उन की जड़. एनवां रूट कैलकुलेटर। मूल मान ज्ञात करने के सिद्धांत और उन्हें निकालने की विधियाँ

इंजीनियरिंग कैलकुलेटर ऑनलाइन

हम सभी को निःशुल्क इंजीनियरिंग कैलकुलेटर प्रदान करते हुए प्रसन्न हैं। इसकी मदद से कोई भी छात्र विभिन्न प्रकार की गणितीय गणनाएं जल्दी और सबसे महत्वपूर्ण आसानी से ऑनलाइन कर सकता है।

विनीत और सहज इंटरफ़ेस वाला एक सरल और उपयोग में आसान इंजीनियरिंग कैलकुलेटर वास्तव में इंटरनेट उपयोगकर्ताओं की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए उपयोगी होगा। अब, जब भी आपको कैलकुलेटर की आवश्यकता हो, हमारी वेबसाइट पर जाएँ और निःशुल्क इंजीनियरिंग कैलकुलेटर का उपयोग करें।

एक इंजीनियरिंग कैलकुलेटर सरल अंकगणितीय परिचालन और काफी जटिल गणितीय गणना दोनों कर सकता है।

Web20calc एक इंजीनियरिंग कैलकुलेटर है जिसमें बड़ी संख्या में फ़ंक्शन हैं, उदाहरण के लिए, सभी प्राथमिक कार्यों की गणना कैसे करें। कैलकुलेटर त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस, मैट्रिक्स, लॉगरिदम और यहां तक ​​कि ग्राफ़िंग का भी समर्थन करता है।

निस्संदेह, Web20calc उन लोगों के समूह के लिए रुचिकर होगा, जो सरल समाधानों की तलाश में, खोज इंजन में क्वेरी टाइप करते हैं: ऑनलाइन गणितीय कैलकुलेटर। एक मुफ़्त वेब एप्लिकेशन आपको कुछ गणितीय अभिव्यक्ति के परिणाम की तुरंत गणना करने में मदद करेगा, उदाहरण के लिए, घटाना, जोड़ना, विभाजित करना, मूल निकालना, घात बढ़ाना आदि।

अभिव्यक्ति में, आप घातांक, जोड़, घटाव, गुणा, भाग, प्रतिशत और पीआई स्थिरांक के संचालन का उपयोग कर सकते हैं। जटिल गणनाओं के लिए, कोष्ठक शामिल किए जाने चाहिए।

इंजीनियरिंग कैलकुलेटर की विशेषताएं:

1. बुनियादी अंकगणितीय परिचालन;
2. मानक रूप में संख्याओं के साथ कार्य करना;
3. त्रिकोणमितीय मूलों, कार्यों, लघुगणक, घातांक की गणना;
4. सांख्यिकीय गणना: जोड़, अंकगणितीय माध्य या मानक विचलन;
5. मेमोरी सेल्स और 2 वेरिएबल्स के कस्टम फ़ंक्शंस का उपयोग;
6. रेडियन और डिग्री माप में कोणों के साथ काम करें।

इंजीनियरिंग कैलकुलेटर विभिन्न गणितीय कार्यों के उपयोग की अनुमति देता है:

जड़ें निकालना (वर्ग, घन और nवीं जड़);
पूर्व (ई से एक्स पावर), घातीय;
त्रिकोणमितीय कार्य: साइन - साइन, कोसाइन - कॉस, स्पर्शरेखा - टैन;
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन: आर्कसाइन - सिन-1, आर्ककोसाइन - कॉस-1, आर्कटेंजेंट - टैन-1;
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य: साइन - सिंह, कोसाइन - कोश, स्पर्शरेखा - तन;
लघुगणक: आधार दो से द्विआधारी लघुगणक - log2x, दशमलव लघुगणक से आधार दस - लघुगणक, प्राकृतिक लघुगणक - ln।

इस इंजीनियरिंग कैलकुलेटर में विभिन्न माप प्रणालियों - कंप्यूटर इकाइयों, दूरी, वजन, समय, आदि के लिए भौतिक मात्राओं को परिवर्तित करने की क्षमता वाला एक मात्रा कैलकुलेटर भी शामिल है। इस फ़ंक्शन का उपयोग करके, आप तुरंत मील को किलोमीटर में, पाउंड को किलोग्राम में, सेकंड को घंटे में, आदि में बदल सकते हैं।

गणितीय गणना करने के लिए, पहले उपयुक्त फ़ील्ड में गणितीय अभिव्यक्तियों का अनुक्रम दर्ज करें, फिर बराबर चिह्न पर क्लिक करें और परिणाम देखें। आप सीधे कीबोर्ड से मान दर्ज कर सकते हैं (इसके लिए, कैलकुलेटर क्षेत्र सक्रिय होना चाहिए, इसलिए, कर्सर को इनपुट फ़ील्ड में रखना उपयोगी होगा)। अन्य बातों के अलावा, कैलकुलेटर के बटनों का उपयोग करके ही डेटा दर्ज किया जा सकता है।

ग्राफ़ बनाने के लिए, आपको इनपुट फ़ील्ड में फ़ंक्शन लिखना चाहिए जैसा कि उदाहरणों के साथ फ़ील्ड में दर्शाया गया है या इसके लिए विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए टूलबार का उपयोग करना चाहिए (इस पर जाने के लिए, ग्राफ़ आइकन वाले बटन पर क्लिक करें)। मान परिवर्तित करने के लिए, यूनिट पर क्लिक करें; मैट्रिक्स के साथ काम करने के लिए, मैट्रिक्स पर क्लिक करें।

हमारी वेबसाइट पर पोस्ट किया गया. किसी संख्या का मूल लेना अक्सर विभिन्न गणनाओं में उपयोग किया जाता है, और हमारा कैलकुलेटर ऐसी गणितीय गणनाओं के लिए एक उत्कृष्ट उपकरण है।

जड़ों वाला एक ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको जड़ निकालने से संबंधित कोई भी गणना जल्दी और आसानी से करने की अनुमति देगा। तीसरे मूल की गणना उतनी ही आसानी से की जा सकती है जितनी आसानी से किसी संख्या का वर्गमूल, किसी ऋणात्मक संख्या का मूल, किसी सम्मिश्र संख्या का मूल, पाई का मूल आदि।

किसी संख्या के मूल की गणना मैन्युअल रूप से संभव है। यदि किसी संख्या के संपूर्ण मूल की गणना करना संभव है, तो हम मूलों की तालिका का उपयोग करके मूल अभिव्यक्ति का मान आसानी से ज्ञात कर सकते हैं। अन्य मामलों में, जड़ों की अनुमानित गणना मूल अभिव्यक्ति को सरल कारकों के उत्पाद में विघटित करने के लिए नीचे आती है, जो शक्तियां हैं और जड़ के संकेत द्वारा हटाया जा सकता है, जितना संभव हो सके जड़ के नीचे अभिव्यक्ति को सरल बनाया जा सकता है।

लेकिन आपको इस मूल समाधान का उपयोग नहीं करना चाहिए। और यही कारण है। सबसे पहले, आपको ऐसी गणनाओं पर बहुत समय खर्च करना होगा। मूल में संख्याएँ, या अधिक सटीक रूप से, अभिव्यक्तियाँ काफी जटिल हो सकती हैं, और डिग्री आवश्यक रूप से द्विघात या घन नहीं है। दूसरे, ऐसी गणनाओं की सटीकता हमेशा संतोषजनक नहीं होती है। और तीसरा, एक ऑनलाइन रूट कैलकुलेटर है जो कुछ ही सेकंड में आपके लिए कोई भी रूट निष्कर्षण कर देगा।

किसी संख्या से मूल निकालने का अर्थ है एक ऐसी संख्या खोजना, जिसे जब घात n तक बढ़ाया जाए, तो वह मूल अभिव्यक्ति के मान के बराबर होगी, जहाँ n मूल की घात है, और संख्या स्वयं मूल का आधार है जड़। दूसरी डिग्री की जड़ को सरल या वर्ग कहा जाता है, और तीसरी डिग्री की जड़ को घन कहा जाता है, दोनों मामलों में डिग्री के संकेत को छोड़ दिया जाता है।

ऑनलाइन कैलकुलेटर में मूलों को हल करना केवल इनपुट लाइन में गणितीय अभिव्यक्ति लिखने तक ही सीमित रह जाता है। कैलकुलेटर में रूट निकालने को sqrt के रूप में निर्दिष्ट किया गया है और यह तीन कुंजियों का उपयोग करके किया जाता है - वर्गमूल sqrt(x), घनमूल sqrt3(x) और nth मूल sqrt(x,y)। नियंत्रण कक्ष के बारे में अधिक विस्तृत जानकारी पृष्ठ पर प्रस्तुत की गई है।

वर्गमूल

इस बटन पर क्लिक करने से इनपुट लाइन में वर्गमूल प्रविष्टि सम्मिलित हो जाएगी: sqrt(x), आपको केवल रेडिकल एक्सप्रेशन दर्ज करना होगा और कोष्ठक को बंद करना होगा।

कैलकुलेटर में वर्गमूलों को हल करने का एक उदाहरण:

यदि मूल एक ऋणात्मक संख्या है और मूल की डिग्री सम है, तो उत्तर को काल्पनिक इकाई i के साथ एक जटिल संख्या के रूप में दर्शाया जाएगा।

ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल:

तीसरी जड़

जब आपको घनमूल निकालने की आवश्यकता हो तो इस कुंजी का उपयोग करें। यह प्रविष्टि sqrt3(x) को इनपुट लाइन में सम्मिलित करता है।

तीसरी डिग्री जड़:

डिग्री की जड़ एन

स्वाभाविक रूप से, ऑनलाइन मूल कैलकुलेटर आपको न केवल किसी संख्या का वर्ग और घन मूल निकालने की अनुमति देता है, बल्कि डिग्री n का मूल भी निकालने की अनुमति देता है। इस बटन पर क्लिक करने पर sqrt(x x,y) जैसी एक प्रविष्टि प्रदर्शित होगी।

चौथी जड़:

किसी संख्या का सटीक nवां मूल केवल तभी निकाला जा सकता है जब वह संख्या स्वयं सटीक nवां मूल हो। अन्यथा, गणना अनुमानित हो जाएगी, हालांकि आदर्श के बहुत करीब, क्योंकि ऑनलाइन कैलकुलेटर की गणना की सटीकता 14 दशमलव स्थानों तक पहुंचती है।

अनुमानित परिणाम के साथ 5वाँ मूल:

अंश की जड़

कैलकुलेटर विभिन्न संख्याओं और भावों से मूल की गणना कर सकता है। किसी भिन्न का मूल ज्ञात करने का मतलब अंश और हर का मूल अलग-अलग निकालना है।

भिन्न का वर्गमूल:

जड़ से जड़

ऐसे मामलों में जहां अभिव्यक्ति की जड़ जड़ के नीचे है, जड़ों के गुणों से उन्हें एक जड़ से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसकी डिग्री दोनों की डिग्री के उत्पाद के बराबर होगी। सीधे शब्दों में कहें तो जड़ से जड़ निकालने के लिए जड़ों के संकेतकों को गुणा करना ही काफी है। चित्र में दिखाए गए उदाहरण में, द्वितीय-डिग्री मूल की अभिव्यक्ति तृतीय-डिग्री मूल को एक 6-डिग्री मूल द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। अपनी इच्छानुसार अभिव्यक्ति निर्दिष्ट करें. किसी भी स्थिति में, कैलकुलेटर हर चीज़ की सही गणना करेगा।

डिग्री सूत्रसमीकरणों और असमानताओं को हल करने में, जटिल अभिव्यक्तियों को कम करने और सरल बनाने की प्रक्रिया में उपयोग किया जाता है।

संख्या सीहै एन-किसी संख्या की घात एकब:

डिग्री के साथ संचालन.

1. अंशों को एक ही आधार से गुणा करने पर उनके संकेतक जोड़े जाते हैं:

पूर्वाह्न·ए एन = ए एम + एन .

2. अंशों को समान आधार से विभाजित करने पर उनके घातांक घटा दिए जाते हैं:

3. 2 या अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री इन कारकों की डिग्री के उत्पाद के बराबर है:

(एबीसी…) एन = ए एन · बी एन · सी एन …

4. भिन्न की डिग्री लाभांश और भाजक की डिग्री के अनुपात के बराबर होती है:

(ए/बी) एन = ए एन /बी एन।

5. एक घात को एक घात तक बढ़ाने पर, घातांक को गुणा किया जाता है:

(ए एम) एन = ए एम एन।

उपरोक्त प्रत्येक सूत्र बाएँ से दाएँ और इसके विपरीत दिशाओं में सत्य है।

उदाहरण के लिए. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

जड़ों के साथ संचालन.

1. कई कारकों के उत्पाद का मूल इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर है:

2. किसी अनुपात का मूल लाभांश और मूल के भाजक के अनुपात के बराबर होता है:

3. किसी जड़ को किसी घात तक बढ़ाते समय, मूलांक को इस घात तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त है:

4. यदि आप जड़ की डिग्री बढ़ाते हैं एनएक बार और एक ही समय में निर्माण करें एनवां घात एक मूल संख्या है, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

5. यदि आप जड़ की डिग्री को कम करते हैं एनउसी समय जड़ निकालें एन-किसी मूलांक की घात, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

नकारात्मक घातांक वाली डिग्री.एक गैर-धनात्मक (पूर्णांक) घातांक वाली एक निश्चित संख्या की घात को गैर-धनात्मक घातांक के निरपेक्ष मान के बराबर घातांक वाली उसी संख्या की घात से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया जाता है:

FORMULA पूर्वाह्न:ए एन =ए एम - एनन केवल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है एम> एन, लेकिन साथ भी एम< एन.

उदाहरण के लिए. ए4:ए 7 = ए 4 - 7 = ए -3.

सूत्रीकरण के लिए पूर्वाह्न:ए एन =ए एम - एनकब निष्पक्ष हो गया म=एनशून्य डिग्री की उपस्थिति आवश्यक है.

शून्य सूचकांक वाली डिग्री.शून्य घातांक वाली किसी भी संख्या की घात शून्य के बराबर नहीं होती है।

उदाहरण के लिए. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री.वास्तविक संख्या बढ़ाने के लिए एडिग्री तक एम/एन, आपको जड़ निकालने की जरूरत है एनकी डिग्री एम-इस संख्या की घात ए.

किसी संख्या x का nवाँ मूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या z है, जिसे nवीं घात तक बढ़ाने पर, x बन जाता है। मूल का निर्धारण उन बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाओं की सूची में शामिल है जिनसे हम बचपन में परिचित होते हैं।

गणितीय संकेतन

"रूट" लैटिन शब्द रेडिक्स से आया है और आज "रेडिकल" शब्द का प्रयोग इस गणितीय शब्द के पर्याय के रूप में किया जाता है। 13वीं शताब्दी के बाद से, गणितज्ञों ने मूल संक्रिया को मूल अभिव्यक्ति के ऊपर एक क्षैतिज पट्टी के साथ अक्षर r द्वारा निरूपित किया है। 16वीं शताब्दी में, पदनाम V पेश किया गया, जिसने धीरे-धीरे चिन्ह r को प्रतिस्थापित कर दिया, लेकिन क्षैतिज रेखा बनी रही। प्रिंटिंग हाउस में टाइप करना या हाथ से लिखना आसान है, लेकिन इलेक्ट्रॉनिक प्रकाशन और प्रोग्रामिंग में रूट का अक्षर पदनाम फैल गया है - sqrt। इस लेख में हम वर्गमूलों को इस प्रकार निरूपित करेंगे।

वर्गमूल

किसी संख्या x का वर्गमूल एक संख्या z है, जिसे स्वयं से गुणा करने पर x बन जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम 2 को 2 से गुणा करते हैं, तो हमें 4 मिलता है। इस मामले में दो, चार का वर्गमूल है। 5 को 5 से गुणा करें, हमें 25 मिलता है और अब हम अभिव्यक्ति sqrt(25) का मान पहले से ही जानते हैं। हम 144 प्राप्त करने के लिए और – 12 को −12 से गुणा कर सकते हैं, और 144 का मूलांक 12 और −12 दोनों हैं। जाहिर है, वर्गमूल धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याएँ हो सकते हैं।

द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए ऐसी जड़ों का विशिष्ट द्वैतवाद महत्वपूर्ण है, इसलिए, ऐसी समस्याओं में उत्तर खोजते समय, दोनों जड़ों को इंगित करना आवश्यक है। बीजीय व्यंजकों को हल करते समय अंकगणितीय वर्गमूलों का उपयोग किया जाता है, अर्थात केवल उनके सकारात्मक मान।

वे संख्याएँ जिनके वर्गमूल पूर्णांक होते हैं, पूर्ण वर्ग कहलाते हैं। ऐसी संख्याओं का एक पूरा क्रम होता है, जिसकी शुरुआत इस प्रकार होती है:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

अन्य संख्याओं के वर्गमूल अपरिमेय संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, sqrt(3) = 1.73205080757... इत्यादि। यह संख्या अनंत और गैर-आवधिक है, जिससे ऐसे मूलांकों की गणना करने में कुछ कठिनाइयाँ आती हैं।

स्कूली गणित पाठ्यक्रम में कहा गया है कि आप ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल नहीं निकाल सकते। जैसा कि हम गणितीय विश्लेषण पर एक विश्वविद्यालय पाठ्यक्रम में सीखते हैं, यह किया जा सकता है और किया जाना चाहिए - यही कारण है कि जटिल संख्याओं की आवश्यकता होती है। हालाँकि, हमारा प्रोग्राम वास्तविक मूल मान निकालने के लिए डिज़ाइन किया गया है, इसलिए यह ऋणात्मक संख्याओं से भी रेडिकल की गणना नहीं करता है।

क्युब जड़

किसी संख्या x का घन मूलांक एक संख्या z है, जिसे स्वयं से तीन बार गुणा करने पर संख्या x प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, यदि हम 2 × 2 × 2 को गुणा करते हैं, तो हमें 8 मिलता है। इसलिए, दो आठ का घनमूल है। चार को तीन बार गुणा करें और 4 × 4 × 4 = 64 प्राप्त करें। जाहिर है, चार संख्या 64 का घनमूल है। संख्याओं का एक अनंत अनुक्रम है जिनके घन मूलक पूर्णांक हैं। इसकी शुरुआत इस तरह दिखती है:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

अन्य संख्याओं के लिए, घनमूल अपरिमेय संख्याएँ हैं। वर्ग मूलकों के विपरीत, घनमूल, किसी भी विषम मूल की तरह, ऋणात्मक संख्याओं से प्राप्त किए जा सकते हैं। यह सब शून्य से कम संख्याओं के गुणनफल के बारे में है। माइनस के लिए माइनस प्लस देता है - स्कूल से ज्ञात एक नियम। और प्लस के बदले माइनस माइनस देता है। यदि हम ऋणात्मक संख्याओं को विषम संख्या में गुणा करते हैं, तो परिणाम भी ऋणात्मक होगा, इसलिए, कोई भी चीज़ हमें ऋणात्मक संख्या से एक विषम मूलांक निकालने से नहीं रोकती है।

हालाँकि, कैलकुलेटर प्रोग्राम अलग तरीके से काम करता है। मूलतः, किसी जड़ को निकालने का अर्थ उसे विपरीत शक्ति तक बढ़ाना है। वर्गमूल को 1/2 की घात तक बढ़ाया हुआ माना जाता है, और घनमूल को 1/3 की घात तक बढ़ाया हुआ माना जाता है। 1/3 की घात तक बढ़ाने के सूत्र को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है और 2/6 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। परिणाम वही है, लेकिन आप किसी ऋणात्मक संख्या से ऐसा मूल नहीं निकाल सकते। इस प्रकार, हमारा कैलकुलेटर केवल धनात्मक संख्याओं से अंकगणितीय मूलों की गणना करता है।

nवाँ मूल

रेडिकल की गणना की ऐसी अलंकृत विधि आपको किसी भी अभिव्यक्ति से किसी भी डिग्री की जड़ें निर्धारित करने की अनुमति देती है। आप किसी संख्या के घन का पांचवां मूल या किसी संख्या का 19वां मूलांक 12वीं घात तक ले सकते हैं। यह सब क्रमशः 3/5 या 12/19 की घात तक बढ़ाने के रूप में सुरुचिपूर्ण ढंग से कार्यान्वित किया जाता है।

आइए एक उदाहरण देखें

एक वर्ग का विकर्ण

एक वर्ग के विकर्ण की अतार्किकता प्राचीन यूनानियों को ज्ञात थी। उन्हें एक समतल वर्ग के विकर्ण की गणना करने की समस्या का सामना करना पड़ा, क्योंकि इसकी लंबाई हमेशा दो के मूल के समानुपाती होती है। विकर्ण की लंबाई निर्धारित करने का सूत्र निम्न से प्राप्त होता है और अंततः इसका रूप लेता है:

डी = ए × वर्ग(2).

आइए अपने कैलकुलेटर का उपयोग करके दो का वर्ग मूलांक निर्धारित करें। आइए "नंबर(x)" सेल में मान 2 दर्ज करें, और "डिग्री(n)" सेल में भी 2। परिणामस्वरूप, हमें अभिव्यक्ति sqrt(2) = 1.4142 मिलती है। इस प्रकार, किसी वर्ग के विकर्ण का मोटे तौर पर अनुमान लगाने के लिए, इसकी भुजा को 1.4142 से गुणा करना पर्याप्त है।

निष्कर्ष

रेडिकल ढूँढना एक मानक अंकगणितीय ऑपरेशन है, जिसके बिना वैज्ञानिक या डिज़ाइन गणना अपरिहार्य है। बेशक, हमें रोजमर्रा की समस्याओं को हल करने के लिए मूल निर्धारित करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन हमारा ऑनलाइन कैलकुलेटर स्कूली बच्चों या छात्रों के लिए बीजगणित या कैलकुलस में होमवर्क की जांच करने के लिए निश्चित रूप से उपयोगी होगा।

इसे सुलझाने का समय आ गया है जड़ निष्कर्षण के तरीके. वे जड़ों के गुणों पर आधारित हैं, विशेष रूप से, समानता पर, जो किसी भी गैर-नकारात्मक संख्या बी के लिए सच है।

नीचे हम एक-एक करके जड़ें निकालने की मुख्य विधियों पर नजर डालेंगे।

आइए सबसे सरल मामले से शुरू करें - वर्गों की तालिका, घनों की तालिका आदि का उपयोग करके प्राकृतिक संख्याओं से मूल निकालना।

यदि वर्गों, घनों आदि की तालिकाएँ। यदि यह आपके पास नहीं है, तो मूल निकालने की विधि का उपयोग करना तर्कसंगत है, जिसमें मूलांक को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना शामिल है।

यह विशेष रूप से उल्लेख करने योग्य है कि विषम घातांक वाले मूलों के लिए क्या संभव है।

अंत में, आइए एक ऐसी विधि पर विचार करें जो हमें मूल मान के अंकों को क्रमिक रूप से खोजने की अनुमति देती है।

आएँ शुरू करें।

वर्गों की तालिका, घनों की तालिका आदि का उपयोग करना।

सरलतम मामलों में, वर्गों, घनों आदि की तालिकाएँ आपको जड़ें निकालने की अनुमति देती हैं। ये टेबल क्या हैं?

0 से 99 तक के पूर्णांकों के वर्गों की तालिका (नीचे दिखाई गई है) में दो क्षेत्र शामिल हैं। तालिका का पहला क्षेत्र एक ग्रे पृष्ठभूमि पर स्थित है; एक विशिष्ट पंक्ति और एक विशिष्ट कॉलम का चयन करके, यह आपको 0 से 99 तक एक संख्या लिखने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, आइए 8 दहाई की एक पंक्ति और 3 इकाइयों का एक स्तंभ चुनें, इसके साथ हमने संख्या 83 तय की। दूसरा क्षेत्र शेष तालिका पर कब्जा कर लेता है। प्रत्येक कोशिका एक निश्चित पंक्ति और एक निश्चित स्तंभ के प्रतिच्छेदन पर स्थित होती है, और इसमें 0 से 99 तक संबंधित संख्या का वर्ग होता है। 8 दहाई की हमारी चुनी हुई पंक्ति और इकाई के कॉलम 3 के प्रतिच्छेदन पर संख्या 6,889 वाला एक कक्ष है, जो संख्या 83 का वर्ग है।

घनों की सारणी, 0 से 99 तक की संख्याओं की चौथी घातों की सारणी, इत्यादि वर्गों की सारणी के समान हैं, केवल उनमें दूसरे क्षेत्र में घन, चौथी घात आदि शामिल हैं। संगत संख्याएँ।

वर्गों, घनों, चतुर्थ घातों आदि की तालिकाएँ। आपको वर्गमूल, घनमूल, चतुर्थमूल आदि निकालने की अनुमति देता है। इन तालिकाओं में संख्याओं के अनुसार। आइए हम जड़ें निकालते समय उनके उपयोग के सिद्धांत की व्याख्या करें।

मान लीजिए कि हमें संख्या a का nवां मूल निकालने की आवश्यकता है, जबकि संख्या a nवीं घातों की तालिका में समाहित है। इस तालिका का उपयोग करके हम संख्या b इस प्रकार ज्ञात करते हैं कि a=b n। तब , इसलिए, संख्या b nवीं डिग्री का वांछित मूल होगा।

उदाहरण के तौर पर, आइए दिखाते हैं कि 19,683 का घनमूल निकालने के लिए घन तालिका का उपयोग कैसे करें। हम घनों की तालिका में संख्या 19,683 पाते हैं, इससे हमें पता चलता है कि यह संख्या संख्या 27 का घन है, इसलिए, .

यह स्पष्ट है कि जड़ें निकालने के लिए nवीं घात की तालिकाएँ बहुत सुविधाजनक हैं। हालाँकि, वे अक्सर हाथ में नहीं होते हैं, और उन्हें संकलित करने के लिए कुछ समय की आवश्यकता होती है। इसके अलावा, अक्सर उन संख्याओं से मूल निकालना आवश्यक होता है जो संबंधित तालिकाओं में शामिल नहीं हैं। इन मामलों में, आपको जड़ निष्कर्षण के अन्य तरीकों का सहारा लेना होगा।

किसी मूलांक को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करना

किसी प्राकृतिक संख्या का मूल निकालने का एक काफी सुविधाजनक तरीका (यदि, निश्चित रूप से, मूल निकाला गया है) मूलांक को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना है। उसका मुद्दा यह है: उसके बाद इसे वांछित घातांक के साथ एक घात के रूप में प्रस्तुत करना काफी आसान है, जो आपको मूल का मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। आइए इस बात को स्पष्ट करें।

मान लीजिए किसी प्राकृत संख्या a का nवाँ मूल लिया जाता है और उसका मान b के बराबर होता है। इस मामले में, समानता a=b n सत्य है। संख्या b, किसी भी प्राकृतिक संख्या की तरह, इसके सभी अभाज्य गुणनखंडों p 1 , p 2 , …, p m के गुणनफल के रूप में p 1 ·p 2 ·...·pm के रूप में प्रदर्शित की जा सकती है, और इस मामले में मूल संख्या a (p 1 ·p 2 ·…·p m) n के रूप में दर्शाया गया है। चूँकि किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन अद्वितीय है, मूलांक संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन का रूप (p 1 ·p 2 ·...·p m) n होगा, जिससे मूल के मान की गणना करना संभव हो जाता है जैसा ।

ध्यान दें कि यदि किसी मूलांक संख्या a के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन को (p 1 ·p 2 ·…·p m) n के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, तो ऐसी संख्या a का nवाँ मूल पूरी तरह से नहीं निकाला जाता है।

आइए उदाहरणों को हल करते समय इसका पता लगाएं।

उदाहरण।

144 का वर्गमूल निकालें.

समाधान।

यदि आप पिछले पैराग्राफ में दी गई वर्गों की तालिका को देखें तो आप स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि 144 = 12 2, जिससे यह स्पष्ट है कि 144 का वर्गमूल 12 के बराबर है।

लेकिन इस बिंदु के प्रकाश में, हम इस बात में रुचि रखते हैं कि मूल संख्या 144 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके मूल कैसे निकाला जाता है। आइए इस समाधान पर नजर डालें.

आइए विघटित करें 144 से अभाज्य गुणनखंड:

यानी 144=2·2·2·2·3·3. परिणामी अपघटन के आधार पर, निम्नलिखित परिवर्तन किए जा सकते हैं: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. इस तरह, .

डिग्री के गुणों और जड़ों के गुणों का उपयोग करके, समाधान को थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है:।

उत्तर:

सामग्री को समेकित करने के लिए, दो और उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

जड़ के मान की गणना करें.

समाधान।

मूलांक 243 के अभाज्य गुणनखंडन का रूप 243=3 5 है। इस प्रकार, .

उत्तर:

उदाहरण।

क्या मूल मान एक पूर्णांक है?

समाधान।

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए मूल संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें और देखें कि क्या इसे पूर्णांक के घन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

हमारे पास 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 है। परिणामी विस्तार को पूर्णांक के घन के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, क्योंकि अभाज्य कारक 7 की घात तीन का गुणज नहीं है। इसलिए, 285,768 का घनमूल पूरी तरह से नहीं निकाला जा सकता है।

उत्तर:

नहीं।

भिन्नात्मक संख्याओं से मूल निकालना

अब यह पता लगाने का समय आ गया है कि भिन्नात्मक संख्या का मूल कैसे निकाला जाए। मान लीजिए भिन्नात्मक मूलांक को p/q के रूप में लिखा जाता है। भागफल के मूल के गुण के अनुसार निम्नलिखित समानता सत्य है। इस समानता से यह निष्कर्ष निकलता है भिन्न का मूल निकालने का नियम: भिन्न का मूल अंश के मूल के भागफल को हर के मूल से विभाजित करने के बराबर होता है।

आइए भिन्न से मूल निकालने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

सामान्य भिन्न 25/169 का वर्गमूल क्या है?

समाधान।

वर्गों की तालिका का उपयोग करके, हम पाते हैं कि मूल भिन्न के अंश का वर्गमूल 5 के बराबर है, और हर का वर्गमूल 13 के बराबर है। तब . इससे सामान्य अंश 25/169 की जड़ का निष्कर्षण पूरा हो जाता है।

उत्तर:

मूलांकों को साधारण भिन्नों से प्रतिस्थापित करने के बाद दशमलव भिन्न या मिश्रित संख्या का मूल निकाला जाता है।

उदाहरण।

दशमलव भिन्न 474.552 का घनमूल लें।

समाधान।

आइए मूल दशमलव भिन्न की एक साधारण भिन्न के रूप में कल्पना करें: 474.552=474552/1000। तब . यह घनमूल निकालने के लिए बना हुआ है जो परिणामी भिन्न के अंश और हर में हैं। क्योंकि 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 और 1000 = 10 3, तो और . जो कुछ बचा है वह गणना पूरी करना है .

उत्तर:

.

किसी ऋणात्मक संख्या का मूल निकालना

ऋणात्मक संख्याओं से मूल निकालने पर ध्यान देना सार्थक है। जड़ों का अध्ययन करते समय हमने कहा कि जब मूल घातांक एक विषम संख्या है, तो मूल चिन्ह के नीचे एक ऋणात्मक संख्या हो सकती है। हमने इन प्रविष्टियों को निम्नलिखित अर्थ दिया: एक ऋणात्मक संख्या −a और मूल 2 n−1 के एक विषम घातांक के लिए, . यह समानता देता है ऋणात्मक संख्याओं से विषम मूल निकालने का नियम: किसी ऋणात्मक संख्या का मूल निकालने के लिए, आपको विपरीत धनात्मक संख्या का मूल लेना होगा, और परिणाम के सामने ऋण चिह्न लगाना होगा।

आइए उदाहरण समाधान देखें.

उदाहरण।

मूल का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान।

आइए मूल अभिव्यक्ति को इस प्रकार रूपांतरित करें कि मूल चिह्न के नीचे एक धनात्मक संख्या हो: . अब मिश्रित संख्या को साधारण भिन्न से बदलें: . हम साधारण भिन्न का मूल निकालने के लिए नियम लागू करते हैं: . परिणामी भिन्न के अंश और हर में मूलों की गणना करना बाकी है: .

यहां समाधान का संक्षिप्त सारांश दिया गया है: .

उत्तर:

.

मूल मान का बिटवाइज़ निर्धारण

सामान्य स्थिति में, मूल के नीचे एक संख्या होती है, जिसे ऊपर चर्चा की गई तकनीकों का उपयोग करके किसी भी संख्या की nवीं घात के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। लेकिन इस मामले में, किसी दिए गए मूल का अर्थ जानने की आवश्यकता है, कम से कम एक निश्चित संकेत तक। इस मामले में, रूट निकालने के लिए, आप एक एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं जो आपको वांछित संख्या के क्रमिक रूप से पर्याप्त संख्या में अंक मान प्राप्त करने की अनुमति देता है।

इस एल्गोरिदम का पहला चरण यह पता लगाना है कि रूट मान का सबसे महत्वपूर्ण बिट क्या है। ऐसा करने के लिए, संख्याओं 0, 10, 100, ... को क्रमिक रूप से घात n तक बढ़ाया जाता है जब तक कि कोई संख्या मूल संख्या से अधिक न हो जाए। फिर पिछले चरण में हमने जो संख्या घात n तक बढ़ाई थी, वह संबंधित सबसे महत्वपूर्ण अंक को इंगित करेगी।

उदाहरण के लिए, पाँच का वर्गमूल निकालते समय एल्गोरिथम के इस चरण पर विचार करें। संख्याएँ 0, 10, 100, ... लें और उनका वर्ग करें जब तक हमें 5 से बड़ी संख्या न मिल जाए। हमारे पास 0 2 =0 है<5 , 10 2 =100>5, जिसका अर्थ है कि सबसे महत्वपूर्ण अंक इकाई का अंक होगा। इस बिट का मूल्य, साथ ही निचले बिट का मूल्य, रूट निष्कर्षण एल्गोरिदम के अगले चरणों में पाया जाएगा।

एल्गोरिथम के सभी बाद के चरणों का उद्देश्य रूट के वांछित मूल्य के अगले बिट्स के मूल्यों को ढूंढकर, उच्चतम से शुरू करके और निम्नतम तक ले जाकर रूट के मूल्य को क्रमिक रूप से स्पष्ट करना है। उदाहरण के लिए, पहले चरण पर मूल का मान 2, दूसरे पर 2.2, तीसरे पर 2.23 और इसी तरह 2.236067977 हो जाता है…। आइये बताते हैं कि अंकों का मान कैसे ज्ञात किया जाता है।

अंक उनके संभावित मान 0, 1, 2, ..., 9 के माध्यम से खोजकर पाए जाते हैं। इस मामले में, संबंधित संख्याओं की nवीं शक्तियों की गणना समानांतर में की जाती है, और उनकी तुलना मूल संख्या से की जाती है। यदि किसी स्तर पर डिग्री का मान मूल संख्या से अधिक हो जाता है, तो पिछले मान के अनुरूप अंक का मान पाया हुआ माना जाता है, और रूट निष्कर्षण एल्गोरिदम के अगले चरण में संक्रमण किया जाता है; यदि ऐसा नहीं होता है, तो इस अंक का मान 9 है.

आइए हम पांच का वर्गमूल निकालने के उसी उदाहरण का उपयोग करके इन बिंदुओं को समझाएं।

सबसे पहले हम इकाई अंक का मान ज्ञात करते हैं। हम क्रमशः 0 2, 1 2, ..., 9 2 की गणना करते हुए मान 0, 1, 2, ..., 9 से गुजरेंगे, जब तक कि हमें मूल संख्या 5 से अधिक मान नहीं मिल जाता। इन सभी गणनाओं को एक तालिका के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है:

अतः इकाई अंक का मान 2 है (2 2 से)।<5 , а 2 3 >5 ). आइए दसवें स्थान का मान ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ें। इस मामले में, हम मूलांक 5 के साथ परिणामी मानों की तुलना करते हुए संख्याओं 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 का वर्ग करेंगे:

2.2 से 2<5 , а 2,3 2 >5 है तो दशम स्थान का मान 2 होता है। आप सौवें स्थान का मान ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं:

इस प्रकार पाँच के मूल का अगला मान ज्ञात हुआ, यह 2.23 के बराबर है। और इसलिए आप मान ढूंढना जारी रख सकते हैं: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम सुविचारित एल्गोरिथम का उपयोग करके सौवें हिस्से की सटीकता के साथ जड़ के निष्कर्षण का विश्लेषण करेंगे।

सबसे पहले हम सबसे महत्वपूर्ण अंक निर्धारित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम 0, 10, 100, आदि संख्याओं को घन करते हैं। जब तक हमें 2,151,186 से बड़ी संख्या नहीं मिल जाती। हमारे पास 0 3 = 0 है<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, इसलिए सबसे महत्वपूर्ण अंक दहाई अंक है।

आइए इसका मूल्य निर्धारित करें।

10 से 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, तो दहाई के स्थान का मान 1 है। आइए इकाइयों पर चलते हैं।

अत: इकाई अंक का मान 2 है। आइये दसवें भाग पर चलते हैं।

चूँकि 12.9 3 भी मूलांक 2 151.186 से कम है, तो दशम स्थान का मान 9 है। एल्गोरिथम का अंतिम चरण पूरा करना बाकी है; यह हमें आवश्यक सटीकता के साथ रूट का मूल्य देगा।

इस स्तर पर, मूल का मान सौवें भाग तक सटीक पाया जाता है: .

इस लेख के अंत में मैं यह कहना चाहूंगा कि जड़ें निकालने के कई अन्य तरीके भी हैं। लेकिन अधिकांश कार्यों के लिए, जिनका हमने ऊपर अध्ययन किया है वे पर्याप्त हैं।

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