Для того, щоб через три якісь точки простору можна було провести єдину площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій.

Розглянемо точки М 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) у загальній декартовій системі координат.

Для того щоб довільна точка М(x, y, z) лежала в одній площині з точками М 1 , М 2 , М 3 необхідно, щоб вектори були компланарні.

(
) = 0

Таким чином,

Рівняння площини, що проходить через три точки:

Рівняння площини за двома точками та вектором, колінеарною площиною.

Нехай задані точки М 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) і вектор
.

Складемо рівняння площини, що проходить через дані точки М 1 і М 2 і довільну точку М(х, у, z) паралельно вектору .

Вектори
та вектор
мають бути компланарні, тобто.

(
) = 0

Рівняння площини:

Рівняння площини по одній точці та двох векторів,

колінеарні площині.

Нехай задані два вектори
і
, колінеарні площини. Тоді для довільної точки М(х, у,z), що належить площині, вектори
мають бути компланарними.

Рівняння площини:

Рівняння площини за точкою та вектором нормалі .

Теорема. Якщо у просторі задана точка М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ), то рівняння площини, що проходить через точку М 0 перпендикулярно вектору нормалі (A, B, C) має вигляд:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Доведення. Для довільної точки М(х, у, z), що належить площині, складемо вектор. Т.к. вектор - вектор нормалі, то він перпендикулярний площині, а, отже, перпендикулярний і вектору
. Тоді скалярний твір

= 0

Таким чином, отримуємо рівняння площини

Теорему доведено.

Рівняння площини у відрізках.

Якщо у загальному рівнянні Ах + Ву + Сz + D = 0 поділити обидві частини на (-D)

,

замінивши
, Отримаємо рівняння площини у відрізках:

Числа a, b, c є точками перетину площини відповідно до осей х, у, z.

Рівняння плоскості у векторній формі.

де

- радіус- вектор поточної точки М(х, у, z),

Одиничний вектор, що має напрямок, перпендикуляра, опущеного на площину початку координат.

,  та  - кути, утворені цим вектором з осями х, у, z.

p - Довжина цього перпендикуляра.

У координатах це рівняння має вигляд:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Відстань від точки до площини.

Відстань від довільної точки М 0 (х 0, у 0, z 0) до площини Ах + Ву + Сz + D = 0 дорівнює:

приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4; -3; 12) - основа перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.

Таким чином, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, скористаємося формулою:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через дві точки P(2; 0; -1) та

Q(1; -1; 3) перпендикулярно до площини 3х + 2у – z + 5 = 0.

Вектор нормалі до площини 3х + 2у – z + 5 = 0
паралельний шуканій площині.

Отримуємо:

приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через точки А(2, -1, 4) та

В(3, 2, -1) перпендикулярно до площини х + у + 2z – 3 = 0.

Шукане рівняння площини має вигляд: A x+ B y+ C z+ D = 0, вектор нормалі до цієї площини (A, B, C). Вектор
(1, 3, -5) належить площині. Задана нам площина, перпендикулярна до шуканої має вектор нормалі. (1, 1, 2). Т.к. точки А і В належать обом площинам, а площини взаємно перпендикулярні, то

Таким чином, вектор нормалі (11, -7, -2). Т.к. точка А належить шуканої площині, її координати повинні задовольняти рівнянню цієї площині, тобто. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Отже, отримуємо рівняння площини: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4, -3, 12) - основа перпендикуляра, опущеного початку координат на цю площину.

Знаходимо координати вектора нормалі
= (4, -3, 12). Шукане рівняння площини має вигляд: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Для знаходження коефіцієнта D підставимо в рівняння координати точки Р:

16+9+144+D=0

Отже, отримуємо шукане рівняння: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

приклад.Дано координати вершин піраміди А 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Знайти довжину ребра А1А2.

Знайти кут між ребрами А1А2 і А1А4.

Знайти кут між ребром А1А4 і гранню А1А2А3.

Спочатку знайдемо вектор нормалі до грані А1А2А3 як векторний добуток векторів
і
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Знайдемо кут між вектором нормалі та вектором
.

-4 – 4 = -8.

Шуканий кут  між вектором і площиною дорівнюватиме  = 90 0 - .

Знайти площу грані А 1 А 2 А 3 .

Знайти обсяг піраміди.

Знайти рівняння площини А1А2А3.

Скористаємося формулою рівняння площини, що проходить через три точки.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

При використанні комп'ютерної версії “ Курс вищої математики” можна запустити програму, яка вирішить розглянутий вище приклад для будь-яких координат вершин піраміди.

Для запуску програми двічі клацніть на значку:

У вікні програми, що відкрилося, введіть координати вершин піраміди і, натисніть Enter. Таким чином, по черзі можуть бути отримані усі пункти рішення.

Примітка: Для запуску програми необхідно, щоб на комп'ютері була встановлена ​​програма Maple (Waterloo Maple Inc.) будь-якої версії, починаючи з MapleV Release 4.

Рівняння площини. Як скласти рівняння площини?
Взаємне розташування площин. Завдання

Просторова геометрія не набагато складніша за «плоску» геометрію, і наші польоти в просторі починаються з цієї статті. Для засвоєння теми необхідно добре розібратися в векторахКрім того, бажано бути знайомим з геометрією площини – буде багато схожого, багато аналогій, тому інформація перетравиться значно краще. У серії моїх уроків 2D-світ відкривається статтею Рівняння прямої на площині. Але зараз Бетмен зійшов із плоского екрану телевізора і стартує з космодрому Байконур.

Почнемо з креслень та позначень. Схематично площину можна намалювати як паралелограма, що створює враження простору:

Площина нескінченна, але ми маємо можливість зобразити лише її шматочок. На практиці, крім паралелограма, також промальовують овал або навіть хмарку. Мені з технічних причин зручніше зображати площину саме так і саме в такому положенні. Реальні площини, які ми розглянемо в практичних прикладах, можуть розташовуватися як завгодно – подумки візьміть креслення до рук і покрутіть його у просторі, додавши площині будь-який нахил, будь-який кут.

Позначення: площині прийнято позначати маленькими грецькими літерами , мабуть, щоб не плутати їх з прямий на площиніабо з прямий у просторі. Я звик використовувати букву. На кресленні саме буква "сигма", а зовсім не дірочка. Хоча, дірка площина, це, безумовно, дуже кумедно.

У ряді випадків для позначення площин зручно використовувати самі грецькі літери з нижніми підрядковими індексами, наприклад, .

Очевидно, що площина однозначно визначається трьома різними точками, що не лежать на одній прямій. Тому досить популярні трибуквенні позначення площин – за точками, що належать їм, наприклад, і т.д. Нерідко букви укладають у круглі дужки: щоб не переплутати площину з іншою геометричною фігурою.

Для досвідчених читачів наведу меню швидкого доступу:

• Як скласти рівняння площини за точкою та двома векторами?
• Як скласти рівняння площини за точкою та вектором нормалі?

і ми не будемо нудитися довгими очікуваннями:

Загальне рівняння площини

Загальне рівняння площини має вигляд , де коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю.

Ряд теоретичних викладок і практичних завдань справедливі як для звичного ортонормованого базису, так і для афінного базису простору (якщо олія - ​​олійна, поверніться до уроку Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів). Для простоти будемо вважати, що всі події відбуваються в ортонормованому базисі та декартовій прямокутній системі координат.

А тепер трохи потренуємо просторову уяву. Нічого страшного, якщо у вас воно погане, зараз трохи розвинемо. Навіть для гри на нервах потрібні тренування.

У загальному випадку, коли числа не дорівнюють нулю, площина перетинає всі три координатні осі. Наприклад, так:

Ще раз повторюю, що площина нескінченно продовжується на всі боки, і у нас є можливість зобразити тільки її частину.

Розглянемо найпростіші рівняння площин:

Як розуміти це рівняння? Вдумайтеся: «зет» ЗАВЖДИ, за будь-яких значень «ікс» і «ігрок» дорівнює нулю. Це рівняння «рідної» координатної площини. Справді, формально рівняння можна переписати так: , звідки добре видно, що нам по барабану, які значення набувають «ікс» та «ігрок», важливо, що «зет» дорівнює нулю.

Аналогічно:
- Рівняння координатної площини;
- Рівняння координатної площини.

Трохи ускладнимо завдання, розглянемо площину (тут і далі в параграфі припускаємо, що числові коефіцієнти не дорівнюють нулю). Перепишемо рівняння як: . Як його розуміти? «Ікс» ЗАВЖДИ, за будь-яких значень «гравець» і «зет» дорівнює деякому числу . Ця площина паралельна координатній площині. Наприклад, площина паралельна площині проходить через точку .

Аналогічно:
– рівняння площини, яка паралельна координатній площині;
- Рівняння площини, яка паралельна координатній площині .

Додамо членів: . Рівняння можна переписати так: тобто «зет» може бути будь-яким. Що це означає? "Ікс" і "ігрок" пов'язані співвідношенням , яке прокреслює в площині деяку пряму (дізнаєтеся рівняння прямої на площині?). Оскільки "зет" може бути будь-яким, то ця пряма "тиражується" на будь-якій висоті. Таким чином, рівняння визначає площину, паралельну координатній осі

Аналогічно:
– рівняння площини, яка паралельна координатній осі;
- Рівняння площини, яка паралельна координатній осі .

Якщо вільні члени нульові, то площини безпосередньо проходитимуть через відповідні осі. Наприклад, класична "пряма пропорційність": . Накресліть у площині пряму і подумки розмножте її вгору і вниз (оскільки «зет» будь-яке). Висновок: площина, задана рівнянням, проходить через координатну вісь.

Завершуємо огляд: рівняння площини проходить через початок координат. Ну, тут очевидно, що точка задовольняє даному рівнянню.

І, нарешті, випадок, який зображений на кресленні: – площина дружить з усіма координатними осями, при цьому вона завжди відсікає трикутник, який може розташовуватися в будь-якому з восьми октантів.

Лінійні нерівності у просторі

Для розуміння інформації необхідно добре вивчити лінійні нерівності на площині, оскільки багато речей буду схожі. Параграф матиме короткий оглядовий характер із кількома прикладами, оскільки матеріал практично зустрічається досить рідко.

Якщо рівняння задає площину, то нерівності
задають напівпростору. Якщо нерівність несувора (два останніх у списку), то рішення нерівності крім напівпростору входить і сама площина.

Приклад 5

Знайти одиничний нормальний вектор площині .

Рішення: Одиничний вектор - це вектор, довжина якого дорівнює одиниці. Позначимо цей вектор через . Цілком зрозуміло, що вектори колінеарні:

Спочатку з рівняння площині знімемо вектор нормалі: .

Як знайти одиничний вектор? Для того щоб знайти одиничний вектор, потрібно кожнукоординату вектора розділити на довжину вектора.

Перепишемо вектор нормалі у вигляді та знайдемо його довжину:

Відповідно до вищесказаного:

Відповідь:

Перевірка: , Що потрібно перевірити.

Читачі, які уважно вивчили останній параграф уроку, мабуть, помітили, що координати одиничного вектора – це точно напрямні косинуси вектора:

Відвернемося від розібраного завдання: коли вам дано довільний ненульовий вектор, і за умовою потрібно знайти його напрямні косинуси (див. останні завдання уроку Скалярний добуток векторів), то ви, по суті, знаходите і одиничний вектор, колінеарний даному. Фактично два завдання в одному флаконі.

Необхідність знайти одиничний вектор нормалі виникає у деяких завданнях математичного аналізу.

З вивуджування нормального вектора розібралися, тепер відповімо на протилежне питання:

Як скласти рівняння площини за точкою та вектором нормалі?

Цю жорстку конструкцію вектора нормалі та точки добре знає мету для гри в дартс. Будь ласка, витягніть руку вперед і подумки виберіть довільну точку простору, наприклад маленьку кішечку в серванті. Очевидно, що через цю точку можна провести єдину площину перпендикулярну вашій руці.

Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору виражається формулою:

Можна задавати різними способами (одною точкою та вектором, двома точками та вектором, трьома точками та ін.). Саме з огляду на це рівняння площини може мати різні види. Також при дотриманні певних умов площини можуть бути паралельними, перпендикулярними, такими, що перетинаються і т.д. Про це і поговоримо у цій статті. Ми навчимося складати загальне рівняння площини і не лише.

Нормальний вид рівняння

Припустимо, є простір R 3 який має прямокутну координатну систему XYZ. Задамо вектор α, який буде випущений з початкової точки О. Через кінець вектора α проведемо площину П, яка буде перпендикулярна йому.

Позначимо на П довільну точку Q = (х, у, z). Радіус-вектор точки Q підпишемо літерою. При цьому довжина вектора дорівнює р=IαI і Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Це одиничний вектор, спрямований убік, як і вектор α. α, β і γ - це кути, які утворюються між вектором і позитивними напрямками осей простору х, у, z відповідно. Проекція будь-якої точки Q? на вектор ? є постійною величиною, яка дорівнює р: (р,?) = р(р?0).

Зазначене рівняння має сенс, коли р = 0. Єдине, площина П у цьому випадку перетинатиме точку О (α=0), яка є початком координат, і одиничний вектор Ʋ, випущений з точки О, буде перпендикулярний до П, незважаючи на його напрям, що означає, що вектор Ʋ визначається з точність до знака. Попереднє рівняння є рівнянням нашої поверхні П, вираженим у векторній формі. А ось у координатах його вигляд буде таким:

Р тут більше або дорівнює 0. Ми знайшли рівняння площини у просторі у нормальному вигляді.

Загальне рівняння

Якщо рівняння в координатах помножимо на будь-яке число, яке не дорівнює нулю, отримаємо рівняння, еквівалентне даному, що визначає ту саму площину. Воно матиме такий вигляд:

Тут А, В, С – це числа, одночасно відмінні від нуля. Це рівняння називається як рівняння поверхні загального виду.

Рівняння площин. Приватні випадки

Рівняння у вигляді може видозмінюватися за наявності додаткових умов. Розглянемо деякі з них.

Припустимо, що коефіцієнт А дорівнює 0. Це означає, що дана площина паралельна до заданої осі Ох. І тут вид рівняння зміниться: Ву+Cz+D=0.

Аналогічно вигляд рівняння змінюватиметься і за таких умов:

• По-перше, якщо В=0, то рівняння зміниться на Ах+Cz+D=0, що свідчить про паралельність осі Оу.
• По-друге, якщо С=0, то рівняння перетворюється на Ах+Ву+D=0, що говорити про паралельність заданої осі Oz.
• По-третє, якщо D=0, рівняння буде виглядати як Ах+Ву+Cz=0, що означатиме, що площина перетинає О (початок координат).
• По-четверте, якщо A=B=0, то рівняння зміниться на Cz+D=0, що доводитиме паралельність до Oxy.
• По-п'яте, якщо B = C = 0, то рівняння стане Ах + D = 0, а це означає, що площина до Oyz паралельна.
• По-шосте, якщо A=C=0, то рівняння набуде вигляду Ву+D=0, тобто повідомлятиме про паралельність до Oxz.

Вид рівняння у відрізках

У разі коли числа А, В, С, D відмінні від нуля, вид рівняння (0) може бути наступним:

х/а + у/b + z/с = 1,

у якому а = -D/А, b = -D/В, з = -D/С.

Отримуємо в результаті Варто відзначити, що дана поверхня буде перетинати вісь Ох в точці з координатами (а, 0,0), Оу - (0, b, 0), а Oz - (0,0, с).

З урахуванням рівняння х/а + у/b + z/с = 1 неважко візуально уявити розміщення площини щодо заданої координатної системи.

Координати нормального вектора

Нормальний вектор n до площини П має координати, що є коефіцієнтами загального рівняння даної площини, тобто n (А, В, С).

Щоб визначити координати нормалі n, досить знати загальне рівняння заданої площині.

При використанні рівняння у відрізках, що має вигляд х/а + у/b + z/с = 1, як і при використанні загального рівняння, можна записати координати будь-якого нормального вектора заданої площини: (1/а + 1/b + 1/ с).

Варто зазначити, що нормальний вектор допомагає вирішити різноманітні завдання. До найпоширеніших відносяться завдання, що полягають у доказі перпендикулярності або паралельності площин, задачі знаходження кутів між площинами або кутів між площинами і прямими.

Вигляд рівняння площини згідно з координатами точки та нормального вектора

Ненульовий вектор n, перпендикулярний до заданої площини, називають нормальним (нормаллю) для заданої площини.

Припустимо, що у координатному просторі (прямокутній координатній системі) Oxyz задані:

• точка Мₒ з координатами (хₒ, уₒ, zₒ);
• нульовий вектор n = А * i + В * j + С * k.

Потрібно скласти рівняння площини, яка проходитиме через точку Мₒ перпендикулярно до нормалі n.

У просторі виберемо будь-яку довільну точку та позначимо її М (х у, z). Нехай радіус-вектор будь-якої точки М (х,у,z) буде r=х*i+у*j+z*k, а радіус-вектор точки Мₒ (хₒ,уₒ,zₒ) - rₒ=хₒ*i+уₒ *j+zₒ*k. Точка М належатиме заданій площині, якщо вектор МₒМ буде перпендикулярний вектору n. Запишемо умову ортогональності за допомогою скалярного твору:

[МₒМ, n] = 0.

Оскільки МₒМ = r-rₒ, векторне рівняння площини виглядатиме так:

Це рівняння може мати й іншу форму. І тому використовуються властивості скалярного твори, а перетворюється ліва сторона рівняння. = -. Якщо позначити як с, то вийде таке рівняння: - с = 0 або = с, яке виражає сталість проекцій на нормальний вектор радіус-векторів заданих точок, що належать до площини.

Тепер можна отримати координатний вид запису векторного рівняння нашої площини = 0. Оскільки r-rₒ = (х-хₒ)*i + (у-уₒ)*j + (z-zₒ)*k, а n = А*i+В *j+С*k, ми маємо:

Виходить, у нас утворюється рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до нормалі n:

А*(х-хₒ)+В*(у-уₒ)С*(z-zₒ)=0.

Вид рівняння площини згідно з координатами двох точок та вектора, колінеарної площини

Задамо дві довільні точки М '(х',у',z') і М'(х',у',z'), а також вектор а (а',а',а').

Тепер ми зможемо скласти рівняння заданої площини, яка проходитиме через наявні точки М′ і М″, а також будь-яку точку М із координатами (х,у,z) паралельно заданому вектору а.

При цьому вектори М′М=(х-х′;у-у′;z-z′) та М″М=(х″-х′;у″-у′;z″-z′) повинні бути компланарними з вектором а=(а′,а″,а‴), а це означає, що (М′М, М″М, а)=0.

Отже, наше рівняння площини у просторі виглядатиме так:

Вигляд рівняння площини, що перетинає три точки

Припустимо, у нас є три точки: (х',у',z'), (х',у',z'), (х‴,у‴,z‴), які не належать до однієї прямої. Необхідно написати рівняння площини, яка проходить через три точки. Теорія геометрії стверджує, що така площина дійсно існує, ось тільки вона єдина і неповторна. Оскільки ця площина перетинає точку (х′,у′,z′), вид її рівняння буде наступним:

Тут А, В, З відмінні від нуля одночасно. Також задана площина перетинає ще дві точки: (х ", у", z ") і (х, у, z,). У зв'язку з цим мають виконуватися такі умови:

Зараз ми можемо скласти однорідну систему з невідомими u, v, w:

У разі х,у чи z виступає довільною точкою, яка задовольняє рівняння (1). Враховуючи рівняння (1) та систему з рівнянь (2) та (3), систему рівнянь, зазначеної на малюнку вище, задовольняє вектор N (А, В, С), який є нетривіальним. Саме тому визначник цієї системи дорівнює нулю.

Рівняння (1), яке вийшло, це і є рівняння площини. Через три точки вона точно проходить, і це легко перевірити. Для цього потрібно розкласти наш визначник за елементами, що знаходяться у першому рядку. З існуючих властивостей визначника випливає, що наша площина одночасно перетинає три спочатку задані точки (х',у',z'), (х',у',z'), (х',у',z'). Тобто ми вирішили поставлене перед нами завдання.

Двогранний кут між площинами

Двогранний кут є просторовою геометричною фігурою, утвореною двома напівплощинами, які виходять з однієї прямої. Іншими словами, це частина простору, яка обмежується цими напівплощинами.

Допустимо, у нас є дві площини з наступними рівняннями:

Нам відомо, що вектори N=(А,В,С) та N¹=(А¹,В¹,С¹) перпендикулярні згідно з заданими площинами. У зв'язку з цим кут φ між векторами N і N¹ дорівнює куту (двогранному), який знаходиться між цими площинами. Скалярний твір має вигляд:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

саме тому

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(АА¹+ВВ¹+СС¹)/((√(А²+В²+С²))*(√(А¹)²+(В¹)²+(С¹)²)).

Достатньо врахувати, що 0≤φ≤π.

Насправді дві площини, які перетинаються, утворюють два кути (двогранні): φ 1 і φ 2 . Сума їх дорівнює π (φ 1 + φ 2 = π). Що ж до їх косинусів, їх абсолютні величини рівні, але вони різняться знаками, тобто cos φ 1 =-cos φ 2 . Якщо в рівнянні (0) замінити А, В та С на числа -А, -В і -С відповідно, то рівняння, яке ми отримаємо, визначатиме цю саму площину, єдине, кут φ у рівнянні cos φ= NN 1 /| N||N 1 | буде замінено на π-φ.

Рівняння перпендикулярної площини

Перпендикулярними називаються площини, між якими кут дорівнює 90 градусів. Використовуючи матеріал, викладений вище, ми можемо знайти рівняння площини, перпендикулярної до іншої. Припустимо, у нас є дві площини: Ах + Ву + Cz + D = 0 і Ах + В¹у + С¹z + D = 0. Ми можемо стверджувати, що вони будуть перпендикулярними, якщо cosφ=0. Це означає, що NN¹=АА¹+ВВ¹+СС¹=0.

Рівняння паралельної площини

Паралельними називаються дві площини, які містять загальних точок.

Умова (їх рівняння ті ж, що й у попередньому пункті) полягає в тому, що вектори N і N¹, які перпендикулярні до них, колінеарні. А це означає, що виконуються такі умови пропорційності:

А/А?=В/В?=С/С?.

Якщо умови пропорційності є розширеними - А/А?=В/В?=С/С?=DD?,

це свідчить у тому, що ці площини збігаються. А це означає, що рівняння Ах+Ву+Cz+D=0 і Ах+В¹у+С¹z+D¹=0 описують одну площину.

Відстань до площини від точки

Припустимо, ми маємо площину П, яка задана рівнянням (0). Необхідно знайти відстань від точки з координатами (хₒ,уₒ,zₒ)=Qₒ. Щоб це зробити, потрібно привести рівняння площини П до нормального вигляду:

(ρ,v)=р (р≥0).

У разі ρ (х,у,z) є радіус-вектором нашої точки Q, розташованої на П, р - це довжина перпендикуляра П, який був випущений з нульової точки, v - це одиничний вектор, який розташований у напрямку а.

Різниця ρ-ρº радіус-вектора якоїсь точки Q=(х,у,z), що належить П, а також радіус-вектора заданої точки Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) є таким вектором, абсолютна величина проекції якого на v дорівнює відстані d, яку потрібно знайти від Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) до П:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, але

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) = р-(ρ 0 ,v).

Ось і виходить,

d=|(ρ0,v)-р|.

Таким чином, ми знайдемо абсолютне значення одержаного виразу, тобто шукане d.

Використовуючи мову параметрів, отримуємо очевидне:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Якщо задана точка Q 0 знаходиться з іншого боку від площини П, як і початок координат, між вектором ρ-ρ 0 і v знаходиться отже:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

У разі коли точка Q 0 спільно з початком координат розташовується по одну і ту ж сторону від П, то кут, що створюється, гострий, тобто:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

У результаті виходить, що у першому випадку (ρ 0 ,v)>р, у другому (ρ 0 ,v)<р.

Дотична площина та її рівняння

Що стосується площину до поверхні в точці дотику Мº - це площина, що містить всі можливі дотичні до кривих, проведених через цю точку на поверхні.

При такому вигляді рівняння поверхні F(х,у,z)=0 рівняння дотичної площини в дотичній точці М?(х?,??, z?) виглядатиме так:

F х (хº, уº, zº)(х-хº)+ F х (хº, уº, zº)(у-уº)+ F х (хº, уº, zº)(z-zº)=0.

Якщо задати поверхню у явній формі z=f (х,у), то дотична площина буде описана рівнянням:

z-zº =f(хº, уº)(х-хº)+f(хº, уº)(у-уº).

Перетин двох площин

Розташована система координат (прямокутна) Oxyz, дано дві площини П′ і П″, які перетинаються і не збігаються. Оскільки будь-яка площина, що знаходиться в прямокутній координатній системі, визначається загальним рівнянням, будемо вважати, що П′ і П″ задаються рівняннями А′х+В′у+С′z+D′=0 та А″х+В″у+ З z + D = 0. У такому разі маємо нормаль n' (А',В',С') площини П' і нормаль n''(А'',В''С') площини П'. Оскільки наші площини не паралельні і не збігаються, ці вектори є не колінеарними. Використовуючи мову математики, ми цю умову можемо записати так: n′≠ n″ ↔ (А′,В′,С′) ≠ (λ*А″,λ*В″,λ*С″), λϵR. Нехай пряма, що лежить на перетині П′ і П″, позначатиметься літерою а, у цьому випадку а = П′ ∩ П″.

а - це пряма, що складається з багатьох точок (загальних) площин П′ і П″. Це означає, що координати будь-якої точки, що належить прямій а, повинні одночасно задовольняти рівняння А'х+В'у+С'z+D'=0 і А'х+В'у+С'z+D'=0. Отже, координати точки будуть приватним рішенням наступної системи рівнянь:

У результаті виходить, що рішення (загальне) цієї системи рівнянь визначатиме координати кожної з точок прямої, яка виступатиме точкою перетину П′ і П″, і визначатиме пряму а в координатній системі Oxyz (прямокутної) у просторі.

У цьому уроці ми розглянемо, як за допомогою визначника скласти рівняння площини. Якщо ви не знаєте, що таке визначник, зайдіть у першу частину уроку – «Матриці та визначники». Інакше ви ризикуєте нічого не зрозуміти у сьогоднішньому матеріалі.

Рівняння площини за трьома точками

Навіщо взагалі потрібне рівняння площини? Все просто: знаючи його, ми легко вирахуємо кути, відстані та іншу хрень у задачі C2. Загалом без цього рівняння не обійтися. Тому сформулюємо завдання:

Завдання. У просторі дано три точки, що не лежать на одній прямій. Їхні координати:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);

Потрібно скласти рівняння площини, що проходить через ці три точки. Причому рівняння повинно мати вигляд:

Ax + By + Cz + D = 0

де числа A, B, C і D - коефіцієнти, які, власне, і потрібно знайти.

Ну і як отримати рівняння площини, якщо відомі лише координати точок? Найпростіший спосіб - підставити координати в рівняння Ax + By + Cz + D = 0. Вийде система із трьох рівнянь, яка легко вирішується.

Багато учнів вважають таке рішення вкрай стомливим та ненадійним. Минулорічний ЄДІ з математики показав, що ймовірність припустити обчислювальну помилку справді велика.

Тому найбільш просунуті вчителі стали шукати більш прості та витончені рішення. І знайшли! Щоправда, отриманий прийом скоріш належить до вищої математики. Особисто мені довелося перерити весь Федеральний перелік підручників, щоб переконатися, що ми маємо право застосовувати цей прийом без жодних обґрунтувань та доказів.

Рівняння площини через визначник

Досить лірики, приступаємо до справи. Для початку - теорема про те, як пов'язані визначник матриці та рівняння площини.

Теорема. Нехай дані координати трьох точок, через які треба провести площину: M = (x 1 , y 1 , z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x3, y3, z3). Тоді рівняння цієї площини можна записати через визначник:

Наприклад спробуємо визначити пару площин, які реально зустрічаються у завданнях С2. Погляньте, як швидко все вважається:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Складаємо визначник і прирівнюємо його до нуля:

Розкриваємо визначник:

a = 1 · 1 · (z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Як бачите, при розрахунку числа d я трохи «зачесал» рівняння, щоб змінні x , y та z йшли у правильній послідовності. От і все! Рівняння площини готове!

Завдання. Складіть рівняння площини через крапки:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Відразу підставляємо координати точок у визначник:

Знову розкриваємо визначник:

a = 1 · 1 · z + 0 · 1 · x + 1 · 0 · y = z;
b = 1 · 1 · x + 0 · 0 · z + 1 · 1 · y = x + y;
d = a - b = z - (x + y) = z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Отже, рівняння площини знову одержано! Знову ж таки, на останньому кроці довелося поміняти в ньому знаки, щоб отримати більш «гарну» формулу. Робити це в цьому рішенні зовсім не обов'язково, але все-таки рекомендується - щоб спростити подальше вирішення завдання.

Як бачите, складати рівняння площини тепер набагато простіше. Підставляємо крапки в матрицю, вважаємо визначник – і все, рівняння готове.

На цьому можна було б закінчити урок. Однак багато учнів постійно забувають, що стоїть усередині визначника. Наприклад, у якому рядку стоїть x 2 чи x 3 , а якому - просто x . Щоб остаточно розібратися з цим, простежимо, звідки береться кожне число.

Звідки береться формула із визначником?

Отже, знаємо, звідки виникає таке суворе рівняння з визначником. Це допоможе вам запам'ятати його та успішно застосовувати.

Усі площини, які зустрічаються у задачі C2, задаються трьома точками. Ці точки завжди зазначені на кресленні, і навіть вказані у тексті завдання. У будь-якому випадку, для складання рівняння нам потрібно виписати їх координати:

M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x3, y3, z3).

Розглянемо ще одну точку нашої площині з довільними координатами:

T = (x, y, z)

Беремо будь-яку точку з першої трійки (наприклад, точку M ) і проведемо з неї вектори в кожну з трьох точок, що залишилися. Отримаємо три вектори:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1);
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1);
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1).

Тепер складемо із цих векторів квадратну матрицю і прирівняємо її визначник до нуля. Координати векторів стануть рядками матриці - і ми отримаємо той самий визначник, який зазначений у теоремі:

Ця формула означає, що обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах MN , MK і MT дорівнює нулю. Отже, всі три вектори лежать у одній площині. Зокрема, і довільна точка T = (x, y, z) - саме те, що ми шукали.

Заміна точок та рядків визначника

У визначників є кілька чудових властивостей, які ще спрощують розв'язання задачі C2. Наприклад, нам не важливо, з якої точки проводити вектори. Тому такі визначники дають таке ж рівняння площини, як і наведений вище:

Також можна міняти місцями рядки визначника. Рівняння у своїй залишиться незмінним. Наприклад, багато хто любить записувати рядок з координатами точки T = (x; y; z) в самому верху. Будь ласка, якщо вам так зручно:

Деяких бентежить, що в одній із рядків присутні змінні x, y і z, які не зникають при підстановці крапок. Але вони й не мають зникати! Підставивши числа в визначник, ви повинні отримати таку конструкцію:

Потім визначник розкривається за схемою, наведеною на початку уроку, і виходить стандартне рівняння площини:

Ax + By + Cz + D = 0

Погляньте на приклад. Він останній у сьогоднішньому уроці. Я спеціально поміняю рядки місцями, щоб переконатися, що у відповіді вийде одне й те саме рівняння площини.

Завдання. Складіть рівняння площини через крапки:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Отже, розглядаємо 4 крапки:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Для початку складемо стандартний визначник і прирівнюємо його до нуля:

Розкриваємо визначник:

a = 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · (x − 1) + (−1) · (−1) · y = 0 + 0 + y;
b = (−1) · 1 · (x − 1) + 1 · (−1) · (z − 1) + 0 · 0 · y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Всі ми отримали відповідь: x + y + z − 2 = 0 .

Тепер переставимо пару рядків у визначнику і подивимося, що станеться. Наприклад, запишемо рядок зі змінними x, y, z не внизу, а вгорі:

Знову розкриваємо отриманий визначник:

a = (x − 1) · 1 · (−1) + (z − 1) · (−1) · 1 + y · 0 · 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) · 1 · 0 + y · (−1) · (−1) + (x − 1) · 1 · 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Ми отримали таке саме рівняння площини: x + y + z − 2 = 0. Отже, воно дійсно не залежить від порядку рядків. Залишилось записати відповідь.

Отже, ми переконалися, що рівняння площини залежить від послідовності рядків. Можна провести аналогічні обчислення і довести, що рівняння площини не залежить від точки, координати якої ми віднімаємо з інших точок.

У розглянутій вище задачі ми використовували точку B 1 = (1, 0, 1), але можна було взяти C = (1, 1, 0) або D 1 = (0, 1, 1). Загалом, будь-яку точку з відомими координатами, що лежить на площині, що шукається.