Пряма та зворотна пропорційність правило. Урок "пряма та зворотна пропорційні залежності"

Дві величини називаються прямо пропорційнимиякщо при збільшенні однієї з них у кілька разів інша збільшується в стільки ж разів. Відповідно, при зменшенні однієї з них у кілька разів, інша зменшується у стільки ж разів.

Залежність між такими величинами – пряма пропорційна залежність. Приклади прямої пропорційної залежності:

1) при постійній швидкості пройдений шлях прямо пропорційно залежить від часу;

2) периметр квадрата та його сторона - прямо пропорційні величини;

3) вартість товару, купленого за однією ціною, прямо пропорційно залежить від кількості.

Щоб відрізнити пряму пропорційну залежність від зворотної можна використовувати прислів'я: «Що далі лісом, то більше дров».

Завдання прямо пропорційні величини зручно вирішувати за допомогою пропорції.

1) Для виготовлення 10 деталей потрібно 3,5 кг металу. Скільки металу піде на виготовлення 12 таких деталей?

(Розмірковуємо так:

1. У заповненому стовпці стрілку ставимо у напрямку від більшого числа до меншого.

2. Чим більше деталей, тим більше металу потрібно їх виготовлення. Отже, це прямо пропорційна залежність.

Нехай х кг металу потрібно виготовлення 12 деталей. Складаємо пропорцію (в напрямку від початку стрілки до її кінця):

12:10 = х: 3,5

Щоб знайти , треба твір крайніх членів розділити на відомий середній член:

Отже, знадобиться 4,2 кг металу.

Відповідь: 4,2 кг.

2) За 15 метрів тканини заплатили 1680 рублів. Скільки коштує 12 метрів такої тканини?

(1. У заповненому стовпці стрілку ставимо у напрямі від більшого числа до меншого.

2. Що менше тканини купують, то менше за неї треба заплатити. Отже, це прямо пропорційна залежність.

3. Тому друга стрілка однаково спрямована першою).

Нехай х рублів коштують 12 метрів тканини. Складаємо пропорцію (від початку стрілки до її кінця):

15:12 = 1680:х

Щоб знайти невідомий крайній член пропорції, добуток середніх членів ділимо на відомий крайній член пропорції:

Значить, 12 метрів коштують 1344 рублі.

Відповідь: 1344 рублі.

приклад

Коефіцієнт пропорційності

Постійне відношення пропорційних величин називається коефіцієнтом пропорційності. Коефіцієнт пропорційності показує, скільки одиниць однієї величини посідає одиницю інший .

Пряма пропорційність

Пряма пропорційність- функціональна залежність , коли він певна величина залежить від іншої величини в такий спосіб, що й ставлення залишається постійним. Інакше кажучи, ці змінні змінюються пропорційно, у рівних частках, тобто, якщо аргумент змінився вдвічі у якомусь напрямі, те й функція змінюється також удвічі у тому напрямі.

Математично пряма пропорційність записується у вигляді формули:

f(x) = ax,a = const

Зворотня пропорційність

Зворотня пропорційність- це функціональна залежність, при якій збільшення незалежної величини (аргументу) викликає пропорційне зменшення залежної величини (функції).

Математично зворотна пропорційність записується у вигляді формули:

Властивості функції:

Джерела

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Другий закон Ньютона
• Кулонівський бар'єр

Дивитись що таке "Пряма пропорційність" в інших словниках:

пряма пропорційність- - [А.С.Гольдберг. Англо-російський енергетичний словник. 2006 р.] Тематики енергетика загалом EN direct ratio … Довідник технічного перекладача

пряма пропорційність- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. direct proportionality vok. direkte Proportionalität, f rus. пряма пропорційність f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

ПРОПОРЦІОНАЛЬНІСТЬ- (Від латів. proportionalis пропорційний, пропорційний). Пропорційність. Словник іншомовних слів, що увійшли до складу російської мови. Чудінов А.Н., 1910. ПРОПОРЦІОНАЛЬНІСТЬ відлат. proportionalis, пропорційний. Пропорційність. Пояснення 25000… … Словник іноземних слів російської мови

ПРОПОРЦІОНАЛЬНІСТЬ- ПРОПОРЦІОНАЛЬНІСТЬ, пропорційності, мн. ні, дружин. (Книжковий.). 1. відволікати. сущ. до пропорційний. Пропорційність елементів. Пропорційність статури. 2. Така залежність між величинами, коли вони є пропорційною (див. пропорційний …). Тлумачний словник Ушакова

Пропорційність- Пропорційними називаються дві взаємно залежні величини, якщо відношення їх значень залишається незмінним. Зміст 1 Приклад 2 Коефіцієнт пропорційності …

ПРОПОРЦІОНАЛЬНІСТЬ- ПРОПОРЦІОНАЛЬНІСТЬ, і, дружин. 1. див. пропорційний. 2. У математиці: така залежність між величинами, при якій збільшення однієї з них тягне за собою зміну іншої в стільки ж разів. Пряма п. (при якій зі збільшенням однієї величини… … Тлумачний словник Ожегова

пропорційність- та; ж. 1. до Пропорційний (1 зн.); пропорційність. П. частин. П. статури. П. представництва у парламенті. 2. Матем. Залежність між величинами, що пропорційно змінюються. Коефіцієнт пропорційності. Пряма п. (при якій з ... Енциклопедичний словник

I. Прямо пропорційні величини.

Нехай величина yзалежить від величини х. Якщо при збільшенні ху кілька разів величина узбільшується в стільки ж разів, то такі величини хі уназиваються прямо пропорційними.

приклади.

1 . Кількість купленого товару та вартість покупки (при фіксованій ціні однієї одиниці товару – 1 штуки або 1 кг тощо). У скільки разів більше товару купили, у стільки разів більше й заплатили.

2 . Пройдений шлях і витрачений нею час (за постійної швидкості). У скільки разів довша дорога, у стільки разів більше витратимо часу на те, щоб її пройти.

3 . Обсяг будь-якого тіла та його маса. ( Якщо один кавун у 2 рази більший за інший, то і маса його буде в 2 рази більша)

ІІ. Властивість прямої пропорційності величин.

Якщо дві величини прямо пропорційні, то відношення двох довільно взятих значень першої величини дорівнює відношенню двох відповідних значень другої величини.

Завдання 1.Для малинового варення взяли 12 кгмалини та 8 кгцукру. Скільки цукру потрібно, якщо взяли 9 кгмалини?

Рішення.

Міркуємо так: нехай буде потрібно х кгцукру на 9 кгмалини. Маса малини і маса цукру - прямо пропорційні величини: у скільки разів менше малини, у стільки ж разів потрібно менше цукру. Отже, відношення взятої (за масою) малини ( 12:9 ) буде дорівнює відношенню взятого цукру ( 8:х). Отримуємо пропорцію:

12: 9=8: х;

х = 9 · 8: 12;

х = 6. Відповідь:на 9 кгмалини потрібно взяти 6 кгцукру.

Рішення завданняможна було оформити і так:

Нехай на 9 кгмалини потрібно взяти х кгцукру.

(Стрілки на малюнку спрямовані в один бік, а вгору чи вниз — не має значення. Сенс: у скільки разів число 12 більше числа 9 , у стільки ж разів число 8 більше числа х, Т. е. тут пряма залежність).

Відповідь:на 9 кгмалини треба взяти 6 кгцукру.

Завдання 2.Автомобіль за 3:00проїхав відстань 264 км. За який час він проїде 440 кмякщо буде їхати з тією ж швидкістю?

Рішення.

Нехай за х годинавтомобіль пройде відстань 440 км.

Відповідь:автомобіль пройде 440 км за 5 годин.

Завдання 3.З труби надходить вода у басейн. За 2 годинивона заповнює 1/5 басейну. Яка частина басейну заповнюється водою за 5:00?

Рішення.

Відповідаємо на запитання завдання: 5:00наповниться 1/хчастина басейну. (Весь басейн приймається за одну цілу).

Виконав: Чепкасів Родіон

учень 6 «Б» класу

МБОУ «ЗОШ № 53»

м. Барнаул

Керівник: Буликіна О.Г.

вчитель математики

МБОУ «ЗОШ № 53»

м. Барнаул

Вступ. 1

Відносини та пропорції. 3

Пряма та зворотна пропорційні залежності. 4

Застосування прямої та зворотної пропорційної 6

залежності під час вирішення різних завдань.

Висновок. 11

Література 12

Вступ .

Слово пропорція походить від латинського слова proportion, що означає взагалі пропорційність, вирівняність частин (певне співвідношення частин між собою). У давнину вчення про пропорції було у великій пошані у піфагорійців. З пропорціями вони пов'язували думки про порядок і красу в природі, про співзвучні акорди в музиці та гармонію у всесвіті. Деякі види пропорцій вони називали музичними чи гармонійними.

Ще в давнину людиною було виявлено, що всі явища в природі пов'язані один з одним, що все перебуває в безперервному русі, зміні, і, будучи вираженим числом, виявляє дивовижні закономірності.

Піфагорійці та його послідовники всьому сущому у світі шукали числове вираз. Ними було виявлено; що математичні пропорції лежать основу музики (ставлення довжини струни до висоті тону, відносини між інтервалами, співвідношення звуків в акордах, дають гармонійне звучання). Піфагорійці намагалися математично обґрунтувати ідею єдності світу, стверджували, що в основі світобудови лежать симетричні геометричні форми. Піфагорійці шукали математичне обґрунтування краси.

Слідом за піфагорійцями середньовічний вчений Августин назвав красу "числовою рівністю". Філософ-схоласт Бонавентура писав: "Краси і насолоди немає без пропорційності, пропорційність ж перш за все існує в числах. Необхідно, щоб все піддавалося числення". Про використання пропорції в мистецтві Леонардо да Вінчі писав у своєму трактаті про живопис: "Живописець втілює у формі пропорції ті самі закономірності, що таяться в природі, які у формі числового закону за вченим".

Пропорціями користувалися при вирішенні різних завдань і в давнину та в середні віки. Певні типи завдань тепер легко і швидко вирішуються з допомогою пропорцій. Пропорції і пропорційність застосовувалися і застосовуються у математиці, а й у архітектурі, мистецтві. Пропорційність в архітектурі та мистецтві означає дотримання певних співвідношень між розмірами різних частин будівлі, фігури, скульптури чи іншого витвору мистецтв. Пропорційність у таких випадках є умовою правильної та красивої побудови та зображення

У своїй роботі я намагався розглянути застосування прямої та зворотної пропорційної залежностей у різних галузях навколишнього життя, простежити зв'язок із навчальними предметами через завдання.

Відносини та пропорції.

Частка двох чисел називається ставленнямцих чисел.

Ставлення показує, у скільки разів перше число більше за друге або яку частину перше число становить від другого.

Завдання.

До магазину привезли 2,4 т груш та 3,6 т яблук. Яку частину фруктів складають груші?

Рішення . Знайдемо, скільки всього привезли фруктів: 2,4+3,6=6(т). Щоб знайти якусь частину привезених фруктів складають груші, складемо відношення 2,4:6 =. Відповідь також можна записати у вигляді десяткового дробу або у відсотках: = 0,4 = 40 %.

Взаємно зворотніназивають числа, твори яких одно 1. Тому відносини називають зворотним відношенню.

Розглянемо два рівні відносини: 4,5:3 і 6:4. Поставимо між ними знак рівності та отримаємо пропорцію: 4,5:3=6:4.

Пропорція- Це рівність двох відносин: a: b = c: d або = , де a і d – крайні члени пропорції, c та b – середні члени(Усі члени пропорції відмінні від нуля).

Основна властивість пропорції:

у правильній пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів.

Застосувавши переміщувальну властивість множення, отримаємо, що у правильній пропорції можна міняти місцями крайні члени чи середні члени. Пропорції також будуть вірними.

Використовуючи основну властивість пропорції, можна шукати її невідомий член, якщо інші члени відомі.

Щоб знайти невідомий крайній член пропорції, треба перемножити середні члени і поділити відомий крайній член. x : b = c : d , x =

Щоб знайти невідомий середній член пропорції, треба перемножити крайні члени і поділити відомий середній член. a : b = x : d , x = .

Пряма та зворотні пропорційні залежності.

Значення двох різних величин можуть взаємно залежати друг від друга. Так, площа квадрата залежить від довжини його сторони, і назад - довжина сторони квадрата залежить від його площі.

Дві величини називають пропорційними, якщо зі збільшенням

(зменшення) однієї з них у кілька разів, інша збільшується (зменшується) у стільки ж разів.

Якщо дві величини прямо пропорційні, відносини відповідних значень цих величин рівні.

приклад прямої пропорційної залежності .

На заправній станції 2 л бензину важать 1,6 кг. Скільки будуть важити 5 л бензину?

Рішення:

Вага гасу пропорційна його обсягу.

2л - 1,6 кг

5л - х кг

2: 5 = 1,6: х,

х = 5 * 1,6 х = 4

Відповідь: 4 кг.

Тут ставлення ваги обсягу залишається незмінним.

Дві величини називаються обернено пропорційними, якщо при збільшенні (зменшенні) однієї з них у кілька разів, інша зменшується (збільшується) у стільки ж разів.

Якщо величини обернено пропорційні, то відношення значень однієї величини дорівнює зворотному відношенню відповідних значень іншої величини.

П рімерзворотної пропорційної залежності.

Два прямокутники мають однакову площу. Довжина першого прямокутника 3,6 м, а ширина 2,4 м. Довжина другого прямокутника 4,8 м. Знайдемо ширину другого прямокутника.

Рішення:

1 прямокутник 3,6 м 2,4 м

2 прямокутник 4,8 м х м

3,6 м х м

4,8 м 2,4 м

х = 3,6 * 2,4 = 1,8 м

Відповідь: 1,8 м.

Як бачимо, завдання на пропорційні величини можна розв'язувати за допомогою пропорцій.

Не всякі дві величини є прямо пропорційними або обернено пропорційними. Наприклад, зростання дитини збільшується зі збільшенням її віку, але ці величини є пропорційними, оскільки за подвоєння віку зростання дитини не подвоюється.

Практичне застосування прямої та зворотної пропорційної залежності.

Завдання №1

У шкільній бібліотеці 210 підручників з математики, що становить 15% всього бібліотечного фонду. Скільки всього книг у бібліотечному фонді?

Рішення:

Усього підручників - ? - 100%

Математики – 210 -15%

15% 210 уч.

Х = 100 * 210 = 1400 підручників

100% х уч. 15

Відповідь: 1400 підручників.

Завдання №2

Велосипедист за 3 години проїжджає 75 км. За який час велосипедист проїде 125 км із тією самою швидкістю?

Рішення:

3 год – 75 км

Ч – 125 км

Час та відстань є прямо пропорційними величинами, тому

3: х = 75: 125,

х=
,

х = 5.

Відповідь: за 5 год.

Завдання №3

8 однакових труб заповнюють басейн за 25 хвилин. За скільки хвилин заповнять басейн 10 труб?

Рішення:

8 труб – 25 хвилин

10 труб -? хвилин

Кількість труб обернено пропорційно часу, тому

8: 10 = х: 25,

х =

х = 20

Відповідь: за 20 хвилин.

Завдання № 4

Бригада із 8 робочих виконує завдання за 15 днів. Скільки робітників зможе виконати завдання за 10 днів, працюючи з тією самою продуктивністю?

Рішення:

8 робітників – 15 днів

Робітників - 10 днів

Кількість робочих назад пропорційна кількості днів, тому

х: 8 = 15: 10,

х=
,

х = 12.

Відповідь: 12 робітників.

Завдання № 5

З 5,6 кг помідорів одержують 2 л соусу. Скільки літрів соусу можна отримати із 54 кг помідорів?

Рішення:

5,6 кг – 2 л

54 кг -? л

Кількість кілограмів помідорів прямо пропорційна кількості соусу, що отримується, тому

5,6: 54 = 2: х,

х =
,

х = 19.

Відповідь: 19 л.

Завдання №6

Для опалення будівлі школи заготовлено вугілля на 180 днів за норми витрати

0,6 т вугілля щодня. На скільки днів вистачить цього запасу, якщо його витрачати щодня по 0,5 т?

Рішення:

Кількість днів

Норма витрат

Кількість днів тому пропорційна нормі витрати вугілля, тому

180: х = 0,5: 0,6,

х = 180 * 0,6: 0,5,

х = 216.

Відповідь: на 216 днів.

Завдання № 7

У залізняку на 7 частин заліза припадає 3 частини домішок. Скільки тонн домішок у руді, що містить 73,5 т заліза?

Рішення:

Кількість частин

Маса

Залізо

73,5

Домішки

Кількість частин прямо пропорційно масі, тому

7: 73,5 = 3: x.

х = 73,5 * 3: 7,

х = 31,5.

Відповідь: 31,5 т

Завдання № 8

Автомобіль проїхав 500 км, витративши 35 л бензину. Скільки літрів бензину потрібно проїхати 420 км?

Рішення:

Відстань, км

Бензин, л

Відстань прямо пропорційна витрачанню бензину, тому

500: 35 = 420: х,

х = 35 * 420: 500,

х = 29,4.

Відповідь: 29,4 л

Завдання № 9

За 2 години зловили 12 карасів. Скільки карасів зловлять за 3:00?

Рішення:

Кількість карасів залежить від часу. Ці величини не є ні прямо пропорційними, ні обернено пропорційними.

Відповідь: відповіді немає.

Завдання №10

Гірничорудному підприємству потрібно закупити на певну суму грошей 5 нових машин за ціною 12 тис. рублів за одну. Скільки таких машин зможе купити підприємство, якщо ціна за одну машину стане 15 тис. рублів?

Рішення:

Кількість машин, шт.

Ціна, тис. руб.

Кількість машин назад пропорційна вартості, тому

5: х = 15: 12,

х = 5 * 12:15,

х = 4.

Відповідь: 4 машини.

Завдання № 11

В місті N на площі P знаходиться магазин, господар якого настільки суворий, що за запізнення віднімає із заробітної плати 70 рублів за 1 запізнення на день. В одному відділі працюють дві дівчини Юля та Наташа. Їхня заробітна плата залежить від кількості робочих днів. Юля за 20 днів отримала 4100 рублів, а Наташа за 21 день отримати мала б більше, але вона запізнювалася 3 дні поспіль. Скільки карбованців отримає Наталя?

Рішення:

Робочі дні

Зарплата, руб.

Юля

4100

Наталка

Зарплата прямо пропорційна кількості робочих днів, тому

20: 21 = 4100: х,

х = 4305.

4305 руб. мала отримати Наташа.

4305 - 3 * 70 = 4095 (руб.)

Відповідь: Наталя отримає 4095 руб.

Завдання № 12

Відстань між двома містами на карті дорівнює 6 см. Знайдіть відстань між цими містами на місцевості, якщо масштаб карти 1:250000.

Рішення:

Позначимо відстань між містами на місцевості через х (у сантиметрах) і знайдемо відношення довжини відрізка на карті до відстані на місцевості, яка дорівнює масштабу карти: 6: х = 1: 250000,

х = 6 * 250000,

х = 1500000.

1500000 см = 15 км

Відповідь: 15 км.

Завдання № 13

4000 г розчину міститься 80 г солі. Яка концентрація солі у даному розчині?

Рішення:

Маса, г

Концентрація, %

Розчин

4000

Сіль

4000: 80 = 100: х,

х =
,

х = 2.

Відповідь: концентрація солі становить 2%.

Завдання № 14

Банк надає кредит під 10% річних. Ви отримали кредит 50 000 рублів. Яку суму Ви маєте повернути банку за рік?

Рішення:

50 000 руб.

100%

х руб.

50000: х = 100: 10,

х = 50000 * 10:100,

х = 5000.

5000 руб. складає 10%.

50000 + 5000 = 55000 (руб.)

Відповідь: за рік банку повернуть 55 000 руб.

Висновок.

Як бачимо з наведених прикладів, пряма та зворотна пропорційні залежності застосовні в різних сферах життя:

економіці,

Торгівля,

На виробництві та промисловості,

Шкільного життя,

Кулінарії,

Будівництво та архітектура.

Спорт,

Тваринництво,

Топографії,

Фізики,

Хімії та ін.

У російській мові також зустрічаються прислів'я та приказки, що встановлюють пряму та зворотну залежності:

Як гукнеться, так і відгукнеться.

Чим вищий пень, тим вища тінь.

Що більше народу, то менше кисню.

І готово, та безглуздо.

Математика – одна з найдавніших наук, виникла вона на основі потреб та потреб людства. Пройшовши історію становлення ще з Стародавньої Греції, вона досі залишається актуальною та необхідною у повсякденному житті будь-якої людини. Поняття про пряму і зворотну пропорційну залежність відомі ще з давніх часів, оскільки саме закони пропорції рухали архітекторами при будь-якій споруді або створенні будь-якої скульптури.

Знання про пропорції широко використовуються у всіх сферах життя і діяльності людини – без них не обійтися при написанні картин (пейзажів, натюрмортів, портретів та інше), також мають широке поширення серед архітекторів та інженерів, – загалом важко собі уявити створення хоч чого -небудь без використання знань про пропорції та їх співвідношення.

Література

Математика-6, Н.Я. Віленкін та ін.

Алгебра-7, Г.В. Дорофєєв та ін.

Математика-9, ДІА-9, за редакцією Ф.Ф. Лисенка, С.Ю. Кулабухова

Математика-6, дидактичні матеріали, П.В. Чулков, А.Б. Уединов

Завдання з математики для 4-5 класів, І.В.Баранова та ін, М. «Освіта»1988

Збірник завдань та прикладів з математики 5-6 клас, Н.А. Терешин,

Т.М. Терешіна, М. «Акваріум» 1997

Про плюси навчання за допомогою відеоуроків можна говорити нескінченно. По-перше, вони викладають думки чітко та зрозуміло, послідовно та структуровано. По-друге, вони займають певний фіксований час, не є, найчастіше розтягнутими та стомлюючими. По-третє, вони більш захоплюючі для школярів, ніж звичайні уроки, до яких вони звикли. Переглянути їх можна жому у спокійній обстановці.

У багатьох завданнях з курсу математики учні 6 класу стикатимуться з прямою та зворотною пропорційною залежністю. Перш, ніж почати вивчення цієї теми, варто згадати, що ж таке пропорції, і якою основною властивістю вони мають.

Темі "Пропорції" присвячений попередній відеоурок. Цей же є логічним продовженням. Варто зазначити, що тема досить важлива і найпоширеніша. Її варто як слід зрозуміти раз і назавжди.

Щоб показати важливість теми, відеоурок починається із завдання. Умова з'являється на екрані та озвучується диктором. Запис даних наводиться у вигляді деякої схеми, щоб школяр, який переглядає відеозапис, міг якнайкраще зрозуміти. Буде краще, якщо спочатку він буде дотримуватися такої форми запису.

Невідоме, як це прийнято здебільшого, дізнається латинською літерою x. Для його знаходження необхідно в першу чергу перемножити значення навхрест. Таким чином, вийде рівність двох співвідношень. Це говорить про те, що справа має з пропорціями і варто згадати основну їхню властивість. Звертаємо увагу, що всі величини вказані в однаковій одиниці виміру. В іншому випадку необхідно було привести їх до одного виміру.

Переглянувши метод вирішення відеозапису, не повинно виникнути жодних труднощів при подібних завданнях. Диктор коментує кожен хід, пояснює всі дії, нагадує вивчений матеріал, що використовується.

Відразу після перегляду першої частини відеоуроку «Пряма та зворотна пропорційні залежності» можна запропонувати школяреві вирішити це завдання без допомоги підказок. Після цього можна запропонувати альтернативну іншу задачу.

Залежно від розумових здібностей учня, можна поступово збільшувати складності наступних завдань.

Після першої розглянутої задачі наводиться визначення прямо пропорційних величин. Визначення зачитується диктором. Основне поняття виділено червоним.

Далі демонструється ще одне завдання, на основі якого пояснюється зворотна пропорційна залежність. Ці поняття школяру найкраще записати у зошиті. У разі потреби перед контрольними роботами, учень може легко знайти всі правила і визначення і перечитати.

Переглянувши цей відеозапис, 6-класник зрозуміє, яким чином потрібно використовувати пропорції в тих чи інших завданнях. Це досить важлива тема, яку не можна пропустити в жодному разі. Якщо школяр не пристосований сприймати матеріал, який вчитель підносить під час уроку серед інших учнів, то подібні навчальні ресурси стануть відмінним порятунком!