичні помилки.

«Кохання до таблиць» або «коли малюнку недостатньо»

Не завжди завдання на рух такі прості, як ми вирішували раніше. Дуже часто, для того, щоб правильно розв'язати завдання, потрібно не просто намалювати грамотний малюнок, а й скласти таблицюз усіма цими умовами.

Перше завдання

З пункту в пункт, відстань між якими км, одночасно виїхав велосипедист та мотоцикліст. Відомо, що за годину мотоцикліст проїжджає на км більше, ніж велосипедист.

Визначте швидкість велосипедиста, якщо відомо, що він прибув у пункт на хвилину пізніше, ніж мотоцикліст.

Ось таке завдання. Зберися, і прочитай її кілька разів. Прочитав? Починай малювати – пряма, пункт, пункт, дві стрілочки…

Загалом малюй і зараз порівняємо, що в тебе вийшло.

Якось пустувато, правда? Малюємо таблицю.

Як ти пам'ятаєш, всі завдання руху складаються з компонентів: швидкість, час та шлях. Саме з цих граф і складатиметься будь-яка таблиця у подібних завданнях.

Щоправда, ми додамо ще один стовпець. ім'я, про кого ми пишемо інформацію - мотоцикліст та велосипедист

Так само в шапці вкажи розмірність, в якій ти вписуватимеш туди величини. Ти ж пам'ятаєш, наскільки це важливо, правда?

У тебе вийшла така таблиця?

Тепер давай аналізувати все, що ми маємо, і паралельно заносити дані в таблицю і на малюнок.

Перше, що ми маємо – це шлях, який пройшли велосипедист та мотоцикліст. Він однаковий і дорівнює км. Вносимо!

Візьмемо швидкість велосипедиста за, тоді швидкість мотоцикліста буде…

Якщо з такою змінною рішення завдання не піде – нічого страшного, візьмемо інше, доки не дійдемо до переможного. Таке буває, головне не нервувати!

Таблиця змінилася. У нас залишилася не заповнена лише одна графа – час. Як знайти час, коли є шлях та швидкість?

Правильно, поділити шлях на швидкість. Вноси ​​це до таблиці.

Ось і заповнилася наша таблиця, тепер можна внести дані на рисунок.

Що ми можемо відобразити на ньому?

Молодець. Швидкість пересування мотоцикліста та велосипедиста.

Ще раз перечитаємо завдання, подивимося на малюнок та заповнену таблицю.

Які дані не відображені в таблиці, ні на малюнку?

Правильно. Час, на який мотоцикліст приїхав раніше, ніж велосипедист. Ми знаємо, що різниця в часі – хвилин.

Що ми маємо зробити наступним кроком? Правильно, перевести даний нам час із хвилин на годину, адже швидкість дана нам у км/год.

Магія формул: складання та розв'язання рівнянь - маніпуляції, що призводять до єдино правильної відповіді.

Отже, як ти вже здогадався, зараз ми будемо складати рівняння.

Складання рівняння:

Поглянь на свою таблицю, на останню умову, яка до неї не увійшла і подумай, залежність між чим і чим ми можемо винести рівняння?

Правильно. Ми можемо скласти рівняння, ґрунтуючись на різниці у часі!

Логічно? Велосипедист їхав більше, якщо ми з його часу віднімемо час руху мотоцикліста, ми якраз отримаємо цю різницю.

Це рівняння – раціональне. Якщо не знаєш, що це таке, прочитай тему «».

Наводимо доданки до спільного знаменника:

Розкриємо дужки і наведемо такі складові: Уф! Засвоїв? Спробуй свої сили на наступному завданні.

Вирішення рівняння:

З цього рівняння ми отримуємо наступне:

Розкриємо дужки і перенесемо все до лівої частини рівняння:

Вуаль! У нас просте квадратне рівняння. Вирішуємо!

Ми отримали два варіанти відповіді. Дивимося, що ми взяли? Вірно, швидкість велосипедиста.

Згадуємо правило «3Р», конкретніше «розумність». Розумієш про що я? Саме! Швидкість не може бути негативною, отже наша відповідь - км/год.

Друге завдання

Два велосипедисти одночасно вирушили в кілометровий пробіг. Перший їхав зі швидкістю, на км/год більшою, ніж швидкість другого, і прибув до фінішу на годину раніше за другу. Знайти швидкість велосипедиста, котрий прийшов до фінішу другим. Відповідь дайте у км/год.

Нагадую алгоритм розв'язання:

• Прочитай завдання кілька разів - засвої всі деталі. Засвоїв?
• Починай малювати малюнок – у якому напрямку вони рухаються? яку відстань вони пройшли? Намалював?
• Перевір, чи всі величини в тебе однакової розмірності і починай коротко виписувати умову завдання, складаючи табличку (ти ж пам'ятаєш які там графи?).
• Поки що все це пишеш, думай, що взяти за? Вибрав? Записуй у таблицю! Ну а тепер просто: складаємо рівняння та вирішуємо. Так, і насамкінець – пам'ятай про «3Р»!
• Все зробив? Молодець! У мене вийшло, що швидкість велосипедиста – км/год.

-"Якого кольору твоя машина?" - "Вона гарна!" Правильні відповіді на поставлені запитання

Продовжимо нашу розмову. Тож яка там швидкість у першого велосипедиста? км/год? Дуже сподіваюся, що ти зараз не киваєш ствердно!

Уважно прочитай питання: «Яка швидкість у першоговелосипедиста?»

Зрозумів, про що я?

Саме! Отриманий - це не завжди відповідь на поставлене запитання!

Вдумливо читай питання – можливо, після знаходження тобі потрібно буде зробити ще деякі маніпуляції, наприклад, додати км/год, як у нашому завданні.

Ще один момент - часто в завданнях все вказується в годинах, а відповідь просять висловити в хвилинах, або всі дані дано в км, а відповідь просять записати в метрах.

Слідкуй за розмірністю не тільки в ході самого рішення, а й коли записуєш відповіді.

Завдання на рух по колу

Тіла в завданнях можуть рухатися не обов'язково прямо, а й по колу, наприклад, велосипедисти можуть їхати круговою трасою. Розберемо таке завдання.

Завдання №1

Із пункту кругової траси виїхав велосипедист. За хвилину він ще не повернувся до пункту і з пункту слідом за ним вирушив мотоцикліст. Через хвилин після відправлення він наздогнав велосипедиста вперше, а ще за хвилин після цього наздогнав його вдруге.

Знайдіть швидкість велосипедиста, якщо довжина траси дорівнює км. Відповідь дайте у км/год.

Розв'язання задачі №1

Спробуй намалювати малюнок до цієї задачі та заповнити для неї таблицю. Ось що вийшло у мене:

Між зустрічами велосипедист проїхав відстань, а мотоцикліст – .

Але при цьому мотоцикліст проїхав рівно на одне коло більше, це видно з малюнку:

Сподіваюся, ти розумієш, що по спіралі вони насправді не їздили – спіраль просто схематично показує, що вони їздять по колу, кілька разів проїжджаючи ті самі точки траси.

Розібрався? Спробуй вирішити самостійно такі завдання:

Завдання для самостійної роботи:

1. Два мо-то-цик-ли-ста стар-ту-ють од-но-вре-мен-но в одному на-прав-ле-ні з двох діа-мет-раль-но про-ти-во-по- помилкових точок кругової трас-си, довжина якої дорівнює км. Через скільки хвилин мо-то-цик-ли-сти по-рів-ня-ють-ся вперше, якщо швидкість одного з них на км/год більше швидкості дру- го-го?
2. З однієї точки кругової трас-си, довжина якої дорівнює км, одночасно в одному напрямку старівали два мотоциклісти. Швидкість першого мотоцикла дорівнює км / год, і через хвилин після старту він випередив другий мотоцикл на одне коло. Знай-ді-те швидкість другого мотоцикла. Відповідь дайте у км/год.

Розв'язання задач для самостійної роботи:

1. Нехай км/год — швидкість першого мо-то-цик-лі-ста, тоді швидкість другого мо-то-цик-лі-ста дорівнює км/год. Нехай перший раз мо-то-цик-ли-сти по-рів-ня-ють-ся через годин. Для того, щоб мо-то-цик-ли-сти по-рів-ня-лися, більш швидкий повинен подолати з-на-чаль-но раз-де-ля-ю-ще їх рас-сто-я-ня, рів-не по-ло-ви-не довжини трас-си.

   Отримуємо, що час дорівнює годині = хвилин.

2. Нехай швидкість другого мотоцикла дорівнює км / год. За години перший мотоцикл пройшов на км більше, ніж другий, відповідно, отримуємо рівняння:

   Швидкість другого мотоцикліста дорівнює км/год.

Завдання протягом

Тепер, коли ти чудово вирішуєш завдання «на суші», перейдемо у воду, і розглянемо завдання, пов'язані з течією.

Уяви, що маєш пліт, і ти спустив його в озеро. Що з ним відбувається? Правильно. Він стоїть, тому що озеро, ставок, калюжа, зрештою, - це стояча вода.

Швидкість течії в озері дорівнює .

Пліт поїде, тільки якщо ти сам почнеш веслувати. Та швидкість, яку він придбає, буде своєю швидкістю плоту.Неважливо куди ти попливеш - ліворуч, праворуч, пліт буде рухатися з тією швидкістю, з якою ти веслуватимеш. Це зрозуміло? Логічно.

А зараз уяви, що ти спускаєш пліт на річку, відвертаєшся, щоб узяти мотузку... повертаєшся, а він... сплив...

Це відбувається тому що річка має швидкість течіїяка відносить твій пліт у напрямку течії.

Його швидкість при цьому дорівнює нулю (ти ж стоїш у шоці на березі і не гребеш) – він рухається зі швидкістю течії.

Розібрався?

Тоді дай відповідь ось на яке питання - «З якою швидкістю пливтиме пліт по річці, якщо ти сидиш і гребеш?» Задумався?

Тут можливі два варіанти.

1-й варіант - ти пливеш за течією.

І тоді ти пливеш із власною швидкістю + швидкість течії. Течія ніби допомагає тобі рухатися вперед.

2-й варіант - т ти пливеш проти течії.

Важко? Правильно, бо течія намагається «відкинути» тебе назад. Ти докладаєш все більше зусиль, щоб пропливти хоча б метрів, відповідно швидкість, з якою ти пересуваєшся, дорівнює власна швидкість – швидкість течії.

Допустимо, тобі треба пропливти км. Коли ти подолаєш цю відстань швидше? Коли ти рухатимешся за течією чи проти?

Вирішимо завдання і перевіримо.

Додамо до нашого шляху дані про швидкість течії - км/год та про власну швидкість плоту - км/год. Який час ти витратиш, рухаючись за течією та проти нього?

Звичайно, ти легко впорався з цим завданням! За течією – година, а проти течії аж години!

У цьому вся суть завдань на рух з плином.

Дещо ускладнимо завдання.

Завдання №1

Човен із моторчиком плив з пункту в пункт години, а назад години.

Знайдіть швидкість течії, якщо швидкість човна у стоячій воді - км/год

Розв'язання задачі №1

Позначимо відстань між пунктами, як, а швидкість течії – як.

Ми бачимо, що човен проходить один і той же шлях, відповідно:

Що ми брали за?

Швидкість течії. Тоді це і буде відповіддю:)

Швидкість течії дорівнює км/год.

Завдання №2

Байдарка вийшла з пункту в пункт, розташований в км від. Пробувши в пункті годину хвилин, байдарка вирушила назад і повернулася до пункту о.

Визначте (в км/год) власну швидкість байдарки, якщо відомо, що швидкість течії річки км/год.

Розв'язання задачі №2

Отже, почнемо. Прочитай завдання кілька разів та зроби малюнок. Думаю, ти легко зможеш вирішити це самостійно.

Чи всі величини у нас виражені в одному вигляді? Ні. Час відпочинку у нас вказаний і в годинах, і в хвилинах.

Перекладемо це в годинник:

година хвилин = год.

Тепер усі величини у нас виражені в одному вигляді. Приступимо до заповнення таблиці та пошуку того, що ми візьмемо за.

Нехай – власна швидкість байдарки. Тоді швидкість байдарки за течією дорівнює, а проти течії дорівнює.

Запишемо ці дані, а також шлях (він, як ти розумієш, однаковий) і час, виражений через шлях і швидкість, до таблиці:

Порахуємо, скільки часу байдарка витратила на свою подорож:

Чи весь час вона пливла? Перечитуємо завдання.

Ні не все. У неї був відпочинок годину хвилин, відповідно, з годинника ми віднімаємо час відпочинку, який, ми вже перевели в годинник:

ч байдарка справді пливла.

Наведемо всі складові до спільного знаменника:

Розкриємо дужки і наведемо подібні доданки. Далі вирішуємо квадратне рівняння, що вийшло.

З цим, я думаю, ти теж впораєшся самостійно. Яка відповідь у тебе вийшла? У мене км/год.

Підведемо підсумки

ПРОСУНУТИЙ РІВЕНЬ

Завдання на рух. Приклади

Розглянемо приклади з рішеннямидля кожного типу завдань.

Рух із плином

Одні з найпростіших завдань завдання на рух по річці. Вся їхня суть в наступному:

• якщо рухаємось за течією, до нашої швидкості додається швидкість течії;
• якщо рухаємося проти течії, з нашої швидкості віднімається швидкість течії.

Приклад №1:

Катер плив з пункту A до пункту B годин, а назад - години. Знайдіть швидкість течії, якщо швидкість катера у стоячій воді км/год.

Рішення №1:

Позначимо відстань між пунктами як AB, а швидкість течії - як.

Усі дані з умови занесемо до таблиці:

Для кожного рядка цієї таблиці слід записати формулу:

Насправді можна не писати рівняння для кожного з рядків таблиці. Адже ми бачимо, що відстань, пройдена катером туди й назад однаково.

Отже, відстань ми можемо прирівняти. Для цього використовуємо відразу формулу для відстані:

Часто доводиться використовувати і формулу для часу:

Приклад №2:

Проти течії човен пропливає відстань у кілометрів на годину довше, ніж за течією. Знайдіть швидкість човна у стоячій воді, якщо швидкість течії дорівнює км/год.

Рішення №2:

Спробуємо одразу скласти рівняння. Час проти течії на годину більший, ніж час за течією.

Це записується так:

Тепер замість кожного часу підставимо формулу:

Отримали нормальне раціональне рівняння, вирішимо його:

Вочевидь, що швидкість може бути негативним числом, отже, відповідь: км/ч.

Відносний рух

Якщо якісь тіла рухаються одне щодо одного, часто буває корисно порахувати їхню відносну швидкість. Вона дорівнює:

• сумі швидкостей, якщо тіла рухаються назустріч одне одному;
• різниці швидкостей, якщо тіла рухаються щодо одного напрямі.

Приклад №1

З пунктів A та B одночасно назустріч один одному виїхали два автомобілі зі швидкостями км/год та км/год. За кілька хвилин вони зустрінуться. Якщо відстань між пунктами км?

І спосіб вирішення:

Відносна швидкість автомобілів км/год. Це означає, що якщо ми сидимо в першому автомобілі, він нам здається нерухомим, але другий автомобіль наближається до нас зі швидкістю км/год. Оскільки між автомобілями спочатку відстань км, час, через який другий автомобіль проїде повз перший:

II спосіб вирішення:

Час від початку руху до зустрічі у автомобілів, очевидно, однаковий. Позначимо його. Тоді перший автомобіль проїхав шлях, а другий – .

У сумі вони проїхали усі км. Значить,

Інші завдання на рух

Приклад №1:

З пункту А до пункту В виїхав автомобіль. Одночасно з ним виїхав інший автомобіль, який рівно половину колії їхав зі швидкістю на км/год меншою, ніж перший, а другу половину колії він проїхав зі швидкістю км/год.

В результаті автомобілі прибули до пункту В одночасно.

Знайдіть швидкість першого автомобіля, якщо відомо, що вона більша за км/год.

Рішення №1:

Зліва від знака одно запишемо час першого автомобіля, а праворуч - другого:

Спростимо вираз у правій частині:

Поділимо кожне доданок на АВ:

Вийшло звичайне раціональне рівняння. Вирішивши його, отримаємо два корені:

З них лише один більше.

Відповідь: км/год.

Приклад №2

З пункту A кругової траси виїхав велосипедист. Через хвилин він ще не повернувся до пункту А і з пункту А слідом за ним вирушив мотоцикліст. Через хвилин після відправлення він наздогнав велосипедиста вперше, а ще за хвилин після цього наздогнав його вдруге. Знайдіть швидкість велосипедиста, якщо довжина траси дорівнює км. Відповідь дайте у км/год.

Рішення:

Тут будемо прирівнювати відстань.

Нехай швидкість велосипедиста буде, а мотоцикліста – . До моменту першої зустрічі велосипедист був у дорозі хвилин, а мотоцикліст - .

При цьому вони проїхали рівні відстані:

Між зустрічами велосипедист проїхав відстань, а мотоцикліст – . Але при цьому мотоцикліст проїхав рівно на одне коло більше, це видно з малюнку:

Сподіваюся, ти розумієш, що по спіралі вони насправді не їздили - спіраль просто схематично показує, що вони їздять по колу, кілька разів проїжджаючи ті самі точки траси.

Отримані рівняння розв'язуємо у системі:

КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

1. Основна формула

2. Відносний рух

• Це сума швидкостей, якщо тіла рухаються назустріч одне одному;
• різницю швидкостей, якщо тіла рухаються в одному напрямку.

3. Рух із плином:

• Якщо рухаємось за течією, до нашої швидкості додається швидкість течії;
• якщо рухаємося проти течії, від швидкості віднімається швидкість течії.

Ми допомогли тобі розібратися із завданнями на рух...

Тепер твій хід...

Якщо ти уважно прочитав текст і самостійно вирішував усі приклади, готові сперечатися, що ти все зрозумів.

І це вже половина шляху.

Напиши внизу в коментарях чи ти розібрався із завданнями на рух?

Які викликають найбільші проблеми?

Чи ти розумієш, що завдання на "роботу" - це майже те саме?

Напиши нам та удачі на іспитах!

Вирішення завдань на «рух по воді» багатьом дається важко. Вони існує кілька видів швидкостей, тому вирішальні починаю плутатися. Щоб навчитися вирішувати завдання такого типу, треба знати визначення та формули. Уміння складати схеми дуже полегшує розуміння завдання, сприяє правильному складання рівняння. А правильно складене рівняння – найголовніше у вирішенні будь-якого типу завдань.

Інструкція

У завданнях «на рух річкою» присутні швидкості: власна швидкість (Vс), швидкість за течією (Vза теч.), швидкість проти течії (Vпр. теч.), швидкість течії (Vтеч.). Слід зазначити, що власна швидкість водного судна – це швидкість у стоячій воді. Щоб знайти швидкість за течією, треба до швидкості течії додати свою. Щоб знайти швидкість проти течії, треба зі своєї швидкості відняти швидкість течії.

Перше, що необхідно вивчити та знати "на зубок" - формули. Запишіть та запам'ятайте:

Vпо теч = Vс + Vтеч.

Vпр. теч. = Vс-Vтеч.

Vпр. теч = Vпо теч. - 2Vтеч.

Vпо теч. = Vпр. теч +2Vтеч.

Vтеч.=(Vпо теч. - Vпр. теч)/2

Vс=(Vпо теч.+Vпр теч.)/2 або Vс=Vпо теч.+Vтеч.

На прикладі розберемо, як знаходити свою швидкість і вирішувати завдання такого типу.

Приклад 1.Швидкість човна за течією 21,8 км/год, а проти течії 17,2 км/год. Знайти власну швидкість човна та швидкість течії річки.

Рішення: Згідно з формулами: Vс=(Vпо теч.+Vпр теч.)/2 і Vтеч.=(Vпо теч. - Vпр. теч)/2, знайдемо:

Vтеч = (21,8 - 17,2) / 2 = 4,62 = 2,3 (км / год)

Vс = Vпр теч. + Vтеч = 17,2 +2,3 = 19,5 (км / год)

Відповідь: Vc = 19,5 (км / год), Vтеч = 2,3 (км / год).

Приклад 2. Пароплав пройшов проти течії 24 км і повернувся назад, витративши на зворотний шлях на 20 хв менше, ніж під час руху проти течії. Знайдіть його власну швидкість у нерухомій воді, якщо швидкість течії дорівнює 3 км/год.

За Х приймемо власну швидкість пароплава. Складемо таблицю, куди занесемо всі дані.

Проти теч. За течією

Відстань 24 24

Швидкість Х-3 Х+3

час 24/ (Х-3) 24/ (Х+3)

Знаючи, що на зворотний шлях пароплав витратив на 20 хвилин менше, ніж на шлях за течією, складемо і вирішимо рівняння.

20 хв = 1/3 години.

24/(Х-3) – 24/(Х+3) = 1/3

24*3(Х+3) – (24*3(Х-3)) – ((Х-3)(Х+3))=0

72Х+216-72Х+216-Х2+9=0

Х=21(км/ч) – власна швидкість пароплава.

Відповідь: 21 км/год.

Зверніть увагу

Швидкість плоту вважається рівною швидкості водойми.

Все цікаве

Швидкість течії річки треба знати, наприклад, щоб розрахувати надійність поромної переправи чи визначити безпеку купання. Швидкість течії може різнитися різних ділянках. Вам знадобитьсяДовга міцна мотузка, секундомір, плавучий.

Рух різних тіл у навколишньому середовищі характеризується низкою величин, одна з яких – середня швидкість. Цей узагальнений показник визначає швидкість тіла по всьому переміщенні. Знаючи залежність модуля миттєвої швидкості від часу, середню…

В курсі фізики, крім звичайної швидкості, знайомої всім з алгебри, існує поняття «нульова швидкість». Нульова швидкість або, як її ще називають, початкова знаходиться іншим способом, відмінним від формули знаходження звичайної швидкості. …

Згідно з першим законом механіки, всяке тіло прагне зберігати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху, що по суті те саме. Але така безтурботність можлива хіба що у космосі.
Можлива швидкість без прискорення, але…

Завдання на кінематику, в яких необхідно обчислити швидкість, час або шлях тіл, що рівномірно і прямолінійно рухаються, зустрічаються в шкільному курсі алгебри і фізики. Для їх вирішення знайдіть в умови величини, які можна зрівняти між собою.

Містом крокує турист, мчить автомобіль, у повітрі летить літак. Одні тіла рухаються швидше за інші. Автомобіль рухається швидше за пішохода, а літак летить швидше за автомобіль. У фізиці величиною, що характеризує швидкість руху тіл, є…

Рух тіл прийнято ділити траєкторією на прямолінійне і криволінійне, і навіть за швидкістю – на рівномірне і нерівномірне. Навіть не знаючи теорії фізики можна зрозуміти, що прямолінійний рух – це рух тіла прямою лінією, а…

Відповідно до навчальної програми з математики діти мають навчитися вирішувати завдання рух ще у початковій школі. Однак завдання такого виду часто викликають у учнів утруднення. Важливо, щоб дитина зрозуміла, що таке власна швидкість, швидкість…

У 7 класі курс алгебри ускладнюється. У програмі з'являється багато цікавих тем. У 7 класі вирішують завдання на різні теми, наприклад: «на швидкість (на рух)», «рух по річці», «на дроби», на порівняння…

Завдання на рух здаються складними лише на перший погляд. Щоб знайти, наприклад, швидкість руху судна проти течії, досить уявити викладену завдання ситуації. Візьміть дитину в невелику подорож річкою, і школяр навчиться.

Рішення дробових завдань у курсі шкільної математики – це початкова підготовка учнів до вивчення математичного моделювання, що є складнішим, але мають широке застосування поняттям. Інструкція 1Дробними є завдання, які…

Швидкість, час та відстань – фізичні величини, взаємопов'язані процесом руху. Розрізняють рівномірний і рівноприскорений (рівноуповільнений рух) тіла. При рівномірному русі швидкість тіла постійна і змінюється з часом. При…

Цей матеріал є системою завдань на тему “Рух”.

Мета: допомогти учням повніше опанувати технологіями розв'язання завдань на цю тему.

Завдання на рух водою.

Дуже часто людині доводиться здійснювати рух по воді: річці, озеру, морю.

Спершу він це робив сам, потім з'явилися плоти, човни, вітрильні кораблі. З розвитком техніки пароплави, теплоходи, атомоходи прийшли на допомогу людині. І завжди його цікавили довжина шляху та час, витрачений на його подолання.

Уявімо, що на вулиці весна. Сонце розтопило сніг. З'явилися калюжі і побігли струмки. Зробимо два паперові кораблики і пустимо один із них у калюжу, а другий – у струмок. Що ж станеться з кожним із корабликів?

У калюжі кораблик стоятиме на місці, а в струмку - попливе, бо вода в ньому "біжить" до нижчого місця і несе його з собою. Те саме відбуватиметься з плотом або човном.

В озері вони стоятимуть на місці, а в річці – пливуть.

Розглянемо перший варіант: калюжа та озеро. Вода в них не рухається і називається стоячої.

Кораблик попливе калюжею лише в тому випадку, якщо ми його підштовхнемо або якщо повіє вітер. А човен почне рухатися в озері за допомогою весел або якщо він оснащений двигуном, тобто за рахунок своєї швидкості. Такий рух називають рухом у стоячій воді.

Чи відрізняється воно від руху дорогою? Відповідь: ні. А це означає, що ми з вами знаємо, як діяти в цьому випадку.

Завдання 1. Швидкість катера на озері дорівнює 16 км/год.

Який шлях пройде катер за 3 години?

Відповідь: 48 км.

Слід запам'ятати, що швидкість катера у стоячій воді називають власною швидкістю.

Завдання 2. Моторний човен за 4 години проплив озером 60 км.

Знайдіть свою швидкість моторного човна.

Відповідь: 15 км/год.

Завдання 3. Скільки часу потрібно човну, власна швидкість якого

дорівнює 28 км/год, щоб пропливти озером 84 км?

Відповідь: 3 години.

Отже, щоб знайти довжину пройденого шляху, необхідно швидкість помножити на якийсь час.

Щоб знайти швидкість, необхідно довжину шляху поділити на якийсь час.

Щоб знайти час, необхідно довжину шляху поділити на швидкість.

Згадаймо паперовий кораблик у струмку. Він плив, бо вода у ньому рухається.

Такий рух називають рухом за течією. А у зворотний бік – рухом проти течії.

Отже, вода у річці рухається, отже має свою швидкість. І називають її швидкістю течії річки. (Як її виміряти?)

Завдання 4. Швидкість течії річки дорівнює 2 км/год. На скільки кілометрів річка відносить

будь-який предмет (тріска, пліт, човен) за 1годину, за 4 години?

Відповідь: 2 км/год, 8 км/год.

Кожен із вас плавав у річці і пам'ятає, що за течією пливти набагато легше, ніж проти течії. Чому? Тому що в один бік річка "допомагає" плисти, а в інший - "заважає".

Ті ж, хто не вміє плавати, можуть уявити ситуацію, коли дме сильний вітер. Розглянемо два випадки:

1) вітер дме в спину,

2) вітер дме в обличчя.

І в тому, і в іншому випадку йти складно. Вітер у спину змушує бігти, отже, швидкість нашого руху збільшується. Вітер в обличчя збиває нас, пригальмовує. Швидкість у своїй зменшується.

Зупинимося на русі за течією річки. Ми вже говорили про паперовий кораблик у весняному струмку. Вода понесе його разом із собою. І човен, спущений на воду, попливе зі швидкістю течії. Але якщо вона має власну швидкість, то вона попливе ще швидше.

Отже, щоб знайти швидкість руху за течією річки, необхідно скласти власну швидкість човна та швидкість течії.

Завдання 5. Власна швидкість катера дорівнює 21 км/год, а швидкість течії річки 4 км/год. Знайдіть швидкість катера за течією річки.

Відповідь: 25км/ч.

Тепер уявімо, що човен повинен плисти проти течії річки. Без мотора або хоча б веселий, течія віднесе її у зворотний бік. Але, якщо надати човну власну швидкість (завести мотор або посадити весляра), течія продовжуватиме відштовхувати її назад і заважатиме рухатися вперед зі своєю швидкістю.

Тому Щоб знайти швидкість човна проти течії, необхідно від власної швидкості відняти швидкість течії.

Завдання 6. Швидкість течії річки дорівнює 3 км/год., а власна швидкість катера 17 км/год.

Знайдіть швидкість катера проти течії.

Відповідь: 14 км/год.

Завдання 7. Власна швидкість теплохода дорівнює 472 км/год, а швидкість течії річки 47 км/год. Знайдіть швидкість теплохода за течією та проти течії.

Відповідь: 51,9 км/год; 42,5 км/год.

Завдання 8. Швидкість моторного човна за течією дорівнює 12,4 км/год. Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії річки 2,8 км/год.

Відповідь: 9,6 км/год.

Завдання 9. Швидкість катера проти течії дорівнює 106 км/год. Знайдіть власну швидкість катера та швидкість за течією, якщо швидкість течії річки 2,7 км/год.

Відповідь: 13,3 км/год; 16 км/год.

Введемо такі позначення:

V с. - Власна швидкість,

V теч. - Швидкість течії,

V за теч. - швидкість за течією,

V пр.теч. - Швидкість проти течії.

Тоді можна записати такі формули:

V no теч = V c + V теч;

V np. теч = V c - V теч.;

Спробуємо зобразити це графічно:

Висновок: різниця швидкостей за течією та проти течії дорівнює подвоєній швидкості течії.

Vno теч - Vnp. теч = 2 Vтеч.

Vтеч = (V течією - Vnp. теч): 2

1) Швидкість катера проти течії дорівнює 23 км/год, а швидкість течії 4 км/год.

Знайдіть швидкість катера за течією.

Відповідь: 31 км/год.

2) Швидкість моторного човна за течією річки дорівнює 14 км/год/ а швидкість течії 3 км/год. Знайдіть швидкість човна проти течії

Відповідь: 8 км/год.

Завдання 10. Визначте швидкості та заповніть таблицю:

* - при рішенні п.6 дивись рис.2.

Відповідь: 1) 15 та 9; 2) 2 та 21; 3) 4 та 28; 4) 13 та 9; 5) 23 та 28; 6) 38 та 4.

Відповідно до навчальної програмі з математики діти повинні навчитися вирішувати завдання рух ще у вихідній школі. Втім завдання такого виду найчастіше викликають у учнів утруднення. Значить, щоб дитина усвідомила, що таке власна швидкість , швидкістьтечії, швидкістьза течією та швидкістьвсупереч течії. Тільки за цієї умови школяр зможе легко вирішувати завдання на рух.

Вам знадобиться

• Калькулятор, ручка

Інструкція

1. Власна швидкість– це швидкістькатери чи іншого автомобіля у статичної воде. Позначте її – V собств. Вода у річці перебуває у русі. Значить, вона має свою швидкістьяка називається швидкістью течії (V теч.)Швидкість катера за течією річки позначте – V за теч., а швидкістьпроти течії - V пр. теч.

2. Тепер запам'ятайте формули, необхідних вирішення завдань рух:V пр. теч.= V прив. - V теч. V за теч. = V прив. + V теч.

3. Виходить, з цих формул, можна зробити такі результаты.Если катер рухається всупереч течії річки, то V собств. = V пр. теч. + V теч. Якщо катер рухається за течією, то V прив. = V за теч. - V теч.

4. Розв'яжемо кілька завдань на рух по річці. Завдання 1. Швидкість катера всупереч течії річки 12,1 км/год. Виявіть власну швидкістькатери, знаючи, що швидкістьтечії річки 2 км/год. Рішення: 12,1 + 2 = 14, 1 (км/год) – власна швидкістькатера. Завдання 2. Швидкість катера за течією річки 16,3 км/год, швидкістьтечії річки 1,9 км/год. Скільки метрів пройшов би це катер за 1 хв., якщо знаходився у стоячій воді? швидкістькатери. Переведемо км/год на м/хв: 14,4/0,06 = 240 (м/хв.). Отже, за 1 хвилину катер пройшов би 240 м. Завдання 3. Два катери вирушили одноразово один одному з 2-х пунктів. 1-й катер рухався за течією річки, а 2-й – всупереч течії. Зустрілися вони за три години. За цей час 1-й катер пройшов 42 км, а 2-й – 39 км. швидкістьвсякого катера, якщо відомо, що швидкістьтечії річки 2 км/год.Рішення: 1) 42 / 3 = 14 (км/год) - швидкістьруху за течією річки першого катера. 2) 39 / 3 = 13 (км/год) - швидкістьруху всупереч течії річки другого катера. 3) 14 – 2 = 12 (км/год) – власна швидкістьпершого катера. 4) 13 + 2 = 15 (км/год) – власна швидкістьдругого катера.

Завдання на рух здаються важкими тільки на перший погляд. Щоб виявити, скажімо, швидкістьруху судна всупереч течії, Досить уявити висловлену завдання обстановку. Візьміть дитину в малу подорож річкою, і школяр навчиться “клацати такі завдання, як горішки”.

Вам знадобиться

• Калькулятор, ручка.

Інструкція

1. Відповідно до нинішньої енциклопедії (dic.academic.ru), швидкість – це коляція поступального руху точки (тіла), чисельно рівна при рівномірному русі відношенню пройденого шляху до проміжного часу t, тобто. V = S/t.

2. Для того щоб виявити швидкість руху якого-небудь судна проти течії, треба знати свою швидкість судна і швидкість течії. Власна швидкість - це швидкість руху судна в стоячій воді, скажімо, в озері. Позначимо її – V собств.Швидкість течії визначається у тому, яку відстань річка відносить предмет за одиницю часу. Позначимо її – V теч.

3. Щоб виявити швидкість руху судна проти течії (V пр. теч.), треба зі своєї швидкості судна відняти швидкість течії. Виходить, отримали формулу: V пр. теч. = V власності. - V теч.

4. Виявимо швидкість руху судна всупереч течії річки, якщо відомо, що власна швидкість судна дорівнює 15,4 км/год, а швидкість течії річки – 3,2 км/год.15,4 – 3,2 = 12,2 (км/год ) – швидкість руху судна проти течії річки.

5. У завданнях руху часто потрібно перевести км/год на м/с. Щоб це зробити, слід згадати, що 1 км = 1000 м, 1 год = 3600 с. Отже, х км/год = х * 1000 м/3600 с = х/3,6 м/с. Виходить, щоб перевести км/год на м/с потрібно розділити на 3,6. Скажімо, 72 км/год = 72:3,6 = 20 м/с. 6.Скажімо, 30 м/с = 30*3,6 = 108 км/год.

6. Переведемо х км/год на м/хв. Для цього нагадаємо, що 1 км = 1000 м, 1 год = 60 хв. Значить, х км/год = 1000 м/60 хв. = х/0,06 м/хв. Отже, щоб перевести км/год на м/хв. необхідно поділити на 0,06. Скажімо, 12 км / год = 200 м / хв. Щоб перевести м / хв. в км/год потрібно помножити на 0,06. Скажімо, 250 м/хв. = 15 км/год

Корисна порада
Не забувайте про те, в яких одиницях ви вимірюєте швидкість.

Зверніть увагу!
Не забудьте про те, в яких одиницях ви вимірюєте швидкість. Щоб перевести км / год в м / с необхідно поділити на 3,6. м/хв. необхідно поділити на 0,06. Щоб перевести м/хв. за км/год потрібно помножити на 0,06.

Корисна порада
Розв'язати завдання рух допомагає малюнок.